【全国市级联考word】河南省焦作市2017届高三下学期第二次模拟考试理数(解析版)
2017年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)(word版含答案)
2017年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3] C．上，则输入的实数x的取值范围是（）A． C． D．9．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y=lnx与直线x=c，y=0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间上的均匀随机数x i和10个区间上的均匀随机数y i（i ∈N*，1≤i≤10），其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．（e﹣1）B．（e﹣1）C．（e+1）D．（e+1）10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱11．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C． D．12．已知双曲线Γ1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆Γ2：+=1的离心率为e，直线MN过F2与双曲线交于M，N两点，若cos∠F1MN=cos∠F1F2M，=e，则双曲线Γ1的两条渐近线的倾斜角分别为（）A．30°或150°B．45°或135°C．60°或120°D．15°或165°二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．向量=（﹣1，1），=（1，0），若（﹣）⊥（2+λ），则λ= ．14．已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，则数列{|log2a n|}前10项和为．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为．16．若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公切线，则a的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A ，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级．为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A ，C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．19．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC=EB ，AB=4，tan ∠EAB=．（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当三棱锥C ﹣ADE 体积最大时，求二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，（其中e是自然对数的底数）．（1）∀x1∈，∃x2∈使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P点的直角坐标．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．2017年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3] C．，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}=（﹣∞，2）；∴A∩B=上，则输入的实数x的取值范围是（）A． C． D．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．【解答】解：根据题意，得当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，∴1≤2x≤8，∴0≤x≤3；当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，∴1≤x+1≤8，∴0≤x≤7，∴x的取值范围是．故选：D．9．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y=lnx与直线x=c，y=0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间上的均匀随机数x i和10个区间上的均匀随机数y i（i ∈N*，1≤i≤10），其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．（e﹣1）B．（e﹣1）C．（e+1）D．（e+1）【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】向矩形区域内随机抛掷10个点，有6个点在曲边三角形内，由此根据矩形区域的面积为e﹣1，能求出曲边三角形面积的近似值．【解答】解：由表可知，向矩形区域内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为=．∵矩形区域的面积为e﹣1，∴曲边三角形面积的近似值为（e﹣1）．故选：A10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．11．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C． D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）=2sin（x+），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=2sin（2x+）的图象；再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=2sin=2sin（2x+﹣2θ）的图象．再根据得到的图象关于直线x=对称，可得2•+﹣2θ=kπ+，k∈z，则θ的最小值为，故选：A．12．已知双曲线Γ1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆Γ2：+=1的离心率为e，直线MN过F2与双曲线交于M，N两点，若cos∠F1MN=cos∠F1F2M，=e，则双曲线Γ1的两条渐近线的倾斜角分别为（）A．30°或150°B．45°或135°C．60°或120°D．15°或165°【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】用a，b，c表示出MF1，MF2，NF1，NF2，利用余弦定理计算cos∠F1F2M和cos∠F1F2N，由∠F1F2M+∠F1F2N=0计算出离心率e1，得出a和b的关系即可得出答案．【解答】解：∵cos∠F1MN=cos∠F1F2M，∴∠F1MN=∠F1F2M，∴|MF1|=|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得|MF2|=|MF1|﹣2a=2c﹣2a，∵椭圆Γ2： +=1的离心率为e==，∴=，∴|NF1|=4c，|NF2|=4c﹣2a，在△MF1F2中，由余弦定理的cos∠F1F2M==，在△NF1F2中，由余弦定理的cos∠F1F2N==，∵∠F1F2M+∠F1F2N=π，∴cos∠F1F2M+cos∠F1F2N=0，即+=0，整理得2a2+3c2﹣7ac=0，设双曲线的离心率为e1，∴3e12﹣7e1+2=0，解得e1=2或（舍）．∴=4，∴3a2=b2，即=．∴双曲线的渐近线方程为y=±x，∴渐近线的倾斜角为60°和120°．故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．向量=（﹣1，1），=（1，0），若（﹣）⊥（2+λ），则λ= 3 ．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列出方程求出λ的值．【解答】解：向量=（﹣1，1），=（1，0），∴=2， =1，=﹣1；又（﹣）⊥（2+λ），∴（﹣）•（2+λ）=2+（λ﹣2）•﹣λ=0，即2×2+（λ﹣2）•（﹣1）﹣λ•1=0，解得λ=3．故答案为：3．14．已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，则数列{|log2a n|}前10项和为58 ．【考点】8E：数列的求和．【分析】由{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，求出q，可得a n=32•（）n﹣1=27﹣2n，再求数列{|log2a n|}前10项和．【解答】解：∵{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，∴=，∴1+q3=，∴q=，∴a n=32•（）n﹣1=27﹣2n，∴|log2a n|=|7﹣2n|，∴数列{|log2a n|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58，故答案是：58．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为．【考点】LG：球的体积和表面积；L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故答案为：．16．若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公切线，则a的取值范围为[，+∞）．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点，求得a的范围．【解答】解：由y=ax2（a＞0），得y′=2ax，由y=e x，得y′=e x，曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点（x1，ax12），与曲线C2切于点（x2，ex2），则2ax1=e x2=，可得2x2=x1+2，∴a=，记f（x）=，则f′（x）=，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增．∴当x=2时，f（x）min=．∴a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．【考点】HS：余弦定理的应用；HP：正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，…即sinB（sinA+cosA）=0，又角B为三角形内角，sinB≠0，所以sinA+cosA=0，即，…又因为A∈（0，π），所以．…（2）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，则…即，解得或，…又，所以．…18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C 三级为合格等级，D为不合格等级．为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A，C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【考点】CS：概率的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据频率分布直方图和树形图求解；（2）至少有一人可从反面出发，用间接法求解；（3）根据分布列的定义和数学期望的计算方法求解即可．【解答】解：（1））由题意可知，样本容量n==50，x==0.004，y==0.018；（2））不合格的概率为0.1，设至少有1人成绩是合格等级为事件A，∴P（A）=1﹣0.13=0.999，故至少有1人成绩是合格等级的概率为；（3）C等级的人数为0.18×50=9人，A等级的为3人，∴ξ的取值可为0，1，2，3；∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，∴ξ的分布列为Eξ=0×+1×+2×+3×=．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD．（Ⅱ）依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…，∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，∴DE⊥平面ACD…，∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（Ⅱ）依题意，…，由（Ⅰ）知==，当且仅当时等号成立…如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），，，∴，，，…设面DAE的法向量为，，即，∴，…设面ABE的法向量为，，即，∴，∴…∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为．…20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和焦点坐标，可得c=1，a=2，求得B，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论当PM垂直于x轴时，求得P，Q的坐标，运用数量积为0，可得t；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），运用直线和圆相切的条件：d=r，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，c=1，解得a=2，b==，可得椭圆方程为+=1；（Ⅱ）当PM垂直于x轴时，可得P（，），Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=3+t=0，解得t=﹣2；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），即为kx﹣y﹣kx0+y0=0，由PQ于圆O：x2+y2=3相切，可得=，平方可得（kx0﹣y0）2=3（1+k2），即2kx0y0=k2x02+y02﹣3k2﹣3，又Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=x0•+ty0=0，解得t=，则t2=======12，解得t=．综上可得，t=．21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，（其中e是自然对数的底数）．（1）∀x1∈，∃x2∈使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．【考点】6P：不等式恒成立的问题．【分析】（1）确定函数f（x）在上单调递增，可得f（x）min=f（0）=﹣1；函数g（x）在上单调递减，可得g（x）max=g（0）=﹣，即可求出实数m的范围；（2）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证＞，令h（x）=，x＞﹣1，利用导数求出h（x）min=h（0）=1，再令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，根据其几何意义求出k的最大值，即可证明．【解答】（1）解：∵f（x1）+g（x2）≥m，∴f（x1）≥m﹣g（x2），∴f（x1）min≥min，∴f（x1）min≥m﹣g（x2）max，当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增，∴f（x）min≥f（0）=﹣1，∵g（x）=xcosx﹣e x，∴g′（x）=cosx﹣xsinx﹣e x，∵x∈，∴0≤cosx≤1，xsinx≥0， e x≥，∴g′（x）≤0，∴函数g（x）在上单调递减，∴g（x）max≥g（0）=﹣，∴﹣1≥m+，∴m≤﹣1﹣，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1﹣]；（2）证明：x＞﹣1，要证：f（x）﹣g（x）＞0，只要证f（x）＞g（x），只要证e x sinx﹣cosx＞xcosx﹣e x，只要证e x（sinx+）＞（x+1）cosx，由于sinx+＞0，x+1＞0，只要证，下面证明x＞﹣1时，不等式成立，令h（x）=，x＞﹣1，∴h′（x）=，x＞﹣1，当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min=h（0）=1令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，∴直线AB的方程为y=k（x+），由于点A在圆x2+y2=1上，∴直线AB与圆相交或相切，当直线AB与圆相切且切点在第二象限时，直线AB的斜率取得最大值为1，∴当x=0时，k=＜1=h（0），x≠0时，h（x）＞1≥k，综上所述，当x＞﹣1，f（x）﹣g（x）＞0．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P点的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）首先根据变换关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步把极坐标转化成直角坐标．（Ⅱ）把椭圆的直角坐标形式转化成参数形式，进一步把矩形的周长转化成三角函数的形式，通过三角恒等变换求出最小值，进一步求出P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，则：曲线C的方程为ρ2=，转化成．点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）．（Ⅱ）设P（）根据题意，得到Q（2，sinθ），则：|PQ|=，|QR|=2﹣sinθ，所以：|PQ|+|QR|=．当时，（|PQ|+|QR|）min=2，矩形的最小周长为4，点P（）．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=3，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；③x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，综上所述，不等式的解集为（﹣]；（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为=，∴a=3，∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．。
河南省焦作市2017届高三下学期第二次模拟考试理综生物试题.doc
焦作市2017届高三下学期第二次模拟考试理科综合试题生物试题1.水是生命之源，下列有关生物体内水的叙述，不合理的是A.结合水是细胞的组成成分，越冬植物体内结合水的比例会升高B.人体细胞中的内质网、线粒体和核糖体都会产生水C.胰岛素在肝脏细胞发挥作用的过程中只产生水，不消耗水D.绿色植物暗反应所需的还原剂最终来自叶绿体中水的光解2.下列关于生物学实验的叙述，正确的是A.高温煮熟后的豆浆冷却后，不能与双缩脲试剂发生紫色反应B.调查人类遗传病应选取发病率较高的单基因遗传病作为调查对象C.健那绿染液处理的口腔上皮细胞中的线粒体已失去活性D.酒精在“绿叶中色素的提取”和“胞肪的鉴定”实验中的作用相同3.下列存关细胞分化、衰老和凋亡的叙述，正确的是A.生物的个体发育与细胞分化有关，细胞全能性的实现与细胞分化无关B.细胞分化是基因选择性表达的结果，但基因的选择性表达不一定导致细胞分化C.细胞凋亡不受基因的控制，与细胞凋亡有关的细胞器主要是溶酶体D.细胞衰老后，伴随核体积增大、染色质收缩，凋亡基因开始表达4.下图是免疫细胞之间相互作用的部分模式图，下列相关叙述正确的是A.细胞①有特异识别功能，吞噬病菌体现了生物膜的流动性B.细胞②和细胞③都在体液免疫和细胞免疫中发挥重要作用C.免疫活性物质都来自免疫细胞，如图中的物质Ⅰ和物质ⅡC.细胞①将抗原呈递给细胞②，体现了细胞膜的信息交流功能5.胰腺癌死亡率高达90%，曾夺走了乔布斯的生命。
近来发现胰腺癌患者血液中有一种含量较多的特殊物质——一种名为HSATⅡ的非编码RNA（即不编码蛋白质的RNA），这一特殊RNA可以作为胰腺癌的生物标记，用于胰腺癌的早期诊断。
下列有关叙述正确的是A.这种特殊的非编码RNA与mRNA彻底水解后，均可得到6中终产物B.核膜上的核孔可以让蛋白质和此种特殊的RNA自由进出C.作为胰腺癌生物标记的RNA，其翻译成的蛋白质中一般含20种氨基酸D.这种特殊的非编码RNA在胰腺癌患者细胞的细胞质内合成6.在人类遗传病调查中发现某两个家系中都有甲遗传病（基因为A/a）和乙遗传病（基因为B/b）患者，两家系的遗传系谱图如下图所示，其中Ⅰ1不携带乙病的致病基因。
河南省焦作市2017-2018学年高三数学一模试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2x2﹣5x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜﹣，或2＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜﹣}2．若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中不正确的是（）A．||=|2|B．•=2 C．﹣与垂直 D．∥4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．105．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C． D．6．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y=log a|x|的图象是（）A ．B ．C ．D ．7．已知曲线y=x +lnx 在点（1，1）处的切线与曲线y=ax 2+（a +2）x +1相切，则a=（ ） A ．﹣2 B ．0 C ．1 D ．88．已知函数f （x ）=sinx +acosx 的图象的一条对称轴为x=．则函数f （x ）的单调递增区间为（ ）A ．[2k π﹣，2k π+]（k ∈Z ）B ．[2k π﹣，2k π+]（k ∈Z ）C ．[2k π﹣，2k π+]（k ∈Z ） D ．[2k π﹣，2k π+]（k ∈Z ）9．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2﹣a n =3，则当n 为偶数时，数列{a n }的前n 项和S n =（ ）A ．﹣ B ．+ C ．D ．10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（ ）A ．4+B ．6C ．4+D ．611．已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则的最小值为（）A．B．C．D．112．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|=．14．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为．15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）=+的最小值为．16．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是．三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=，求f（B）的取值范围．18．在市高三学业水平测试中，某校老师为了了解所教两个班100名学生的数学得分情况，按成绩分成六组：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，（Ⅱ）该教师决定在[110，120），[120，130），[130，140）这三组中用分层抽样抽取6名学生进行调研，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行谈话，记这2名学生中有ξ名学生在[120，130）内，求ξ的分布列和数学期望．19．如图所示，平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．（Ⅰ）若四点F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；（Ⅱ）求证：平面CBE⊥平面EDB；（Ⅲ）当x=2时，求二面角F﹣EB﹣C的大小．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），定点M（2，0），以O为圆心，抛物线C的准线与以|OM|为半径的圆所交的弦长为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线y=﹣x+m（m∈R）与抛物线交于不同的两点A、B，则抛物线上是否存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称．若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2lnx，F（x）=3g（x）﹣2xg′（x），若函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：＜0．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．2016年河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2x2﹣5x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜﹣，或2＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜﹣}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（2x+1）（x﹣3）＞0，解得：x＜﹣或x＞3，即B={x|x＜﹣或x＞3}，∵A={x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜﹣}，故选：D．2．若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求出复数，得到复数对应点的坐标，即可得到结果．【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，可得z==1﹣i，复数对应点为（1，﹣1），在复平面内z的共轭复数对应的点（1，1）．故选：A．3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中不正确的是（）A．||=|2|B．•=2 C．﹣与垂直 D．∥【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与运算，对选项中的进行分析判断即可．【解答】解：∵向量=（2，0），=（1，1），∴||=2，||===2，||=||，A正确；•=2×1+0×1=2，B正确；（﹣）•=（1，﹣1）•（1，1）=1×1﹣1×1=0，∴（﹣）⊥，C正确；2×1﹣0×1≠0，∴∥不成立，D错误．故选：D．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值．【解答】解：根据程序框图，知当i=4时，输出S，∵第一次循环得到：S=S0﹣1，i=2；第二次循环得到：S=S0﹣1﹣4，i=3；第三次循环得到：S=S0﹣1﹣4﹣9，i=4；∴S0﹣1﹣4﹣9=﹣4，解得S0=10故选：D．5．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C． D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x=﹣6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（﹣6，0），此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，可得=，则得a、b的另一个方程．那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．【解答】解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=﹣6，则由题意知，点F（﹣6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以，解得a2=9，b2=27，所以双曲线的方程为．故选B．6．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y=log a|x|的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；指数函数的图象变换．【分析】根据指数函数的图象和性质求出0＜a＜1，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．【解答】解：∵|x|≥0，∴若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，∴0＜a＜1，当x＞0时，数y=log a|x|=log a x，为减函数，当x＜0时，数y=log a|x|=log a（﹣x），为增函数，且函数是偶函数，关于y轴对称，故选：A7．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故选D．8．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=．则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．【分析】由题意知函数f（x）=sinx+acosx在x=处取得最值，从而可得（•+a）2=3+a2，从而解出f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），从而确定单调增区间．【解答】解：∵函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=，∴函数f（x）=sinx+acosx在x=处取得最值；∴（•+a）2=3+a2，解得，a=1；故f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），故2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，故2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，故选：C．9．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）A．﹣B． + C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，=1+3（k﹣1）=3k﹣2，a2k=2+3（k﹣1）=3k﹣1．且a2k﹣1则当n为偶数时，设2k=n，数列{a n}的前n项和S n=+=3k2=．故选：C ．10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（ ）A ．4+B ．6C ．4+D ．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为2，几何体底面圆心角为120°，∴几何体底面弧长为=．圆锥高为2．∴圆锥的母线长为．作出几何体的侧面展开图如图所示：其中，AB=AB ′=2，AB ⊥BC ，AB ′⊥B ′D ，B ′D=BC=2，AC=AD=4，．∴∠BAC=∠B ′AD=30°，∠CAD=．∴∠BAB ′=120°．∴BB ′==6．故选D ．11．已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则的最小值为（）A．B．C．D．1【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，利用转化思想方法求得OQ=a，又OQ=2b，得a=2b，进一步得到a，e与b的关系，然后利用基本不等式求得的最小值．【解答】解：如图，由题意，P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，延长F2Q交F1P延长线于M，得PM=PF2，由椭圆的定义知PF1+PF2=2a，故有PF1+PM=MF1=2a，连接OQ，知OQ是三角形F1F2M的中位线，∴OQ=a，又OQ=2b，∴a=2b，则a2=4b2=4（a2﹣c2），即c2=a2，∴===2b+≥2=．当且仅当2b=，即b=时，有最小值为．故选：C．12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A．B．C．D．【考点】数列与函数的综合．【分析】根据定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），可得f（x+2）=f（x），从而f（x+2n）=f（x），利用当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x，可求（x）在[2n﹣2，2n）上的解析式，从而可得f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n，进而利用等比数列的求和公式，即可求得{a n}的前n项和为S n．【解答】解：∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），∴f（x+2）=f（x），∴f（x+4）=f（x+2）=f（x），f（x+6）=f（x+4）=f（x），…f（x+2n）=f（x）设x∈[2n﹣2，2n），则x﹣（2n﹣2）∈[0，2）∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．∴f[x﹣（2n﹣2）]=﹣2[（x﹣（2n﹣2）]2+4[x﹣（2n﹣2）]．∴=﹣2（x﹣2n+1）2+2∴f（x）=21﹣n[﹣2（x﹣2n+1）2+2]，x∈[2n﹣2，2n），∴x=2n﹣1时，f（x）的最大值为22﹣n∴a n=22﹣n∴{a n}表示以2为首项，为公比的等比数列∴{a n}的前n项和为S n==故选B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|=2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心（0，0）到直线x﹣y+2=0的距离d，再由弦长公式可得弦长．【解答】解：圆心（0，0）到直线x﹣y+2=0的距离d==1，半径r=2，故|AB|=2=2，故答案为：2．14．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为1．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，令t=x+2y﹣3，化为直线方程的斜截式，利用线性规划知识求出t的范围，取绝对值得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令t=x+2y﹣3，则，由图可知，当直线过O时，直线在y轴上的截距最小，t有最小值为﹣3；直线过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最大值为﹣1．∴z=|x+2y﹣3|的最小值为1．故答案为：1．15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）=+的最小值为5．【考点】类比推理．【分析】f（x）=+=，表示平面上点M（x，0）与点N（﹣2，4），O（﹣1，﹣3）的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：f（x）=+=，表示平面上点M（x，0）与点N（﹣2，4），O（﹣1，﹣3）的距离和，∴f（x）=+的最小值为=5．故答案为：5．16．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是6π．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】审题后，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是是重要条件，根据定义，先作出它的平面角，如图所示．进一步分析此三棱锥的结构特征，找出其外接球半径的几何或数量表示，再进行计算．【解答】解：如图所示：取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，∴∠SDB为S﹣AC﹣B的平面角，且AC⊥面SBD．由题意：AB⊥BC，AB=BC=，易得：△ABC为等腰直角三角形，且AC=2，又∵BD⊥AC，故BD=AD=AC，在△SBD中，BD===1，在△SAC中，SD2=SA2﹣AD2=22﹣12=3，在△SBD中，由余弦定理得SB2=SD2+BD2﹣2SD•BDcos∠SDB=3+1﹣2×=2，满足SB2=SD2﹣BD2，∴∠SBD=90°，SB⊥BD，又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．以SB，BA，BC为顶点可以补成一个棱长为的正方体，S、A、B、C都在正方体的外接球上，正方体的对角线为球的一条直径，所以2R=，R=，球的表面积S=4=6π．故答案为：6π．三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=，求f（B）的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c ﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得：cosA．（II）f（x）=sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，可得＜B+＜，即可得出．【解答】解：（I）∵（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）f（x）==sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，∴＜B+＜，∴∈，∴f（B）的取值范围是．18．在市高三学业水平测试中，某校老师为了了解所教两个班100名学生的数学得分情况，按成绩分成六组：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，（Ⅰ）请根据上表中的数据，完成频率分布直方图，并估算这学生的数学平均成绩；（Ⅱ）该教师决定在[110，120），[120，130），[130，140）这三组中用分层抽样抽取6名学生进行调研，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行谈话，记这2名学生中有ξ名学生在[120，130）内，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由统计数据能作出频率分布直方图，利用频率分布直方图能估算这100学生的数学平均成绩．（Ⅱ）由题意，在[110，120），[120，130），[130，140）三组中，利用分层抽样抽取的学生数分别为3，2，1，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（Ⅰ）由统计数据作出频率分布直方图如下：∴估算这100学生的数学平均成绩：=10（85×0.002+95×0.008+105×0.03+115×0.03125×0.02+135×0.01）=113.8．（Ⅱ）由题意，在[110，120），[120，130），[130，140）三组中，利用分层抽样抽取的学生数分别为3，2，1，∴ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，ξEξ==．19．如图所示，平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．（Ⅰ）若四点F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；（Ⅱ）求证：平面CBE⊥平面EDB；（Ⅲ）当x=2时，求二面角F﹣EB﹣C的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根据四点F、B、C、E共面，以及三角形相似建立方程关系进行求解；（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵AF∥DE，AB∥CD，AF∩AB=A，DE∩DC=D，∴平面ABF∥平面DCE，∵平面ADEF⊥平面ABCD，∴FB∥CE，∴△ABF～△DCE，∵AB=a，∴ED=a，CD=2a，AF=，由相似比得，即，得x=4（Ⅱ）连接BD，设AB=1，则AB=AD=1，CD=2，可得BD=，取CD的中点M，则MD 与AB平行且相等，则△BMD为等腰直角三角形，则BC=BD=，∵BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD．∵平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD，BC⊥DE，又∵ED∩BD=D，∴BC⊥平面BDE．又∵BC⊂平面BCE，∴平面BDE⊥平面BEC．（III）建立空间坐标系如图：设AB=1，∵x=2，∴CD=2，则F（1，0，1），B（1，1，0），E（0，0，1），C（0，2，0），=（1，0，0），=（1，1，﹣1），=（0，2，﹣1），设平面EF的一个法向量为=（x，y，z），则由得，则取=（0，1，1），设平面EBC的法向量为=（x，y，z），则，得，令y=1，则z=2，x=1，即=（1，1，2），则cos＜，＞===，则＜，＞=30°，∵二面角F﹣EB﹣C是钝二面角，∴二面角F﹣EB﹣C的大小为150°．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），定点M（2，0），以O为圆心，抛物线C的准线与以|OM|为半径的圆所交的弦长为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线y=﹣x+m（m∈R）与抛物线交于不同的两点A、B，则抛物线上是否存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称．若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）利用垂径定理和勾股定理列方程解出p即可得出抛物线方程；（II）联立方程组，由根与系数的关系得出A，B纵坐标的关系，假设存在符合条件的P点，则k PA+k PB=0，代入斜率公式化简即可求出x0，y0．【解答】解：（I）设抛物线的准线方程为x=﹣．圆O的半径r=2，由垂径定理得=4，解得p=2．∴抛物线方程为y2=4x．（II）联立方程组得y2+4y﹣4m=0，∴△=16+16m＞0，解得m＞﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4m．若抛物线上存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称，则k PA+k PB=0，∴+=+==0，∴y 0=﹣=2，x 0==1．∴存在点P （1，2），只要m ＞﹣1，直线PA ，PB 关于直线x=1对称．21．已知函数f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）设g （x ）=f （x ）+2lnx ，F （x ）=3g （x ）﹣2xg ′（x ），若函数F （x ）在定义域内有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：＜0．【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求导根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（Ⅱ）求导，根据中点坐标公式得到=﹣（x 1+x 2）+a +，①，分别把两个零点x 1，x 2，代入到F （x ）中，转化，分离参数得到a ﹣（x 1+x 2）=，再代入得到= [ln +]，换元，构造函数得到h （t ）=lnt +，根据导数求出h （t ）的最大值，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），∴f ′（x ）=2x +a ﹣=，令f ′（x ）＞0，得x ＞，f ′（x ）＜0，得0＜x ＜，∴函数f （x ）在（，+∞）为增函数，在（0，）为减函数，（Ⅱ）由已知g （x ）=f （x ）+2lnx ，∴F （x ）=3g （x ）﹣2xg ′（x ）=﹣x 2+ax +3lnx ﹣2，∴F′（x）=﹣2x+a+，即：=﹣（x1+x2）+a+，①∵函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，∴﹣x12+ax1+3lnx1﹣2=0，②﹣x22+ax2+3lnx2﹣2=0，③②﹣③得﹣（x12﹣x22）+a（x1﹣x2）+3（lnx1﹣lnx2）=0可得（x1﹣x2）[a﹣（x1+x2）]+3ln=0，∴a﹣（x1+x2）=，代入①得：=+= [ln+]= [ln+]，令=t，则0＜t＜1，∴h（t）=lnt+，∴h′（t）=+=﹣=≥0∴h（t）在（0，1）上为增函数，∴h（t）＜h（1）=0，∵x1＜x2，∴＜0．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由已知中DE2=EF•EC，我们易证明，△DEF～△CED，进而结合CD∥AP，结合相似三角形性质，得到∠P=∠EDF，由圆内接四边形判定定理得到A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的结论，结合相交弦定理得PE•EF=AE•ED=12，结合已知条件，可求出PB，PC的长，代入切割线定理，即可求出PA的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵DE2=EF•EC，∴=，又∠DEF=∠CED，∴△DEF～△CED，∠EDF=∠ECD，又∵CD∥PA，∴∠ECD=∠P故∠P=∠EDF，所以A，P，D，F四点共圆；…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）及相交弦定理得：PE•EF=AE•ED=12，又BE•EC=AE•ED=12，∴EC=4，EF==，PE=，PB=，PC=PB+BE+EC=，由切割线定理得PA2=PB•PC=×=，所以PA=为所求…10分[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程的定义即可求得；（Ⅱ）数形结合：作出图象，根据图象即可求出有两交点时a的范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=a，∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0．（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x+1）2+（y+1）2=1（﹣1≤y≤0），为半圆弧，如图所示，曲线C1为一族平行于直线x+y=0的直线，当直线C1过点P时，利用得a=﹣2±，舍去a=﹣2﹣，则a=﹣2+，当直线C1过点A、B两点时，a=﹣1，∴由图可知，当﹣1≤a＜﹣2+时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．【考点】一般形式的柯西不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．2016年8月1日。
河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷-答案
河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷答 案一、选择题：共12题1~5．DCDCB 6~10．ABACD 11~12．CB 二、填空题：共4题 13．5 14．16 15．π416三、解答题：共7题17．解：（1）1n n n S a a λ+=，33a =，所以112a a a λ=且()122323a a a a a λ+==，①所以2123,3a a a a λ=+==，②因为数列{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，即2123a a -=， 由①②得11a =，22a =，所以n a n =，2λ=， 所以14b =，316b =，则12n n b +=． （2）因为(1)2n n n S +=，所以2(2)n c n n =+，所以22222122435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++L 111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++L 2323232n n n +=-++． 18．解：（1）由题意可知，所求概率12211123424233366C C C C 2221C ()(1)(1)C 33C 315P =⨯-+⨯-=， （2）设甲公司正确完成面试的题数为X ，则X 的取值分别为1,2,3，124236C C 1(1)C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5P X ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，则X 的分布列为：131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=．设乙公司正确完成面试的题数为Y ，则Y 取值分别为0,1,2,3，1(0)27P Y ==，123212(1)C ()339P Y ==⨯⨯=，223214(2)C ()339P Y ==⨯⨯=， 328(3)()327P Y ===，则Y 的分布列为：所以1248()01232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=（或因为2(3,)3Y B ~，所以2()323E Y =⨯=）， 222212482()(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，由()()E X E Y =，()()D X D Y ＜可得，甲公司成功的可能性更大．19．证明：因为AB AC ⊥，AB AC =，所以90ACB ∠=︒， 因为底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒，AD BC ∥， 所以45ACD ∠=︒，即AD CD =，所以2BC AD =，因为2AE ED =，2CF FB =，所以2D 3AE BF A ==． 所以四边形ABFE 是平行四边形，则AB EF ∥，所以AC EF ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA EF ⊥， 因为PA AC A =I ，所以EF ⊥平面PAC ，因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面PAC ．（2）因为PA AC ⊥，AC AB ⊥，所以AC ⊥平面PAB ，则APC ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角，若PC 与平面PAB 所成角为45︒，则tan 1ACAPC PA∠==，即PA AC == 取BC 的中点为G ，连接AG ，则AG BC ⊥，以A 坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．则(1,1,0)B -，(1,1,0)C ，2(0,,0)3E，P ，所以(1,1,0)EB =-u u u r，2(0,3EP =-u u u r ，设平面PBE 的法向量(,,)x y z =n ，则00n EB n EP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r u u g u r g ，即503203x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令3y =，则5x =，z =，=n ，因为(1,1,0)AC =u u u r是平面PAB 的一个法向量，所以cos ,AC 〈〉==u u u r n ，即当二面角A −PB −EPC 与平面PAB 所成的角为45︒． 20．解：（1）设200(,)4y A y ，圆C 的方程200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以0M N y y y +=，214M N y y y =-，||||2M N MN y y =-=．（2）设直线l 的方程为x my n =+，11(,)P x y ，22(),Q x y ，则由24x my n y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2440y my n --=． 124y y m +=，124y y n =-，因为3OP OQ =-u u u r u u u r g ，所以12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-，所以2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，点(2,0)B 到直线l的距离为d =，因为圆心C 到直线l 的距离等于到直线1x =的距离，所以208y =， 又20024y m y -=，消去m 得4200646416y y +=g ，求得208y =，此时2024y m y -=，直线l 的方程为3x =，综上，直线l 的方程为1x =或3x =．21．解：（1）设切点的坐标为2(,e )t t ，由2()e x f x =，得22(e )x f x ='， 所以切线方程为22e 2e ()t t y x t -=-，即222e (12)e t t y x t =+-，由已知222e (12)e x x y x t =+-和1y kx =+为同一条直线，所以22e t k =，2(12)e 1t k -=， 令()(1)e x h x x =-，则()e x h x x =-'，当(,0)x ∈-∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以()(0)1h x h ≤=，当且仅当0x =时等号成立，所以0t =，2k =． （2）①当2k >时，有（1）结合函数的图像知： 存在00x >，使得对于任意0(0,)x x ∈，都有()()f x g x ＜，则不等式|()()|>2f x g x x -等价()()2g x f x x ->，即2(2)1e 0x k x -+->， 设2(2)1e x t k x =-+-，22()2e x t k =--'，由0t '>得12ln 22k x -<，由0t '＜得12ln 22k x -＞， 若24k ≤＜，12ln022k -≤，因为012(0,)(,ln )22k x ∞-⊆-，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递减， 因为(0)0t =，所以任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >，与题意不符， 若4k >，12ln022k ->，1212(0,ln )(,ln )2222k k --⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递增， 因为(0)0t = ，所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >符合题意， 此时取120min{0,ln}22k m -<≤，可得对任意(0,)x m ∈，都有|()()|>2f x g x x -． ②当02k <≤时，有（1）结合函数的图像知()2e210(0)xx x -+≥>，所以22()()e 1e (21)(2)(2)0x x f x g x kx x k x k x -=--=-++-≥-≥对任意0x >都成立， 所以|()()|>2f x g x x -等价于2e (2)10x k x -+->， 设2()e (2)1x x k x ϕ=-+-，则2()=2e (2)x x k ϕ'-+，由()0x ϕ'>得12ln 22k x +>，()0x ϕ'＜得，12ln 22k x +<， 所以()x ϕ在12(0,ln)22k -上单调递减，注意到(0)0ϕ=， 所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0x ϕ<，不符合题设， 综上所述，k 的取值范围为()4,+∞．22．解：（1）由πcos()4ρθ+=-cos sin )ρθρθ-=-)x y -=-，即直线l 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离π|)4|π2co ()4s t d t ++==+， 当π2ππ4t k +=+，即3π2π4t k =+，k ∈Z时，min 1d =． （2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，所以对t ∀∈R ，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t t ϕ+>-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a << 故a的取值范围为．23．解：（1）当2x =时，()|2|g x a x =--取得最大值为a ，因为()|1||3|4f x x x =++-≥，当且仅当13x -≤≤，()f x 取最小值4， 因为关于x 的不等式()()f x g x <有解， 所以4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞．（2）当72x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =，所以当2x <时，9()2g x x =+，令9()42g x x =+=，得1(1,3)2x =-∈-，所以12b =-，则6a b +=河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷解析1．【解析】本题主要考查集合的关系与运算、解一元二次不等式．A={x|x(5−x)>4}={x|1<x<4},B={x|x≤a}，若A∪B=B，则A⊂B，∴a≥4．故选D．2．【解析】本题主要考查复数的运算和几何意义．∵z=a+2i32−i =a−2i2−i=(a−2i)(2+i)5=2a+25+a−45i，∴{2a+25>0a−45<0，解得−1<a<4．故选C．3．【解析】本题主要考查独立性检验．选项D中不服药与服药样本中患病的频率差距最大．故选D．4．【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、倍角公式和诱导公式．由3cos2θ=tanθ+3得3sin2θ=−tanθ，∵θ≠kπ(k∈Z),∴3sinθcosθ=−1，即sin2θ=−23，则sin[2(π−θ)]=sin(2π−2θ)=−sin2θ=23．故选C．5．【解析】本题主要考查程序框图和数学史．模拟程序运行，可得：n=1，S=k,满足循环条件n<4,执行循环体，n=2，S=k2，满足循环条件n<4,执行循环体，n=3，S=k3，满足循环条件n<4,执行循环体，n=4，S=k4，不满足循环条件n<4,结束循环，输出S的值为k4，则k4=1.5，解得k=6．故选B．6．【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和性质、点到直线的距离．点(0,−2)到渐近线bx+ay=0的距离为√b2+a2=2ac=23，∴c=3a,∴b=2√2a，∵双曲线C 过点(√2,2√2)，∴2a 2−88a 2=1，解得a =1， 则双曲线C 的实轴长为2． 故选A ．7．【解析】本题主要考查函数的零点、奇函数的性质．∵x 0是函数y =f(x)−e x 的一个零点，∴f (x 0)−e x 0=0，即f (x 0)=e x 0， 又f(x)为奇函数，∴f (−x 0)=−f (x 0)=−e x 0， 当x =x 0时，．y =f (x )⋅e −x +1=0． 故选B ．8．【解析】本题主要考查三视图与体积．由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥与一个三棱柱组合而成，其中四棱锥的底面与三棱柱的左侧面重合．则该几何体的体积为V =13×22×1+12×1×2×2=103．故选A ．9．【解析】本题主要考查平面向量的数量积和模．设AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25λ−5×4×cos60°=5，解得λ=35， 则|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=25|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． 故选C ．10．【解析】本题主要考查椭圆的几何性质．由题知，M 在椭圆的短轴上．设椭圆C 的左焦点为F 1，连结AF 1． ∵|OA|=|OF 2|，∴|OA|=12|F 1F 2|，即AF 1⊥AF 2， ∵|AF 1||AF 2|=|OM||OF 2|=12，∴|AF 1|=2√55c,|AF 2|=4√55c ，∴2a =|AF 1|+|AF 2|=6√55c ，则椭圆C 的离心率为e =ca =√53． 故选D ． 11．【解析】本题主要考查空间线面的位置关系．取DC 中点N ，连结MN ，NB ，则MN ∥A 1D ，NB ∥DE ， ∴平面MNB ∥平面A 1DE ，∴MB ∥平面A 1DE ，故A 正确；取A 1D 中点F ，连结MF ，EF ，则EFBM 为平行四边形，则∠A 1EF 为异面直线BM 与A 1E 所成角，故B 正确； 点A 关于直线DE 的对称点为N ，则DE ⊥平面AA 1N ，即过O 与DE 垂直的直线在平面AA 1N 上，故C 错误； 三棱锥A 1−ADE 外接球半径为√22AD ，故D 正确．故选C．12．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值．g′(x)=−3x2+2x<0(x<0)，∴函数g(x)在(−∞，0)上单调递减，∴g(x)>g(0)=0．设A(x0，1aln(x0+1))，由斜边AB的中点y轴上可得B(−x0，x03+x02)，∵OA⊥OB，∴k OA∙k OB=−1，即1aln(x0+1)x0∙x03+x02−x0=−1，∴a=x0+1ln(x0+1)，设ℎ(x)=x+1ln(x+1)(e−1<x<e2−1)，则ℎ′(x)=ln(x+1)−1ln2(x+1)，∵e−1<x<e2−1,∴ℎ′(x)>0，∴ℎ(e−1)=e<ℎ(x)<ℎ(e2−1)=e22，即实数a的取值范围是(e,e22)．故选B．13．【解析】本题主要考查简单的线性规划及点到直线的距离．作出不等组表示的可行域，如图所示，z的几何意义为可行域内的点到点(0，−1)距离的平方．则z的最小值为点(0，−1)到直线2x+y−4=0距离的平方，z=(22)2=5．故答案为5.14．【解析】本题主要考查排列组合问题．把5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，有C52A22种分配方案，其中甲班都是男生的分配方案有C32+1种，则不同的分配方案种数为C52A22−(C32+1)=16．故答案为16．15．【解析】本题主要考查函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象和性质．由图可得T=2×(7π8−3π8)=π=2πω，∴ω=2，∵f(5π8)=2∴5π4+φ=π2+kπ(kϵZ),又|φ|<π2,∴φ=π4，∴f(x)=Asin(2x+π4)，又f(π8)=A=−2，∴f(x)=−2sin(2x+π4)，则g(x)=−2sin[2(x−7π24)+π4]=−2sin(2x−π3)．若函数g(x)在区间[−π3,θ](θ>−π3)上的值域为[−1,2]，则2θ−π3=π6，∴θ=π4．故答案为π4．16．【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．由(a2+b2)tanC=8S得a2+b2=4abcosC=4ab∙a2+b2−c22ab，即a2+b2=2c2．由sinAcosB=2cosAsinB得a∙a2+c2−b22ac =2b∙b2+c2−a22bc，即a2−b2=13c2．∴a2=76c2，b2=56c2，∴cosA=b2+c2−a22bc=√3015．故答案为√3015．17．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列，考查裂项求和．（1）在λS n=a n a n+1中，令n=1，2得到关系式，再由等差数列的性质可得a n,λ，从而求得b1,b3，再由等比数列的通项公式求得公比，进而得到b n；（2）由等差数列的前n项和公式可得S n，代入求出c n，利用裂项求和可得T n．18．【解析】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的数学期望和方差．（1）根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率可得结论；（2）分别列出两公司正确完成面试题数的所有取值，计算其相应的概率，得到分布列，代入公式求出期望和方差，比较它们的大小可得结论．19．【解析】本题主要考查线面垂直的判定与性质、用向量法求空间角的大小．（1）由平面几何知识易证ABFE是平行四边形，得AB//EF，从而AC⊥EF，由线面垂直的性质得PA⊥EF，由线面垂直的判定可得EF⊥平面PAC，由面面垂直的判定可得结论；（2）易证AC⊥平面PAB，则∠APC为直线PC与平面PAB所成的角．取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，以A坐标原点建立空间直角坐标系A−xyz．分别求出平面PBE和平面PAB的一个法向量，利用向量夹角公式可得结论．20．【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、数量积的坐标运算及点到直线的距离．（1）设出点A坐标，由A、B点坐标可得圆C的方程，直线x=1方程联立，得关于y的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可得线段MN的长；（2）设出直线l的方程，与抛物线方程联立，消去x得关于y的一元二次方程，利用韦达定理、数量积的坐标运算及点到直线的距离公式可求出l的方程．21．【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值和不等式恒成立问题．（1）求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，与已知切线方程比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，则可得k值．（2）分k>2和0<k≤2两种情况讨论．将不等式转化，利用导数研究函数的单调性和最值，则结论可得．22．【解析】本题主要考查将极坐标方程化成直角坐标方程，点到直线的距离及简单的线性规划的应用．（1）利用x=ρcosθ,y=ρsinθ及两角和的余弦公式将l的极坐标方程化成直角坐标方程，设出P的参数坐标，由点到直线的距离公式及余弦函数的性质可得最值；（2）问题转化为对∀t∈R，acost−2sint+4>0恒成立．利用辅助角公式及余弦函数的值域可得结论．23．【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解．（1）利用绝对值三角不等式可得f(x)的最小值，易得g(x)的最大值，问题转化为g(x)的最大值大于f(x)的最小值．为方程f(x)=g(x)的根，代入可求得a；当x<2时，由g(x)=f(x)min求出x，验证可得b，（2）由题知，72则a+b可得.。
河南省焦作市2017-2018学年高三数学二模试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年河南省焦作市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．集合A={1，2，3，4}，B={x∈R|x≤3}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3} D．{1，4}2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i3．以下四个：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②对于两个相关随机变量x，y而言，点P（，）在其回归直线上；③在回归直线方程=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；④两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于1；其中真为（）A．①④ B．②④ C．①③ D．②③4．在平面直角坐标系中，已知向量=（1，2），﹣=（3，1），=（x，3），若（2+）∥，则x=（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣15．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：据上表得回归直线方程=x+，其中=0.76，=﹣，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元6．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4π B．π C．π D．20π7．某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（）A．B．C．D．8．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（）A．36种B．30种C．24种D．6种9．在直角坐标系中，P点的坐标为，Q是第三象限内一点，|OQ|=1且，则Q点的横坐标为（）A．B．C．D．10．设函数f（x）=，则当x＞0时，f表达式的展开式中常数项为（）A．﹣20 B．20 C．﹣15 D．1511．已知双曲线C：﹣=1（b＞0）的一条渐进线方程为y=x，F1，F2分别为双曲线C的左右焦点，P为双曲线C上的一点，满足|PF1|：|PF2|=3：1，则|+|的值是（）A．4 B．2C．2D．12．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（）A．表达式的展开式中常数项为（）A．﹣20 B．20 C．﹣15 D．15【考点】二项式系数的性质．【分析】依题意，可求得f=，利用二项展开式的通项公式即可求得f表达式的展开式中常数项．【解答】解：当x＞0时，f==的展开式中，常数项为：=﹣20．故选A．11．已知双曲线C：﹣=1（b＞0）的一条渐进线方程为y=x，F1，F2分别为双曲线C的左右焦点，P为双曲线C上的一点，满足|PF1|：|PF2|=3：1，则|+|的值是（）A．4 B．2C．2D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线C：﹣=1（b＞0）的一条渐近线方程为y=x，求出b，c，利用|PF1|：|PF2|=3：1，可得|PF1|=6，|PF2|=2，再求|+|即可．【解答】解：∵双曲线C：﹣=1（b＞0）的一条渐近线方程为y=x，∴b=，∴c=，∵|PF1|：|PF2|=3：1，∴|PF1|=6，|PF2|=2，∴cos∠F1PF2==0，∴|+|2=36+4=40，∴|+|=2．故选：C．12．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（）A．，使得f（x0）＞g（x0）成立，即f（x）﹣g（x）＞0在x∈时有解，设F（x）=f（x）﹣g（x）=a（x﹣）﹣2lnx+=ax﹣2lnx＞0有解，x∈，即a，则F′（x）=，当x∈时，F′（x）=≥0，∴F（x）在上单调递增，即F m i n（x）=F（1）=0，因此a＞0即可．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假，则实数a的取值范围为．【考点】的真假判断与应用；函数恒成立问题．【分析】根据题意，原的否定“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”为真，也就是常见的“恒成立”问题，只需△≤0．【解答】解：原的否定为“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2．故答案为：14．若曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线与直线x+ay=1垂直，则实数a= 2 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数求出曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线斜率，根据切线与直线x+ay=1垂直的关系，求出a的值．【解答】解：∵y=xlnx，x＞0；∴y′=lnx+1，当x=e时，y′=lne+1=2；∴曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线斜率为k=2，又该切线与直线x+ay=1垂直，∴﹣•2=﹣1，解得a=2．故答案为：2．15．若多项式，则a9= ﹣10 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】先凑成二项式，再利用二项展开式的通项公式求出（x+1）9的系数．【解答】解：x3+x10=x3+10，题中a9（x+1）9只是10展开式中（x+1）9的系数故a9=C101（﹣1）1=﹣10．故答案为：﹣10．16．若x，y满足x2﹣2xy+3y2=4，则的最大值与最小值的和是 1 ．【考点】基本不等式．【分析】设x=rcosα，y=rsinα，（r＞0）；从而可得r2（cos2α﹣2cosαsinα+3sin2α）=4，而=，从而化简即可．【解答】解：设x=rcosα，y=rsinα，（r＞0）；∵x2﹣2xy+3y2=4，∴r2cos2α﹣2rcosαrsinα+3r2sin2α=4，∴r2（cos2α﹣2cosαsinα+3sin2α）=4，∴==（cos2α﹣2cosαsinα+3sin2α）=（1﹣sin2α+2sin2α）=（1﹣sin2α+1﹣cos2α）=（2﹣sin（2α+）），故当sin（2α+）=1时，有最小值（2﹣）；当sin （2α+）=﹣1时，有最大值（2+）；而（2﹣）+（2+）=1，故答案为：1．三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t ＜3），且三人是否应聘成功是相互独立的．（Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是，求t 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设ξ表示甲、乙两人中被聘用的人数，求ξ的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（I ）利用相互独立事件概率计算公式可得：，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙应聘成功的概率均为．ξ可取0，1，2．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式、数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题意，∴t=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙应聘成功的概率均为．ξ可取0，1，2．，，，∴．18．已知等差数列{a n}中，a10=19公差d≠0，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求a n；（2）设b n=a n2n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）由a1，a2，a5成等比数列，可得=a1•a5，即=a1•（a1+4d），与a10=19=a1+9d，联立解出即可得出．（2）b n=a n2n=（2n﹣1）•2n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵a1，a2，a5成等比数列，∴=a1•a5，即=a1•（a1+4d），∵a10=19=a1+9d，联立解得：a1=1，d=2．∴a n=2n﹣1．（2）b n=a n2n=（2n﹣1）•2n，∴数列{b n}的前n项和S n=2+3×22+…+（2n﹣1）•2n，2S n=22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，∴﹣S n=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1=﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴．19．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率．附：K2=．【考点】频率分布直方图；茎叶图；独立性检验．【分析】（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整，计算观测值k，对照数表得出概率结论；（Ⅱ）利用频率视作概率，得出X服从二项分布，求出对应的概率值．【解答】解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：假设H0：该学科成绩与性别无关，则K2的观测值k===3.125，因为3.125＞2.706，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关；（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率f==0.4视作概率；设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X，则X服从二项分布B（3，0.4），所求概率P=P（X=2）+P（X=3）=×0.42×0.6+×0.43=0.352．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=AC=1，BB1=2，B1C=2，∠ABB1=60°．（1）证明：AB1⊥平面ABC；（2）求AC1与平面BCB1所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连结AB1，在△ABB1中，利用余弦定理，求出AB1=，利用勾股定理证明AB1⊥AB，AB1⊥AC，即可证明AB⊥平面ABC．（2）以A为原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面BCB1的法向量，平面BCB1的一个法向量，利用向量的数量积求解AC1与平面BCB1所成角的正弦值即可．【解答】解：（1）连结AB1，在△ABB1中，AB=1．BB1=2，∠ABB1=60°，由余弦定理得，AB12=AB2+BB12﹣2AB•BB1cos∠ABB1=3，∴AB1=，…∴BB12=AB2+AB12，∴AB1⊥AB．…∵AB1=，AB=AC=1，B1C=2，∴B1C2=AB12+AC2，∴AB1⊥AC．所以AB⊥平面ABC（2）如图，以A为原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B1（0，0，），B（1，0，0），C（0，1，0），∴=（﹣1，0，﹣），=（﹣1，1，0）．设平面BCB1的法向量=（x，y，z），由，得，令z=1，得x=y=．∴平面BCB1的一个法向量为=（，，1）．…∵==（﹣1，1，）…∴cos===…．…∴AC1与平面BCB1所成角的正弦值为：．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（1，）在该椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）不垂直坐标轴的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点，且线段AB的垂直平分线交y轴于点P（0，﹣），求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆所过点A可求得b值，由离心率及a2=b2+c2可求得a值，从而得椭圆方程；（2）设直线方程y=kx+t及A、B点的坐标，将直线方程代入椭圆方程，化简整理关于x的一元二次方程，利用韦达定理分别求得x1+x2和x1•x3的值，写出y1+y2和y1•y2的表达式，由题意AB为直径的圆过原点，可知，根据向量数量积的坐标化简整理5t2=4+4k2，△＞0，解得t＜﹣或t＞，设出中点坐标，由中点坐标公式及直线PD与直线l垂直，求得t的值，即可求得k的值，写出直线方程．【解答】解：（1）由题意得，a2=b2+c2，解得：a=2，b=1，所以椭圆C的方程是．…（2）设直线l的方程为y=kx+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立消去y得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，则由△＞0⇒4k2+1＞t2，x1+x2=，x1•x3=，…y1+y2=kx1+t+kx2+t=k（x1+x2）+2t=，y1•y2=（kx1+t）×（kx2+t）=k2x1x2+kt（x1+x2）+t2，=k2×+kt（）+t2，=，∵以AB为直径的圆过坐标原点，所以⇒x1x2+y1y2=0，∴x1x2+y1y2=+=0，∴5t2=4+4k2，…△＞0⇒4k2+1＞t2，t＜﹣或t＞，又设AB的中点为D（m，n），则有：，∵直线PD与直线l垂直，所以=⇒=，…由解得，当t=﹣时，△＜0舍去当t=1时，k=±，∴所求直线方程为y=x+1或y=﹣x+1．…22．设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k）f´（x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①令g（x）=，则g′（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．2016年7月5日。
【全国市级联考】河南省六市2017届高三下学期第二次联考数学(理)(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C2. 设复数（为虚数单位），则的虚部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意可知：，则的虚部是.本题选择A选项.3. 函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：易得该函数为奇函数可排除A,当时，故选B．考点：函数的图象．4. 如图，，，，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示，是异面直线的图形的序号为（）① ②③④A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】D【解析】解：由题意可得图①中GH与MN平行，不合题意；图②中的GH与MN异面，符合题意；图③中GH与MN相交，不合题意；图④中GH与MN异面，符合题意。
则表示，是异面直线的图形的序号为：②④.本题选择D选项. 学#科网5. 已知圆.设条件：，条件：圆上至多有2个点到直线的距离为1，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C6. 若，则的展开式中的常数项（）A. B. C. 20 D.【答案】B【解析】解：由题意可得：表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，故，则，其通项公式为，令6-2k=0，即k=3，故常数项为.本题选择B选项.7. 若不等式组，所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．8. 阅读算法框图，如果输出的函数值在区间上，则输入的实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D本题选择D选项.点睛：本题考查的实质问题是分段函数，当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．9. 某同学用“随机模拟方法”计算曲线与直线，所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间上的均匀随机数和10个区间上的均匀随机数（，），其数据如下表的前两行.由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A. B. C. D.【答案】A10. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为（）A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱 【答案】B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则,故选B.11. 已知函数，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】试题分析：，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得，则，，，因为，最小值为．故选A ．考点：三角函数图象变换，三角函数的对称轴．12. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，直线过与双曲线交于，两点，若，，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）A.和B.和C.和D.和【答案】C本题选择C选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 向量，，若，则__________．【答案】314. 已知是首项为32的等比数列，是其前项和，且，则数列的前10项和为__________．【答案】58【解析】解：∵{a n}是首项为32的等比数列,S n是其前n项和,且，∴，解得：，∴，∴|log2a n|=|7−2n|，∴数列{|log2a n|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58.15. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线与粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为__________．【答案】该多面体外接球的表面积为：.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16. 若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为__________．【答案】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.【答案】（1）（2）2【解析】试题分析：（1）根据正弦定理，，，代入原式，整理为，再公共辅助角公式化简，根据，计算角；（2）因为知道代入余弦定理，，得到，最后代入面积公式，计算面积．试题解析：（1）在△中，由正弦定理得，即，又角为三角形内角，所以，即，又因为，所以．考点：1．正弦定理；2．余弦定理；3．面积公式．18. 某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表，规定：、、三级为合格等级，为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照，，，，的分组做出频率分布直方图如图甲所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图乙所示.（1）求和频率分布直方图中的，的值；（2）根据利用样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为事件时间发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从、两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记表示所抽取的3名学生中成绩为等级的人数，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(I)借助题设条件运用频率分布直方图求解；(II)依据题设对立事件的概率公式求解；（III）依据题设运用随机变量的数学期望公式探求.试题解析：（Ⅰ）由题意可知，样本容量（Ⅱ）成绩是合格等级人数为：人，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，故从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为，设在该校高一学生中任选3人，至少有1人成绩是合格等级的事件为，则；（Ⅲ）由题意知等级的学生人数为人，等级的人数为人，故的取值为0，1，2，3，，所以的分布列为：考点：频率分布直方图及对立事件的概率公式、数学期望计算公式等有关知识的综合运用．19. 如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，，，，.（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得平面，然后利用面面垂直的判断定理即可证得平面平面.(2)由题意可得，当且仅当时，三棱锥体积最大,建立空间直角坐标系可得二面角（2）因为平面，，所以平面，，在中，，由（1）知，当且仅当时，等号成立.如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，.则，，，.设平面的一个法向量为，则，即，∴，取，则20. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）点在椭圆上，且在第一象限内，直线与圆相切于点，且，求点的纵坐标的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由求出的值；（2）先考虑特殊情况:直线的斜率不存在,求出；一般情况,直线:,利用直线与圆相切,向量垂直的条件:数量积为零,求出点的纵坐标的值．试题解析：（1）∴，，∴，∴椭圆方程为．（2）①当轴时，，，由，解得．②当不垂直于轴时，设，方程为，即，∵与圆相切，∴，∴，∴，又，所以由，得，∴，∴．综上：．考点：1.椭圆的简单几何性质；2.向量垂直条件.【思路点晴】本题主要考查直线,圆椭圆之间的位置关系,属于中档题. 在（1）中,利用椭圆的离心率和焦点坐标,求出椭圆的标准方程；在（2）中,分两种情况讨论,直线的斜率是否存在,分别求出点的纵坐标的值,要用到直线和圆相切的条件:,直线垂直得到向量垂直,向量数量积为零,再化简整理,求出的值.21. 已知函数，，（其中是自然对数的底数）.（1），使得不等式成立，试求实数的取值范围.（2）若，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：，当时，，故在区间上单调递增，所以时，取得最小值.又，由于，，，所以，故在区间上单调递减，因此时，取得最大值.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以当且仅当时，取得极小值也就是最小值为1.令，其可看作点与点连线的斜率，所以直线的方程为，由于点在圆，所以直线与圆相交或相切.当直线与圆相切且切点在第二象限时，直线的斜率取得最大值为1.故时，；时，.综上所述：时时，成立.22. 在极坐标系中，曲线的方程为，点.（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，点的极坐标化为直角坐标；（2）设为曲线上一动点，以为对角线的矩形的一边垂直于极轴，求矩形周长的最小值，及此时点的直角坐标.【答案】（1）（2）当，，矩形的最小周长为4，点.考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，椭圆的参数方程，正弦函数的性质．23. 设函数，.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式的解集为，且两正数和满足，求证：.【答案】（1）（2）6【解析】试题分析：(1)将不等式写成分段函数的形式求解不等式的解集为；(2)利用题意可得，利用均值不等式的性质结合题意整理计算即可证得结论. 试题解析：解：（1）不等式即，∴①或②或③，由①，得；由②得，；由③，得.所以原不等式的解集为（2）不等式即，∴，∴且，∴.∴点睛：绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
【精选高中试题】河南省六市高三下学期第二次联考数学(理)试题 Word版含答案
2017年河南省六市高三第二次联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230A x x x =--≤，(){}ln 2B x y x ==-，则A B =（ ）A.()1,3B.(]1,3C.[)1,2-D.()1,2-2.设复数()221iz i +=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ）A.1－B.1C.i -D.i3.函数2ln xy x=的图象大致为（ ）ABCD4.如图，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH ，MN 是异面直线的图形的序号为（ ）① ② ③ ④ A .①②B.③④C.①③D.②④5.已知圆()()222:10C x y r r -+=>.设条件p ：03r <<，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线30x -+=的距离为1，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若1a -=⎰，则61ax x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项（ ）A.52B.52-C.20D.15-7.若不等式组20510080.x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点()00,x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a的取值范围是（ ） A.1a ≤-B.1a <-C.1a >D.1a ≥8.阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[]1,8上，则输入的实数x 的取值范围是（ ）A.[)0,2B.[]2,7C.[]2,4D.[]0,79.某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线x e =，0y =所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[]1,e 上的均匀随机数i x 和10个区间[]0,1上的均匀随机数i y （*i N ∈，110i ≤≤），其数据如下表的前两行.由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（ ） A.()315e - B.()215e - C.()315e + D.()215e + 10.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为（ ） A.54钱 B.43钱 C.32钱D.53钱 11.已知函数()()sin f x x x x R =∈，先将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（0θ>）个单位长度，得到的图象关于直线34x π=对称，则θ的最小值为（ ） A.6π B.3π C.512πD.23π 12.已知双曲线()22122:10,0x y a b a b Γ-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆222:186x y Γ+=的离心率为e ，直线MN 过2F 与双曲线交于M ，N 两点，若112cos cos FMN F F M ∠=∠，11F M e F N=，则双曲线1Γ的两条渐近线的倾斜角分别为（ ） A.30︒和150︒B.45︒和135︒C.60︒和120︒D.15︒和165︒ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.向量()1,1a =-，()1,0b =，若()()2a b a b λ-⊥+，则λ= ． 14.已知{}n a 是首项为32的等比数列，n S 是其前n 项和，且636564S S =，则数列{}2log n a 的前10项和为 ．15.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线与粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 ．16.若曲线()21:0C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A +=. （1）求角A 的大小；（2）若a =2b =，求ABC △的面积.18.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表，规定：A 、B 、C 三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[)90,100的分组做出频率分布直方图如图甲所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图乙所示.（1）求n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；（2）根据利用样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为事件时间发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A 、C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示所抽取的3名学生中成绩为C 等级的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望.19.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC EB ∥，DC EB =，4AB =，1tan 4EAB ∠=.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当三棱锥C ADE -体积最大时，求二面角D AE B --的余弦值.20.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点()1,0F .（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆C 上， 且在第一象限内，直线PQ 与圆222:O x y b +=相切于点M ，且OP OQ ⊥，求点Q 的纵坐标t 的值.21.已知函数()sin cos x f x e x x =-，()cos x g x x x =，（其中e 是自然对数的底数）. （1）10,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，20,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得不等式()()12f x g x m +≥成立，试求实数m 的取值范围.（2）若1x >-，求证：()()0f x g x ->.22.在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ=+，点4R π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；（2）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标. 23.设函数()f x x a =-，a R ∈.（1）当2a =时，解不等式()625f x x ≥--；（2）若关于x 的不等式()4f x ≤的解集为[]1,7-，且两正数s 和t 满足2s t a +=，求证：186s t+≥.2017年河南省六市高三第二次联考数学（理科）参考答案一、选择题1-5:CABDC 6-10:BADAB 11、12：AC二、填空题13.3 14.58 15.414π16.2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17.解：（1）在ABC △中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A +=， 即()sin sin cos 0B A A +=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以sin cos 0A A +=04A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为()0,A π∈，所以34A π=.（2）在ABC △中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，则22044c c ⎛=+-⋅ ⎝⎭，即2160c +-=，解得c =-c =又1sin 2S bc A =，所以1222S =⨯⨯=.18.解：（1）由题意可知，样本容量6500.01210n ==⨯.20.0045010x ==⨯，10.040.10.120.560.01810y ----==.（2）样本中成绩是合格等级的人数为()10.15045-⨯=人，成绩是合格等级的频率为4595010=，故从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为910. 设从该校高一学生中任选3人，至少有1人成绩是合格等级的事件为A ，则()3999911101000P A ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.（3）样本中C 等级的学生人数为0.18509⨯=人，A 等级的学生人数为3人，故ξ的所有可能取值为0，1，2，3，()0P ξ==()3331210220C P C ξ===，()1293312271220C C P C ξ===，()219331210827222055C C P C ξ====，()393128421322055C P C ξ====，所以ξ的分布列为：12757219012322022055554E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.解：（1）因为AB 是直径，所以BC AC ⊥， 因为CD ⊥平面ABC ，所以CD BC ⊥， 因为CDAC C =，所以BC ⊥平面ACD ，因为CD BE ∥，CD BE =， 所以四边形BCDE 是平行四边形， 所以BC DE ∥，所以DE ⊥平面ACD ，因为DE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面ACD . （2）因为DC ⊥平面ABC ，DC BE ∥， 所以BE ⊥平面ABC ，BE AB ⊥， 在Rt ABE △中，1tan 414EB AB EAB =⨯∠=⨯=， 由（1）知()2221111114332612123C ADEE ACD ACD V V S DE AC CD DE ACBC AC BC AB --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯≤⨯+=⨯=△，当且仅当AB BC ==时，等号成立.如图所示，建立空间直角坐标系，则()0,0,1D ，()E ，()A ，()B .则()AB =-，()0,0,1BE =，()DE =，()1DA =-. 设平面DAE 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则1100n DE n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩， ∴10y =，取11x =，则(1n =，设平面ABE 的一个法向量为()2222,,n x y z =， 则2200n BE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22200z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，∴20z =，取21x =，则()21,1,0n =，∴121212cos ,9n n n nn n ⋅<>===， ∴二面角D AE B --的余弦值为. 20.解：（1）121c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴1c =，2a =，∴b∴椭圆方程为22143x y +=.（2）①当PM x ⊥轴时，P⎭，)Q t ，由0OP OQ ⋅=，解得t =-②当PM 不垂直于x 轴时，设()00,P x y ，PQ 方程为()00y y k x x -=-，即000kx y kx y --+=， ∵PQ 与圆O =∴()220033kx y k -=+，∴22220000233kx y k x y k =+--， 又00,t y kx Q t k -+⎛⎫⎪⎝⎭，所以由0OP OQ ⋅=，得()00000x y kx t x ky -=+， ∴()()()()2222220000000222222222222000000000033233x k x y kx x kx y t x k y kx y x k y k x y k x ky +--===+++++--+()()()220222220033123113334x k k x k x k +==⎛⎫+++---⎪⎝⎭∴t =±综上：t =±21.解：（1）因为不等式()()12f x g x m +≥等价于()()12f x m g x ≥-，所以10,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，20,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得不等式()()12f x g x m +≥成立，等价于()()()12min min f x m g x ≥-，即()()12min max f x m g x ≥-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()'sin cos sin 0x x f x e x e x x =++>，故在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以0x =时，()y f x =取得最小值1-.又()'cos sin x g x x x x =+-，由于0cos 1x ≤≤，sin 0x x ≥x ≥所以()'0g x <，故()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此0x =时，()g x取得最大值所以(1m -≥-，所以1m ≤.所以实数的取值范围为(,1-∞-. （2）当1x >-时，要证()()0f x g x ->，只要证()()f x g x >，只要证sin cos cos x x e x x x x ->-，只要证(()sin 1cos x e x x x +>+，由于sin 0x ，10x +>，只要证1x e x +. 下面证明1x >-时，不等式1x e x >+成立， 令()()11xe h x x x =>-+，则()()()()221'11x x x e x e xe h x x x +-==++， 当()1,0x ∈-时，()'0h x <，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()'0h x >，()h x 单调递增.所以当且仅当0x =时，()h x 取得极小值也就是最小值为1.令k =，其可看作点()sin ,cos A x x与点()B 连线的斜率，所以直线AB的方程为(y k x =，由于点A 在圆221x y +=，所以直线AB 与圆221x y +=相交或相切.当直线AB 与圆221x y +=相切且切点在第二象限时，直线AB 的斜率k 取得最大值为1. 故0x =时，()10k h <=；0x ≠时，()1h x k >≥. 综上所述：时1x >-时，()()0f x g x ->成立. 22.解：（1）∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为2213x y +=.点R 的直角坐标为()2,2R . （2）设),sin Pθθ，根据题意可得2PQ θ=，2sin QR θ=-，∴()42sin 60PQ QR θ+=-+︒， 当30θ=︒时，PQ QR +取最小值2， 所以矩形PQRS 周长的最小值为4. 此时点P 的直角坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭.23.解：（1）不等式即2256x x -+-≥，∴①52256x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-+-≥⎩或②5222526x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-+-≥⎩或③22526x x x <⎧⎨-+-≥⎩， 由①，得133x ≥；由②得，x ϕ∈；由③，得13x ≤. 所以原不等式的解集为113,,33⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）不等式()4f x ≤即44x a -≤-≤，∴44a x a -≤≤+，∴41a -=-且47a +=，∴3a =. ∴()181181161210106333t s s t s t s t s t ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝。
2017届高三第二次模拟考试 数学理 (含答案)word版
2017年高考考前适应性训练数学（理工农医类）本试卷共4页，分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数ii ++113的虚部是A.i -B.1-C.iD.12.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=143422y x x A ，{}2x y y B ==，则B A ⋂=A.[]2,2-B.[]2,0C.0.4D.0.83.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()(σσ2,1N ＞)0，若ξ在（0.2）内取值的概率为0.8，则ξ在()1,0内取值的概率为 A.0.1B.0.2C.0.4D.0.84. 已知两条直线 a ，b 与两个平面α、αβ⊥b ,，则下列命题中正确的是 ①若,//αa 则b a ⊥；②若b a ⊥，则a//α；③若β⊥b ，则βα// ； ④若βα⊥，则b//β. A. ①③B.②④C.①④D.②③5.已知点P 在圆522=+y x 上，点Q （0，—1），则线段PQ 的中点的轨迹方程是 A.022=-+x y xB.0122=-++y y x C.0222=--+y y xD.022=+-+y x y x6.已知a x x p ≥-+-910:的解集为R ，aq 1:＜1，则⌝p 是q 的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A 班和文史类专业的B 班各抽取20名同学参加环保知识测试.统计得到成绩与专业的列联表： 附：参考公式及数据： （1）卡方统计量()()()()()22122111222112112211222112n n n n n n n n n n n n n x ++++-=(其中)22211211n n n n n +++=；（2）独立性检验的临界值表：则下列说法正确的是A.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关8.函数()(()⎩⎨⎧≤++-=0142ln 2x x x x x x x f 的零点个数为A.0B.1C.2D.39.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为 A.π416+ B.π412+ C.π816+ D.π812+10.已知函数()x f 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，()()[]()1212x x x f x f --＜0恒成立，设()()3,2,21f c f b f a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，则a 、b 、c 的大小关系为 A.c ＞a ＞bB.c ＞b ＞aC.a ＞c ＞bD.b ＞a ＞c11.已知双曲线154:22=-y x C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且212F F PF =，则21PF ⋅等于A.24B.48C.50D.5612.对于定义域为D 的函数()x f ，若存在区间[](a D b a M ⊆=,＜)b ，使得(){}M M x x f y y =∈=,，则称区间M 为函数()x f 的“等值区间”.给出下列四个函数：①();2xx f =②();3x x f =③();sin x x f =④().1log 2+=x x f则存在“等值区间”的函数的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个＞)0第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：1.将第II 卷答案用0.5mm 的黑字签字笔答在答题纸的相应位置上。
2017届高三第二次教学质量检测数学理试题(12页有答案)
-1012}012}01}-101}-1012} 23B．5A．4C．D．3[+高三年级第二次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2，，，，，B={x|-2<x≤2}，则A B=A．{-1，，，B．{-1，，C．{-2，，，D．{-2，，，，2.复数2-i1+i对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量a=(2,-1),b=(3,x)，若a⋅b=3，则x=A．3B．4C．5D．64.已知双曲线x2y2-a b23=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为457445.已知条件p：x-4≤6；条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是A．(-∞,-1]B．(-∞,9]C．1,9]D．[9，∞)6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S=A．14B．30C．62D．1268.已知α,β是两个不同的平面，l,m,n是不同的直线，下列命题不正确的是A．πA．332D．27.(x-1)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是xA．56B．35C．－56D．－35．．．A．若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥αB．若l//m,l⊂/α,m⊂α,则l//αC．若α⊥β,αβ=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥βD．若α⊥β,m⊥α,n⊥β,，则m⊥n9.已知f(x)=sin x+3cos x(x∈R)，函数y=f(x+ϕ)的图象关于直线x=0对称，则ϕ的值可以是πππB．C．D．263410.男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是A．2人B．3人C．2人或3人D．4人11.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B(点A在x轴下方)，点A与1点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A B的斜率为12B．3C．12.下列结论中，正确的有①不存在实数k,使得方程x ln x-1x2+k=0有两个不等实根；2②已知△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为π6；③函数y=ln与y=ln tan x2是同一函数；④在椭圆x2y2+a2b2=1(a>b>0)，左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A,B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④13.已知等比数列{a}的前n项和为S，且a+a=5n2414.已知实数x、y满足约束条件⎨y≥2,则z=2x+4y的最大值为______．⎪x+y≤6②若a∈(0,1)，则a<a1+11-x是奇函数(第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.5,a+a=，则S=__________．n13246⎧x≥2⎪⎩15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为__________．16.下列命题正确是．(写出所有正确命题的序号)①若奇函数f(x)的周期为4，则函数f(x)的图象关于(2,0)对称；③函数f(x)=ln；三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=A+高三理科数学试题和答案第3页共6页π2．， 20 40 60 80 ，（1）求 cos B 的值；（2）求 sin 2 A + sin C 的值．18.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC - A B C 中，侧棱 AA ⊥ 平面 ABC ， ∆ABC 为等腰直角三角形，1 1 1 1∠BAC = 90 ，且 AA = AB ， E , F 分别是 C C , BC 的中点．1 1（1）求证：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ；1（2）求二面角 B - AE - F 的余弦值．119.（本小题满分 12 分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0 100]，样本数据分组为第一组[0， )，第二组[20， )，第 三组 [40， )，第四组 [60， )，第五组 [80 100]．（1）求直方图中 x 的值；（2）如果年上缴税收不少于 60 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业 1200 家，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从所抽取的企业中任选 4 家，这 4 家企业年上缴税收少于 20 万元的家数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）= 1(a > b > 0) 经过点 P (2, 2) ，离心率 e = ，直线 l 的方程为 220．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C ： x 2 y 2+ a 2 b 22 2x = 4 ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过椭圆右焦点 F 的任一直线（不经过点 P ）与椭圆交于两点 A ， B ，设直线 AB 与l 相交于点 M ，记 P A , PB , PM 的斜率分别为 k , k , k ，问：是否存在常数 λ ，使得1 2 3k + k = λ k ？若存在，求出 λ 的值，若不存在，说明理由．12321.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ax + ln x ，其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数．（1）当 a = -1 时，求 f ( x ) 的最大值；（2）若 f ( x ) 在区间 (0, e ] 上的最大值为 -3 ，求 a 的值；（3）设 g ( x ) = xf ( x ), 若 a > 0, 对于任意的两个正实数 x , x ( x ≠ x ) ，1 2 1 2证明： 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x ) ．1 2请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用⎪⎪ 5⎩17．解：（1）∵ B = A + ， ∴ A = B -， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 分 ==2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程⎧3 x =- t + 2 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨ ( t 为参数)，以原点 O 为极点， x⎪ y = 4 t ⎪5轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ρ = a sin θ ．（1）若 a = 2 ，求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；（2）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，求 a 的值．23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 f ( x ) = 2x -1 + 2x + 5 ，且 f ( x ) ≥ m 恒成立．（1）求 m 的取值范围；（2）当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式： x - 3 - 2x ≤ 2m - 8 ．高三第二次质量检测理科数学答案一．ADABD CCABC CA二．13．631614．20 15． 61 16．①③ππ2 23 4 又 a = 3, b = 4 ，所以由正弦定理得 ，sin Asin B34所以， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3 分- cos B sin B所以 -3sin B = 4cos B ，两边平方得 9sin 2 B = 16cos 2 B ，3又 sin 2 B + cos 2 B = 1 ，所以 cos B = ± ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分5π 3而 B > ，所以 cos B = - ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 53 4（2）∵ cos B = - ，∴ sin B = ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分5 5∴面 ABC ⊥ 面 BB C C..........2 分+ = 则 F (0,0,0) ， A ( 22 2 2 2 2 1 ∵ B = A +π2，∴ 2 A = 2 B - π ，∴ sin 2 A = sin(2 B - π ) = - sin 2 B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分4 3 24= -2sin B cos B = -2 ⨯ ⨯ (- ) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分5 5 25又 A + B + C = π ，∴ C = 3π 2- 2 B ，7 24 7 31∴ sin C = - cos 2 B = 1 - cos 2 B = ．∴ sin 2 A + sin C = ． (12)25 25 25 25分18．解答： （1）证明：∵ F 是等腰直角三角形 ∆ABC 斜边 BC 的中点，∴ AF ⊥ BC ．又∵侧棱 AA ⊥ 平面ABC ，11 1∴ AF ⊥ 面 BB 1C 1C ， AF ⊥ B 1F ．…3 分设 AB = AA = 1 ，则1，EF= ， ．∴ B F 2 + EF 2 = B E 2 ，∴ B F ⊥ EF ．.......... 4 分1 11又 AF ⋂ EF = F ，∴ B F ⊥平面 AEF ．…1而 B F ⊂ 面 AB F ，故：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5 分1 11（2）解：以 F 为坐标原点， FA ， FB 分别为 x ， y 轴建立空间直角坐标系如图，设 AB = AA = 1 ，12 2 1,0,0) ， B (0, - ,1) ， E (0, - , ) ，12 2 1 2 2AE = (- , - , ) , AB = (- , ,1) ．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 2 2 2 2由（1）知， B F ⊥平面 AEF ，取平面 AEF 的法向量：12m = FB = (0, ,1) ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分14 4 256 4 4 4 644 4 64 4 4 64设平面 B AE 的法向量为 n = ( x , y , z ) ，1由取 x = 3 ，得 n = (3, -1,2 2) (10),分设二面角 B - AE - F 的大小为θ ，1则 cos θ=|cos ＜＞|=| |= ．由图可知θ 为锐角，∴所求二面角 B - AE - F 的余弦值为．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分119．解答： 解：（I ）由直方图可得： 20 ⨯ (x + 0.025 + 0.0065 + 0.003 ⨯ 2) = 1解得 x = 0.0125 ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分（II ）企业缴税收不少于 60 万元的频率 = 0.003 ⨯ 2 ⨯ 20 = 0.12 ， ∴1200 ⨯ 0.12 = 144 ．∴1200 个企业中有144 个企业可以申请政策优惠．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（III ） X 的可能取值为 0,1,2,3,4 ．由（I ）可得：某个企业缴税少于 20 万元的概率 = 0.0125 ⨯ 20 = 0.25 =分1 3 81 1 3 27P ( X = 0) = C 0 ( )0 ( )4 = P ( X = 1) = C 1 ( )1 ( )3 = 41 3 27 1 3 3P ( X = 2) = C 2 ( )2 ( )2 = P ( X = 3) = C 3 ( )3 ( )1 =4 4 14 (5)X0 1 2 3 44 4 256∴ E ( X ) = 0 ⨯ 81+ = 1 ① 又e = , 所以 = = 4, a = 8,b 1 + 2k 2 1 + 2k 2, x x = x - 2 x - 22, k = k = 2k - 2 4 - 2 2P8125627 64 27 64 3 64 1 2561 3 1P ( X = 4) = C 4 ( )4 ( )0 =4...................................... 10 分............. 11 分27 27 3 1+ 1⨯ + 2 ⨯ + 3 ⨯ + 4 ⨯= 1． ....12 分25664 64 64 25620．解：（1）由点 P (2, 2) 在椭圆上得， 4 2 2 c 2 a 2 b 2 2 a 2②由 ①②得 c 2 2 2 = 4 ，故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2+ = 1 ……………………..4 分 8 4（2）假设存在常数 λ ，使得 k + k = λ k .1 23由题意可设 AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为 y = k ( x - 2) ③代入椭圆方程x 2 y 2+ = 1 并整理得 (1+ 2k 2 ) x 2 - 8k 2 x + 8k 2 - 8 = 0 8 48k 2 8k 2 - 8设 A ( x , y ), B ( x , y ) ，则有 x + x = ④ ……………6 分 1 1 2 2 1 2 1 2在方程③中，令 x = 4 得， M (4,2 k ) ，从而 k = y 1 - 2 y 2 - 21 2 1,3 2= k - .又因为 A 、F 、B 共线，则有 k = k AF = k BF ，即有y当 a = -1 时， f ( x ) = - x + ln x ， f ' ( x ) = -1 + 1①若 a ≥ - ，则 f ' ( x ) ≥ 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, e ] 上是增函数，y1=2= k ……………8 分x - 2x - 21 2所以 k + k = 1 2 y - 2 y - 2 1 + 2 x - 2 x - 21 2= y y 1 11 +2 - 2( + )x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 1 2 1 2= 2k - 2x 1 + x 2 - 4x x - 2( x + x ) + 41 212⑤ ……………10 分将④代入⑤得 k + k = 2k - 2 1 2 8k 2- 41 + 2k2 8k 2 - 8 8k 2- 2 + 41 + 2k2 1 + 2k 2= 2k - 2 ，又 k = k - 32 2 ，所以 k + k = 2k 1 2 3 . 故存在常数 λ = 2 符合题意…………12 分21.【解答】解：（1）易知 f ( x ) 定义域为 (0, +∞) ，1 - x= ，x x令 f ' ( x ) = 0 ，得 x = 1 ．当 0 < x < 1 时， f ' ( x ) > 0 ；当 x > 1 时， f ' ( x ) < 0 ． (2)分∴ f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数，在 (1,+∞) 上是减函数．f ( x )max= f (1) = -1．∴函数 f ( x ) 在 (0, +∞) 上的最大值为 -1 ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（2）∵ f '( x ) = a + 1 1 1, x ∈ (0, e ], ∈ [ , +∞) ．x x e1e∴ f ( x )max= f (e ) = ae + 1 ≥ 0 ，不合题意． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分11② 若 a < - ，则由 f ' ( x ) > 0 ⇒ a +ex> 0 ，即 0 < x < -1a11由 f ' ( x ) < 0 ⇒ a +< 0 ，即 - < x ≤ e ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分xa从而 f ( x ) 在 (0, - ) 上增函数，在 (- （3）法一：即证 2a ( x + x 2) + 2( 12 )ln( 222 2 x 2 x21 1a a, e ) 为减函数∴ f ( x ) max 1 1 = f (- ) = -1 + ln(- ) a a1 1令 -1 + ln(- ) = -3 ，则 ln(- ) = -2a a∴- 11= e -2 -e 2 < -a ，即 a = -e 2．∵ e ，∴ a = -e 2 为所求 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分1 1 x + x x + x2 2 22 ) ≤ ax 2 + ax 2 + x ln x + x ln x 1 2 1 1 222a ( x + x ( x + x )21 2 )2 - ax 2 - ax 2 = a ⋅[ 1 21 2- x 2 - x 2 ]1 2( x - x )2= -a 1 2 2< 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 9 分另一方面，不妨设 x < x ，构造函数1 2k ( x ) = ( x + x )ln(1x + x12) - x ln x - x ln x ( x > x )1 1 1x + xx + x则 k ( x ) = 0 ，而 k ' ( x ) = ln 1 - ln x = ln 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分1x + x由 0 < x < x 易知 0 < 11< 1 , 即 k ' ( x ) < 0 ， k ( x ) 在 ( x , +∞) 上为单调递减且连续， 1x + x故 k ( x ) < 0 ，即 ( x + x )ln( 11) < x ln x + x ln x 1 1相加即得证⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分1法二： g ' ( x ) = 2ax + 1 + ln x , g '' ( x ) = 2a + > 0.........9 分x故 g ' ( x ) 为增函数，不妨令 x > x 21令 h ( x ) = g ( x ) + g ( x ) - 2 g (1x + x12)( x > x )1h ' ( x ) = g '(x ) - g ' (x + x12) ......... 10 分易知 x > x + x x + x1 ， 故h ' ( x ) = g '(x ) - g ' ( 12 2) > 0 (11)分而 h ( x ) = 0 ， 知 x > x 时， h ( x ) > 0112(2)圆 C ： x 2 + y - a ⎫2∴圆心 C 到直线的距离 d = 2- 8 得 a = 32 或 a = 32 ⎪ -4 x - 4, x < - 523.解 (1) f (x) = ⎨6, - 5⎩ 4 x + 4, x > 22 ≤ x ≤ ⎩3 - x - 2 x ≤4 ⎧ 3 ≤ x < 3 .所以，原不等式的解集为 ⎨⎧x x ≥ - ⎬ .故 h ( x ) > 0 ， 即 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x )21 2 (12)分22.解 (1) a = 2 时，圆 C 的直角坐标方程为 x 2 + (y -1)2 = 1 ；直线 l 的普通方程为 4 x + 3 y - 8 = 0 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分⎛⎪ = ⎝ 2 ⎭a 2 4 ，直线 l : 4 x + 3 y - 8 = 0 ，∵直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，3a1 a5 = 2 ⨯ 2 ，11 .⎧2 ⎪1 ⎪2 ≤ x ≤ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分⎪1 ⎪ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分当 - 5 12 时，函数有最小值 6 ，所以 m ≤ 6 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分另解：∵ 2x -1 + 2x + 5 ≥ (2x -1) - (2x + 5) = -6 = 6 .∴ m ≤ 6 .(2)当 m 取最大值 6 时，原不等式等价于 x - 3 - 2x ≤ 4 ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分等价于 ⎨ x ≥ 3 ⎩ x - 3 - 2x ≤ 4 ⎧ x < 3 ，或 ⎨，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分可得 x ≥ 3 或 - 11 ⎫ ⎩ 3 ⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分。
河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷(含答案)
河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷一、选择题：共12题1．设集合{|(5)4}A x x x =-＞，{|}B x x a =≤，若A B B =，则 的值可以是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数32i 2ia z +=-，在复平面对应的点在第四象限，则实数 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(4,)+∞C ．(1,4)-D ．(4,1)--3．为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（ ）4．已知23cos tan 3θθ=+，且πk θ≠（k ∈Z ），则sin[2(π)]θ-等于（ ） A ．13-B ．13C ．23D ．23-5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出 1.5S =(单位：升)，则输入 的值为（ ）+A ．4.5B ．C ．7.5D ．6．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）过点，过点(0,2)-的直线 与双曲线 的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为23，则双曲线 的实轴长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．7．若()f x 为奇函数，且0x 是函数()e xy f x =-的一个零点，则下列函数中，0x -一定是其零点的函数是（ ）A ．()e 1x y f x -=--B ．()e 1x y f x -=+C ．()e 1x y f x -=-D ．()e 1x y f x -=-+8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．113C ．4D ．1439．在ABC △中，60BAC ∠=︒，5AB =，4AC =，D 是 上一点，且5AB CD =，则||BD 等于（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b ＞＞）的右焦点为2F ，O 为坐标原点， 为 轴上一点，点 是直线 与椭圆 的一个交点，且2||||2||OA OF OM ==，则椭圆 的离心率为（ ）A ．13B ．25C D 11．如图，矩形 中，2AB AD = 为边 的中点，将ADE △沿直线DE 翻转成1A DE △ 平面)，若 分别为线段 的中点，则在ADE △翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A ．与平面 垂直的直线必与直线 垂直B ．异面直线 与 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱 的长之比为定值 12．若曲线1()ln(1)f x a x =+（2e 1e 1x --＜＜）和32()g x x x =-+（0x ＜）上分别存在点 ，使得AOB△是以原点 为直角顶点的直角三角形，且斜边 的中点 轴上，则实数 的取值范围是（ ） A ．2(e,e )B ．2(e e,2)C ．2(1,e )D ．[1,e)二、填空题：共4题13．已知实数 满足条件302403x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22(1)z x y =++的最小值为________．14．把3男2女5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为________．15．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0ω>，π||2ϕ＜）的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像向右平移7π24个单位后得到函数()g x 的图像，若函数()g x 在区间[]π,3θ-（π3θ-＞）上的值域为[]1,2-，则θ=________．16．在ABC △中， 分别是角 的对边，ABC △的面积为S ，22()tan 8a b C S +=，且s i n c o s 2c o s s i A B A B =，则cos A =．________ 三、解答题：共7题17．已知等差数列{}n a 的前+()n n ∈N 项和为n S ，33a =，且1n n n S a a λ+=，在等比数列{}n b 中，12b λ=，3151b a =+．（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前+()n n ∈N 项和为n T ，且()12n n nS c +=，求n T ．18．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每道题目的回答都是相互独立、互不影响的． （1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？19．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面 ，底面 是直角梯形，90ADC ∠=︒，AD BC ∥，AB AC ⊥，AB AC == 在 上，且2AE ED =．（1）已知点 在 ，且2CF FB =，求证：平面PEF ⊥平面 ；（2）当二面角A PB E --的余弦值为多少时，直线 与平面 所成的角为45︒？20．已知 是抛物线24y x =上的一点，以点 和点(2,0)B 为直径两端点的圆 交直线1x =于 两点，直线 与 平行，且直线 交抛物线于 两点．（1）求线段 的长；（2）若3OP OQ =-，且直线 与圆 相交所得弦长与||MN 相等，求直线 的方程． 21．设函数2()e x f x =，()1()g x kx k =+∈R ．（1）若直线()y g x =和函数()y f x =的图像相切，求 的值；（2）当0k ＞时，若存在正实数 ，使对任意(0,)x m ∈，都有|()()|2f x g x x -＞恒成立，求 的取值范围．22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为cos 2sin x a ty t =⎧⎨=⎩（ 为参数，0a ＞），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为πcos()4ρθ+=-． （1）设 是曲线 上的一个动点，当2a =时，求点 到直线 的距离的最小值； （2）若曲线 上的所有点均在直线 的右下方，求 的取值范围． 23．已知函数()|1||3|f x x x =++-，()|2|g x a x =--． （1）若关于 的不等式()()f x g x ＜有解，求实数的取值范围； （2）若关于 的不等式()()f x g x ＜的解集为()7,2b ，求a b +的值．河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷答 案一、选择题：共12题1~5．DCDCB 6~10．ABACD 11~12．CB 二、填空题：共4题 13．5 14．16 15．π416三、解答题：共7题17．解：（1）1n n n S a a λ+=，33a =，所以112a a a λ=且()122323a a a a a λ+==，①所以2123,3a a a a λ=+==，②因为数列{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，即2123a a -=， 由①②得11a =，22a =，所以n a n =，2λ=， 所以14b =，316b =，则12n n b +=． （2）因为(1)2n n n S +=，所以2(2)n c n n =+，所以22222122435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++ 2323232n n n +=-++． 18．解：（1）由题意可知，所求概率12211123424233366C C C C 2221C ()(1)(1)C 33C 315P =⨯-+⨯-=， （2）设甲公司正确完成面试的题数为 ，则 的取值分别为 ，124236C C 1(1)C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5PX ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，则 的分布列为：131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=．设乙公司正确完成面试的题数为 ，则 取值分别为 ，1(0)27P Y ==，123212(1)C ()339P Y ==⨯⨯=，223214(2)C ()339P Y ==⨯⨯=， 328(3)()327P Y ===，则 的分布列为：所以1248()01232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=（或因为2(3,)3Y B ~，所以2()323E Y =⨯=）， 222212482()(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，由()()E X E Y =，()()D X D Y ＜可得，甲公司成功的可能性更大．19．证明：因为AB AC ⊥，AB AC =，所以90ACB ∠=︒， 因为底面 是直角梯形，90ADC ∠=︒，AD BC ∥， 所以45ACD ∠=︒，即AD CD =，所以2BC AD =，因为2AE ED =，2CF FB =，所以2D 3AE BF A ==． 所以四边形 是平行四边形，则AB EF ∥，所以AC EF ⊥，因为PA ⊥底面 ，所以PA EF ⊥， 因为PAAC A =，所以EF ⊥平面 ，因为EF ⊂平面 ，所以平面PEF ⊥平面 ．（2）因为PA AC ⊥，AC AB ⊥，所以AC ⊥平面 ，则APC ∠为直线 与平面 所成的角，若 与平面 所成角为45︒，则tan 1ACAPC PA∠==，即PA AC == 取 的中点为 ，连接 ，则AG BC ⊥，以 坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．则(1,1,0)B -，(1,1,0)C ，2(0,,0)3E，P ，所以(1,1,0)EB =-，2(0,3EP =-，设平面 的法向量(,,)x y z =n ，则0n EB n EP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即503203x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令3y =，则5x =，z =，=n ，因为(1,1,0)AC =是平面 的一个法向量，所以cos ,AC 〈〉==n ，即当二面角与平面 所成的角为45︒． 20．解：（1）设200(,)4y A y ，圆 的方程200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以0M N y y y +=，214M N y y y =-，||||2M N MN y y =-=．（2）设直线 的方程为x my n =+，11(,)P x y ，22(),Q x y ，则由24x my n y x=+⎧⎨=⎩消去 ，得2440y my n --=． 124y y m +=，124y y n =-，因为3OPOQ =-，所以12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-， 所以2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，点(2,0)B 到直线的距离为d =，因为圆心 到直线 的距离等于到直线1x =的距离，所以208y =， 又224y m y -=，消去 得4200646416y y +=，求得28y =，此时2024y m y -=，直线 的方程为3x =，综上，直线 的方程为1x =或3x =．21．解：（1）设切点的坐标为2(,e )t t ，由2()e x f x =，得22(e )x f x ='， 所以切线方程为22e 2e ()t t y x t -=-，即222e (12)e t t y x t =+-，由已知222e (12)e x x y x t =+-和1y kx =+为同一条直线，所以22e t k =，2(12)e 1t k -=， 令()(1)e x h x x =-，则()e x h x x =-'，当(,0)x ∈-∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以()(0)1h x h ≤=，当且仅当0x =时等号成立，所以0t =，2k =． （2）①当2k >时，有（1）结合函数的图像知： 存在00x >，使得对于任意0(0,)x x ∈，都有()()f x g x ＜，则不等式|()()|>2f x g x x -等价()()2g x f x x ->，即2(2)1e 0x k x -+->， 设2(2)1e x t k x =-+-，22()2e x t k =--'，由0t '>得12ln 22k x -<，由0t '＜得12ln 22k x -＞， 若24k ≤＜，12ln022k -≤，因为012(0,)(,ln )22k x ∞-⊆-，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递减， 因为(0)0t =，所以任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >，与题意不符， 若4k >，12ln022k ->，1212(0,ln )(,ln )2222k k --⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递增， 因为(0)0t = ，所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >符合题意， 此时取120min{0,ln}22k m -<≤，可得对任意(0,)x m ∈，都有|()()|>2f x g x x -． ②当02k <≤时，有（1）结合函数的图像知()2e210(0)xx x -+≥>，所以22()()e 1e (21)(2)(2)0x x f x g x kx x k x k x -=--=-++-≥-≥对任意0x >都成立， 所以|()()|>2f x g x x -等价于2e (2)10x k x -+->， 设2()e (2)1x x k x ϕ=-+-，则2()=2e (2)x x k ϕ'-+，由()0x ϕ'>得12ln 22k x +>，()0x ϕ'＜得，12ln 22k x +<， 所以()x ϕ在12(0,ln)22k -上单调递减，注意到(0)0ϕ=， 所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0x ϕ<，不符合题设， 综上所述， 的取值范围为()4,+∞．22．解：（1）由πcos()4ρθ+=-cos sin )ρθρθ-=-)x y -=-，即直线 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则到直线的距离π|)4|π2co ()4s t d t ++==+， 当π2ππ4t k +=+，即3π2π4t k =+，k ∈Z时，min 1d =． （2）因为曲线 上的所有点均在直线 的右下方，所以对t ∀∈R ，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t t ϕ+>-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a << 故的取值范围为．23．解：（1）当2x =时，()|2|g x a x =--取得最大值为 ，因为()|1||3|4f x x x =++-≥，当且仅当13x -≤≤，()f x 取最小值4， 因为关于 的不等式()()f x g x <有解， 所以4a >，即实数 的取值范围是(4,)+∞．（2）当72x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =，所以当2x <时，9()2g x x =+，令9()42g x x =+=，得1(1,3)2x =-∈-，所以12b =-，则6a b +=河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷解析1．【解析】本题主要考查集合的关系与运算、解一元二次不等式．，若，则，．故选D．2．【解析】本题主要考查复数的运算和几何意义．，，解得．故选C．3．【解析】本题主要考查独立性检验．选项D中不服药与服药样本中患病的频率差距最大．故选D．4．【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、倍角公式和诱导公式．由得，，即，则．故选C．5．【解析】本题主要考查程序框图和数学史．模拟程序运行，可得：，满足循环条件执行循环体，，，满足循环条件执行循环体，，，满足循环条件执行循环体，，，不满足循环条件结束循环，输出的值为，则，解得．故选B．6．【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和性质、点到直线的距离．点到渐近线的距离为，，双曲线过点，，解得，则双曲线的实轴长为．故选A．7．【解析】本题主要考查函数的零点、奇函数的性质．是函数的一个零点，，即，又为奇函数，，当时，．．故选B．8．【解析】本题主要考查三视图与体积．由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥与一个三棱柱组合而成，其中四棱锥的底面与三棱柱的左侧面重合．则该几何体的体积为．故选A．9．【解析】本题主要考查平面向量的数量积和模．设，，，解得，则．故选C．10．【解析】本题主要考查椭圆的几何性质．由题知，在椭圆的短轴上．设椭圆的左焦点为，连结．，，即，，，，则椭圆的离心率为．故选D．11．【解析】本题主要考查空间线面的位置关系．取中点，连结，，则，，平面平面，平面，故A正确；取中点，连结，，则为平行四边形，则为异面直线与所成角，故B正确；点关于直线的对称点为，则平面，即过与垂直的直线在平面上，故C错误；三棱锥外接球半径为，故D正确．故选C．12．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值．，函数在，上单调递减，．设，，由斜边的中点轴上可得，，，，即，，设，则，，，即实数的取值范围是．故选B．13．【解析】本题主要考查简单的线性规划及点到直线的距离．作出不等组表示的可行域，如图所示，的几何意义为可行域内的点到点，距离的平方．则的最小值为点，到直线距离的平方，．故答案为14．【解析】本题主要考查排列组合问题．把5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，有种分配方案，其中甲班都是男生的分配方案有种，则不同的分配方案种数为．故答案为．15．【解析】本题主要考查函数的图象和性质．由图可得，，又，，又，，则．若函数在区间上的值域为，则，．故答案为．16．【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．由得，即．由得，即．，，．故答案为．17．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列，考查裂项求和．（1）在中，令，得到关系式，再由等差数列的性质可得，从而求得，再由等比数列的通项公式求得公比，进而得到；（2）由等差数列的前项和公式可得，代入求出，利用裂项求和可得．18．【解析】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的数学期望和方差．（1）根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率可得结论；（2）分别列出两公司正确完成面试题数的所有取值，计算其相应的概率，得到分布列，代入公式求出期望和方差，比较它们的大小可得结论．19．【解析】本题主要考查线面垂直的判定与性质、用向量法求空间角的大小．（1）由平面几何知识易证是平行四边形，得，从而，由线面垂直的性质得，由线面垂直的判定可得平面，由面面垂直的判定可得结论；（2）易证平面，则为直线与平面所成的角．取的中点为，连接，则，以坐标原点建立空间直角坐标系．分别求出平面和平面的一个法向量，利用向量夹角公式可得结论．20．【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、数量积的坐标运算及点到直线的距离．（1）设出点坐标，由、点坐标可得圆的方程，直线方程联立，得关于的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可得线段的长；（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，消去得关于的一元二次方程，利用韦达定理、数量积的坐标运算及点到直线的距离公式可求出的方程．21．【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值和不等式恒成立问题．（1）求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，与已知切线方程比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，则可得值．（2）分和两种情况讨论．将不等式转化，利用导数研究函数的单调性和最值，则结论可得．22．【解析】本题主要考查将极坐标方程化成直角坐标方程，点到直线的距离及简单的线性规划的应用．（1）利用及两角和的余弦公式将的极坐标方程化成直角坐标方程，设出的参数坐标，由点到直线的距离公式及余弦函数的性质可得最值；（2）问题转化为对，恒成立．利用辅助角公式及余弦函数的值域可得结论．23．【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解．（1）利用绝对值三角不等式可得的最小值，易得的最大值，问题转化为的最大值大于的最小值．（2）由题知，为方程的根，代入可求得；当时，由求出，验证可得，则可得。
【全国校级联考word】河南省天一大联考(全国卷)2017届高三高中毕业班阶段性测试(二)数学(理)试题
数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.函数1y x=的定义域为（ ） A ．R B ．()(),00,-∞+∞ C ．[)0,+∞ D ．()0,+∞ 2.在等差数列{}n a 中，若4p a =，2q a =，且4p q =+，则公差d =（ ） A ．1 B ．12 C ．12- D ．-1 3.已知10a b c π>>>>>，且1x a π=，log y b π=，log c z π=，则（ ） A ．x y z >> B ．x z y >> C ．y x z >> D ．y z x >> 4.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，所得函数为()g x ，则()g π=（ ）A ．12-B ．12 C. 32- D ．325.已知等比数列{}n a 的公比1q ≠，且358a a +=，2616a a = ，则数列{}n a 的前2016项的和为（ ） A ．8064 B ．4 C.-4 D ．06.已知ABC ∆中，23AE AC = ，12BF BC =-，则EF = （ ）A ．3726AB AC - B ．1126AB AC + C.3526AB AC -D ．1526AB AC -7.已知圆221:4430C x y x y ++--=，点P 为圆222:4120C x y x +--=上且不在直线12C C 上的任意一点，则12PC C ∆的面积的最大值为（ ）A ．25B ．45 C. 85 D ．208.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =-，()31n n a S n =>，则10S =（ ） A ．1512-B ．1512 C.11024 D ．120489.已知向量cos ,sin 22a x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，sin ,sin 2b x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若12x π=-，则向量,a b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C. 2π D ．23π10.已知函数()22sin sin 2f x x x =-，则函数()f x 的对称中心可以是（ ） A ．,08π⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．,14π⎛⎫- ⎪⎝⎭11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过点2F 倾斜角为6π的直线与双曲线的左支交于点M ，且满足()11220F M F F MF +=，则双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．3 C.31+ D ．312+ 12.已知函数()()3210,032t f x x x kx t k =-+>>在x a =，x b =处分别取得极大值与极小值，且,a b ，-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则t 的值等于（ ） A ．5 B ．4 C.3 D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知[)0,2απ∈，直线1:cos 10l x y α--=，2:sin 10l x y α++=相互垂直，则α的值为 ． 14.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，MQ 垂直准线l 于点Q ，若MQF ∆是等边三角形，则FQ FM的值为 ．15.已知函数()222,1,x x x a f x x x a⎧-+≥=⎨-<⎩（其中0a >），若()()512f f a +-=，则实数a 的值为 ．16.已知函数()21x f x x e =-，若()1139a f f -⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1M -，()0,2N ，()2,0Q . （Ⅰ）求过,,M N Q 三点的圆的标准方程；（Ⅱ）圆1C 关于直线MN 的对称圆为2C ，求圆2C 的标准方程. 18.（本小题满分12分）如图，已知D 是ABC ∆边BC 上一点.（Ⅰ）若45B =︒，且7AB DC ==，求ADC ∆的面积；（Ⅱ）当90BAC ∠=︒时，若::2:1:3BD DC AC =，且22AD =，求DC 的长. 19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12n n a a +=+，且23a =，()()1ln ln n n n b a a +=+. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令nb nc e-=，求数列{}n c 的前n 项和n T .20.（本小题满分12分）函数()f x 满足()()11f x f x +=--，()()6f x f x =-，当[]1,3x ∈时，()()112f x x =-.（Ⅰ）在网格中画出函数()f x 在[]5,11-上的图象；（Ⅱ）若直线()3y k x =+与函数()f x 的图象的交点个数为5，求实数k 的取值范围. 21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y a b a b Ω+=>>的离心率为12，抛物线28y x =-的焦点是椭圆Ω的一个顶点.（Ⅰ）求椭圆Ω的标准方程；（Ⅱ）若直线():0l y kx m m =+≠与椭圆Ω相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且1212340x x y y +=，证明：AOB ∆的面积为定值. 22.（本小题满分12分）已知函数()()()211ln ,2x bf x ax x ax bx a b R e=+--+∈. （Ⅰ）若12a b ==，求函数()()ln x bF x f x ax x e=--的单调区间；（Ⅱ）若1a =，1b =-，求证：()221ln 122f x ax bx x e -++>--.试卷答案一、选择题1-5:DBACD 6-10:ABBDC 11、12：DA 二、填空题 13.4π或54π 14. 8 15.12或3216.(),1-∞- 三、解答题17.【命题意图】本题考查圆的方程，考查运算求解能力和数形结合思想. 【解析】（Ⅰ）线段MN 的中点坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭，其垂直平分线的斜率为1k =-，故线段MN 垂直平分线方程为3122y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即10x y +-=.同理得线段NQ 的垂直平分线方程为0x y -=. 由100x y x y +-=⎧⎨-=⎩得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即所求圆的圆心坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆的半径为22111020222r ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴所求圆的标准方程为22115222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）直线MN 的方程为20x y -+=，由（Ⅰ）知点111,22C ⎛⎫⎪⎝⎭，设点()2,C a b ，则121,12112220.22b a a b ⎧-⎪=-⎪⎪-⎨⎪++⎪⎪-+=⎩ 解得235,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴所求圆的标准方程为22355222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 18.【命题意图】本题考查诱导公式、正弦定理、余弦定理，意在考查逻辑思维能力、转化思想、整体思想的应用、运算求解能力。
【河南省六市】2017届高三下学期第二次联考理科综合物理试卷-答案
R2
mv0 qB
（1
分）
T2
2m qB
（1
分）
-1-/5
物体由 P 点运动到 MN 边界时与 MN 的夹角为 60 ，如图所示由几何关系 R1 h R1 cos60 （2 分）
得到： R1 2h
R2 4h
PQ 间的距离为 d 2R2 sin 60 2R1 sin 60 2 3h （1 分）
（2）物体从点
P
到点
Q
所用的时间为
t
1 3 T1
2 3
T2
5m 3qB
（1
分）
设宇航员的质量为 M，从点 P 到点 Q 速度为 v v d / t （1 分）
由
R1
2h
mv0 2qB
，得到：
mv0
4qBh
（1
分）
根据却是守恒定律： mv0 Mv 0 （1 分）
解得： M 10 3 （1 分） 9
-3-/5
得： t减1 0.3 s s传1 v2t减1 （1 分） 得： s传1 1.5 m s1 s物1 s传1 0.45 m 产生的热量为： Q1 2mg cos37s1 （1 分） 得： Q1 1.8 J 第二阶段： v2 a2t减2 得： t减2 2.5 s s传2 v2t减2 得： s传2 1.25 m s2 s传2 s物2 6.25 m 产生的热量为： Q2 2mg cos37s2 得： Q2 25 J （1 分） ∴总的热量为： Q总 Q1 Q2 26.8 J （1 分） 33．（1）ABD （2）①气缸开始运动时，气缸与地面间的摩擦力为最大静摩擦力， 此时有： pS p0S f （2 分） f kmg
河南省焦作市2017届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题.doc
焦作市2017届高三第二次模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集*U N =，集合{}1,2,3,5A =，{}2,4,6B =，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}2,4,62.已知i 是虚数单位，复数z 满足(1)i z i -=，则z 的虚部是（ ） A ．12B ．12i -C ．12iD ．12-3.若cos()23πα-=，则cos(2)πα-=（ ） A ．29 B ．59C ．29-D ．59-4.在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任选两个数x 和y ，则sin y x <的概率为（ ） A ．22πB ．241π-C ．24πD ．221π-5.将函数cos(2)6y x π=+图象上的点(,)4P t π向右平移m （0m >）个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数cos 2y x =的图象上，则（ ）A ．t =，m 的最小值为6πB ．t =，m 的最小值为12πC ．12t =-，m 的最小值为6πD ．12t =-，m 的最小值为12π6.执行如图所示的程序框图，若输入4m =，3t =，则输出y =（ ）A ．183B ．62C ．61D ．1847.在1)nx的展开式中，所有项的二项式系数之和为4096，则其常数项为（ ）A ．110-B ．220-C ．220D ．1108.已知M 是抛物线C ：22(0)y px p =>上一点，F 是抛物线C 的焦点，若||MF p =，K 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则MKF ∠=（ ） A ．45︒B ．30︒C ．15︒D ．60︒9.函数2()||af x x x=+（其中a R ∈）的图象不可能是（ ）10.已知P 为矩形ABCD 所在平面内一点，4AB =，3AD =，PA =PC =则PB PD ⋅= （ ） A ．5-B ．5-或0C ．0D ．511.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13B ．16C ．1D ．212.已知函数2()(21)x f x x x e =--，则方程[]2()()0ef x tf x +-=（t R ∈）的根的个数为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐进线与直线30x y -+=平行，则此双曲线的离心率为．14.若实数x ，y 满足10,0,2,x y x y -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩则221y x +的取值范围是．15.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米．”则该圆柱形容器能装米斛．（古制1丈10=尺，1斛 1.62=立方尺，圆周率3π≈）16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b >，a c >．ABC ∆的外接圆半径为1，a =若边BC 上一点D 满足2BD DC =，且90BAD ∠=︒，则ABC ∆的面积为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n a S =+（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若(21)n n b n a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照[0,100)，[100,200)，[200,300)，[300,400)，[400,500)，[500,600)，[600,700)，[700,800)，[]800,900分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中m 的值并估计居民月均用电量的中位数；（Ⅱ）从样本里月均用电量不低于700度的用户中随机抽取4户，用X 表示月均用电量不低于800度的用户数，求随机变量X 的分布列及数学期望．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，侧面11ABB A 是边长为2的正方形，点E 、F 分别在线段1AA ，11A B 上，且12AE =，134A F =，CE EF ⊥．（Ⅰ）证明：平面11ABB A ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若CA ⊥CB ，求直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值．20.已知圆O ：221x y +=过椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的短轴端点，P ，Q 分别是圆O 与椭圆C 上任意两点，且线段PQ 长度的最大值为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0,)t 作圆O 的一条切线交椭圆C 于M ，N 两点，求OMN ∆的面积的最大值． 21.已知函数2()2cos f x x ax b x =++在点(,())22f ππ处的切线方程为34y π=． （Ⅰ）求a ，b 的值，并讨论()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增减性； （Ⅱ）若12()()f x f x =，且120x x π<<<，求证：12'()02x x f +<． （参考公式：cos cos 2sinsin22θϕθϕθϕ+--=-）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （Ⅰ）判断直线l 与圆C 的交点个数；（Ⅱ）若圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||2|f x x x m =+--+（m R ∈）． （Ⅰ）若1m =，求不等式()0f x ≥的解集；（Ⅱ）若方程()f x x =有三个实根，求实数m 的取值范围．焦作市2017届高三第二次模拟考试数学（理科）答案一、选择题1-5:BDDCD 6-10:ABACC 11、12：BA二、填空题4[,4)3 15.2700三、解答题17.解：（Ⅰ）当1n =时，1112121a S a =+=+，解得11a =-．当2n ≥时，21n n a S =+，1121n n a S --=+，两式相减得12n n n a a a --=，化简得1n n a a -=-，所以数列{}n a 是首项为1-，公比为1-的等比数列，可得(1)n n a =-． （Ⅱ）由（Ⅰ）得(21)(1)n n b n =-⋅-， 当n 为偶数时，12n n b b -+=，22n nT n =⨯=； 当n 为奇数时，1n +为偶数，11(1)(21)n n n T T b n n n ++=-=+-+=-． 所以数列{}n b 的前n 项和(1)n n T n =-⋅． 18.解：（Ⅰ）1100(0.00040.00080.00210.00250.00060.00040.0002)2100m -⨯++++++=⨯，∴0.0015m =．设中位数是x 度，前5组的频率之和为0.040.080.150.210.250.730.5++++=>， 而前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5+++=<， 所以400500x <<，0.50.484001000.25x --=⨯，故408x =，即居民月均用电量的中位数为408度．（Ⅱ）200户居民月均用电量在[700,800)度的户数是8，月均用电量在[]800,900度的户数是4．故随机变量X 的取值为0,1,2,3,4，且4841270(0)495C P X C ===，1348412224(1)495C C P X C ⋅===，2248412168(2)495C C P X C ⋅===，314841232(3)495C C P X C ⋅===，40484121(3)495C C P X C ⋅===， 所以随机变量X 的分布列为：故()4954953E X ===． 19.（Ⅰ）证明：取线段AB 的中点M ，连接EM ，CM ．在正方形11ABB A 中，1AM =，132A E =，在R t E A M ∆和1Rt FA E ∆中，1123AE AM A F A E ==， 又1EAM FA E ∠=∠2π=，∴1~Rt EAM Rt FA E ∆∆，∴1AEM A FE ∠=∠，从而1112AEM A EF A FE A EF π∠+∠=∠+∠=，∴2FEM π∠=，即EF EM ⊥．又EF CE ⊥，ME CE E = ，∴EF ⊥平面CEM ， ∵CM ⊂平面CEM ，∴CM EF ⊥，在等腰CAB ∆中，CM AB ⊥，又AB 与EF 相交，故CM ⊥平面11ABB A ，∵CM ⊂平面ABC ，∴平面11ABB A ⊥平面ABC ． （Ⅱ）解：在等腰CAB ∆中，由CA CB ⊥，2AB =知CA CB ==1CM =． 记线段11A B 的中点为N ，连接MN ，由（Ⅰ）知，MC ，MA ，MN 两两垂直，以M 为坐标原点，分别以MC ，MA ，MN的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则(1,0,0)C ，1(0,1,)2E ，(0,1,0)A ，1(1,0,2)C ，∴1(1,1,)2CE =- ，33(0,,)42EF =- ．设平面CEF 的法向量为(,,)n x y z = ，则n CE ⊥ ，n EF ⊥ ，即10,2330,42x y z y z ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩即220,2.x y z y z --=⎧⎨=⎩ 取2z =，则4y =，5x =，从而得到平面CEF 的一个法向量(5,4,2)n =．1(1,1,2)AC =-，记直线1AC 与平面CEF 所成角为θ，则111sin |cos ,|||||AC n AC n AC n θ⋅=<>===⋅故直线1AC 与平面CEF所成角的正弦值为18．20.解：（Ⅰ）∵圆O 过椭圆C 的短轴端点，∴1b =，又∵线段PQ 长度的最大值为3， ∴13a +=，即2a =，∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=． （Ⅱ）由题意可设切线MN 的方程为y kx t =+，即0kx y t -+=1=，得221k t =-．①联立得方程组22,14y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得222(4)240k x ktx t +++-=．其中222(2)4(4)(4)kt k t ∆=-+-22161664480t k =-++=>，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12224ktx x k -+=+，212244t x x k -=+，则2||4MNk=+．②将①代入②得||MN=11||2OMNS MN∆=⨯⨯=1||||tt=≤+，等号成立当且仅当3||||tt=，即t=．综上可知：max()1OMNS∆=．21.解：（Ⅰ）由题意知'()22sinf x ax b x=+-，∴'()0,23(),24ffπππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,1,abπ⎧=-⎪⎨⎪=⎩故21()2cosf x x x xπ=-+，2'()2sinf x x xπ=--．当02xπ≤≤时，'()f x为减函数，且'()02fπ=，∴'()0f x>，()f x为增函数．（Ⅱ）由12()()f x f x=，得221211222cos2cosx xx x x xππ-+=-+，所以1212121212()()()cos cos0x x x x x x x xπ--+-+-=，两边同除以12x x-，得121212cos cos12()0x xx xx xπ--++=-，所以121212122sin sin1222()0x x x xx xx xπ+---++=-,令1202x xx+=，得12122sin sin2220x xxxx xπ---=-，得12122sin sin222x xxxx xπ--=-．因为2'()2sinxf x xπ=--，所以121200000012122sin sinsin 222'()2sin sin sin (1)2x x x xx f x x x x x x x π--=--=-=⋅--，因为12211221sinsin 2222x x x xx x x x --=--， 又21(0,)22x x π-∈，易知21210sin 22x x x x --<<，所以1212sin2102x x x x --<-， 又0(0,)x π∈，所以0sin 0x >，故0'()0f x <，得12'()02x x f +<． 22.解：（Ⅰ）消去参数得直线l10y +-=， 由2sin ρθ=得圆C 的直角坐标方程为2220x y y +-=． 因为圆心(0,1)在直线l 上，所以直线l 与圆C 的交点个数为2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB 为圆C 的直径，而圆C 的直径可求得为2，所以||2AB =． 23.解：（Ⅰ）∵1m =时，()|2||2|1f x x x =+--+． ∴当2x ≤-时，()3f x =-，不可能非负；当22x -<<时，()21f x x =+，由()0f x ≥可解得12x ≥-，于是122x -≤<； 当2x ≥时，()50f x =>恒成立． 所以不等式()0f x ≥的解集为1[,)2-+∞．（Ⅱ）由方程()f x x =可变形为|2||2|m x x x =+--+．令4,2,()|2||2|,22,4, 2.x x h x x x x x x x x +<-⎧⎪=+--+=--≤≤⎨⎪->⎩作出图象如图所示．于是由题意可得22m -<<．。
2017年3月2017届高三第二次全国大联考(新课标Ⅲ卷)理数卷(正式考试版)
理科数学试题 第1页（共6页） 理科数学试题 第2页（共6页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________2017年第二次全国大联考【新课标III 卷】理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合2{|20}A x x x =∈--<R ，{|21,}B x x t t A =∈=+∈Z ，则AB =（ ）A ．{1,0,1}-B ．{1,0}-C ．{0,1}D ．{0}2．若复数z 满足()()(3i)12i 2i z -=++，则在复平面内复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量,a b 满足()1,2=--b ，()4,7-=a b ，则()()2+⋅-=a b a b （ ）A ．11B ．11-C ．3-D ．74．过抛物线24y x =的焦点F 作与对称轴垂直的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，则以AB 为直径的圆的标准方程为（ ） A ．()2214x y ++=B ．()2214x y -+=C ．()2214x y ++=D ．()2214x y +-=5．如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的一个几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积比为（ ）A 331- B 3313- C 33D 331 6．已知点D 为ABC △外一点，222BC AB AD CD ===，120ADC ∠=︒，则B =（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为2，则判断框中填入的条件可以是（ ）A ．98?n <B ．99?n <C ．100?n <D ．100?n ≤8．如图，正方形的边长为8，大圆半径为3，两个小圆的直径均为1，现向正方形内随机掷一飞镖，则飞镖落在黑色区域内的概率为（ ）开始否0,1S n == ()lg 1lg S S n n=++- 1n n =+是输出S结束理科数学试题 第3页（共6页） 理科数学试题 第4页（共6页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………A ．19π256B ．17π256C ．9π128D ．9π649．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0,||2A ϕπ><）的图象如图所示，则tan ϕ=（ ）A ．33B ．1C 3D ．33-10．在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，则该四棱锥的内切球的表面积为（ ） A ．8(32)-π B ．6(322)-π C ．4(32)-πD ．2(32)-π11．已知,A F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点和右焦点，线段OF 的垂直平分线与双曲线在第一象限的交点为P ，过F 作与x 轴垂直的直线与双曲线在第一象限交于Q ，若PAF △的面积与QOA △的面积相等，则双曲线的离心率为（ ）A 334-B 334+C 331-D 331+12．已知函数2()9f x x =--()(3)4g x k x =-+的图象上存在两对关于x 轴对称的点，则实数k的取值范围是（ ）A ．5[ln 2,2]4+B ．5[2ln 2,ln 2]4-+C ．5[ln 2,2ln 2]4+-D ．72(,243第II 卷本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题,考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．(n b ax x-（0ab ≠，且,a b 为常数）的展开式中，x 的系数为3210a b ，则n =___________．14．若函数3e 2()e 1x xt t f x x --=+-是奇函数，则常数t 等于___________． 15．不等式组10,10,x y x y y m+-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩(1)m >所表示的平面区域的面积为S ，则不等式31S a m +≥-恒成立时，实数a的取值范围是___________．16．已知a 为正整数，tan 1lg ,tan lg a a αβ=+=，且4αβπ=+，则当函数()sin 3f x a θθ= ()[0,]θ∈π取得最大值时，θ=___________．三、解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，且()21122n n na n a n n +=+++，设nn a b n=． （Ⅰ）求证：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若12(4)32(4)n nn b n a nc n +⎧≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）人最宝贵的是生命，然而有时候最不善待生命的恰恰是人类自己，在交通运输业发展迅猛的今天，由于不懂得交通法规，以及人们的交通安全观念和自我保护意识还没有跟上时代的步伐，那些在交通复杂多变的地方而引发的交通事故也是接连不断．为了警示市民，某市对近三年内某多发事故路口在每天6:00~22:00时间段内发生的480次事故中随机抽取100次进行调研，数据按事发时间分成8组：[)[)[)[)6,8,8,10,,18,20,20,22（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图．理科数学试题 第5页（共6页） 理科数学试题 第6页（共6页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________（Ⅰ）求图中m 的值，并根据频率分布直方图估计这480次交通事故发生在时间段[)6,8与[)18,20的次数；（Ⅱ）在抽出的100次交通事故中按时间段采用分层抽样的方法抽取10次进行个案分析，再从这10次交通事故中选取3次交通事故作重点专题研究．记这3次交通事故中发生时间在[)6,8与[)18,20的次数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为3的正方形，且1tan 6DCD ∠=，113AA DD AB AE AG DF===．（Ⅰ）求证：平面EFG ∥平面1BD C ； （Ⅱ）求二面角1E BD D --的余弦值． 20．（本小题满分12分）已知椭圆E ：221(04)4x y t t+=<<的左焦点为F ，设,M N 是椭圆E 的两个短轴端点，A 是椭圆E的长轴左端点．（Ⅰ）当1t =时，设点(,2)(0)P m m -≠，直线PN 交椭圆E 于Q ，且直线,MP MQ 的斜率分别为12,k k ，求12k k ⋅的值；（Ⅱ）当3t =时，若经过F 的直线l 与椭圆E 交于D C ,两点，O 为坐标原点，求OAD △与OAC △的面积之差的最大值． 21．（本小题满分12分）已知函数()2()1e ()x f x mx x m =--∈R ．（Ⅰ）当12m ≤时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）当()0,x ∈+∞，且10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求证：()()322210f x mx x m x '++--<．请考生在第22,23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为1212x a y a αα⎧=--⎪⎨=+-⎪⎩（α为参数，2a <）．（Ⅰ）当2a =-时，若曲线C 上存在,A B 两点关于点(0,2)M 成中心对称，求直线AB 的参数方程； （Ⅱ）在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为sin()204ρθπ+=的直线l 与曲线C 相交于,C D 两点，若||4CD =，求实数a 的值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知不等式|1|||x m x ++≥()m ∈R 对任意实数x ∈R 恒成立． （Ⅰ）求实数m 的最小值t ；（Ⅱ）若,,a b c ∈R ＋，且满足abc t =，求证：bc ac aba bcb ac c ab a b c≤．。
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河南省焦作市2017届高三第二次模拟考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集*U N =，集合{}1,2,3,5A =，{}2,4,6B =，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}2,4,6【答案】B2.已知i 是虚数单位，复数z 满足(1)i z i -=，则z 的虚部是（ ） A ．12B ．12i -C ．12iD ．12-【答案】D【解析】错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
的虚部是错误！未找到引用源。
选D.3.若cos()2πα-=，则cos(2)πα-=（ ） A ．29 B ．59C ．29-D ．59-【答案】D【解析】错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
,选D. 4.在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任选两个数x 和y ，则sin y x <的概率为（ ） A ．22πB ．241π-C ．24πD ．221π-【答案】C【解析】由题意得所求概率为错误！未找到引用源。
,选C. 5.将函数cos(2)6y x π=+图象上的点(,)4P t π向右平移m （0m >）个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数cos 2y x =的图象上，则（ ）A ．t =m 的最小值为6πB ．t =m 的最小值为12πC ．12t =-，m 的最小值为6π D ．12t =-，m 的最小值为12π 【答案】D6.执行如图所示的程序框图，若输入4m =，3t =，则输出y =（ ）A ．183B ．62C ．61D ．184【答案】A【解析】第一次循环，错误！未找到引用源。
；第二次循环，错误！未找到引用源。
；第三次循环，错误！未找到引用源。
；第四次循环，错误！未找到引用源。
；结束循环，输出错误！未找到引用源。
选A.7.在1)n x-的展开式中，所有项的二项式系数之和为4096，则其常数项为（ ） A ．110- B ．220-C ．220D ．110【答案】B点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第错误！未找到引用源。
项，再由特定项的特点求出错误！未找到引用源。
值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第错误！未找到引用源。
项，由特定项得出错误！未找到引用源。
值，最后求出其参数.8.已知M 是抛物线C ：22(0)y px p =>上一点，F 是抛物线C 的焦点，若||MF p =，K 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则MKF ∠=（ ） A ．45︒ B ．30︒C ．15︒D ．60︒【答案】A【解析】由题意得错误！未找到引用源。
,由抛物线定义得错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
为等腰直角三角形，即错误！未找到引用源。
选A.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若错误！未找到引用源。
为抛物线错误！未找到引用源。
上一点，由定义易得错误！未找到引用源。
；若过焦点的弦错误！未找到引用源。
AB 的端点坐标为错误！未找到引用源。
，则弦长为错误！未找到引用源。
可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 9.函数2()||af x x x =+（其中a R ∈）的图象不可能是（ ）【答案】C10.已知P 为矩形ABCD 所在平面内一点，4AB =，3AD =，PA =，PC =，则PB PD ⋅=（ ）A ．5-B ．5-或0C ．0D ．5【答案】C【解析】由于错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
为直角三角形，取错误！未找到引用源。
中点错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
.所以错误！未找到引用源。
,选C.11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13B ．16C ．1D ．2【答案】B点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．12.已知函数2()(21)x f x x x e =--，则方程[]2()()0ef x tf x +-=（t R ∈）的根的个数为（ ） A ．3 B ．2C ．5D ．4【答案】A【解析】设错误！未找到引用源。
，则方程错误！未找到引用源。
中错误！未找到引用源。
，所以方程必有两根错误！未找到引用源。
，由错误！未找到引用源。
，不妨设错误！未找到引用源。
.因为错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
，列表可得因此当错误！未找到引用源。
时， 错误！未找到引用源。
，方程错误！未找到引用源。
有两个根，方程错误！未找到引用源。
有一个根，原方程有三个根；当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
，方程错误！未找到引用源。
有一个根，方程错误！未找到引用源。
有两个根，原方程有三个根；当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
，方程错误！未找到引用源。
有三个根，方程错误！未找到引用源。
没有根，原方程有三个根；综上，原方程有三个根，选A.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐进线与直线30x y -+=平行，则此双曲线的离心率为 ．【答案】错误！未找到引用源。
14.若实数x ，y 满足10,0,2,x y x y -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩则221y x +的取值范围是 ．【答案】错误！未找到引用源。
【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中错误！未找到引用源。
,(错误！未找到引用源。
取不到) ,而错误！未找到引用源。
表示可行域内的点错误！未找到引用源。
与定点错误！未找到引用源。
连线的斜率,其取值范围为错误！未找到引用源。
点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.15.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米．”则该圆柱形容器能装米 斛．（古制1丈10=尺，1斛 1.62=立方尺，圆周率3π≈） 【答案】错误！未找到引用源。
【解析】错误！未找到引用源。
,圆柱形容器体积为错误！未找到引用源。
,所以此容器能装错误！未找到引用源。
斛米．16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b >，a c >．ABC ∆的外接圆半径为1，a =BC 上一点D 满足2BD DC =，且90BAD ∠=︒，则ABC ∆的面积为 ．【答案】错误！未找到引用源。
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n a S =+（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若(21)n n b n a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）错误！未找到引用源。
（Ⅱ）错误！未找到引用源。
【解析】试题分析: （Ⅰ）由和项求数列通项,一般利用等量关系:错误！未找到引用源。
,得到项之间的递推关系错误！未找到引用源。
，再根据等比数列定义判断数列成等比,利用等比数列通项公式求通项, （Ⅱ）涉及符号数列求和,一般分奇偶讨论,并先求偶数项的和,而错误！未找到引用源。
为偶数时，往往两个一组(本题每组和为2)进行求和. 当错误！未找到引用源。
为奇数时，利用错误！未找到引用源。
结合偶数项和的结论代入求和.试题解析:解：（Ⅰ）当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
． 当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，两式相减得错误！未找到引用源。
，化简得错误！未找到引用源。
，所以数列错误！未找到引用源。
是首项为错误！未找到引用源。
，公比为错误！未找到引用源。
的等比数列，可得错误！未找到引用源。
． （Ⅱ）由（Ⅰ）得错误！未找到引用源。
，当错误！未找到引用源。
为偶数时，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
； 当错误！未找到引用源。
为奇数时，错误！未找到引用源。
为偶数，错误！未找到引用源。
． 所以数列错误！未找到引用源。
的前错误！未找到引用源。
项和错误！未找到引用源。
．点睛：本题采用分组转化法求和，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型除本题的符号型（如错误！未找到引用源。
），还有分段型（如错误！未找到引用源。
）. 18.某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照[0,100)，[100,200)，[200,300)，[300,400)，[400,500)，800,900分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．[500,600)，[600,700)，[700,800)，[]（Ⅰ）求直方图中m的值并估计居民月均用电量的中位数；（Ⅱ）从样本里月均用电量不低于700度的用户中随机抽取4户，用X表示月均用电量不低于800度的用户数，求随机变量X的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）错误！未找到引用源。
,中位数为408度．（Ⅱ）错误！未找到引用源。
,分布列见解析.试题解析:解：（Ⅰ）错误！未找到引用源。
，∴错误！未找到引用源。
．设中位数是错误！未找到引用源。
度，前5组的频率之和为错误！未找到引用源。
，而前4组的频率之和为错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。