河南省郑州市2013年高中毕业年级第二次质量预测文科数学试题与参考答案

2013年高中毕业年级第二次质量预测
数学（文科） 参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分） ADCA DBBC BBAC
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．6；14．3；15．32
+；16．
2
π．
三、解答题
17．解:作MI 垂直公路所在直线于点I ,则3=MI ,
5
4cos 4,5=
∠∴=∴=MOI OI OM ――――2分
设骑摩托车的人的速度为v 公里/小时,追上汽车的时间为t 小时
由余弦定理:()()5
450525052
2
2
⨯
⨯⨯-+=t t vt ――――6分
900900)81(252500400252
2
2
≥+-=+-
=
⇒t
t t
v ――――8分
∴当8
1
=
t 时,v 的最小值为30,∴其行驶距离为4
15830==vt 公里――――11分
故骑摩托车的人至少以30公里/时的速度行驶才能实现他的愿望,
他驾驶摩托车行驶了
4
15公里. ――――12分
18．解（Ⅰ）茎叶图略. ―――2分
统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度;
②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;
③甲种树苗的中位数为127，乙种树苗的中位数为128.5;
④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，
乙种树苗的高度分布较为分散. ―――6分（每写出一个统计结论得2分）
（Ⅱ）127,135.x S ==――――9分
S 表示10株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量.
S 值越小，表示长得越整齐，S 值越大，表示长得
越参差不齐．――――12分
19．解：（Ⅰ）取BC 中点为M ，连结1,AM B M ，
在正三棱柱111A B C A B C -中面A B C ⊥面1C B ，
ABC ∆为正三角形，所以A M B C ⊥， 故A M ⊥平面1C B ，又BD ⊂平面1C B ，
所以AM BD ⊥．
又正方形11B C C B 中，11tan tan 2
B B M
C B
D ∠=∠=，
所以1BD B M ⊥，又1B M AM M = ， 所以B D ⊥平面1AB M ，故1A B B D ⊥，
又正方形11B A A B 中，11AB A B ⊥，1A B BD B = ， 所以1A B ⊥面1A B D ． ――――6分 （Ⅱ）取1A A 的中点为N ，连结,,ND OD ON ．
因为,N D 分别为11,AA C C 的中点，所以//ND 平面ABC ，
又//OD 平面ABC ，ND OD D = ，所以平面//N O D 平面ABC ，
所以//ON 平面ABC ，又ON ⊂平面11B A A B ，平面11BAA B 平面A B C A B =， 所以//O N A B ，注意到11//A B A B ，所以11//O N A B ，又N 为1A A 的中点， 所以O 为1A B 的中点，即
11
=OB AO 为所求． ――――12分
20．解：（Ⅰ）设(,)P x y ，由题知(1,0)F ，所以以PF 为直径的圆的圆心)2
,21(y
x E +，
则
|1|1||2
2x P F +==
整理得24y x =为所求． ――――4分 （Ⅱ）不存在，理由如下： ――――5分
若这样的三角形存在，由题可设2
11122(
,)(0),(,)4
y P y y M x y ≠，由条件①知
2
2
2214
3
x y +
=，
由条件②得0OA OP OM ++=
，又因为点(2,0)A -，
所以21212
20,40,
y x y y ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩即2
22204y x +-=，故2
223320416x x -+-=，――――9分 解之得22x =或2103
x =
（舍），
当22x =时，解得(0,0)P 不合题意，
所以同时满足两个条件的三角形不存在． ――――12分
21．解：（Ⅰ）()()()ln 3(0)h x f x g x x ex x =-=-+>，
则11()()e h x e x x
x
e
'=
-=-
-
， ――――1分
当10x e
<<时，()0h x '>，此时函数()h x 为增函数；
当1x e
>
时，()0h x '<，此时函数()h x 为减函数．
所以函数)(x h 的增区间为)1,0(e
,减区间为),1(+∞e
． ――――4分
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与函数()ln f x x =切于点00(,ln )x x ，则其斜率0
1k x =
，
故切线000
1:ln ()l y x x x x -=
-，
将点1
(,)11
e
A e e --代入直线l 方程得：
00011
ln (
)1
1e
x x e x e -=
---，即00
11ln 10e x e
x -+
-=，――――7分
设11()ln 1(0)e v x x x e x
-=+
->，则2
2
111()()1
e e e v x x ex
x
ex
e --'=
-=
-
-，
当01
e
x e <<
-时，()0v x '<，函数()v x 为增函数；
当1
e
x e >
-时，()0v x '>，函数()v x 为减函数．
故方程()0v x =至多有两个实根， ――――10分 又(1)()0v v e ==，所以方程()0v x =的两个实根为1和e ， 故(1,0),(,1)P Q e ，所以11,1
1k b e e
=
=
--为所求．――――12分
22．证明：（Ⅰ）连接为、AD AC AB ,⊙M 的直径， 为AC ABD ∴=∠∴,900
⊙O 的直径，
90=∠=∠∴AGD CEF ――――2分
G 为弧BD 的中点，.ECF GAB DAG ∠=∠=∠∴ ――――4分 CEF ∆∴∽AGD ∆, GD CE EF AG GD
AG EF
CE ⋅=⋅∴=
∴, ―――6分
（Ⅱ）由（1）知G G FDG GAB DAG ∠=∠∠=∠=∠,
DFG ∆∽AGD ∆, GF AG DG
⋅=∴2
――――8分
由（1）知2
22
2AG
GD CE
EF
=
∴2
2CE
EF
AG
GF = ――――10分
23．解：（Ⅰ）当3
π=a 时，C 1的普通方程为)1(3-=x y ，C 2的普通方程为12
2=+y x ，
联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1
)
1(32
2y x x y ，解得C 1与C 2的交点坐标为（1，0），)23,21(-．――――5分
（Ⅱ）C 1的普通方程为0sin cos sin =--αααy x ，A 点坐标为)cos sin ,(sin 2ααα-， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎪⎩
⎪⎨⎧-==,
cos sin 21
,sin 212
αααy x （α为参数） P 点轨迹的普通方程为16
1)4
1(2
2=
+-
y x ．
故P 点轨迹是圆心为)0,41(，半径为4
1
的圆．――――10
24．解：（Ⅰ）由3)(≤x f 得3||≤-a x ，解得33+≤≤-x x a ．
又已知不等式3)(≤x f 的解集为{}51|≤≤-x x ，所以⎩⎨
⎧=+-=-5
313a a ，解得2=a .――――4分
（Ⅱ）当2a =时，|2|)(-=x x f ，设)5()()(++=x f x f x g ，
于是⎪⎩⎪
⎨⎧>+≤≤--<--=++-=.2,12,23,5,
3,12|3||2|)(x x x x x x x x g ――――6分
所以当3-<x 时，5)(>x g ； 当23≤≤-x 时，5)(=x g ； 当2x >时，5)(>x g ．
综上可得，()g x 的最小值为5．――――9分
从而若m x f x f ≥++)5()(，即m x g ≥)(对一切实数x 恒成立， 则m 的取值范围为（-∞，5]．――――10分。