江苏省如皋市高考数学一轮复习平面向量的基本定理与坐标运算活动单课件
平面向量的基本定理及坐标表示课件-2025届高三数学一轮复习
2
3
2
故
1
2
=
1
−
2
1=−
−
1
3
⇒
5
=
7
6
=−
7
,
6
6
2
8
所以= = + ,λ+μ= ,故B选项错误;
7
7
7
7
1
2
=-=- + ,
3
3
5
2
1
2
7
因为= ,所以= =- + ,故= ,C选项正确;
7
7
7
7
3
6
6
2
1
因为= ,所以S△ABM= S△ABF= S△ABC= S,故D选项正确.
(
,
).
3
3
2.如果对于一个基底 1 , 2 ,有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,那么可以得到λ1=μ1,λ2=μ2.
特别地,若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0.
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
题号
1
2
4
3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在△ABC中,{,}可以作为基底.(
等分点,记=a,=b,则下列说法正确的是(
A.点M,N,E三点共线
9
B.若=λa+μb,则λ+μ=
7
7
C.=
3
1
D.S△ABM= S,S为平行四边形ABCD的面积
7
)
【解析】选ACD.如图所示:
2025年高考数学一轮复习-6.1-平面向量的概念及其线性运算【课件】
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由|a+b|=|a|-|b|及向量的减法法则,可得向量a与b平行且反向,
由a=λb可得向量a,b平行,因此“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”的必要不充分条件.
5
5
8
4.(必修第二册P15练习T2·
度属中、低档.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.平面向量的有关概念
名称
向量
零向量
单位向量
定义
备注
既有大小又有方向的量;
向量由方向和长度确定,
向量的大小称为向量的长度(模)
不受位置影响
长度为___的向量
0
任意
记作0,其方向是______的
1个
长度等于_____单位长度的向量
与非零向量a共线的单位向量
1或3
3.向量∥,其中是单位向量且 =2 ,则 =________.
【解析】因为∥,其中是单位向量且 =2 ,则=-,
①若=2,则 = − = −2 = =1;
②若=-2,则 = + 2 = 3 =3 =3,因此, =1或3.
含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
考法
预测
高考命题常以共线向量基本定理与平面向量基本定理为载体考查向
量的加、减、数乘运算以及它们的几何意义,常以选择或填空题的
形式考查.
预计2025年高考仍会考查线性运算,题型以选择题、填空题为主,难
高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第1节 平面向量的概念及线性运算
→
→
②利用结论“若=λ+μ(λ,μ为实数),则 A,B,C 三点共线的
充要条件是λ+μ=1”来证明三点共线,但应注意此结论成立的前提条
→
→
件是“,不共线”.
[针对训练]
→
→
→
(1)已知向量 a,b 且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三
点是(
A.A,B,D
相等,与起点(终点)无关.
(3)两向量可以相等,也可以不相等,但两向量不能比较大小.向量
的模长均为实数,所以模长可以比较大小.
(4)非零向量a与 || 的关系: ||是与a同方向的单位向量.
[针对训练] 给出下列命题:
→
→
①若A,B,C,D是不共线的四点,且 = ,则四边形ABCD为平行
(1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.( √
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(
→
×
)
)
→
(3)向量与向量是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上.
(
)
×
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( √
)
2.在平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点
k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,因为a,b是两个不共线向量,故a
- = ,
与b均不为零向量,所以
+ = ,
解得 k=,λ=-.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
平面向量的基本概念
[例1] (1)下列命题正确的是(
(江苏专版)高考数学一轮复习第五章平面向量第二节平面向量基本定理及坐标表示实用课件文
[解析] 如图，连结 BP，则―A→P ＝―A→C ＋―C→P ＝b ＋―P→R ，①
―A→P ＝―A→B ＋―B→P ＝a ＋―R→P －―R→B ，②
①＋②，得 2―A→P ＝a ＋b －―R→B ，③
又―R→B ＝12―Q→B ＝12(―A→B －―A→Q )＝12a－12―A→P ，④ 将④代入③，得 2―A→P ＝a ＋b －12a－12―A→P ，
第二十一页，共33页。
[方法技巧] 平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的 法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先 求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则， 通过列方程(组)来进行求解．
第二十二页，共33页。
向量平行的坐标表示 [例 2] 已知 a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当 k 为何值时，ka －b 与 a ＋2b 共线； (2)若―A→B ＝2a ＋3b ，―B→C ＝a ＋mb ，且 A，B，C 三点共 线，求 m 的值．
第十五页，共33页。
02 突破点(二) 平面向量的坐标(zuòbiāo) 表示 第十六页，共33页。
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设 a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则： a ＋b ＝ (x1＋x2，y1＋y2)，a －b ＝(x1－x2，y1－y2)，λa ＝ (_λ_x_1_，__λ_y1_)，|a |＝___x_21＋__y_21_.
答案：(2,0)
第二十八页，共33页。
3.[考点二]已知向量―O→A ＝(k,12)，―O→B ＝(4,5)，―O→C ＝(－k,10)， 且 A，B，C 三点共线，则 k 的值是________． 解析：―A→B ＝―O→B －―O→A ＝(4－k，－7)，―A→C ＝―O→C －―O→A ＝ (－2k，－2)．∵A，B，C 三点共线，∴―A→B ，―A→C 共线， ∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得 k＝－23. 答案：－23
新高考一轮复习苏教版第5章第2节 平面向量基本定理及坐标表示课件(50张)
2.如图，A，B 分别是射线 OM，ON 上的点，给出下列向量：①O→A ＋2O→B；②12O→A＋13O→B；③34O→A＋13O→B；④34O→A＋15O→B，若这些向量均 以 O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的是( )
1．平面向量基本定理 (1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对 于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1 ＋λ2e2. (2)基底：若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．
2．平面向量的坐标运算
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
()
二、教材习题衍生
1．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
A．(－2，－1)
B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
D [∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)， ∴12a＝12，12，32b＝32，－32， ∴12a－32b＝12－23，12＋32＝(－1,2)， 故选 D．]
②设 O 为坐标原点，∵C→M＝O→M－O→C＝3c， ∴O→M＝3c＋O→C＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)．又∵C→N＝O→N－O→C＝－2b， ∴O→N＝－2b＋O→C＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴M→N＝(9，－18)．
平面向量坐标运算的技巧 (1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向 线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论， 由此可列方程(组)进行求解．
2025届高中数学一轮复习课件《平面向量基本定理及坐标表示》ppt
)
高考一轮总复习•数学
第10页
2．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
解析：因为 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以12a－32b＝12(1，1)－32(1，－1)＝12，12－32，－32 ＝(－1,2)．
∴54<k<32.即 k 的取值范围为54，32.
高考一轮总复习•数学
第23页
题型
平面向量的坐标运算
典例 2(1)已知 A(－2,5)，B(10，－3)，点 P 在直线 AB 上，且 P→A ＝－13P→B ，则点 P 的
由线性关系，转化到坐标运算．
坐标是( )
A．(－8,9)
B．(1,3)
C．(－1，－3) D．(8，－9)
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．若 e1，e2 互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2 分别为与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：如图，分别取 BD，AE 的中点 G，N，连接 GN 交 EF 于 H，
(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标表示课件
3.要注意待定系数法和方程思想的运用.
1 1 OC = OD = OA , OB ,AD与BC相交于点M.设 例1 如图所示,在△ABO中, 4 2 OA =a, OB =b.
(1)试用a和b表示向量 OM ;
OA , OE =λ (2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过点M,设
解析 (1)设 = ma + nb , 则 = = ma + nb a =( m -1) a + nb , = AD OD AM OM OA OM
1 1 OA OA OB = - =-a+ b. 2 2
AD 共线. AM 与 ∵A、M、D三点共线,∴
对实数x,y,使a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们 把有序数对
(x,y) 叫做向量a的坐标,记作a=
(x,y) ,其中
x 叫做a在x轴上的坐标,
y 叫做a在y轴上的坐标. 终点A 的坐标,即若 OA =(x,
设 OA =xi+yj,则向量 OA 的坐标(x,y)就是 y),则A点坐标为 5.平面向量的坐标运算
解析
m 4n 3, (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),所以 解得 2m n 2,
5 m , 9 n 8 . 9
(2)由题意知a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
∵(a+kc)∥(2b-a),
16 . ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=13
高三数学一轮复习第五章 平面向量5.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算课件
【解析】由题意得
uur P1P
=
1 3
uuur P1P2
或
uur P1P
=
2 uuur 3 P1P2
,
uuur P1P2
=(3,-3).
设P(x,y),则
uur P1P
=(x-1,y-3),
当
uur P1P
=
1 uuur 3 P1P2时,(x-1,ຫໍສະໝຸດ -3)=1 (3,-3),
3
所以x=2,y=2,即P(2,2).
【解析】因为a∥b,所以4×3-2x=0,所以x=6. 答案:6
2.(必修4P79练习T7改编)已知三个力F1=(-2,-1),F2= (-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体 保持平衡,现加上一个力F4,则F4=________.
【解析】根据力的平衡原理有F1+F2+F3+F4=0,所以F4= -(F1+F2+F3)=(1,2). 答案:(1,2)
(2)基底:不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底. (3)平面向量的正交分解. 向量正交分解是把一个向量分解为两个_互__相__垂__直__的向 量.
2.平面向量的坐标表示 (1)平面向量的坐标表示: 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i,j作为基底,由平面向量基本定理知,该平 面内的任一向量a可表示成a=x i+y j,由于a与有序数 对(x,y)是一一对应的,因此向量a的坐标是(x,y),记作 _a_=_(_x_,_y_)_.
2
2
于是得
1 2
1 2
1, 解得
江苏高考数学(理)总复习课件： 平面向量的基本定理及坐标表示
＝m－4，12m－2. 因为 212m－2－1·(m－4)＝0，所以―A→B ∥―D→C .
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(2)若点 A，B，C 能构成三角形，则实数 m 应满足什么条件？ 解：―A→B ＝―O→B －―O→A ＝(2,1)，―A→C ＝―O→C －―O→A ＝ (1－m，m＋6)． 若点 A，B，C 能构成三角形，则 A，B，C 三点不共线． 当 A，B，C 三点共线时，存在 λ 使―A→B ＝λ―A→C ，即(2,1)＝ λ(1－m，m＋6)，得21＝ ＝λλm1－＋m6， ， 解得 m＝－131. 所以当 m≠－131时，点 A，B，C 能构成三角形．
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[谨记通法] 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算 的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先 求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系， 一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则， 通过列方程(组)来进行求解．
考点三 平面向量共线的坐标表示
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[典例引领]
重点保分型考点——师生共研
已知 O 为坐标原点，向量―O→A ＝(3，－4)，―O→B ＝(5，－3)，
―O→C ＝(4－m，m＋2)．
(1)若 D0，32m，求证：对任意实数 m，都有―A→B ∥―D→C ； 解：证明：由题意，―A→B ＝―O→B －―O→A ＝(2,1)，―C→D ＝―O→D －―O→C
答案：(－1,0)
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2．已知向量 a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且 a ∥b ，则 m＝________. 解析：因为 a ∥b ，所以－2m－4×3＝0，解得 m＝－6. 答案：－6
聚焦典型题苏教高考一轮数学理平面向量的基本定理及向量坐标运算PPT教案
考向一 平面向量基本定理及其应用
【训练 1】如图，平面内有三个向量O→A，O→B，O→C，其中 【方法锦囊 】
O→A与O→B的夹角为 120°，O→A与O→C的夹角为 30°，且|O→A|
＝|O→B|＝1，|O→C|＝2 3，若O→C＝λO→A＋μO→B(λ，μ∈R)， 则 λ＋μ 的值为________．
A．(－7 2，－ 2) B．(－7 2， 2) C．(－4 6，－2) D．(－4 6，2)
思路 3：排 结除 合法 求解 、． 验证法相
一般解法：
法一 设点 Q 的坐标为(x，y)，由题意知：|O→Q|＝|O→P|＝ 36＋64＝10.
又∵|O→Q|＝ x2＋y2＝10，∴x2＋y2＝100.①∵向量O→Q与O→P的夹角为34π，且点 Q 在
由(a＋b)∥c，得(－3)×(－1)－(m－1)×2＝0，
所以 m＝25.
第12页/共29页
揭秘3年高考
方法优化7——“多想少算”解决平面向量运算问题 【命题研究】通过近三年高考试题分析，可以看出
高考对本部分内容的考查主要是向量的运算，意在考查 考生计算能力和利用化归思想解决问题的能力．以选 择、填空题的形式出现，一般难度不大，属容易题．
三个结论 (1)若 a 与 b 不共线，λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝0. (2)已知O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ 为常数)，则 A，B， C 三点共线的充要条件是 λ＋μ＝1. (3)平面的基底中一定不含零向量．
第4页/共29页
考点自测
1．(2012·广东)若向量B→A＝(2,3)，C→A＝(4,7)，则B→C＝( )． A．(－2，－4) B．(2,4) C．(6,10) D．(－6，－10)
∴C→M＝3C→A＝3(1,8)＝(3,24)，C→N＝2C→B
(江苏专用)高考数学总复习 第四章第2课时 平面向量基本定理与坐标运算课件
思考探究 任意两个向量可否作为一组基底？ 提示：零向量不能作基底，两个非零向 量共线时不能作基底，平面内任意两个
不共线的向量都可以作基底，一旦选择
了一组基底，则定向量沿基底的分解是
惟一的．
3．平面向量共线的坐标表示 若 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)， 则 a∥ b⇔x1y2 ＝ x2y1. 4．模长公式 若 a＝ (x， y)，则 |a|＝ x2＋ y2.
m＋ 2n＝ 1， 由 解得 4m＋ n＝ 1，
3 n＝7，
1 m＝ ， 7
所以
3 → 1 OM＝ a＋ b. 7 7
考点2
向量的坐标表示及运算
首先区分清楚向量的坐标与点的坐标之 间的区别及联系，其次要熟练掌握向量
加法、减法与数乘的坐标运算规则．
例2
已知a＝(1,1)，b＝(x,1)，u＝a＋
故 3×k＝ 3× 3，解得 k＝1.
答案：1
→ → → 4．已知向量AB＝(6,1)，BC＝(2,5)，CD → ＝ (－2，－3)，则AD ＝ ________.
答案：(6,3)
考点探究 • 讲练互动
考点突破
考点1 平面向量基本定理及其应用 1．以平面内任意两个不共线的向量为
一组基底，该平面内的任意一个向量都
课前热身 1．下列关于基底的说法正确的序号是 ________．
①平面内不共线的任意两个向量都可作
为一组基底；②基底中的向量可以是零 向量；③平面内的基底一旦确定，该平 面内的向量关于基底的线性分解形式也 是惟一确定的．
答案：①③
2． (2012· 镇江调研)已知向量 a＝ (x＋3， → x － 3x － 4) 与 AB 相 等 ，其 中 A(1,2) ，
江苏省如皋市高考数学一轮复习平面向量的基本定理与坐标运算活动单(无答案)
平面向量的基本定理与坐标运算活动方案活动一 基础自测1.（2013苏中调研一)在平面直角坐标系中，已知向量(2,1),(3,5)AB AC ==，则向量BC 的坐标为_________。
2。
已知向量),2,3(),2,1(-==b a 若b a k +与b 平行，则=k . 3.（2015江苏卷）已知向量(2,1),(1,2)a b ==-，若(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈,则m n - 的值为_____________.4.已知向量21,e e 不共线,,2,22121e e b e e a λ+=+=要使b a ,能成为平面内所有向量的一组基底,则实数λ的取值范围是 .5。
与向量)5,12(=a 平行的单位向量为 。
6.已知在ABC ∆中，点,D E 分别为边,AC AB 上的点，且2,2DA CD EB AE ==,若,BC a CA b ==，则以,a b 为基底表示DE =____________。
知识梳理活动二 典型例题题型一 平面向量基本定理的应用例 1 在平行四边形ABCD 中,N M ,分别为BC DC ,的中点,已知d AN c AM ==,,试用d c ,表示AD AB ,.变式训练 已知点G 为ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AC y AN AB x AM ==,，求y x 11+的值.题型二 向量坐标的基本运算例2已知).4,3(),1,3(),4,2(----C B A 设,,,c CA b BC a AB ===且.2,3b CN c CM -==（1）求满足c n b m a +=的实数n m ,；（2）求N M ,的坐标及向量MN 的坐标。
变式训练 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为)5,1(),0,3(),0,1(--,求第四个顶点的坐标。
题型二 共线向量的坐标表示例3 平面内给定三个向量),1,4(),2,1(),2,3(=-==c b a 请解答下列问题：（1）求满足n m +=的实数n m ,；（2）若)2//()(k -+,求实数k ；(3)若d 满足)//()(+-5=c d ，求d .变式训练已知).=b0,1(=a),1,2(（1）求b+；a3（2)当k为何实数时，ba3+平行?平行时,它们是同向还是反向？k-与ba题型三向量与三角的综合应用例 4 (2015·苏锡常镇一模）如图,在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC＝λDE＋μAP，则λ＋μ的最小值为________．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
高考数学一轮复习 平面向量的基本定理与坐标运算活动单(无答案)(2021年整理)
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平面向量的基本定理与坐标运算活动方案活动一 基础自测1.（2013苏中调研一)在平面直角坐标系中，已知向量(2,1),(3,5)AB AC ==，则向量BC 的坐标为_________。
2。
已知向量),2,3(),2,1(-==b a 若b a k +与b 平行，则=k .3.（2015江苏卷）已知向量(2,1),(1,2)a b ==-，若(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈,则m n - 的值为_____________.4.已知向量21,e e 不共线,,2,22121e e b e e a λ+=+=要使b a ,能成为平面内所有向量的一组基底,则实数λ的取值范围是 .5。
与向量)5,12(=a 平行的单位向量为 。
6.已知在ABC ∆中，点,D E 分别为边,AC AB 上的点，且2,2DA CD EB AE ==,若,BC a CA b ==，则以,a b 为基底表示DE =____________。
知识梳理活动二 典型例题题型一 平面向量基本定理的应用例 1 在平行四边形ABCD 中,N M ,分别为BC DC ,的中点,已知d AN c AM ==,,试用d c ,表示AD AB ,.变式训练 已知点G 为ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AC y AN AB x AM ==,，求y x 11+的值.题型二 向量坐标的基本运算例2已知).4,3(),1,3(),4,2(----C B A 设,,,c CA b BC a AB ===且.2,3b CN c CM -==（1）求满足c n b m a +=的实数n m ,；（2）求N M ,的坐标及向量MN 的坐标。
高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件第25讲 平面向量基本定理及坐标表示
使a＝λb＋μc；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝
λb＋μc.
上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，
则真命题的个数是________．
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第25讲 平面向量基本定理及坐标表示
(2)如图5-25-3所示，在平行四边形ABCD中，点E和F
分别在边CD和BC上，且D→C＝3D→E，B→C＝3B→F.若A→C＝mA→E
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第25讲 平面向量基本定理及坐标表示
•
双 向
固
基
础
4．平面向量的坐标表示 (1)平面向量的坐标表示 如图5-25-2，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴
方向_相__同_____的两个_单__位__向__量___i，j作为基底．由平面向量
的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，
•
双 向
固
基
础
1．平面向量的基本定理 如果e1，e2是一个平面内的两个__不__共__线__向量，那么对
于这一平面内的任一向量a，__有_且__只__有_一对实数λ1，λ2，使
_a_＝__λ_1_e_1＋__λ_2_e2__．其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平
面内所有向量的一组__基__底____．
•
点 面
＋nA→F，其中m，n∈R，则m＋n＝______.
讲
考
向
图5253
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第25讲 平面向量基本定理及坐标表示
［思考流程］(1)分析：立足于平面向量基本定理进行
判断．推理：根据定理结合图像推理．结论：确定真命题的
•
点 面 讲 考
个数． (2)分析：用平面向量基本定理将A→C用基向量A→E，A→F表
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平面向量的基本定理与坐标运算
活动方案
活动一 基础自测
1.（2013苏中调研一）在平面直角坐标系中，已知向量(2,1),(3,5)AB AC == ，则向量BC 的坐
标为_________.
2.已知向量),2,3(),2,1(-==若k +与平行，则=k .
3.（2015江苏卷）已知向量(2,1),(1,2)a b ==- ，若(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈ ，则m n - 的值
为_____________.
4.已知向量21,e e 不共线，,2,22121e e e e λ+=+=要使,能成为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是 .
5.与向量)5,12(=a 平行的单位向量为 .
6.已知在ABC ∆中，点,D E 分别为边,AC AB 上的点，且2,2DA CD EB AE ==,若
,BC a CA b == ，则以,a b 为基底表示DE =____________.
知识梳理
活动二 典型例题
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 在平行四边形ABCD 中，N M ,分别为BC DC ,的中点，已知==,，试用,表示,.
变式训练 已知点G 为ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且
y x ==,,求y
x 11+的值.
题型二 向量坐标的基本运算
例2已知).4,3(),1,3(),4,2(----C B A 设,,,===且.2,3-==（1）求
满足n m +=的实数n m ,；（2）求N M ,的坐标及向量的坐标.
变式训练 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为)5,1(),0,3(),0,1(--，求第四个顶点的坐标.
题型二 共线向量的坐标表示
例3 平面内给定三个向量),1,4(),2,1(),2,3(=-==请解答下列问题：
（1）求满足n m +=的实数n m ,；
（2）若)2//()(k -+，求实数k ；
（3）若满足)//()(+-5=，求.
变式训练已知).1,2(),0,1(==
(1)+；
(2)当k 为何实数时，k -与3+平行？平行时，它们是同向还是反向？
题型三 向量与三角的综合应用
例4 (2015·苏锡常镇一模)如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为
半径的圆弧上的任意一点，设向量AC ＝λDE ＋μAP ，则λ＋μ的最小值为________．。