静电场的环路定理(复习)
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静电场的环路定理
例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 ，q 、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R 微元法) 微元法 解: 方法一 叠加法 (微元法
dq = σdS = σ 2πR2 sinθdθ π 任一圆环 dS = 2 RsinθRdθ
dq 1 σ 2πR sinθdθ du = = 4πε0l 4πε0 l
B A
1 1 dr = ( − ) 2 4πε0r 4πε0 RA RB RA
q
q
2.如图已知 、-q、R 如图已知+q 如图已知 、 移至c ①求单位正电荷沿odc 移至 ，电场力所作的功 求单位正电荷沿
d q −q A = uo − uc = 0−( ) + oc 4πε0 3R 4πε0R a b c q 0 +q −q = 6 0R πε R R R
方法二
定义法
∞ P
q 4 0r2 πε
由高斯定理求出场强分布 E =
r>R r<R
r r 由定义 u = ∫ E • dl
r<R R r r ∞r r u = ∫ E • dl + ∫ E • dl
r R
0
r>R
R
dθ
O∞θຫໍສະໝຸດ lP= 0+ ∫
∞
q
4 0r πε R q = 4 0R πε
dr 2
u= ∫
r r uP = ∫ E • dl
P
∞
♠由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算 由点电荷电势公式，
求电偶极子电场中任一点P的电势 例1 、求电偶极子电场中任一点 的电势
Y
由叠加原理
q(r2 − r1) uP = u1 + u2 = − = 4πε0r1 4πε0r2 4πε0r1r2 q q
7-3静电场的环路定理
dq u 4 0 r
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例1 .求电偶极子电场中任一点P的电势 由叠加原理
q( r2 r1 ) uP u1 u2 4 0 r1 4 0 r2 4 0 r1r2 q q
Y
P( x, y)来自r2O
r l r2 r1 l cos r1r2 r
AO u uo 0
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7-4 场强与电势的关系
一、功、电势差、电势能之间的关系
Aab q E dl q( ua ub ) Wa Wb
对称性 以q为球心的同一球面上的点电势相等
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2.点电荷系的电势——叠加原理法 若场源为q1 、q2 qn的点电荷系 根据电场叠加原理场中任一点的
电势 u E dl ( E1 E 2 E n ) dl
电势能
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Y
例2.求均匀带电圆环轴线上 的电势分布。已知：R、q 解:方法一 微元法
dl
du
dq 4 0 r
R
r
x
P
O
X
由电场强度的分布 qx E 2R 3 dl 2R 2 2 2 4 0 ( x R ) uP du 4 0 r 4 0 r 0 qxdx u Edx 3 q 2 2 xp x p 4 ( x R ) 2 0 2 2 4 0 R x
b
acb
q0 E dl q0 E dl 0
静电场的环路定理
q
j
V V V 1 2 k q q q 1 2 n 4 r r 4 r 0 1 4 0 2 0 n
q i
电势叠加原理
V V P i r 0 i i i 4
任意带电体场中的电势
VP q
4 0r
dq
a b
即：a、b两点的电势差 = A/q0
将单位正电荷 从ab电场力作的功 与路径无关
6
例: 已知真空中两金属圆筒电极间电压为U ，半径分别为 R1、 R2 。 求：负极上静止电子到正极时的速度？ 解：由电势差的定义可得
A q ( V V )
( e)( U )
R
R
2
1
F
c
dl
q0
dr
b
r +dr
r
a
rb
+
积分
1 1 q q q q 0 0 A d r 2 a4 r 4 r 0 0 a r b
b
ra
q
——点电荷的电场力作功 只与被移动电荷距离场源电荷的距离相关 与路径无关
2
2.在点电荷系的电场中(或连续带电体的电场)
结论
b b b A q E d l q E d l q E d l 0 1 0 2 0 n a a a
电场强度的线积分与路径无关
电场力是保守力，静电场是保守力场。
3
二、环路定理
在任意电场中, 将q0从a
b L2 经L1
经L2
b电场力作功：
A q E d l 0 L
04静电场的环路定理 电势
R
1
•II区：球壳外电势
rR
U2
r
1 E2 dl r E 2 dr r
q q dr 2 4 0 r 4 0 r
Fan
I区：球面内
r R , E1 0
1
U1
q 4 0 R
q q II区：球面外 r R , E 2 4 0 r 2 U 2 4 0 r
U 4
i i
r
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元， 将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电 荷元的电势，迭加归结于积分。
U dU
dq 4 0 r
注意电荷元的选取！
Fan
特别注意：
点势法的使用，必须是以无穷远处为电势零点为前提 条件。
up
q 40 rp
uab
b
a
E dl
Aab Wa Wb q0 q0 q0
b
a
E dl
移动单位正电荷自 ab 过程中电场力作的功。
移动单位正电荷 自该点 “势 能零点” 过程 中电场力作的 功。
b Wa Aab • 电势定义 ua E dl a q0 q0
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电 场力所作的功。 电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。
Fan
注意几点：
1.电势是标量，只有正负之分。
2. 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确 定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差 的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。 3. 电势零点的选择： •对有限带电体一般选无穷远为电势零点。 在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。 •对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有电 势的相对值（即电势差）有意义。 4.电势能与电势的区别：WP 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。
1
•II区：球壳外电势
rR
U2
r
1 E2 dl r E 2 dr r
q q dr 2 4 0 r 4 0 r
Fan
I区：球面内
r R , E1 0
1
U1
q 4 0 R
q q II区：球面外 r R , E 2 4 0 r 2 U 2 4 0 r
U 4
i i
r
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元， 将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电 荷元的电势，迭加归结于积分。
U dU
dq 4 0 r
注意电荷元的选取！
Fan
特别注意：
点势法的使用，必须是以无穷远处为电势零点为前提 条件。
up
q 40 rp
uab
b
a
E dl
Aab Wa Wb q0 q0 q0
b
a
E dl
移动单位正电荷自 ab 过程中电场力作的功。
移动单位正电荷 自该点 “势 能零点” 过程 中电场力作的 功。
b Wa Aab • 电势定义 ua E dl a q0 q0
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电 场力所作的功。 电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。
Fan
注意几点：
1.电势是标量，只有正负之分。
2. 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确 定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差 的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。 3. 电势零点的选择： •对有限带电体一般选无穷远为电势零点。 在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。 •对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有电 势的相对值（即电势差）有意义。 4.电势能与电势的区别：WP 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。
简述静电场的环路定理
简述静电场的环路定理静电场的环路定理是电磁学中的基本定理之一，它描述了静电场中电场强度的分布以及其与电荷分布之间的关系。
本文将对静电场的环路定理进行简述，重点介绍定理的含义和应用。
静电场的环路定理，又称为库仑定律或环路定理，是由法国物理学家库仑在18世纪末提出的。
定理的核心思想是在闭合路径上，电场强度沿着路径的积分等于路径内电荷的代数和与真空介电常数的乘积。
简单来说，静电场的环路定理可以用以下公式表示：∮E·dl = q/ε₀其中，∮E·dl表示电场强度沿闭合路径的环路积分，q表示路径内的总电荷，ε₀表示真空介电常数。
根据静电场的环路定理，可以推导出一些重要的结论和应用。
首先，对于闭合路径上没有电荷的情况，环路积分必然等于零。
这意味着在没有电荷存在的区域，电场强度沿着任意闭合路径的环路积分都等于零。
这个结论可以用来验证电场的无旋性，即电场强度的旋度为零。
对于闭合路径上存在电荷的情况，环路积分不等于零。
根据路径内电荷的正负情况以及电场强度的方向，可以确定环路积分的正负。
如果路径内的总电荷为正，则环路积分为正，表示电场强度沿路径的方向与路径的方向一致；如果路径内的总电荷为负，则环路积分为负，表示电场强度沿路径的方向与路径的方向相反。
静电场的环路定理可以应用于计算电场强度、电势差等物理量。
例如，在计算电场强度时，可以通过选择合适的闭合路径，利用环路定理求解电场强度的大小和方向。
在计算电势差时，可以利用环路定理将电场强度的环路积分转化为电势差的差值，从而简化计算过程。
静电场的环路定理还可以应用于电场的分布和电势的计算。
通过选择合适的闭合路径，可以根据路径内的电荷分布和已知的电场强度，求解路径上任意点的电场强度和电势。
同时，环路定理也为电场强度的计算提供了一种简便的方法，避免了直接积分计算的繁琐过程。
静电场的环路定理是电磁学中的重要定理之一，它描述了静电场中电场强度与电荷分布之间的关系。
静电场的环路定理 电场的电势(势函数)：静电场的保守性意味着,对静电场来说,存在着一个由电场中各点位
9-6 电势
物理学教程 （第二版）
三 电势的叠加原理
点电荷系 E Ei
i
VA E dl Ei dl
A
iA
q1
q2 q3
r1 r2 r3
E3
E2
A
E1
VA
VAi
i
i
qi
4π 0ri
电荷连续分布
VP
dq
4π 0r
dqqdrqP
dV
dE
第九章 静电场
9-6 电势
第九章 静电场
9-6 电势
物理学教程 （第二版）
此标量函数（电势）在 A、B 两点的数值之差等 于从A到B移动单位正电荷时静电场力所做的功.
E dl
( EpB
EpA )
AB
q0 q0
q0
E dl AB
(VB
VA )
A
B E
B 点电势
VB
EpB
q0
A 点电势
VA
EpA q0
VA AB E dl VB （ VB为参考电势，值任选）
由
V外 (r)
Q
4π 0r
可得
V (R)
Q
4π 0R
V内
或
V内(r)
R r
E1
dr
R
E2
dr
Q
4π 0R
Q
V外 (r) 4π 0r
Q
V内(r) 4π 0R
V
Q
4 π 0R
oR
Q
4π 0r物理中能量单位 1eV 1.602 1019 J
第九章 静电场
9-6 电势
物理学教程 （第二版）
二 点电荷的电势
第10章静电学-3-静电场环路定理
+q
11
(2)电荷分布如图所示, 将点电荷qo从a 经半圆b移到c的 过程中, 电场力对qo的功？
解 Aac qo (Ua Uc )
b
Ua
q
4o R
q
4o R
0
-q
a
+q R
o
c
Uc
q
4 o (3 R)
q
4o R
R
R
q
6o R
Aac
qqo
6o R
12
例10-14 一均匀带电直线段，长为L，电量为q ;取无穷远为电 势零点，求直线延长线上离一端距离为d 的P点的电势。
9
③对于电荷连续分布的带电体，可将其分割为无数多电荷元
dq，每个电荷元dq当作点电荷，其电势为
dU dq 4πε0r
根据电势叠加原理
U
V
dq
4 0r
dl dq dS
dV
积分遍及整个带电体，V是带电体的体积。
电势叠加原理也可以计算多个带电体所产生电场的总电 势，总电势应等于各带电体所产生电场的电势的代数和。
(3)电势差：
b
Uab Ua Ub E dl
a
静电场中a、b两点的电势差等于将单位正电荷由a沿任意路 径移至b过程中电场力做的功。
电势差是绝对量，与电势零点的选择无关。
6
由Wa
q
零势点 E
a
dl ,
得 Wa qUa
由Aab
q
b
E dl
a
Wa Wb ,
得 Aab q(Ua Ub )
(3)等于场强从该点沿任意路径到零势点的线积分。
说明：
(1)电势是相对量，要确定场中各点的电势必须选定电势零点。
第10讲 静电场的环路定理 静电场力的功 电势能
W W o W 28.8 10 7 J 0
电场力作功等于电势能增量的负值！
电势能
例题2 如图已知+q 、-q、R。求： ①单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所作的功。 ②将单位负电荷由∞移到 o 点电场力所作的功。
d
解：① 由对称性知
Uo 0
a
q
o
b q
c
0
rR
U r E dl E dl
R r R
q
rR
P1
q r 0
2
0
4
R
q
0
r
2
dr
Ur
4
r
dr
P2
q 4 0 R
q 4 0 r
例题5 L长一节同轴圆柱面，内外半径RA 、RB，均匀 带电等量异号。①求电场分布； ②若UAB = 450V，求电荷线密度λ＝？ 解： 由高斯定理
xp
y
qxdx
2 3 2
xp
4 0 ( x R )
2
z
q 4 0 R x
2 2
R
x
□
O
例题4 求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R,q.
q
解：由高斯定理求出场强分布 E
由定义 U p E dl
P
4 0 r
2
rR rR
U 最小
r U r
U 最大
以q为球心的同一球面上各点的电势相等。
② 电势叠加原理 若场源为q1 、q2 qn构成的点电荷系，则场中任一点 的电势等于各点电荷单独存在时在该点电势的代数和。
电场力作功等于电势能增量的负值！
电势能
例题2 如图已知+q 、-q、R。求： ①单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所作的功。 ②将单位负电荷由∞移到 o 点电场力所作的功。
d
解：① 由对称性知
Uo 0
a
q
o
b q
c
0
rR
U r E dl E dl
R r R
q
rR
P1
q r 0
2
0
4
R
q
0
r
2
dr
Ur
4
r
dr
P2
q 4 0 R
q 4 0 r
例题5 L长一节同轴圆柱面，内外半径RA 、RB，均匀 带电等量异号。①求电场分布； ②若UAB = 450V，求电荷线密度λ＝？ 解： 由高斯定理
xp
y
qxdx
2 3 2
xp
4 0 ( x R )
2
z
q 4 0 R x
2 2
R
x
□
O
例题4 求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R,q.
q
解：由高斯定理求出场强分布 E
由定义 U p E dl
P
4 0 r
2
rR rR
U 最小
r U r
U 最大
以q为球心的同一球面上各点的电势相等。
② 电势叠加原理 若场源为q1 、q2 qn构成的点电荷系，则场中任一点 的电势等于各点电荷单独存在时在该点电势的代数和。
09-4静电场的环路定理和电势
电子伏特是近代物理学中能量单位
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
静电场的环路定理
已知q的电场分布 E
根据定义, P点的电势为
4
q
0r
2
er
VP
P
E dl
r
q
40r
2Pdr4q04r2qe0rrP dl
q > 0时, VP为正, r V, r处V= 0 min q < 0时, VP为负, r V, r处V = 0 max
2.电场强度与电势梯度的关系
根据电势差的定义, 把单位正电荷从P1移到P2 电场力所作的功为：
dA E dn V (V dV )
r E
dn
n
P1
P2
V V dV
E dn dV
E
dV dn
grad V
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dV dn
n
r E grad V
r 即:电场中某点的场强 E 等于该点电势梯度的负值
无意义
VP
P
E
dr
rP
2 0r
dr
2 0
ln
rP
r
P
P'
令某处 r = r0（有限值） V=0，则
VP
P0
P
E
dl
P
P
E dl
P0
P
E dl
r0 P0
P
P
2
0r
dr
2 0
ln
r0 r
可见：当电荷分布到无穷远时，
22
归纳 电场强度与电势的关系
积分关系：
静电场的环路定理
静电场的环路定理
➢ 本节的研究目的
研究ห้องสมุดไป่ตู้电场的旋度特性
➢ 本节的研究内容
一、静电场环路定理的微分形式 二、静电场环路定理的积分形式
一、静电场环路定理的微分形式
E ()
0
E 0
静电场是无旋场； 静电场的电力线不可能是闭合曲线；
二、静电场环路定理的积分形式
根据斯托克斯定理
L E dL S E dS L E dL 0
分析：对闭合曲线应用环路定理
a
E dL E dL E dL 0
acbda
acb
bda
c d
E dL E dL E dL
acb
bda
adb
b
说明：两点之间的电位差与积分路径无关
二、静电场环路定理的积分形式
根据斯托克斯定理
L E dL S E dS L E dL 0
静电场的环量为零； 静电场是保守力场，位场； 静电场中电场力作功与路径无关；
本节要点
➢ 本节的研究目的 研究静电场的旋度特性；
E 0
L E dL 0
静电场的环路定理
➢ 本节的研究目的
研究ห้องสมุดไป่ตู้电场的旋度特性
➢ 本节的研究内容
一、静电场环路定理的微分形式 二、静电场环路定理的积分形式
一、静电场环路定理的微分形式
E ()
0
E 0
静电场是无旋场； 静电场的电力线不可能是闭合曲线；
二、静电场环路定理的积分形式
根据斯托克斯定理
L E dL S E dS L E dL 0
分析：对闭合曲线应用环路定理
a
E dL E dL E dL 0
acbda
acb
bda
c d
E dL E dL E dL
acb
bda
adb
b
说明：两点之间的电位差与积分路径无关
二、静电场环路定理的积分形式
根据斯托克斯定理
L E dL S E dS L E dL 0
静电场的环量为零； 静电场是保守力场，位场； 静电场中电场力作功与路径无关；
本节要点
➢ 本节的研究目的 研究静电场的旋度特性；
E 0
L E dL 0
静电场的环路定理
环流定理
11.6.3 电势
一、电势 电势差
1、电势
W Va = a = ∫ E • dl q0 a
b
Vb = 0
任意场点的电势等于单位正电荷在该点所具有的电势能 单位正电荷从该点到电势零点电场力所作的功 当场源电荷分布在有限区域内时通常电势零点取在无限远处！ 当场源电荷分布在有限区域内时通常电势零点取在无限远处！
∞ n 1
up = ∫ E ⋅ dl
p
有
p
∑E ⋅ dl
i
= ∑(∫ Ei ⋅ dl )
1 p
n
∞
= ∑Vip
1
n
在点电荷系的电场中， 在点电荷系的电场中，某一点的电势等于各点电荷单独 存在时，在该点产生的电势的代数和。 存在时，在该点产生的电势的代数和。这一结论称为电 n 势叠加原理。 势叠加原理。
Vp = ∫ E ⋅ dl
p
Z
+
+
• P
X
E=
x
qx 4πε0 (R + x )
2 2 3 2
3 2
Vp = ∫ E ⋅ dl = ∫
p
∞
qx
4πε0 (R2 + x2 )
⋅ dx
11-11求均匀带电球面电场中电势的分布， 11-11求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R ，q 求均匀带电球面电场中电势的分布
电势及电势差的单位都是“伏特” 符号: 电势及电势差的单位都是“伏特”, 符号: V
a
b
.
电势差、 功、电势差、电势能之间的关系
A = q∫ E • dl = q(Va −Vb ) =W −W ab a b
a b
二、电势的计算
3.3 静电场环路定理
3.3 静电场环路定理
3.3.1 静电场力的功
1.
移动
q
电荷静电场力的功
0
b
rb
O
q
r
dr
q0
E
ra
a L dr
先考虑在点电荷q 的电场中移动一个检验电 荷q0 时，静电场力的功：
ห้องสมุดไป่ตู้
A
b a
q0q
40r 2
r
0
dr
b a
q0q
40r 2
dr
q0q
4π 0
利用做功与路无关的数学表示：
F dr q0 E dr 0
(L)
(L)
E dr 0
(L)
上式叫静电场环路定理。环路定理反映了 静电场力做功与路无关的性质，即静电场力 是保守力。
1 ra
1 rb
结果与路无关。
再考虑在点电荷系的电场中移动一个检验
电荷时，静电场力的功：
A
i
b a
q0qi
4 0 ri 2
dri
q0
4π 0
i
qi
1 ria
1 rib
由于求和号下的每一项都是与路无关的， 所以最终的结果与路无关。
在连续带电体的电场中移动检验电荷时， 可将连续带电体无限分割，直到每一部分都 能看成点电荷为止，于是最后的积分结果显 然与路无关。
2. 移动任意电荷静电场力的功 将任意电荷无限分割，直到每一部分都成为
检验电荷为止。由于移动每一部分静电场力做 功都与路无关，所以最后结果与路无关。
3.3.1 静电场力的功
1.
移动
q
电荷静电场力的功
0
b
rb
O
q
r
dr
q0
E
ra
a L dr
先考虑在点电荷q 的电场中移动一个检验电 荷q0 时，静电场力的功：
ห้องสมุดไป่ตู้
A
b a
q0q
40r 2
r
0
dr
b a
q0q
40r 2
dr
q0q
4π 0
利用做功与路无关的数学表示：
F dr q0 E dr 0
(L)
(L)
E dr 0
(L)
上式叫静电场环路定理。环路定理反映了 静电场力做功与路无关的性质，即静电场力 是保守力。
1 ra
1 rb
结果与路无关。
再考虑在点电荷系的电场中移动一个检验
电荷时，静电场力的功：
A
i
b a
q0qi
4 0 ri 2
dri
q0
4π 0
i
qi
1 ria
1 rib
由于求和号下的每一项都是与路无关的， 所以最终的结果与路无关。
在连续带电体的电场中移动检验电荷时， 可将连续带电体无限分割，直到每一部分都 能看成点电荷为止，于是最后的积分结果显 然与路无关。
2. 移动任意电荷静电场力的功 将任意电荷无限分割，直到每一部分都成为
检验电荷为止。由于移动每一部分静电场力做 功都与路无关，所以最后结果与路无关。
静电场的环路定理
a ( L2 )
b
a ( L1 )
v v b q0 E ⋅ dl − ∫
v v q0 E ⋅ dl
环路定理
=0
∫
L
v v E ⋅ dl = 0
该定理还可表达为：电场强度的环流等于零。 该定理还可表达为：电场强度的环流等于零。 根据保守力的定义，任何力场， 根据保守力的定义，任何力场，只要其场强的环流 为零，该力场就叫保守力场 势场。 保守力场或 为零，该力场就叫保守力场或势场。可以引入相应 的势能，即电势能。 的势能，即电势能。
q 4πε 0 x
•从电荷分布求场强，再由场强分布求电势 从电荷分布求场强， 从电荷分布求场强
U P = ∫ E • d r （场强积分法） 场强积分法）
P ∞
例4 求均匀带电球面的电场中电势的分布 解 由高斯定理可以求的球面内外的场强分布为
+ P1 + + + + +
2
r <R r ≥R
对球外一点P 对球外一点
二 电势
某点电势电W 之比只取决于电场， 某点电势电 a与q0之比只取决于电场，定义电该 点的电势 单位：伏特（ ） 电势. 点的电势. 单位：伏特（V） 电势电
W a = q0 ∫
"0"
a
v E ⋅ dl
电势
WA VA = q0
=∫
"0"
A
v E⋅ E⋅ dl
由上式可以看出, 由上式可以看出,静电场中某点的电势在数值上 等于单位正电荷放在该点处时的电势能, 等于单位正电荷放在该点处时的电势能,也等于单位 正电荷从该点经任意路径到电势零点处(无穷远处) 正电荷从该点经任意路径到电势零点处(无穷远处) 时电场力所做的功。 时电场力所做的功。
b
a ( L1 )
v v b q0 E ⋅ dl − ∫
v v q0 E ⋅ dl
环路定理
=0
∫
L
v v E ⋅ dl = 0
该定理还可表达为：电场强度的环流等于零。 该定理还可表达为：电场强度的环流等于零。 根据保守力的定义，任何力场， 根据保守力的定义，任何力场，只要其场强的环流 为零，该力场就叫保守力场 势场。 保守力场或 为零，该力场就叫保守力场或势场。可以引入相应 的势能，即电势能。 的势能，即电势能。
q 4πε 0 x
•从电荷分布求场强，再由场强分布求电势 从电荷分布求场强， 从电荷分布求场强
U P = ∫ E • d r （场强积分法） 场强积分法）
P ∞
例4 求均匀带电球面的电场中电势的分布 解 由高斯定理可以求的球面内外的场强分布为
+ P1 + + + + +
2
r <R r ≥R
对球外一点P 对球外一点
二 电势
某点电势电W 之比只取决于电场， 某点电势电 a与q0之比只取决于电场，定义电该 点的电势 单位：伏特（ ） 电势. 点的电势. 单位：伏特（V） 电势电
W a = q0 ∫
"0"
a
v E ⋅ dl
电势
WA VA = q0
=∫
"0"
A
v E⋅ E⋅ dl
由上式可以看出, 由上式可以看出,静电场中某点的电势在数值上 等于单位正电荷放在该点处时的电势能, 等于单位正电荷放在该点处时的电势能,也等于单位 正电荷从该点经任意路径到电势零点处(无穷远处) 正电荷从该点经任意路径到电势零点处(无穷远处) 时电场力所做的功。 时电场力所做的功。
3.3 静电场的环路定理 大学物理
R
+
o + + +
4 0 r （3）确定电势分布；
2
E
er
(r R)
主讲：张国才
U P E dl E dr + r+ r r + + 1 q q r p + + 2 dr R R 4 + + 4 o R 0 r o + + (2)当r>R时 + + + + U P E dl E dr + + "P" r
主讲：张国才
3.3 静电场的环路定理
基础物理学
4
试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径 L运动一周时，电场力对q0做的功W=？
L
W q0 E dl 0
E dl 0
L
主讲：张国才
3.3 静电场的环路定理 静电场的 Nhomakorabea路定理基础物理学
5
在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积 分（称为场强的环流）恒为零。
2 2
0
主讲：张国才
q 4 0 R x
2 2
基础物理学 3.3 静电场的环路定理 二、从电荷分布求场强，从场强分布求电势。 例2 计算均匀带电球面的电场中的电势分布。球面半 径为R，总带电量为q。
13
解：
q
+
+ + + +
+ +
+
（1）取无穷远处为电势零点； + （2）由高斯定律可知电场分布为； + E 0 (r R) + + 1 q
高中物理竞赛静电场的环路定理
4 π 0R2
q
4 π0r2
答：在 r = R 处 E 不连续是
因为忽略了电荷厚度所致。 0
R
r
2
实际的带电球面总有一定的厚度, 而高斯球面是没有厚度的几何面，
因此在 r = R 处，q内、 q外 总能分清， R 处的 E 是一条很陡的斜线。
（2）令R1 = R2= R， 且 q 不变，
E q
4 π 0R2
即均匀带电球面的情形：
0(内) 0R来自E4q
π 0r 2
er
(外)
r
3
结论
均匀带电球面内部空间的场强，处处为 零。
均匀带电球面外部空间的场强，与全部 电荷 q 集中在球心的点电荷的场强一样。
4
（3）令R1=0， R2=R
r
即均匀带电球体的情形：
E
3 0 q
rˆ
(内) (外)
4 π0r2
静电场的环路定理
1
（1）E 的分布图： 连续，无突变。 当 q、R2不变时：
R1增大，层变薄，R1 < r < R2 区域的曲线变陡； 带电层厚度趋于零，场强分布不再连续。
当把电荷从体分布抽象为面分布时，在带电面
两侧的电场强度发生突变。……有普遍性
如何理解 在 r =R 处, E 值的不连续：
E q
E Ei
i
W
q0
E dl
l
i
q0 l Ei dl
结论：静电场力做功，与路径无关.
静电场是保守场
14
AB q0E dl EpA EpB (EpB EpA )
令 EpB 0
EpA AB q0E dl
A EpA
B
EpB E
q
4 π0r2
答：在 r = R 处 E 不连续是
因为忽略了电荷厚度所致。 0
R
r
2
实际的带电球面总有一定的厚度, 而高斯球面是没有厚度的几何面，
因此在 r = R 处，q内、 q外 总能分清， R 处的 E 是一条很陡的斜线。
（2）令R1 = R2= R， 且 q 不变，
E q
4 π 0R2
即均匀带电球面的情形：
0(内) 0R来自E4q
π 0r 2
er
(外)
r
3
结论
均匀带电球面内部空间的场强，处处为 零。
均匀带电球面外部空间的场强，与全部 电荷 q 集中在球心的点电荷的场强一样。
4
（3）令R1=0， R2=R
r
即均匀带电球体的情形：
E
3 0 q
rˆ
(内) (外)
4 π0r2
静电场的环路定理
1
（1）E 的分布图： 连续，无突变。 当 q、R2不变时：
R1增大，层变薄，R1 < r < R2 区域的曲线变陡； 带电层厚度趋于零，场强分布不再连续。
当把电荷从体分布抽象为面分布时，在带电面
两侧的电场强度发生突变。……有普遍性
如何理解 在 r =R 处, E 值的不连续：
E q
E Ei
i
W
q0
E dl
l
i
q0 l Ei dl
结论：静电场力做功，与路径无关.
静电场是保守场
14
AB q0E dl EpA EpB (EpB EpA )
令 EpB 0
EpA AB q0E dl
A EpA
B
EpB E
9-3-1 静电场的环路定理
q0Q
4 0
1 rA
1 rB
rB
B cos dl＝dr
r+dr
r
dl
q0
E
在点电荷Q的静电场中，静电力所
做的功与路径的起终点位置有关， 而与路径无关
rA
A
任何带电体，都 可以将 其分割为许多电荷元。根据电场
叠加原理，有 E E i
i
当检验电荷q0从电场的点A移动到点B时，静电力做功
d l
0
静电场的环路定理
在静电场中，沿闭合回路移动q0，电场力做功
A q0 E dl 0
L E dl =0
a
L'
E
L
静电场的环路定理
b
静电场中，电场强度沿任一闭合路径的线积分恒为零。
静电场的电场线不可能是闭合的。
例：某电场的电场线如图所示(在x轴方向上场线最疏， 越接近垂直于x轴的方向场线越密)。证明该电场不是 静电场.
静电场的环路定理 电势
静电力的功
检验电荷q0在点电荷Q的静电场中运动时静电场做功
dA q0E dl
q0Q
4 0r 2
ecˆ rosdl dl
q0Q
4 0 r 2
dr
q0从A到B电场力做功
AAB
B A q0E dl
rB q0Q dr
rA 4 0 r 2
证：取定一闭合回路abcda，
E dl
b
E
dl
c
E
dl
静电场的环路定理
8-7 电势
一 电势
1 电势VA
定义：电场中A点的电势
VA
E pA q0
EpA q0 AB E dl EpB
A
B
E
VA AB E dl VB (VB为参考电势，值任选。)
令 VB=0，则有： VA AB E dl
VA
B
A
E
dl
(B点为电势参考点)
电势是标量，它的单位是伏特简称伏，符号为V。 电场中A点的电势在数值上等于把单位正电荷从 点A移到无穷远时，静电场力所作的功。 电势零点的选取可视问题性质而定。
与该路径的形状无关。
说明：静电场力是保守力，静电场是保守场。
二 静电场的环路定理
q0沿闭合路径l移动一周，电场力作功为：
W
l
q E dl 0
q 0
l
E dl
A
又由静电场力作功特点知：W=0
E
则：
q 0
l
E dl
0
q 0 0
l E dl 0 此即静电场的环路定理
式中 l E dl 称为电场强度矢量环流。
o
x
环心和无穷远处的电势
x0，V0
q
4 0
R
x
R，VP
q
4
0
x
均匀带电薄圆盘轴线上的电势
dq 2 rdr
dVP
1
4 0
2 rdr
x2 r2
r
Ro
VP
1
4 0
R
0
2 rdr
x2 r2
2 0
(
x R
一、静电场的环路定理一、静电场的...
一、静电场的环路定理一、静电场的环路定理1、点电荷电场中移动试验电荷电场力所作的功ld E q l d F dA ����⋅=⋅=0r r Q E ˆ4120πε=�dr rQq dl rQq l d r r Qq dA 20020020041cos 41ˆ41πεθπεπε==⋅=�)11(4400200D C r r r r Qq dr r Qq A D C −=⋅=∫πεπε结论:在点电荷的电场中，电场力对试验电荷所作的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与经历的路径无关。
§4 电势及其梯度D r Q+D C l d �r �F �θb a C r b ′a ′2、任意带电体电场中任意带电体→点电荷系⋯���++=21E E E 任意点电荷系的电场力所作的功为∫∫∫+⋅+⋅=⋅=l l l l d E q l d E q l d E q A ⋯������20100每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与路径无关。
3、静电场的环路定理(Circulation theorem of electrostatic of field)在真空中，一试验电荷在静电场中移动时，静电场力对它所作的功，仅与试验电荷的电量、起始与终了位置有关，而与试验电荷所经过的路径无关。
静电场力是保守力，静电场是保守场。
在静电场中，将试验电荷沿闭合路径移动一周时，电场力所作的功为∫∫⋅⋅l l ld E q l d E q A ����00＝＝∫∫⋅+⋅CDA ABC ld E q l d E q A ����00＝∫∫⋅−=⋅ADC CDA ld E l d E ����∫∫⋅=⋅ABCADC l d E q l d E q ����0000＝＝∫⋅l d E q A ��0＝∫⋅l d E ��电场力作功与路径无关定义：电场强度沿任意闭合路径的线积分叫电场强度的环流。
静电场环路定理：在静电场中，电场强度的环流为零。
大学物理：第7章-静电场3-环路定理和电势
如何形象表示电势？
找到相等的电势： ( x, y, z) C(常量）
三维空间 + 限定条件 = 二维曲面 1. 定义等势面：电场中电势相等的各个点所构成的曲面。
作图规则：相邻等势面之间电势差相等
2. 等势面的性质 1) 沿等势面，电场力不做功（定义） 2) 闭合，不相交（数学上，单值，连续） 3) 等势面与电场线处处正交（直观表达）
解：(1) 选无限远处为电势零点，根据 q1
q2
电势叠加原理，O点电势为
O 1 2 3 4
O
41
4q1
4π 0
r
4.1103 V
q4
q3
(2) A q0( O ) 4.1 106 J
(3) o点电势能高，增加了4.1106 J
例4：均匀带电直线，长L，线电荷密度为 ，求直线延
长线上到其一端距离为d的一点P的电势。
解：在直线上取电荷元dl，它到P点 距离为l，在P点产生的电势为
电势叠加法
L
d
d
dq
dx
O
4π0 (d L x) 4π0 (d L x) dx
d+L-x
P
d L dx dL dy ln d L
4π0 0 (d L x) 4π0 d y 4π0 d
例5：均匀带电球层，内半径为R1，外半径为R2，体电
带电量为q。 解：场强已由高 E
斯定理求得
0
q
4π 0r
2
er
(r R) (r R)
以无限远为电势零点。
球面外：从场点积分到电势零点，各场点电场=点电荷
电场，积分结果等同点电荷。即： q
(r R)
球面外，电势和场点半径成反比
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静电场中：l E dl 0
? 强度沿任意闭合路径的线积分
( 即B的环流 ) 等于以该闭合路
磁场中： l B dl 0
径所包围的各电流强度代数和
的
倍。
0
B l
dl
0
I
dl
B
规定：当穿过环路的电流方向与环路的绕行方向 服从右手螺旋定则时，电流为正，反之为负。
I1
I2
I3
I I1 2I2
电流 I 正负的规定 ：I 与 L 成右螺旋时， I为正； 反之为负。
对安培环路定理的几点讨论
(1) 安培环路定理只是说明了B矢量的环流与闭合路
径所围绕电流有关，并非说其中的磁感应强度只与所
围绕电流有关。
磁场中任一点的磁感应强度是由激发这磁场的全部
电流所决定的，不管这些电流是否被所取闭合回路所
围绕。只不过回路外的产生的磁场对该沿回路的B的
L
安培环路定理证明：( 取一特殊情形 ) 电流是长直导线，闭合曲线在垂直于直导线的平面上
(1) 闭合曲线包围长直电流：
B 0I 2 R
B dl
0I dl 0I
dl
l
2πR 2πR l
B dl
l
0I
IB
dl
oR lB
若电流反向时，则：
I
B dl
0I
l
2πR
dl
B dl B 2 r 0 I内
(L)
当r R时, I内 I B 2 r 0I
B 0I 2 r
当r R时,
I内
I R2
r2
I
R
P
dB dB
dI dB dB
P
dI
BL
? 对B无限2长r载流0圆Rr柱22 I面电B流内2外0的RI 2磁r场分布如何？设R圆柱体半r
径为R，面上均匀分布的总电流为I。
I
解：与螺线管共轴的圆周上各点
B大小相等 ，方向沿圆周切线。
B dl B 2 r 0N I
r
(L)
B 0N I
2r d1
Φm
B dS
2 d2
Bhdr
(S)
2
dr r
d2
h
0N I h
2
d1 2
dr
r d2
2
0N I h ln d1
2
d2
d1
？对一圆形截面的空心环形螺线管其上均匀绕有N匝线圈，线圈
B2
0I
2π r2
B2
dl2
μ0 I 2π
0
dφ
l 结论： B dl 0 l
(3) 多电流情况
I1
I2
I3
B dl l
(
l
B1
B2
B3 )
dl
lB1 dl Bl 2 dl lB3 dl
l 0(I2 I3)
B l
dl
0
I
闭合路径所 包围电流
注意
Bi
0
2
(i12
i22
2i1i2
cos )1/ 2
两面之外
Bo
0
2
(i12
i22
2i1i2
cos )1/ 2
2）当i1=i2=i， θ=0时
Bi Bi
20 i(1 cos )1/ 2 0
2
20
2
i(1 cos )1/ 2
0i
重点 和 难点
安培环路定理在典型载流体磁场计算中的应用
无限长载流直导线 无限长载流圆柱体（面） 载流螺绕线管 无限大载流平面
L B dl 0
L B dl BL
4、定出 Ii
5、应用定理：
B l
dl
0
I
三、安培环路定理的应用举例 1 求长直密绕螺线管内磁场 解 1 ) 对称性分析螺旋管内为均匀场 , 方向沿轴向,
外部磁感强度趋于零 ，即 B 0 .
2 ) 选回路 L .
磁场 B 的方向与
M
NB
电流 I 成右螺旋.
平面之间和之外空间的磁感强度
B内
1 2
0
j
1 2
0
j
0
j
B外
1 2
0
0
•× ×× × •
讨论：两无限大平行平面上都有均匀分布的面电流，
面电流密度分别为i1和i2，若i1和i2之间夹角为θ， 试求：1）两面之间和两面之外的B值，2）当
i1=i2=i， θ=0时以上结果如何？
答案：1）两面之间
总结出用安培环路定理求解磁场分布的思路
对称性分析 — 选环路 L并规定绕向.
— 由L B dl 0 求I内 分布B .
注意：电流与电流之间的作用力
设有两根平行长直导线，分别通有电流I1和I2，二者间 距为d，导线直径甚小于d，试求每根导线单位长度线 段受另一根电流导线的磁场作用力。
电流I1在I2处产生的磁场为
中通有电流I。试求环内距轴线为r 远处的磁感应强度？
4 无限大薄导体板均匀通过电流的磁场分布。
解 1)对称性分析 2）选取回路
dB1
设：面电流密度为j
d dB
P
c
B dl L
0 I
2BL 0 j L
B 0 j
2
dB2
o
a
L
b
两侧为均匀磁场，与离板的距离无关
讨 论：两无限大平行载流平面，电流密度为j，求两
讨论： 无限长载流圆柱面的磁场
L1
r
IR
L2 r
解： 0 r R,
Bdl 0
l
r R, l B d l 0I
B
oR r
B0 B 0I
2π r
3 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示，
其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。试求：（1）
环内距轴线为r 远处的磁感应强度；
（2）通过螺线管截面的磁通量。
B1
0 I1 2d
载有电流I2的导线单位长度线段受力为
F2
B1I 2
0 I1I 2 2d
同理，导线I1单位长度线段受电流I2的磁场作用力
也等于这一数值
F1
B2 I1
0 I1I 2 2d
当I1和I2方向相同时，二者相吸；相反时，则相斥！
举例：无限长直电流I1=5A，其一侧 有一直角三角形的载流线圈I2=2A， 它们在同一平面内，大小位置如图，
求线圈所受的磁力。
静电场的环路定理（复习）
q0 E dl q0 E dl
A1B
A2B
q0( E dl E dl ) 0
A1B
B2A
E dl 0 l
1B
A
2E
静电场中电场强度E 沿任意闭合环路的线积分(E 的 环流)等于零 ——静电场的环路定理。
12.3 安 培 环 路 定 理
一、安培环路定理 在真空的稳恒磁场中，磁感
++++++++++++
P
LO
B dl B dl B dl B dl B dl
l
MN
NO
OP
PM
B MN 0nMNI
B 0nI
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场为零.
2、求无限长载流圆柱导体内外的磁场。设圆柱体半
径为R，面上均匀分布的总电流为I。
解：沿圆周L的B环流为
l
0I
对任意形状的回路 B 0I I
2 r
B dl B dl cos Brd
d
B
dl
B dl
0I
rd
0I
d
l
I
r
B
dl
2π r
2
0
I
d
l
0 2
2π
结论：
B dl
l
0I
l
(2)
I
d闭φ合B曲r11线不dl1包r2围dlB长22直电B流1B d1：l1 dl1Bμ120πBI 2d2φπ0drI1l2
环路积分无贡献罢了。
(2) 安培环路定理指出，磁场中B矢量的环流一般不
等于零，所以磁场是非保守场。
(3) 对某些具有对称性分布电流的磁感强度可利用
安培环路定理方便地计算。
B l
dl
0
I
对比
S
E dS
1
0
n
qi
i 1
二、安培环路定理的应用 1、分析对称性
2、 选取积分回路，规定积分方向； 3、积分路径或与磁感线垂直，或与磁感线平行