2018版高中数学第一章三角函数章末分层突破学案新人教A版必修4(含解析)

第一章 三角函数
①180° ②|α|R ③12lR ④相等 ⑤1 ⑥sin α
cos α
⑦周期性 ⑧奇偶性 ⑨单调性 ⑩定义域 ⑪值域
任意角的三角函数的定义及三角函数线
掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域.
函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为________.
【精彩点拨】 先列出三角函数的不等式组，再借助于三角函数线或三角函数的图象求解.
【规范解答】 要使函数有意义，必须有
⎩⎪⎨⎪⎧
2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
sin x >12
，
cos x ≤1
2
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
π6＋2k π<x <5
6
π＋2k π，π3＋2k π≤x ≤5
3
π＋2k π，(k ∈Z )
∴π3＋2k π≤x <5π
6
＋2k π(k ∈Z ). 故所求函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
π3＋2k π≤x ＜5
6π＋2k π，k ∈Z
. 【答案】 ⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
π3＋2k π≤x ＜56π＋2k π，k ∈Z [再练一题]
1.求函数f (x )＝－sin x ＋tan x －1的定义域. 【导学号：00680030】 【解】 要使函数f (x )有意义，则
⎩⎪⎨⎪
⎧
－sin x ≥0，tan x －1≥0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
sin x ≤0，tan x ≥1，
如图所示，结合三角函数线知
⎩
⎪⎨⎪⎧
2k π＋π≤x ≤2k π＋2π k ∈Z ，k π＋π4≤x <k π＋π2 k ∈Z ，
∴2k π＋5π4≤x <2k π＋3π
2
(k ∈Z ).
故f (x )的定义域为⎣
⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋5π4，2k π＋3π2(k ∈Z ).
三角函数的最值问题
象、函数的单调性等知识联系在一起，有一定的综合性.在求解时，一要注意三角函数式的变形方向；二要注意正弦、余弦函数本身的有界性，还要注意灵活运用方法.
求函数f (x )＝cos 2
x ＋sin x ＋1⎝ ⎛ －π4
≤x
⎭
⎪⎫≤π4 的最小值.
【精彩点拨】 本题应先通过同角三角函数关系式将函数转化成关于sin x 的二次函数，然后再求最小值.
【规范解答】 f (x )＝cos 2
x ＋sin x ＋1＝1－sin 2
x ＋sin x ＋1 ＝－sin 2
x ＋sin x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋94，
又－π4≤x ≤π4，所以－22≤sin x ≤2
2.
故当sin x ＝－22时，f (x )取最小值3－2
2
. [再练一题]
2.求函数y ＝cos 2
x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4的值域.
【解】 y ＝－sin 2
x －sin x ＋1，令t ＝sin x . ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22
，22.
原函数可化为y ＝－t 2
－t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋54
，
∴当t ＝－12时，有y max ＝5
4；
当t ＝
22时，有y min ＝1－22
. 故原函数值域为⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
1－22
，54.
三角函数的图象及变换
三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.
如图1­1是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝
⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象.
图1­1
(1)求此函数解析式；
(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？
【精彩点拨】 (1)先确定A ，k ，再根据周期求ω，最后确定φ. (2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移. 【规范解答】 (1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫
－322＝1
2，
k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，
∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝1
2sin(2x ＋φ)－1.
当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π
6，
∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6－1.
(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标
缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝12sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，
最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图
象.
[再练一题]
3.已知函数y ＝12cos x ＋1
2|cos x |.
(1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)指出这个函数的单调增区间. 【解】 (1)y ＝12cos x ＋1
2
|cos x |
＝
⎩⎪⎨⎪⎧
cos x ，x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 k ∈Z ，0，x ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 k ∈Z .
函数图象如图所示.
(2)该函数是周期函数，且由图象可知函数的最小正周期是2π. (3)由图象可知函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z ).
三角函数的性质
三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及
y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质.在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代
换思想解题是常见的技巧.
已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数).
(1)求f (x )的单调区间；。