高一数学必修4第二章测试题

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高中数学第二章平面向量 2.1向量的加法新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题

§2 从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法,)1．问题导航(1)任意两个向量都可以应用向量加法的三角形法则吗？(2)向量加法的三角形法则与平行四边形法则的使用条件有何不同？2．例题导读教材P77例1，例2，P78例3.通过此三例的学习，熟悉向量加法运算，学会利用向量加法解决实际生活问题．试一试：教材P81习题2－2 B组T1，T2，T3你会吗？1．向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法法则三角形法则前提已知向量a，b，在平面内任取一点A 作法作AB→＝a，BC→＝b，再作向量AC→结论向量AC→叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→图形平行四边形法则前提已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O 作法以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB 结论对角线OC→就是a与b的和图形规定零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝a. 2．向量加法的运算律运算律交换律 a ＋b ＝b ＋a结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量．( )(2)|a ＋b |≤|a |＋|b |等号成立的条件是a ∥b .( )(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( ) 解析：(1)正确．根据向量和的定义知该说法正确． (2)错误．条件应为a ∥b ，且a ，b 的方向相同．(3)错误．当两个向量共线时，两向量的和向量与这两个向量中的任意一个都共线．答案：(1)√ (2)× (3)×2．若a ，b 为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A ．若向量a 与b 方向相反，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同B ．若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同C ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与a 的方向相同D ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与b 的方向相同解析：选B.因为a 与b 方向相反，|a |<|b |，所以a ＋b 与a 的方向相反，故B 不正确． 3．化简下列各向量： (1)AB →＋BC →＝________． (2)PQ →＋OM →＋QO →＝________．解析：根据向量加法的三角形法则及运算律得： (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)PQ →＋OM →＋QO →＝PQ →＋QO →＋OM →＝PO →＋OM →＝PM →.答案：(1)AC → (2)PM →4．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________．解析：由向量加法的三角形法则，得AB →＋BC →＝AC →，即a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋CA →＝0. 答案：01．对向量加法的三角形法则的四点说明 (1)适用X 围：任意向量．(2)注意事项：①两个向量一定首尾相连；②和向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点． (3)方法与步骤：第一步，将b (或a )平移，使一个向量的起点与另一个向量的终点相连；第二步：将剩下的起点与终点用有向线段相连，且有向线段的方向指向终点，则该有向线段表示的向量即为向量的和．也称“首尾相连，连首尾”．(4)图示：如图所示2．对向量加法的平行四边形法则的四点说明 (1)适用X 围：任意两个非零向量，且不共线．(2)注意事项：①两个非零向量一定要有相同的起点； ②平行四边形中的一条对角线所对应的向量为和向量．(3)方法与步骤：第一步：先把两个已知向量a 与b 的起点平移到同一点；第二步：以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则两邻边所夹的对角线所表示的向量即为a 与b 的和．(4)图示：如图所示已知向量作和向量如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b ＋c .(教材P 81习题2－2 A 组T 3)[解] 法一：如图(1)，在平面内作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ；再作BC →＝c ，则OC →＝a ＋b ＋c .法二：如图(2)，在平面内作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 与OB 为邻边作平行四边形OADB ，则OD →＝a ＋b ；再作OC →＝c ，以OD 与OC 为邻边作平行四边形ODEC ，则OE →＝a ＋b ＋c .方法归纳已知向量求作和向量的方法(1)用三角形法则，在平面内任取一点，顺次作两个向量等于已知向量，从起点到终点的向量就是两个向量的和．(2)用平行四边形法则，在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以它们为邻边作平行四边形，共起点的对角线对应的向量就是这两个向量的和．1．(1)如图所示，已知向量a 和b ，求作a ＋b .(2)如图，已知a ，b ，c 三个向量，试求作和向量a ＋b ＋c .解：(1)法一：(三角形法则)如图所示．①在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ；②连接OB ，则OB →＝a ＋b .法二：(平行四边形法则)如图所示．①在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ；②以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b .(2)作出来的和向量如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ，然后作向量BC →＝c ，则向量OC →即为所求．向量的加法运算(1)下列等式不正确的是( )①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →＝0；③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A ．②③ B ．② C ．① D ．③(2)设A ，B ，C ，D 是平面上任意四点，试化简： ①AB →＋CD →＋BC →； ②DB →＋AC →＋BD →＋CA →.(教材P 81习题2－2A 组T 5(1)(2))[解] (1)选B.由向量的加法满足结合律知①正确；因为AB →＋BA →＝0，故②不正确；DC →＋AB →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＝AC →成立，故③正确．(2)①AB →＋CD →＋BC →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. ②DB →＋AC →＋BD →＋CA →＝(DB →＋BD →)＋(AC →＋CA →)＝0＋0＝0.方法归纳向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．(2)应用原则利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．2．(1)在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( ) A.AB →＝CD →，BC →＝AD → B.AD →＋OD →＝DA → C.AO →＋OD →＝AC →＋CD → D.AB →＋BC →＋CD →＝DA → (2)化简下列各式： ①(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝________． ②AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝________．解析：(1)因为AO →＋OD →＝AD →，AC →＋CD →＝AD →，所以AO →＋OD →＝AC →＋CD →.(2)①(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝AD →＋MB →＋BM →＝AD →＋0＝AD →. ②AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝(AB →＋BC →)＋(DF →＋FA →)＋CD →＝AC →＋DA →＋CD →＝(AC →＋CD →)＋DA →＝AD →＋DA →＝0.答案：(1)C (2)①AD →②0向量加法的应用(1)已知图中电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力|F 1|＝24 N ；绳BO 与墙壁垂直，所受拉力|F 2|＝12 N ，则F 1与F 2的合力大小为________N ；方向为________．(2)如图是中国象棋的部分棋盘，“马走日”是象棋中“马”的走法，如果不从原路返回，那么“马”从A 经过B 再走回到A 最少需几步？(教材P 77例1，例2，P 78例3) [解](1)如图，根据向量加法的平行四边形法则，得合力F 1＋F 2＝OC →.在△OAC 中，|F 1|＝24，|AC →|＝12，∠OAC ＝60°，所以∠OCA ＝90°，|OC →|＝123，所以F 1与F 2的合力大小为12 3 N ，方向为竖直向上．故填123和竖直向上．(2)如图，如果不从原路返回，那么所走路线为A →B →C →D →A ，即AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，所以最少需四步．本例(2)条件不变，若不限步数，那么“马”从A 经过B 再走回A 时，所走的步数有什么特点？解：若不限步数，则“马”从A 经过B 再走回A 时，不论如何走，均需走偶数步，且不少于四步．方法归纳向量加法应用的关键及技巧(1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量．(2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．3．(1)若a 表示向东走8 km ，b 表示向北走8 km ，则|a ＋b |＝________km ，a ＋b 的方向是________．(2)如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解：(1)设OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝a ＋b .又因为|OA →|＝8，|OB →|＝8，所以|OC →|＝|a ＋b |＝8 2. 又因为∠AOC ＝45°，所以a ＋b 的方向是北偏东45°.故填82和北偏东45°.(2)设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →.依题意有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°，所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2 ＝8002＋8002＝8002(km)．易错警示未能正确理解向量加法致误小船以10 3 km/h 的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h ，则小船实际航行速度的大小为________km/h.[解析] 如图，设船在静水中的速度为|v 1|＝10 3 km/h ，河水的流速为|v 2|＝10 km/h ，小船实际航行速度为v 0，则由|v 1|2＋|v 2|2＝|v 0|2，得(103)2＋102＝|v 0|2，所以|v 0|＝20 km/h ，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.[答案] 20[错因与防X] (1)解答本题，易将船的实际速度当成河水的流速与静水速度之和，导致得不到正确的实际航速关系式而出错．(2)①向量的和一般不能直接用模作和；要注意向量的方向的合成，如本例中用两个速度不能直接作和；②船在静水中的航行速度，水流的速度，船实际的航行速度三者间当航行方向与水流方向不共线时不能直接某某际航行速度，如本例中两个方向垂直，利用勾股定理求速度的大小．4．(1)一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，若船的实际航行方向与水流方向垂直，则经过3 h ，该船的实际航程为________km.(2)在静水中船的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．解：(1)由题意，如图，OA →表示水流速度，OB →表示船在静水中的速度，则OC →表示船的实际速度．因为|OA →|＝2，|OB →|＝4，∠AOB ＝120°，则∠CBO ＝60°，又因为∠AOC ＝∠BCO ＝90°，所以|OC →|＝23，所以船的实际航行速度为2 3 km/h ，则实际航程为23×3＝63(km)．故填6 3. (2)作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，在Rt △ACD 中， |CD →|＝|AB →|＝|v 水|＝10 m/min ， |AD →|＝|v 船|＝20 m/min ，所以cos α＝|CD →||AD →|＝1020＝12，所以α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向．1．已知下面的说法：①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向与a 或b 的方向相同；②在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选B.①当a ＋b ＝0时，不成立；②说法正确；③当A ，B ，C 三点共线时，也可以有AB →＋BC →＋CA →＝0，故此说法不正确；④当a ，b 共线时，若a ，b 同向，则|a ＋b |＝|a |＋|b |；若a ，b 反向，则|a ＋b |＝||a |－|b ||；当a ，b 不共线时，|a ＋b |<|a |＋|b |，故此说法不正确．2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中正确的是( )A.FD →＋DA →＝FA →B.FD →＋DE →＋FE →＝0C.DE →＋DA →＝EB →D.DA →＋DE →＝FD →解析：选A.如题图，可知FD →＋DA →＝FA →， FD →＋DE →＋FE →＝FE →＋FE →≠0， DE →＋DA →＝DF →，故A 正确．3．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________．解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D.由向量加法的平行四边形法则知四边形ABCD 是平行四边形．故选D.2．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝( )A.BD →B ．DB → C.BC →D ．CB →解析：选C.BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →.3．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A.依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A.4．如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH → B ．OG →C.FO →D ．EO →解析：选C.设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.5．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( ) ①a∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a |＋|b |； ⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．①② B ．①③ C ．①③⑤ D ．③④⑤解析：选C.因为(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →) ＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝a ＝0. 所以a∥b ，a ＋b ＝b ，即①③正确，②错误，而a ＝0时，|a ＋b |＝|b |＝|a |＋|b |，故④错误，⑤正确． 6．当非零向量a ，b 满足________时，a ＋b 平分以a 与b 为邻边的平行四边形的内角．解析：由平面几何知识知，在平行四边形中，菱形的对角线平分其内角．答案：|a |＝|b |7．矩形ABCD 中，|AB |＝3，|BC →|＝1，则向量AB →＋AD →＋AC →的长度等于________．解析：因为ABCD 为矩形，所以AB →＋AD →＝AC →，所以AB →＋AD →＋AC →＝AC →＋AC →，如图，过点C 作CE →＝AC →，则AC →＋AC →＝AE →，所以|AB →＋AD →＋AC →|＝|AE →|＝2|AC →|＝2|AB →|2＋|BC →|2＝4. 答案：48．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是________(图形)．解析：如图所示，BC →＋BA →＝BD →，BC →＋AB →＝AC →，又|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，所以|BD →|＝|AC →|，则四边形ABCD 是矩形．答案：矩形9．如图所示，P ，Q 是三角形ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明：AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，所以AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →.因为PB →与QC →大小相等，方向相反，所以PB →＋QC →＝0，故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →. 10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．解：如图，在平行四边形OACB 中，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，|CO →|＝300 N ，所以|OA →|＝|CO →|cos 30°＝150 3 N ，|OB →|＝|CO →|cos 60°＝150 N.所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.[B.能力提升] 1．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同的点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选B.根据所给的四个向量的和是一个零向量，即MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0.当A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点确定以后，在平面上有且只有一个点满足使得四个向量的和等于零向量，故选B.2．已知|OA →|＝3，|OB →|＝3，∠AOB ＝60°，则|OA →＋OB →|＝( )A.3B ．3C ．23D ．3 3解析：选D.在平面内任取一点O ，作向量OA →，OB →，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则OC →＝OA →＋OB →.由题意知四边形OACB 为菱形，又∠AOB ＝60°，所以|OC →|＝2×3×sin 60°＝3 3.3．已知G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________．解析：如图，连接AG 并延长交BC 于E ，点E 为BC 中点，延长AE 到D ，使GE ＝ED ，则GB →＋GC→＝GD →，GD →＋GA →＝0，所以GA →＋GB →＋GC →＝0.答案：04．若|AB →|＝10，|AC →|＝8，则|BC →|的取值X 围是________．解析：如图，固定AB →，以A 为起点作AC →，则AC →的终点C 在以A 为圆心，|AC →|为半径的圆上，由图可见，当C 在C 1处时，|BC →|取最小值2，当C 在C 2处时，|BC →|取最大值18.答案：[2，18]5．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为5 km/h.如果此船实际向南偏西30°方向行驶2 km ，然后又向西行驶2 km ，你知道此船在整个过程中的位移吗？解：如图，用AC →表示船的第一次位移，用CD →表示船的第二次位移，根据向量加法的三角形法则知AD →＝AC →＋CD →，所以AD →可表示两次位移的和位移．由题意知，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，所以BC ＝12AC ＝1，AB ＝ 3. 在等腰△ACD 中，AC ＝CD ＝2，所以∠D ＝∠DAC ＝12∠ACB ＝30°，所以∠BAD ＝60°，AD ＝2AB ＝23，所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°，位移的大小为2 3 km.6．(选做题)在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且|AB →|＝|AD →|＝1，OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0，cos ∠DAB ＝12.求|DC →＋BC →|与|CD →＋BC →|.解：因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0，所以OA →＝CO →，OB →＝DO →，所以四边形ABCD 为平行四边形，又|AB →|＝|AD →|＝1，知四边形ABCD 为菱形．因为cos ∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0，π)，所以∠DAB ＝π3，所以△ABD 为正三角形，所以|DC →＋BC →|＝|AB →＋AD →|＝|AC →|＝2|AO →|＝ 3.|CD →＋BC →|＝|BD →|＝|AB →|＝1.。

高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案

一、选择题: (本大题共10小题,每题4分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.)1．设点P 〔3，-6〕，Q 〔-5，2〕，R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，那么R 点的横坐标为〔〕。

A 、-9B 、-6C 、9D 、62． =(2,3), b =(-4,7)，那么在b 上的投影为〔〕。

A 、B 、C 、D 、 3．设点A 〔1，2〕，B 〔3，5〕，将向量按向量 =〔-1，-1〕平移后得向量为〔〕。

A 、〔2，3〕 B 、〔1，2〕 C 、〔3，4〕 D 、〔4，7〕4．假设(a+b+c)(b+c -a)=3bc ，且sinA=sinBcosC ，那么ΔABC 是〔〕。

A 、直角三角形B 、等边三角形C 、等腰三角形D 、等腰直角三角形5．| |=4, |b |=3, 与b 的夹角为60°，那么| +b |等于〔〕。

A 、B 、C 、D 、6．O 、A 、B 为平面上三点，点C 分有向线段所成的比为2，那么〔〕。

A 、B 、C 、D 、7．O 是ΔABC 所在平面上一点，且满意条件，那么点O 是ΔABC 的〔〕。

A 、重心B 、垂心C 、内心D 、外心8．设、b 、均为平面内随意非零向量且互不共线，那么以下4个命题： (1)( ·b )2= 2·b 2 (2)| +b |≥| -b | (3)| +b |2=( +b )2(4)(b ) -( a )b 与不肯定垂直。

其中真命题的个数是〔〕。

A 、1B 、2C 、3D 、49．在ΔABC 中，A=60°，b=1，，那么等于〔〕。

A 、B 、C 、D 、10．设、b 不共线，那么关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的状况是〔〕。

A 、至少有一个实数解B 、至多只有一个实数解C 、至多有两个实数解D 、可能有多数个实数解二、填空题：〔本大题共4小题，每题4分，总分值16分.〕.11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，那么CA AB =_________12．ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，那么用a，b表示AB为______.13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。

高一数学必修4 模块测试卷

高一数学必修4 模块测试卷试卷满分：100分考试时间：60分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 在0到2π范围内，与角3π-终边相同的角是（）A. 3πB. 23πC. 43πD. 53π2.α是一个任意角，则α的终边与3α+π的终边（）A. 关于坐标原点对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线y x =对称3. 已知向量(1,2)=-a ，(1,0)=b ，那么向量3-b a 的坐标是（） A. (4,2)- B. (4,2)-- C. (4,2) D. (4,2)-4. 若向量(13)=，a 与向量(1,)λ=-b 共线，则λ的值为（） A. 3- B. 3 C. 13-D. 135. 函数()f x 的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是)0,2(π，那么()f x 的解析式可以是（）A. sin xB. cos xC. sin 1x +D. cos 1x +6. 已知向量(1,=a ，(2,=-b ，则a 与b 的夹角是（）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π7. 为了得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos 2y x =的图象（）A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π3个单位长度 D. 向右平移π3个单位长度8. 函数212cos y x =- 的最小正周期是（） A. 4π B. 2πC. πD. 2π9. 设角θ的终边经过点(3,4)-，则)4cos(πθ+的值等于（）A.B.C.D. 10. 在矩形ABCD中，AB =1BC =，E 是CD 上一点，且1AE AB ⋅=，则AE AC ⋅ 的值为（）A ．3B ．2 C．2 D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11. sin34π=______. 12. 若1cos , (0,)2αα=-∈π，则α=______.13. 已知向量(1,3)=-a ，(3,)x =-b ，且⊥a b ，则x =_____. 14.已知sin cos αα-=，则sin 2α=______.15. 函数2cos y x =在区间[,]33π2π-上的最大值为______,最小值为______. 16. 已知函数()sin f x x x =，对于ππ[]22-，上的任意12x x ，，有如下条件：①2212x x >；②12x x >；③12x x >，且1202x x +>．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是_______．（写出所有满足条件的序号）三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知2απ<<π，4cos 5α=-. （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求sin 2cos2αα+的值.18.（本小题满分12分）已知函数2()sin 12xf x x =+. （Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的图象.19.（本小题满分12分）如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点P 关于AB 的对称点，2(0)AB a a =>.（Ⅰ）当点P 是弧上靠近B 的三等分点时，求AP AB ⋅的值；（Ⅱ）求AP OP '⋅的最大值和最小值.参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D;2.A;3.D;4.A;5.B;6.C;7.B;8.C;9.C; 10.B.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 2-; 12.32π; 13. 1-; 14. 1-; 15. 2,1-; 16. ①③. 注：一题两空的试题每空2分；16题，选出一个正确的序号得2分，错选得0分. 三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.解：（Ⅰ）因为4cos 5α=-,2απ<<π,所以3sin 5α=, …………………3分所以sin 3tan cos 4ααα==-. …………………5分（Ⅱ）24sin 22sin cos 25ααα==-， …………………8分27cos 22cos 125αα=-=， …………………11分所以24717sin 2cos 2252525αα+=-+=-. …………………12分18.解：（Ⅰ）由已知2()sin 1363f πππ=+ …………………2分1122=+=. …………………4分（Ⅱ）()cos )sin 1f x x x =-+ …………………6分sin 1x x =-+2sin()13x π=-+. …………………7分函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k πππ-π+∈Z ， …………………8分由 22232k x k ππππ-≤-≤π+，得2266k x k π5ππ-≤≤π+.所以()f x 的单调递增区间为[2,2]()66k k k π5ππ-π+∈Z . …………………9分（Ⅲ）()f x 在[,]33π7π上的图象如图所示. …………………12分19.解：（Ⅰ）以直径AB 所在直线为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系.因为P 是弧AB 靠近点B 的三等分点，连接OP ，则3BOP π∠=， …………………1分点P 坐标为1(,)22a a . …………………2分又点A 坐标是(,0)a -，点B 坐标是(,0)a ，所以3()2AP a = ，(2,0)AB a =， …………………3分所以23AP AB a ⋅=. …………………4分（Ⅱ）设POB θ∠=，[0,2)θπ∈，则(cos ,sin )P a a θθ，(cos ,sin )P a a θθ'-所以(cos ,sin )AP a a a θθ=+，(cos ,sin )OP a a θθ'=-. …………所以22222cos cos sin AP OP a a a θθθ'⋅=+- 22(2cos cos 1)a θθ=+- (222119)2(cos cos )2168a a θθ=++- 222192(cos )48a a θ=+-. …………当1cos 4θ=-时，AP OP '⋅ 有最小值298a -当cos 1θ=时，AP OP '⋅ 有最大值22a . …………………12分。

高一数学必修4第二次月综合能力测试

第二次月综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若α是第四象限角，则－α一定是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角[答案] A[解析] －α与α的终边关于x 轴对称，则－α是第一象限角． 2．弧长为6，半径为2的扇形圆心角的弧度数的绝对值等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6[答案] C[解析] |α|＝l r ＝62＝3.3．(2010·福建高考)计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A .12 B .22C .33D .32[答案] B[解析] 1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22.4．角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )A .255B .55C ．－255D ．－55[答案] D[解析] 设P(－1,2)，x ＝－1，y ＝2，则r ＝x 2＋y 2＝5，则cos α＝x r ＝－15＝－55. 5．已知tan φ＝－3，则sin φ的值是( ) A .31010 B .310C ．±31010D ．±310[答案] C[解析] 由于tan φ＝sin φcos φ，则cos φ＝sin φtan φ＝－13sin φ，又sin 2φ＋cos 2φ＝1，则sin 2φ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13φ2＝1，解得sin φ＝±31010.6．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A .AO →＝OD →B .AO →＝2OD →C .AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →[解析] ∵D 为BC 边中点， ∴OB →＋OC →＝2OD →.∴2OA →＋OB →＋OC →＝2OA →＋2OD →＝0. ∴OA →＋OD →＝0， ∴AO →＝OD →.7．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，且|AB →|＝|AD →|，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形[答案] B[解析] ∵AC →＝AB →＋AD →， ∴四边形ABCD 是平行四边形．又|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形．8．将函数y ＝cos 2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1[解析] 将函数y ＝cos 2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得函数y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1. 9．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A .PA →＋PB →＝0 B .PC →＋PA →＝0 C .PB →＋PC →＝0 D .PA →＋PB →＋PC →＝0 [答案] B[解析] ∵BC →＋BA →＝2BP →，由向量加法的平行四边形法则，知P 为AC 的中点．如图．∴PC →＋PA →＝0成立．10．已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝ ⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.13B.27 C.17 D.23[答案] C[解析] 由题意，得cos2α＋sin α(2sin α－1)＝25，整理得sin α＝35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝－45.所以tan α＝－34. 则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝17. 11．已知a ＝(x ，－3)，b ＝(－2,1)，c ＝(1，y )，若a ⊥(b －c )，b∥(a ＋c )，则b 与c 的夹角为( )A ．0 B.π4 C.π2 D.3π4[答案] C[解析] b －c ＝(－3,1－y )，a ＋c ＝(x ＋1，y －3)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－3x －3(1－y )＝0，－2(y －3)－(x ＋1)＝0，解得x ＝1，y ＝2.设b 与c 的夹角为θ，则cos θ＝－2＋25×5＝0，所以θ＝π2.12．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数y ＝f (x )的图象恰好经过k 个格点，则称函数f (x )为k 阶格点函数．下列函数中为一阶格点函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6C ．y ＝lg xD ．y ＝x 2[答案] A[解析] 函数y ＝sin x 的值域是[－1,1]，其中整数函数值有三个－1,0,1，要使sin x 为整数，且x 也为整数，x 只能为0，则函数y ＝sin x是一阶格点函数；可以判断函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6是0阶格点函数，函数y ＝lg x 的图象经过点(10m ，m )，m ∈Z ，则函数y ＝lg x 不是一阶格点函数；函数y ＝x 2的图象经过无数个格点，如(1,1)，(2,4)，(3,9)，…，则函数y ＝x 2不是一阶格点函数．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，若a ∥b ，则实数x ＝________. [答案] 12[解析] ∵a ∥b ，∴1－2x ＝0.∴x ＝12.14．已知向量a 、b 的夹角为π3，|a |＝1，|b |＝3，则|a －b |的值是________．[答案]7[解析] |a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7. 15．函数y ＝sin x ＋cos x 的定义域是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )[解析] 要使函数有意义，自变量x 的取值需满足⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≥0，解得2k π≤x ≤2k π＋π2(k ∈Z )．16．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.[答案] 9π10[解析] T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－3π4＝5π2，故ω＝45.∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＋φ. 令45×3π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，则φ＝2k π－11π10，k ∈Z .又－π≤φ<π，则φ＝9π10.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |.[解析] (1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，得4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.∵|a |＝4，|b |＝3，代入上式，求得a ·b ＝－6， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2 ＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝13， ∴|a ＋b |＝13.18．(本题满分12分)(2010·北京高考)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．[解析] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3＝－1＋34＝－14.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )＝3cos 2x －1，x ∈R .因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝±1时，f (x )取最大值2；当cos x ＝0时，f (x )取最小值－1.19．(本题满分12分)在△AOB 中，C 是AB 边上的一点，且BC →＝λCA →(λ>0)，若OA →＝a ，OB →＝b .(1)当λ＝1时，用a 、b 表示OC →； (2)用a 、b 表示OC →.[解析] (1)当λ＝1时，BC →＝CA →，即C 是AB 的中点， ∴OC →＝12(OB →＋OA →)＝12a ＋12b .(2)∵BC →＝λCA →，∴BC →＝λ1＋λBA →.又BA →＝OA →－OB →＝a －b ， ∴BC →＝λ1＋λ(a －b )．∴OC →＝OB →＋BC →＝b ＋λ1＋λ(a －b )＝λ1＋λa ＋11＋λb . 20．(本题满分12分)设关于x 的函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3的值． [解析] (1)由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8是函数f (x )的最值，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝1或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－1，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1或sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－1，又－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－3π4＝tan π3－tan 3π41＋tan π3tan3π4＝3＋11－3＝－2－3.21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝cos 2x －2sin x cos x －sin 2x . (1)在给定的坐标系(如图)中，作出函数f (x )在区间[0，π]上的图象；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最大值和最小值．[分析] 化简函数f (x )的解析式为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用“五点法”画出图象，并讨论最值．[解析] (1)f (x )＝cos2x －sin2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4.列表如下：(2)由(1)，得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，2x ＋3π4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4， ∴当2x ＋3π4＝π2，即x ＝－π8时，f (x )取得最大值为2；当2x ＋3π4＝－π4，即x ＝－π2时，f (x )取得最小值为－1.22．(本题满分12分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，sin x ，b ＝(cos x ，－sin x )，函数f (x )＝m (a ·b ＋3sin2x )(m ∈R 且m >0)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，然后再向右平移π6个单位长度得到g (x )的图象，试探讨：当x ∈[0，π]时，函数g (x )与y ＝1的图象的交点个数．[分析] (1)将函数f (x )的解析式化简为A sin(ωx ＋φ)的形式来求出周期；(2)先求出函数g (x )的解析式，通过讨论函数g (x )的最大值与1的大小来确定交点的个数．[解析] (1)a ·b ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2cos x －sin 2x ＝cos x cos x －sin 2x ＝cos 2x －sin 2x ＝cos2x ，则f (x )＝m (cos2x ＋3sin2x )＝2m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(m ∈R 且m >0)，∴T ＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π.(2)将函数f (x )的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，得y ＝2m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后再将函数y ＝2m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向右平移π6个单位长度得到g (x )＝2m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝2m sin x .由于m >0，则当x ∈[0，π]时，0≤g (x )≤2m ，即函数g (x )的最大值是2m .当2m >1，即m >12时，函数g (x )与y ＝1的图象有2个交点；当2m ＝1，即m ＝12时，函数g (x )与y ＝1的图象仅有1个交点；当0<2m <1，即0<m <12时，函数g (x )与y ＝1的图象没有交点．。

2021_2022学年新教材高中数学第2章常用逻辑用语测评含解析苏教版必修第一册

第2章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021某某某某高二期末)下列语句能作为命题的是()A.3比5大B.太阳和月亮C.高二年级的学生D.x2+y2=0:能判断真假的陈述句,A正确,B,C不是陈述句,D不能判断真假.故选A.2.下列全称量词命题中是假命题的是()A.每一个末位是0的整数都是5的倍数B.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等C.对任意负数x,x的平方是正数D.梯形的对角线相等0的整数都是10的倍数,而10是5的倍数,所以A为真命题;根据线段垂直平分线的定义可知B为真命题;负数的平方为正数,故C为真命题;等腰梯形的对角线相等,故D为假命题.故选D.3.(2021某某某某高二期末)命题“∃x>1,x2≥1”的否定是()A.∃x≤1,x2≥1B.∃x≤1,x2<1C.∀x≤1,x2≥1D.∀x>1,x2<1,所以命题“∃x>1,x2≥1”的否定是“∀x>1,x2<1”.故选D.4.(2020某某,2)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件a>1,则a2>a成立.若a2>a,则a>1或a<0.∴“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件.故选A.5.(2021某某松江高一期末)要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题,只需()A.证明所有实数的平方都不是正数B.证明平方是正数的实数有无限多个C.至少找到一个实数,其平方是正数D.至少找到一个实数,其平方不是正数“所有实数的平方都是正数”是全称量词命题,若其为假命题,那么命题的否定是真命题,所以只需“至少找到一个实数,其平方不是正数”.故选D.6.(2021某某某某高二期末)若命题“∃x ∈[-1,2],-x 2+2≥a ”是假命题,则实数a 的取值X 围是()A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(-2,+∞)D.[-2,+∞)“∃x ∈[-1,2],-x 2+2≥a ”是假命题,则命题“∀x ∈[-1,2],-x 2+2<a ”是真命题,当x=0时,(-x 2+2)max =2,所以a>2.故选A.7.(2021某某凉山彝族自治州高二期末)若条件p :|x-1|≤1,条件q :x ≤a ,p 是q 的充分条件,但不是必要条件,则a 的取值X 围是()A.[2,+∞)B.(-∞,2]C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]:|x-1|≤1,解得0≤x ≤2,设A={x|0≤x ≤2},B={x|x ≤a },p 是q 的充分条件,但不是必要条件,则A 是B 的真子集,则a ≥2.故选A.8.(2021某某某某高一期末)“关于x 的不等式x 2-3mx+4≥0的解集为R ”的一个必要不充分条件是()A.-43≤m ≤43B.-2<m ≤43C.-4<m ≤43D.-43≤m<0x 的不等式x 2-3mx+4≥0的解集为R ,可得Δ=(-3m )2-4×4≤0,解得-43≤m ≤43,根据是必要条件,但不是充分条件的概念可知B 项正确.故选B.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2021某某某某高二期末)对下列命题的否定说法正确的是()A.p :∀x ∈R ,x>0,命题p 的否定:∃x ∈R ,x ≤0B.p :∃x ∈R ,x 2≤-1;命题p 的否定:∃x ∈R ,x 2>-1C.p :任意x<2,x<1;命题p 的否定:存在x<2,x ≥1D.p :∀x ∈R ,使x 2+1≠0;命题p 的否定:∃x ∈R ,x 2+1=0:∀x ∈R ,x>0;命题p 的否定:∃x ∈R ,x ≤0,A 正确;p :∃x ∈R ,x 2≤-1;命题p 的否定:∀x ∈R ,x 2>-1,B 错误;p :任意x<2,x<1;命题p 的否定:存在x<2,x ≥1,C 正确;p :∀x ∈R ,使x 2+1≠0;命题p 的否定:∃x ∈R ,x 2+1=0,D 正确.故选ACD.10.(2020某某某某中学高一期中)设全集为U ,下列选项是B ⊆A 的充要条件的有()A.A ∪B=AB.A ∩B=AC.(∁U A )⊆(∁U B )D.A ∪(∁U B )=UVenn 图所示,选项A 中,若A ∪B=A ,则B ⊆A ;反过来,若B ⊆A ,则A ∪B=A.故互为充要条件.选项C 中,若(∁U A )⊆(∁U B ),则B ⊆A ;反过来,若B ⊆A ,则(∁U A )⊆(∁U B ).故互为充要条件.选项D 中,若A ∪(∁U B )=U ,则(∁U A )⊆(∁U B ),故B ⊆A ;反过来,若B ⊆A ,则(∁U A )⊆(∁U B ),故A ∪(∁U B ).故互为充要条件.选项B 中,如下Venn 图,若A ∩B=A ,则A ⊆B ,推不出B ⊆A.故错误.故选ACD.11.(2020某某日照五莲高一期中)一元二次方程ax 2+4x+3=0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A.a<0B.a<-2C.a<-1D.a<1ax 2+4x+3=0(a ≠0)有一个正根和一个负根,则{Δ=16-12a >0,3a <0,解得a<0,则充分不必要条件应为(-∞,0)的真子集,故选BC.12.(2021某某某某高一期末)命题“∀x ∈R ,x 2-ax+1≥0”为真命题的一个必要不充分条件可以是()A.-2≤a ≤2B.a ≥-2C.a ≤2D.-2<a<2“∀x ∈R ,x 2-ax+1≥0”为真命题,可得Δ=(-a )2-4≤0,解得-2≤a ≤2,对于A,-2≤a ≤2是命题为真的充要条件;对于B,由a ≥-2不能推出-2≤a ≤2,反之成立,所以a ≥-2是命题为真的一个必要不充分条件;对于C,a ≤2不能推出-2≤a ≤2,反之成立,所以a ≤2也是命题为真的一个必要不充分条件;对于D,-2<a<2能推出-2≤a ≤2,反之不成立,-2<a<2是命题为真的一个充分不必要条件.故选BC.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021某某某某高二期末)若命题p :“∀x ∈R ,x 2-2mx+1≥0”,则命题p 的否定是.x ∈R ,x 2-2mx+1<0p :“∀x ∈R ,x 2-2mx+1≥0”,则命题p 的否定为:∃x ∈R ,x 2-2mx+1<0.14.(2021某某某某高二期末)已知p :x<m ,q :-1≤x ≤3,若p 是q 的必要不充分条件,则m 的值可能为(填一个满足条件的值即可).答案不唯一,只需填大于3的数即可)p 是q 的必要不充分条件,∴m>3,故m 的值可能为4.15.(2021某某某某高一期末)若命题“∃x ∈R ,x 2-2x+a ≤0”是假命题,则实数a 的取值X 围是.+∞)“∃x ∈R ,x 2-2x+a ≤0”是假命题,所以∀x ∈R ,x 2-2x+a>0恒成立.所以4-4a<0,解得a>1.16.(2021某某高二期末)设α:x ≤-5或x>1,β:x ≤-2m-3或x ≥-2m+1,m ∈R ,α是β的充分条件,但不是必要条件,则实数m 的取值X 围是.α是β的充分条件,但不是必要条件,∴{-5≤-2m -3,1≥-2m +1,(等号不能同时成立)解得0≤m ≤1. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020某某镇雄第四中学高一月考)写出下列命题的否定,并判断其真假:(1)∀x ∈R ,x 2+x+1>0;(2)∃x ∈R ,x 2-x+1=0.∃x ∈R ,x 2+x+1≤0,假命题.(2)∀x ∈R ,x 2-x+1≠0,真命题.18.(12分)(2020某某某某清新凤霞中学高一期中)已知集合A={x|-2≤x ≤3},B={x|x<-1或x>2},C={x|x>a }.(1)求A ∩B 和A ∪B ;(2)若p :x ∈C 是q :x ∈B 的充分条件,求a 的取值X 围.A ∩B={x|-2≤x<-1或2<x ≤3},A ∪B=R .(2)若p :x ∈C 是q :x ∈B 的充分条件,则C ⊆B ,所以a ≥2,a 的取值X 围是[2,+∞).19.(12分)(2020某某彭水第一中学高一期中)已知命题“∃x ∈R ,不等式x 2-2x-m ≤0”是假命题.(1)某某数m 的取值集合A ;(2)若q :-4<m-a<4是集合A 的充分条件,但不是必要条件,某某数a 的取值X 围.因为命题“∃x ∈R ,不等式x 2-2x-m ≤0”是假命题,所以命题的否定“∀x ∈R ,不等式x 2-2x-m>0”是真命题,即Δ=4+4m<0,解得m<-1,故集合A={m|m<-1}.(2)因为-4<m-a<4,即a-4<m<a+4,所以q :a-4<m<a+4.因为q :a-4<m<a+4是集合A 的充分条件,但不是必要条件,令集合B={m|a-4<m<a+4},集合B 是集合A 的真子集,即4+a ≤-1,解得a ≤-5,故实数a 的取值X 围是(-∞,-5].20.(12分)(2021某某泗县第一中学高二开学考试)已知p :实数x 满足a<x<4a (其中a>0),q :实数x 满足2<x<5.(1)若a=1,且p 与q 都为真命题,某某数x 的取值X 围;(2)若p 是q 的必要条件,但不是充分条件,某某数a 的取值X 围.当a=1时,p :实数x 满足1<x<4,q :实数x 满足2<x<5,因为p 与q 都为真命题,所以{1<x <4,2<x <5,解得2<x<4,即x 的取值X 围为(2,4).(2)令A={x|a<x<4a ,a>0},B={x|2<x<5},因为p 是q 的必要条件,但不是充分条件,所以B ⫋A ,所以{a ≤2,4a ≥5,解得54≤a ≤2, 所以实数a 的取值X 围是54,2.21.(12分)(2020某某某某江都大桥高级中学高一月考)已知集合A={x|-2≤x ≤5},B={x|m+1≤x ≤2m-1},(1)若命题p :∀x ∈B ,x ∈A 是真命题,求m 的取值X 围;(2)命题q :∃x ∈A ,x ∈B 是真命题,求m 的取值X 围.因为命题p :∀x ∈B ,x ∈A 是真命题,所以B ⊆A ,当B=⌀时,m+1>2m-1,解得m<2;当B ≠⌀时,{m +1≤2m -1,m +1≥-2,2m -1≤5,解得2≤m ≤3.综上,m 的取值X 围为(-∞,3].(2)因为q :∃x ∈A ,x ∈B 是真命题,所以A ∩B ≠⌀,所以B ≠⌀,即m ≥2,所以m+1≥3,所以A ∩B ≠⌀只需满足m+1≤5即可,即m ≤4.故m 的取值X 围为[2,4].22.(12分)(2020某某某某高二期中)已知命题p :关于x 的方程x 2-(3m-2)x+2m 2-m-3=0有两个大于1的实数根.(1)若命题p 为真命题,某某数m 的取值X 围;(2)命题q :3-a<m<3+a ,是否存在实数a 使得p 是q 的必要条件,但不是充分条件,若存在,求出实数a 的取值X 围;若不存在,说明理由.由x 2-(3m-2)x+2m 2-m-3=0得[x-(m+1)][x-(2m-3)]=0,所以x=m+1或x=2m-3.因为命题p 为真命题,所以m+1>1且2m-3>1,解得m>2.故实数m 的取值X 围为(2,+∞).(2)存在.设集合A={m|m>2},集合B={m|3-a<m<3+a },因为p 是q 的必要条件,但不是充分条件,所以B ⫋A.当B=⌀时,3-a ≥3+a ,解得a ≤0;当B ≠⌀时,{3-a <3+a ,3-a ≥2,解得0<a ≤1. 综上所述,存在a ∈(-∞,1]满足条件.。

高一数学必修1、4基础题及答案

必修1 第一章集合基础测试一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是（） A.学校篮球水平较高的学生B.校园中长的高大的树木C.2007年所有的欧盟国家D.中国经济发达的城市2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{3．已知集合A ={a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是（） A. a B. {a ，c } C. {a ，e } D.{a ，b ，c ，d } 4．下列图形中，表示N M ⊆的是（）5．下列表述正确的是（） A.}0{=∅ B. }0{⊆∅ C. }0{⊇∅ D. }0{∈∅ 6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A∩B B.A ⊇B C.A ∪B D.A ⊆B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14} 又,,B b A a ∈∈则有（） A.（a+b ）∈ A B. (a+b) ∈B C.(a+b) ∈ C D. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个8.集合A ={1，2，x }，集合B ={2，4，5}，若B A ={1，2，3，4，5}，则x =（） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 9.满足条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是（）A. 8 B . 7 C. 6 D. 510.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ， 6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是（）MNAMNBNMCMNDA. A BB. B AC. B C A C U UD. B C A C U U11.设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤ ( )A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，， D ．{}1012-，，， 12. 如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（）A ．0B ．0 或1C ．1D ．不能确定二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上)13．用描述法表示被3除余1的集合． 14．用适当的符号填空：（1）∅ }01{2=-x x ；（2）{1，2，3} N ；（3）{1} }{2x x x =；（4）0 }2{2x x x =． 15.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{aba ，又可表示成}0,,{2b a a +，则=+20042003b a .16.已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合=N ，=⋂)(N C M U ，=⋃N M .三、解答题(共4小题，共44分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知集合}04{2=-=x x A ，集合}02{=-=ax x B ，若A B ⊆，求实数a 的取值集合．18. 已知集合}71{<<=x x A ，集合}521{+<<+=a x a x B ，若满足 }73{<<=x x B A ，求实数a 的值．19. 已知方程02=++b ax x ．（1）若方程的解集只有一个元素，求实数a ，b 满足的关系式；（2）若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a ，b 的值20. 已知集合}31{≤≤-=x x A ，},{2A x y x y B ∈==，},2{A x a x y y C ∈+==，若满足B C ⊆，求实数a 的取值范围．必修1 函数的性质一、选择题：1.在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋ 1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋1 2.函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于（）A ．－7B ．1C ．17D ．253.函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是（）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5) 4.函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．(0，21) B ．( 21，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5.函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（）A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根6.若q px x x f ++=2)(满足0)2()1(==f f ，则)1(f 的值是（）A 5B 5-C 6D 6-7.若集合}|{},21|{a x x B x x A ≤=<<=，且Φ≠B A ，则实数a 的集合（）A }2|{<a aB }1|{≥a aC }1|{>a aD }21|{≤≤a a8.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t ) ＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（） A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞ C ．]1,(),,0[-∞+∞ D ),1[),,0[+∞+∞10．若函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围（）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥311. 函数c x x y ++=42，则（）A )2()1(-<<f c fB )2()1(->>f c fC )2()1(->>f f cD )1()2(f f c <-<12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x +=-，且在区间[0,4]上是减函数则（）A ．(10)(13)(15)f f f <<B ．(13)(10)(15)f f f <<C ．(15)(10)(13)f f f <<D ．(15)(13)(10)f f f <<.二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _．14．函数f （x ）＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函数，则f （1）＝。

高中数学习题必修4及答案

高中数学习题必修4及答案篇一：人教版高一数学必修四测试题(含详细答案)高一数学考试（必修4）（特别适合按14523顺序的省份）必修4第1章三角函数（1）一、选择题：1.如果a={第一象限角}，B={锐角}，C={角度小于90°}，那么a，B和C之间的关系是（）a．b=a∩cb．b∪c=cc．acd．a=b=c2sin21200等于（）?133c?d22223.已知sin??2cos?3sin??5cos5,那么tan?的值为b．2c．（）16164.在下列函数中，最小正周期为π的偶数函数为（）A.-223D.-23x1?tan2xa.y=sin2xb.y=cosc.sin2x+cos2xd.y=21?tan2x5.转角600的端边是否有点？？4，a那么a的值是（）04b?43c?43d6.得到函数y=cos(a．向左平移x?x?)的图象，只需将y=sin的图象（）242??个单位b.同右平移个单位22c、将装置向左移动D.将装置向右移动447．若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x轴向左平移?1个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y=sinx的图象22Y=f（x）是（）a．y=1?1?sin(2x?)?1b.y=sin(2x?)?122221.1.c、 y=sin（2x？）？1d。

罪（2x？）？一万二千四百二十四8.函数y=sin(2x+5?)的图像的一条对轴方程是（）25.a、 x=-b.x=-c.x=d.x=42481，则下列结论中一定成立的是229.如果罪？？余弦？？（）罪恶？？2b.罪22罪？？余弦？？1d.罪？？余弦？？0c。

（）10.函数y?2sin(2x??3）形象a．关于原点对称b．关于点（－11.功能y？罪（x？a．[，0）对称c．关于y轴对称d．关于直线x=对称66?2x?r是（）??,]上是增函数b．[0,?]上是减函数22c、 [？，0]是减法函数D.[？，？]上限是一个减法函数12.功能y？（）3,2k？？a、 2k b、 2k？？，2k？？（k？z）（k？z）3.66??2??3.c、 2k3,2k（k？Z）d？2k23,2k2(kz)3二、填空：13.函数y?cos(x2)(x?[,?])的最小值是.863和2002年相同端边的最小正角度为_________015.已知sin??cos??1??,且,则cos??sin??.842如果设置一个？？x | kx?k???,k?z?，b??x|?2?x?2?，3?然后是a？b=_______________________________________三、解答题：17.认识辛克斯吗？Coxx？1和0？x？？。

高一数学必修1,2,3,4,5试题及答案

高二数学必修部分测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题５分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．0sin 390=()A ．21B ．21-C ．23 D ．23- 2．已知2tan()5αβ+=,1tan()44πβ-=,则tan()4πα+的值为() A 1223133A 4.，b 满足：|3a =，|2b =，||a b +=||a b -=()A 3D ．105.下面结论正确的是（）C.6A C 789、函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈-=--),2(,22]2,(,2211x x y x x 的值域为______________。

A 、),23(+∞- B 、]0,(-∞ C 、23,(--∞ D 、]0,2(- 10.当x>1时，不等式x+11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．(－∞,2] B ．[2,+∞) C ．[3,+∞) D ．(－∞,3]11．已知a,b,c 成等比数列，且x,y 分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则y c x a +的值为（）（A ）21（B ）-2（C ）2（D ）不确定 12．已知数列{a n }的通项公式为a n =n n ++11且S n =1101-,则n 的值为（）（A ）98（B ）99（C ）100（D ）101二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13141516。

17得到y 1819（本小题满分12分）已知向量a ,b 的夹角为60,且||2a =,||1b =,(1)求a b ;(2)求||a b +.20.已知数列{a n }，前n 项和S n =2n-n 2,a n =log 5bn ，其中bn>0，求数列{bn}的前n 项和。

21（本小题满分14分）已知(3sin ,cos )a x m x =+，(cos ,cos )b x m x =-+,且()f x a b =(1)求函数()f x 的解析式;(2)当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 的最小值是－4,求此时函数()f x 的最大值,并求出相应的x 的值. 22如图如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD ，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=1/2.ACAD 13.3π171)2-+x ，∴18.19.解：(1)1||||cos602112a b a b ==⨯⨯= (2)22||()a b a b +=+所以||3a b +=20.当n=1时，a 1=S 1=1当n ≥2时，a 1=S n -S n-1=3-2n ∴a n =3-2nb n =53-2n∵25155123)1(23==+-+-n n bn bn b 1=5∴{b n }是以5为首项，251为公比的等比数列。

高一数学必修4测试题(含答案)

高一数学必修4测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列各角中，与角330°的终边相同的有是（）A ．510°B ．150°C ．-150°D ．-390° 2．若点P 在4π-的终边上，且|OP |=2，则点P 的坐标为（）A ．（2,2）B ．（2,2-）C ．（2,2-）D ．（2,2--）3．已知(2,3)a =，(,6)b x =-，若a 与b 共线，则x = （）A ．4B ．3C ．-3D ．-4 4．若0cos sin >⋅θθ，则θ为（） A ．第一或第三象限角 B ．第二或第三象限角C ．第一或第四象限角D ．第三或第四象限角5．设向量1(cos ,)2a α=的模为2，则cos 2α= （）A ．41-B ．21-C ．21 D ．23 6．函数()sin()cos()1212f x x x ππ=--，则()f x 的最小正周期是（）A ．2πB ．2π C ．πD ．4π7．设M 是□ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点（且不与M 重合），则OD OC OB OA +++ 等于（）A ．OMB ．2OMC ．3OMD ．4OM8．把函数x y sin =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），然后把图象向左平移4π个单位，则所得到图象对应的函数解析式为（）A ．)421sin(π+=x yB ．)42sin(π+=x yC ．)821cos(π+=x yD ．)22sin(π+=x y。

北师大版高中数学必修四：第一、二章综合测试题(含答案)

阶段性测试题三(第一、二章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．下列各式中，不能化简为AD →的是( ) A ．(AB →＋CD →)＋BC →B ．(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →) C ．MB →＋AD →－BM → D ．OC →－OA →＋CD →[答案] C[解析] A 中，(AB →＋CD →)＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →； B 中，(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝AD →＋MB →＋BM →＝AD →. C 中，MB →＋AD →－BM →＝MB →＋AD →＋MB →＝2MB →＋AD →； D 中，OC →－OA →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，故选C. 2．设a 、b 、c 是非零向量，下列命题正确的是( ) A ．(a·b )·c ＝a·(b·c )B ．|a －b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2C ．若|a|＝|b|＝|a ＋b|，则a 与b 的夹角为60°D ．若|a|＝|b|＝|a －b|，则a 与b 的夹角为60° [答案] D[解析] 对于A ，数量积的运算不满足结合律，A 错；对于B ，|a －b|2＝|a|2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2|a||b |·cos<a ，b>＋|b |2，B 错，对于C 、D ，由三角形法则知|a |＝|b |＝|a －b |组成的三角形为正三角形，则<a ，b >＝60°，∴D 正确．3．(2014·山东曲阜师范附属中学高一模块测试)已知一个扇形的半径为1，弧长为4，则该扇形的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 扇形的面积S ＝12lR ＝12×4×1＝2.4．(2014·湖北长阳一中高一月考)下列说法正确的是( ) A ．第三象限的角比第二象限的角大B ．若sin α＝12，则α＝π6C ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D ．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关 [答案] D[解析] －120°是第三象限角，120°是第二象限角，而－120°<120，排除A ；若sin α＝12，则α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π(k ∈Z )，排除B ；当三角的内角等于90°时，它既不是第一象限，也不是第二象限，排除C ，故选D.5．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( ) A ．23B ．43C ．－3D ．0[答案] D[解析] CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →， ∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →，∴32CD →＝AB →－AC →， ∴CD →＝23AB →－23AC →，又AC →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0，故选D.6．在△ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则MA →＋MB →－MC →等于( )A ．0B ．4MD →C ．4MF →D ．4ME →[答案] C [解析] 如图，由已知得，MA →＋MB →＝2MF →，又∵M 为△ABC 的重心， ∴|MC |＝2|MF |，∴－MC →＝CM →＝2MF →， ∴MA →＋MB →－MC →＝4MF →.7．如图所示，点P 在∠AOB 的对角区域MON 内，且满足OP →＝xOA →＋yOB →，则实数对(x ，y )可以是( )A ．(12，－13)B ．(14，12)C ．(－23，－13)D ．(－34，25)[答案] C[解析] 向量OP →用基底OA →、OB →表示具有惟一性，结合图形知x <0，y <0，故选C. 8．(2014·江西九江外国语高一月考)已知sin(α＋75°)＝12，则cos(α－15°)＝( )A ．32B ．－32 C ．12D ．－12[答案] C[解析] ∵cos(15°－α)＝sin(α＋75°)＝12，∴cos(α－15°)＝cos(15°－α)＝12.9．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的图象相邻的两个零点之间的距离是( ) A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．2π[答案] B[解析] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的图象相邻的两个零点之间的距离为半个周期，又T ＝2π32＝4π3，∴T 2＝2π3.10．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π3的一个对称中心为( ) A ．⎝⎛⎭⎫π6，0 B ．⎝⎛⎭⎫π3，0 C ．⎝⎛⎭⎫5π18，0 D ．⎝⎛⎭⎫π2，0[答案] C[解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π3，令3x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π3＋5π18(k ∈Z )．当k ＝0时，x ＝5π18，故选C.11．已知向量OA →＝(4,6)，OB →＝(3,5)，且OC →⊥OA →，AC →∥OB →，则向量OC →等于( ) A ．(－37，27)B ．(－27，421)C ．(37，－27)D ．(27，－421)[答案] D[解析] 设OC →＝(x ，y )，则AC →＝OC →－OA →＝(x －4，y －6)．∵OC →⊥OA →，AC →∥OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝0x －43＝y －65，解得⎩⎨⎧x ＝27y ＝－421.∴OC →＝(27，－421)．12．△ABC 为等边三角形，且边长为2，点M 满足BM →＝2AM →，则CM →·CA →＝( ) A ．6 B ．3 C ．15 D ．12[答案] A [解析] 如图，∵BM →＝2AM →，∴AB ＝AM ＝2，又∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC ＝60°，即∠CAM ＝120°.又AM ＝AC ，∴∠AMC ＝∠ACM ＝30°，∴∠BCM ＝90°. ∴CM ＝BM 2－BC 2＝16－4＝2 3. ∴CM →·CA →＝|CM →|·|CA →|cos30°＝23×2×32＝6.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知sin α、cos α是方程2x 2－x －m ＝0的两根，则m ＝________. [答案] 34[解析] 由题意，得⎩⎨⎧sin α＋cos α＝12sin αcos α＝－m2，解得m ＝34，又m ＝34时满足方程2x 2－x －m ＝0有两根．14．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________． [答案] (1)(31010，1010) (2)－255[解析] (1)2a ＋b ＝2(1,0)＋(1,1)＝(3,1)，∴与2a ＋b 同向的单位向量为(31010，1010)．(2)cos 〈a ，b －3a 〉＝a ·(b －3a )|a |·|b －3a |＝(1，0)·(－2，1)5＝－255.15．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )的图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则a 的值为________．[答案]33[解析] 由题意，得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π6，即a sin0＋cos0＝a sin π3＋cos π3，∴32a ＝12，∴a ＝33. 16．设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m ⊥b ，则|x ＋2y |＝________. [答案]5[解析] 本题考查了向量垂直，坐标运算、数量积等．由m ⊥b 知m ·b ＝0，即2x －y ＝0①，又由m 为单位向量，所以|m |＝1，即x 2＋y 2＝1 ②，由①②联立解得⎩⎨⎧x ＝55y ＝255或⎩⎨⎧x ＝－55y ＝－255，所以|x ＋2y |＝ 5.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2014·安徽合肥市撮镇中学高一月考) (1)已知A (1,2)、B (3,5)、C (9,14)，求证：A 、B 、C 三点共线； (2)已知|a |＝2，|b |＝3，(a －2b )·(2a ＋b )＝－1，求a 与b 的夹角． [解析] (1)AB →＝(2,3)，AC →＝(8,12)， ∴AC →＝4AB →， ∴AC →与AB →共线．又∵AC →与AB →有公共点A ， ∴A 、B 、C 三点共线. (2)设a 与b 的夹角为θ，则(a －2b )·(2a ＋b )＝2a 2－3a ·b －2b 2＝2×4－3×2×3×cos θ－2×9＝－10－18cos θ＝－1，∴cos θ＝－12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.18．(本小题满分12分)已知两个非零向量a 、b 满足(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，求a 与b 的夹角的余弦值．[解析] 由(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )·(2a －b )＝0，(a －2b )·(2a ＋b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a ·b －b 2＝0，①2a 2－3a ·b －2b 2＝0.② 由①×3＋②得a 2＝58b 2，∴|a |2＝58|b |2，即|a |＝58|b |.③由①得a ·b ＝b 2－2a 2＝|b |2－2×58|b |2＝－14b 2，④由③④可得cos θ＝a ·b|a |·|b |＝－14|b |258|b |·|b |＝－1010.∴a 、b 的夹角的余弦值为－1010. 19．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈(0，π2)，f (α2)＝2，求α的值．[解析] (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2.故函数f (x )的解析式为y ＝2sin(2x －π6)＋1.(2)∵f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，即sin(α－π6)＝12，∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，故α＝π3.20．(本小题满分12分)已知a ＝3i －4j ，a ＋b ＝4i －3j ， (1)求向量a 、b 的夹角；(2)对非零向量p 、q ，如果存在不为零的常数α、β使αp ＋βq ＝0，那么称向量p 、q 是线性相关的，否则称向量p 、q 是线性无关的．向量a 、b 是线性相关还是线性无关的？为什么？[解析] (1)b ＝(a ＋b )－a ＝i ＋j ，设a 与b 夹角为θ，根据两向量夹角公式： cos θ＝a ·b |a ||b |＝3－452＝－210.故夹角θ＝π－arccos210. (2)设常数α，β使得αa ＋βb ＝0，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 3α＋β＝0－4α＋β＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧α＝0β＝0，所以不存在非零常数α，β，使得αa ＋βb ＝0成立．故a 和b 线性无关．21．(本小题满分12分)如图所示，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|≤π2)的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫5π12，3和⎝⎛⎭⎫11π12，－3，求该函数的解析式．[解析] 由题意知A ＝3，设最小正周期为T ，则T 2＝11π12－5π12＝π2， ∴T ＝π，又T ＝2πω，∴ω＝2.∴函数解析式为y ＝3sin(2x ＋φ)． ∵点⎝⎛⎭⎫5π12，3在图象上， ∴3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ， ∴sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1. ∴5π6＋φ＝2k π＋π2， ∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .∵|φ|≤π2，∴φ＝－π3.∴函数的解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝23sin(3ωx ＋π3)，其中ω>0.(1)若f (x ＋θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值； (2)若f (x )在(0，π3]上是增函数，求ω的最大值．[解析] (1)由函数解析式f (x )＝23sin(3ωx ＋π3)，ω>0整理可得f (x ＋θ)＝23sin[3ω(x ＋θ)＋π3]＝23sin(3ωx ＋3ωθ＋π3)，由f (x ＋θ)的周期为2π，根据周期公式2π＝2π3ω，且ω>0，得ω＝13，∴f (x ＋θ)＝23sin(x ＋θ＋π3)， ∵f (x ＋θ)为偶函数，定义域x ∈R 关于原点对称，令g (x )＝f (x ＋θ)＝23sin(x ＋θ＋π3)，∴g (－x )＝g (x )，23sin(x ＋θ＋π3)＝23sin(－x ＋θ＋π3)，∴x ＋θ＋π3＝π－(－x ＋θ＋π3)＋2k π，k ∈Z ，∴θ＝k π＋π6，k ∈Z .∴ω＝13，θ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)∵ω>0，∴2k π－π2≤3ωx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴2k π3ω－15π18ω≤x ≤π18ω＋2k π3ω，k ∈Z ，若f (x )在(0，π3]上是增函数，∴(0，π3]为函数f (x )的增区间的子区间，∴π18ω≥π3，∴ω≤16，∴ωmax ＝16.。

高一数学必修4第二章综合检测题

第二章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列等式成立的是( ) A.MN →＝NM →B ．a ·0＝0C ．(a ·b )c ＝a (b ·c )D ．|a ＋b |≤|a |＋|b |[答案] D2．如果a ，b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( )A ．a ＝bB ．a ·b ＝1C ．a ＝－bD ．|a |＝|b | [答案] D[解析] 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A ，C 不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a ·b ＝1不成立，所以选项B 不正确；|a |＝|b |＝1，则选项D 正确．3．已知A (1,2)，B (3，－1)，C (3,4)，则AB →·AC →等于( ) A ．11 B ．5 C ．－1 D ．－2 [答案] D4．在四边形ABCD 中，AB →·BC →＝0，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形[答案] C[解析] AB →＝DC →表示AB →与DC →模相等，方向相同，AB 綊DC .故四边形ABCD 是平行四边形．又AB →·BC →＝0，∴AB →⊥BC →，∴四边形ABCD 为矩形．5．在五边形ABCDE 中，(如图)，AB →＋BC →－DC →＝( )A.AC →B.AD →C.BD →D.BE →[答案] B[解析] AB →＋BC →－DC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →. 6．若|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－3，则|a ＋b |等于( ) A ．23 B ．34 C.23 D.34 [答案] D[解析] |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4－6＋36＝34.7．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为矩形，则( )A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0B ．a －b ＋c －d ＝0C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a －b －c ＋d ＝0[答案] B[解析] BA →＝OA →－OB →＝a －b ，CD →＝OD →－OC →＝d －c ，又BA →＝CD →，故a －b ＝d －c .8．如下图，M 、N 分别是AB 、AC 的一个三等分点，且MN →＝λ(AC →－AB →)成立，则λ＝( )A.12B.13 C.23 D ．±13[答案] B[解析] MN →＝13→且BC →＝AC →－AB →.9．与向量a ＝(1,1)平行的单位向量为( ) A ．(22，22)B ．(－22，－22) C ．(±22，±22)D ．(22，22)或(－22，－22) [答案] D[解析] 与a 平行的单位向量为±a |a |10．若|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2[答案] C[解析] a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝1×6×cos θ－1＝2. cos θ＝12，θ∈[0，π]，故θ＝π3.11．(2012·全国高考浙江卷)设a 、b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b ＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b | [答案] C[解析] 利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a 、b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb .如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a 、b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ；若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．12．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150°[答案] C[解析] 由a ·b <0可知a ，b 的夹角θ为钝角，又S △ABC ＝12|a |·|b |sin θ，∴12×3×5×sin θ＝154，∴sin θ＝12⇒θ＝150°. 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则A 、B 、C 、D 四点中一定共线的三点是________．[答案] A ，B ，D[解析] BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →.14．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，则实数k 等于________．[答案] －1[解析] (k a －2b )·a ＝0，[k (1,1)－2(2，－3)]·(1,1)＝0，即(k －4，k ＋6)·(1,1)＝0，k －4＋k ＋6＝0，∴k ＝－1.15．如图，两块斜边长相等的直角三角形拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.[答案] 2＋32 32[解析] 连接AE ，则AE ∥BD ，且BD ＝3AE ，∴BD →＝3AE →＝3×12(AB →＋AC →)＝32(AB →＋AC →)，则AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋32(AB →＋AC →)＝2＋32AB →＋32AC →.16．关于平面向量a 、b 、c ，有下列三个命题： ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) [答案] ②[解析] 当a ＝0时，①不成立；对于②，若a ∥b ，则－2k ＝6，∴k ＝－3，②成立；对于③，由于|a |＝|b |＝|a －b |，则以|a |，|b |为邻边的平行四边形为菱形，如图．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知O 、A 、B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，(1)用OA →、OB →表示OC →；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形． [解析] (1)2AC →＋CB →＝0， 2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0. 2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0. ∴OC →＝2OA →－OB →.(2)如图，DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →)．故DA →＝12OC →.故四边形OCAD 为梯形．18．(本题满分12分)已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →.求：(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？ (2)存在平行四边形OABP 吗？若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若点P 在x 轴上，只需2＋3t ＝0，即t ＝－23；若点P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，即t ＝－13；若点P 在第二象限，则需⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，解得－23<t <－13.(2)假设存在平行四边形OABP ，则有OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t ).OA →＝PB →，于是⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，无解，故不存在平行四边形OABP .[点拨] (1)中判断点P 的位置，即判断点P 的坐标的情况． (2)存在性探究问题一般先假设存在．19．(本题满分12分)已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b ，d ＝a －b ， (1)若c ∥d ，求k 的值，并判断c 、d 是否同向； (2)若|a |＝|b |，a 与b 夹角为60°，当k 为何值时，c ⊥d . [解析] (1)c ∥d ，故c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )．又a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝－λ.得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1.即c ＝－d ，故c 与d 反向． (2)c ·d ＝(k a ＋b )·(a －b ) ＝k a 2－k a ·b ＋a ·b －b 2 ＝(k －1)a 2＋(1－k )|a |2·cos60° 又c ⊥d ，故(k －1)a 2＋1－k 2a 2＝0.即(k －1)＋1－k2＝0.解得k ＝1.20．(本题满分12分)向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，求|a |2＋|b |2＋|c |2的值．[解析] 由(a －b )⊥c 知(a －b )·c ＝0. 又c ＝－(a ＋b )，∴(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝0.故|a |＝|b |＝1，又c 2＝[－(a ＋b )]2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2＋b 2＝2， ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.21．(本题满分12分)已知|a |＝1，|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，x ＝2a －b ，y ＝3b －a ，则x 与y 的夹角的余弦值是多少？[解析] 由|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，得a ·b ＝|a ||b |cos α＝12.∵|x |2＝x 2＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－4×12＋1＝3，|y |2＝y 2＝(3b －a )2＝9b 2－6a ·b ＋a 2＝9－6×12＋1＝7，x ·y ＝(2a －b )·(3b －a )＝7a ·b －2a 2－3b 2＝－32，又x ·y ＝|x ||y |cos θ， ∴cos θ＝x ·y |x ||y |＝－2114.22．(12分)已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)．(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)a ·b ＝(3，－1)·(12，32)＝32－32＝0，∴a ⊥b .(2)假设存在非零实数k ，t 使x ⊥y ，则[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＋t (t 2－3)b 2＝0.又a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1.∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 2－3t )(t ≠0)，故存在非零实数k ，t ，使x ⊥y 成立，其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)．。

高一数学试题(必修4).

2012—2013学年（下）期末教学质量检测高一数学（必修4）试题注意事项：1．考试时间120分钟，试题分值120分（含卷面分4分）。

2. 请将第Ⅰ卷选择题答案用2B 铅笔填涂在机读卡上，第Ⅱ卷非选择题答案填在答题纸上。

3．答题前先填好密封线内的各项内容。

第Ⅰ卷选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．的值是（） A ．12B ．32C ．32-D. 12-2．在ABC △中，AB =c ，AC =b ，若点D 满足2BD DC =，则AD =（） A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c 3．一钟表的分针长10 cm ，经过15分钟，分针的端点所转过的长为A ．30 cmB ．5cmC ．π5cmD ．325πcm 4. 函数1cos ,[0,2]y x x π=-∈的大致图象是（）AB C D5．已知a b a ,2||,1||==与b 的夹角为600，若ka b +与b 垂直，则k 的值为A ．4-B ．4C ．43-D ．436．若()βα-cos =53,βsin =135-,且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πβ，则sin α等于 A.6365B. 3365-C.3365D. 6365-7．与)4,3(-→a 共线的单位向量是A. )54,53(-B. )53,54(C. )54,53(-和)54,53(-D. )53,54(和)53,54(--8．函数5sin(2)2y x π=+的图像的一条对轴方程是 A ． 2x π=-B ．4x π=-C ．8x π=D ．54x π=9．把函数y ＝cos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移π4 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为A. y ＝2sin2xB. y ＝－2sin2xC. y ＝2cos(2x ＋π4)D. y ＝2cos(+2x 4π) 10．定义一种向量之间的⊗运算：⊗a b =c ，若()()1212,,,a a b b a =b =，则向量()1122,a b a b c =．已知1,2,,026π⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m n ，且点(,)P x y 在函数cos 2y x =的图象上运动，点Q 在函数()y f x =的图象上运动，且点P 和点Q 满足：OQ OP =⊗+m n （其中O 为坐标原点），则函数()y f x =的最大值A 及最小正周期T 分别为A ．122,πB ．12,πC ．22,πD ．2,π高一数学（必修4）试题第1页（共4页）o | | | | | | | |2ππ23ππ221-1xy| | | | | | | |2ππ23ππ22 1 -1 xy | | | | | | | |2ππ23ππ221-1x y| | | | | | | |2ππ23ππ22 1-1xy高一数学（必修4）试题第2页（共4页）600sin第Ⅱ卷非选择题（共70分，含卷面分4分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。

人教版高一数学必修四测试题(含详细答案)

高一数学试题（必修4）（特别适合按14523顺序的省份）必修4 第一章三角函数(1)一、选择题：1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C2 等于（）A B C D3.已知的值为（）A．－2 B．2 C．D．－4．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A.y=sin2xB.y=cos C .sin2x+cos2x D. y=5 若角的终边上有一点，则的值是（）A B C D6．要得到函数y=cos()的图象，只需将y=sin的图象（）A．向左平移个单位 B.同右平移个单位C．向左平移个单位 D.向右平移个单位7．若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y=sinx的图象则y=f(x)是（）A．y= B.y=C.y=D.8. 函数y=sin(2x+)的图像的一条对轴方程是（）A.x=-B. x=- C .x=D.x=9．若，则下列结论中一定成立的是（）A. B． C． D．10.函数的图象（）A．关于原点对称 B．关于点（－，0）对称 C．关于y轴对称 D．关于直线x=对称11.函数是（）A．上是增函数 B．上是减函数C．上是减函数D．上是减函数12.函数的定义域是（）A．B．C． D．二、填空题：13. 函数的最小值是 .14 与终边相同的最小正角是_______________15. 已知则 .16 若集合，，则=_______________________________________三、解答题：17．已知，且．a)求sinx、cosx、tanx的值．b)求sin3x – cos3x的值．18 已知，（1）求的值（2）求的值19. 已知α是第三角限的角，化简20．已知曲线上最高点为（2，），由此最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一点（6，0），求函数解析式，并求函数取最小值x的值及单调区间必修4 第一章三角函数(2)一、选择题：1．已知，则化简的结果为（）A． B. C． D. 以上都不对2．若角的终边过点(-3，-2)，则( )A．sin tan＞0 B．cos tan＞0C．sin cos＞0 D．sin cot＞03 已知，，那么的值是（）A B C D4．函数的图象的一条对称轴方程是（）A． B. C. D.5．已知，,则tan2x= ( ) A． B. C. D.6．已知，则的值为（）A． B. 1 C. D. 2 7．函数的最小正周期为（）A．1 B. C. D.8．函数的单调递增区间是（）A． B.C． D.9．函数，的最大值为（）A．1 B. 2 C. D.10．要得到的图象只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位11．已知sin(+α)=，则sin(-α)值为（）A. B. — C. D. —12．若，则（）A. B. C. D.二、填空题13．函数的定义域是14．的振幅为初相为15．求值：=_______________16．把函数先向右平移个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为________________________________三、解答题17 已知是关于的方程的两个实根，且，求的值18．已知函数，求：（1）函数y的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y的单调递增区间19．已知是方程的两根，且，求的值20．如下图为函数图像的一部分（1）求此函数的周期及最大值和最小值（2）求与这个函数图像关于直线对称的函数解析式必修4 第三章三角恒等变换(1)一、选择题:1.的值为 ( ）A 0BC D2.，，，是第三象限角，则（）A B C D3.设则的值是( )A B C D4. 已知，则的值为（）A B C D5.都是锐角，且，，则的值是（）A B C D6. 且则cos2x的值是（）A B C D7.在中，的取值域范围是 ( )A B C D8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于,则这个三角形底角的正弦值为（）A B C D9.要得到函数的图像，只需将的图像（）A、向右平移个单位B、向右平移个单位C、向左平移个单位D、向左平移个单位10. 函数的图像的一条对称轴方程是（）A、 B、 C、 D、11.若是一个三角形的最小内角，则函数的值域是( )A B C D12.在中，，则等于 ( )A B C D二、填空题:13.若是方程的两根，且则等于14. .在中，已知tanA ,tanB是方程的两个实根，则15. 已知，则的值为16. 关于函数，下列命题：①若存在，有时，成立；②在区间上是单调递增；③函数的图像关于点成中心对称图像；④将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合．其中正确的命题序号（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：17. 化简18. 求的值．19. 已知α为第二象限角，且sinα=求的值.20.已知函数，求（1）函数的最小值及此时的的集合。

人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)

5
5
∴ （ 2 5 ，－ 5 ）或（－ 2 5 ， 5 ）即为所求．
5
5
5
5
19．由题设
, 设 b=
.
∴
,
, 则由
,得
解得 sin α =1 或
当 sin α=1 时， cosα=0；当
时，
。
故所求的向量
或
。
20．解：（1） x y, x y 0.即[( a t 2 3)b] ( ka t b) 0.
D． OC－OA ＋CD；
3．已知 a =（3，4）， b =（5，12）， a 与 b 则夹角的余弦为（
）
A． 63 65
B． 65
C ． 13 5
D． 13
4．已知 a、b 均为单位向量 , 它们的夹角为 60°, 那么 | a+ 3 b| = （）
A． 7
B． 10
C． 13
D．4
5．已知 ABCDEF是正六边形，且 AB ＝ a ， AE ＝ b ，则 BC ＝（）
它的长度 | ×b|=| ||b|sin θ，如果 | |=4, |b|=3,
·b=-2 ，则 | ×b|=____________。
三 . 解答题
18、设平面三点 A（1， 0），B（0，1），C（2，5）．（1）试求向量 2 AB ＋ AC 的模；（ 2）试求向量 AB 与 AC 的夹角；（ 3）试求与 BC 垂直的单位向量的坐标．
∈R)的模取最小值
|b|
（ 2）当 a、b 共线同向时，则
0 ，此时 t | a | |b |
∴ b ( a tb) b a tb 2 b a | a || b | | b || a | | a || b | 0

高中数学第二章函数测试题北师大版必修1-北师大版高一必修1数学试题

第二章测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中，在(－∞，0)上为递增的是( ) A ．f (x )＝－2x ＋1 B ．g (x )＝|x －1| C ．y ＝1xD ．y ＝－1x[答案] D[解析] 熟悉简单函数的图像，并结合图像判断函数单调性，易知选D. 2．下列四个图像中，表示的不是函数图像的是( )[答案] B[解析] 选项B 中，当x 取某一个值时，y 可能有2个值与之对应，不符合函数的定义，它不是函数的图像．3．函数f (x )＝x －2＋1x －3的定义域是( ) A ．[2,3)B ．(3，＋∞)C ．[2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)[答案] C[解析] 要使函数有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0x －3≠0解得x ≥2且x ≠3.故选C.4．二次函数y ＝－2(x ＋1)2＋8的最值情况是( ) A ．最小值是8，无最大值 B ．最大值是－2，无最小值 C ．最大值是8，无最小值 D ．最小值是－2，无最大值 [答案] C[解析] 因为二次函数开口向下，所以当x ＝－1时，函数有最大值8，无最小值． 5．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b 是从A 到B 的映射，若1和8的原像分别是3和10，则5在f 作用下的像是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] A[解析] 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1，10a ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2.于是y ＝x －2，因此5在f 下的像是5－2＝3.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，f x ＋2，x <0，那么f (－3)的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．0 D ．1[答案] B[解析] 依题意有f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1＋1＝2，即f (－3)＝2.7．不论m 取何值，二次函数y ＝x 2＋(2－m )x ＋m 的图像总过的点是( ) A ．(1,3) B ．(1,0) C ．(－1,3) D ．(－1,0)[答案] A[解析] 由题意知x 2＋2x －y ＋m (1－x )＝0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －y ＝01－x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3，∴图像总过点(1,3)．8．定义在R 上的偶函数f (x )在区间[－2，－1]上是增函数，将f (x )的图像沿x 轴向右平移2个单位，得到函数g (x )的图像，则g (x )在下列区间上一定是减函数的是( )A ．[3,4]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[－1,0][答案] A[解析] 偶函数f (x )在[－2，－1]上为增函数，则在[1,2]上为减函数，f (x )向右平移2个单位后在[3,4]上是减函数．9．若函数f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上单调递减，则( ) A ．f (3)＋f (4)<0 B ．f (－3)－f (－2)<0 C ．f (－2)＋f (－5)<0 D ．f (4)－f (－1)>0 [答案] D[解析] 由题意知函数f (x )在[0,6]上递增．A 中f (3)＋f (4)与0的大小不定，A 错；B 中f (－3)－f (－2)＝f (3)－f (2)>0，B 错；C 中f (－2)＋f (－5)＝f (2)＋f (5)与0的大小不定，C 错；D 中f (4)－f (－1)＝f (4)－f (1)>0，D 正确． 10．若函数y ＝kx ＋5kx 2＋4kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值X 围为( )A ．(0，34)B ．(34，＋∞)C ．(－∞，0)D ．[0，34)[答案] D[解析]∵函数的定义域为R ，∴kx 2＋4kx ＋3恒不为零，则k ＝0时，成立；k ≠0时，Δ<0，也成立．∴0≤k <34.11．函数y ＝ax 2－bx ＋c (a ≠0)的图像过点(－1,0)，则ab ＋c ＋ba ＋c －ca ＋b的值是( )A ．－1B ．1 C.12 D ．－12[答案] A[解析]∵函数y ＝ax 2－bx ＋c (a ≠0)的图像过(－1,0)点，则有a ＋b ＋c ＝0，即a ＋b ＝－c ，b ＋c ＝－a ，a ＋c ＝－b . ∴ab ＋c ＋ba ＋c －ca ＋b＝－1.12．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23[答案] A[解析]由题意得|2x－1|<13⇒－13<2x－1<13⇒23<2x<43⇒13<x<23，∴选A. 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．将二次函数y＝x2＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是________．[答案]y＝x2＋4x＋2[解析]y＝(x＋2)2＋1－3＝(x＋2)2－2＝x2＋4x＋2.14．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.[答案]0[解析]本题考查偶函数的定义等基础知识．∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即x2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，∴|x－a|＝|x＋a|，平方，整理得：ax＝0，要使x∈R时恒成立，则a＝0.15．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f[g(1)]的值为当g[f(x)]＝2时，x＝________.[答案] 1 1[解析]f[g(1)]＝f(3)＝1，∵g[f(x)]＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.16．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如：解析式为y＝2x2＋1，值域为{9}的“孪生函数”有三个：①y＝2x2＋1，x∈{－2}；②y＝2x2＋1，x∈{2}；③y＝2x2＋1，x∈{－2,2}．那么函数解析式为y＝2x2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有________个．[答案] 3[解析] 根据定义，满足函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有：y ＝2x 2＋1，x ∈{0，2}；y ＝2x 2＋1，x ∈{0，－2}，y ＝2x 2＋1，x ∈{－2，0，2}共3个．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2|x |≤11 |x |>1，(1)画出f (x )的图像； (2)求f (x )的定义域和值域．[分析] 解答本题可分段画出图像，再结合图像求函数值域． [解析] (1)利用描点法，作出f (x )的图像，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图像知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－3,3]． (1)当a ＝－5时，求f (x )的最大值和最小值；(2)某某数a 的取值X 围，使y ＝f (x )在区间[－3,3]上是单调函数． [解析] (1)当a ＝－5时，f (x )＝x 2＋10x ＋2＝(x ＋5)2－23，x ∈[－3,3]，又因为二次函数开口向上，且对称轴为x ＝－5，所以当x ＝－3时，f (x )min ＝－19，当x ＝3时，f (x )max ＝41.(2)函数f (x )＝(x －a )2＋2－a 2的图像的对称轴为x ＝a ，因为f (x )在[－3,3]上是单调函数，所以a ≤－3或a ≥3.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增加的；(2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．[解析] (1)设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝(1a －1x 1)－(1a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2.∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0. ∴x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增加的． (2)∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又∵f (x )在[12，2]上是增加的，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 12＝12，f 2＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －2＝121a －12＝2.∴a ＝25.20．(本小题满分12分)已知幂函数y ＝f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数； (2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域． [解析] 由{x |－2<x <2，x ∈Z }＝{－1,0,1}． (1)由－2m 2－m ＋3>0，∴2m 2＋m －3<0，∴－32<m <1，∴m ＝－1或0.由(2)知f (x )是奇函数．当m ＝－1时，f (x )＝x 2为偶函数，舍去．当m ＝0时，f (x )＝x 3为奇函数． ∴f (x )＝x 3.当x ∈[0,3]时，f (x )在[0,3]上为增函数， ∴f (x )的值域为[0,27]．21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3)． (1)证明：f (x )是偶函数；(2)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数；(3)求函数的值域．[解析] (1)证明：∵定义域关于原点对称，f (－x )＝(－x )2－2|－x |－1＝x 2－2|x |－1＝f (x )，即f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x <0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12－2，x ≥0，x ＋12－2，x <0.根据二次函数的作图方法，可得函数图像，如图函数f (x )的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f (x )在区间[－3，－1)，[0,1]上为减函数，在[－1,0)，[1,3]上为增函数．(3)当x ≥0时，函数f (x )＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f (3)＝2. 当x <0时，函数f (x )＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f (－3)＝2. 故函数f (x )的值域为[－2,2]．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋x 3，x ∈R . (1)判断函数f (x )的单调性，并证明你的结论；(2)若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，试比较f (a )＋f (b )与0的大小． [解析] (1)函数f (x )＝x ＋x 3，x ∈R 是增函数，证明如下：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋x 31)－(x 2＋x 32)＝(x 1－x 2)＋(x 31－x 32)＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22＋1)＝(x 1－x 2)[(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1]．因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1>0.所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )＝x ＋x 3，x ∈R 是增函数． (2)由a ＋b >0，得a >－b ，由(1)知f (a )>f (－b )，因为f (x )的定义域为R ，定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝(－x )＋(－x )3＝－x －x 3＝－(x ＋x 3)＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．于是有f(－b)＝－f(b)，所以f(a)>－f(b)，从而f(a)＋f(b)>0.。

#【数学】第二章《基本初等函数》测试(2)(新人教A版必修1)

新课标高一数学同步测试第二章测试一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．已知p >q >1,0<a <1,则下列各式中正确的是（）A ．q pa a >B ．a a qp >C ．q pa a--> D ．a a q p -->2．已知c x b ax x f ++=)((a ，b ，c 是常数)的反函数352)(1-+=-x x x f ，则（）A ．a =3，b =5，c =－2B ．a =3，b =－2，c =5C ．a =2，b =3，c =5D ．a =2，b =－5，c =33．函数x y a log =当x >2 时恒有y >1，则a 的取值范围是（）A ．1221≠≤≤a a 且 B ．02121≤<≤<a a 或 C ．21≤<a D ．2101≤<≥a a 或4．函数f(x )的图象与函数g (x )=(21)x的图象关于直线y =x 对称，则f (2x -x 2)的单调减区间为（） A ．（-∞，1）B ．[1，+∞]C ．（0，1）D ．[1，2] 5．函数y =11+-x x ,x ∈(0,1)的值域是（）A ．[ -1，0)B ．（-1，0]C ．（-1，0）D ．[-1，0]6．设g (x )为R 上不恒等于0的奇函数，)(111)(x g b a x f x⎪⎭⎫⎝⎛+-=(a ＞0且a ≠1)为偶函数，则常数b 的值为（）A ．2B ．1C ．21 D ．与a 有关的值7．设f (x )=a x ，g (x )=x 31，h (x )=log a x ，a 满足log a (1－a 2)＞0，那么当x ＞1时必有（）A ．h (x )＜g (x )＜f (x )B ．h (x )＜f (x )＜g (x )C ．f(x )＜g (x )＜h (x )D ．f (x )＜h (x )＜g (x ) 8．函数xx x a y --=22(a ＞0)的定义域是（）A ．［－a ，a ］B ．［－a ，0］∪(0，a )C ．(0，a )D ．［－a ，0］9．lgx +lgy =2lg (x －2y )，则yx2log 的值的集合是（）A ．｛1｝B ．｛2｝C ．｛1，0｝D ．｛2，0｝10．函数x xx y +=的图象是（）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.11．按以下法则建立函数f (x )：对于任何实数x ，函数f (x )的值都是3－x 与x 2－4x +3中的最大者，则函数f (x )的最小值等于 . 12．设函数c bx x x x f ++=)(，给出四个命题： ①0=c 时，有)()(x f x f -=-成立；②c b ,0=﹥0时，方程0)(=x f ，只有一个实数根； ③)(x f y =的图象关于点（0,c ）对称； ④方程0)(=x f ，至多有两个实数根.上述四个命题中所有正确的命题序号是。

【优化设计】高一下学期数学(人教版必修4)第二章2.3.1课时作业

[学业水平训练]1．已知向量e 1，e 2不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是( ) A ．e 1－e 2与e 2－e 1B ．2e 1－3e 2与e 1－32e 2C ．－e 1－2e 2与2e 1＋4e 2D ．e 1－2e 2与2e 1－e 2解析：选D.根据基底的定义，只要两向量不共线便可作为基底，易知选D.2．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1、e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定解析：选B.∵a ＋b ＝3e 1－e 2， ∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线．3. 如图，在矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 解析：选A.OC →＝12AC →＝12(BC →＋AB →)＝12(BC →＋DC →)＝12(5e 1＋3e 2)．4．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，可作为该平面其他向量基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④解析：选B.易知AD →与AB →不共线，CA →与DC →不共线，故选B.5．若D 在△ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s ＝( ) A.165 B.125 C.85 D.45解析：选C.由题意得CD →＝45CB →＝45AB →－45AC →，∴r ＝45，s ＝－45，∴3r ＋s ＝85.6. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，M 是DC 的中点，以a ，b 为基底表示向量AM →＝________．解析：AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a .答案：b ＋12a7．设a ，b 是两个不共线向量，已知AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，若A 、B 、D 三点共线，则k ＝________．解析：∵CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ， ∴BD →＝CD →－CB →＝(2a －b )－(a ＋b )＝a －2b . ∵A 、B 、D 三点共线， ∴AB →＝λBD →，∴2a ＋k b ＝λ(a －2b )＝λa －2λb . 又a ，b 是两个不共线向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ＝－2λ， ∴k ＝－4. 答案：－48. 如图，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．解析：由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λBA →(λ＞1)，则OD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →.又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ＞1)，则OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－λμ，n ＝－1－λμ，且m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1，0)．答案：(－1，0)9．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解：∵a ，b 不共线，∴可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又∵e 1，e 2不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴c ＝a －2b .10. 如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，以a ，b 为基底表示向量AM →与HF →.解：由H ，M ，F 所在位置有：AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a ，HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →＝AB →＋13BC →－12AD →＝AB →＋13AD →－12AD →＝a －16b .[高考水平训练]1．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →＝( ) A.43a ＋23b B.23a ＋43b C.23a －23b D ．－23a ＋23b 解析：选B.设AD 与BE 交点为F ，则AF →＝23a ，BF →＝23b .由AB →＋BF →＋F A →＝0，得AB →＝23(a －b )，所以BC →＝2BD →＝2(AD →－AB →)＝23a ＋43b .2．已知e 1与e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝λe 1＋e 2，且a 与b 可作为一组基底，则实数λ的取值范围是________．解析：当a ∥b 时，设a ＝m b ，则有e 1＋2e 2＝m (λe 1＋e 2)，即e 1＋2e 2＝mλe 1＋m e 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝mλ，2＝m ，解得λ＝12，即当λ＝12时，a ∥b .又a 与b 可作为一组基底，∴a 与b 不共线，∴λ≠12.答案：(－∞，12)∪(12，＋∞)3. 如图，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AG →.解：易知CF →＝12CD →，CE →＝12CB →.设CG →＝λCA →，则由平行四边形法则可得 CG →＝λ(CB →＋CD →)＝2λCE →＋2λCF →，由于E ，G ，F 三点共线，则2λ＋2λ＝1，则λ＝14，从而CG →＝14CA →，从而AG →＝34AC →＝34(a ＋b )．4. 已知△OAB 中，延长BA 到C ，使AB ＝AC ，D 是将OB →分成2∶1两部分的一个分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解：(1)∵A 为BC 的中点， ∴OA →＝12(OB →＋OC →)，OC →＝2a －b .DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)∵OE →＝λOA →， ∴CE →＝OE →－OC →＝λOA →－OC → ＝λa －2a ＋b ＝(λ－2)a ＋b . ∵CE →与CD →共线，∴存在实数m ，使得CE →＝mCD →，即(λ－2)a ＋b ＝m (－2a ＋53b )，即(λ＋2m －2)a ＋(1－53m )b ＝0.∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2m －2＝0，1－53m ＝0，解得λ＝45.。

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平面向量单元测试题
一、选择题（每小题5分，共50分）
1．化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r 得（）
A ．A
B u u u r B ．DA
C ．BC
D ．0r 2．如图，四边形ABCD 中，AB →＝DC →，则相等的向量是（）
A. AD →与CB →
B. OB →与OD →
C. AC →与BD →
D. AO →与OC → 3．某人先位移向量a r ：“向东走5 km ”，接着再位移向量b r ：“向西走3 km ”，则a b +r r 表示( )
A ．向东走2 km
B ．向西走2 km
C ．向东走8 km
D ．向西走8 km
4．如果△ABC 的顶点坐标分别是A (4,6), (2,1)B -,(4,1)C -,则重心的坐标是 ( )
A.(2,1)
B.(2,2)
C.(1,2)
D.(2,4)
5．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BC →＝( )
A ．(1,1)
B ．(－1，－1)
C ．(3,7)
D ．(－3，－7)
6．下列向量组中能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（） A.1e r =（0，0），2e u u r =（1，－2） B. 1e r =（－1，2），2e u u r =（5，7） C. 1e r =（3，5），2e u u r =（6，10）
D. 1e r =（2，－3），2e u u r =（21，－4
3） 7． O 是ΔABC 所在的平面内的一点，且满足（OB -OC ）·（OB +OC -2OA ）=0，则ΔABC 的形
状一定为（）
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．斜三角形
8．已知12,5||,3||=⋅==b a b a 且，则向量a 在向量b 上的投影为（）
A ．
512 B ．3 C ．4 D ．5
9．已知两个力F 1,F 2的夹角为900，它们的合力的大小为10N ，合力与F 1的夹角为600，则 F 1的大小为（）
A ．
B ．5N
C ．10N
D ．
10．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标为( )
A ．(－3,0)
B ．(2,0)
C ．(3,0)
D ．(4,0)
二、填空题（每小题5分，共20分） 11．若3a =r ,2b =r ，且a 与b 的夹角为060，则a b -=r r ．
12．如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，
若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则MN u u u u r ＝．
13．一艘船从A 点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，则船实际航行的速度的大小是 /km h ．
14．设点M 1(2,－2), M 2(－2,6)，点M 在M 2M 1的延长线上，且| M 1M |=|M M 2|，则点M 的坐标是．
三、解答题（本大题共6小题，共780分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）已知向量12a e e =-r u r u u r ，1243b e e =+r u r u u r ，其中1(1,0)e =u r ，2(0,1)e =u u r ．
（1）试计算a b ⋅r r 及a b +r r 的值；
（2）求向量a r 与b r 的夹角的余弦值。

53N 52N h km /32h km /215
已知3a =u u r ，2b =u u r ，a r 与b r 的夹角为60°，35c a b =+r r r ，3d ma b =-u r r r .
(1)当m 为何值时，c r 与d u r 垂直？
(2)当m 为何值时，c r 与d u r 共线？
17．（本小题满分12分）
已知在△ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的
坐标．
18．（本小题满分12分）
如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，4,2AB AD ==,且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB
的中点，且60DAB ∠=︒，求AM DN ⋅u u u u r u u u r 的值.
已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．
(1)求证：AB →⊥AD →；
(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值．
20．（本小题满分14分）已知平面向量()ρρa b =-=⎛⎝ ⎫⎭⎪311232，，，（1）证明：ρρa b ⊥；（2）若存在不同时为零的实数k 和t ，使()ρρρρρρx a t b y ka tb =+-=-+3，，且ρρx y ⊥，试
求函数关系式k f t =()；
（3）根据（2）的结论，讨论关于t 的方程f t k ()-=0的解的情况。