利用全等三角形测距离

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在生活中应用全等三角形测距离

在生活中应用全等三角形测距离在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决。

下面，我们举例谈谈怎样构造全等三角形，测量两地的距离，看看在实际生活中的应用。

例1：有一池塘，要测池塘两端A、B间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=CB，连结DE，量出DE的长，这个长就是A、B之间的距离。

（1）按题中要求画图。

（2）说明DE=AB的理由，并试着把说明的过程写出来。

解：（1）如图1。

（2）因为在△ABC和△DEC中，CA CDACB DCECB CE所以△ABC≌△DEC所以DE=AB例2、如图2，某同学把一块三角形的玻璃摔成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（）A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去。

析解：怎样做一个三角形与已知三角形全等，可以依据全等三角形的判定方法进行具体分析，题目中的一块三角形的玻璃被摔成三块，其中①仅留一个角，仅凭一个角无法做出全等三角形；而②没边没角；③存在两角和夹边，于是根据“ASA”不难做出与原三角形全等的三角形。

故应选C。

例3、如图3、小红和小亮两家分别位于A、B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案。

分析：本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，使一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，就可求出两家的距离。

方案：如图3，在点B所在的河岸上取点C，连结BC并延长到D，使CD=CB，利用测角仪器使得∠B=∠D，A、C、E三点在同一直线上。

测量出DE的长，就是AB的长。

因为∠B=∠D，CD=CB，∠ACB=∠ECD，所以△ACB≌△ECD所以AB=DE。

例4、如图4，点C是路段AB的中点，两人从C点同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到过D、E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E到路段AB 的距离相等吗？为什么？分析：因为两人是以相同的速度从点C同时出发，且同时到达D、E两点，所以CD=CE。

利用全等三角形测距离的方法

利用全等三角形测距离的方法宝子们！今天咱们来唠唠一个超有趣的事儿——利用全等三角形测距离。

全等三角形啊，那可是一对长得一模一样的三角形呢。

它们的对应边相等，对应角也相等。

这特性可就被聪明的人儿用来测距离啦。

比如说吧，你站在一个地方，想知道河对岸某个点到你的距离。

但是呢，你又不能直接拿着尺子去量，这时候全等三角形就闪亮登场啦。

你可以在你这边的岸上，找一个点A，然后从这个点出发，沿着河岸走一段距离到点B，再找个合适的角度，比如说让∠ABC是个直角。

然后从点B向对岸的那个目标点C看过去，在这条视线和河岸的交点处标记为点D。

这时候呢，你就构造出了两个三角形啦，一个是△ABC，还有一个是△ABD。

你看啊，∠ABC = ∠ABD = 90°，而且∠BAC和∠BAD是你看同一个方向形成的角，所以这两个角相等，再加上AB是公共边。

这么一来，根据角边角的判定定理，这两个三角形就是全等三角形啦。

那既然全等了，AC和AD的长度就相等喽。

你只要量出AD的长度，就知道河对岸的点C到你的距离啦。

是不是很神奇呢？再比如在野外探险的时候，你想知道两座山之间的距离。

你可以在平地上找一个合适的位置，同样构造出这样的全等三角形。

找个基准点，然后通过测量一些角度和距离，利用全等三角形的性质，就可以算出两座山之间的距离啦。

这种方法就像是我们和数学玩的一个小把戏。

它不需要那些特别高大上的仪器，就靠着我们对全等三角形的了解，就能解决那些看起来很难测量距离的问题。

而且啊，当你通过自己的智慧，用这种方法算出距离的时候，那种成就感简直不要太爽哦。

就像是你和数学之间有了一个小秘密，然后你用这个小秘密解决了实际的大问题呢。

宝子们，是不是也想找个机会去试试这个超酷的测量距离的方法呀。

利用三角形全等测距离_数学

D
所以AB=DE(全等三角形的对应边相等).
典例精讲
方案二：
如图，先作三角形ABC，再找一点D，使 A
BD∥AC，并使BD=AC，连接CD，CD的
B
长即为AB的长.
理由：由BD∥AC，可得∠DBC=∠ACB.
在△ACB与△DBC中，
因为AC=BD，∠DBC=∠ACB，BC=CB， C
D
所以△ACB≌△DBC(SAS).
O
Q
岸的点O处，调整好自己的帽子，使视
线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营
Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他
刚刚站立的点O处，让士兵丈量他所站的位置B与O点间的距离，
并下令按这个距离炮轰敌营.试问法军能命中目标吗？
合作探究
讨论并解决“新知引入”中的问题：
A
P
解：在△ABO与△POQ中，
A
E
B
在△BME和△CMF中，
∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF，
M
所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF. C 故只要测量CF即可得B，E之间的距离.
D F
课堂小结
1.利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离. 依据：全等三角形的性质；关键：构造全等三角形.
2.方法：（1）延长法构造全等三角形；（2）垂直法构造全等三角形.
4.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，
在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，石凳
M恰好在BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路
上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，
你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.

4.5利用三角形全等测距离(教案)

5.培养学生的创新意识，鼓励学生在解决测量问题时，探索多种方法和思路，激发学生对几何学习的兴趣。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解全等三角形的定义及其判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。
-学会运用全等三角形的性质解决实际问题，特别是利用全等三角形测距离的方法。
-掌握在实际测量中，如何根据已知条件和全等三角形的性质，构建全等关系，从而求解未知距离。
4.5利用三角形全等测距离（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级下册《几何》第四章“全等三角形”的4.5节“利用三角形全等测距离”。教学内容主要包括：了解全等三角形的性质和判定方法，掌握利用全等三角形测距离的方法。具体内容包括：
1.熟悉全等三角形的定义和性质，如SSS、SAS、ASA、AAS等全等判定方法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的判定方法和在实际测量中的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形测距离相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何利用全等三角形的基本原理进行距离测量。
五、教学反思
在今天的教学中，我尝试了通过实际问题引入全等三角形的概念，让学生们感受到几何学的实际应用。我发现，当学生们能够将新知识与现实生活联系起来时，他们对学习内容更感兴趣，也更愿意主动参与课堂讨论。
课堂上，我注意到在讲解全等三角形的判定方法时，有些学生对于SSS、SAS等判定条件的理解还存在困难。于是，我及时调整了教学方法，通过举例和画图，让学生更直观地感受全等三角形的性质。在接下来的时间里，我会继续关注这部分学生的学习情况，适时给予个别辅导，帮助他们突破这个难点。

《利用全等三角形测距离》教学设计

《利用全等三角形测距离》教学设计教学设计：利用全等三角形测距离一、教学目标：1.知识与技能目标：理解全等三角形的定义和性质，掌握利用全等三角形测距离的方法。

2.过程与方法目标：通过实际问题的解决，培养学生观察、分析和推理的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生认真思考问题、合作探究和创新解决问题的学习态度。

二、教学内容：1.全等三角形的定义和性质。

2.利用全等三角形测距离的方法。

三、教学过程：步骤一：导入（15分钟）1.引出直角三角形的定义和勾股定理，复习相似三角形的知识。

2.引出全等三角形的定义，通过举例说明全等三角形的性质。

步骤二：讲解（20分钟）1.通过教师讲解和板书，复习全等三角形的判定条件。

2.理论说明如何利用全等三角形测距离：a.同样条件下的两个全等三角形的对应边长成比例。

b.利用等边三角形和等腰三角形的全等性质测距离。

步骤三：示范演练（30分钟）1.选择一个实际问题：从一个点到河边测量距离。

2.分组合作，通过测量方法和全等三角形的性质，推导出测量距离的方法。

a.学生观察问题，提出解决方案。

b.分析问题的关键点。

c.列出解决问题的步骤。

步骤四：小组探究（30分钟）1.将学生分成小组，提供不同的实际问题，要求利用全等三角形测量距离。

2.学生分析问题、解决问题过程中的关键点。

3.各小组交流分享解决问题的方法和答案。

步骤五：归纳总结（20分钟）1.小组汇报解决问题的方法和答案。

2.整理和归纳全等三角形测距离的方法。

3.分享优秀解决方法和解答。

四、教学资源：1.教师准备：黑板、彩色粉笔、演示材料。

2.学生准备：教材、笔、纸。

五、教学评价与反思：1.教师通过听讲和课堂练习，评价学生对全等三角形和测距离的理解和掌握程度。

2.教师针对学生的表现进行及时的反馈和指导，帮助学生克服困难，提高学习效果。

3.教师通过课后作业的批改和讲评，总结学生在全等三角形测距离中的常见错误和不足，调整教学策略。

六、拓展延伸：1.引导学生思考如何利用全等三角形解决其他实际问题。

利用三角形全等公理(一)测距离课件

利用三角形全等公理(一)计算距离的方法：根据已知的测量点和目标点的坐标信息，利用三角形全等公理(一) 计算出测量点和目标点之间的距离。具体步骤如下
2. 在直线段上取一点作为第三个点，与测量点和目标点构成两个三角形。
3. 根据已知的测量角度和距离信息，计算出第三个点的坐标。
4. 利用三角形全等公理(一)判断两个三角形是否全等，如果全等则说明计算出的距离是正确的。
利用三角形全等公理(一)测距离ppt课件
CONTENTS
• 引言 • 三角形全等公理(一)的原理 • 利用三角形全等公理(一)测距离
的方法 • 实例分析 • 结论
01
引言
主题介绍
主题背景
介绍利用三角形全等公理(一)测距离的背景和应用场景，说明其在实际生活和工程中的重要性。
主题目的
阐述本课件的主题目的，即通过学习三角形全等公理(一)来掌握测量距离的方法。
实例三：测量点到平面的距离
总结词
利用三角形全等公理测量点到平面的最短距离
详细描述
选取一点A，作AB垂直于平面M于点B。在平面M上作线段BC平行于AB，并取一点D使得AD=CD。然后，过B作线段BE垂直于平面M于点E。此时，三角形ABC全等于三角形 BDE，因此，AB=BE，即点A到平面M的最短距离就是BE，也就是我们测量的结果。
三角形全等公理(一)简介
三角形全等定义
简要介绍三角形全等的定义，为后续课件内容做铺垫。
三角形全等公理(一)
详细解释三角形全等公理(一)的内容，包括其表述、应用条件和推导过程等。
02
三角形全等公理(一)的原理
三角形全等公理(一)的定义
总结词
三角形全等公理(一)是几何学中的基本定理，它定义了两个三角形在满足一定条件下可以被认为是全等的。

利用三角形全等测距离利用三角形全等测距离事件报告的证明过程

利用三角形全等测距离利用三角形全等测距离事件报告的证明过程x一、实验目的和原理1.1 实验目的本实验旨在证明，通过利用三角形全等测距离，可以测量出两点之间的距离，求出每一个角的大小，并最终确定两点之间的距离。

1.2 实验原理本实验的原理为三角形全等测距原理。

通过三角形全等测距，将测量区域划分为三角形，将其中一点作为起始点，从该点开始测量两边的距离，即可确定该角度的两条边与其相对角度的距离。

二、实验器材、工具及材料2.1 实验器材本次实验主要使用的器材为仪器站（Instrument Station），由两部分组成，包括水准仪（Level）和量角器（Theodolite）。

2.2 实验工具实验所用的工具包括水准仪杆和测距绳，水准仪杆用于测量水平距离，而测距绳则是用于测量垂直距离的。

2.3 实验材料本实验需要铅笔、纸条和尺子。

铅笔用于标出实验所需标记点的位置；纸条用于记录所测角度和距离，以保证实验结果的准确性；尺子则用于确定垂直距离。

三、实验步骤1. 使用铅笔在实验区域画出三个标记点，标记点在到达测量点时进行标记。

2. 将水准仪调节至等高线，并测量第一个标记点到第二个标记点的水平距离。

3. 使用量角器测量从第一个标记点到第二个标记点之间的角度。

4. 使用测距绳测量从第二个标记点到第三个标记点之间的距离。

5.重复步骤2-4，测量第二个标记点到第三个标记点的水平距离和角度。

6. 计算第一个标记点到第三个标记点之间的距离，使用测距公式：D = c/2sinA三角形腰等腰定理，D表示第一个标记点到第三个标记点的距离，c为第一个标记点到第二个标记点的水平距离，A为第一个标记点到第二个标记点的角度。

7. 重复步骤6，计算第二个和第三个标记点之间的距离。

8. 将所得结果进行核对，确保结果的准确性。

四、实验结果和分析实验结果表1 三点实验结果标记点距离（米）角度1 -2 12.3 33.2°2 -3 16.2 45.8°1 - 3 11.4从表中可以看出，最终计算出的第一个标记点到第三个标记点的距离为11.4米，与实际测量的结果基本一致。

利用全等三角形测距离的原理

利用全等三角形测距离的原理1. 引言嘿，朋友们，今天咱们来聊聊一个有趣的话题——测距离。

别急，听起来可能有点学术，但其实这就像是在解谜一样。

你有没有想过，怎么能在不带尺子、不用激光测距仪的情况下，测出远处的距离呢？哎呀，这可是有门道的哦！今天就让我们用全等三角形的原理，轻轻松松把这个问题搞定。

准备好了吗？跟我一起踏上这段探索之旅吧！2. 全等三角形的秘密2.1 什么是全等三角形？首先，咱们得搞清楚什么是全等三角形。

你可以把它想象成两个完全一样的三角形，就像一对双胞胎，身材、角度、边长，统统都是一模一样的。

听起来是不是有点魔法的感觉？比如，如果你有一个三角形，量出它的边长和角度，另一个三角形只要跟它一样，就可以认为它们是全等的。

就像是你在画一幅画，给它复制了一份，结果发现，哎，完完全全一模一样！2.2 为什么用全等三角形测距离？那么，为什么我们要利用全等三角形来测距离呢？这就要说到生活中的小智慧了。

想象一下，你在公园散步，看到远处一棵大树，想知道离你有多远。

这时，如果你能用三角形来帮忙，岂不是事半功倍？通过构造一个全等三角形，我们可以利用已知的边长和角度，轻松算出大树的距离。

这样一来，连“放羊的孩子”都能搞定这件事，何况你我呢？3. 如何测距离？3.1 实际操作步骤那么，具体怎么操作呢？首先，我们可以选择一个合适的地方，站在起点A。

然后，用一根绳子或者木棍，测量一段已知的距离，设定为边AB。

接下来，从B点出发，沿着与边AB形成一个已知角度的方向，走一段距离，标记为C。

这样，你就形成了一个三角形ABC，AB是已知边，而角ABC是你测得的角度。

接着，最关键的来了！利用全等三角形的性质，你可以想象另一个三角形ABD（D 点在C的正对面），那么，如果AB的长度是已知的，且角度也是固定的，利用全等三角形的原理，我们就可以通过一些简单的计算，求出AC的长度。

哇，是不是感觉很酷？简简单单就能得出一个未知的距离。

4.5 利用三角形全等测距离(分层练习)(解析版)

第四章三角形4.5 利用三角形全等测距离精选练习一、单选题1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS 【答案】C 【分析】由题意可知：被墨迹污染了的三角形保留了完整的两角及其夹边，于是可根据ASA 进行判断.【详解】解：由题意可知：被墨迹污染了的三角形保留了完整的两角及其夹边，可根据ASA 画出一个与书上完全一样的三角形；故选：C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正确理解题意、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.2．（2023春·全国·七年级专题练习）庆阳湖国家水利风景区位于甘肃省庆阳市西峰区，依托庆阳市城市雨洪集蓄工程而建，景区规划面积211km，其中水域面积20.43km ，属于城市河湖型水利风景区，亿万年前，这里是一个巨大的史前湖泊，范围之大，难以想象．如图，小明利用全等三角形的知识测量庆阳湖两端M 、N 的距离，若PQO NMO △≌△，则只需测出其长度的线段是（）A．PO B．PQ C．MO D．MQ【答案】B【分析】根据全等三角形的性质求解即可．△≌△，【详解】解：∵PQO NMO=，∴MN PQ∴要测量出M、N的距离，只需要测出线段PQ的长度即可，故选B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键．3．（2022秋·广西南宁·八年级南宁三中校考期中）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（）A．SAS B．HL C．SSS D．ASA【答案】D【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．【详解】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．故选：D．【点睛】此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，小明同学在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，BC=CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，可得△ABC ≌△EDC ，从而DE =AB ．判定△ABC ≌△EDC 的依据是（）A ．ASAB ．SASC ．AASD ．SSS 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．【详解】解：在△ABC 和△EDC 中：90ABC EDC BC CD ACB ECD Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，∴△ABC ≌△EDC （ASA ）．故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．5．如图，将两根钢条AA ¢，BB ¢的中点O 连在一起，使AA ¢，BB ¢可绕点O 自由转动，就做成了一个测量工件，则A B ¢¢的长等于内槽宽AB ，那么判定OAB OA B ¢¢△≌△的理由是（）A ．边角边B ．角边角C ．边边边D ．角角边【答案】A 【分析】由已知有OA OA ,OB OB ¢¢==，且对顶角相等，则由SAS 可判断OAB OA B ¢¢△≌△，从而问题解决．【详解】由已知OA OA ,OB OB ¢¢==∵AOB A OB ¢¢Ð=Ð∴OAB OA B ¢¢△≌△(SAS )故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的几个判定方法是关键．6．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD 与CD 的距离间的关系是（）A ．BD CD>B ．BD CD <C ．BD CD =D ．不能确定【答案】C 【分析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断AB AC =，又AD AD =，AD BC ^，所以ABD ACD @△△，所以BD CD =．【详解】解：AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°，由AB AC =，AD AD =，()ABD ACD HL \@△△，BD CD \=．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；充分运用题目条件，图形条件，寻找三角形全等的条件．本题关键是证明ABD ACD @△△．二、填空题7．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是__．【答案】ASA【分析】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可．【详解】解：小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA ）．故答案为：ASA ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．8．（2022秋·广东河源·八年级校考期末）如图，要测量水池宽AB ，可从点A 出发在地面上画一条线段AC ，使AC AB ^，再从点C 观测，在BA 的延长线上测得一点D ，使ACD ACB Ð=Ð，这时量得120m AD =，则水池宽AB 的长度是__m ．【答案】120【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】AC BD ^Q ，90CAD CAB \Ð=Ð=°，CA CA =Q ，ACD ACB Ð=Ð，()ACD ACB ASA \D @D ，120AB AD m \==，故答案为120．【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．9．（2020秋·北京·八年级校考期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形?应该带______．依据__________________．【答案】 2 角边角【分析】应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行一一验证．【详解】解：（1）1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，故应带第2块；（2）第2块具备三角形全等的要素两角及夹边，所紧依据是角边角；故答案为：2；角边角．【点睛】此题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在坐标轴上，8OA cm =，12OC cm =．点P 是线段CB 上的动点，从点C 出发，以2/cm s 的速度向点B 作匀速运动；点Q 在线段OC 上，从点O 出发向点C 作匀速运动且速度是点P 运动速度的a 倍，若用(),a t 来表示运动t 秒时AOQ D 与QCP D 全等，写出满足AOQ D 与QCP D 全等时(),a t 的所有情况_____________．三、解答题11．（2020秋·安徽铜陵·八年级铜陵市第二中学校考阶段练习）如图，ABF △≌CDE V ，已知30B Ð=°，25DCF Ð=°，求EFC Ð的度数．【答案】55°【分析】由全等三角形的对应角相等知∠B=∠D=30°，然后由三角形外角定理来求∠EFC 的度数．【详解】解：∵ABF △≌CDE V ，B D Ð=Ð．又∵30B Ð=°，∴30D Ð=°．∵25DCF Ð=°，∴55EFC D DCF Ð=Ð+Ð=°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质．全等三角形的对应边相等及全等三角形的对应角相等是解题的关键．12．（2020秋·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，AD=CB ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，E 、F 是垂足，AE=CF ．求证：（1）AB=CD（2）AB//CD ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用HL 得到直角三角形ADE 与直角三角形CBF 全等，利用全等三角形的对应边相等得到DE=BF ，可得DF=BE ，利用SAS 得到三角形AEB 与三角形CFD 全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）由全等三角形的对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．【详解】证明：（1）AE BD ^Q ，CF BD^B 90AEB CFD AED CF \Ð=Ð=Ð=Ð=°AE CF =Q ，AD CB=()Rt ADE CBF HL \D @D∴DE=BFDE BD BD BF\-=-BE DF\=∵AEB CFD Ð=Ð，AE CF=∴ABE CDF D @D （SAS ）∴AB=CD ；（2）∵ABE CDFD @D ∴Ð=ÐABE CDF//AB CD\【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．一、填空题1．（2020秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在ABC V 中，AB AC =，BD CD =，点E ，F 是AD 上的任意两点、若8BC =，6AD =，则图中阴影部分的面积为__________．【答案】12【分析】利用SSS 证明△ADC ≌△ADB ，可得△ABD 的面积=△ACD 的面积，通过拼接可得阴影部分的面积=△ABD 的面积，再利用三角形的面积公式可求解．2．（2022秋·全国·八年级假期作业）如图，小明用7块高度都是1cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放一个等腰直角三角尺ABC，点C在DE上，点A，B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______cm．【答案】7【分析】根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．【详解】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，ADC CEB DAC BCE AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；由题意得：AD =EC =2cm ，DC =BE =5cm ，∴DE =DC +CE =7（cm ），所以两堵木墙之间的距离为7cm ．故答案为：7【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．3．（2020秋·北京海淀·八年级海淀实验中学校考期中）教材中有如下一段文字：思考：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC ，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD ，这个实验说明了什么？如图中的△ABC 与△ABD 满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．请你判断小明的说法_____．（填“正确”或“不正确”）【答案】正确【分析】根据题意画出图形，写出已知条件，然后可得∠ACG ＝∠DFH ，进而可根据全等三角形的性质与判定进行分析问题．【详解】解：小明的说法正确．理由：如图，△ABC 和△DEF 中，AB ＞AC ，ED ＞DF ，AB ＝DE ，AC ＝DF ，∠ACB ＝∠DFE ，作AG ⊥BC 于G ，DH ⊥EF 于H ．∵∠ACB ＝∠DFE ，∴∠ACG ＝∠DFH ，在△ACG 和△DFH 中，G H ACG DFH AC DF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ACG ≌△DFH ，∴AG ＝DH ，在Rt △ABG 和Rt △DEH 中，AB DE AG DH =ìí=î，∴△ABG ≌△DEH ，∴∠B ＝∠E ，在△ABC 和△DEF 中，B E ACB DFE AB DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABC ≌△DEF ．（当△ABC 和△DEF 是锐角三角形时，证明方法类似）．故答案为正确．【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定及三角形全等的性质与判定，熟练掌握直角三角形全等的判定及三角形全等的性质与判定是解题的关键．4．（2022秋·云南昭通·八年级统考期中）如图，CA BC ^，垂足为C ，2cm =AC ，8cm BC =，射线BM CB ^，垂足为B ，动点P 从点C 出发，以1cm /s 的速度设射线CB 运动，N 为射线BM 上一动点，随着点P 运动而运动，且始终满足PN AB =．设点P 的运动时间为t ()0t >，当t =______s 时，BCA V 与PBN V 全等．【答案】6或10或16【分析】根据题意可分点P 在点B 的左侧和右侧进行分类求解即可．【详解】解：设点P 的运动时间为t 秒，由题意得：cm CP t =，①当点P 在点B 的左侧时，且满足2AC BP cm ==，∵PN AB =，∴ACB PBN V V ≌HL （），∵cm CP t =，∴()8cm BP t =-，即82t -=，解得：6t =；②当点P 在点B 的右侧时，且满足2AC BP cm ==，则ACB PBN V V ≌，∴()8cm BP t =-，即82t -=，解得：10t =；③当点P 在点B 的右侧时，且满足8BC BP cm ==，则ACB NBP V V ≌，∴()8cm BP t =-，即88t -=，解得：16t =；综上所述：当t 为6或10或16秒时，BCA D 与PBN D 全等．故答案为6或10或16．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．CD= 5．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD中，12AB=厘米，8BC=厘米，14Ð=Ð，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，厘米，B C同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为______厘米/秒时，能够使BPEV与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．二、解答题6．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图1，在四边形ABCD 中，12090AB AD BAD B ADC =Ð=°Ð=Ð=°，，，E ，F 分别是BC CD ，上的点，且60EAF Ð=°，请猜想图中线段BE EF FD ，，之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD ，四周修有步行小径，且180AB AD B D =Ð+Ð=°，，在小径BC CD ，上各修一凉亭E ，F ，在凉亭E 与F 之间有一池塘，不能直接到达经测量得到12EAF BAD Ð=Ð，10BE =米，15DF =米，试求两凉亭之间的距离EF ．【答案】（1）EF BE FD =+，证明见解析；（2）25米【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，利用SAS 证明ABE ADG ≌△△，推出AE AG BAE DAG =Ð=Ð，，再证明()SAS AEF AGF △△≌，据此即可得到EF BE FD =+；（2）延长CD 至H ，使DH BE =，连接AH ，利用SAS 证明ADH ABE ≌△△，推出AE AH BAE DAH =Ð=Ð，，再证明()SAS AEF AGF △△≌，据此计算即可求解．【详解】解：（1）猜想：EF BE FD =+，证明：如图1，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，∵90180ADC ADC ADG Ð=°Ð+Ð=°，，∴90ADG Ð=°，在ABE V 和ADG △中，BE DG B ADG AB AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ABE ADG △△≌，∴AE AG BAE DAG =Ð=Ð，，∵60120EAF BAD Ð=°Ð=°，，∴1206060BAE DAF Ð+Ð=°-°=°，∴60GAF DAG DAF BAE DAF EAF Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°=Ð，在AEF △和AGF V 中，AE AG EAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS AEF AGF △△≌，∴EF FG =，∵FG DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+；（2）如图2，延长CD 至H ，使DH BE =，连接AH ，∵180,B ADC Ð+Ð=°∴ADH B Ð=Ð，在ADH V 和ABE V 中，∴(SAS ADH ABE ≌△△7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B 点，选对岸正对的一棵树A ；②沿河岸直走20m 有一树C ，继续前行20m 到达D 处；③从D 处沿河岸垂直的方向行走，当到达A 树正好被C 树遮挡住的E 处时停止行走；④测得DE 的长为6米．根据他们的做法，回答下列问题：(1)河的宽度是多少米？(2)请你证明他们做法的正确性．【答案】(1)6米(2)见解析【分析】（1）根据全等三角形对应角相等可得AB DE =；（2）利用“角边角”证明ABC V 和EDC △全等，再根据全等三角形对应边相等解答．【详解】（1）由数学兴趣小组的做法可知，AB DE =，故河宽为6米（2）由题意知90ABC CDE Ð=Ð=°，20BC CD ==米又∵光沿直线传播∴ACB ECDÐ=Ð又∵在ABC V 和EDC △中ABC CDE BC CDACB ECD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴ABC EDC △△≌ASA （）∴AB DE =．即他们的做法是正确的．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．8．（2023·全国·九年级专题练习）【问题情境】如图，池塘的两端有A ，B 两点，现需要测量该池塘的两端A ，B 之间的距离，需要如何进行呢？【方案解决】同学们想出了如下的两种方案：方案①：如图1，先在平地上取一个可直接到达A ，B 的点C ，再连接AC ，BC ，并分别延长AC 至点D ，BC 至点E ，使DC AC =，EC BC =，最后量出DE 的距离就是AB 的距离；方案②：如图2，过点B 作AB 的垂线BF ，在BF 上取C ，D 两点，使BC CD =．接着过点D 作BD 的垂线DE ，在垂线上选一点E ，使A ，C ，E 三点在一条直线上，则测出DE 的长即是AB 的距离．(1)方案①是否可行？请说明理由；(2)方案②是否可行？请说明理由；(3)李明同学提出在方案②中，并不一定需要BF AB ^，DE BF ^，只需要__________就可以了，请把李明所说的条件补上．【答案】(1)方案①可行，理由见解析(2)方案②可行，理由见解析(3)AB DE ∥．【分析】（1）利用SAS 定理证明ABC DEC ≌△△可得AB DE =；（2）利用ASA 定理证明ABC DEC ≌△△可得AB DE =；（3）AB DE ∥，可得B BDE Ð=Ð，利用ASA 定理证明ABC DEC ≌△△可得AB DE =．【详解】（1）可行，理由如下：在ABC V 和DEC V 中，AC DC ACB ECD CB EC =ìïÐ=Ðíï=î，()ABC DEC SAS \≌△△，AB DE \=；（2）可行，理由如下：BF AB ^Q ，DE BF ^，B BDE \Ð=Ð，在ABC V 和DEC V 中，B CDE CB CDBCA DCE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ABC DEC ASA \V V ≌，AB DE \=；（3）只需AB DE ∥即可，AB DE ∥Q ，B BDE \Ð=Ð，在ABC V 和EDC △中，B CDE CB CDBCA DCE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ABC EDC ASA \V V ≌，AB DE \=，故答案为：AB DE ∥．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定与性质．。

利用全等三角形测距离的例子

利用全等三角形测距离的例子
1. 你知道吗，在实际生活中，我们可以像聪明的探险家一样利用全等三角形测距离呢！比如说，当我们要测量一条小河的宽度，就可以在河对岸找一个参照点，这边也找一个点，然后通过一些操作，让相应的三角形全等，这不就能知道小河大概有多宽啦！厉害吧！
2. 嘿，想象一下，假如你在一个大操场上，想知道从这边到那边有多远，这时候全等三角形就能派上大用场啦！就好像你有一把神奇的尺子，可以通过巧妙的方法测量出距离呢！比如在这边立一个杆子，在那边也弄一个同样角度的标记，是不是很有意思呀！
3. 哇塞，全等三角形测距离可太神奇啦！就好比你站在一个大大的广场上，想知道到对面那栋楼有多远。

你可以找一些辅助的东西呀，让三角形全等起来，然后就能得到答案啦！这就像是变魔术一样，把不可能变成可能！
4. 哎，你看，在建筑工地上，工人们也会用全等三角形测距离呢！他们会找一些巧妙的点，让三角形完美全等，然后就能精确地知道建筑之间的距离啦。

这是不是就像他们有一双能看透距离的眼睛呀！
5. 哈哈，利用全等三角形测距离，这可真是一个超棒的办法！比如你和小伙伴们在野外玩耍，想要知道两个大石头之间有多远，那就开动脑筋用全等三角形呀！是不是感觉一下子就变得超有趣呢！
6. 哎呀呀，全等三角形测距离在很多地方都能用得上呢！像测量一个大花园的对角线长度，这可难不倒我们，通过一些巧妙布置，让三角形全等，距离就出来啦！这就像解开一个神秘的谜题一样令人兴奋！
7. 真的呀，全等三角形测距离真的超级有用！比如要知道山上两个亭子之间的距离，我们就可以想办法利用全等三角形来搞定呀！这不是很厉害吗？
我的观点结论就是：利用全等三角形测距离是一种既有趣又实用的方法，在很多情况下都能发挥出神奇的效果呢！。

4.5 利用三角形全等测距离.5利用全等三角形测距离

直立姿态和帽檐不动直角夹角身高不变两个全等三角形如图ab两点分别位于一个池塘的两端小明想用绳子测量ab间的距离但绳子不够长你能帮小明设计一个方案解决此问题吗
4.5 利用三角形全等测距离
复习引入
1.要证明两个三角形全等应有哪些必要条件？
（1）“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等. （2）“ASA”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. （3）“AAS”：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
2、你能用所学知识说明你设计方案的理由是什么吗？
先在地上取一个可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长到D，使AC=CD，连接BC并延长到 E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，测得 DE的长度就是A、B 间的距离. · A · · E
·
B
C
·
D
1、你能设计出其它的方案来吗？（构建全等三角形）
【规律总结】
利用三角形全等测距离的四个步骤 (1)先定方法：即确定根据哪一判别方法构造三角形全等. (2)画草图：根据实际问题画出草图. (3)结合图形和题意确定已知条件. (4)证明说理.
巩固训练 1. 如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在
AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出
(1)在引例中，“保持刚才的姿态”你是怎样理解的？
直立姿态和帽檐不动答：___________________. 直角；帽檐不 (2)直立的姿态从而保证了两个三角形中的两个_____ 夹角不变. 动，保证了视线和身体的_____ (3)要说明图中两个三角形全等，已知两角，则还差一边，即
身高不变 _________.
BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得
ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长。判定

利用全等三角形测距离

四、作业设计
1、必做题
(1)如图：①要计算一个圆柱形容器的容积，需要测量其内径，由于瓶颈较小，无法直接测量，你能想出一种测量方案吗？
(2)如图：②在一座楼相邻两面墙的外部有两点A，C，如图所示，请设计方案测量A，C两点间的距离。
(3)要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长。判定△EDC≌△ABC的理由是( )
实际教学效果：学生讨论出的三种方法,初步感受到成功的喜悦.
方法1：
方法2:
方法3：
三、小结
活动内容：师生互相交流利用全等三角形测量距离的合理性，在解决问题的过程中，采用了那些方案使不能直接测量的物体间的距离转化为可以测量的距离。
1、利用全等三角形测距离，主要是解决哪些问题？
2、利用全等三角形测距离，有哪些方法？
课后反思
教学重点：
能利用三角形全等的条件解释生活中的实际问题
教学难点：
能利用三角形全等的条件解释生活中的实际问题
教法学法：
教师指导，学生演示，合作探究，
教具准备：
多媒体，学生帽
课时安排：
XXXXX
教学过程
一பைடு நூலகம்导课
第一环节复习提问
活动内容：① 复习全等三角形的性质及判定条件
②在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等，比比看谁快！（以小组为单位抢答或个人抢答或根据不同情况而定）题如下：
6、利用全等三角形测距离
主备教师：授课教师讲课时间
三维目标：包括：知识目标、能力目标、情感态度价值观
⒈知识技能：会利用三角形全等测距离。

七年级数学利用三角形全等测距离

§4.5利用三角形全等测距离一、教材分析1．本节内容属于北师大版（2011版）七年级数学下册第四章第五节的内容，位于本册书的第108页至109页（包括练习题）．2．通过本节课的学习，可以加深对三角形全等理解。

此外，本节课与我们日常生活有着密切的联系，因此学习这部分内容有着广泛的现实意义．3．教科书以一个真实的故事引出三角形全等的应用.现实的例子引起学生的兴趣，引发他们去思考，并尝试用三角形全等条件来解决问题.这一节内容教科书中较强调学生动脑和动手相结合，鼓励学生在解决问题的过程中有条理的思考和表达.4．本节课设计了八个教学环节：复习回顾，创设情境，探究新知，学以致用，课堂练习，拓展延伸，课堂小结，布置作业．二、学情分析学生的知识技能基础：学生在本章的前几节内容中已经学习了“三角形”，“全等三角形”以及“探索三角形全等的条件”。

尤其是通过探索三角形全等，得到了“边边边”，“角边角”，“角角边”，“边角边”定理，用这些定理能够判断两个三角形是否全等,掌握了这些知识，学生就具备了“利用三角形全等测距离”的理论基础．学生的活动经验基础：学生在前几节内容中已经经历过解决实际问题的过程，具备了一定的分析问题和解决问题的活动经验．三、教法学法分析本节课的教学中主要渗透以下几个方面的做法。

一是创设问题情景，充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理。

二是运用启发式教学方法，就是把教和学的各种方法综合起来运用于教学过程中。

三是注意在探究问题时留给学生充分的时间，以利于开放学生的思维．四、教学目标知识目标：能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系．数学思考：1.通过生动、有趣、现实的例子,引发他们去思考,并能在利用三角形全等解决实际问题的过程中进行有条理的思考和表达．2.能利用三角形全等解决实际生活中的“不可测距离”问题，体会数学与实际生活的联系．问题解决：1. 通过让学生体会教科书中提供的情境,明白战士的具体做法,并尝试思考其中的道理．2.会构造全等三角形解决问题．情感与态度：1. 通过生动、有趣、现实的例子激发学生的兴趣,体会数学的应用价值．2.通过情境创设，激发学生的积极性，感受数学与生活的密切联系；在学生合作交流解决问题的过程中，培养学生的合作精神，锻炼口头表达能力．五、教学重难点教学重点：构造全等三角形,将实际问题转化为数学问题.教学难点：能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.六、教学过程（一）复习回顾1.判断两个三角形全等的条件有：（1）： SSS ；（2）： ASA ；（3）： AAS ；（4）： SAS ；2.全等三角形有什么性质是？（1）全等三角形的对应边相等（2）全等三角形的对应角相等意图：温习与本节有关的知识，帮助基础较弱或掌握不牢的学生巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础，为学习新内容作铺垫．（二）创设情境如何用两根等长的木条，一把刻度尺，测量玻璃瓶的内径？（抽象为几何模型）意图：激发学生学习兴趣，向学生进一步渗透数学源于生活，也为生活服务。

5.7 利用三角形全等测距离

5.7利用三角形全等测距离57利用三角形全等测距离在我们的日常生活和实际工作中，常常会遇到需要测量一些难以直接到达或难以直接测量的距离。

这时候，三角形全等的知识就能派上大用场啦！先来说说什么是三角形全等。

当两个三角形的三条边及三个角都对应相等时，这两个三角形就全等。

全等三角形的对应边相等，对应角也相等。

那怎么利用三角形全等测距离呢？让我给您举几个例子。

假设我们面前有一条河，想要知道河的宽度。

我们可以在河的一侧选定一个点 A，然后在河对岸找到一个能够直接到达的点 B。

接着，在河的这一侧沿着与河岸垂直的方向选一个点 C，并测量出 AC 的长度。

然后，保持方向不变，再往前走一段距离，到达点 D，使得 AD 和 AC 长度相等。

接下来，连接 CD，并延长 CD 与河岸相交于点 E。

此时，我们发现三角形 ABC 和三角形 ADE 是全等的。

因为角BAC 和角 DAE 是对顶角，所以它们相等；角 ACB 和角 ADE 都是直角，也相等；而我们刚刚特意让 AD 等于 AC 。

根据三角形全等的判定定理，这两个三角形全等。

既然全等，那么 AB 的长度就等于 DE 的长度。

我们只要测量出 DE 的长度，就知道河的宽度 AB 啦！再比如，有一个无法直接测量深度的池塘。

我们可以在池塘旁边找一个点 A，然后取一根足够长的杆子，将杆子的一端固定在点 A 处，让杆子与地面垂直。

接着，把杆子沿着水平方向移动一段距离到点B ，使得 AB 的长度是我们能够测量的。

再在点 B 处将杆子向池塘方向倾斜，让杆子的顶端恰好能够接触到池塘的底部 C 点。

这时，在地面上连接 AC 并测量出其长度。

我们会发现三角形 ABC 和三角形A'B'C' 全等（其中A'B' 是我们事先设定好的已知长度的线段，且三角形 A'B'C' 的角度和三角形 ABC 相同）。

因为全等，所以池塘的深度 BC 就等于 A'B' ，我们只要测量出 A'B' 的长度，就知道池塘的深度啦。

5.7 利用三角形全等测距离

5.7利用三角形全等测距离57 利用三角形全等测距离在我们的日常生活和实际工作中，常常会遇到需要测量一些难以直接到达的距离的情况。

这时候，三角形全等的知识就可以派上大用场啦！想象一下，你站在一片空旷的操场上，想要知道从你所在的位置到对面教学楼某个特定点的距离，但又不能直接走过去测量。

这该怎么办呢？其实，我们可以通过构建全等三角形来解决这个问题。

首先，让我们来了解一下什么是三角形全等。

三角形全等指的是两个三角形的形状和大小完全相同，对应的边和角都相等。

在数学中，我们有几种判定三角形全等的方法，比如“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）、“角角边”（AAS）。

那么，如何利用三角形全等来测量距离呢？假设我们要测量一条河流的宽度。

我们可以在河流的一侧选择一个点 A，然后在对岸选择一个能够直接到达的点 C。

接着，从点 A 沿着与河岸垂直的方向走到另一点 B，使得 AB 的长度可以测量。

然后，连接点 C 和点 B，构成一个三角形 ABC。

接下来，在河流这一侧，另选一点 D，使得 BD ＝ AB，再沿着与刚才相同的方向，从点 D 走到点 E，使得 DE 的长度与 AC 的长度相等。

这样，三角形 DBE 就和三角形 ABC 全等了。

因为它们的三条边分别相等（AB ＝ BD，AC ＝ DE，BC 是两个三角形共有的边），根据“边边边”定理，这两个三角形全等。

所以，河流的宽度就等于AE 的长度，我们只需要测量出 AE 的长度，就知道了河流的宽度。

再比如，要测量一座山脚下到山顶的垂直距离。

我们可以在山脚下找一个合适的位置 A，然后沿着水平方向走一段距离到 B 点，使得 AB 的长度可以测量。

接着，在 B 点处竖起一根标杆，然后人后退，直到在 C 点处通过标杆顶端看到山顶 D 的顶点。

这时，人的眼睛所在的位置 C、标杆顶端 B 和山顶 D 构成一个三角形 BCD。

然后，在 A 点处同样竖起一根标杆，人再后退，直到在 E 点处通过A 点的标杆顶端看到B 点的标杆顶端，此时人的眼睛所在的位置 E、A 点的标杆顶端和 B 点的标杆顶端构成一个三角形 BAE。

5.7 利用三角形全等测距离

5.7利用三角形全等测距离57利用三角形全等测距离在我们的日常生活和实际工作中，常常会遇到需要测量距离但又难以直接测量的情况。

这时候，巧妙地利用三角形全等的知识，就能够帮助我们解决这些难题。

想象一下，有一条河流横在我们面前，我们想要知道河对岸某一点到我们所在位置的距离。

直接测量显然是不可能的，但是我们可以通过三角形全等的方法来间接得出这个距离。

首先，我们在河的这一边选定一个点 A，然后在与 A 点相对的河岸上选取一个容易到达的点 B。

接着，从 A 点出发，沿着与河岸垂直的方向走一段距离，到达点 C，并且测量出 AC 的长度。

然后，保持方向不变，继续往前走相同的长度，到达点 D。

此时，连接点 B 和点 D，并测量出 BD 的长度。

在三角形 ABC 和三角形 DBC 中，因为 BC 是公共边，AC ＝ DC （我们刚刚走的两段相同长度的距离），且角 ACB ＝角 DCB ＝ 90 度（我们是沿着与河岸垂直的方向走的），所以根据直角三角形全等的判定定理“斜边、直角边”（HL），可以得出三角形 ABC 全等于三角形 DBC。

由于三角形全等，所以 AB ＝ BD。

我们测量出了 BD 的长度，也就知道了河对岸点 B 到我们最初位置 A 的距离。

再比如，在一个空旷的场地上，有一个旗杆，我们想要知道旗杆的高度，但是直接测量旗杆顶部到地面的距离是很困难的。

这时候，我们可以利用三角形全等的原理来解决。

找一根长度已知的直杆，比如一根 2 米长的杆子。

将这根杆子竖直立在地面上，在杆子影子的顶端标记一个点 E。

同时，测量出此时杆子影子的长度 CE。

然后，让旗杆的影子和杆子的影子在同一直线上，并且在旗杆影子的顶端标记一个点 F。

测量出旗杆影子的长度 CF。

因为太阳光线是平行的，所以角 AEF ＝角 ABC ＝ 90 度，角 AFE ＝角 ACB（光线照射形成的角度相同）。

在三角形 AEF 和三角形 ABC 中，因为角 AEF ＝角 ABC，角 AFE ＝角 ACB，所以三角形 AEF 相似于三角形 ABC。

利用全等三角形测距离的道理

利用全等三角形测距离的道理1. 引言大家好呀！今天我们来聊聊一个听起来有点儿“高大上”的话题：利用全等三角形测距离。

这听起来是不是有点儿像数学课上那种让人打瞌睡的内容？其实，这可是一个超有趣的技巧，搞不好你下次和朋友在户外的时候就能用上哦！所以，放松心情，咱们一起深入这个“几何的奇妙世界”吧！2. 全等三角形的神奇之处2.1 什么是全等三角形？好吧，先来解释一下什么是全等三角形。

简单来说，就是两组三角形的边长和角度都完全一样，换句话说，像两颗双胞胎，长得一模一样，连脸上的小痣都不带差的。

你可能会问，这和测距离有什么关系？别急，听我慢慢说。

2.2 生活中的例子想象一下，你和朋友在公园里闲逛，突然发现一棵特别高大的树，你心里一动：“这树到底有多高啊？”如果你有个测量工具那就简单了，但如果没有呢？这时候，利用全等三角形的知识就可以派上用场了！你可以用一根直尺测量从某个地方到树底的水平距离，然后再找个地方，测量到树顶的角度。

借助简单的三角形原理，你就能计算出树的高度，绝对让人佩服得五体投地！3. 如何测量？3.1 设定目标首先，你得找一个合适的测量点，记住，站的位置可不能太近，要不然你就会像个“短见”的小老鼠，无法测量到树的真实高度。

理想的情况是，距离树大约十米左右。

这样，你的测量会更加精准。

3.2 使用简单的工具接着，准备好你的测量工具——可以是一个直尺，甚至用手机量角器都行。

然后，在树底下，眼睛对准树的顶端，想象一下把这棵树的高度和你站立的位置连成一条直线，这就是我们想要的直角三角形的一个边。

此时，你要注意的就是你与树的水平距离（就是你站的地方到树底的直线距离）和你看到树顶的角度。

4. 实际操作4.1 记录数据好啦，具体操作开始了！比如，你站在距离树底10米的地方，眼睛平视树顶，测得的角度是45度。

这时候你就可以开始计算了。

利用三角函数的基本知识，45度的三角形，其实就是一个等腰三角形。

也就是说，树的高度也是10米，真是好玩儿吧！4.2 不同的角度如果角度不是45度怎么办？比如你测得是30度，那么根据全等三角形的性质，我们可以通过三角函数的关系，继续算出树的高度。

生活中的“利用三角形全等测距离”

生活中的“利用三角形全等测距离”利用三角形全等测距离实际就是构造两个全等的三角形，通过全等三角形对应边相等这一性质，把较难测得长度的线段，转化为已知的或是较易得到结果的线段．［例1］某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要打通一座小山，设计时要测量隧道的长度．小山前面恰好是一块空地，利用这样的有利地形，测量人员是否可以利用三角形全等的知识测量出需要开挖的隧道的长度说明道理．点拨：A、B两点直接测量有难度，因此，可利用山前面的空地，构造全等的两个三角形，使含AB的一对对应边相等，则测量出对应边的长，即得出AB 的长．解：方法：可在空地上取一个能直接到达A点、B点的点O，连结AO延长到D，使OD＝OA；连接BO延长到E，使OE＝OB。

连结DE并测出它的长度，则DE的长就是A、B间的距离．如图所示：∴△AOB≌△DOE（SAS）∴AB＝DE（全等三角形，对应边相等）．［例2］如图，要测量河两岸两点A、B间的距离，可用什么方法并说明这样做的合理性．点拨：直接测量A、B间的距离有困难，而若用上题中的方法，则会出现这种情况：得到的O点在河中间，很难取到；即使O点取好，而寻找的全等三角形中AB的对应边CD的两点仍然在河的两岸，与A、B的位置相同，因此此法不可取．要寻求另一种使对应边在岸上的方法．利用下面图示的方法就行了．解：方法：在AB的垂线BE上取两点C、D，使CD＝BC。

过点D作BE的垂线D G，并在DG上取一点F，使A、C、F在一条直线上，这时测得的DF的长就是A、B间的距离．理由：∵AB⊥BE，DG⊥BE∴∠B＝∠BDF＝90°∴△ABC≌△FDC（ASA）∴AB＝DF（全等三角形对应边相等）．注意：要注意区分这两种情况，根据具体情况或题目的语言叙述来判断方法．最明显的区别是第一种没有垂直的情况，利用SAS证全等；而第二种有垂直的情况，会用ASA证明三角形全等．当然，若特殊情况，需具体分析．。

1.5利用全等测距离全等三角形(教师版))

**教育ISO讲义利用全等测距离【知识梳理】知识点：利用三角形全等测距离利用三角形全等测距离实际上就是利用哟有的全等三角形，或构造出全等三角形，通过全等三角形的对应边相等这一性质，把较难测的距离转化为已知线段或较容易测的距离，从而得出要测线段的长。

【典型例题】考点：利用三角形全等测距离【例】：如图，A、B两个建筑分别位于河的两岸，要测得它们之间距离，可以从B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E、A、C在同一条直线上，则DE长就是A、B之间的距离，请你说明道理．【解析】解：∵DE∥AB∴∠A＝∠E在ABC和EDC中∴△ABC≌△EDC（AAS）∴AB＝DE即DE长就是A、B之间距离【总结】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．【变式训练】有一座锥形小山，如图，要测量锥形小山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE，量出DE的长为50m，你能求出锥形小山两端A、B的距离吗？【解析】解：在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC，∴AB＝DE＝50．答：锥形小山两端A、B的距离为50m．1．在一次小制作活动中，小明剪了一个燕尾图案（如图），他用刻度尺量得AB＝AD，BC＝DC，又准备用量角器量∠B和∠D是否相等，小亮走过来说：“不用量了，肯定相等”，小亮依据的是全等三角形的性质及判定三角形全等的（）A．ASA B．SSS C．SAS D．AAS【解析】解：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），因此小亮依据的是全等三角形的性质及判定三角形全等的SSS．故选：B．2．如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（）A．1B．2C．3D．4【解析】解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEH＝∠ADB＝90°；∵∠EAH+∠AHE＝90°，∠DHC+∠BCH＝90°，∵∠EHA＝∠DHC（对顶角相等），∴∠EAH＝∠DCH（等量代换）；∵在△BCE和△HAE中，∴△AEH≌△CEB（AAS）；∴AE＝CE；∵EH＝EB＝3，AE＝4，∴CH＝CE﹣EH＝AE﹣EH＝4﹣3＝1．故选：A．3.在新修的花园小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，如图，AB∥CD，在AB、BC、CD三段绿色长廊上各修建一凉亭E、M、F，且BE＝CF，M是BC的中点，E、M、F在一条直线上．若在凉亭M与F之间有一池塘，在用皮尺不能直接测量的情况下，你能知道M与F之间的距离吗？试说明理由．【解析】解：测出ME的距离就知道了M与F之间的距离．理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∠BEM＝∠CFM，∵M是BC的中点，∴BM＝MC，在△EBM和△FCM中，，∴△EBM≌△FCM（AAS），∴ME＝MF．4.工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C作射线OC．由此做法得△MOC≌△NOC 的依据是（）A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS【解析】解：∵OM＝ON，CM＝CN，OC为公共边，∴△MOC≌△NOC（SSS）．故选：D．5.某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，胡老师想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，胡老师要带的玻璃编号是（）A．1B．2C．3D．4【解析】解：因为第2块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第2块．故选：B．6.如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是（）A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS【解析】解：∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（SAS），∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等）．故选：B．7.如图所示，已知AC＝DB，AO＝DO，CD＝100m，则A，B两点间的距离（）A．大于100m B．等于100m C．小于100m D．无法确定【解析】解：∵AC＝DB，AO＝DO，∴OB＝OC，又∠AOB＝∠DOC，∴△AOB≌△DOC，∴AB＝CD＝100m．故选：B．8.地基在同一水平面上，高度相同的两幢楼上分别住着甲、乙两位同学，有一天，甲对乙说：“从我住的这幢楼的底部到你住的那幢楼的顶部的直线距离，等于从你住的那幢楼的底部到我住的这幢楼的顶部的直线距离．”你认为甲的话正确吗？答：．【解析】解：因为把高度相同的两幢楼看作两条相等的线段；由两幢楼的底部之间距离是公共边，满足直角三角形全等所需条件SAS，可知所构造的两个直角三角形全等，所以甲的话正确．故填正确．9.O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OA，OB为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿∠AOB的平分线航行，航行途中，测得轮船与灯塔A，B的距离相等，此时轮船有没有偏离航线？画出图形并说明你的理由请在图中，用尺规作图（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）．【解析】解：此时轮船没有偏离航线．如图所示，OP即为∠AOB的平分线．由题意知：OA＝OB，OP＝OP，P A＝PB∴△OAP≌△OBP（SSS）∴∠AOP＝∠BOP．∴此时轮船没有偏离航线．11.在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案．（1）画出测量图案；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．【解析】解：（1）见图：（2）在湖岸上选一点O，连接BO并延长到C使BO＝OC，连接AO并延长到点D使OD＝AO，连接CD，则AB＝CD．测量DC的长度即为AB的长度；（3）设DC＝m∵BO＝CO，∠AOB＝∠COD，AO＝DO∴△AOB≌△COD（SAS）∴AB＝CD＝m．12.飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时，在一空地上发现有一个较大的圆形土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离，请你用学过的数学知识，按以下要求设计测量方案．（1）画出测量方案；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．【解析】解：（1）延长BA，画∠DAC＝120°，延长AB画∠FBC＝120°，另外两边交于C点，△ABC是等边三角形；（2）量出AC的长为a，则AB的长可求．（3）∵AC＝a，∴AB＝a．等边三角形的三边相等．13.某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米．求：（1）河的宽度是多少米？（2）请你证明他们做法的正确性．【解析】（1）解：河的宽度是5m；（2）证明：由作法知，BC＝DC，∠ABC＝∠EDC＝90°，在Rt△ABC和Rt△EDC中，，∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA），∴AB＝ED，即他们的做法是正确的．一、本节课我们学习的全等三角形的判定和全等三角形的性质是哪些？二、本节课我需要努力的地方是：。