5.5基本不等式1(1) 课件(人教A版选修4-5)
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1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
[例 3] 已知 60＜x＜84,28＜y＜33.求 (1)x－y 的取值范围； x (2)y 的取值范围． [精讲详析] 本题考查不等式性质的灵活应用． 解答问
题(1)需要先求出－y 的取值范围，然后利用不等式的同向 1 可加性解决； 解答问题(2)需要先求出y 的取值范围， 然后利 用不等式的有关性质求解．
[解析]
1 1 c c 由 a>b>1， 得， <b， >b； c<0 幂函数 y＝xc(c<0) a a
是减函数， 所以 ac<bc； 因为 a－c>b－c， 所以 logb(a－c)>loga(a －c)>loga(b－c)，①②③均正确．
[答案] D
点击下图片 进入:
对称性 传递性 可加性 可乘性 乘方 开方 如果 a＞b，那么 b＜a ；如果 b＜a ，那么 a＞b.即 a ＞b⇔ b＜a . 如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c .即 a＞b，b＞c⇒ a＞c . 如果 a＞b ，那么 a＋c＞b＋c. 如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc ； 如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc . 如果 a＞b＞0，那么 an ＞ bn(n∈N，n≥2)． 如果 a＞b＞0，那么 a ＞ n n
[悟一法]
运用不等式的性质时要注意条件，如倒数法则要求两数 同号；两边同乘一个数，不等号方向是否改变要视此数的正 负而定；同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．
[通一类]
1 2．(2011· 广州二模)设 a，b 为正实数，则“a<b”是“a－a 1 <b－b成立的” A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分又不必要条件 ( )
的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化 出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”， 即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．
题(1)需要先求出－y 的取值范围，然后利用不等式的同向 1 可加性解决； 解答问题(2)需要先求出y 的取值范围， 然后利 用不等式的有关性质求解．
[解析]
1 1 c c 由 a>b>1， 得， <b， >b； c<0 幂函数 y＝xc(c<0) a a
是减函数， 所以 ac<bc； 因为 a－c>b－c， 所以 logb(a－c)>loga(a －c)>loga(b－c)，①②③均正确．
[答案] D
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对称性 传递性 可加性 可乘性 乘方 开方 如果 a＞b，那么 b＜a ；如果 b＜a ，那么 a＞b.即 a ＞b⇔ b＜a . 如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c .即 a＞b，b＞c⇒ a＞c . 如果 a＞b ，那么 a＋c＞b＋c. 如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc ； 如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc . 如果 a＞b＞0，那么 an ＞ bn(n∈N，n≥2)． 如果 a＞b＞0，那么 a ＞ n n
[悟一法]
运用不等式的性质时要注意条件，如倒数法则要求两数 同号；两边同乘一个数，不等号方向是否改变要视此数的正 负而定；同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．
[通一类]
1 2．(2011· 广州二模)设 a，b 为正实数，则“a<b”是“a－a 1 <b－b成立的” A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分又不必要条件 ( )
的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化 出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”， 即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．
1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
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求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个 重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行 运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性
质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一
定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．
返回
α＋β α－β π π π π 5．“已知－ ≤α≤ ，－ ≤β≤ ”，求 ， 的取值 2 2 2 2 2 2 范围．
返回
(5)如果a>b>0，那么an ＞ bn(n∈N，n≥2)．
＞ n b(n∈N，n≥2)． (6)如果a>b>0，那么 a 3．对上述不等式的理解
n
使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条
件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如： (1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同 乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得 同向不 等式；②c＝0时得 等式 ；③c<0时得 异向 不等式．
返回
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1．不等式的基本性质
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1．实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的 左右位置关系来规定实数的 大小 ．在数轴上，右边的数总 比左边的数 大 ． (2)如果a－b＞0，则 a＞b ；如果a－b＝0，则 a＝b ；
如果a－b＜0，则 a＜b .
(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的 差a －b的符号 ；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们 的值的大小，而这又归结为判断它们的 差的符号 ．
π π 解：∵－ ≤α≤ ， 2 2 π π － ≤β≤ ， 2 2 π α＋β π ∴－π≤α＋β≤π.∴－ ≤ ≤ . 2 2 2 π π π π 又∵－ ≤α≤ ，－ ≤－β≤ ， 2 2 2 2 π α－β π ∴－π≤α－β≤π.∴－ ≤ ≤ . 2 2 2 α＋β α－β π π ∴ 、 的取值范围均为[－ ， ]． 2 2 2 2
5.5基本不等式1(1) 课件(人教A版选修4-5)
ab
中的“ = ”号成立．
这句话的含义是:
当 ab 当
ab ab a b 2
ab ab 2
思考 3
ab a b 2ab 和 2
2 2
ab
成立的条件相同吗？
2 2
如：1) (5) 2 (1) (5)成立， ( (1) (5) 而 (1) (5) 不成立。
1 例3. 若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时 x x 1
有最小值，最小值为几？
解：∵
x 1
∴
x 1 0
1 0 x 1
1 1 1 1 2 ( x 1) 1 2 1 1 ∴x = x 1 x 1 x 1 x 1
1 1 当且仅当 x 1 x x 1 即 x 0 时 x 1 有最小值1
（２）已知
a, b, c, d
都是正数，求证
(ab cd )(ac bd ) 4abcd
证明：由 a, b, c, d 都是正数，得
ac bd ab cd ac bd 0 ab cd 0 2 2 (ab cd )(ac bd ) abcd 4
即(ab cd )(ac bd ) 4abcd
练习1
1. 巳知a 0, b 0, 1 1 求证 : ( a b)( ) 4. a b
2. 巳知a, b, c均为正数,求证: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc
例2
求证：（1）在所有周长相同的矩形 中，正方形的面积最大；（2）在所有面 积相同的矩形中，正方形的周长最短。
sin x 2 （0 x ） 3 求y 2 sin x 的最小值。
5.5基本不等式1(1) 课件(人教A版选修4-5)
ab
中的“ = ”号成立．
这句话的含义是:
当 ab 当
ab ab a b 2
ab ab 2
思考 3
ab a b 2ab 和 2
2 2
ab
成立的条件相同吗？
2 2
如：1) (5) 2 (1) (5)成立， ( (1) (5) 而 (1) (5) 不成立。
2
∴
x y 2 P
∵上式当 x y 时取“=”
x ∴当
1 2 xy ∵上式当 x y 时取“=” ∴当 x y 时， 有最大值 4 S
S 2当 x y S (定值)时， xy 2
y 时， x y 有最小值2 P
1 2 ∴ xy S 4
注意：
1、最值的含义（“≥”取最小 值，“≤”取最大值）
b2 (2)已知:a, b R , 且a 2 1, 求a 1 b 2 的最大值. 2 1 1 (3)设 为锐角,求(sin )(cos )的最小值. sin cos
作业
课本作业；P1０
５、６
即(ab cd )(ac bd ) 4abcd
练习1
1. 巳知a 0, b 0, 1 1 求证 : ( a b)( ) 4. a b
2. 巳知a, b, c均为正数,求证: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc
例2
求证：（1）在所有周长相同的矩形 中，正方形的面积最大；（2）在所有面 积相同的矩形中，正方形的周长最短。
sin x 2 （0 x ） 3 求y 2 sin x 的最小值。
注意:利用算术平均数和集合平均 数定理时一定要注意定理的条件: 一正;二定;三相等.有一个条件达不 到就不能取得最值.
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
1 1 1 1 解析：若 a<b 且 a>0，b>0，则a>b⇒－a<－b， 1 1 1 1 ∴a－a<b－b.若 a－a<b－b，且 a>0，b>0⇒ a2b－b<ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a<0，ab(a－b)＋(a－b) <0⇒(a－b)(ab＋1)<0⇒a－b<0⇒a<b.
答案：C
[研一题]
的一个新亮点．
[考题印证] (2012· 湖南高考)设 a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
c c ①a>b；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)． 其中所有的正确结论的序号是 A．① C．②③ B．①② D．①②③ ( )
[命题立意]本题考查不等式性质在比较实数大小中的
应用．
2
[例 2]
[研一题] 下列命题中正确的是
(
)
(1)若 a＞b，c＞b，则 a＞c； a (2)若 a＞b，则 lgb＞0； (3)若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd； 1 1 (4)若 a＞b＞0，则a<b； a b (5)若 c＞d，则 ad＞bc；
(6)若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c. A．(1)(2) C．(3)(6) B．(4)(6) D．(3)(4)(5)
(3)错误．此命题当 a、b、c、d 均为正数时才正确． (4)正确．因为 a＞b，且 a、b 同号， 1 1 1 所以 ab＞0，两边同乘以ab，得a＜b. (5)错误．只有当 cd＞0 时，结论才成立． (6)正确．因为 c＞d，所以－d＞－c，又 a＞b， 所以 a－d＞b－c.综上可知(4)(6)正确．
a 3 b 2 又∵ y＝ ＝－1，x＝ ＝－1， －3 －2 a b ∴y ＝x，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④恒成立． 即恒成立的不等式有②④.
2新人教A版高中数学(选修4-5)《基本不等式》ppt课件
2
基本不等式
我们已 经 学 过 重 要 不等式 a b 2ab2 Nhomakorabea2
a, b R , 为了方便同学们学习下面将它 ,
以定理的形式给出并给出证明 , .
定理1
如果 a, b R, 那么a b 2ab, 当
2
2
且仅当a b时, 等号成立 .
证明 因为 a b 2 ab a b 0 , 当且仅
2 2 2
a b 时等号成立 成立 .
, 所以 , 当且仅当 a b 时 , 等号
探究 你能从几何的角度解释 定理1 吗?
A
如果把实数 , b作为线段 a 长度那么可以这样来解 释定理1 :
借助几何画板 解释定理1 .
B H
I
K
b
D
G
F
a
b
J
a
C
b
E
图 1 .1 2
以 a b 为例 , 如图 1 . 1 2 , 在正方形 a ; 在正方形 S 正方形
1设总造价为S元, AD长为x米, 试建立S关于x的函数
关系式;
2 当x为何值时S最小, 并求出这个最小值 .
解
2
1 设 DQ
y米 , 则
D
2
H
Q
G
x 4 xy 200 ,
从而 y 200 x 4x
2
P
N F
C B
A
M E
.
于是
2
S 4200 x 210 4 xy 80 2 y
C B
M E
2 4000 x
400000 x
2
80000 ,
基本不等式
我们已 经 学 过 重 要 不等式 a b 2ab2 Nhomakorabea2
a, b R , 为了方便同学们学习下面将它 ,
以定理的形式给出并给出证明 , .
定理1
如果 a, b R, 那么a b 2ab, 当
2
2
且仅当a b时, 等号成立 .
证明 因为 a b 2 ab a b 0 , 当且仅
2 2 2
a b 时等号成立 成立 .
, 所以 , 当且仅当 a b 时 , 等号
探究 你能从几何的角度解释 定理1 吗?
A
如果把实数 , b作为线段 a 长度那么可以这样来解 释定理1 :
借助几何画板 解释定理1 .
B H
I
K
b
D
G
F
a
b
J
a
C
b
E
图 1 .1 2
以 a b 为例 , 如图 1 . 1 2 , 在正方形 a ; 在正方形 S 正方形
1设总造价为S元, AD长为x米, 试建立S关于x的函数
关系式;
2 当x为何值时S最小, 并求出这个最小值 .
解
2
1 设 DQ
y米 , 则
D
2
H
Q
G
x 4 xy 200 ,
从而 y 200 x 4x
2
P
N F
C B
A
M E
.
于是
2
S 4200 x 210 4 xy 80 2 y
C B
M E
2 4000 x
400000 x
2
80000 ,
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 1 不等式的基本性质课件 新人教A版选修4-5
探究二 不等式性质的简单应用
[例 2] 若 a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是( )
A.1a<1b，
B．a2>b2
C.c2＋a 1＞c2＋b 1
D．a|c|>b|c|
[解析] 选项 A，还需有 ab>0 这个前提条件；选项 B，当 a，b 都为负数或一正
一负时都有可能不成立，如 2>－3，但 22>(－3)2 不正确；选项 C，c2＋1 1>0，因而
)
A．2 x
B．x＋1
1 C.1－x
D．无法确定
解析：∵0<x<1，x＋1－2 x＝( x－1)2>0， ∴x＋1>2 x. 又1－1 x－(x＋1)＝1－x2x>0，
∴1－1 x>x＋1. 答案：C
∴2 x，x＋1，1－1 x三个数中最大的是1－1 x.
4．已知 a＋b>0，则ba2＋ab2与1a＋1b的大小关系是________． 解析：ba2＋ab2－1a＋1b＝a－b2 b＋b－a2 a ＝(a－b)b12－a12＝a＋ba2ba2－b2. ∵a＋b>0，(a－b)2≥0.
探究一 作差法比较大小 [例 1] 若 x∈R，试比较(x＋1)x2＋x2＋1 与x＋12(x2＋x＋1)的大小．
[解析] ∵(x＋1)x2＋x2＋1＝(x＋1)x2＋x＋1－x2 ＝(x＋1)(x2＋x＋1)－x2(x＋1)． x＋12(x2＋x＋1)＝x＋1－12(x2＋x＋1) ＝(x＋1)(x2＋x＋1)－12(x2＋x＋1)． ∴(x＋1)x2＋x2＋1－x＋12(x2＋x＋1)
＝(x＋1)(x2＋x＋1)－x2(x＋1)－(x＋1)(x2＋x＋1)＋12(x2＋x＋1) ＝12(x2＋x＋1)－12(x2＋x) ＝12>0. ∴(x＋1)x2＋x2＋1>x＋12(x2＋x＋1)．
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
[通一类] x 1 2 2 1．x∈R，比较(x＋1)(x ＋ ＋1)与(x＋ )· ＋x＋1)的大小． (x 2 2 x x 2 2 解：因为(x＋1)(x ＋ ＋1)＝(x＋1)· ＋x＋1－ )＝(x＋ (x 2 2
x 1)(x ＋x＋1)－ (x＋1)， 2
2
1 2 1 2 (x＋ )(x ＋x＋1)＝(x＋1－ )(x ＋x＋1) 2 2 1 2 ＝(x＋1)(x ＋x＋1)－ (x ＋x＋1)． 2
的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化 出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”， 即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．
[通一类] 3．若已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,
3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．
解：法一：∵f(x)过原点，∴可设 f(x)＝ax2＋bx.
的一个新亮点．
[考题印证] (2012· 湖南高考)设 a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
c c ①a>b；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)． 其中所有的正确结论的序号是 A．① C．②③ B．①② D．①②③ ( )
[命题立意]本题考查不等式性质在比较实数大小中的
应用．
2
[例 2]
[研一题] 下列命题中正确的是
(
)
(1)若 a＞b，c＞b，则 a＞c； a (2)若 a＞b，则 lgb＞0； (3)若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd； 1 1 (4)若 a＞b＞0，则a<b； a b (5)若 c＞d，则 ad＞bc；
(6)若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c. A．(1)(2) C．(3)(6) B．(4)(6) D．(3)(4)(5)
1.1.2.基本不等式 课件(人教A选修4-5)
a＋b 如果 a，b 都是正数，我们就称 2 为 a，b 的算术平均，
ab 为 a，b 的几何平均．
4．利用基本不等式求最值 对两个正实数 x，y， (1)如果它们的和 S 是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的 积 P 取得最 大 值； (2)如果它们的积 P 是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的 和 S 取得最 小 值．
行证明．
(2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同 向不等式的可加性或可乘性得出所证的不等式，要注意不 等式性质的使用条件，对“当且仅当……时取等号”这句话 要搞清楚．
[通一类] 1．设a，b，c∈R＋，
求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
证明：∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2. 又 a，b，c∈R＋， ∴ a2＋b2≥
每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平
均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元． (1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付 的总费用最少？ (2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此 优惠条件？请说明理由．
2
2 2 |a＋b|＝ (a＋b)． 2 2
2
2 2 2 2 同理： b ＋c ≥ (b＋c)， c ＋a ≥ (a＋c)． 2 2
三式相加， 得 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
当且仅当 a＝b＝c 时取等号.
[研一题]
[例 2] 1 9 已知 x＞0，y＞0，且x＋y＝1，
[精讲详析]
本题考查基本不等式在证明不等式中的应
用，解答本题需要分析不等式的特点，先对a＋b，b＋c，c＋ a分别使用基本不等式，再把它们相乘或相加即可．
人教数学选修4-5全册精品课件：第一讲一2.基本不等式第一课时
即：a4＋b4＋c4≥a2b2＋a2c2＋b2c2.
(2)∵当 a>0，b>0 时 a＋b≥2 ab， bc ac ∴ ＋ ≥2 a b bc ac · ＝2c. a b bc ab · ＝2b. a c
bc ab 同理： ＋ ≥2 a c ac ab ＋ ≥2 b c
ac ab · ＝2a. b c
2．基本不等式
第一课时
学习目标
第 一 课 时
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标 1.理解并掌握基本不等式的结构和成立的条
件，及它的几种变形形式和公式的逆运用；
2．利用基本不等式比较大小，证明不等式．
课前自主学案
1．对于任意实数a都有a2≥ __0；当且仅当a＝ __时等号成立； 0
2．对于任意实数a，b都有a2＋b2__2ab，当 ≥ 且仅当____时等号成立； a＝b
2
2
3 3
【错因】 审题出错，a，b，c不全相等与a， b，c各不相等混淆．三式相乘的条件不充 分．
【自我校正】 ∵a，b，c 是不全相等 的三个正数， ∴a2b＋b2a≥2 a3b3>0； a2c＋c2a≥2 a3c3>0； b2c＋c2b≥2 b3c3>0. 在以上三个不等式中至少有一个不取等 号． ∴将以上三个不等式相乘可得 (a2b＋b2a)(a2c＋c2a)(b2c＋c2b)>8a3b3c3.
课堂互动讲练
考点突破 利用基本不等式比较大小
例1 若 0<a<1,0<b<1，且 a≠b，则 a＋
b，2 ab，2ab，a ＋b 中最大的是( A．a2＋b2 C．2ab B．2 ab D．a＋b
2
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
[通一类] x 1 2 2 1．x∈R，比较(x＋1)(x ＋ ＋1)与(x＋ )· ＋x＋1)的大小． (x 2 2 x x 2 2 解：因为(x＋1)(x ＋ ＋1)＝(x＋1)· ＋x＋1－ )＝(x＋ (x 2 2
x 1)(x ＋x＋1)－ (x＋1)， 2
2
1 2 1 2 (x＋ )(x ＋x＋1)＝(x＋1－ )(x ＋x＋1) 2 2 1 2 ＝(x＋1)(x ＋x＋1)－ (x ＋x＋1)． 2
f1＝a＋b， ∴ f－1＝a－b.
1 a＝2[f1＋f－1]， ∴ b＝1[f1－f－1]. 2 ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． ∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4. ∴6≤f(－2)≤10.
法二：设 f(x)＝ax2＋bx， 则 f(1)＝a＋b，f(－1)＝a－b. 令 m(a＋b)＋n(a－b)＝f(－2)＝4a－2b，
[精讲详析] 本题考查对不等式的性质的理解， 解答本题 需要利用不等式的性质或利用特殊值逐项判断． (1)错误．因为当取 a＝4，b＝2，c＝6 时，有 a＞b，c＞ b 成立，但 a＞c 不成立． a (2)错误．因为 a、b 符号不确定，所以无法确定b＞1 是 a 否成立，从而无法确定 lgb＞0 是否成立．
[例 3] 已知 60＜x＜84,28＜y＜33.求 (1)x－y 的取值范围； x (2)y 的取值范围． [精讲详析] 本题考查不等式性质的灵活应用． 解答问
题(1)需要先求出－y 的取值范围，然后利用不等式的同向 1 可加性解决； 解答问题(2)需要先求出y 的取值范围， 然后利 用不等式的有关性质求解．
2
1 1 2 ∴作差，得(x＋1)(x ＋ x＋1)－(x＋ )(x ＋x＋1) 2 2
5.3证明不等式的基本方法1 课件(人教A版选修4-5)
注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不 明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径. 另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这 样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通! （如课本第 24 页例 3） 练习：P26 3，5, 9
思考一：已知 a , b 是正数，且 a b ，求证：a 3 b 3 a 2 b ab 2
f (x) x 2 (1 x 1 )(1 x 2 )
,∴ f ( x1 )
ab abm b
f ( x2 ) 0
,
在 [ 0 , ) 为增函数.
⑵∵在△ABC 中有 a + b > c>0,∴ f(a + b)>f(c)，即 又∵ a，b R ，∴
例题 2.(课本第 25 页例 4) 已知 a , b , c
0 , 求证:
a b b c c a
2 2 2 2 2 2
abc
≥ abc
.
证明不等式的常用的方法有: 比较法、综合法、分析法，它们各有其 优点.解题有法，但无定法，具体运用时，应 该对具体问题的特点作具体分析，选择合适 的方法.当问题比较复杂时,通常用分析法寻 找证明的思路,而用综合法来叙述、表达整个 证明过程.
1答案
2答案
已知
f ( x ) x px q
2
，求证：|
f (1) |, | f ( 2 ) |, | f ( 3 ) | 中至少有
一个不小于 .
2 1 分析：设 | f (1) |, | f ( 2 ) |, | f ( 3 ) | 中没有一个大于或等于 2
1
，
观察： f (1) 1 p q , f ( 2 ) 4 2 p q , f ( 3 ) 9 3 p q 得： f (1) 2 f ( 2 ) f ( 3 ) 2 所以 2= | f (1) 2 f ( 2 ) f ( 3 ) | ≤ | f (1) | 2 | f ( 2 ) | | f ( 3 ) | <
思考一：已知 a , b 是正数，且 a b ，求证：a 3 b 3 a 2 b ab 2
f (x) x 2 (1 x 1 )(1 x 2 )
,∴ f ( x1 )
ab abm b
f ( x2 ) 0
,
在 [ 0 , ) 为增函数.
⑵∵在△ABC 中有 a + b > c>0,∴ f(a + b)>f(c)，即 又∵ a，b R ，∴
例题 2.(课本第 25 页例 4) 已知 a , b , c
0 , 求证:
a b b c c a
2 2 2 2 2 2
abc
≥ abc
.
证明不等式的常用的方法有: 比较法、综合法、分析法，它们各有其 优点.解题有法，但无定法，具体运用时，应 该对具体问题的特点作具体分析，选择合适 的方法.当问题比较复杂时,通常用分析法寻 找证明的思路,而用综合法来叙述、表达整个 证明过程.
1答案
2答案
已知
f ( x ) x px q
2
，求证：|
f (1) |, | f ( 2 ) |, | f ( 3 ) | 中至少有
一个不小于 .
2 1 分析：设 | f (1) |, | f ( 2 ) |, | f ( 3 ) | 中没有一个大于或等于 2
1
，
观察： f (1) 1 p q , f ( 2 ) 4 2 p q , f ( 3 ) 9 3 p q 得： f (1) 2 f ( 2 ) f ( 3 ) 2 所以 2= | f (1) 2 f ( 2 ) f ( 3 ) | ≤ | f (1) | 2 | f ( 2 ) | | f ( 3 ) | <
第一讲 不等式和绝对值不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法
如下：
(1)分离参数法：
运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立
中的参数范围问题．
(2)更换主元法：
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常 困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，
常可得到简捷的解法．
5 ②当－ ≤x≤2 时， 2 3 原不等式变形为 2－x－2x－5>2x，解得 x<－ . 5 5 3 ∴解集为{x|－ ≤x<－ }． 2 5 ③当 x>2 时，原不等式变形为 x－2－2x－5>2x， 7 解得 x<－ ，∴原不等式无解． 3 3 综上可得，原不等式的解集为{x|x<－ }. 5
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝ －2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
[解析]
x＋3z 由 x－2y＋3z＝0 得 y＝ ， 2
2 2 y2 x ＋9z ＋6xz 6xz＋6xz 则xz＝ ≥ ＝3， 4xz 4xz
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
[答案]
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 [例 3] 设 a， c 为正实数， b， 求证：3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 1 [证明]因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3＋ a
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
12 3 3 ∵x －x＋1＝(x－ ) ＋ ≥ ＞0， 2 4 4
2
∴当 x＞1 时，(x－1)(x2－x＋1)＞0. 即 x3－1＞2x2－2x； 当 x＝1 时，(x－1)(x2－x＋1)＝0， 即 x3－1＝2x2－2x； 当 x＜1 时，(x－1)(x2－x＋1)＜0， 即 x3－1＜2x2－2x.
[悟一法]
运用不等式的性质时要注意条件，如倒数法则要求两数 同号；两边同乘一个数，不等号方向是否改变要视此数的正 负而定；同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．
[通一类]
1 2．(2011· 广州二模)设 a，b 为正实数，则“a<b”是“a－a 1 <b－b成立的” A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分又不必要条件 ( )
a 3 b 2 又∵ y＝ ＝－1，x＝ ＝－1， －3 －2 a b ∴y ＝x，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④恒成立． 即恒成立的不等式有②④.
c d 2．已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，a－b＞0(其中 a，b， c，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个 不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题有几个？
(3)错误．此命题当 a、b、c、d 均为正数时才正确． (4)正确．因为 a＞b，且 a、b 同号， 1 1 1 所以 ab＞0，两边同乘以ab，得a＜b. (5)错误．只有当 cd＞0 时，结论才成立． (6)正确．因为 c＞d，所以－d＞－c，又 a＞b， 所以 a－d＞b－c.综上可知(4)(6)正确．
[例 3] 已知 60＜x＜84,28＜y＜33.求 (1)x－y 的取值范围； x (2)y 的取值范围． [精讲详析] 本题考查不等式性质的灵活应用． 解答问
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
a 3 b 2 又∵ y＝ ＝－1，x＝ ＝－1， －3 －2 a b ∴y ＝x，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④恒成立． 即恒成立的不等式有②④.
c d 2．已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，a－b＞0(其中 a，b， c，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个 不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题有几个？
[悟一法] (1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一
结论”的程序进行，即：作差 → 变形 → 定号 → 结论 ，其中 变形是关键，定号是目的． (2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判 断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理 化等． (3)在定号中， 若为几个因式的积， 需每个因式均先定号， 当符号不确定时，需进行分类讨论．
(3)错误．此命题当 a、b、c、d 均为正数时才正确． (4)正确．因为 a＞b，且 a、b 同号， 1 1 1 所以 ab＞0，两边同乘以ab，得a＜b. (5)错误．只有当 cd＞0 时，结论才成立． (6)正确．因为 c＞d，所以－d＞－c，又 a＞b， 所以 a－d＞b－c.综上可知(4)(6)正确．
∵28＜y＜33， 1 1 1 ∴－33＜－y＜－28， ＜y ＜ . 33 28 60 x 84 又 60＜x＜84，∴27＜x－y＜56， ＜y ＜ . 33 28 20 x 即 ＜ y＜3. 11
[悟一法] 本题不能直接用 x 的范围去减或除 y 的范围，应严格利用
不等式的基本性质去求得范围，其次在有些题目中，还要注意 整体代换的思想， 即弄清要求的与已知的“范围”间的联系． 如 已知 20＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，要求 2x＋3y 的范围，不能 分别求出 x，y 的范围，再求 2x＋3y 的范围，应把已知的“x 5 1 ＋y”“x－y”视为整体，即 2x＋3y＝ (x＋y)－ (x－y)，所以 2 2 5 1 需分别求出 (x＋y)、－ (x－y)的范围，两范围相加可得 2x＋3y 2 2
5.1不等式的基本性质 课件(人教A版选修4-5)
(开方法则)
性质是求解和证明不等式的基础. 例1(1) 已知a > b, c < d , 求证：a-c > b-d (2) 已知a>b> 0,c>d>0, 求证:ac>bd
c c (3) 已知a>b> 0, c <0, 求证： a b
1 1 思考 已知 a>b, 试判断 与 的大小关系. a b 1 1 性质 a b, ab 0 ; a b 1 1 a b, ab 0 . a b
(1) a b b a (对称性) (2) a b, b c a c (传递性) (3) a b a c b c (加法法则) (i ) a b c a c b.
(ii ) a b, c d a c b d
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也已知a > 0，a2-2ab+c2 =0，bc>a2，试 比较a、b、c的大小。
1. 设a, b是两个实数,它们在数轴上所对应 的点分别为A, B，那么, 当点A在点B的左 边时, a<b; 当点A在点B的右边时, a>b。 A a a< b B b
x
B b a>b
A a
x
2. 关于实数a, b的大小关系，有以下事实：
a b ab0 a b ab0 a b ab0
c 例2 已知a>b>c,且a+b+c =0, 则 的取值 a (-2,-0.5) 范围是___________。 思考 已知 f(x) =ax2 +c,且 - 4≤f(1)≤ -1， -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。 [-1, 20] 练习 1.对于实数a, b, c，给出下列命题: (1)若a>b,则ac2>bc2; (2)若ac2>bc2,则a>b; (3)若a>b,c<d,则a+c<b+d; (4)若a>b,c>d,则ac>bd; (5)若a<b<0,则 a2>ab>b2 (2) 、(5) 其中,正确命题的序号是________________.
性质是求解和证明不等式的基础. 例1(1) 已知a > b, c < d , 求证：a-c > b-d (2) 已知a>b> 0,c>d>0, 求证:ac>bd
c c (3) 已知a>b> 0, c <0, 求证： a b
1 1 思考 已知 a>b, 试判断 与 的大小关系. a b 1 1 性质 a b, ab 0 ; a b 1 1 a b, ab 0 . a b
(1) a b b a (对称性) (2) a b, b c a c (传递性) (3) a b a c b c (加法法则) (i ) a b c a c b.
(ii ) a b, c d a c b d
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也已知a > 0，a2-2ab+c2 =0，bc>a2，试 比较a、b、c的大小。
1. 设a, b是两个实数,它们在数轴上所对应 的点分别为A, B，那么, 当点A在点B的左 边时, a<b; 当点A在点B的右边时, a>b。 A a a< b B b
x
B b a>b
A a
x
2. 关于实数a, b的大小关系，有以下事实：
a b ab0 a b ab0 a b ab0
c 例2 已知a>b>c,且a+b+c =0, 则 的取值 a (-2,-0.5) 范围是___________。 思考 已知 f(x) =ax2 +c,且 - 4≤f(1)≤ -1， -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。 [-1, 20] 练习 1.对于实数a, b, c，给出下列命题: (1)若a>b,则ac2>bc2; (2)若ac2>bc2,则a>b; (3)若a>b,c<d,则a+c<b+d; (4)若a>b,c>d,则ac>bd; (5)若a<b<0,则 a2>ab>b2 (2) 、(5) 其中,正确命题的序号是________________.
5.5基本不等式1(1) 课件(人教A版选修4-5)
24 2. 巳知x 0, 则6x 的最小值是____, x 此时x=_____.
3. 巳知x, y都是正数, x y 求证: 2. y x
4.证明
（1）lg x logx 10 2 ( x 1) 证：∵ x 1 于是 ∴ lg x 0
logx 10 0
lg x logx 10 2 lg x lg x 10 2
2、用极值定理求最值的三个必要条
件：一“正”、二“定”、三“相等”
a+b 由公式a +b 2ab, 2 可得以下结论：
2 2
ab
a b (1) 2( a、b同号)； b a a b （2） 2( a、b异号)。 b a
练习2
1.巳知x>0,y>0且xy=100,则x+y的最小 值 是 _______,此时x=___,y= _____
sin x 2 （0 x ） 3 求y 2 sin x 的最小值。
注意:利用算术平均数和集合平均 数定理时一定要注意定理的条件: 一正;二定;三相等.有一个条件达不 到就不能取得最值.
练习4
求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值.
例5.
1、已知 求
a, b, x, y R 且
1 2 a 2
a
思考 1
当a 0, b 0, 在a b 2ab中
2 2
以 a, b分别代替a,b能得到什么结果?
a b 2 ab
基本不等式
定理２（均值定理）
如果 a , b 是正数，那么
ab
(当且仅当 a b 时取“ = ”号）．
ab 2
5.5.1利用平均不等式求最大(小)值 课件(人教A版选修4-5)
1 例2 求函数f ( x ) x (1 3 x ) , x [0, ] 的最大值. 3
2
1. 若n个正数的和是一个常数,那么当且 仅当这n个正数相等时,它们的积有最大值.
简称：和定积最大 2. 高次函数造和定
3 36 3 2 2 1.函数y 2 x ( x 0)的最小值为 ____ . x 16 2 2.函数y 4 x 2 的最小值是 ____ 8 2 ( x 1) 1 3 3.若a , b R 且a b, 则a 最小值为 __ (a - b)b 4 2 4.函数y x (2 x )(0 x 2)的最大值是 （ D） 32 16 A、0 B、1 C、 27 D、27
9 9 1 y 4 x 2 2 4 x 2 12 x x x
1. 若n个正数的积是一个常数,那么当且仅 当这n个正数相等时,它们的和有最小值. 简称：积定和最小
2. 应用定理时需注意 “一正二定三相等” 这三个条件缺一不可;不可直接利用定理时， 要善于转化; 分式函数造积定的策略:均分.
9 例1 求函数 y 4 x 2 ( x 0) 的最小值． x 9 解：由 x 0 知 x 0, 2 0 ，则 x
9 9 9 3 3 2x 2x y 4x 2 2x 2x 2 3 3 36 2 x x x 9 9 由2 x 2 及x 0, 得x 3 x 2
当x
3
9 3 时, ymin 3 36 . 2
9 例1 求函数 y 4 x 2 ( x 0) 的最小值． x
下面解法是否正确？为什么？
9 解法1：由 x 0 知 x 0, 2 0 ，则 x
9 9 9 y 4 x 2 x 3x 2 33 x 3x 2 9 x x x
5.3证明不等式的基本方法(1) 课件(人教A版选修4-5)
2 2
2
ab b ) 0
2
即： 5 b 5 a 2 b 3 a 3 b 2 a 本题变形的方法— 因式分解法
例4
比较a
a
b 和 a
b
b
b 的
a
例5.甲、乙两人同时同地沿同一线路走到同一地点。甲有一半 时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以 速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m≠n，问甲、乙 两人谁先到达指定地点。
例2.已知 a , b , m 都是正数，并且 a b , 求证
证明：
a m b m a b
b ( a m ) a (b m ) b (b m )
a m b m
a b
m (b a ) b (b m )
∵ a , b , m 都是正数， 并且 a b ,
ab>0a>b，ab<0a<b，ab=0a=b
•
比较法是证明不等式的一种最基本、
最重要的一种方法，用比较法证明不等 式的步骤是： • 作差—变形—判断符号—下结论。 • 作商—变形—与1比较大小---下结论。 • 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行 恒等变形。
6.3 不等式的证明（1)--比较法 例1.求证： 3 3 x x
b ) b (a
2 3 3
(a
2
b )( a
b ) ( a b )( a b ) ( a
ab b )
2
都是正数， ∴ a b 0 , a 2 a b b 2 0 ∵ a,b 又∵ a b , ( a b ) 0
( a b )( a b ) ( a
2
ab b ) 0
2
即： 5 b 5 a 2 b 3 a 3 b 2 a 本题变形的方法— 因式分解法
例4
比较a
a
b 和 a
b
b
b 的
a
例5.甲、乙两人同时同地沿同一线路走到同一地点。甲有一半 时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以 速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m≠n，问甲、乙 两人谁先到达指定地点。
例2.已知 a , b , m 都是正数，并且 a b , 求证
证明：
a m b m a b
b ( a m ) a (b m ) b (b m )
a m b m
a b
m (b a ) b (b m )
∵ a , b , m 都是正数， 并且 a b ,
ab>0a>b，ab<0a<b，ab=0a=b
•
比较法是证明不等式的一种最基本、
最重要的一种方法，用比较法证明不等 式的步骤是： • 作差—变形—判断符号—下结论。 • 作商—变形—与1比较大小---下结论。 • 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行 恒等变形。
6.3 不等式的证明（1)--比较法 例1.求证： 3 3 x x
b ) b (a
2 3 3
(a
2
b )( a
b ) ( a b )( a b ) ( a
ab b )
2
都是正数， ∴ a b 0 , a 2 a b b 2 0 ∵ a,b 又∵ a b , ( a b ) 0
( a b )( a b ) ( a
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2、用极值定理求最值的三个必要条
件：一“正”、二“定”、三“相等”
a+b 由公式a +b 2ab, 2 可得以下结论：
2 2
ab
a b (1) 2( a、b同号)； b a a b （2） 2( a、b异号)。 b a
练习2
1.巳知x>0,y>0且xy=100,则x+y的最小 值 是 _______,此时x=___,y= _____
≤ （2） x log x 10 ？ 2 (0 x 1) lg __ 解：∵ 0 x 1
lg x 0 logx 10 0
于是 ( lg x) ( logx 10) 2 从而 lg x logx 10 2
1 5、求函数y x 的值域. x 解: 1 1 (1)当x 0时, x 2 x 2 x x 1 (2)当x 0时, x, R , x 1 1 x 2 ( x) ( ) 2 x x 1 x 2 y (,2] [2,). x
概念
ab 2
为ａ、ｂ
• 的算术平均数， ab 称为ａ、ｂ的几何平均数。
均值定理可以描述为：
两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于） 它们的几何平均数
均值定理的 几何意义
C
ab ab 2 2
OC CD
ab 2
ab ab
ab
A
a
.o
D
D
B
半径不小于半弦
E
思考 2
当且仅当
a b时
ab 2
b2 (2)已知:a, b R , 且a 2 1, 求a 1 b 2 的最大值. 2 1 1 (3)设 为锐角,求(sin )(cos )的最小值. sin cos
作业
课本作业；P1０
５、６
1 例3. 若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时 x x 1
有最小值，最小值为几？
解：∵x 1Fra bibliotek∴x 1 0
1 0 x 1
1 1 1 1 2 ( x 1) 1 2 1 1 ∴x = x 1 x 1 x 1 x 1
1 1 当且仅当 x 1 x x 1 即 x 0 时 x 1 有最小值1
2
∴
x y 2 P
∵上式当 x y 时取“=”
x ∴当
1 2 xy ∵上式当 x y 时取“=” ∴当 x y 时， 有最大值 4 S
S 2当 x y S (定值)时， xy 2
y 时， x y 有最小值2 P
1 2 ∴ xy S 4
注意：
1、最值的含义（“≥”取最小 值，“≤”取最大值）
即(ab cd )(ac bd ) 4abcd
练习1
1. 巳知a 0, b 0, 1 1 求证 : ( a b)( ) 4. a b
2. 巳知a, b, c均为正数,求证: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc
例2
求证：（1）在所有周长相同的矩形 中，正方形的面积最大；（2）在所有面 积相同的矩形中，正方形的周长最短。
a b c ab bc ca
2 2 2
1 a b c 2ab 2bc 2ca
2 2 2
3ab 3bc 3ca
1 ab bc ca 3
注意:本题条件a,b,c为实数
练习5
1 9 (1)已知:x, y R , 且 1, 求x y的最小值. x y
sin x 2 （0 x ） 3 求y 2 sin x 的最小值。
注意:利用算术平均数和集合平均 数定理时一定要注意定理的条件: 一正;二定;三相等.有一个条件达不 到就不能取得最值.
练习4
求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值.
例5.
1、已知 求
a, b, x, y R 且
ab ab 2
重要不等式
a, b R ，那么 2 2 a b 2ab （当且仅当 a b 时取“=”
定理１：如果 号）．
我们可以用比较法证明．
探究
• 你能从几何的角度解释定理１吗？ • 几何解释１－课本第五页．
几 何 解 释 ２
a 2 b2
b
a
动画
几何解释３
a
b
1 2 b 2
（２）已知
a, b, c, d
都是正数，求证
(ab cd )(ac bd ) 4abcd
证明：由 a, b, c, d 都是正数，得
ac bd ab cd ac bd 0 ab cd 0 2 2 (ab cd )(ac bd ) abcd 4
1 2 a 2
a
思考 1
当a 0, b 0, 在a b 2ab中
2 2
以 a, b分别代替a,b能得到什么结果?
a b 2 ab
基本不等式
定理２（均值定理）
如果 a , b 是正数，那么
ab
(当且仅当 a b 时取“ = ”号）．
ab 2
• 如果ａ、ｂ都是正数，我们就称
ab
中的“ = ”号成立．
这句话的含义是:
当 ab 当
ab ab a b 2
ab ab 2
思考 3
ab a b 2ab 和 2
2 2
ab
成立的条件相同吗？
2 2
如：1) (5) 2 (1) (5)成立， ( (1) (5) 而 (1) (5) 不成立。
24 2. 巳知x 0, 则6x 的最小值是____, x 此时x=_____.
3. 巳知x, y都是正数, x y 求证: 2. y x
4.证明
（1）lg x logx 10 2 ( x 1) 证：∵ x 1 于是 ∴ lg x 0
logx 10 0
lg x logx 10 2 lg x lg x 10 2
练习3
1 1、求函数y= x的最小值( x 3)； x-3 2 x 8 2、求函数y= 的值域. x 1 4 3、求证 a 7(其中a 3) a 3
已知０＜ｘ＜１，求ｘ（１－ｘ）的最大 值．
例4
12 1 若x 0, 求f ( x) 3x的最小值； x 12 (2)若x 0, f ( x) 3 x的最大值。 x
的最小值
x y
a b 1， x y
a b ay xb x 解： y ( x y) 1 ( x y)( ) a b x y x y
ay xb 2 ab2 ( a b) x y
ay xb 当且仅当 x y
即
x a 时 y b
2
x y取最小值( a b )
2、已知 : a b c 1
1 求证： ab bc ca 3
证明：
a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca
a b c 1 2 (a b c)
1 2 2 a b 2ab 2 2 b c 2bc c 2 a 2 2ca
2
a，b R a b 2ab 成立的条件_______
2 2
ab 2
a，b R ab 成立的条件______
典例探讨
例1 求证：
（1）a b c ab bc ac
2 2 2
变式: 求证:2a +2b +2c 2ab 2bc 2ca
2 2 2
变形.
已知
x, y 都是正数，求证：
1 如果积
xy
是定值 P, 那么当 x y 时,和 x y
有最小值 2 P 2 如果和 x y 是定值
S , 那么当 x y 时,积
xy
1 2 S 有最大值 4 证：∵ x, y R ∴ x y xy
x 1当 xy P （定值）时， y P 2