2.1.1 指数与指数幂的运算----师梅高一数学备课组
人教版高中数学必修1第2章2.1.1 指数与指数幂的运算(1)教案
第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算（一）教学目标分析：知识目标：（1）了解根式的概念，方根的概念及二者的关系；（2）理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。
过程与方法：通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。
情感目标：通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。
重难点分析：重点：n次根式的性质和化简难点：n次根式的性质及应用互动探究：一、课堂探究：1、问题情境设疑探究一、根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001 ~ 2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？如果把我国2000年GDP 看成是1个单位，2001年为第一年，那么： 1年后（即2001年），我国的GDP 可望为2000年的(17.3%)+倍；2年后（即2002年），我国的GDP 可望为2000年的2(17.3%)+倍； 3年后（即2003年），我国的GDP 可望为2000年的___________倍； 4年后（即2004年），我国的GDP 可望为2000年的___________倍； ……设x 年后我国的GDP 为2000年的y 倍，那么*(17.3%) 1.073(,20)x x y x N x =+=∈≤即从2000年起，x 年后我国的GDP 为2000年的1.073x 倍。
想一想，正整数幂1.073x 的含义是什么？它具有哪些运算性质。
探究2、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系57301() (2)t P =（*），考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。
高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(2)教案 新人教版必修1
2.1.1（2）指数与指数幂的运算（教学设计）内容：分数指数幂一、教学目标（一）知识目标（1）理解根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算。
（2）理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算。
（二）能力目标（1）学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力．（2）让学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．（3）训练学生思维的灵活性（三）德育目标（1）激发学生自主学习的兴趣（2）养成良好的学习习惯教学重点：次方根的概念及其取值规律。
教学难点：分数指数幂的意义及其运算根据的研究。
教学过程：一、复习回顾，新课引入：指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展。
引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义。
．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出及，同时追问这里的由来。
二、师生互动，新课讲解： 1.分数指数幂 看下面的例子： 当0 a 时，（1）2552510)(a a a ==，又5102=，所以510510a a =；（2）3443412)(a a a==，又4123=，所以412412a a =．从上面的例子，我们看到，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式． 那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？根据n 次方根的定义，规定正数的正分数指数幂的意义是：n m nm a a=（0>a ，1*,,>∈n N n m ）．0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂无意义.由于分数有既约分数和非既约分数之分，因此当0<a 时，应当遵循原来的运算顺序，通常不写成分数指数幂形式．例如：3273-=-，而3)27(62=-．规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 整数指数幂的运算性质对于分数指数幂即有理数指数幂同样适用． 联系并指出整数指数幂的运算性质对有理指数幂仍然适用 (1)a r a s =a r+s(a>0,r,s ∈Q) (2)(a r )s =a rs(a>0,r,s ∈Q) (3)(ab)r =a r b r(a>0,b>0, r,∈Q)3．分数指数幂与根式的表示方法之间关系。
高一数学教案： 2.1.1 指数与指数幂的运算(2课时)
第二课时：9月21日星期二 （I ）复习回顾（II ）讲授新课分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n 次方根的概念来解：25101052a a ,a )a (=∴=Θ； 也可根据n 次方根的性质来解：2552510a )a (a ==。
问题1：观察34122510a a ,a a ==，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？43124122510510a aa,a aa====⇒，即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式。
问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：3232a a =是否可行？分析：假设幂的运算性质mnnm a)a (=对于分数指数幂也适用，那么2332332a a)a (==⨯，这说明32a 也是2a 的3次方根，而32a 也是a 2的3次方根（由于这里n=3，a 2的3次方根唯一），于是3232a a =。
这说明3232a a =可行。
由此可有：1.正数的正分数指数幂的意义：<板书>1*,,,0(>∈>=n N n m a a a n m nm 且)注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数a n的幂指数n 与根式的根指数n 的一致性。
根式与分数指数幂可以进行互化。
问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？ 分析：正例：32322510510331)2()2(,4)2()2()2(,28)8(-=-=-=-=--=-=-等等；反例：6231,2)8()8(,28)8(6262331==-=--=-=-而实际上；又如： ，）（）（）（3412412888-=-=-34434124128888===-）（）（。
这样就产生了混乱，因此“a>0”这个限制不可少。
至于28)8(331-=-=-，这是正确的，但此时31)8(-不能理解为分数指数幂，31不能代表有理数（因为不能改写为62），这只表示一种上标。
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数，负数没有 n 次方根。此时正数 a 的 n 次方根可表示为： n a (a 0)
其中 n a 表示 a 的正的 n 次方根， n a 表示 a 的负的 n 次方根。
例 3．根据 n 次方根的概念，分别求出 0 的 3 次方根， 0 的 4 次方根。 解：因为不论 n 为奇数，还是偶数，都有 0n=0，所以 0 的 3 次方根， 0 的 4 次方根均为 0。
当 n 为奇数时，由 n 次方根定义得： a n a n
当 n 为偶数时，由 n 次方根定义得： a n an
则 |a | | n an | n an
综上所述： (n a) n
a, n为奇数 | a |， n为偶数
注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。 （III ）例题讲解 例 1．求下列各式的值：
am an
am
n
；又因为
( a )n 可看作 a m a n ，所以
b
(a)n b
an bn
可以 归入性质
( ab) n
an bn (n ∈ Z) ） , 这是为下面学习分数指数幂的概念和性
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质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习
n 次根式（ n N * ）的概念。
（2）填空（ 3），（ 4）复习了平方根、立方根这两个概念。如：
22=4 ，（ -2 ）2=4
2
， -2 叫 4 的平方根
23=8
2 叫 8 的立方根；
（-2 ） 3=-8 -2 叫-8 的立方根
25=32
2 叫 32 的 5 次方根
高中数学2_1指数与指数幂的运算教案版
黑龙江省鸡西市高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算教案新人教版必修1课题：§2.1.1指数及指数幂的运算模式与方法启发式教学目的使学生理根式的概念，掌握n次方根的性质。
重点指数的运算难点指数的运算教学内容师生活动及时间分配一，引入课题为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到实数指数幂，本小节主要学习分数指数幂的概念和运算性质，并给出了无理数指数幂的概念和性质。
2．为了学习分数指数的概念，首先要介绍根式的概念，学生在初中已学习了数的开平方、开立方和二次根式，根式的内容是这些已学内容的推广。
因此要结合这些已学内容引入根式的概念和n次方根的性质。
二、探索新知（一）引出根式的概念。
需要注意的是，当n 是奇数时，表示a的n次方根；当n是偶数时，a≥0，表示正的n次方根或0。
在两种情况下，根据n次方根的概念，都有。
也就是.教师引导学生复习初中所学的公式及相关知识引导讨论x的范围加深对于公式的理解及应用说，先开方，再乘方（同次），结果为被开方数，如果先乘方，再开方（同次），结果是什么呢？可让学生分别求出的结果，然后指出，一般地，当n 为奇数时，，当n为偶数时，。
可向学生说明，当n 是偶数时。
的结果为|a|，是因为≥0时，而则是根据绝对值的意义得出的。
课堂练习：1、填空： （1）25的平方根是 （2）27的立方根是（3）－32的五次方根为 （4）16的四次方根是2、若244(),a a a -=-则a 的取值范围是3、求下列各式的值（1）2(5) （2）33(2)- （3）44(2)- （4）2(3)π-.四，小结：教师引导学生总结并补充五、课后作业教科书P 59 4选做：练习册。
高中数学2.1.1指数与指数幂的运算(1)教案新人教版必修1
2.1.1 (1)指数与指数幕的运算(教学设计)内容：根式教学目标1、知识与技能：理解根式的概念及性质，能进行根式的运算，提高根式的运算能力。
2、过程与方法：通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比的方法过渡到n次方根；通过对“当n是偶数时，n a n |a| a (a 0)”的理解，培养学生分类讨论的意识。
a (a 0)3、态度情感价值关：通过运算训练，培养学生严谨的思维，一丝不苟的学习习惯。
教学重点：对根式概念、性质的理解，运用根式的性质化简、运算。
教学难点：当n是偶数时，n a n | a | a (a的得出及运用a (a 0)教学过程一、创设情境，新课引入：问题1 (课本P48问题1):从2000年起的未来20年，我国国内生产总值年平均增长率可达到7.3%.那么，在2001 ―― 2020年，各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍？引导学生逐年计算，并得出规律：设x年后我国的国内生产总值为2000年的y倍，那么y 1.073x(x N*, x 20).问题2 (课本P58问题2)：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.1-L根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系P (-)5730.21 1 1当生物死亡了5730, 2 5730, 3 5730 ,…年后，它体内碳14的含量P分别为?,(才2, (?)3，….是正整数1 1 1指数幕.它们的值分别为1 1 1，….2 4 8一6000 一10000 一1000001 ----- 1 ----------- 1 ------------当生物死亡600 0年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P分别为(―)5730,(_) 5730,(_) 5730，这些式子的意义又是什么呢？这些正是本节课要学习的内容.二、师生互动，新课讲解：1、问题引入：(1)若x2a，则x叫a的_」如：2是4的平方根一个正数的平方根有—个，它们互为____________ 数；负数没有平方根；零的平方根是一(2)若x3a，则x叫a的.女口：2是8的立方根，一2是一8的立方根。
§2.1.1《指数与指数幂的运算》教案(第一课时)
“目标导航，问题引领”自主学习法课堂模式备课设计高一数学组成员：周连平杨金银曹容菊何兴华苏春元郭婷秦丽§2.1.1《指数与指数幂的运算》教案（第一课时）高一数学备课组主备人：曹容菊时间：10月3日第二章基本初等函数（I）§2.1.指数函数§2.1.1指数与指数幂的运算一．教学目标（一）知识与技能目标：1、理解n次方根和根式的概念；2、理解有理数指数幂的意义，培养学生观察、分析、抽象等认知能力。
（二）过程与方法目标：通过师生共同讨论和探究的方法，使得学生参与到指数范围的扩充和完善的过程中，从而领会类比、从特殊到一般、分类讨论等数学思想方法的运用和提高分析解决问题的能力。
（三）情态与价值目标：1、体会数学模型与实际问题之间的关系，从而感受数学的应用价值；2、让学生体验数学的简洁美和统一美。
3、让学生学会用联系的观点看待问题。
二、教学重点和难点教学重点：理解有理数指数幂的意义。
教学难点：理解根式的概念、掌握根式与分数指数幂之间的转化三、学法与教学用具1、学法：根据本节课的特点，采用问题探究、引导发现和归纳概括相结合的教学方法。
2、教学用具：多媒体手段四、教学思路（第一课时）（一）创设情景，揭示课题．以实例引入，激发学生探究分数指数幂的兴趣与欲望。
问题1：百万富翁与“指数爆炸”：杰米是百万富翁,一天,一个叫的人对他说,我想和你订个合同,我将在整整一个月中每天给你10万元,而你第一天只需给我1分钱,以后你每天给我的钱是前一天的两倍.杰米欣喜若狂,同意了。
思考：杰米与韦伯一个月以后谁更有钱？问题2：当生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。
根据此规律，人们想获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 的关系。
引导学生得出关系式：573012t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭基于时间的连续性和死亡生物体碳14含量变化的连续性，说明引进分数指数幂必要性，如6000573012P ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
必修1教案2.1.1指数与指数幂的运算(二)
必修1教案2.1.1指数与指数幂的运算（二）2.1.1 指数与指数幂的运算（二）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质.3．情感、态度与价值观（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂概念的理解（三）教学方法发现教学法1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.（四）教学过程教学教学内容师生互动设计意图环节提出回顾初中时的整数指数幂及运算性质.老师提问，学生回答. 学习新知前的an?a?a?a???a,a0?1(a?0),问题 00无意义a?n简单复1?na(a?0)习，不仅能唤起学am?an?am?n;(am)n?amn(an)m?amn,(ab)n?anbn什么叫实数？有理数，无理数统称实数.生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备. 复习观察以下式子，并总结出规律：a＞0① 5 老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根数学中引进一a?5(a)?a?a a8?(a4)2?a4?a8210252105引入② ③ 54式可以写成分数作为指数的形式，个新的概（分数指数幂形式）”联想“根式的念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的. a?(a)?a?a 41012343124被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形④a?(a)?a?a5252105小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义. 根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：3a?a?(a?0)b?b?(b?0)122234c?c?(c?0)nmmn554即：a?a(a?0,n?N,n?1) 形成*为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导．让学生经历从概念a?a(a?0,m,n?N) 正数的定负分数指数幂的意义与负整mnnm*“特殊一一般”，“归纳一数幂的意义相同. 即：a?mn?1amn猜想”，(a?0,m,n?N*) 是培养学生“合情推理”能力的有效方式，同时学生也经历了指数幂的再发现过程，有利于培养学生的创造能力．规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义. 说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是 a?a?a???a(a?0) nm1m1m1m深化由于整数指数幂，分数指数幂都有意让学生讨论、研究，教师引导．通过本环节的教学，进一步体会上概念义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）a?a?arSrsr?s(a?0,r,s?Q) 一环节的设计意图．）（2）(a)?a(a?0,r,s?Q) （3rs(a?b)r?arbr(Q?0,b?0,r?Q) 若a＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P57――P58. 即：2的不足近似值，从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2. 所以，当2不足近似值从小于2的方向逼近时，5向逼近52. 当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，522的近似值从小于52的方的近似值从大于52的方向逼近52，(如课本图所示) 所以，52是一个确定的实数. 一般来说，无理数指数幂 ap(a?0,p是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小. 思考：2的含义是什么？由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即： 3ar?as?ar?s(a?0,r?R,s?R) (ar)s?ars(a?0,r?R,s?R)(a?b)r?arbr(a?0,r?R) 应用举例例题例1（P56，例2）求值学生思考，口答，教师板演、点评．例1解：① 8?(2) 23233通过这二个例题的解答，巩固所学的分1?516?38；25；()；()4. 281?2312例2（P56，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0） ?2a33?23?22?4； ?12数指数幂?12a3.a；a2?3a2；a. ② 25?(5) 2与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能力．分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算. 解：a.a?a?a?a232223331213?2?512?(?)21?5?； 5?1?a； 2372③ ()8312?5?(2?1)?5 a?a?a?a?a a32??a； ?2?1?(?5)?32； a?a?a?a?(a)?a. 134341322334?(?)16?32④()4?()4 813课堂练习：P59练习第 1，2，3，4题补充练习：227?()?3?. 38例2分析：先把根式化为分数1(2)?()2n?121. 计算：的结果；n?248n?14指数幂，再由运算性质来运算. 解：a.a?a?a 33122. 若a3?3,a10?384, ?a23?12?a； 222372a101求a3?[()7]n?3的值. a3 a?a?a?a ?a2?233?a；134383a3a?a?a?a 413223?(a)?a. 练习答案： 24n?4?2?2n?11.解：原式= 2n?62?2感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学 2_1_1 指数与指数幂的运算教案 新人教版必修1
黑龙江省鸡西市高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算教案新人教版必修1课题：§2.1.1指数及指数幂的运算启发式模式与方法教学使学生理根式的概念，掌握n次方根的性质。
目的重点指数的运算难点指数的运算教学内容师生活动及时间分配一，引入课题为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到实数指数幂，本小节主要学习分数指数幂的概念和运算性质，并给出了无理数指数幂的概念和性质。
2．为了学习分数指数的概念，首先要介绍根式的概念，学生在初中已学习了数的开平方、开立方和二次根式，根式的内容是这些已学内容的推广。
因此要结合这些已学内容引入根式的概念和n次方根的性质。
二、探索新知（一）引出根式的概念。
需要注意的是，当n是奇数时，表示a的n次方根；当n是偶数时，.a≥0，表示正的n次方根或0。
在两种情况下，。
也就是说，先开方，再乘方（同次），结果为被开方数，如果先乘方，再开方（同次），结果是什么呢？可让学生分别求出的结果，然后指出，一般地，当n 为奇数时，，当n为偶数时，。
可向学生说明，当n 是偶数时。
的结果为|a|，是因为≥0时，而则是根据绝对值的意义得出的。
课堂练习： 1、填空：（1）25的平方根是 （2）27的立方根是（3）－32的五次方根为 （4）16的四次方根是2、若244(),a a a -=-则a 的取值范围是 3、求下列各式的值（1）2(5) （2）33(2)- （3）44(2)- （4）2(3)π-.四，小结：教师引导学生总结并补充教师引导学生复习初中所学的公式及相关知识引导讨论x 的范围 加深对于公式的理解及应用欢迎您的下载，资料仅供参考！。
高中数学人教版必修一：2.1.1指数与指数幂的运算教学设计
数学教学设计检查结果及修改意见：合格[ ] 不合格[ ]组长（签字）：检查日期：年月日精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
211指数与指数幂的运算公开课(教学设计)
2.1.1指数与指数幂的运算(2)（教学设计）内容：分数指数幂吕桂梅 2017年4月12日一、教学目标：知识与技能：理解分数指数幂的含义，了解分数指数幂的运算性质，掌握根式与分数指数幂的互化。
通过具体实例了解实数指数幂的意义。
过程与方法：回顾整数指数幂的定义过程，学生通过观察，模仿，并进行合作交流，对整数指数幂进行推广，寻求分数指数幂最合理自然的规定方式。
情感、态度与价值观：通过对指数的推广，感受从特殊到一般的思想方法，提高数学的基本运算能力，体会数学的理性精神以及数学的美学意义。
二、教学重点：分数指数幂的意义和运算性质。
三、教学难点：分数指数幂的概念。
四、 教学过程：（一） 复习回顾整数指数幂，运算性质:；；，（为什么？）；n m n m a a a +=•； mn n m a a =)(； n n n b a ab =)(；（二）新课讲解1、分数指数幂的意义：当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式。
2、思考下面的算式能否这样表示？3232a a =21b b =4545c c = 当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以表示为分数指数幂的形式。
那么我们将这个结论推广到正数的正分数指数幂的形式上去？ 3、定义： （1）正数的正分数指数幂的意义： （2）正数的负分数指数幂的意义： 注意：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义（3）由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：①(0,,)r s r s a a a a r s Q +•=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s Q a =>∈③()(0,0,)r r r a b a b a b r Q •=>>∈【利用类比的思想方法，将整数指数幂的运算性质类比为有理数指数幂的运算性质，体现了合情推理，便于学生对知识的整体建构。
高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算(一)教案 新人教版必修1(2021年最新整理)
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2.1.1 指数与指数幂的运算（一）一、内容及其解析（一)内容:章导言,引出指数幂概念的推广，根式．（二）解析：本节课是关于根式的一节概念课,是高中新课改人教A版教材第二章的第一节课．第一章主要介绍了函数的概念，本章计划用14个课时重点介绍几类具体的基本初等函数，以此进一步理解函数概念，认识函数的思想．其中，指数函数计划用5课时，具体分配如下:根式(含章导言)1课时，分数指数幂无理指数幂1课时,指数函数及其性质3课时．1．章导言在本节课起到了一个承上启下的作用，特别对学习基本初等函数具有引导作用．2．本章首先要介绍的是指数函数，即f(x)=a x（a〉0且a≠1)，这里的a x是一个指数幂，其中x∈R．这就涉及到实数指数幂的概念，而在此之前同学只学过整数指数幂，所以需要在学习指数函数前将同学已有指数幂的概念进行推广，由整数指数幂推广到有理指数幂，再进一步推广到实数指数幂．由于先有根式才有有理指数幂（分数指数幂）,根式就成了有理指数幂的基础，而方根又是根式概念的核心,所以本节课主要就是针对有理指数幂，从n次方根逐步认识根式，为进一步认识有理指数幂奠定基础．3．由于本模块、本章和本节都是围绕函数这一核心，从不同角度展开研究,所以无论是指数和指数幂的运算，还是根式，都是为函数教学服务的，都不是我们研究的重点．这样,本节课的重点就应该放在为后续内容的铺垫上,即将整数指数幂推广到有理指数幂和引入指数函数，而关键在于根式的概念，包括n次方根定义、表示和性质．二、目标及其解析（一)教学目标1．初步了解指数幂和指数函数;2．通过类比平方根、立方根，认识n次方根，进而初步理解根式的概念．(二）解析1．《课程标准》没有明确提出本节课的具体教学内容和要求,但根据它对本模块、本章和本节的内容要求,结合教科书当前和今后内容的实际，基于对相关内容的分析，提出了上述教学目标的内容并给出了相应的要求定位．2．初步了解指数幂和指数函数，主要是指结合具体事例，从它们的表示形式上对它们有所了解，并不给出它们的定义，更不涉及其运算或图象、性质．3．由于本节课的教学内容不仅涉及根式的定义,还涉及其表示和性质，后续内容还涉及其运算，所以对根式概念的定位应该是理解层次．而本小节教科书之后将不再专门介绍根式，所以本节课务求初步理解根式概念,而在下节课的根式运算中逐步达到真正的理解．4．在与平方根、立方根比较的过程中，可以进一步学习类比的思想方法，提高同学的思维水平．并在推广与化归的过程中，形成根式的知识链．三、问题诊断分析同学在理解根式概念的过程中可能会遇到困难，具体表现在对n次方根定义的理解，特别是n次方根的存在性，以及性质的认识．因为从平方根和立方根到n次方根，是一个特殊到一般的变化过程,要求同学具有一定的归纳概括能力和抽象能力．要克服这一困难,关键是引导同学建立n次方根与平方根和立方根的联系,通过类比平方根和立方根，让同学在已有的认知基础上,从具体例子出发，不断地观察、比较、模仿、判断,从而形成概念,同时将新知识同化到已有的认知结构中，从而克服可能遇到的困难．四、教学过程设计(一）教学基本流程（二)教学情景1．本章学习引导问题1：给出化石图片,归纳出函数关系式。
高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(一)全册精品教案 新人教A版必修1
2.1.1 指数与指数幂的运算（一）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解n次方根与根式的概念；（2）正确运用根式运算性质化简、求值；（3）了解分类讨论思想在解题中的应用.2．过程与方法通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质.3．情感、态度与价值观（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（2）培养学生认识、接受新事物的能力.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）根式概念的理解；（2）掌握并运用根式的运算性质.2．教学难点：根式概念的理解.（三）教学方法本节概念性较强，为突破根式概念的理解这一难点，使学生易于接受，故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念，在得出根式概念后，要引导学生注意它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解，并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发现，学生合作交流，自主探索的教学方法.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题先让我们一起来看两个问题（见教材P52—53）.在问题2中，我们已经知道23111,(),(),222…老师提出问题，学生思考回答.由实际问题引入，激发学是正整数指数幂，它们的值分别为111 ,,, 248….那么，600010000100000573057305730 111(),(),()222的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先学习根式的知识.生的学习积极性.复习引入什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a=，则x叫做a的平方根.同理，若3x a=，则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.师生共同回顾初中所学过的平方根、立方根的定义.学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.形成概念类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念.n次方根：一般地，若n x a=，则x叫做a的n次方根（throot），其中n ＞1，且n∈Ｎ＊,当n为偶数时，正数a的n次方根中，正数用n a表示，如果是负数，用n a-表示.当n为奇数时，a的n次方根用符号n a表示，n a叫做根式.其中n称为根指数，a为被老师点拨指导，由学生观察、归纳、概括出n次方根的概念.由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力.开方数.深化概念类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？nnn a n aan a n a⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数, 的次方根有一个,为为正数:为偶数, 的次方根有两个,为nn a n aan a n⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为为负数:为偶数, 的次方根不存在.零的n次方根为零，记为00n=举例：16的次方根为2±，527527--的次方根为等等，而27-的4次方根不存在.小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.根据n次方根的意义，可得：()nn a a=()nn a a=肯定成立，n n a表示a n的n次方根，等式n n a a=一定成立吗？如果不一定成立，那么n n a等于什么？让学生注意讨论，n为奇偶数和a的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到：n为奇数，n n a a=n为偶数,,0||,0n na aa aa a≥⎧==⎨-<⎩让学生对n为奇偶数进行充分讨论.通过探究得到：n为奇数，n n a a=；n为偶数,,0||,0n na aa aa a≥⎧==⎨-<⎩.举出实例，加深理解.通过分n为奇数和偶数两种情况讨论，掌握n次方根概念，培养学生掌握知识的准确性、全面性，同时培养学生的分类讨论的能力备选例题例1 计算下列各式的值. （1）33)(a ；（2 （1n >，且n N *∈） （3）1n >，且n N *∈）【解析】（1）a a =33)(.（2）当n =3π-； 当n =3π-. （3）||x y -，当x y ≥时，x y -； 当x y <时，y x -.【小结】（1）当n 为奇数时，a a nn =； 当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a nn（2）不注意n的奇偶性对式子n n a值的影响，是导致错误出现的一个重要原因.故要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用.例2 求值：【分析】需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；==||2|2=+---=2(2=【小结】开方后带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值.。
【优质文档】必修1教案2.1.1指数与指数幂的运算(三)
课堂练习：
化简：
2
9
（1） ( 9) 3 ( 3 102 ) 2
用哪一种形式表示， 但不能同时含
有根号和分数指数， 也不能既有分
母，又含有负指数 .
5 1002 ；
练习答案：
（2） 3 2 2 3 2 2 ；
2
2
解（ 1）原式 = 3 3 103 10 5
（3） a a a a .
2
11
= 3 3 10 5 ；
（2） 原式
归纳 总结
1.熟练掌握有理指数幂的运算法 则，化简的基础 . 2.含有根式的式子化简，一般要 先把根式转化为分数指数幂后再 计算 .
课后 作业： 2.1 第三课时 习案 作业
=1 2 ( 1 2)
=2；
1 11
（3）原式 = ((a(a 2 )) a )a
31
3
= (a 2 )a 2 = a 2a 2 .
指数 幂 与根 式
我们看到（ 1）小题是单项式 的 互
的乘除运算；（ 2）小题是乘方形式 的运算，它们应让如何计算呢？
化， 以 及分 数
其实，第（ 1）小题是单项式 的乘除法， 可以用单项式的运算顺
指数 幂 的求
序进行 . 第（ 2）小题是乘方运算，可
值， 提 高运 算
先按积的乘方计算， 再按幂的乘方 进行计算 .
a r a s ar s (a 0, r R, s R)
( a r ) s a rs (a 0, r R, s R)
(a b)r ar br ( a 0, r R)
应用
例 1．（ P56，例 4）计算下列各式
（式中字母都是正数）
学生思考，口答，教师板演、 点评．
高一数学《指数与指数幂的运算(二)》教学设计
芯衣州星海市涌泉学校2.1.1指数与指数幂的运算〔2〕一、内容与解析(一〕内容：分数指数幂〔二〕解析：本节课是关于分数指数幂的一节概念与运算课，是高中新课改A版教材第二章的第二节课．第一节课主要介绍了根式的意义及其根本性质。
而本节课是在根据数的运算性质情况下，将分数指数幂与根式联络起来，从而导出分数指数幂的意义，并推广整数指数幂的运算性质到有理数指数幂的运算性质。
分数指数幂是学生继续学习无理数指数幂的根底，是学生认识指数幂从整数指数幂推广到实数指数幂的根底。
本节课的重点是理解分数指数幂的意义及相关的运算。
二、教学目的及解析1.理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的才能.2.掌握根式与分数指数幂的互化,浸透“转化〞的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯.3.能纯熟地运用有理指数幂运算性质进展化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算才能.三、问题诊断分析在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是分数指数幂与根式的互相转化,产生这一问题的原因是分数指数幂的意义不能正确理解.要解决这一问题,就是要求学生理解意义、多训练.四、教学支持条件分析在本节课()的教学中,准备使用(),因为使用(),有利于().五、教学过程问题1根式与正分数指数幂有何内在联络呢？(1)整数指数幂的运算性质是什么？ (2)观察以下式子,并总结出规律：a ＞0,①510a =352)(a =a2=a510;②8a=24)(a =a4=a 28; ③412a =443)(a =a3=a 412; ④210a=225)(a =a5=a210.(3)利用(2)的规律,你能表示以下式子吗？435,357,57a ,nmx (x>0,m,n∈N*,且n>1).(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (5)你能推广到一般的情形吗？活动：学生回忆初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每一小题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把详细推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示. 讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=a·a·a·…·a,a0=1(a≠0);00无意义; a-n=na 1(a≠0);am·an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.(2)①a 2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根.本质上①510a=a 510,②8a=a 28,③412a=a 412,④210a=a 210结果的a 的指数是2,4,3,5分别写成了510,28,412,510,形式上变了,本质没变. 根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式〔分数指数幂形式〕.(3)利用(2)的规律,435=543,357=7,57a=a 57,nmx=xn m .(4)53的四次方根是543,75的三次方根是7,a7的五次方根是a 57,xm 的n 次方根是xnm .结果说明方根的结果和分数指数幂是相通的.(5)假设a>0,那么am 的n 次方根可表示为na m=anm ,即a nm =na m(a>0,m,n∈N*,n>1).综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书:规定:正数的正分数指数幂的意义是a mn =na m(a>0,m,n∈N*,n>1).问题2有理数指数幂的意义是什么？它有哪些运算性质呢？ ①负整数指数幂的意义是怎样规定的 ②你能得出负分数指数幂的意义吗 ③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义 ④综合上述,如何规定分数指数幂的意义⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a ＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会答复,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义交融起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生交流,以详细的实例说明a ＞0的必要性,教师及时作出评价. 讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a-n=na 1(a≠0),n∈N*.②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.规定:正数的负分数指数幂的意义是a mn =mn a1=nma1(a>0,m,n∈N*,n>1).③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. ④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a mn =nma (a>0,m,n∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma1(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.⑤假设没有a ＞0这个条件会怎样呢如(-1)=3-1=-1,(-1)62=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a ＞0的条件,比方式子3a2=|a|32,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出如今指数上. ⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质: 〔1〕ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q), 〔2〕(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q), 〔3〕(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题. 例题与变式题组例1求值:①832;②2521-③(21)-5;④(8116)43-.活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或者者化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52,21写成2-1,8116写成(32)4,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己之答案用投影仪展示出来.解：①832=(23)32=2323⨯=22=4;②2521-=(52)21-=5)21(2-⨯=5-1=51; ③(21)-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;④(8116)43-=(32))43(4-⨯=(32)-3=827.点评：本例主要考察幂值运算,要按规定来解.在进展幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如832=328=364=4.例2用分数指数幂的形式表示以下各式.a3·a ;a2·32a ;3aa (a>0).活动：学生观察、考虑,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进展,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结.解：a3·a =a3·a21=a213+=a 27;a2·32a=a2·a 32=a232+=a;3aa =(a·a)21=(a 34)21=a 32.点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进展根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数. 例3计算以下各式〔式中字母都是正数〕:〔1〕(2a 32b21)(-6a 21b)÷(-3a 61b65);〔2〕(m 41n83-)8.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四那么运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩大到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四那么运算顺序,再解答,把自己之答案用投影仪展示出来,互相交流,其中要注意到〔1〕小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进展,要注意符号,第〔2〕小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进展计算,熟悉后可以简化步骤.解：〔1〕原式=［2×(-6)÷(-3)］a612132-+b653121-+=4ab0=4a;〔2〕(m 41n 83-)8=(m 41)8(n 83-)8=m841⨯n883⨯-=m2n-3=32nm .点评：分数指数幂不表示一样因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法那么进展运算了. 本例主要是指数幂的运算法那么的综合考察和应用. 变式训练 求值:(1)33·33·63; (2)6463)12527(n m . 解：(1)33·33·63=3·321·3·361=36131211+++=32=9；(2)6463)12527(n m =(6463)12527(nm =(646333)53(nm =646643643643)()5()()3(n m =42259n m =42259-n m . 例4计算以下各式:〔1〕(125253-)÷425;〔2〕322aa a •(a ＞0〕.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第〔1〕小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,第〔2〕小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法那么计算,最后写出解答.解：〔1〕原式=(25-12521)÷2541=(532-523)÷521=52132--52123-=561-5=65-5;〔2〕322a a a •=32212aa a •=a32212--=a 65=65a .例2求以下各式的值:(1)432981⨯;(2)23×35.1×612.活动：学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后再由运算法那么计算,假设根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由里往外432981⨯=421344)3(3⨯,对(2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进展评价.解：(1)432981⨯=［34×(334)21］41=(3324+)41=(3314)41=367=633;(2)63125.132⨯⨯=2×321×(23)×(3×22)61=231311++·3613121++=2×3=6.例3计算以下各式的值:〔1〕［(a23-b2)-1·(ab -3)21(b 21)7］;〔2〕1112121-+-++--a a a a a;(3)14323)(---÷a b b a.活动：先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进展积的乘方,再进展同底数幂的乘法,最后再乘方,或者者先都乘方,再进展同底数幂的乘法,对〔2〕把分数指数化为根式,然后通分化简,对〔3〕把根式化为分数指数,进展积的乘方,再进展同底数幂的运算.解：(1)原式=(a23-b2)31-(ab-3)61·(b 21)37=a 21b 32-a 61b 21-b 67=a 6121+b672132+--=a 32b0=a 32;另解：原式=(a 23b-2a 21b 23-·b27)=(a2123+b27232+--)=(a2b0)=a32;〔2〕原式=11111-+-++a aa aa =)1(1-+a a a =)1(11-+-a a a a=)111(1-+-a a a= )1(2--a a =)1(2a a a-;〔3〕原式=〔a 21b 32〕-3÷(b -4a-1)21=a23-b-2÷b -2a21-=a2123+-b-2+2=a-1=a1. 例5f 〔x 〕=ex －e-x,g 〔x 〕=ex+e-x. 〔1〕求［f 〔x 〕］2－［g 〔x 〕］2的值；〔2〕设f 〔x 〕f 〔y 〕=4,g 〔x 〕g 〔y 〕=8,求)()(y x g y x g -+的值.活动：学生观察题目的特点,说出解题的方法,整体代入或者者利用公式,建立方程,求解未知,假设学生有难度,教师可以提示引导,对〔1〕为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难以发现和未知的关系,可写出详细算式,予以探求.解：(1)［f 〔x 〕］2－［g 〔x 〕］2=［f 〔x 〕+g 〔x 〕］·［f 〔x 〕－g 〔x 〕］ =〔ex －e-x+ex+e-x 〕〔ex －e-x －ex －e-x 〕=2ex 〔－2e-x 〕=－4e0=－4; 另解：(1)［f 〔x 〕］2－［g 〔x 〕］2=(ex-e-x)2-(ex+e-x)2 =e2x-2exe-x+e-2x-e2x-2exe-x-e-2x =-4ex-x=-4e0=-4;(2)f 〔x 〕·f〔y 〕=〔ex －e-x 〕〔ey －e-y 〕=ex+y+e-(x+y)－ex-y －e-(x-y)=g 〔x+y 〕－g 〔x －y 〕=4, 同理可得g 〔x 〕g 〔y 〕=g 〔x+y 〕+g 〔x －y 〕=8,得方程组⎩⎨⎧=++=+8,y)-g(x y)g(x 4,y)-g(x -y)g(x 解得g 〔x+y 〕=6,g 〔x －y 〕=2.所以)()(y x g y x g -+=26=3.点评：将条件变形为关于所求量g 〔x+y 〕与g 〔x －y 〕的方程组,从而使问题得以解决,这种处理问题的方法在数学上称之为方程法,方程法所表达的数学思想即方程思想,是数学中重要的数学思想. 知能训练课本P54练习1、2、3. ［补充练习］教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答,教师巡视,启发,对做得好的同学给予表扬鼓励. 1.(1)以下运算中,正确的选项是() A.a2·a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2C.(a-1)0=0D.(-a2)3=-a6 (2)以下各式①42)4(n-,②412)4(+-n ③54a ,④45a 〔各式的n∈N,a∈R〕中,有意义的是()A.①②B.①③C.①②③④D.①③④(3)24362346)()(a a •等于()A.aB.a2C.a3D.a4 (4)把根式－232)(--b a 改写成分数指数幂的形式为()A.-2(a-b)52- B.-2(a-b)25-C.-2(a52--b52-)D.-2(a25--b25-)(5)化简〔a 32b 21〕〔-3a21b 〕÷〔31a 61b 65〕的结果是()A.6aB.-aC.-9aD.9a2.计算：(1)0.02731-－〔－71〕-2+25643－3-1+〔2－1〕0=________.(2)设5x=4,5y=2,那么52x-y=________.3.x+y=12,xy=9且x ＜y,求21212121yx y x +-的值.答案：1.(1)D(2)B(3)B(4)A(5)C2.(1)19(2)83.解：21212121yx y x +-=))(())((2121212121212121y x y x y x y x -+--=yx yy x x -+-21212. 因为x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.又因为x ＜y,所以x-y=-2×33=-63.所以原式36612--=33-. 拓展提升1.化简111113131313132---+++++-x xx x x x x x .活动：学生观察式子特点,考虑x 的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进展因式分解,根据此题的特点,注意到:x-1=(x)3-13=(x-1)·(x 32+x+1); x+1=(x)3+13=(x+1)·(x32-x+1);x-x=x ［(x)2-1］=x(x-1)(x+1). 构建解题思路教师适时启发提示.解：111113131313132---+++++-x xx x x x x x =111)(11)(3131323131333131323331---+++++-x x x x x x x x x=)1()1)(1(1)1)(1(1)1)(1(31313131313132312132313231-+--++-++++++-x x x x x x x x x x x x x=x-1+x 32-x+1-x 32-x=-x.点拨:解这类题目,要注意运用以下公式, (a 21-b 21)(a 21+b 21)=a-b, (a 21±b 21)2=a±2a 21b 21+b, (a±b)(a 32ab+b 32)=a±b. 2.a 21+a 21-=3,探究以下各式的值的求法. (1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)21212323----a a aa . 解：(1)将a 21+a 21-=3,两边平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7;(2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47;(3)由于a 23-a 23-=(a 21)3-(a21-)3, 所以有21212323----a a a a =2121212112121))((-----++-a a a a a a a a =a+a-1+1=8. 点拨:对“条件求值〞问题,一定要弄清与未知的联络,然后采取“整体代换〞或者者“求值后代换〞两种方法求值.课堂小结活动：教师,本节课同学们有哪些收获请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间互相交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点:(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是am n =n a m(a>0,m,n∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a m n -=m na 1=n m a 1(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.(3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r 、s,均有下面的运算性质:①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q),②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(4)说明两点:①分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只说明这种规定的合理性,其中没有推出关系.②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因此分数指数幂与根式可以互化,也可以利用(an)n m =n mn a =am 来计算.。
高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(一)教案 新人教A版必修1
高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算（一）教案新人教A版必修1（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解三．学法与教具1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法2．教具：多媒体四、教学设想：第一课时一、复习提问：什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a=，则x叫做a的平方根.同理，若3x a=，则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.二、新课讲解类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念.n 次方根：一般地，若nx a =，则x 叫做a 的n次方根（throot ），其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊,当n 为偶数时，a 的n 次方根中，正数用na 表示，如果是负数，用n a -表示，na 叫做根式.n 为奇数时，a 的n 次方根用符号na 表示，其中n 称为根指数，a 为被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？零的n 次方根为零，记为00n=举例：16的次方根为2±，527527--的次方根为等等，而27-的4次方根不存在.小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况.根据n 次方根的意义，可得：()nna a=肯定成立，nna表示a n的n 次方根，等式nn a a=一定成立吗？如果不一定成立，那么nna 等于什么？让学生注意讨论，n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到：n nn a a=n 为偶数,0||,0nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩34334(3)27(8)|8|8--=--=-=小结：当n nna 绝对值，再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误：例题：求下列各式的值（1）33(1)(8)- 2(2)(10)- 44(3)(3)π-2(4)()a b -分析：当n ||nn a a =，然后再去绝对值.()nn nn a a =是否成立，举例说明.课堂练习：1. 求出下列各式的值22211,a a a a -+=-求的取值范围. 3343334(8)(32)(23)---三．归纳小结：1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n ,x a x a n是的次方根,n 为奇数时,=n为偶数时，nx a =±2．掌握两个公式：(0),||(0)n n n a a n a n a a a a ≥⎧==⎨-<⎩n 为奇数时,()为偶数时,3．作业：P 69习题2.1 A 组 第1题。
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理 论 迁 移 例3 化简下列各式： (1)
a 1
2
3 3 ； ( 1 a ) (1 a ) 2
(2) 5 2 6 4 9 ； (3) 2 3 2 3 ； (4) 3 2 5 3 2 5 .
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自 学 检 测 问题5:正分数指数幂的意义？
我们规定：
a a (a 0, m, n N , 且n 1)
n m *
m n
思考2:你认为如何规定负分数指数幂的含义？
a
m n
1 a
m n
(a 0, m , n N * , 且n 1)
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s t
t s
有何关系？
实际上s, t推广到实数范围后运算 法则也成立 .
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释 疑 解 惑
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理 论 迁 移 例1 求下列各式的值：
(1) 64 ； (2)
3
( 2) 4
； (3)
(6)
3
( 8) 3
；
(4)
( 10 ) 2
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课 堂 提 炼 平方差公式
a 2 b2 (a b)(a b)
立方和、差公式
a 3 b3 (a b)(a 2 ab b2 )
完全平方公式
(a b)2 a 2 2ab b2
完全立方公式
(a b)3 a 3 3a 2b 3ab2 b3
2.化简： a 2 a 1 a 2 a 1 (a 1).
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自 主 作 业
《自主学习册》
训练案：Ⅰ类题和Ⅱ类题
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n
a ( n N , n 1) 叫做根式，
其中n叫做根指数，a叫做被开方数. 根指数
n
a
根号
ห้องสมุดไป่ตู้
被开方数
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自 学 检 测 问题3：a的n次方根用根式怎么分类表示？ 当n是奇数时，a的n次方根为 n a . 当n是偶数时,若a>0，则a的n次方根为 n a ;
理 论 迁 移 例4 求下列各式的值
2 3
3 1 5 16 4 （1） 27 ; (2) 25 ; (3) ( 2 ) ; (4) ( ) ; 81 3 ( （5） 25 125) 4 25 .
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复 习 回 顾
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自 学 检 测 思考3:怎样理解 0 的分数指数幂的意义？ 0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义.
思考4: (2) ,(2) ,( 2)
当
m n
2 3
3 2
3 5 都有意义吗？
a 0 时， a (m, n N * , 且n 1)何时无意义？
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( 2)( x y z ) ( x y z )
1 27 2 ( 3)( ) 3 (0.002) 2 10( 5 2)1 ( 2 3 )0 8
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理 论 迁 移
例7
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课 堂 提 炼 有理数指数幂的运算性质： (i) (ii) (iii)
a a a s t s t (a ) a t t t (a b) a b
s t
s t
其中s, t Q, a 0, b 0
思考：
(a ) 与 (a ) s t t s (a ) (a )
理 论 迁 移
例5 化简下列各式
(1)a 3 3 a 2
(2)a a a
5 6
1 3
3 4
7 12
(3)a a a
3 2
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理 论 迁 移 例6 计算下列各式（字母都是正数）：
(1) 5x
1 2 3
y
1 2 1 1
1 1 2 5 3 6 ( x y )( x y ) 4 6
若a=0，则a的n次方根为0；
若a<0，则a的n次方根不存在.
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自 学 检 测 问题4：根式有哪些性质？ （1 ） ( a ) a
n n
（2）当n是奇数时
n
当n是偶数时
a a n n | a | a
n
思考1:对任意实数a，b，等式 n a n b n ab 成立吗 ？
已知 x x
（1 ） x x
3 2
1
1 2
1 2
4 ，试求下列各式的值：
；
；
（2 ） x x
3 2
3 2
x x 2 （3 ） . 1 x x 5
3 2
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课 堂 拓 展
1.若10m 2,10n 3, 试求 103m n 的平方根 .
新 课 引 入 引例2.当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定 的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的 一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,生 物体内碳14t含量P与死亡年数t之间的关系式 为 ，那么当生物体死亡了１万年 后，它体内碳14的含量为多少？ 思考: 对
1 1.073 ， 2
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10000 5730
1 5730 p 2
这两个数的意义如何？
怎样运算？
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自 学 检 测 问题1:a的n次方根的定义是什么? 一般地，如果
x a，那么x叫a的n次方根，
n
其中n＞1且n∈N.
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自 学 检 测 问题2:根式的概念是什么？ 我们把式子
； (5)
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( 3 )4；
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(a 1)8.
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理 论 迁 移 例2 把下列根式写成分数指数幂的形式：
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a 2；
( a b) 2；
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(a 2 b 2 )3；
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a 2b ab2 (a 0, b 0).
新 课 引 入 引例1.据国务院发展研究中心2000年发表的《未来 20年我国发展前景分析》判断,未来20年， 我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达 到7.3%.那么在2001---2010年, 我国的GDP可 望为2000年的多少倍?
1 7.3%10
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