2010年研究生考试数学(1,2,3)试题(合并整理)
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试卷与答案解析
2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)若011lim[()]1xx a e x x→--=，则a 等于（Ａ）０ （Ｂ）１ （Ｃ）２ （Ｄ）３(2) 设1y ,2 y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解. 若常数λ, μ使12y y λμ+是该方程的解,12 y y λμ-是对应的齐次方程的解, 则 （A ）11,22λμ== (B)11,22λμ=-=- (C) 21,33λμ== (D) 22,33λμ== （3）设函数(),()f x g x 具有二阶导数，且()0g x ''<。
若0()g x a =是()g x 的极值，则()()f g x 在0x 取极大值的一个充分条件是(A)() 0f a '< (B)()0f a '> (C) ()0f a "< (D) ()0f a "< （4）设()()()1010ln ,,xf x xg x xh x e ===，则当x 充分大时有(A)()()() g x h x f x << . (B) ()()()h x g x f x <<. (C)()()()f x g x h x <<. (D)()()() g x f x h x <<.(5) 设向量组12 :, ,, r I ααα⋅⋅⋅可由向量组12II : , ,, s βββ⋅⋅⋅线性表示, 则列命题正确的是 (A) 若向量组I 线性无关, 则r s ≤ (B) 若向量组I 线性相关, 则r s > (C) 若向量组II 线性无关, 则r s ≤ (D) 若向量组II 线性相关, 则r s > (6)设A 为4阶对称矩阵,且20A A +=若A 的秩为3,则A 相似于(A)1110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(B)1110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(C) 1110⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(D) 1110-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(7) 设随机变量X 的分布函数0,01(),0121,1xx F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≥⎩，则{}1P X ==(A) 0 (B) 1 (C)112e --(D) 11e --(8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度2()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度,12(),0()(0,0)(),0af x x f x a b bf x x ≤⎧=>>⎨>⎩为概率密度,则,a b 应满足(A)234a b += (B) 324a b += (C) 1a b += (D) 2a b += 二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) （9）设可导函数()y y x =由方程220sin x yxt e dt x t dt +-=⎰⎰确定，则______x dy dx==（10）设位于曲线)y e x =≤<+∞下方, x 轴上方的无界区域为G , 则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积为_________。
2010年考研数学一真题及答案详解
一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
x2 (1)极限 lim = x ( x a )( x b)
(A)1 (C) e a b (B) e (D) eb a
T
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列为 (
2 2 T , 0, ) . 2 2
(1)求 A. (2)证明 A E 为正定矩阵,其中 E 为 3 阶单位矩阵. (22)(本题满分 11 分) 设 二 维
2
随
机
变
量
(X Y)
的
概
率
密
度
为
f ( x, y ) A e 2 x
2 xy y 2
, x , y , 求常数及 A 条件概率密度 fY | X ( y | x).
0
(7)设随机变量 X 的分布函数 F ( x)
1 1 (B) 1 0 1 1 (D) 1 0
x0 1 0 x 1, 则 P{ X 1} = 2 1 e x x 2
(B)1 (D) 1 e 1
2
0
x cos xdy =
(11)已知曲线 L 的方程为 y 1 x {x [ 1,1]}, 起点是 (1, 0), 终点是 (1, 0), 则曲线积分
L
xydx x 2 dy =
2 2
. .
(12)设 {( x, y, z) | x y z 1}, 则 的形心的竖坐标 z =
2010年考研数一试题及答案
(6) 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2 + A = 0 ，若 A 的秩为 3 ，则 A 相似于
（D）
⎛1
⎞
⎜ A、 ⎜
1
⎟ ⎟
⎜
1⎟
⎜
⎟
⎝
0⎠
⎛1
⎞
⎜ B、 ⎜
1
⎟ ⎟
⎜
−1 ⎟
⎜
⎟
⎝
0⎠
⎛1
⎞
⎜ C、 ⎜
−1
⎟ ⎟
⎜
−1 ⎟
⎜
⎟
⎝
0⎠
⎛ −1
⎞
⎜ D、 ⎜
⎜
−1
⎟ ⎟
−1 ⎟
⎜
⎟
⎝
0⎠
【解析与点评】本题考查的知识点是矩阵的相似的性质，实对称矩阵可对角化的性质，矩阵
1 2 −1
2 xm n dx 收敛（因 m, n 是正整数 ⇒
2
−1
> −1），故
1 m ln2 (1− x)
2
dx
0
mn
0
nx
∫ 收 敛 ； 对 于
1 m ln2 (1− x)
1 2
dx nx
的瑕点
x =1
，当
x ∈ (1− δ ,1)(0 < δ < 1) 2
时
m ln2 (1− x) 1 2
A、秩 r( A) = m , 秩 r(B) = m
B、秩 r(A) = m , 秩 r(B) = n
2
C、秩 r( A) = n , 秩 r(B) = m
D、秩 r( A) = n , 秩 r(B) = n
【解析与点评】本题主要考查的知识点是矩阵的秩的性质
2010年全国硕士研究生入学统一考试(数一)试题及答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试数一试题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定的位置上）（1）极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦（ ） （A ）1 （B ）e （C ） a b e - （D ）b a e -（2）设函数(,)z z x y =由方程(,)0y zF x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '≠。
则z zx y x y∂∂+=∂∂（ ） （A ）x （B ）z （C ）x - （D ）z - （3）设m 、n为正整数，则反常积分0⎰的收敛性（ ）（A ）仅与m 有关 （B ）仅与n 有关 （C ）与 m 、n 都有关 （D ）与 m 、n 都无关 （4）2211lim ()()nnn i j nn i n j →∞===++∑∑（ ） （A ）1201(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰（B ）11001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰ （C ）101(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰（D ）112001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰（5）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且AB E =，其中E 为m 阶单位矩阵，则（ ）（A ）()()R A R B m == （B ）()R A m =，()R B n = （C ）()R A n =，()R B m = （D ）()()R A R B n ==（6）设A 是4阶实对称矩阵，且2A A O +=，若()3R A =，则A 相似于（ ）（A ）1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ （C ）1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ （D ）1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（7）设随机变量X 的分布函数为0,011(),02211,2x x F x x e x -⎧⎪<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，则{1}P X ==（ ）（A ）0 （B ）12 （C ）112e -- （D ）11e -- （8）设1()f x 为标准正态分布的概率密度函数，2()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度函数，若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩（0a >，0b >），则a ，b 满足（ ）（A ）234a b += （B ）324a b += （C ）1a b += （D ）2a b +=二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上）（9）设20ln(1)ttx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰，则220t d y dx ==（10）0π=⎰（11）已知曲线L 的方程为1y x =-（11x -≤≤），起点为(1,0)-，终点为(1,0)，则2Lxydx x dy +=⎰（12）设22{(,,)1}x y z x y z Ω=+≤≤，则Ω的形心坐标z =（13）若11210α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，21102α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3211a α⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若由123,,ααα形成的向量组的秩为2，则a =（14）设随机变量X 的分布为{}!CP X k k ==（0,1,2,...k =），则2EX = 三、解答题（15～23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上。
2010考研数三真题及解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 若011lim 1x x a e x x→⎡⎤⎛⎫--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,则a 等于( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (2) 设12,y y 是一阶非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解,若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解,12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解,则( )(A) 11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-. (C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==.【答案解析】见真题理论验证强化指导部分数二试题一(2).(3) 设函数()(),f x g x 具有二阶导数,且()0g x ''<,若()0g x a =是()g x 的极值,则()()f g x 在0x 取极大值的一个充分条件是( )(A) ()0f a '<. (B) ()0f a '>. (C) ()0f a ''<. (D) ()0f a ''>. (4) 设()()()1010ln ,,x f x x g x x h x e ===,则当x 充分大时有( )(A) ()()()g x h x f x <<. (B) ()()()h x g x f x <<. (C) ()()()f x g x h x <<. (D) ()()()g x f x h x <<.(5) 设向量组12:,,r I ααα 可由向量组12:,,s II βββ 线性表示,下列命题正确的是( )(A) 若向量组I 线性无关,则r s ≤.(B) 若向量组I 线性相关,则r s >.(C) 若向量组II 线性无关,则r s ≤. (D) 若向量组II 线性相关,则r s >.(6) 设A 为4阶实对称矩阵,且2O A A +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 设随机变量X 的分布函数0,1(),0121,1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩,则{}1P X == ( )(A) 0. (B)12. (C) 112e --. (D) 11e --. (8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度,2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度,若12()0()(0,0)()0af x x f x a b bf x x ≤⎧=>>⎨>⎩为概率密度,则,a b 应满足 ( )(A) 234a b +=. (B) 324a b +=. (C) 1a b +=. (D) 2a b +=.二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 设可导函数()y y x =由方程220sin x yxt e dt x t dt +-=⎰⎰确定,则x dydx== .(10)设位于曲线)y e x =≤<+∞下方,x 轴上方的无界区域为G ,则G 绕x轴旋转一周所得空间区域的体积是 .(11) 设某商品的收益函数为()R p ,收益弹性为31p +,其中p 为价格,且(1)1R =,则()R p =.(12) 若曲线321y x ax bx =+++有拐点(1,0)-,则b = .(13) 设A ,B 为3阶矩阵,且3A =,2B =,12A B -+=,则1A B -+= .(14) 设12,,,n X X X 是来自总体2(,)N μσ(0)σ>的简单随机样本,统计量211ni i T X n ==∑,则()E T = .三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分10分)求极限11ln lim (1)xxx x →+∞-.(16) (本题满分10分)计算二重积分3()Dx y dxdy +⎰⎰,其中D 由曲线x =与直线0x =及0x =围成.(17) (本题满分10分)求函数2u xy yz =+在约束条件22210x y z ++=下的最大值和最小值. (18)(本题满分10分)( I ) 比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n = 的大小,说明理由．( II ) 记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n = ,求极限lim n n u →∞． (19) (本题满分10分)设函数()f x 在[]0,3上连续,在()0,3内存在二阶导数,且22(0)()(2)(3)f f x dx f f ==+⎰,( I ) 证明存在(0,2)η∈,使()(0);f f η= ;( II ) 证明存在(0,3)ξ∈,使()0f ξ''=． (20)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解．( I ) 求λ,a ;( II ) 求方程组Ax b =的通解. (21)(本题满分11 分)设0141340A aa-⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭,正交矩阵Q使得TQ A Q为对角矩阵,若Q的第1列为2,1)T,求,a Q．(22) (本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y的概率密度为2222(,)x xy yf x y Ae-+-=,x-∞<<+∞,y-∞<<+∞,求常数A及条件概率密度|(|)Y Xf y x．(23)(本题满分11分)箱中装有6个球,其中红、白、黑球的个数分别为1,2,3个,现从箱中随机取出2个球,记X为取出的红球个数,Y为取出的白球个数.( I ) 求随机变量(,)X Y的概率分布；( II ) 求(,)Cov X Y.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (C). 【解析】()()()000011111lim lim 11lim 1lim x x x x x xx x x x e axe a e e ax e axe x x x x xx →→→→⎛⎫⎛⎫-⎛⎫--=--=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 001limlim 11x xx x e axe a x x→→-=+=-+= 所以2a =. (2) 【答案】 (A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦,而由已知 ()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以()()0q x λμ-=, ① 又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=．由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,整理得 ()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦,即 ()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=, ② 由①②求解得12λμ==,故应选(A)． (3)【答案】 (B).【解析】[]{}[]()()()f g x f g x g x '''=⋅,[]{}[]{}[][][]2()()()()()()()f g x f g x g x f g x g x f g x g x '''''''''''=⋅=⋅+⋅由于0()g x a =是()g x 的极值,所以0()0g x '=.所以[]{}[]()0()()()()f g x f g x g x f a g x ''''''''=⋅=⋅由于0()0g x ''<,要使[]{}()0f g x ''<,必须有()0f a '>,故答案为B.(4)【答案】 (C).【解析】因为1010()1lim lim lim ()10xxx x x h x e e g x x →+∞→+∞→+∞===+∞,所以,当x 充分大时,()()h x g x >.又因为91091ln ()ln ln limlim lim 1010lim ()1x x x x x f x xx x g x xx→+∞→+∞→+∞→+∞⋅===81ln ln 1109lim1092lim 10!lim 01x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞⋅=⋅==⋅== .所以当x 充分大时,()()f x g x <,故当x 充分大,()()()f x g x h x <<. (5) 【答案】 (A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα= ,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤ ,即r s ≤,选(A).(6) 【答案】 (D).【解析】设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 【答案】 (C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-,故本题选(C).(8) 【答案】 (A).【解析】根据题意知,()221x f x -=(x -∞<<+∞),()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰,故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰所以整理得到234a b +=,故本题应选(A). 二、填空题 (9)【答案】1-. 【解析】220sin x yxt e dt x t dt +-=⎰⎰,令0x =,得0y =,等式两端对x 求导：2()220(1)sin sin x x y dye t dt x x dx-++=+⎰．将0x =,0y =代入上式,得010x dy dx =+=.所以01x dy dx ==-. (10)【答案】24π.【解析】根据绕x 轴旋转公式, 有()221ln eedxV y dx x x ππ+∞+∞==+⎰⎰ ()22ln arctan ln 1ln 244e ed x x x ππππππ+∞+∞⎛⎫==⋅=-=⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎰.(11)【答案】()3113P p e-⋅.【解析】由弹性的定义,得31dR p p dp R ⋅=+,所以21dR p dp R p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即21ln ln 3R p p C =++,又()11R =,所以13C =-.故11ln ln 33R p p =+-,因此()3113p R p e -=⋅.(12)【答案】3b =.【解析】函数为321y x ax bx =+++,它的一阶导数为232;y x ax b '=++二阶导数为62y x a ''=+,又因为()1,0-是拐点,所以10x y =-''=,得13a-=-,所以3a =,又因为曲线过点()1,0-,所以将1,0x y =-=代入曲线方程,得3b =.(13) 【答案】3.【解析】由于1111()()A A B B E AB B B A ----+=+=+,所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =,所以1112BB--==,因此 11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=. (14)【答案】22σμ+.【解析】()()()22222211111n n i i i i E T E X E X nE X E X n n nσμ==⎛⎫⎛⎫=====+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.三、解答题(15)【解析】11ln ln 1ln 11ln 11ln lim lim ln ln ln lim 1lim x x x x x x x x e xx xxxx x x ee e→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭其中ln ln ln 12ln(1)(1)1ln limlim1ln xx x xxxx x e eex x xx-→+∞→+∞---=⋅ln ln 1ln 1lim lim (1)1ln ln x xx xx x e x e x x x x→+∞→+∞-=⋅=-=-. 故原式1e -=.(16)【解析】积分区域12D D D = ,其中(){1,0D x y y x =≤≤≤≤(){2,10,D x y y x =-≤≤≤≤()()3322333D Dx y dxdy x x y xy y dxdy +=+++⎰⎰⎰⎰因为区域D 关于x 轴对称,被积函数233x y y +是y 的奇函数,所以()2330Dx y y dxdy +=⎰⎰．()()())113323232032323D D D x y dxdy x xy dxdy x xy dxdy dy xxy dx ⎡⎤+=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1422013242x x y dy ⎛=+ ⎝⎰14209114224415y y dy ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭⎰.(17)【解析】令()()222,,,210F x y z xy yz x y z λλ=++++-,用拉格朗日乘数法得22220,220,220,100,x yz F y x F x z y F y z F x y z λλλλ'=+=⎧⎪'=++=⎪⎨'=+=⎪⎪'=++-=⎩ 求解得六个点：()()2,1,2,A B --()()1,,2,C D --((,.E F -由于在点A 与B 点处,u =C 与D 处,u =-E 与F 处,0u =． 又因为该问题必存在最值,并且不可能在其它点处,所以max u =min u =-(18) 【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(19)【解析】(I) 因为202(0)()f f x dx =⎰,又因为()f x 在[]0,2上连续,所以由积分中值定理得,至少有一点[]0,2η∈,使得()()()220f x dx f η=⋅-⎰即()()202f f η=,所以存在[]0,2η∈,使得()()0f f η=.(Ⅱ)因为()()()2320f f f +=,即()()()2302f f f +=,又因为()f x 在[]2,3上连续,由介值定理知,至少存在一点[]12,3η∈使得()()10f f η=.因为()f x 在[]0,2上连续,在[]0,2上可导,且()()02f f =,所以由罗尔中值定理知,Ｃ存在()10,2ξ∈,有()10f ξ'=.又因为()f x 在[]12,η上连续,在()12,η上可导,且()()()120f f f η==,所以由罗尔中值定理知,存在()212,ξη∈,有()20fξ=.又因为()f x 在[]12,ξξ上二阶可导,且()()120f f ξξ''==,所以由罗尔中值定理,至少有一点()0,3Ax b =⊂,使得()0f ξ''=.(20) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭ 当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(21) 【解析】由于0141340A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,存在正交矩阵Q ,使得T Q AQ 为对角阵,且Q 的第一T ,故A 对应于1λ的特征向量为12,1)T ξ=.根据特征值和特征向量的定义,有1A λ=,即 10141113224011a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2a λ=-=.故014131410A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭. 由14131(4)(2)(5)041E A λλλλλλλ--=-=+--=-,可得A 的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A x λ-=,即1234141710414x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)T ξ=-.由3()0E A x λ-=,即1235141210415x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)Tξ=-. 由于A 为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：312123123,1,0,1),1,1)T T T ξξξηηηξξξ====-==-, 取()123,,0Q ηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭,则245T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭.(22) 【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度(),f x y 后,要求条件概率密度|(|)Y X f y x ,可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =来进行计算.本题中还有待定参数,A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.()()22222222()(),xxy y y x x xy x X f x f x y dy A e dy A e dy Ae e dy +∞+∞+∞+∞-+--------∞-∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰2,x x -=-∞<<+∞.根据概率密度性质有()21x X f x dx e dx A π+∞+∞--∞-∞===⎰,即1A π-=,故()2x X f x -=,x -∞<<+∞.当x -∞<<+∞时,有条件概率密度()()()22222222(),,,x xy y x xy y x y Y X X f x y f y x x y f x -+--+---==-∞<<+∞-∞<<+∞.(23)【解析】(I)X 的所有可能取值为0,1,Y 的所有可能取值为0,1,2．{}2326310,0155C P X Y C =====,其中0,0X Y ==表示取到的两个球都是黑球；{}112326620,1155C C P X Y C =====,其中0,1X Y ==表示取到的一个是白球,一个是黑球；{}222610,215C P X Y C ====,其中0,2X Y ==表示取到的两个球都是白球；{}111326311,0155C C P X Y C =====,其中1,0X Y ==表示取到的一个是红球,一个是黑球；{}11122621,115C C P X Y C ====,其中1,1X Y ==表示取到的一个是红球,一个是白球；{}261,20P X Y C ====, 因此二维离散型随机变量(),X Y 的概率分布为(II)()()()(),Cov X Y E XY E X E Y =-,()22111515E XY =⨯⨯=,()21101333E X =⨯+⨯=, ()2812012515153E Y =⨯+⨯+⨯=()()()()2124,153345Cov X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-.XY 010 1 215 25 115 15215231325 115815。
2010年考研数学一真题和参考答案
2010考研数学（一）真题和参考答案一、选择题 （1）、极限2lim ()()xx xx a x b →∞⎛⎫=⎪-+⎝⎭（ C ） A 、1 B 、e C 、a be - D 、b ae-【详解】()()2222ln 1()()()()()()()()lim lim lim ()()lim lim xx x xx x a x b x a x b x x x a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x a bxe ex a x b ee e ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞-+⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭→∞→∞-⎛⎫== ⎪-+⎝⎭===（2）、设函数(,)z z x y =，由方程(,)0y z F x x =确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z z xy u y∂∂+=∂∂（ B ）A 、xB 、zC 、x -D z -【详解】 等式两边求全微分得：121212()()()0x x y y z z Fu F v dx Fu F v dy Fu F v dz ''''''+++++=，所以有，1212xx z z Fu F v z x Fu F v ''+∂=-''∂+，1212y yz zFu F v z y Fu F v ''+∂=-''∂+， 其中，2x y u x =-，1y u x =，0z u =，2x z v x =-，0yv =，1z v x =，代入即可。
（3）、设,m n 是正整数，则反常积分210ln (1)mnx dx x-⎰的收敛性( D )(A)仅与m 的取值有关 (B)仅与n 有关(C)与,m n 都有关 (D)都无关 【详解】：显然0,1x x ==是两个瑕点，有222111212ln (1)ln (1)ln (1)mmmnnnx x x dx dx dx xxx---=+⎰⎰⎰对于2120ln (1)m nx dx x-⎰的瑕点0x =，当0x +→时212ln (1)ln (1)mmn nx x x x--=-等价于221(1)m m nx--，而21120m nxdx -⎰收敛（因,m n 是正整数211m n ⇒->-），故2120ln (1)mn x dx x -⎰收敛；对于2112ln (1)m n x dx x -⎰的瑕点1x =，当1(1,1)(0)2x δδ∈-<<时12122ln (1)2ln (1)2(1)m n m n m n x x x x -<-<-，而2112(1)m x d x -⎰显然收敛，故2112ln (1)mnx dx x-⎰收敛。
2010考研数学三真题
( II ) 求 Cov(X ,Y ) .
数学(三)试题 第 4 页 (共 14 页)
F
(x)
1, 2
1 ex ,
x0
0 x 1 , 则 PX 1 =
x 1
() (A) 0.
(B) 1 . 2
(C) 1 e1 . 2
(D) 1 e1 .
(8) 设 f1(x) 为标准正态分布的概率密度, f2 (x) 为1,3 上均匀分布的概率密度,若
轴旋转一周所得空间区域的体积是 .
(11) 设某商品的收益函数为 R( p) ,收益弹性为1 p3 ,其中 p 为价格,且 R(1) 1 ,则 R( p) =
.
(12) 若曲线 y x3 ax2 bx 1有拐点 (1,0) ,则 b .
(A) 1 , 1 . 22
(B) 1 , 1 .
2
2
(C) 2 , 1 . 33
(D) 2 , 2 . 33
【答案解析】见真题理论验证强化指导部分数二试题一(2).
(3) 设函数 f x, g x 具有二阶导数,且 g x 0 ,若 g x0 a 是 g x 的极值,则
1 n
n i 1
X
2 i
,
则 E T .
三、解答题(15~23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.)
(15) (本题满分 10 分)
1
1
求极限 lim (x x 1)ln x . x
数学(三)试题 第 1 页 (共 14 页)
2010年全国考研数学一真题及答案.doc
2010年考研数学一真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)极限(A)1 (B)(C)(D)【考点】C。
【解析】【方法一】这是一个“”型极限【方法二】原式而(等价无穷小代换)则【方法三】对于“”型极限可利用基本结论：若,,且则,求极限由于则【方法四】综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限(2)设函数由方程确定，其中为可微函数，且,则。
(A)(B)(C)(D)【答案】B。
【解析】因为,所以综上所述，本题正确答案是(B)。
【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微分(3)设为正整数，则反常积分的收敛性(A)仅与的取值有关(B)仅与的取值有关(C)与的取值都有关(D)与的取值都无关【答案】D。
【解析】本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在和时无界在反常积分中，被积函数只在时无界。
由于，已知反常积分收敛，则也收敛。
在反常积分中，被积函数只在时无界，由于(洛必达法则) 且反常积分收敛，所以收敛综上所述，无论取任何正整数，反常积分收敛。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(4)(A)(B)(C)(D)【答案】D。
【解析】因为综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(5)设为矩阵，为矩阵，为阶单位矩阵，若,则(A)秩秩(B)秩秩(C)秩秩(D)秩秩【答案】A。
【解析】因为为阶单位矩阵，知又因,故另一方面，为矩阵，为矩阵，又有可得秩秩综上所述，本题正确答案是A。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩(6)设为4阶实对称矩阵，且，若的秩为3，则相似于(A)(B)(C)(D)【答案】D。
【解析】由知，那么对于推出来所以的特征值只能是、再由是实对称矩阵必有，而是的特征值，那么由,可知D正确综上所述，本题正确答案是D。
2010年考研数一试题及答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及参考答案一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
（1）、极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎛⎫= ⎪-+⎝⎭（ C ） A 、1 B 、e C 、e a b- D 、eb a-【解析与点评】方法一222ln 1()()()()lim lime lime()()xx x xx x a x b x a x b x x x xx a x b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞⎛⎫== ⎪-+⎝⎭()()2()()()()limelime a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x -+⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭→∞→∞==e a b -=方法二22()()lim lim 1()()()()x xx x x x x a x b x a x b x a x b →∞→∞⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()()()()()()()()lim 1lim 1()()()()x a x b a b x abxxa b x ab x a x b x x a b x ab a b x ab x a x b x a x b -+-+⋅-+-+→∞→∞⎛⎫⎛⎫-+-+=+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()lim()()()ee x a b x abxa b x a x b →∞-+--+==考点：第二个重要极限，初等函数运算，复合函数极限运算法则，极限运算，无穷小量替换 （2）、设函数(,)z z x y =，由方程(,)0y z F x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy u y∂∂+=∂∂（ B ） A 、x B 、z C 、x - D 、z -【解析与点评】 等式两边求全微分得：12d d 0y z F F x x ⎛⎫⎛⎫''⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 1222d d dz d 0x y y x x z xF F x x --''+=12(d d )(dz d )0F x y y x F x z x ''⇒⋅-+⋅-= 12122dz d d yF zF F x y xF F '''+∴=-''所以有，1212222yF zF F zF z z xy x y z u y xF F F ''''+∂∂+=-==∂∂'''（3）、设,m n是正整数，则反常积分x ⎰的收敛性( D )A 、仅与m 的取值有关B 、仅与n 的取值有关C 、与,m n 的取值都有关D 、与,m n 的取值都无关 【解析与点评】：显然0,1x x ==是两个瑕点，有=+⎰对于的瑕点0x =，当0x +→21ln (1)mnx x -=-等价于221(1)mm nx--，而21120m nxdx -⎰收敛（因,m n 是正整数211m n ⇒->-），故收敛；对于)的瑕点1x =，当1(1,1)(0)2x δδ∈-<<时12122ln (1)2(1)nmnmx x <-<-，而2112(1)mxd x-⎰显然收敛，故收敛。
2010年真题及答案
设总体 的概率分布为
1
2
3
其中 未知,以 来表示来自总体 的简单随机样本(样本容量为 )中等于 的个数 试求常数 使 为 的无偏估计量,并求 的方差.
考点:无偏估计概念.
解：
典型错误:
①
②
注:
解：(1)
其中矩阵Q的第3列就是属于特征值0的特征向量,记为 .
设 为A的属于特征值1的特征向量.由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的,则
即为属于特征值1的两个标准正交的特征向量.
（2）解法1因A的特征值为1,1,0,所以矩阵A+E的特征值为2,2,1;又A+E为实对称矩阵,故A+E是正定矩阵
解题思路:由非齐次方程组Ax =b存在两个不同的解,则|A | =0,可求得参数,进步可解方程组.
解(1)因为非齐次线性方程组Ax =b有两个不同的解,即解不是唯一的,所以系数行列式
（2）
典型错误:
①部分考生将非齐次方程组Ax =b的特解与齐次方程组Ax =0的非零解弄混.
②还有人得出齐次方程组Ax =0的基础解系包含两个解向量.
为A的特征值, 为其对应的特征向量.由
由此可知只有选项(D)是正确的.
注:本题中“A为实对称矩阵冶的条件是可以不要的,但若取消该条件,题目的难度将加大,
此时,因为证明A相似于对角阵本身不是一个容易的证明题.
(7)设随机变量 的分布函数 则 =
(A)0(B)
(C) (D)
答:(C).
考点:分布函数的性质.
答:6.
考点:本题考查向量空间维数的概念.
解题思路:由向量空间维数的概念可知所给向量组线性相关即可求参数.
2010考研数一真题.docx
一、小题,每小题4 分,共32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)．．．x 2x(A) 1.(B)e.(C)e a b.(D)e b a.y zx y(x y)(A) x. (B) z. (C) x. (D) z.(3) 设m, n是正整数,则反常积分dx的收敛性( )(A) 仅与m的取值有关. (B)仅与n的取值有关.(C) 与m, n取值都有关. (D) 与m, n取值都无关.i1j1n i n2j2()0 0 1x1y20 0 1x1y(B)dxxdy.0 0 1x1y2(5) 设A为m n矩阵,B为n m矩阵,E为m阶单位矩阵,若AB E,则( )(A) 秩r A m,秩r B m. (B) 秩r A m,秩r B n.(C) 秩r A n,秩r B m. (D) 秩r A n,秩r B n.(6) 设A为4 阶实对称矩阵,且A2 A O,若A的秩为3,则A相似于( )(A)111(B)1111n n nz z. .(C)1dx 11dy.(D) 1dx 11dy.(A)1dx x1dy.(2) 设函数z z(x, y) , 由方程F , 0 确定,其中F为可微函数,且F20 ,则x x(1) 极限lim ( )x(x a)(x b)(C)111(D)1110,(7) 设随机变量X 的分布函数F (x )1 2 1 e x ,x 00 x 1 ,则P X 1 = ( ) x 1(A) 0.1 (B) .2(C) e 1 .(D) 1 e 1.(8) 设 f 1(x ) 为标准正态分布的概率密度, f 2 (x ) 为 1,3 上均匀分布的概率密度,若af 1(x ), x 0(A) 2a 3b 4 . (B) 3a 2b 4 . (C) a b 1. (D) a b 2 . 二、(914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.)．．．x e t, d 2yy 0 ln 1 u 2du , dx t.(10)2cos dx .(11) 已知曲线L 的方程为 y 1 x x 1,1 ,起点是 1.0 ,终点是 1, 0 ,则曲线积 分 Lxydx x 2dy .(12) 设 x , y , z x 2 y 2z 1 ,则 的形心的竖坐标z .(13) 设11, 2, 1, 0 T,21,1, 0, 2 T,32,1,1, a T,若由1,2,3 生成的向量空间的维数是 2,则a .(14) 设 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 为 P X k , k 0,1, 2, , 则 E X2=.三、～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.) (9) 设 t 求 2k !C21, ..f (x ) , (a 0,b 0) 为概率密度,则a , b 应满足 ( ) bf 2 (x ), x 0(15)(本题满分 10 分)求微分方程y 3y 2y 2xe x 的通解． (16)(本题满分 10 分)求函数f x1x 2 x2t e t 2dt 的单调区间与极值.(17)(本题满分 10 分) (I)比较 ln t ln 1 t ndt 与 t n ln t dt n 1, 2,的大小,说明理由；(II)记u nln t ln 1 tndt n 1, 2, (18)(本题满分 10 分)求幂级数n 11n 1 2n,求极限lim u n .(19)(本题满分 10 分)设 P 为椭球面 S : x 2 y 2 z 2 yz 1上的动点,若 S 在点 P 处的切平面与 xOy 面垂直,求点 P 的轨迹 C ,并计算曲面积分 I 2 2 dS ,其中 是椭球面 S 位于曲线 C 上方的部分. (20)(本题满分 11 分)1 1 a 设 A 0 1 ，b 1 ,已知线性方程组Ax b 存在两个不同的解.( I ) 求 , a ；( II ) 求方程组Ax b 的通解. (21)(本题满分 11 分)已知二次型 f (x 1 , x 2 , x 3) x T Ax 在正交变换 x Qy 下的标准形为 y y ,且 Q 的第三列为( , 0, )T .( I ) 求矩阵 A ；( II ) 证明A E 为正定矩阵,其中E 为 3 阶单位矩阵.(22)(本题满分 11 分)设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为f (x , y ) Ae2x 2 2xy y 2, x , y ,求常数 A 及条件概率密度f Y |X (y | x ) ．x y 2z2 214 y z 4yznx 的收敛域及和函数. 2n 1(23)(本题满分11分)设总体X的概率分布为1 2 3122表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的其中参数0,1未知,以Ni3个数(i 1, 2,3 ).试求常数a1 , a2 , a3 ,使T a i N i为的无偏估计量,并求T的方差.i 1(1)【答案】 (C).【解析】 本题属于未定式求极限,极限为1 型,故可以用“e 的抬起法”求解．x 2 xx 2 lim e x a x b x x 2 e x x a x b , x 2 x 2 (x a )(x b )x x 2 (x a )(x b ) x(xa )(xb )(a b )x 2 abxlima b故原式极限为e a b ,所以应该选择(C). (2)【答案】 (B).【解析】 zF 1F 2F1F 2yF 1 zF 2 ,xF21 F2 xF 2z F y F 1x F 1 , y F 21 F 2z z yF 1 zF 2 yF 1 F 2z2 2 2(3) 【答案】 (D).【解析】 x 0 与x 1都是瑕点.应分成x x 2 xxx x1x(x a )(x b )limlim x ln x ln xx y z ．x y F F F x a x b1 (x a )(x b ) lim x x a x b其中又因为1[ln 2(1 x )]m用比较判别法的极限形式,对于dx ,由于im1 .1 2 n m显然,当0 1 ,则该反常积分收敛.n m当 0 , im 0存在,此时dx 实际上不是反常积分,故收.20 1,不论m , n 是什么正整数,1[ln 2 (1 x )]m11lim x nlim ln 2 (1 x )m (1 x ) 0 ,(1 x )2(4)【答案】 (D).【解析】i 1j 1n i n 2 j 2i 1 n i (j 1 n 2 j 2 ) (j 1 n 2 j 2 )(i 1n i )nj 1 nj 1dy ,ni 1ni 1dx ,i 1j 1n i n 2 j 2j 1 n 2 j 2 )(i 1 n i)j 1 n 2 j 2i 1 n i)敛 xnn n n n 1 n 1n nn n 1 n n n n n 1nn n nx 1 1 x 11 2n11所以dx 收敛,故选(D).故不论 m , n 是什么正整数,02dx 总收敛.对于 1dx ,取1 1(dx )( dy ) dxdy .(5)【答案】 (A).【解析】 由于AB E ,故r (AB ) r (E ) m .又由于r (AB ) r (A ), r (AB ) r (B ) ,故m r (A ), m r (B ) ①由于 A 为m n 矩阵,B 为n m 矩阵,故r (A ) m , r (B ) m ②由①、②可得r (A ) m , r (B ) m ,故选 A. (6)【答案】 (D).【解析】 设 为 A 的特征值,由于 A 2 A O ,所以 20 ,即 ( 1) 0 ,这样 A 的 特 征 值 只 能 为 -1 或 0. 由 于 A 为 实 对 称 矩 阵 , 故 A 可 相 似 对 角 化 , 即1A ,r (A ) r () 3 ,因此,11 1 ,即 A1(7) 【答案】 (C).【解析】 离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数 是连续函数.观察本题中F (x ) 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续 型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定 义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即P X 1 P X 1 P X 1 F 1 F 1 0 1 e 1e 1,故本题选(C).(8)【答案】 (A).1, 1 x 3 2 0, 其它利用概率密度的性质:fxdx1 ,故f x dx af 1 x dx bf 2 x dxf 1 x dx b3dx b 1所以整理得到2a 3b 4 ,故本题应选(A).二、(9) 【答案】 0. x 2 1 2 21 1 1.【解析】 根据题意知,f 1 x e 2 ( x ),f 2 x 4【解析】因为tln1t e t,d2y d ln 1t2 e t dt 2t t 2 t t d2y0 .(10)【答案】4.【解析】令原式t cos t 2tdt2t2 cos tdt 2t2d sin t2 t2 sin t 2t sin tdt 4td cos t(11)【答案】0.121x1x dx x2dx x1x dx x2 dx12x2 x dx x 2x2 dx3 212 321122.3dxdydz2d rdrr12dz2d 1 r2 rdr12d r dr0 6d22 21622.32zdxdydz2d rdrr12zdz02d rdr22r2 r6ddy ln 1t2 20412(12) 【】dx e【解析】213 2 2 30 12x3 x2 x2 2x3【解析】Lxydx x2dyLxydx x2dyLxydx x2dy4t cos t0 0cos tdt 4c os 4sin t4.x t,x t2 ,dx 2tdt,利用分部积分法,dx2 dt dx 1t2e ln 1t e e,所以dx2t0(13)【答案】 a 6 . 【解析】 因为由1 ,2,3 生成的向量空间维数为 2,所以r (1,2,3) 2 . 对(1,2,3)进行初等行变换：1(1,2,3)所以a 6 .1 2 11 2 11 20 a 6 (14) 【答案】 2 .【解析】利用离散型随机变量概率分布的性质,知1 k 0P X k k 0k !Ce ,整理得到 C e 1 ,即P X ke 1.故X 服从参数为1的泊松分布,则E X 1, D X 1,根据方差的计算公式有E X 2D XE X2112 2 .三、(15)【解析】对应齐次方程的特征方程为 23 2 0 ,解得特征根11,22 ,所以对应齐次方程的通解为y c C 1e xC 2e 2x ．设原方程的一个特解为y * x (ax b )e x ,则y *ax 2 2ax bx b e x ,y *ax 2 4axbx 2a 2b e x ,代入原方程,解得a 1,b 2 ,故特解为y * x (x2)e x ．故方程的通解为y y cy * C 1e x C 2e 2x x (x 2)e x ．其中C 1, C 2 为任意常数.(16)【解析】因为f (x ) 1x 2(x2t )e t 2dt x2 1x2e t 2dt1x 2te t 2dt ,所 以 f (x ) 2x1x 2e t 2dt 2x 3e x 42x 3e x42x1x 2e t 2dt , 令f (x ) 0 , 则x 0, x 1 .C e 1 1k k ! k !1 32 10 01 1 0 0 1 02 a 02 a 0 0又f (x ) 21x 2 e t 2 dt 4x 2e x 4,则f (0) 210 e t 2dt 0 ,所以f (0) 1 (0 t )e dt 2 e 2 (1 e )是极大值.而f (1) 4e 10 ,所以f (1) 0 为极小值.又因为当 x 1时, f (x ) 0 ； 0 x 1时, f (x ) 0 ； 1 x 0 时, f (x ) 0 ；x1时, f (x ) 0 ,所以 f (x ) 的单调递减区间为 (, 1) (0,1) , f (x ) 的单调递增区.(I)当0 x 1时0 ln(1 x ) x ,故 ln(1 t ) n t n ,所以ln t ln(1 t ) ndtln t t n dt n 1, 2, .(II) ln t t ndtln t t n dt ln td t n1,故由n0 n 12根据夹逼定理得0 lim u n lim 0 ,所以lim u n 0 .(18)【解析】所以,当x 2 1 ,即 1 x 1时,原级数绝对收敛.当x 2 1时,原级数发散,因此幂级数 的收敛半径R 1 .当 x1 时,n 1x 2nn 1,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为 1,1 . ( 1)(n1)12(n 1)(I) 2(n 1) 1 lim n 1 lim x( 1)n x 2n 22n 1 ( 1)n 1x 2n 2n 1(2n 1)x 2limn2n 12n 1 2 2lim x x ,n2n 10 t21 t2 1 1n( 1) 2n n 2n 1 x 11n n n 1 2 n0 u 1ln t t n dt 1, 间为( 1,0) (1, )(17)【解析】 ln t ln(1 t ) nln t t n ,则( 1)n12n( 1)n 1 2n 1S 1(x )n 1 2n 1x x 1,1 ,所以有 S 1 (x ) ( 1)n1 x2n 2(x 2 )n1n 1 n 1x 1,1 ,从而有 故S 1 (x ) 2 2 x 1,1 ,S 1(x )xdx S 1(0) arctan x ,x 1,1 .S 1(x ) 在x1,1上是连续的,所以S (x ) 在收敛域 1,1 上是连续的.所以S (x ) x arctan x ,x 1,1 .(19)【解析】 ( I )令F x , y , z x 2 y2z2yz 1 ,故动点P x , y , z 的切平面的法向量 为 2x ,z , 2z , 由 切 平 面 垂 直 xOy , 故 所 求 曲 线 C 的 方 程 为x 2 y 2 z 2 yz 1( II ) 由 ,消去z ,可得曲线 C 在xOy 平面上的投影曲线所围2z y 0,成的xOy 上的区域D :{(x , y ) | x 23 y 21} ,由 x 2 y 2 z 2 yz x1x ,由z 2z2x y y 2z故I 2 2 dS x dxdy xdxdydxdy3(20)【解析】 因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于 3,进而可 以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法 1： ( I )已知Ax b 有 2 个不同的解,故r (A ) r (A ) 3 ,对增广矩阵进行初等行 x y 2z1 (x ) 1 x 1 14 D4 y z 4yz D D Ddxdy 3 122 . .2z y 0x 2 y 2 z 2 yz 1 (II) 设S (x ) x x x ,其中令n 1 2n 1 n 1 2n 1( 1)n12n 1变换,得11 1 0 1a 11 1 0 1 111 11 0 1 1 21 111 00 12111 1 1 0 0 0 0 12 0 1 11 0 0 11 1 1,由于r (A ) r (A ) 3 ,所以a 2 ,故 1 ,a 2 .方法 2：已知Ax b 有 2个不同的解故r (A ) r (A ) 3 ,因此 A0 ,即11 11 0 1知 1或-1.当1 时, r (A ) 1 r (A )2 ,此时, Ax b 无解,因此1 .由 r (A ) r (A ) ,得a 2.(II ) 对增广矩阵做初等行变换33x 1 x 33 x 1 12 可知原方程组等价为 1 ,写成向量的形式,即 x 2 x 32 .A (1)2 ( 1) 0 ,x 2 2 x 3 1 02 11 0 1 21 1 12 1 1 1 2 A 0 2 0 1 0 2 0 1 0 1 0 11 1 1 1 0 0 0 00 0 0 02当 1时,A 0 1 0 1 当 1时,A 0 0 0 1 ,此时,r (A ) r (A ) ,故 Ax b 无解(舍去)． 0 0 0a 20 a 0 0 1 0 1 0a 1a 01 01A 011a3因此Ax b的通解为x k02,其中k为任意常数.(21)【解析】( I )由于二次型在正交变换x Qy下的标准形为y y,所以A的特征值为121,30.由于Q的第3 列为2 , 0,2,所以A对应于 3 0 的特征向量为2, 0,2,记为3. 由于A是实对称矩阵,所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,设属于2 2程组的基础解系为10,1,0T ,21,0,1T,因此1,2为属于特征值1的两个线性无关的特征向量.由于1,2是相互正交的,所以只需单位化：122取Q1,2,31故A Q Q T011121211.( II )A E也是实对称矩阵,A的特征值为1,1,0,所以A E的特征值为2,2,1,由于A E的特征值全大于零,故A E是正定矩阵.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度f x,y后,要求条件概率密度T T22,且Q 1 Q T,2110,1,0T,2211,0,1T.1 21的特征向量为x1, x2, x3T,则T30 ,即x1x30 . 求得该方121f Y|X (y|x),可以根据条件概率公式fY|X(y|x)来进行计算.本题中还有待定参数, A要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.fXx f x,y dy A e2x2 2xy y 2 dy A e (y x )2 x 2 dy Ae x2 e (y x )2 dyA e x 2 , x .根据概率密度性质有1fXx dx A e x 2 dx A ,即A 1 ,当x 时,有条件概率密度fYXy x e x22xy y2 e(x y)2 , x, y.(23)【解析】N1 ~ B n,1, N2~ B n, 2 , N3~ B n, 23a1n1a2n 2 a3n 2 na1n a2a1n a3a22 .na1因为T是的无偏估计量, 所以E T, 即得n a2 a1 1 , 整理得到n a3 a2 0a 1 0 , a2, a3.所以统计量1111注意到N1B(n,1) ,故111n n11f(x,y)fX(x)D T D n n N1 n2D N1 n1 .T 0N1N2N3N2N3n N1.n n n nE T E aiNia1E N1a2E N2a3E N3i1故fX x1e x2,x.。
2010年考研数学一真题及答案
2010年考研数学一真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)极限(A)1 (B)(C)(D)【考点】C。
【解析】【方法一】这是一个“”型极限【方法二】原式而(等价无穷小代换)则【方法三】对于“”型极限可利用基本结论：若,,且则,求极限由于则【方法四】综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限(2)设函数由方程确定，其中为可微函数，且,则。
(A)(B)(C)(D)【答案】B。
【解析】因为,所以综上所述，本题正确答案是(B)。
【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微分(3)设为正整数，则反常积分的收敛性(A)仅与的取值有关(B)仅与的取值有关(C)与的取值都有关(D)与的取值都无关【答案】D。
【解析】本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在和时无界在反常积分中，被积函数只在时无界。
由于，已知反常积分收敛，则也收敛。
在反常积分中，被积函数只在时无界，由于(洛必达法则)且反常积分收敛，所以收敛综上所述，无论取任何正整数，反常积分收敛。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(4)(A)(B)(C)(D)【答案】D。
【解析】因为综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(5)设为矩阵，为矩阵，为阶单位矩阵，若,则(A)秩秩(B)秩秩(C)秩秩(D)秩秩【答案】A。
【解析】因为为阶单位矩阵，知又因,故另一方面，为矩阵，为矩阵，又有可得秩秩综上所述，本题正确答案是A。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩(6)设为4阶实对称矩阵，且，若的秩为3，则相似于(A)(B)(C)(D)【答案】D。
【解析】由知，那么对于推出来所以的特征值只能是再由是实对称矩阵必有，而是的特征值，那么由,可知D正确综上所述，本题正确答案是D。
2010年考研数学一真题
(B)仅与 n 的取值有关. (D) 与 m, n 取值都无关.
n n
(4) lim
n
(
n i1 j1 n i n2 j 2
)
(D) z .
(A)
1
dx
0
x
1
0 1 x 1
y2
dy .
(B)
1 0
x
dx 0
1
x
1
1
y
dy
.
(C)
1 0
1
dx 0
1
x
1
1
y
dy
.
(D)
三列为 ( 2 , 0, 2 )T . 22
( I ) 求矩阵 A ； ( II ) 证明 A E 为正定矩阵,其中 E 为 3 阶单位矩阵.
(22)(本题满分 11 分)
设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
f (x, y) Ae2x2 2xy y2 , x , y ,
求常数 A 及条件概率密度 fY|X ( y | x) ．
(17)(本题满分 10 分)
(I)比较
1
ln t
0
ln 1 t n dt 与
1tn
0
ln t dt
n 1, 2, 的大小,说明理由；
(II)记 un
1 0
ln t
ln 1 t n dt
n
1,
2,
,求极限
lim
n
un
.
(18)(本题满分 10 分)
求幂级数
1
n1
x2n 的收敛域及和函数.
1
dx
0
1
1
0 1 x 1
y2
2010考研数三真题及解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题(1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 若011lim 1x x a e x x→⎡⎤⎛⎫--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则a 等于( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (2) 设12,y y 是一阶非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解，则( )(A) 11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-. (C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==.【答案解析】见真题理论验证强化指导部分数二试题一(2).(3) 设函数()(),f x g x 具有二阶导数，且()0g x ''<，若()0g x a =是()g x 的极值，则()()f g x 在0x 取极大值的一个充分条件是( )(A) ()0f a '<. (B) ()0f a '>. (C) ()0f a ''<. (D) ()0f a ''>. (4) 设()()()1010ln ,,xf x xg x xh x e ===，则当x 充分大时有( )(A) ()()()g x h x f x <<. (B) ()()()h x g x f x <<. (C) ()()()f x g x h x <<. (D) ()()()g x f x h x <<. (5) 设向量组12:,,r I ααα可由向量组12:,,s II βββ线性表示，下列命题正确的是( )(A) 若向量组I 线性无关，则r s ≤. (B) 若向量组I 线性相关，则r s >.(C) 若向量组II 线性无关，则r s ≤. (D) 若向量组II 线性相关，则r s >.(6) 设A 为4阶实对称矩阵，且2O A A +=，若A 的秩为3，则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 设随机变量X 的分布函数0,1(),0121,1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩，则{}1P X == ( )(A) 0. (B)12. (C) 112e --. (D) 11e --.(8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度，2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度，若12()()(0,0)()af x x f x a b bf x x ≤⎧=>>⎨>⎩ 为概率密度，则,a b 应满足 ( )(A) 234a b +=. (B) 324a b +=. (C) 1a b +=. (D) 2a b +=.二、填空题(9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 设可导函数()y y x =由方程220sin x yxt e dt x t dt +-=⎰⎰确定，则x dydx== .(10)设位于曲线)y e x =≤<+∞下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积是 .(11) 设某商品的收益函数为()R p ，收益弹性为31p +，其中p 为价格，且(1)1R =，则()R p =.(12) 若曲线321y x ax bx =+++有拐点(1,0)-，则b = .(13) 设A ，B 为3阶矩阵，且3A =，2B =，12A B -+=，则1A B -+= .(14) 设12,,,n X X X 是来自总体2(,)N μσ(0)σ>的简单随机样本，统计量211ni i T X n ==∑，则()E T = .三、解答题(15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分10分)求极限11ln lim (1)xxx x →+∞-.(16) (本题满分10分)计算二重积分3()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D由曲线x =与直线0x =及0x =围成.(17) (本题满分10分)求函数2u xy yz =+在约束条件22210x y z ++=下的最大值和最小值. (18)(本题满分10分)( I ) 比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n =的大小，说明理由．( II ) 记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n =，求极限lim n n u →∞． (19) (本题满分10分)设函数()f x 在[]0,3上连续，在()0,3内存在二阶导数，且22(0)()(2)(3)f f x dx f f ==+⎰，( I ) 证明存在(0,2)η∈，使()(0);f f η= ;( II ) 证明存在(0,3)ξ∈，使()0f ξ''=． (20)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解．( I ) 求λ，a ;( II ) 求方程组Ax b =的通解. (21)(本题满分11 分)设0141340A aa-⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，正交矩阵Q使得TQ AQ为对角矩阵，若Q的第1列为T，求,a Q．(22) (本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y的概率密度为2222(,)x xy yf x y Ae-+-=，x-∞<<+∞，y-∞<<+∞，求常数A及条件概率密度|(|)Y Xf y x．(23)(本题满分11分)箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1,2,3个，现从箱中随机取出2个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数.( I ) 求随机变量(,)X Y的概率分布；( II ) 求(,)Cov X Y.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (C). 【解析】()()()000011111lim lim 11lim 1lim x x x x x xx x x x e axe a e e ax e axe x x x x x x →→→→⎛⎫⎛⎫-⎛⎫--=--=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭001limlim 11x xx x e axe a x x→→-=+=-+= 所以2a =. (2) 【答案】 (A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解，故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=，所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦，而由已知 ()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=，所以()()0q x λμ-=， ① 又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的，由此可知()0q x ≠，所以0λμ-=．由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解，所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=，整理得 ()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦，即 ()()()q x q x λμ+=，由()0q x ≠可知1λμ+=， ② 由①②求解得12λμ==，故应选(A)． (3)【答案】 (B).【解析】[]{}[]()()()f g x f g x g x '''=⋅，[]{}[]{}[][][]2()()()()()()()f g x f g x g x f g x g x f g x g x '''''''''''=⋅=⋅+⋅由于0()g x a =是()g x 的极值，所以0()0g x '=.所以[]{}[]()0()()()()f g x f g x g x f a g x ''''''''=⋅=⋅由于0()0g x ''<，要使[]{}()0f g x ''<，必须有()0f a '>，故答案为B.(4)【答案】 (C).【解析】因为1010()1lim lim lim ()10xxx x x h x e e g x x →+∞→+∞→+∞===+∞，所以，当x 充分大时，()()h x g x >. 又因为91091ln ()ln ln limlim lim 1010lim ()1x x x x x f x xx x g x xx→+∞→+∞→+∞→+∞⋅===81ln ln 1109lim1092lim10!lim 01x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞⋅=⋅==⋅==.所以当x 充分大时，()()f x g x <，故当x 充分大，()()()f x g x h x <<. (5) 【答案】 (A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示，所以(I)(II)r r ≤，即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤若向量组I 线性无关，则1(,,)r r r αα=，所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤，即r s ≤，选(A).(6) 【答案】 (D).【解析】设λ为A 的特征值，由于2A A O +=，所以20λλ+=，即(1)0λλ+=，这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵，故A 可相似对角化，即AΛ，()()3r A r =Λ=，因此，1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭，即1110A -⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 【答案】 (C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数，连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式，得到随机变量X 既不是离散型随机变量，也不是连续型随机变量，所以求随机变量在一点处的概率，只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义，函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差，即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-，故本题选(C).(8) 【答案】 (A).【解析】根据题意知，()221x f x e -=(x -∞<<+∞)，()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰，故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰ 所以整理得到234a b +=，故本题应选(A). 二、填空题 (9)【答案】1-. 【解析】220sin x yxt e dt x t dt +-=⎰⎰，令0x =，得0y =，等式两端对x 求导：2()220(1)sin sin x x y dye t dt x x dx-++=+⎰．将0x =，0y =代入上式，得010x dy dx =+=.所以01x dy dx ==-. (10)【答案】24π.【解析】根据绕x 轴旋转公式， 有()221ln eedxV y dx x x ππ+∞+∞==+⎰⎰ ()22ln arctan ln 1ln 244eed x x x ππππππ+∞+∞⎛⎫==⋅=-=⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎰. (11)【答案】()3113P p e-⋅.【解析】由弹性的定义，得31dR p p dp R ⋅=+，所以21dR p dp R p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即21ln ln 3R p p C =++，又()11R =，所以13C =-.故11ln ln 33R p p =+-，因此()3113p R p e-=⋅.(12)【答案】3b =.【解析】函数为321y x ax bx =+++，它的一阶导数为232;y x ax b '=++二阶导数为62y x a ''=+，又因为()1,0-是拐点，所以10x y =-''=，得13a-=-，所以3a =，又因为曲线过点()1,0-，所以将1,0x y =-=代入曲线方程，得3b =. (13) 【答案】3.【解析】由于1111()()A A B B E AB B B A ----+=+=+，所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =，所以1112BB--==，因此 11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=. (14)【答案】22σμ+.【解析】()()()22222211111n n i i i i E T E X E X nE X E X n n nσμ==⎛⎫⎛⎫=====+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.三、解答题(15)【解析】11ln ln 1ln 11ln 11ln lim lim ln ln ln lim 1lim x x x x x x x x e xxxxxx x x ee e→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭其中ln ln ln 12ln(1)(1)1ln lim lim 1ln xxx x x x x x e e e x x x x-→+∞→+∞---=⋅ln ln 1ln 1lim lim (1)1ln ln xx x xx x e x e x x x x →+∞→+∞-=⋅=-=-. 故原式1e -=.(16)【解析】积分区域12D D D =，其中(){1,0D x y y x =≤≤≤≤(){2,10,D x y y x =-≤≤≤≤()()3322333D Dx y dxdy x x y xy y dxdy +=+++⎰⎰⎰⎰因为区域D 关于x 轴对称，被积函数233x y y +是y 的奇函数，所以()2330Dx y y dxdy +=⎰⎰．()()())113323232032323D D D x y dxdy x xy dxdy x xy dxdy dy xxy dx ⎡⎤+=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1422013242x x y dy ⎛=+ ⎝⎰14209114224415y y dy ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭⎰.(17)【解析】令()()222,,,210F x y z xy yz x y z λλ=++++-，用拉格朗日乘数法得22220,220,220,100,x yzF y x F x z y F y z F x y z λλλλ'=+=⎧⎪'=++=⎪⎨'=+=⎪⎪'=++-=⎩ 求解得六个点：()()2,1,2,A B --()()1,,2,C D --((,.E F -由于在点A 与B点处，u =在点C 与D处，u =-在点E 与F 处，0u =．又因为该问题必存在最值，并且不可能在其它点处，所以max u =min u =-(18) 【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<，故[]ln(1)nnt t +<，所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<，则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n =.(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+，故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰，根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+，所以lim 0n n u →∞=.(19)【解析】(I) 因为202(0)()f f x dx =⎰，又因为()f x 在[]0,2上连续，所以由积分中值定理得，至少有一点[]0,2η∈，使得()()()220f x dx f η=⋅-⎰即()()202f f η=，所以存在[]0,2η∈，使得()()0f f η=.(Ⅱ)因为()()()2320f f f +=，即()()()2302f f f +=，又因为()f x 在[]2,3上连续，由介值定理知，至少存在一点[]12,3η∈使得()()10f f η=.因为()f x 在[]0,2上连续，在[]0,2上可导，且()()02f f =，所以由罗尔中值定理知，Ｃ存在()10,2ξ∈，有()10f ξ'=.又因为()f x 在[]12,η上连续，在()12,η上可导，且()()()120f f f η==，所以由罗尔中值定理知，存在()212,ξη∈，有()20fξ=.又因为()f x 在[]12,ξξ上二阶可导，且()()120f f ξξ''==，所以由罗尔中值定理，至少有一点()0,3Ax b =⊂，使得()0f ξ''=.(20) 【解析】因为方程组有两个不同的解，所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3，进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数，有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解，故()()3r A r A =<，对增广矩阵进行初等行变换，得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭ 当1λ=时，11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时，()()r A r A ≠，故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时，111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭，由于()()3r A r A =<，所以2a =-，故1λ=- ，2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解，故()()3r A r A =<，因此0A =，即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=，知1λ=或-1.当1λ=时，()1()2r A r A =≠=，此时，Ax b =无解，因此1λ=-.由()()r A r A =，得2a =-.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，写成向量的形式，即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，其中k 为任意常数.(21) 【解析】由于0141340A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，存在正交矩阵Q ，使得T Q AQ 为对角阵，且Q 的T ，故A 对应于1λ的特征向量为12,1)T ξ=.根据特征值和特征向量的定义，有1A λ=，即10141113224011a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由此可得11,2a λ=-=.故014131410A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭. 由14131(4)(2)(5)041E A λλλλλλλ--=-=+--=-，可得A 的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A x λ-=，即1234141710414x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)T ξ=-.由3()0E A x λ-=，即1235141210415x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)T ξ=-.由于A 为实对称矩阵，123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量，所以123,,ξξξ相互正交，只需单位化：312123123,1,0,1),1,1)T T T ξξξηηηξξξ====-==-， 取()123,,0Q ηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭，则245T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭.(22) 【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度(),f x y 后，要求条件概率密度|(|)Y X f y x ，可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =来进行计算.本题中还有待定参数，A 要根据概率密度的性质求解，具体方法如下.()()22222222()(),x xy y y x x x y x X f x f x y dy A edy A edy Aee dy +∞+∞+∞+∞-+--------∞-∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰2,x x -=-∞<<+∞.根据概率密度性质有()21x X f x dx e dx A π+∞+∞--∞-∞===⎰，即1A π-=，故()2x X f x -=，x -∞<<+∞.当x -∞<<+∞时，有条件概率密度()()()22222222(),,,x xy y x xy y x y Y X X f x y f y x x y f x -+--+---====-∞<<+∞-∞<<+∞.(23)【解析】(I)X 的所有可能取值为0,1，Y 的所有可能取值为0,1,2．{}2326310,0155C P X Y C =====，其中0,0X Y ==表示取到的两个球都是黑球；{}112326620,1155C C P X Y C =====，其中0,1X Y ==表示取到的一个是白球，一个是黑球；{}222610,215C P X Y C ====，其中0,2X Y ==表示取到的两个球都是白球；{}111326311,0155C C P X Y C =====，其中1,0X Y ==表示取到的一个是红球，一个是黑球；{}11122621,115C C P X Y C ====，其中1,1X Y ==表示取到的一个是红球，一个是白球； {}261,20P X Y C ====， 因此二维离散型随机变量(),X Y 的概率分布为XY 010 1 215 25 115 15 21523132 18(II)()()()(),Cov X Y E XY E X E Y =-，()22111515E XY =⨯⨯=，()21101333E X =⨯+⨯=， ()2812012515153E Y =⨯+⨯+⨯=()()()()2124,153345Cov X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-.。
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2010年全国硕士研究生入学统一考试数学试题一、选择题：每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1（Ⅰ）极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎛⎫= ⎪-+⎝⎭【 】 A. 1 B. e C. a b e - D. b ae -2（Ⅱ）函数()f x = 】A. 0 D. 3 3（Ⅲ）极限011lim 1,x x a e x x →⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则a =【 】A. 0B. 1C. 2D. 34（Ⅱ）曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则a =【 】A. 4eB. 3eC.2eD. e5（ⅡⅢ）设12,y y 是一阶齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数,λμ使12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是该方程对应齐次方程的解，则【 】A. 12λμ==B. 12λμ==-C. 21,33λμ==D.23λμ== 6（Ⅲ）设函数(),()f x g x 具有二阶导数，且0()0,()g x g x a ''<=是()g x 的极值，则0(())f g x 为(())f g x 的极大值的一个充分条件是【 】A. ()0f a '<B. ()0f a '>C. ()0f a ''<D. ()0f a ''> 7（Ⅲ）设1010()ln ,(),(),x f x x g x x h x e ===则当x 充分大时有【 】A. ()()()g x h x f x <<B.()()()h x g x f x <<C.()()()f x g x h x <<D.()()()g x f x h x <<8（ⅠⅡ）设函数(,)z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定，其中F 为可微函数，且20,F '≠则z z x y x y ∂∂+=∂∂【 】A. xB. zC. x -D.z -9（ⅠⅡ）设,m n为正整数，则反常积分⎰的收敛性【 】A. 仅与m 的值有关B. 仅与n 有关C. 与,m n 都有关D. 与,m n 都无关10（ⅠⅡ）2211lim()()n nn i j nn i n j →∞===++∑∑【 】 A. 1200(1)(1)x dy dx x y ++⎰⎰ B.100(1)(1)x dy dx x y ++⎰⎰ C. 1100(1)(1)dy dx x y ++⎰⎰ D.11200(1)(1)dydx x y ++⎰⎰ 11（Ⅰ）设A 为m n ⨯型矩阵，B 为n m ⨯型矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若,AB E =则【 】 A. ()()r A r B m == B. (),()r A m r B n == C. (),()r A n r B m == D. ()()r A r B n ==12（ⅠⅡⅢ）设A 为4阶对称矩阵，且20,A A +=若A 的秩为3,则A 相似于【 】A. 1110⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B. 1110⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭C. 1110⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭D. 1110-⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭13（ⅡⅢ）设向量组Ⅰ：12,,,r ααα 可由向量组Ⅱ：12,,,s βββ 线性表示，下列命题正确的是【 】A. 若向量组Ⅰ线性无关，则r s ≤B. 若向量组Ⅰ线性相关，则C. 若向量组Ⅱ线性无关，则r s ≤D. 若向量组Ⅱ线性相关，则r s >14（ⅠⅢ）设随机变量X 的分布函数0,0()0.501,11x x F x x e x-<⎧⎪=≤<⎨⎪-≤⎩则(1)P X ==【 】 A. 0 B. 0.5 C. 10.5e -- D. 11e --15（ⅠⅢ）设1()f x 为标准正态的概率密度，2()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度，若12(),0(),(),0af x x f x bf x x ≤⎧=⎨>⎩(,0)a b >，则,a b 应满足【 】A. 234a b +=B. 324a b +=C. 1a b +=D. 2a b +=二、填空题：每小题4分，共２４分，请将答案写在在答题纸指定位置上.1（Ⅰ）设20,ln(1),ttx e y u du -==+⎰则22__________.t d ydx == 2（Ⅰ）2___________.π=⎰3（Ⅰ）已知曲线L 的方程1||([1,1])y x x =-∈-，起点是(1,0),-重点为(1,0)，则曲线积分2___.Lxydx x dy +=⎰4（Ⅰ）设22{(,,)|1},x y z x y z Ω=+≤≤则Ω的形心坐标____.z =5（Ⅱ）3阶常系数齐次线性微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解为__________________.6（Ⅱ）曲线3221x y x =+的渐近线方程____________________.7（Ⅱ）函数ln(12)y x =-在0x =处的n 阶导数()(0)___________.n y =8（Ⅱ）当0θπ≤≤时，对数螺线r e θ=的弧长为_____________.9（Ⅱ）已知一个长方形的长l 以2/cm s 的速率增加，宽w 以3/cm s 的速率增加。
则当12,5l cm w cm ==时，它的对角线增加速率为______.10（Ⅲ）设可导函数()y y x =由方程220sin x yxt e dt x t dt +-=⎰⎰确定，则__________.x dy dx==11（Ⅲ）设位于曲线)y e x =≤<+∞下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积是______________________.12（Ⅲ）设商品的收益函数为()R p ，收益弹性为31p +，其中p 为价格，且(1)1,R =则()___________.R p =13（Ⅲ）若曲线321y x ax bx =+++有拐点(1,0)-，则______.b =14（ⅡⅢ）设,A B 为3阶方阵，且13,2,2,A B A B -==+=则1__________.A B -+=15（Ⅰ）设123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),T T Ta ααα=-==若由123,,ααα形成的向量空间的维数为2，则__.a =16（Ⅰ）设随机变量X 的概率分布为(),,0,1,!cP X k k k === ，则2_____.EX = 17（Ⅲ）设1,,n X X 为来自总体2(,)(0)N μσσ>的简单随机样本，统计量211n i i T X n ==∑，则_____.ET =三、解答题：共94分。
请将写在答题纸指定的位置上。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1（Ⅰ）(本题满分10分)求微分方程322xy y y xe '''-+=的通解。
2（Ⅲ）(本题满分10分)求极限11ln lim 1.xxx x →+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭3（ⅠⅡ）（本题满分10分）求函数2221()()x t f x x t e dt -=-⎰的单调区间与极值。
4（ⅠⅡⅢ）（本题满分10分）（Ⅰ）比较1|ln |ln (1)n t t dt +⎰与10ln ||n t t dt ⎰的大小，并说明理由。
（Ⅱ）记1|ln |ln (1)(1,2,)n n u t t dt n =+=⎰，求极限lim .n n u →∞5（Ⅱ）（本题满分10分）设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且1(0)0,(1).3f f ==证明:存在110,,,1,22ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭使得22()().f f ξηξη''+=+6（Ⅲ）（本题满分10分）设函数()f x 在[0,3]上连续，在(0,3)内二阶可导，且22(0)()(2)(3).f f x dx f f ==+⎰①证明：存在(0,2)η∈使()(0);f f η= ②证明：存在(0,3)ξ∈，使()0.f ξ''=7（Ⅰ）（本题满分10分）求幂级数121(1)21n nn x n -∞=--∑的收敛域及和函数。
8（Ⅱ）（本题满分11分）设函数()y f x =由参数方程{22,(1)()x t t t y t ψ=+-<=所确定，其中()t ψ具有二阶导数， 且5(1),(1)6,2ψψ'==已知223,4(1)d y dx t =+求函数().t ψ9（Ⅱ）（本题满分10分）一个高为1的柱体形储油罐，顶面的长轴为2a ,短轴为2b 的椭圆,现将储油罐平放,当油罐中油面高度为32b 时(如图),计算油的质量.(长度单位为m, 质 量单位为kg, 油的密度为常数3/kg m ρ)10（Ⅱ）（本题满分11分）设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式2222241250u u ux x y y∂∂∂++=∂∂∂∂ 确定,a b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20.uξη∂=∂∂11（Ⅱ）（本题满分10分）计算二重积分2sin ,DI r θ=⎰⎰其中{(,)|0sec ,0}.4D r r πθθθ=≤≤≤≤ 12（Ⅲ）（本题满分10分）计算二重积分3(),Dx y dxdy +⎰⎰其中D是由x =0x =及0x =围成。
13（Ⅲ）（本题满分10分）求函数2M xy yz =+在约束条件22210x y z ++=下的最大值和最小值。
14（Ⅰ）（本题满分10分）设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点，若S 在点P 处的切平面与xoy 面垂直，求点P 的轨迹C,并计算曲面积分：,I ∑=其中∑为S 位于曲线C 上方的部分。
15（ⅠⅡⅢ）（本题满分11分）设11010,1,111a A b λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解。
①求,;a λ②求方程组Ax b =的通解。
16（Ⅰ）（本题满分11分）已知二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准型为2212,f y y =+且Q 的第三列为22T⎛ ⎝⎭。
①求矩阵A; ②证明A+E 为正定矩阵。
17（ⅡⅢ）（本题满分11分）设0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎝⎭,正交矩阵Q 使得TQ AQ 为对角阵,若Q12,1⎛⎫⎪⎪⎭求,.a Q18（ⅠⅢ）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为22222(,),(,).xxy y f x y Ae x y -+-=∈ 求常数A 及条件概率密度|(|).Y X f y x19（Ⅰ）（本题满分11分）设总体X 的概率分布为其中(0,1)θ∈，以i N 表示来自总体X 的简单随机样本（容量为n ）中等于i 的个数（1,2,3.i =）试求常数123,,,a a a使得31iii T a N ==∑为θ的无偏估计量，并求T 的方差。