边界层理论初步

初始条件：t 0 : u U 0 ( x, y ) 边界条件：f (0) 0, f (0) 0 f () 1 ,即u U e
为三阶非线性常微分方程，无解析解，布拉修斯最早给出了 级数解，后来霍华斯等人用龙格—库塔法得到了数值积分解。
平板层流边界层精确解数值表
1.位移厚度
d
又称为流量厚度，排挤厚度，其含义是：对于 不可压缩流体，当在理性流动情况（即不存在附面 层）的情况下，流速均等于主流速度 v 时，流过 d 的流量等于在实际情况下（有附面层）由于粘 性而使流速降低时整个流场减小的流量，即与欠缺 量相等。
退出
对于一给定长度x的器壁，通过 dy 的单位宽度质量流 为 udy ，与无粘性流动相比亏损质量流量为：
定解条件：初始条件：t 0 : u U 0 ( x, y ) 边界条件：y 0 : u 0, 0 y ( ) : u U e 仍然是非线性方程，只有一些特别情况可以得到分 析解 。
平壁层流边界层的布拉修斯解（精确解）
假设：零压梯度
Pe 0, 不可压定常 x
第九章 边界层理论初步
9－1 边界层的概念
• 工程中绝大多数流动都处于高Re区域，即惯性力>>
粘性力， 粘性力可忽略理想流体。
• 但固壁附近要满足无滑移条件，速度低，
通常Re较小，粘性力不能忽略。 •普朗特定义为边界层 边界层内为粘性流动，速度梯度较大， 边界层外为理想流体势流运动。
退出
一. 边界层 边界层原理，即当流体粘度很小时，流经物体的流 动可以分为两个区，物体附近一层很薄的边界层和它以 外的主流区，在前一区域中流的粘性摩擦力起主要作用， 而在后一区域中摩擦力可以忽略不计,1904年德国力学 家L.普朗特通过简单的实验说明了。
Pe 0 ）此时可采用 • 更多问题不存在相似性解（如 x
1）级数近似解法； 2）动量积分近似解法； 3）纯数值解法。
• 湍流边界层更为复杂，只能采用 1）半经验理论； 2）数值解。
§9.3 边界层积分方程
流体绕物体的流动可分为成势流区和边界 层区域，而势流区可以使用位势理论求解，而 求解边界层则较困难。 描述边界层粘性流动的是纳维-斯托克斯 方程（N-S方程）
x x ~ 1 , L
y y


y L / Re
~ ,
t
t ~ 1, L /Ue


Ue
~,
P
P ~ 1, 2 U e

, L
u ~ 1, Ue L 1 Re ~ ( ) 2 2 u
u x y 0 u u u P 1 2u 1 2u u . 2 . 2 x y x Re x Re y t 1 1 '2 '2 1 1 2 1 1 1 P 1 2 1 2 u . 2 . 2 x y y Re x Re y t 1 '2 '2 2 1 1
2 2 2u U 3 f U 3 f 2 y x
代入N—S方程后得：
3 f 1 2 f f 2 f f 2 f f 2 ( 2) 3 2
即得到常微分方程:
2 f ff 0
无量纲化与数量级分析
比较各项后的量级后得：
u x y 0 u u u P 1 2u u . 2 x y x Re y t P 0 y
可见，P与y无关，即沿y均匀，可取： 对于边界层问题，
0 t
u v x y 0 2 u u u u v 2 y y x
引入变换：
U x, y x u( , ) f d 0 U (相似变量） (相似函数)
利用：u , - , y x f U 则：
它们界面附近往往会出现对流传质或扩散现象，即在界面 处存在一很薄和浓度很大的区域，通常称为浓度边界层，
u C A C A c ( ) 浓度厚度为： m 0 ( )dy v C AW C A
退出
9-2 边界层微分方程
假设：不可压平面流动，不计质量力，边界层内，
u c eq : 0 x y
引起的质量流量亏损越大。
② 为了保持有粘性与无粘性流动的质量相等，在用无
粘性理论设计管道是应将管壁向外扩大 d
③ 根据边界层速度分布渐近的概念可以导出：
d
0
u ( 1 )dy v
退出
2.动量厚度
与位移厚度相似：无粘性与有粘性流体通过边界层 总的动量流量亏损为： u( v u )dy
1.7208x x 来自 1.7208 U Re x(当η=8.4, f/=1, f=6.67923)

m

0
u u x (1 )dy U U U

0
df df x (1 )d 0.664 d d Re x
可见
3 d 8 m
平壁层流
2 u U 0.664 U f (0) 壁面切应力： w ( ) y 0 y x Re x 2 U w 0.664 壁面阻力系数： C f U 2 Re x
定义为
称名义厚度
9-2、边界层厚度
u 2 , 单位体积流体的惯性力~ V V ~ L
L为流动方向的特征尺度 ，可理解为板长
u 单位体积流体的粘性力~ V ~ 2
2

边界层内，惯性力~粘性力：
2 u
L
~
~
2
u
L L 1 或 ~ u L Re L Re L
2
退出
AC 流入的动量：
d v ( u dy )d x dx 0
( v u )dy
对于整个边界层总的质量流量亏损为：

v
0
( v u )dy
vd ( v u )dy
0 v
根据排挤厚度的定义有：
对于不可压缩流体有：
d
v
0
u (1 )dy v
退出
① d 代表整个边界层内亏损质量流量与无粘性流动
d 越大表明边界层 时单位厚度的质量流量之比，
即 f u U
f 1 f U ( f ) x 2 2
u 2 f U 2 U f x 2 2x
v U 2 f U U 2 U f y x
相应地流体流经器壁时，温度也存在有边界层，叫做
t 为 T 温度边界层，
0.99T
处的厚度。
一般边界层厚度很小，对于平板仅为其长度的几百分
之一。（那么边界层是否可以忽略呢？）
退出
边界层概念
以平板边界层为例，
定义
u x Re x
u 99% 纵坐标， u
5 6 Re 5 10 ~ 3 10 转折点 x
退出
速度为
v
的来流进入前缘后，由于物体的粘附作用，
低层流体的速度变为0。随着x的增加受阻滞的流体在y方 向上逐渐扩大，以致行成一个有明显速度变化的区域，通 常称为速度边界层。 U以渐近连续的方式趋近于 v 边界层与主流之间无
明显的分界线，通常将
界层的名义厚度
v
u 0.99v
处的y值定为速度边
2
总阻力损失（单位宽度）：
2 1.328 U l FD w dx 0 2 Re L L
1 L 1.328 C C dx 平均阻力系数： L f L 0 Re L
注意：以上结果不适用于起始点 (Rex 25)
五、边界层问题评述
• 边界层问题求解十分麻烦，上面只是最简单的一种情形。 此问题因存在相似性解（指无量纲的速度分布相同），故 可采用相似变量置换，将方程组化为常微分方程。类似问 题还有轴对称层流边界层。
u 1 p u u u u x v y x v( 2 x 2 y ) 2 2 u v v v 1 p v( v v ) 2 2 x y y x y
2 2
u v 0 连续性方程： x y
平板边界层速度剖面
平壁层流
从计算结果可知：
4. 92x u df U 当 4.92时， 0.99 于是 4.92 或 Re U d x x u x df x d (1 )dy (1 )d lim f ( ) 0 0 U U d U
退出
对于任意初始条件和边界条件，求层流边界层方程的分 析解是相当困难的，许多问题可以通过计算机获得满意的结果。 在工程中许多近似解法有很大的实用价值，其中动量积分 方程是最简单而又最实用的一种方法，是冯.卡门提出的。 AB 流入的动量：


0

0
u dy
2
CD流出的动量：

d 2 u dy ( u dy )dx dx 0

u u2 ( 1 2 )dy v v
② 焓厚度：
一般有：
I

0
T T u (1 W )dy v TW T
m n d v
TW — 壁温
※能量亏损，焓增加。？
③ 浓度边界层：当某种流体流经一可溶（或含有可
溶物）的固体表面，或两种不太相混流体相互流过时，在

v
0

定义动量厚度 m ，使亏损的动量正好无粘性流动 流动在器壁附近厚度为 m 的动量相等，即：