2021高考数学一轮习题：专题6+第49练+数列小题综合练

即 f1(x)max＝8＝32－1，且 f1(x)>0，
同理 f2(x)max＝f(f1(x)max)＝f(32－1＋1)2－1＝34－1＝322－1，且 f2(x)>0，
同理 f3(x)max＝f(f2(x)max)＝f(34－1＋1)2－1＝38－1＝323－1，且 f3(x)>0，
依此类推 f2 019(x)max＝f(f2 018(x)max)＝322 019－1.]
D．Tn<bn＋1
1
9．记数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sn＝3an＋2n－3，则 a1＝________，数列{an}的通项公式 为 an＝________. 10．已知 an＝n1－bbn＋－13b－2(b>1，n≥2)，若对不小于 4 的自然数 n，恒有不等式 an＋1>an 成 立，则实数 b 的取值范围是______________．
n－1 n＋1
1 n－1
2
2
＝[f(0)＋f(1)]＋ f n ＋f n ＋…＋ f n ＋f n
＝2×n＋1＝n＋1，综上所述，an＝n＋1.] 2
13．D [∵f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1 在(0，＋∞)上为增函数，且 f(x)>0，
∴f1(x)＝f(x)＝x2＋2x 在[1,2]上为增函数，
14．B [∵an＋1－an－1<3n＋1， 2
∴an＋2－an<3n＋1＋12，
4
又∵an＋2－an>3n＋1－1， 2
∴3n＋1－1<an＋2－an<3n＋1＋1，
2
2
∵an∈Z，∴an＋2－an∈Z，
则 an＋2－an＝3n＋1，
于是得到
a3－a1＝32，a5－a3＝34，…，a2 019－a2 017＝32 018，
11．(2020·石家庄调研)设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数，对任意实数 x，y，都有 f(x＋y)
＝f(x)f(y)，若 a1＝12，an＝f(n)(n∈N*)，数列{an}的前 n 项和 Sn 组成数列{Sn}，则有(
)
A．数列{Sn}递增，最大值为 1
B．数列{Sn}递减，最小值为12
2
c1＋c2＋c3＋…＋c2 019 的值为________． 16．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 2Sn＝3n＋1－3，若(2λ－1)an>36(n－3)对一切 n∈N*恒 成立，则实数λ的取值范围是______________．
3
答案精析
1．B 2.D 3.C 4.C 5.D 6.D 7.BD 3
上述所有等式全部相加得
a2
019－a1＝32＋34＋…＋32
018＝321－91 1－9
009＝32
020－9， 8
因此，a2 019＝a1＋32 020－9＝1＋32 020－9＝32 020－1.]
8
8
8
15．3
13，＋∞ 16. 18
解析 ∵2Sn＝3n＋1－3，∴2a1＝9－3＝6，a1＝3，
2
3n
2
34
18 18
5
n－1
当 n 为偶数时，an＝f(0)＋f n ＋f n ＋…＋f n ＋f(1)
1 n－1
1n－1
1n＋1
2
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
＝[f(0)＋f(1)]＋ f n ＋f n ＋…＋ f n ＋f n ＋f 2
＝2×n＋1＝n＋1， 2
12
n－1
当 n 为奇数时，an＝f(0)＋f n ＋f n ＋…＋f n ＋f(1)
an>3n＋1－1，则 a2 019 等于(
)
2
A.32 021－1 8
C.32 019－1 8
B.32 020－1 8
D.32 018－1 8
15．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到了重要的作
用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即
13．已知函数 f(x)＝x2＋2x(x>0)，若 f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N*，则 f2 019(x)在[1,2]上
的最大值是( )
A．42 018－1
B．42 019－1
C．92 019－1
D．322 019－1
14．(2019·安徽六安一中期末)已知数列{an}满足 a1＝1，an∈Z，且 an＋1－an－1<3n＋12，an＋2－
当 n>1 时，2an＝2Sn－2Sn－1＝3n＋1－3n＝2×3n，an＝3n .
又 31＝a1 且(2λ－1)an>36(n－3)，∴2λ－1>36n3－n 3，得λ>12＋18n3－n 3，
因为18n－2－18n－3＝187－2n，
3n＋1
3n
3n＋1
所以当 n＝4 时，1＋18n－3 取得最大值，最大值为1＋184－3＝13，λ>13.
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，….即 F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，
此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被 4 整除后的余数
构成一个新的数列{bn}，又记数列{cn}满足 c1＝b1，c2＝b2，cn＝bn－bn－1(n≥3，n∈N*)，则
A．22 B．23 C．24 D．25
8．(多选)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数 y＝3×2x 的图象上，等 比数列{bn}满足 bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前 n 项和为 Tn，则下列结论错误的是( )
A．Sn＝2Tn
B．Tn＝2bn＋1
C．Tn>an
的取值集合为( )
A．{1,2,3}
B．{1,2,3,4}
C．{1,2,3,5}
D．{1,2,3,6}
6．(2020·济南质检)已知函数 f(x)＝x2＋2bx 的图象在点 A(0，f(0))处的切线 l 与直线 x＋y＋3
1 ＝0 垂直，若数列 fn 的前 n 项和为 Sn，则 S2 020 的值为( )
8．ABC 9.1 2－ 2 n 10.(3，＋∞) 2
11．C
12．C
[f(x)＝f
x＋1 2
－1
在
R
上为奇函数，
故 F(－x)＝－f(x)，代入得
f
1－x 2
＋f
1＋x 2
＝2，x∈R，
1
当 x＝0 时，f 2 ＝1，令 t＝1－x，则1＋x＝1－t，上式即为 f(t)＋f(1－t)＝2，
2
2
12
32
3．已知等差数列{an}(n∈N*)的公差为 d，前 n 项和为 Sn，若 a1>0，d<0，S3＝S9，则当 Sn 取
得最大值时，n 等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
4．已知数列{an}为等差数列，且 a8＝1，则 2|a9|＋|a10|的最小值为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
5．已知等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，(n＋1)Sn＝(6n＋18)Tn.若abnn∈Z，则 n
C．数列{Sn}递增，最小值为12
D．数列{Sn}递减，最大值为 1
12．已知 an＝f(0)＋f
1 n ＋f
2 n ＋…＋f
n－1 n ＋f(1)(n∈N*)，又函数 f(x)＝f
x＋1 2 －1 是 R 上
的奇函数，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝n
B．an＝2n
C．an＝n＋1
D．an＝n2－2n＋3
1．已知数列{an}满足 a1＝2，an＋1an＝an＋(－1)n(n∈N*)，则a4的值为( ) a2
A.16 B.4 C.1 D.8 15 3 3 3
2．(2019·广东联考)在等比数列{an}中，a5a7＝6，a2＋a10＝5，则aa1180等于(
)
A．－2或－3
B.2
32
3
C.3
D.2或3
2
A.2 022 B.2 019 C.2 021 D.2 020 2 021 2 020 2 020 2 021
7．(多选)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1>0，S50＝0.设 bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，则当数列
{bn}的前 n 项和 Tn 取得最大值时，n 的值可以为( )