二次函数综合应用

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类型2 二次函数与图形面积
【考情解读】二次函数与图形面积近10年3考， 2015、2014、2009均在24题考查，涉及到图象 变化后求特殊四边形面积问题，已知特殊四边 形面积求平移方式，及根据面积相等确定点坐标．
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例2 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象经过A、B两点， 且OA＝1，OB＝5.
(1)求这个抛物线的函数表达式； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是线段OC上的 一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于点H，若直线BC把 △PCH分成面积比为2∶3的两部分，请求出点P的坐标．
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②当AB＝AE，即AB2＝AE2时，10＝(x＋1)2， 解得：x1＝ －1，x2＝－ －1， ∴E( 10－1，0)或E(－ 10－1，0)； ③当BE＝AE，即BE2＝AE2时，x2＋9＝(x＋1)2， 解得：x＝4， ∴E(4，0)； 综上所述，存在符合条件的点E，点E的坐标为(1， 0)或( 10 －1，0)或(－ 10－1，0)或(4，0)．
【方法指导】与图形面积数量关系有关 ①弄清其取值范围，画出符合条件的图形； ②确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解 计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合图 形作辅助线，画出所求面积为定值的三角形； ③过动点作有关三角形的高或平行于y轴、x轴的辅助 线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面 积的代数式，列方程求解，再根据实际问题确定方程的 解是否符合题意，从而证得面积等量关系的存在性．
【专题链接】二次函数与特殊四边形的判定专题见本书 P118～P121.
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第一部分 教材知识梳理
第三章 函 数
第六节 二次函数的综合应用
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类型1 二次函数与特殊三角形的判定
【考情解读】二次函数与特殊三角形的判定近10 年仅2016年考查1次，
考查内容： ①抛物线平移； ②等腰直角三角形的性质．考查方式为平移抛物
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例1 如图，已知抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、C两 点，与y轴交于B点，直线l为它的对称轴．
（1)求点A、B、C的坐标及对称轴； (2)在x轴上是否存在一点E，使得△ABE为 等腰三角形，若存在，求出点E的坐标，若不 存在，请说明理由．
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∴点P的坐标为(
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，0)或(

2
，0)．
2
3
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类型3 二次函数与特殊四边形判定
【考情解读】二次函数与特殊四边形的判定近10年3考.2015、 2014年以平行四边形判定结合四边形面积的形式考查，其 中2015年涉及了菱形的判定.2012年考查矩形的判定．
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(1)【思维教练】根据线段OA与OB的长度，可以确定点A、
B的坐标，然后代入抛物线的表达式中，运用待定系数法求
解即可；
解：根据题意可知点A、B的坐标分别为(1，0)，(0，5)，
将其代入抛物线y＝－x2＋bx＋c中得：1 b c 0
解：由y＝－x2－4x＋5，令y＝0， 得：－x2－4x＋5＝0， 解得：x1＝－5，x2＝1. ∴点C的坐标为(－5，0)． 如解图，设点P的坐标为(a，0)， 根据题意可得直线BC的解析式为y＝x＋5， ∴PH与直线BC的交点坐标为E(a，a＋5)，
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线构造等腰直角三角形求平移过程．
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【专题链接】二次函数与特殊三角形的判定专题见本书 P114～P117.
【方法指导】对于二次函数与等腰三角形结合的动点问 题，解决的方法一般为：
(1)用变量表示三角形三边长的平方； (2)根据等腰三角形的性质，分别令三边长中两两相等， 得到三组方程； (3)分别解这几个方程组，若能得到方程的根，则这个根 即为所求；若方程无解，则不存在这样的三角形
解得：b -4
c 5
c 5
∴抛物线的表达式为y＝－x2－4x＋5；
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(2)【思维教练】由于△PCH被直线BC分成两个等高的小三 角形，因此面积比就等于底边的比，然后根据直线BC的表达 式设出点E的坐标，进行分情况讨论，并借用方程求出点E的 坐标，进而得出点P的坐标．
令x＝0，即y＝－3，
∴B(0，－3)，
∵ x1＋x2 ＝3＋（－1）＝1 ，
2
2
∴抛物线的对称轴是直线x＝1；
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(2)【思维教练】题中只说明△ABE为等腰三角形，未说明 到底哪两条边相等，故先设出点E的坐标，然后分AB＝BE, AB＝AE和BE＝AE三种情况讨论求解； 解：存在． 设E(x，0)， ∴AE2＝(x＋1)2，BE2＝x2＋9，AB2＝12＋32＝10， ①当AB＝BE，即AB2＝BE2时，10＝x2＋9， 解得：x1＝ 10 -1，x2＝ 10 －1(舍去)， ∴E(1，0)；
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Байду номын сангаас
(1)【思维教练】要求抛物线与坐标轴的交点坐标，可分别
令其解析式中x＝0或y＝0，求得相应的y值或x值即可确
定．其对称轴为过与x轴两交点形成的线段的垂直平分线；
解：对于抛物线y＝x2－2x－3，
令y＝0，即0＝x2－2x－3，解得x1＝3，x2＝－1， ∴A(－1，0)，C(3，0)，
PH与抛物线y＝－x2－4x＋5的交点坐标为
H(a，－a2－4a＋5).
由题意分析得：
①若EH＝ 3 EP，
2
即：(－a2－4a＋5)－(a＋5)＝
3
(a＋5)，
解得：a＝

3 2
2
或a＝－5(舍去)；
②若EH＝ 2 EP，
3
即：(－a2－4a＋5)－(a＋5)＝
2
(a＋5)，
解得：a＝

2
3
或a＝－5(舍去)．