最新高三数学暑假预科讲义 第1讲 集合与常用逻辑用语 拔高 学生版

目录
集合与常用逻辑用语 (2)
模块一：集合 (2)
考点1.集合元素的互异性 (3)
考点2.集合的描述法 (4)
考点3.集合间的关系判断与逆向求参 (5)
考点4.集合交并补运算 (5)
模块二：常用逻辑用语 (6)
考点5.四种命题及其真假判断 (8)
考点6.命题充要性判断 (9)
考点7.逻辑联结词及其真假判断 (10)
考点8.全称、特称命题的否定 (10)
课后综合巩固练习 (12)
集合与常用逻辑用语
模块一：集合
1. 集合的定义
某些确定的不同对象集在一起，就构成一个集合．集合中每一个对象称为该集合的元素． 2. 集合中元素的性质
确定性：对于一个元素要么它属于某个指定集合，要么它不属于该集合，二者必居其一． 互异性：同一个集合的元素是互不相同的，相同的元素只能出现一次． 无序性：集合中的元素没有先后顺序． 注意：集合的互异性在解题中应用非常广泛，在解题时如果遇到集合中求解字母的值的问题，一定都要把值带回集合中检验，集合中是否有元素相等． 3. 集合的分类
按元素的属性：数集（构成集合中的元素是数）、点集（构成集合中的元素数点）等． 按元素的个数：空集、有限集、无限集．
4.1 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号{}内；
例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,⋯}
4.2 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内
例如：大于3的所有整数表示为：{x ∈Z|x >3}
方程x 2−2x −5=0的所有实数根表示为：{x ∈R |x 2−2x −5=0} 4.3 图示法：Venn 图法
例如：表示集合{1 , 2 , 3}
4.4 常用数集及其记法：
非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N ∗或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R ； 复数集，记作C ． 5.1 子集：
如果集合A 的任何一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或A ⊇B ），读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”． 5.2 真子集
如果集合A ⊆B ，并且存在x ∈B 且x ∉A ，则称集合A 是集合B 的真子集，记作：A ⊊B ． 5.3 集合相等
构成两个集合的元素完全一样．若A ⊆B 且B ⊇A ，则称A 等于B ，记作A =B ． 5.4 空集：不含任何元素的集合叫做空集． 5.5 子集的个数：
设集合A 中元素个数为n ，则：
3
2
1
①子集的个数为2n ，
②真子集的个数为2n −1， ③非空真子集的个数为2n −2． 6.1 全集
如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常用U 表示． 6.2 补集
对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记住作∁U A ，如图
6.3 交集：
一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集．交集A ∩B ={x|x ∈A 且x ∈B}． 6.4 并集
一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集．并集A ∪B ={x|x ∈A 或x ∈B}． 6.5 集合的简单性质： (1)A ⊆A ,∅⊆A ；
(2)若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；若A ⊈ B ，B ⊈C ，则A ⊈ C ； (3)A ∩B =B ∩A ,A ∪B =B ∪A ； (4)A ∩B ⊆A ,A ∩B ⊆B ； (5)A ⊆A ∪B ,B ⊆A ∪B ；
(6)A ∩∅=∅,A ∪∅=A ;
(7)A ∩(∁U A)=∅,A ∪(∁U A)=U ,∁U (∁U A)=A ． 7. 容斥原理
定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card(A)规定card(∅)=0 基本公式：
a. card(A ∪B)=card(A)+card(B)−card(A ∩B)
b. card(A ∪B ∪C)=card(A)+card(B)+card(C)−card(A ∩B)−card(B ∩C)−
card(C ∩A)+card(A ∩B ∩C)
考点1.集合元素的互异性
例1.（1）（2020•东湖区校级模拟）设集合{2A =，1a -，2
2}a a -+，
若4A ∈，则(a = ) A ．3-或1-或2 B ．3-或1- C ．3-或2 D ．1-或2
（2）（2019秋•九龙坡区校级期中）若1{x ∈，2}x ，则(x = ) A ．1
B ．1-
C ．0或1
D ．0或1或1-
（3）（2020春•兴宁区校级期中）已知集合{0A =，m ，232}m m -+，且2A ∈，则实数m 为( ) A ．2
B ．3
C ．0或3
D ．0，2，3均可
（4）（2019秋•嘉祥县校级期中）已知集合{2A a =-，24a a +，12}，且3A -∈，则a 等于
( ) A ．1-
B ．3-
C ．3
D ．3-或1-
（5）（2013秋•青羊区校级月考）已知集合{2A a =+，2(1)a +，233}a a ++，若1A ∈，求实数a 的取值集合．
例2.（2020春•莲湖区校级期末）若a ，b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫
+=⎨⎬⎩⎭
，求b a -的值
考点2.集合的描述法
例3.（1）（2019秋•郑州期末）下列关于集合的命题正确的有( ) ①很小的整数可以构成集合
②集合2{|21}y y x =+与集合2{(,)|21}x y y x =+是同一个集合；
③1，2，1||2-，0.5，1
2这些数组成的集合有5个元素
④空集是任何集合的子集 A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
（2）（2019秋•普陀区校级月考）被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为 ． （3）（2019秋•碑林区校级月考）已知集合5
{|0}1
x A x Z x +=∈-，则(A = ) A ．{0}
B ．{5-，4-，3-，2-，1-，0}
C ．{4-，3-，2-，1-，0}
D ．{5-，4-，3-，2-，1-，0，1}
（4）（2019秋•嘉定区期中）用列举法表示集合2|,,103m m N m N m -⎧⎫
∈∈=⎨⎬⎩⎭ ．
（5）已知由实数构成的集合A 满足条件：若a A ∈，则1(0,1)1a
A a a a
+∈≠≠±-，则集合A 中
至少有几个元素？证明你的结论．
例4.（2016•上海）对于函数()f x ，()g x ，记集合{|()()}f g D x f x g x >=>．
（1）设()2||f x x =，()3g x x =+，求f g D >；
（2）设1()1f x x =-，21
()()313
x x f x a =++，()0h x =，如果12f h
f h D D R >>=．求实数a 的
取值范围．
考点3.集合间的关系判断与逆向求参
例5.（1）（2019•葫芦岛二模）已知集合{2A =-，3，1}，集合{3B =，2}m ，若B A ⊆，则实数m 的取值集合为( )
A ．{1}
B ．
C ．{1，1}-
D ．
（2）（2019春•五华区校级月考）已知集合{1A =，2}，2{|60}B x x mx =-+=，若{2}A B =，
则(B = ) A ．{5}
B ．{2}
C ．{2，3}
D ．{1，2，3}
（3）（2020•成都模拟）已知集合{0A =，}x ，{0B =，2，4}，若A B ⊆，则实数x 的值为
( ) A ．0或2 B ．0或4 C ．2或4 D ．0或2或4 （
4
）（
2020
•
平
城
区
校
级
一
模
）
已
知
集
合
{}{
2|320,|,M x x x N x y M N M =-+==若，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,)+∞
B ．[1，)+∞
C ．(,1)-∞
D ．(-∞，1]
（5）（2019秋•静宁县校级期末）已知集合{|(2)(22)0}A x x m x m =--+，其中m R ∈，集合1
{|
0}2
x B x x -=+． （1）若1m =，求A B ；
（2）若A B A =，求实数m 的取值范围．
考点4.集合交并补运算
例 6.（1）（2020•新疆二模）已知全集U R =，{|1}A x x =-，{|1}B x x =，则集合
()(U
A B = )
A ．{|1}x x -
B ．{|1}x x
C ．{|11}x x -
D ．{|11}x x -<<
（2）（2020•青岛模拟）已知全集U R =，集合2{|0}M x R x x =∈-，集合
{|cos N y R y x =∈=，}x R ∈，则()(U M N = )
A ．[1-，0)
B ．(0,1)
C ．(,0)-∞
D ．∅
（3）（2020•内三模）设全集U R =，集合{}1
1|(1)(3)0,|()24x A x x x B x ⎧⎫=--=>⎨⎬⎩⎭，则集合
()
U A B 等于( )
A ．(1,2)
B ．(2，3]
C ．(1,3)
D ．(2,3)
（4）（2020•邯郸二模）已知集合{|log 31}a A a =>，{|39}a B a =>，则()(R A C B = )
A ．(0,3)
B ．(1,3)
C ．(0，2]
D ．(1，2]
模块二：常用逻辑用语 一、命题
1. 命题的概念
我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题．其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．
注意：并不是任何语句都是命题，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．也就是说，判断一个语句是不是命题的两要素：①命题是陈述句②可以判断真假． 2. 命题的四种形式
(1)对于“若p ，则q ”形式的命题，p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．
命题“如果p ，则q ”是由条件p 和结论q 组成的，对p ，q 进行“换位”和“换质（否定）”后，可以
(2)
3. 命题“如果p ，则q ”的四种形式之间有如下关系： (1)互为逆否命题的两个命题等价（同真或同假）．因此证明原命题，也可以证它的逆否命题． (2)互逆或互否的两个命题与原命题不等价． 注意：注意命题的否定与否命题之间的区别，前者是命题的反面，且与命题的真假恰好相反；后者是对条件与结论同时进行否定，它的真假与原命题的真假没有绝对的联系．
二、简单的逻辑联结词
1. 且：
用逻辑联结词“且”把命题p 和q 联结起来，就得到一个新命题，记作p ∧q ，读作“p 且q ”． 逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当．
可以用“且”“定义集合的交集：A ∩B ={x|(x ∈A)∧(x ∈B)}． 2. 或：
用逻辑联结词“或”把命题p 和q 联结起来，就得到一个新命题，记作p ∨q ，读作“p 或q ”． 逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”相当．
可以用“或”定义集合的并集：A ∪B ={x|(x ∈A)∨(x ∈B)}． 3. 非：
对命题p 加以否定，得到一个新的命题，记作¬p ，读作“非p ”或“p 的否定”．
逻辑联结词“非”（也称为“否定”）的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来．
可以用“非”来定义集合A 在全集U 中的补集：∁U A ={x ∈U|¬(x ∈A)}={x ∈U|x ∉A}． 4. 复合问题的真值表：
不含逻辑联结词的命题称为简单命题，含有逻辑联结词的命题称为复合命题．
注意：
“或”的含义不同，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选．而逻辑联词中的“或”可以是两个都选，也可以是两个中选一个．逻辑联词中的且相当于集合中的交集，即两个必须都选．
三、充要条件
1. 四种条件
充分条件：若p ⇒q ，则p 是q 成立的充分条件． 必要条件：若q ⇒p ，则p 是q 成立的必要条件．
充分且必要条件：如果p ⇔q ，则p 是q 的充要条件．
既不充分也不必要条件：若果p ⇏q 且p ⇏q ，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件． 2.利用集合思想判别四种条件
设A ={x |x =满足条件P }，B ={x |x =满足条件q } (1)设若A ⊆B 且B ⊄A ，则称p 是q 的充分不必要条件． (2)设若A ⊄B 且B ⊆A ，则称p 是q 的必要不充分条件．
(3)设若A ⊄B 且B ⊄A ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件． (4)设若A ⊆B 且B ⊆A ，则称p 是q 的充分且必要条件．
四、全称量词与存在量词
1. 概念
全称命题：含有全称量词的命题称为全称命题，“对M 中任意一个x ，有p(x)成立”符号简记为：∀x ∈M,p(x)．读作：对任意x 属于M ，有p(x)成立．
特称命题：含有存在量词的命题称为特称命题：“存在M 中一个x ，有p(x)成立”符号简记为：∃x ∈M,p(x)，读作：存在一个x 属于M ，使p(x)成立． 2. 全称与特称命题的否定
存在性命题p ：∃x ∈A ，p(x)；它的否定是¬p ：∀x ∈A ，¬p(x)． 命题的否定：将存在量词变为全称量词，再否定它的性质． 全称命题q ：∀x ∈A ，q(x)；它的否定是¬q ：∃x ∈A ，¬q(x)． 命题的否定：将全称量词变为存在量词，再否定它的性质．
考点5.四种命题及其真假判断
例7.（1）（2019秋•长春期末）关于“4a b +=，则a ，b 至少有一个等于2”及其逆命题的说法正确的是( )
A ．原命题为真，逆命题为假
B ．原命题为假，逆命题为真
C ．原命题与逆命题均为真命题
D ．原命题与逆命题均为假命题
（2）（2020春•三台县期中）命题“若220x y +=，则x 、y 全为0”的逆否命题是( ) A ．若x 、y 全为0，则220x y +≠ B ．若x 、y 不全为0，则220x y += C ．若x 、y 全不为0，则220x y +≠
D ．若x 、y 不全为0，则220x y +≠
（3）（2019秋•渭滨区期末）命题“若(1)0x x -=，则0x =或1x =”的否命题为( ) A ．若(1)0x x -≠，则0x ≠或1x ≠ B ．若(1)0x x -≠，则0x ≠且1x ≠
C ．若0x ≠或1x ≠，则(1)0x x -≠
D ．若0x ≠且1x ≠，则(1)0x x -≠
例8.（1）（2019秋•阳泉期末）与命题“若实数x y ≠，则cos cos x y ≠”等价的命题是( ) A ．若实数x y =，则cos cos x y = B ．若cos cos x y =，则实数x y = C ．若cos cos x y ≠，则实数x y ≠
D ．若实数x y ，则cos cos x y
（2）（2019春•阿克苏市期末）原命题：“设a ，b ，c R ∈，若a b >，则22ac bc >”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题有( )个． A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
考点6.命题充要性判断
例9.（1）（2020•浦东新区三模）“a b =”是“||||a b =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
（2）（2020•四川模拟）“4
sin 25
α=”是“tan 2α=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
（3）（2020•重庆模拟）“1a =”是“直线2(1)30x a y ++-=和直线20x ay -++=垂直”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
例 10.（1）（2020春•贵池区校级期中）方程221,()22x y k R k k -=∈-+表示双曲线的充分不必
要条件是( ) A ．2k >或2k <-
B ．1k >
C ．3k >
D ．1k >或1k <-
（2）（2020•潍坊模拟）若0x >，则2020
x a x
+恒成立的一个充分条件是( ) A ．80a >
B ．80a <
C ．100a >
D ．100a <
考点7.逻辑联结词及其真假判断
例11.（1）（2019秋•阳泉期末）如果命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题．那么
( )
A ．命题p 和命题q 都是假命题
B ．命题p 和命题q 都是真命题
C ．命题p 为真命题，q 为假命题
D ．命题q 和命题p 的真假不同
（2）（2019秋•景德镇期末）已知命题p 和q ，若p q ⌝∨为真，p q ∧为假，则下列一定为真命题的是( ) A ．p ⌝
B ．q ⌝
C ．p
D ．q
例12.（1）（2020•全国I 卷模拟）已知命题0:[0p x ∃∈，]π，使得0sin x a <，命题q ：对
1[2x ∀∈，3]，1
1a x +>，若p q ∧为真命题，则a 的取值范围是( )
A ．4(0,)3
B ．(0,3)
C ．4(1,)3
D ．(1,3)
（2）（2019秋•武昌区校级期末）设命题:p x N ∃∈，22x x >；命题q ：当x R ∈时，
22log (2)3x x -解集为[2-，4]，下列命题为真命题的是( ) A ．p q ∧
B ．p q ⌝∨
C ．p q ∧⌝
D ．p q ⌝∧⌝
（3）（2019秋•界首市期末）已知命题:p x R ∃∈，2(1)10x a x +-+<．若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1，3]
B ．[1-，3]
C ．(1,3)-
D ．[0，2]
考点8.全称、特称命题的否定
例13.（1）（2020•济南模拟）已知命题p ，x R ∀∈，1
2x x
e e +，则p ⌝为( ) A ．x R ∃∈，1
2x x e e + B ．x R ∃∈，1
2x x e e +
< C ．x R ∃∈，1
2x x
e e
+
D ．x R ∀∈，1
2x x
e e
+
（2）（2020•河北区二模）命题“000,1x x R e x ∃∈>+”的否定是( ) A ．x R ∀∈，1x e x <+
B ．000,1x x R e x ∃∈<+。