2019届高三理数同步单元双基双测“AB”卷：专题4.1 向量与复数(A卷)(解析版)
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∴4| |2﹣3| |2﹣4 • =3，
∴ • =﹣ ，
∴cos＜ • ＞= = =﹣ ；
（2）| + |= = = ；
（3） 在 + 方向上的投影为 = = = ．
考点：向量数量积
【方法点睛】本题考查了向量数量积，属于基础题型，所涉及的公式包括（1） ，（2）
，（3） ，以及 ，（4） ，（5）投影公式：向量 在 方向上的投影为 或是 ，对于这类型的向量问题，要谨记公式，并且熟练使用公式避免计算错误.
20.已知向量 的夹角为 ．
（1）求 ；（2）若 ，求 的值．
【答案】（1） （2）
考点：1．向量的数量积运算；2．向量垂直的判定与性质
21.在 中，已知点 为线段 上的一点，且 ．
（1）试用 表示 ；
（2）若 ，且 ，求 的值．
【答案】（1） （2）
考点：1．向量运算的三角形法则；2．向量的数量积运算
班级姓名学号分数
（测试时间：120分钟满分：150分）
一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）
1.已知向量 ，且 ，则实数 ＝（）
A．－1B．2或－1C．2D．－2
【答案】B
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，解得 ，故 ，故选B．
考点：向量的坐标运算与向量平行的条件.
2.已知向量a＝（1,2），b＝（x＋1，－x），且a⊥b，则x＝（）
【方法点晴】本题主要考查了平面向量的运算及三角形形状的判定，涉及到泡面吗向量加减的平行四边形法则、平面向量的数量积的运算、平面向量的模、向量垂直等知识的应用，其中数列掌握平面向量的数量积和向量的模的运算法则是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的水平，属于基础题.
9.在△ABC中， ， ，则△ABC的面积为（）．
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.复数 的虚部为________.
【答案】
【解析】
试题分析：因 ,故复数的虚部是 ,故应填 .
考点：复数的概念和运算.
14.在矩形 中， ， ，则 ____________.
【答案】12
考点：平面向量的数量积.
15.若 是单位向量，且 ，则 的最大值为______．
（2）
考点：复数的定义及方程和不等式的解法．
18.已知向量 ．
（1）若 为直角三角形，且 为直角，求实数 的值．
（2）若点 能构成三角形，求实数 应满足的条件．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：(1)因为 为直角，所以 ,根据向量的运算用已知向量表示 和 ,再根据 ，得到 的值；（2）若点 能构成三角形，那么 不共线，即 和 不共线，所以利用向量共线的坐标表示即可.
22.设向量a＝（4cosα，sinα），b＝（sinβ，4cosβ），c＝（cosβ，－4sinβ），
（1）若a与b－2c垂直，求tan（α＋β）的值；
（2）求|b＋c|的最大值．
【答案】（1）2（2）
考点：1．向量的坐标运算；2．向量的模；3．三角函数化简.
A．2B． C．1D．0
【答案】C
【解析】
试题分析：两向量垂直坐标满足
考点：向量垂直的判定
3.设平面向量 =（－2，1）， =（λ，－1），若 与 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
考点：向量及夹角
4.在复平面内，复数 （是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）
A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限
【答案】D
【解析】
试题分析：因为 ，所以共轭复数为 ，对应的点位于第一象限，选D.
考点：复数几何意义
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 .其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：以 为 轴， 为 轴，建立如图的直角坐标系，则 ， ，设
，所以 ， ，所以
，所以 的最大值为 ．故选A．
考点：平面向量的数量积．
【名师点睛】求平面向量的数量积，能够选择基底，把平面向量用基底表示后运算，这要求所求向量与基底之间的关系明确，或容易用参数表示．象本题有垂直的直线，能够建立直角坐标系，把向量的数量积用坐标运算表示，化“形”为“数”，这样关系明确，数据清晰，易于求解．
7.已知 ， ， ，则 等于（）
A． B． C． D．
【答案】D
考点：向量的模
8.若 是 所在平面内一点，且满足 ，则 一定是（）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得 ，
，即 ，所以 ，
，所以 ，即 ，所以三角形一定是直角三角形，故选B.
考点：向量的运算；三角形的性质的判定.
【答案】
【解析】
试题分析：由题意可设 ， ， ，则
，所以 的最大值为 .
考点：平面向量的运算．
16.若平面向量 、 、 两两所成的角相等，且︱ ︱=1，︱ ︱=1，︱ ︱=3，则︱ + + ︱=_______________．
【答案】5或2
【解析】
试题分析：平面向量 、 、 两两所成的角相等，均为 或
5.已知 ， ， ，则 （）
A．2B．4C． D．8
【答案】A
考点：向量的数量积.
6.若 （ 是虚数单位），则 ()
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析： ，选D.
考点：复数概念
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 .其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为
A． B．3C． D．6
【答案】B
【解析】
试题分析：根据同角三角函数关系式可知 ，根据向量数量积的定义式可知 ，所以 ，根据三角形的面积公式可知 ，故选B．
考点：同角三角函数关系式，向量数量积的定义式，三角形的面积公式．
10.如图，在直角梯形 中， ， 为 边上的一点， ， 为 中点，则 ()
A． B．
C． D．
【答案】C
考点：平面向量加法、减法.
11.给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为 ．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧 上变动．若 其中 ,则 的最大值是（）
A． B．2C． 值
12.如图， 为 的中点， 为以 为直径的圆上一动点，则 的最大值为（）
，代入向量模及夹角可知
考点：向量数量积运算及向量的模
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.复数z＝（m2+5m＋6）＋（m2-2m－15）i（m∈R），求满足下列条件的m的值．
（1）z是纯虚数；
（2）在复平面内对应的点位于第三象限．
【答案】（1）
（3）求 在 + 方向上的投影．
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
试题分析：（1）将条件 按照分配率展开，根据向量数量积的公式，得到两向量的夹角；（2） ，根据公式 代入数值；（3）根据向量数量积的几何意义可知 在 方向上的投影为 ，代入数量积和上一问模的结果，即可.
试题解析：（1）∵| |=2，| |=3，（2 ﹣3 ）•（2 + ）=3，
考点：向量数量积的坐标表示
【方法点睛】本题考查了数量积的坐标表示，属于基础题型，当两非零向量 ， ， ，
时，等价于 ，经常将三点共线转化为向量共线，若三点不共线，即 与 不共线，即 .
19.已知| |=2，| |=3，（2 ﹣3 ）•（2 + ）=3．
（1）求 与 的夹角的余弦值；
（2）求| + |；
∴ • =﹣ ，
∴cos＜ • ＞= = =﹣ ；
（2）| + |= = = ；
（3） 在 + 方向上的投影为 = = = ．
考点：向量数量积
【方法点睛】本题考查了向量数量积，属于基础题型，所涉及的公式包括（1） ，（2）
，（3） ，以及 ，（4） ，（5）投影公式：向量 在 方向上的投影为 或是 ，对于这类型的向量问题，要谨记公式，并且熟练使用公式避免计算错误.
20.已知向量 的夹角为 ．
（1）求 ；（2）若 ，求 的值．
【答案】（1） （2）
考点：1．向量的数量积运算；2．向量垂直的判定与性质
21.在 中，已知点 为线段 上的一点，且 ．
（1）试用 表示 ；
（2）若 ，且 ，求 的值．
【答案】（1） （2）
考点：1．向量运算的三角形法则；2．向量的数量积运算
班级姓名学号分数
（测试时间：120分钟满分：150分）
一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）
1.已知向量 ，且 ，则实数 ＝（）
A．－1B．2或－1C．2D．－2
【答案】B
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，解得 ，故 ，故选B．
考点：向量的坐标运算与向量平行的条件.
2.已知向量a＝（1,2），b＝（x＋1，－x），且a⊥b，则x＝（）
【方法点晴】本题主要考查了平面向量的运算及三角形形状的判定，涉及到泡面吗向量加减的平行四边形法则、平面向量的数量积的运算、平面向量的模、向量垂直等知识的应用，其中数列掌握平面向量的数量积和向量的模的运算法则是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的水平，属于基础题.
9.在△ABC中， ， ，则△ABC的面积为（）．
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.复数 的虚部为________.
【答案】
【解析】
试题分析：因 ,故复数的虚部是 ,故应填 .
考点：复数的概念和运算.
14.在矩形 中， ， ，则 ____________.
【答案】12
考点：平面向量的数量积.
15.若 是单位向量，且 ，则 的最大值为______．
（2）
考点：复数的定义及方程和不等式的解法．
18.已知向量 ．
（1）若 为直角三角形，且 为直角，求实数 的值．
（2）若点 能构成三角形，求实数 应满足的条件．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：(1)因为 为直角，所以 ,根据向量的运算用已知向量表示 和 ,再根据 ，得到 的值；（2）若点 能构成三角形，那么 不共线，即 和 不共线，所以利用向量共线的坐标表示即可.
22.设向量a＝（4cosα，sinα），b＝（sinβ，4cosβ），c＝（cosβ，－4sinβ），
（1）若a与b－2c垂直，求tan（α＋β）的值；
（2）求|b＋c|的最大值．
【答案】（1）2（2）
考点：1．向量的坐标运算；2．向量的模；3．三角函数化简.
A．2B． C．1D．0
【答案】C
【解析】
试题分析：两向量垂直坐标满足
考点：向量垂直的判定
3.设平面向量 =（－2，1）， =（λ，－1），若 与 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
考点：向量及夹角
4.在复平面内，复数 （是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）
A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限
【答案】D
【解析】
试题分析：因为 ，所以共轭复数为 ，对应的点位于第一象限，选D.
考点：复数几何意义
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 .其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：以 为 轴， 为 轴，建立如图的直角坐标系，则 ， ，设
，所以 ， ，所以
，所以 的最大值为 ．故选A．
考点：平面向量的数量积．
【名师点睛】求平面向量的数量积，能够选择基底，把平面向量用基底表示后运算，这要求所求向量与基底之间的关系明确，或容易用参数表示．象本题有垂直的直线，能够建立直角坐标系，把向量的数量积用坐标运算表示，化“形”为“数”，这样关系明确，数据清晰，易于求解．
7.已知 ， ， ，则 等于（）
A． B． C． D．
【答案】D
考点：向量的模
8.若 是 所在平面内一点，且满足 ，则 一定是（）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得 ，
，即 ，所以 ，
，所以 ，即 ，所以三角形一定是直角三角形，故选B.
考点：向量的运算；三角形的性质的判定.
【答案】
【解析】
试题分析：由题意可设 ， ， ，则
，所以 的最大值为 .
考点：平面向量的运算．
16.若平面向量 、 、 两两所成的角相等，且︱ ︱=1，︱ ︱=1，︱ ︱=3，则︱ + + ︱=_______________．
【答案】5或2
【解析】
试题分析：平面向量 、 、 两两所成的角相等，均为 或
5.已知 ， ， ，则 （）
A．2B．4C． D．8
【答案】A
考点：向量的数量积.
6.若 （ 是虚数单位），则 ()
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析： ，选D.
考点：复数概念
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 .其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为
A． B．3C． D．6
【答案】B
【解析】
试题分析：根据同角三角函数关系式可知 ，根据向量数量积的定义式可知 ，所以 ，根据三角形的面积公式可知 ，故选B．
考点：同角三角函数关系式，向量数量积的定义式，三角形的面积公式．
10.如图，在直角梯形 中， ， 为 边上的一点， ， 为 中点，则 ()
A． B．
C． D．
【答案】C
考点：平面向量加法、减法.
11.给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为 ．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧 上变动．若 其中 ,则 的最大值是（）
A． B．2C． 值
12.如图， 为 的中点， 为以 为直径的圆上一动点，则 的最大值为（）
，代入向量模及夹角可知
考点：向量数量积运算及向量的模
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.复数z＝（m2+5m＋6）＋（m2-2m－15）i（m∈R），求满足下列条件的m的值．
（1）z是纯虚数；
（2）在复平面内对应的点位于第三象限．
【答案】（1）
（3）求 在 + 方向上的投影．
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
试题分析：（1）将条件 按照分配率展开，根据向量数量积的公式，得到两向量的夹角；（2） ，根据公式 代入数值；（3）根据向量数量积的几何意义可知 在 方向上的投影为 ，代入数量积和上一问模的结果，即可.
试题解析：（1）∵| |=2，| |=3，（2 ﹣3 ）•（2 + ）=3，
考点：向量数量积的坐标表示
【方法点睛】本题考查了数量积的坐标表示，属于基础题型，当两非零向量 ， ， ，
时，等价于 ，经常将三点共线转化为向量共线，若三点不共线，即 与 不共线，即 .
19.已知| |=2，| |=3，（2 ﹣3 ）•（2 + ）=3．
（1）求 与 的夹角的余弦值；
（2）求| + |；