1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)

[小问题· 大思维]
a＋b＋c 3 1．满足不等式 ≥ abc成立的 a，b，c 的范围是什么？ 3
提示：a，b，c的范围为a≥0，b≥0，c≥0. 2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意 什么？ 提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，
和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得．
1 1 12 1 1 故 a ＋b ＋c ＋(a＋b＋ c) ≥ab＋bc＋ac＋3ab＋3bc＋
2 2 2
1 3ac≥6 3. 所以原不等式成立．
③
当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅 当 a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3 时，③式等号成立． 即当且仅当 a＝b＝c＝3 时，原不等式等数方可取得最值．其中定
值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定 的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等． (3)当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函数的最 值可考虑利用函数的单调性．
[通一类] 1．已知x∈R＋，求函数y＝x2· (1－x)的最大值．
本题考查基本不等式、算术—几何平均值
不等式等基础知识，同时考查了等号成立的条件及推理运算 能力．
[证明] 法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不 等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc) ，
1 － 1 1 1 ＋b＋ c≥3(abc) 3 ， a 2 3
①
1 1 12 所以(a＋b＋ c) ≥9(abc)
中的应用.2012年昆明模拟以解答题的形式考查了算术—
几何平均值不等式在证明不等式中的应用，是高考模拟命
题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 昆明模拟)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2＋b2＋ 1 1 12 c ＋(a＋b＋c ) ≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
2
[命题立意]
解：y＝x2(1－x)＝x· x(1－x) 1 ＝x· (2－2x)× x· 2 1x＋x＋2－2x3 1 8 4 ≤ ＝2×27＝27. 2 3 2 当且仅当 x＝2－2x，即 x＝ 时取等号． 3 4 此时，ymax＝ . 27
[研一题]
[例 2] 设 a、b、c∈R＋，求证：
[研一题] [例3] 已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内 接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最
大的体积．
[精讲详析] 本题考查算术—几何平均不等式在实际问
题中的应用，解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利 用相似三角形建立各元素之间的关系，然后利用算术—几 何平均不等式求最大值．
[读教材· 填要点]
1．三个正数的算术—几何平均不等式 a＋b＋c 3 如果 a，b，c∈R＋，那么 ≥ abc ，当且仅当 a＝b 3
＝c 时，等号成立．
2．n 个正数 a1，a2，„，an 的算术—几何平均不等式 对于 n 个正数 a1，a2，„，an，它们的算术平均不小于 它 们的几何平均，即 a1＋a2＋„＋an n a „a 1 n ≥ n 当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
[悟一法] 三个正数的算术—几何平均不等式定理，是根据不等
式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该
定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只 是在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具 备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形 后再使用定理证明．
连续多次使用平均不等式定理时要注意前后等号成立
2
2V ∴S＝2πr ＋2πrh＝2πr ＋ r
2 2
V V 3 ＝2πr ＋ r ＋ r ≥3 2πV2.
2
3 V V 即当 2πr2＝ r ，r＝ 时表面积最小． 2π 此时 h＝2r. 3 V 3 V 即饮料盒的底面半径为 r＝ ，高为 2 时，用料 2π 2π 最省．
本课时经常考查算术—几何平均值不等式在求最值
1 1 1 (1)( 2＋ 2＋ 2)(a＋b＋c)2≥27； a b c 1 1 1 9 (2)(a＋b＋c)( ＋ ＋ )≥ . a＋b b＋c a＋c 2
[精讲详析]
本题考查平均不等式的应用，解答本题
需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均 不等式证明的问题．
(1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥3 abc＞0， 从而(a＋b＋c) ≥9 a2b2c2＞0， 3 1 1 1 1 又 2＋ 2＋ 2≥3 ＞0， a b c a2b2c2 1 1 1 ∴( 2＋ 2＋ 2)(a＋b＋c)2 a b c ≥3 3 1 3 2 2 2 · a b c ＝27. 9 a2b2c2
2 － 3
.
2 － 3
② .
2 1 1 12 故 a2＋b2＋c2＋(a＋b＋ c) ≥3(abc) 3 ＋9(abc)
又 3(abc) ＋9(abc)
2 3
2 － 3
≥2 27＝6 3， ③
所以原不等式成立．
当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当 3(abc)
2 3
＝9(abc)
2 2 2 2 2 2 2
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
2 2 2 1 2x ＋1－x ＋1－x 3 4 ∴y2≤ ( )＝ . 2 3 27
3 当且仅当 2x ＝1－x ＝1－x ，即 x＝ 时取“＝”号． 3
2 2 2
2 3 ∴y≤ . 9 2 3 ∴y 的最大值为 . 9
[悟一法] (1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值， 可简记为“积定和最小，和定积最大”． (2)应用算术—几何平均不等式定理，要注意三个条件即
[研一题] [例1] 已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．
[精讲详析] 本题考查三个正数的算术—几何平均不等 式在求最值中的应用．解答本题要根据需要拼凑出利用其算 术—几何平均不等式的条件，然后再求解． ∵y＝x(1－x2)， 1 ∴y ＝x (1－x ) ＝2x (1－x )(1－x )·. 2
[悟一法]
(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用
“平均值不等式”求最值．
(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只
能含一个变量，否则是无法求最值的．
[通一类] 3．制作一个圆柱形的饮料盒，如果容积一定，怎样设计它 的尺寸，才能使所用的材料最少？
解：设圆柱形饮料盒的体积为 V(定值)，底面半径为 r， 高为 h，表面积为 S. V 则 V＝πr h，∴h＝ 2. πr
的条件是否保持一致．
[通一类] 2．设0<a<1,0<b<1,0<c<1，
13 求证：abc(1－a)(1－b)(1－c)≤( ) . 4 证明：∵0<a<1，∴1－a>0.
a＋1－a 2 1 ∴0<a(1－a)≤[ ]＝ . 2 4 1 1 同理 0<b(1－b)≤ ，0<c(1－c)≤ 4 4 将以上三个不等式相乘得 13 abc(1－a)(1－b)(1－c)≤( ) . 4
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当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
(2)∵a，b，c∈R＋，∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥ 3 a＋bb＋cc＋a＞0， 3 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ≥3 · · ＞0， a＋b b＋c a＋c a＋b b＋c a＋c 1 1 1 9 ∴(a＋b＋c)( ＋ ＋ )≥ . a＋b b＋c a＋c 2 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立． 3
设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似 H－h r R 三角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． πR2 ∴V 圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0＜h＜H)． H 根据平均不等式可得 4πR2 H－h H－h 4πR2 H 3 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ( ) H 2 2 H 3 4 2 ＝ πR H. 27 H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
2 － 3
时，③式等号成立．
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即当且仅当 a＝b＝c＝3 时，原不等式等号成立． 法二：因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac. 所以 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac. 1 1 1 1 1 1 同理 2＋ 2＋ 2≥ab＋bc＋ac， a b c ① ②