现代功率谱估计
数字信号处理讲义-4现代功率谱估计
a3 (2302)1,/3/128。则可由AR模型参数获得功率谱Py(W)的估计值10 。
Y-W方程的L-D递推算法
➢ 一阶Y-W方程的解
Ry[0] Ry[1]
R Ryy[[1 0]]a11(1)012
解此方程得
a1 (1) Ry [1] Ry [0]
12Ry[0]Ry[1]a1(1)Ry[0]1(a1(1)2)
2 1
a2(1)Ry[0]R Ry2y[[1 0]] R Ryy2[[11]]Ry[2]a1(1)a2(2)a1(1)
2 2 202 1/3R /18y[0 ] R y[1 ]a 2 (1 ) R y[2 ]a 2 (2 )[1a2(2)2]1212
Y-W方程的L-D递推算法
➢ p阶Y-W方程的递推解
2021/3/18
11
Y-W方程的L-D递推算法
➢ 二阶Y-W方程的解
R Ryy[[10]]
Ry[1] Ry[0]
R Ryy[[12]]a21(1)022
Ry[2] Ry[1] Ry[0]a2(2) 0
a2(2)Ry[R0y2][R0y][2]Ry2[R1y]2[1]
Ry[2]a1(1)Ry[1]
4
参数模型法的基本思想
根据所研究信号的先验知识，对观测数据以外 的数据作出某种比较合理的假设。
假设信号是白噪声通过LTI系统产生的。由观测数 据估计LTI系统模型的参数。最后由LTI系统模型的参数得出 功率谱。
h[k]
h
y[k]
输入白噪声的自相关函数 Rh[n]2[n]
Py(W)H(ejW)22
2021/3/18
对于因果系统, p阶AR模型的自相关函数与R y[m n ]2[m ]m 0 ,1 , ,p
现代谱估计-有理谱估计
，随 SNR 的下降而降低，增大阶次会增加分辨率，
但可能出现伪峰且方差增大。
3、滑动平均谱估计
3.1 引言
MA 模型隐含了 k q 的自相关函数 rx k 0 ；可以直接得自相关函数可靠 估计，而不需要 MA 模型参数，得到功率谱估计。与 BT 法的区别：BT 法适用 于任何平稳过程、MA 谱估计仅适用于有限阶 MA 模型；BT 法中自相关函数最 大延迟人为确定，MA 谱估计中模型阶次决定最大延迟；BT 不保证谱的非负性， 而 MA 谱估计非负。 MA 模型适合表示无尖峰有深谷的谱，因此不是高分辨率估计。
自相关函数矩阵 Rx p 同时是 Hermition 矩阵和 Toeplitz 矩阵。
2.2.2 AR 过程的线性预测
2.2.2.1 平稳随机过程的线性预测 平稳随机过程的波形估计 最小均方误差准则，线性估计，Wiener-Hopf 方程，正交原理 滤波、预测、平滑 线性最优预测，m 阶一步前向线性预测，m 阶一步后向线性预测，及它们之 间的关系（系数成共轭关系，最小预测误差功率相等） 最优前向预测误差滤波器的最小相位特性 线性最优预测的按阶次递推关系——Levinson 算法 最小均方预测误差的性质（正交性，递推性）及格型结构实现 反射系数的物理含义（前向预测误差和后向预测误差之间相关系数的负值） 2.2.2.2 AR 过程最优线性预测的特殊性质 AR 过程可由求解线性预测系数来实现 若已知自相关函数，可由 Levinson 递推算法得到 AR 参数 AR 过程可用自相关函数、AR 参数和反射系数三组参数等价表示
1.4 经典谱估计和现代谱估计
经典谱估计中，都隐含了这样一个假设：对于未得到的样本数据或未估计出 的自相关函数，认为是零。但实际上这些值并不一定为零，正是由于这种不合理 假设使得经典谱估计较低的分辨率和较大的失真。现代谱估计，对于未得到的样 本数据或未估计出的自相关函数，并不是简单地作零处理，而是认为与得到的样 本数据服从同一模型，估计质量取决于参数估计质量和模型的准确性。 。这是现 代谱估计与经典谱估计最主要的区别。
现代信号处理功率谱估计
现代信号处理功率谱估计
式中, p(x)是X的概率密度函数，对于离散随机序列, 概率密度函 数用联合概率密度函数代替。显然,熵代表一种不确定性， 最大 熵代表最大的不确定性， 或者说最大的随机性。下面我们研究 对于有限的自相关函数值不作任何改变，对于未知自相关函数 用最大熵原则外推，即不作任何附加条件的外推方法。 假设x(n) 是零均值正态分布的平稳随机序列，它的N维高斯概率密度函数 为 p ( x 1 ,x 2 , ,x N ) ( 2 π ) N /2 (d R x( N x e )1 /2 ) e t x 1 2 X H p ( R x( N x) 1 X )
rxx(1)
rxx(2)
rxx(0) rxx(1)
rxx(N
1)
rxx(N
2)
0
rxx(N1) rxx(N)
rxx(1)
可以看出AR模型得到的结果与按最大熵外推rxx(N+1)得到的结果 一致，这就证明了当x(n)为高斯分布时的最大熵谱估计与AR模型
法是等价的。
上式（4.6.8)是rxx(N+1)的一次函数，由此可解得rxx(N+1)。再 用类似的方法求得rxx(N+2)， rxx(N+3)，┄，然后确定功率谱估计。
式中det(Rxx(N))表示矩阵Rxx(N)的行列式，由上式表明为使熵最 大，要求det(Rxx(N)最大。
现代信号处理功率谱估计
若已知N+1个自相关函数值rxx(0),rxx(1),…,rxx(N)，下面用最 大熵方法外推rxx(N+1)。设rxx(N+1)确实是信号自相关函数的第 N+2个值，根据自相关函数的性质，由N+2个自相关函数组成 的矩阵为
第6讲功率谱估计的现代方法
第6讲：功率谱估计的现代方法§6.1 AR 模型法谱估计假设一个随机过程可以由AR(p)刻画-=)(n x ∑=+-⋅pk n v k n x k a 1)()()(它的功率谱为2222)()1(1)(fpj fj AR ep a ea f P ππσ--+++=这里]|)([|22n v E =σ给出一组观测数据)}1(),1(),0({-N x x x 得到估计的参数集}ˆ),(ˆ),2(ˆ),1(ˆ{2σp a a a，得到一个估计的功率谱密度PSD 。
2122)(ˆ1ˆ)(ˆ∑=-+=pk fkj ARe k af P πσ§6.1.1最大熵谱估计（MESE ）假设已知)}(),1(),0({p r r r ，为了确定PSD ，外推 )2(),1(++p r p r ，有无穷多外推方法，一种原则是使信号熵最大，即有最大随机性。
对于高斯过程，熵可以表示成：⎰-⋅2121)(lndf f P C xx（1）（1）是熵表达式，C 是常数，由已知p+1个自相关值构成如下约束方程：p k k r df ef P fkj xx ,1,0)()(21212==⎰-π且知：∑+∞-∞=-⋅=k fkj xx ek r f P π2)()(用Lagrangian 乘积法构成目标函数。
⎰⎰∑--=+=2121212120)()(ln df ef P df f P S fkj xx pk ixx πλ并且求：0)(=∂∂k r S ,2,1||++=p p k经计算的得：1||0)(2+≥=⎰--p k df f P exx fmj πππ这隐含着：∑-=-=ppk fkj k xx ef P πλ2)(1和k k -=λλ*以确保)(f p xx 是实的。
即求得：∑-=-=ppk fkj k xx ef P πλ21)(上式带回p+1个约束方程，经过整理, 最后求得：2122)(1)(∑=-⋅+=pk fkj xx ek a f P πσ这里2σ和)(k a 必须满足：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅)(*)2(*)1(*)()2()1(p r r r p a a a R和：∑=+⋅+=pk k r k a r 12)()()0(σ这正是Yule-Walker 方程，由此得到结论：在Gaussian 随机过程情况下，最大熵估计和AR谱估计是一致的，在非Gaussian 情况下，这一结论并不成立。
现代谱估计方法分析
现代谱估计方法分析刘传辉（绵阳职业技术学院 信息工程系，四川 绵阳 621000）摘要：谱分析是信号分析的一种工具。
功率谱估计就是基于有限的数据寻找信号、随机过程或系统的频率成分。
它表示随机信号频域的统计特征，有着明显的物理意义，是信号处理的重要研究内容。
研究随机信号在频域的功率分布情况，即功率谱密度或功率谱，功率谱估计有着广泛的应用。
关键词：功率谱；信号分析；信号处理；Matlab ；Simulink中图分类号： 文献标识码：Modern Spectral Estimation MethodsLiu Chuan Hui(Dept. of Information Engineering, Mian yang vocational and technical college , Mang Yang 621000,China)Abstract : Sp ectral analysis is a tool for signal analysis. Power spect rum est imat ion is based on limit ed dat a looking for signals, the frequency of random process or system components. It said random signal frequency-domain stat istical characterist ics, t here is a clear physical meaning, is an important signal processing research content. Of random signals in the frequency domain, power distribution, that is t he power spectral density or power spect rum. Power spectrum estimation has been widely used.Keywords: Power spectrum; Signal Analysis ; Signal Processing; Matlab ；Simulink0、引言随机信号一般不能用明确的数学关系式来描述，也无法预测其未来瞬间的精确值，对于这些随机性质的数据只能用概率和统计平均的方法来描述，比如均值、均方差、相关函数以及功率谱密度函数等，一个平稳随机信号的功率谱密度叫做谱估计。
功率谱估计
功率谱估计功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。
谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。
维纳滤波、卡尔曼滤波，可用于自适应滤波，信号波形预测等（火控系统中的飞机航迹预判）。
如果我在噪声中加入一个信号波形。
要完全滤波出我加入的信号波形，能够做到吗？如果知道一些信息，利用一个参考信号波形，可利用自适应滤波做到（信号的初始部分稍有失真）。
功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号。
下面对谱估计的发展过程做简要回顾:英国科学家牛顿最早给出了“谱”的概念。
后来，1822年，法国工程师傅立叶提出了著名的傅立叶谐波分析理论。
该理论至今依然是进行信号分析和信号处理的理论基础。
傅立叶级数提出后，首先在人们观测自然界中的周期现象时得到应用。
19世纪末，Schuster提出用傅立叶级数的幅度平方作为函数中功率的度量，并将其命名为“周期图”（periodogram）。
这是经典谱估计的最早提法，这种提法至今仍然被沿用，只不过现在是用快速傅立叶变换（FFT）来计算离散傅立叶变换（DFT），用DFT的幅度平方作为信号中功率的度量。
周期图较差的方差性能促使人们研究另外的分析方法。
1927年，Yule提出用线性回归方程来模拟一个时间序列。
Yule的工作实际上成了现代谱估计中最重要的方法——参数模型法谱估计的基础。
Walker利用Yule的分析方法研究了衰减正弦时间序列，得出Yule-Walker方程，可以说，Yule和Walker都是开拓自回归模型的先锋。
1930年，著名控制理论专家Wiener在他的著作中首次精确定义了一个随机过程的自相关函数及功率谱密度，并把谱分析建立在随机过程统计特征的基础上，即，“功率谱密度是随机过程二阶统计量自相关函数的傅立叶变换”，这就是Wiener—Khintchine定理。
现代功率谱估计
现代功率谱估计
现代功率谱估计是一种使用现代信号处理技术来计算信号功率谱的方法。
功率谱表示信号在频率域上的能量分布情况，描述了信号在不同频率上的能量或功率的分布。
在现代信号处理中，有几种方法可以用于功率谱估计：
周期图法（Periodogram Method）：这是最简单的功率谱估计方法之一。
通过对信号进行傅里叶变换，然后取幅度的平方得到功率谱估计。
但是在实际应用中，可能需要对信号进行分段并对每个段进行周期图法计算，最后取平均值来获得更准确的估计结果。
Welch方法：这是一种常用的功率谱估计方法，它通过将信号分成多个段并对每个段进行周期图法计算，最后对所有段的结果进行平均来减小估计的方差，提高估计的准确性。
改进的周期图法：包括Bartlett、Hanning、Hamming等窗口函数来改进周期图法，减小泄漏效应leakage effect，提高频谱估计的分辨率和准确性。
自回归AR模型：利用信号的自相关性建立AR模型，然后通过这个模型来计算功率谱。
这种方法在非平稳信号和具有明显谱峰或特定频率成分的信号表现上较好。
这些现代功率谱估计方法可以根据不同的信号特点和应用需求选择合适的方法，并在工程、信号处理和科学领域有着广泛的应用。
功率谱估_精品文档
➢ 如果w(m)窗的宽度比较窄，M比N小得多，这样|m|<<N，则 wB(m)~1,
➢ 由于w(m) 比wB(m)窄， W(ejw) 的主瓣比WB(ejw)宽，故可以利 用窗函数法进一步平滑周期图，减小估计方差；但相应的会增 加偏移，降低频率分辨率。
➢ 线性一步预测误差滤波器的系统函数为
当api=ai(i=1, 2, 3, …,p)时，He(z)和H(z)互为逆滤波器， He(z)=1/H(z),因此He(z)也称为白化滤波器。
➢ 利用上述AR模型与线性预测之间的关系，可以实现预测解卷积
2、 预测误差滤波器的最小相位特性
■ AR模型H(z)必须因果稳定，即极点均在单位圆内， 才能保 证信号x(n)是平稳随机信号，于是He(z)应为最小相位系统。 ■ 当最佳P阶线性预测系数与AR模型参数相同时，由此得到的 极点保证在单位圆内，AR滤波器稳定，预测误差滤波器He(z) 或者A(z)是最小相位系统。
将得到的L个周期图进行平均，作为信号x(n)的功率谱估计， 公式如下：
■ 估计效果分析：
➢ 偏移分析：
√ 平均周期图仍然是有偏估计，偏移和每一段的数据个数M有 关； √ 偏移的大小反映分辨率的高低。
➢ 方差分析：
√ 平均周期图的估计方差是周期图的方差的1/L，L越大方差越 小，功率谱越平滑；相应的，M越小，偏移越大，分辨率越低； √估计的均方误差也减少； √ 以分辨率的降低换取了估计方差的减少，估计量的方差和分 辨率是一对矛盾。
■ 既有极点也有零点的谱应选用ARMA模型，相对地 说, ARMA模型适用范围较宽。
■ 在选择模型合适的基础上， 应尽量减少模型的参 数。
(周围)现代信号处理基础04-现代功率谱估计(上)
• ARMA模型 H (z) B(z) A( z )
参数法谱估计的理论基础
重庆邮电大学通信学院
谱分解定理的推论
任何平稳随机信号x(n)都可以看成由白噪声序列 {u(n)} 激励 一个因果和稳定的线性时不变系统H(z)产生的输出。
任何有限方差的平稳ARMA过程可以分为完全随机的部分 和确定的部分，对应的功率谱为连续的和离散的冲激信号。
FT
FT () fT (t)
IFT
fT
(t )
f
(t), T 2
t
T 2
0,
其他
• 平稳离散随机信号x(n)的自相关函数与功率谱密度之间为一 对傅立叶变换
物理意义：功率Rxx (0)
功率在ω上的分布
重庆邮电大学通信学院
如果随机信号是各态遍历的，相关函数可以由一个取样时间 序列用时间平均来取代统计平均。
AR模型法功率谱估计：
AR(p)模型的Yule - Walker方程组：
R (0) R (1)
R (1)
R (0)
R (2) R (1)
R (p) R (p-1)
R (2) R (1) R (0)
R (p-2)
R (p) 1 2
R
(p-1)
重庆邮电大学通信学院
AR谱估计的性质2：与最大熵谱估计等效
结论：
AR谱估计相当于对自相关函数以最大熵为原则进行 外推后进行傅立叶变换的结果。
AR谱估计相当于在p+1个自相关函数值确定的情况 下，以功率谱密度最平坦为准则得到的估计结果。
重庆邮电大学通信学院
现代谱估计分析
现代谱估计实验报告1 实验目的功率谱估计在实际工程中有重要应用价值。
如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域发挥了重要作用。
本次实验的目的主要是深入理解现代谱估计的基本理论，包括ARMA 模型、ARMA 谱估计。
掌握现代谱估计的基本方法，包括SVD-TLS 算法等。
利用ARMA 功率谱估计中Cadzow 谱估计子和Kaveh 谱估计子来进行谱估计。
2 实验原理2.1 背景若离散随机过程{x(n)}服从线性差分方程)()()()(11j n e n e i n x n x q j j p i i b a -+=-+∑∑==（1）式中e （n ）是一离散白噪声，则称{x(n)}为ARMA 过程，而式（1）所示的差分方程称为ARMA 模型。
系数a 1,a 2……a p ,和b 1,b 2……b q ,分别称为自回归参数和滑动平均参数，而p 和q 分别叫做AR 阶数和MA 阶数。
式（1）所示的ARMA 过程，其功率谱密度为)()()()()(22e e P jw jw z x B B e z A z B w jw δδ=== （2）ARMA 谱估计的目的是使用N 个已知的观测数据x(0)，x(1)…..x(N-1)计算出ARMA 过程{x(n)}的功率谱密度估计。
在实际中，可以运用cadzow 谱估计子和kaveh 谱估计子来估计，cadzow 谱估计子秩序确定AR 阶数p 和估计AR 参数，而kaveh 谱估计子也只需要确定AR 阶数p 和估计AR 参数以及MA 阶数。
2.2 相关算法AR阶数p的确定用奇异值分解（SVD）,AR参数的估计用总体最小二乘法(TLS),即应用（SVD—TLS）算法来完成ARMA谱估计。
SVD—TLS算法：步骤1 计算增广矩阵B的SVD，并储存奇异值和矩阵V;步骤2 确定增广矩阵B的有效秩p；步骤3 计算矩阵S;步骤4 求S的逆矩阵S--,并计算出未知参数的总体最小二乘估计。
《功率谱估计》课件
目录
• 引言 • 功率谱估计的基本原理 • 常见功率谱估计方法 • 现代功率谱估计方法 • 功率谱估计的性能评估 • 实际应用案例分析
01
引言
功率谱估计的定义
功率谱估计是对信号的频率内容进行描述的方法，通过分析信号在不同频率的功 率分布情况，可以了解信号的特性。
功率谱估计可以分为非参数方法和参数方法两类，其中非参数方法包括傅里叶变 换、Welch方法等，而参数方法则包括AR模型、MA模型、和ARMA模型等。
非参数模型
不假设信号的功率谱具有特定参数形式，而是直接从数据中估计功率谱。
03
常见功率谱估计方法
直接法
定义
直接法是通过测量信号的样本值，利用离散 傅里叶变换（DFT）直接计算信号的频谱。
特点
计算简单，但容易受到频率偏移和相位失真的影响 。
应用场景
适用于信号频率稳定且对相位精度要求不高 的场合。
间接法
THANKS
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分辨率与假峰率
分辨率（Resolution）
衡量功率谱估计中能够区分两个相近频率成分的能力。分辨率越高，说明估计的功率谱能够更好地分 辨出相近的频率成分。
假峰率（False Peak Rate）
衡量估计的功率谱中出现的虚假频率峰的概率。假峰率越低，说明估计的功率谱中虚假频率峰的出现 概率越小。
06
特点
能够减小频谱泄漏效应，提高频 谱分辨率。
应用场景
适用于信号持续时间较短或需要 高分辨率频谱分析的场合。
最大熵法
定义
最大熵法是一种基于信息论的方法，通过最 大化熵函数来估计信号的功率谱。
特点
能够提供平滑且连续的功率谱估计，但计算 复杂度较高。
第三章 现代谱估计
将(3.4.2)与(3.4.5)相比较，可令 N ( z) A( z )
i n z i i a z i i 0 p i 0 p p
(k ) z k
i 0
两边同乘以 ai z i，可得
*
_
_
新的ARMA过程{x(n)}的功率谱密度为 P～ ( )
x
2
B( z ) A( z )
~
~
2
2
| (1 e
i 1 r i k 1
s
j
) | | (1 i e
2 i s 1 p
q
j
)|
2
| (1 k e
q
j
)|
1 i 1 i r 1 r p _
B ( z ) (1 k z ) (1 k z 1 )
1 k 1 k s 1
r
p
_
其中， i 1/ i , i r 1, , p; k 1/ k* , k s 1, , q.
k r 1
k r 1
结论：如果系统是非因果的或者是非最小相位的，利用功率 谱密度，只能辨识出|H(ej)|，而不能辨识出H(ej).
可利用互功率谱密度或高阶矩统计量辨识此类系统。
3.4 ARMA谱估计
问题:利用N个已知的观测数据x(0),x(1),…,x(N-1)估计出ARMA 过程{x(n)}的功率谱密度。直接使用式(3.3.6)估计时，需 要辨识出整个ARMA模型及激励噪声的方差。MA参数的 估计需要解非线性方程。 3.4.1 ARMA功率谱估计的两种线性方法
由于将x(n)视为周期函数(幅值谱离散，功率谱 为了减小偏差，可以采用窗函数对周期图进行平滑。 第一种窗函数直接加给样本数据，修正后的周期图为 1 N 1 Px ( ) | x(n)c(n)e jnT |2 NW n 0 1 N 1 1 2 2 W | c(n) | | C ( ) | d N n 0 2 N 另一种窗函数是加给样本自相关函数(Blackman -Tukey法)，功率谱为 PBT ( )
功率谱估计浅谈讲解
功率谱估计浅谈摘要：介绍了几种常用的经典功率谱估计与现代功率谱估计的方法原理，并利用Matlab对随机信号进行功率谱估计，对两种方法做出比较，分别给出其优缺点。
关键词：功率谱；功率谱估计；经典功率谱估计；现代功率谱估计前言功率谱估计是从频率分析随机信号的一种方法,一般分成两大类:一类是经典谱估计;另一类是现代谱估计。
由于经典谱估计中将数据工作区以外的未知数据假设为零，这相当于数据加窗，导致分辨率降低和谱估计不稳定。
现代谱估计则不再简单地将观察区外的未知数据假设为零，而是先将信号的观测数据估计模型参数，按照求模型输出功率的方法估计信号功率谱，回避了数据观测区以外的数据假设问题。
周期图、自相关法及其改进方法(Welch)为经典(非参数)谱估计方法, 其以相关和傅里叶变换为基础,对于长数据记录较适用,但无法根本解决频率分辨率低和谱估计稳定性的问题,特别是在数据记录很短的情况下,这一问题尤其突出。
以随机过程的参数模型为基础的现代参数法功率谱估计具有更高的频率分辨率和更好的适应性,可实现信号检测或信噪分离,对语音、声纳雷达、电磁波及地震波等信号处理具有重要意义,并广泛应用于通信、自动控制、地球物理等领域。
在现代参数法功率谱估计方法中,比较有效且实用的是AR模型法，Burg谱估计法,现代谱估计避免了计算相关,对短数据具有更强的适应性,从而弥补了经典谱估计法的不足,但其也有一些自身的缺陷。
下面就给出这两类谱估计的简单原理介绍与方法实现。
经典谱估计法经典法是基于传统的傅里叶变换。
本文主要介绍一种方法：周期图法。
周期图法由于对信号做功率谱估计，需要用计算机实现，如果是连续信号，则需要变换为离散信号。
下面讨论离散随机信号序列的功率谱问题。
连续时间随机信号的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换对，即：()()j x x S R e d +∞-Ω-∞Ω=⎰τττ若()x R m 是()x R Ω的抽样序列，由序列的傅里叶变化的关系，可得()()j j n x x m S e R m e ωω∞-=-∞=∑即()j x S e ω与()x R m 也是一对傅里叶变换对。
现代信号处理经典的功率谱估计
《现代信号处理》姓名：李建强学号：2专业：电子科学与技术作业内容：在MATLAB平台上对一个特定的平稳随机信号进行经典功率谱估计和现代功率谱估计的比较一、前言功率谱估计是信息学科中的研究热点,在过去的30多年里取得了飞速的发展。
在许多工程应用中，它能给出被分析对象的能量随频率的分布情况。
平滑周期图是一种计算简单的经典方法，它的主要特点是与任何模型参数无关，但估计出来的功率谱很难与信号的真是功率谱相匹配。
与周期图方法不同，现代谱估计主要是针对经典谱估计(周期图和自相关法)的分辨率低和方差性能不好的问题而提出的。
其使用参数化的模型，能够给出比周期图方法高得多的频率分辨率。
其内容极其丰富，涉及的学科和领域也相当广泛，按是否有参数大致可分为参数模型估计和非参数模型估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等;后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。
二、总体概述本次实验分别使用经典的功率谱估计（如周期图法）与AR模型法对某一特定的平稳随机信号进行其功率谱估计，由图像得到信号的频率。
利用MATLAB平台，直观形象地观察并比较二者估计效果的区别，以便于加深对功率谱估计的理解和掌握。
三、具体的实现步骤1、经典法功率谱估计周期图法又称直接法，它是从随机信号x(n)中截取N长的一段，把它视为能量有限的真实功率谱的估计的一个抽样。
1.1、实现步骤（1）、模拟系统输出参数x(n)=A*sin(2πf1*n)+B*sin(2πf2*n)，包括序列长度N（128或512或1024，加性高斯白噪声（AGWN）功率一定，设置A，B，f1，f2，n的值。
（2）、应用周期图法（不加窗）对信号的功率谱密度进行估计，使用直接法在MATLAB 平台上进行编程实现。
（3）、输出相应波形图，进行观察，记录。
1.2 MATLAB源代码实现clear all; %清除工作空间所有之前的变量close all; %关闭之前的所有的figureclc; %清除命令行之前所有的文字n=1:1:128; %设定采样点n=1-128f1=0.2; %设定f1频率的值0.2f2=0.213; %设定f2频率的值0.213A=1; %取定第一个正弦函数的振幅B=1; %取定第一个正弦函数的振幅a=0; %设定相位为0x1=A*sin(2*pi*f1*n+a)+B*sin(2*pi*f2*n+a); %定义x1函数，不添加高斯白噪声x2=awgn(x1,3); %在x1基础上添加加性高斯白噪声，信噪比为3,定义x2函数temp=0; %定义临时值，并规定初始值为0temp=fft(x2,128); %对x2做快速傅里叶变换pw1=abs(temp).^2/128; %对temp做经典功率估计k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(1); %输出x1函数图像plot(w/pi/2,pw1) %输出功率谱函数pw1图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x(n)添加高斯白噪声后的,周期图法功率频谱分析');grid;%-------------------------------------------------------------------------pw2=temp.*conj(temp)/128; %对temp做向量的共轭乘积k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(2);plot(w/pi/2,pw2); %输出功率谱函数pw2图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x（n）自相关法功率谱估计');grid;1.3 matlab仿真图形（1）、用直接法，功率谱图像,采样点N=128。
现代谱估计
∑δ
2 i jj j
v ( v ij ) ，式中 v ij = ⎡ ⎣v ( i, j ) , v ( i + 1, j ) ,..., v ( i + p, j ) ⎤ ⎦
H
∧ −( p )
T
4. 求 S
的逆 S
−( p )
，使用最小二乘法得 x i ,TLS = S
( i, i + 1) / S −( p ) (1,1)
Gdarboux 07.10.2 1
现代谱估计
2
ARMA 谱估计：ARMA 谱估计利用已知道的观测数据 x ( i ) , i = 0,1,...N − 1. 来估计其 功率谱密度 Px ( z ) = σ
2
B( z) A( z)
p
2 2
，需要知道激励噪声的方差 σ ，AR，MA 的阶数和参数，
2
∑ a x ( n − i ) = ∑ b e ( n − j ) ， e ( n ) ∼ ℵ( 0,σ ) ，平稳解 x ( n ) = ∑ h e ( n − i ) ，
2
i =0 i j =1 j i =−∞ i
p
q
∞
Px ( z ) = σ
2
B( z) A( z)
2 2
，加性白噪声中的 AR(p) 过程为 AR(p,p)过程….
1 J⎡ ⎣ P (ω ) ⎤ ⎦ = 2π
⎡∧ 1 lnP (ω ) d ω + ∑ λk ⎢ R x ( k ) − ∫ ⎢ 2π k =− p −π ⎢ ⎣
π
p
π
−π
∫ P(w)e
jwk
P (ω ) =
1
k =− p
生医信号处理课件7现代功率谱
m
再利用Levinson关系式：
i 0
( m1) ( m) a(jm) a(jm1) mam , a ,...,m 1) j m m ,( j 1
(15)
有
f m (n) f m1 (n) m g m1 (n 1)
* g m (n) g m1 (n 1) m f m1 (n)
(3)
由于系数矩阵的Toplitz性质，k+1阶系数矩阵 R ( k 1) 可有两种分块形式。
利用这个性质，可设
1 0 ( k ) ( k ) a ( k ) a 0 k 1 ( k 1) R (k ) a ( k ) a 0 1 k ( k ) 0 1
r (1) r (2) r (k ) 1 ( k ) r (0) r (1) a ( k ) r ( 0 ) r ( 1 ) r ( k 1 ) 0 1 (k ) a r ( k ) r ( k 1 ) r ( k 2 ) r ( 0 ) k 0
2) 置i=k+1＝1;
3) 由(8)、(10)式计算 4) 由(7)、(10)式计算
a
(i ) i
[r (i) a (ji 1) r (i j )] / (i 1)
j 1
i 1
(11)
i 1) a(ji ) a(ji 1) ai(i ) ai( ,...,i 1) (12) j ( j 1
已知（或估计出）p+1个自相关函数值 R(0),R(1),…R(p) 可求出 p+1个模型参数
经典功率谱估计与现代功率谱估计的对比
结论
经典功率谱估计方法在信号处理领域具有广泛的应用价值。本次演示详细介 绍了经典功率谱估计的基本原理、误差分析和仿真实现方法。通过仿真实验，我 们验证了这些方法的性能表现，并得出了在不同条件下的优劣比较。尽管经典功 率谱估计方法存在一定的局限性，但它们在很多情况下仍具有很好的适用性。
未来研究方向可以包括研究更为精确和高效的功率谱估计方法，以适应不断 变化的应用需求和提高信号处理的精度。加强经典功率谱估计在实际问题中的应 用研究，将有助于推动其在各领域的广泛应用和发展。
现代功率谱估计方法则更加注重信号的特性和模型化，能够更好地处理非平 稳信号和复杂场景。其中，基于信号模型的功率谱估计方法可以针对特定场景选 择合适的模型，提高估计精度；而基于深度学习的功率谱估计方法则可以通过训 练神经网络自动提取和学习信号特征，具有很强的适应性。
然而，现代功率谱估计方法也存在着实现难度较大、需要大量数据来训练模 型等问题。同时，这些方法的效果还受到模型复杂度、网络参数等因素的影响。
感谢观看
总之，通过本次演示的讨论和实验，我们深入理解了经典功率谱估计的基本 原理和实现方法，并成功地使用MATLAB实现了功率谱估计。尽管存在一些不足之 处，但经典功率谱估计在许多场景下仍然是一种简单有效的工具。在未来的研究 中，我们可以考虑探索更高级的算法和优化实现细节，以提高功率谱估计的性能 和准确性。
仿真实现
为了验证经典功率谱估计方法的有效性和精度，我们可以利用仿真工具进行 实验。具体步骤包括：
1、生成信号：根据实际需求，我们可以生成不同类型的信号，如周期信号、 随机信号和实际应用中的信号等。
2、加入噪声：在实际应用中，信号往往会受到噪声的干扰，因此，我们需 要在仿真实验中加入噪声，以模拟真实情况。
功率谱计算[解说]
![功率谱计算[解说]](https://img.taocdn.com/s3/m/3cec2a18f02d2af90242a8956bec0975f465a478.png)
功率谱计算功率谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题，涉及的问题很多。
在这里，结合matlab，我做一个粗略介绍。
功率谱估计可以分为经典谱估计方法与现代谱估计方法。
经典谱估计中最简单的就是周期图法，又分为直接法与间接法。
直接法先取N点数据的傅里叶变换（即频谱），然后取频谱与其共轭的乘积，就得到功率谱的估计；间接法先计算N点样本数据的自相关函数，然后取自相关函数的傅里叶变换，即得到功率谱的估计.都可以编程实现，很简单。
在matlab中，周期图法可以用函数periodogram实现。
但是周期图法估计出的功率谱不够精细，分辨率比较低。
因此需要对周期图法进行修正，可以将信号序列x(n)分为n个不相重叠的小段，分别用周期图法进行谱估计，然后将这n段数据估计的结果的平均值作为整段数据功率谱估计的结果。
还可以将信号序列x(n)重叠分段，分别计算功率谱，再计算平均值作为整段数据的功率谱估计。
这2种称为分段平均周期图法，一般后者比前者效果好。
加窗平均周期图法是对分段平均周期图法的改进，即在数据分段后，对每段数据加一个非矩形窗进行预处理，然后在按分段平均周期图法估计功率谱。
相对于分段平均周期图法，加窗平均周期图法可以减小频率泄漏，增加频峰的宽度。
welch法就是利用改进的平均周期图法估计估计随机信号的功率谱，它采用信号分段重叠，加窗，FFT等技术来计算功率谱。
与周期图法比较，welch法可以改善估计谱曲线的光滑性，大大提高谱估计的分辨率。
matlab中，welch法用函数psd实现。
调用格式如下：[Pxx,F] = PSD(X,NFFT,Fs,WINDOW,NOVERLAP)X：输入样本数据NFFT：FFT点数Fs:采样率WINDOW：窗类型NOVERLAP，重叠长度现代谱估计主要针对经典谱估计分辨率低和方差性不好提出的，可以极大的提高估计的分辨率和平滑性。
可以分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计。
参数模型谱估计有AR模型，MA模型，ARMA模型等；非参数模型谱估计有最小方差法和MUSIC法等。
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现代功率谱估计淮北师范大学物理与电子信息学院 235000摘要功率谱估计就是基于有限的数据寻找信号、随机过程或系统的频率成分。
它是随机信号处理的重要内容，广泛应用于人民的日常生活及军事、工业、农业活动中。
其实现方法主要可分为经典谱估计和现代谱估计。
经典谱估计方法由于其种种缺点，迫使人们大力研究现代谱估计方法。
现代谱估计法是以参数模型为基础的方法，大致可以分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY模型等；后者有最小方差方法、多分量的MUSIC 方法等。
本文将着眼于现代谱估计的各种方法，首先简要介绍随机信号功率谱估计的相关基础知识，然后从经典法入手，探讨现代谱估计的理论基础，分析各种方法的优劣性及适用范围，并且给出对应的Matlab仿真结果，从而深刻理解各种方法的特点，从而在实际工作中做出合理的选择。
关键词功率谱估计现代信号处理 Matlab引言功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号。
英国科学家牛顿最早给出了“谱”的概念。
后来，1822年，法国工程师傅立叶提出了著名的傅立叶谐波分析理论。
该理论至今依然是进行信号分析和信号处理的理论基础。
傅立叶级数提出后，19世纪末，Schuster提出用傅立叶级数的幅度平方作为函数中功率的度量，并将其命名为“周期图”（periodogram）。
这是经典谱估计的最早提法，这种提法至今仍然被沿用。
周期图较差的方差性能促使人们研究另外的分析方法。
1927年，Yule提出用线性回归方程来模拟一个时间序列。
Yule的工作实际上成了现代谱估计中最重要的方法——参数模型法谱估计的基础。
Walker利用Yule的分析方法研究了衰减正弦时间序列，得出Yule-Walker方程，可以说，Yule和Walker都是开拓自回归模型的先锋。
1948年，Bartlett首次提出了用自回归模型系数计算功率谱。
自回归模型和线性预测都用到了1911年提出的Toeplitz矩阵结构，Levinson曾根据该矩阵的特点于1947年提出了解Yule-Walker的快速计算方法。
这些工作为现代谱估计的发展打下了良好的理论基础。
1965年，Cooley和Tukey提出的FFT算法，也促进了谱估计的迅速发展。
现代谱估计的提出主要是针对经典谱估计（周期图和自相关法）的分辨率和方差性能不好的问题。
1967 年，Burg 提出的最大熵谱估计，即是朝着高分辨率谱估计所作的最有意义的努力。
由于随机信号是一类持续时间无限长，具有无限大能量的功率信号，它不满足傅里叶变换条件，而且也不存在解析表达式，因此就不能够应用确定信号的频谱计算方法去分析随机信号的频谱。
然而，虽然随机信号的频谱不存在，但其相关函数是可以确定的。
如果随机信号是平稳的，那么其相关函数的傅里叶变换就是它的功率谱密度函数，简称功率谱。
功率谱反映了单位频带内随机信号的一个样本信号来对该随机过程的功率谱密度函数做出估计。
本文将着眼于现代谱估计的各种方法，首先简要介绍随机信号功率谱估计的相关基础知识，然后从经典法入手，探讨现代谱估计的理论基础，分析各种方法的优劣性及适用范围，并且给出对应的Matlab仿真结果，从而深刻理解各种方法的特点，从而在实际工作中做出合理的选择。
1 从经典谱估计到现代谱估计首先，给出功率谱的两个最基本的定义如下：S xx(e jω)=∑R xx(k)e−jωk∞k=−∞(1)P x(e jω)=limM→∞E{12M+1|∑x(n)e−jωnMn=−M|2} (2)可以证明，这两个定义是等效的。
⋯无论是建立在第一个还是第二个公式上的定义，在实际中都几乎是不可能实现的（除非x(n)可以用解析法精确的表示），因此，只能用所得的有限次记录（往往仅一次）的有限长数据来予以估计，这就产生了功率谱估计这一极其活跃，同时也极其重要的研究领域。
1 经典谱估计之周期图法在实际应用中，通常观测到的是信号的有限个(例如N个)取样值，用y N(n)表示。
可以认为它是分段平稳随机信号的一段，也可将它看成是从平稳随机信号中截取的一段数据。
对于平稳随机信号，无论从何时开始任取一段长为N的数据，所计算出来的均值或自相关函数都是相同的。
信号y N(n)可以看成是用一个宽为N的数据窗w(n)从平稳随机信号y N(n)中截取出来的，即y N(n)=y(n)w(n) (3)根据遍历性，用时间平均代替集合平均，若已知N个数据为y N(n)=(y0,y1,…,y N−1) (4)则用时间平均来近似计算的自相关函数为R̂yy(k)=1N∑y n+k y kN−1−|k|n=0,|k|≤N−1 (5)称之为取样自相关。
它可以看成是有限长序列y N(n)和y N(−n)的卷积运算结果除以N，即R̂yy(k)=1N(y N(n)∗y N(−n)) (6)取样自相关函数的双边Z 变换叫做周期图，它是功率谱的一种估计，用 Ŝyy (z ) 表示， S ̂yy (z )=∑R̂yy (k )N−1k=−(N−1)z −k (7) 联系式(9)，由上式得到S ̂yy (z )=1NY (z )Y (z −1) (11) 这里Y (z )是y N (n )的Z 变换。
式(10)和(11)是计算周期图的两种基本方法，前者称为间接法，后者成为直接法。
令z =e jω,由式(11)得到Ŝyy (z )=1N |Y(ω)|2=1N |∑y N (n)e −jωn N−1n=0|2 (12) 该式很适合用FFT 计算。
改进周期图的有4种办法：修正周期图法，平均周期图法，加床平滑法，Welch 法。
2 经典谱估计之自相关法根据Wiener-Khintchine 定理，平稳离散随机信号x(n)的自相关函数R xx (m )=E[x ∗(n )x (m +n )] (3)与功率谱S xx (ω)之间构成一对傅里叶变换关系，即S xx (ω)=∑R xx (m)e −jωm ∞m=−∞(4)R xx (m )=12π∫S xx (ω)e jωm dωπ−π(5) 这种方法以相关函数为媒介来计算功率谱，所以又叫间接法。
它是1958年由Blackman 和Tukey 提出。
这种方法的具体步骤是：第一步：从无限长随机序列x(n)中截取长度N 的有限长序列列)(n x N第二步：由N 长序列)(n x N 求（2M-1）点的自相关函数)(m R x序列。
即)()(1)(10m n x n xN m R N n N N x +=∑-=∧ (6)这里，m=-(M-1)…,-1,0,1…,M-1，M N ，)(m R x 是双边序列，但是由自相关函数的偶对称性式，只要求出m=0,…,M-1的傅里叶变换，另一半也就知道了。
第三步：由相关函数的傅式变换求功率谱。
即jwm M M m Xjw x e m R e S ----=∧∧∑=)()(1)1( (7)以上过程中经历了两次截断，一次是将x(n)截成N 长，称为加数据窗，一次是将x(n)截成（2M-1）长，称为加延迟窗。
因此所得的功率谱仅是近似值，也叫谱估计，式中的)(jw x e S 代表估值。
一般取M<<N ，因为只有当M 较小时，序列傅式变换的点数才较小，功率谱的计算量才不至于大到难以实现，而且谱估计质量也较好。
因此，在FFT 问世之前，相关法是最常用的谱估计方法。
当相关法被引入基于FFT 的快速相关后，相关法和周期图法开始融合。
简单地可以这样说：周期图法是M=N 时相关法的特例。
因此相关法和周期图法可结合使用。
周期图和自相关法及它们的改进方法称为谱估计的经典方法。
然而，传统方法并不是功率谱的良好估计。
事实上，随着记录长度的增加，这两种估计的随机起伏反而更加严重。
此外，他们还有着频率分辨率不高和旁瓣泄露两个难以克服的缺点。
这就促进了现代谱估计方法研究的展开。
2 现代谱估计的原理及方法现代功率谱估计即参数谱估计方法是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱,主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。
常用模型有 ARMA 模型、 AR 模型、 MA 模型。
由于AR 模型具有一系列良好的性能，因此被研究最多也得到最广泛的应用。
本节将较为详细的讨论AR 模型，并对MA 和ARMA 模型谱估计方法做简要的讨论。
以参数模型为基础的谱估计方法一般按下列3步进行：(1)选择合适的信号模型。
(2)根据已知的有限个观测数据，或者它的有限个自相关函数估计值，估计模型的参数；(3)用估得的模型参数计算输出功率谱。
下面解释参数模型法的理论基础。
1 ARMA模型如图1所示，输入激励u(n)是均值为零，方差为σ2的白噪声序列。
线性系统传输函数为H(z)=B(z)A(z)=∑b k z−kqk=0∑a k z−kpk=0式中，b k是前馈支路的系数，称为MA系数；a k是反馈支路的系数，称为AR系数。
系统的输出序列是被建模的离散随机信号。
u(n(n)图1 离散随机信号x(n)的有理传输函数模型该模型的输出功率谱和输入功率谱之间存在下列关系：S xx(z)=σ2 H(z)H∗(1z∗)=σ2B(z)B∗(1z∗)A∗(1z∗)或者S xx(e jω)=σ2 |H(e jω)|2=σ2|B(e jω) A(e jω)|2设a0=1和b0=1，其余所有的系数不全为零，这种模型称为ARMA(p,q)模型。
2 AR模型若除b0=1外所有其他的MA系数都等于零，则称为p阶自回归模型或简称为AR(p)模型。
AR模型的传输函数为H AR(z)=1A(z)=11+∑a k z−kpk=1模型输出功率谱为S xx (z )=σ2A (z )A (z −1)或S xx (e jω)=σ2|A (e jω)|2=σ2|1+∑a ke −jωk p k=1|2这是一个全极点模型。
AR 模型的Yule-Walker 方程如下：R xx (m )={−∑a k R xx (m −k )+σ2p k=1 , m =0−∑a k R xx(m −k )p k=1 , m >0 自相关函数的头p+1个值是{R (0),R (1),…,R (p )}，因此，式__表示成下列矩阵形式：[ R (0)R (1)R (2) … R (p )R (1)R (0)R (1) … R (p −1)R (2) R (1) R (0) … R (p −2)⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮R (p )R (p −1)R (p −2)… R (0)] [ 1a 1a 2⋮a p ] = [ σ200⋮0]这就是AR(p)模型的Yule-Walker 方程。