2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练17
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练10
随堂巩固训练(10)1. 已知n ∈{－1，0，1，2，3}，若⎝⎛⎭⎫－12n >⎝⎛⎭⎫－15n，则n ＝__－1或2__. 解析：根据幂函数的性质知y ＝x－1或y ＝x 2在区间(－∞，0)上是减函数，故满足⎝⎛⎭⎫－12n>⎝⎛⎭⎫－15n的值只有－1和2. 2. 已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1，再将点⎝⎛⎭⎫12，22代入f(x)＝x α，得⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，故f(x)＝x 12.3. 已知幂函数f(x)＝k·x α满足f （9）f （3）＝3，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1.因为f （9）f （3）＝3，所以9α3α＝3，解得α＝12，故f(x)＝x 12.4. 若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan aπ6的值为．解析：由题意，得3a ＝9，解得a ＝2，所以tan aπ6＝tan π3＝ 3.5. 已知点⎝⎛⎭⎫12，2在幂函数y ＝f(x)的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数y ＝g(x)的图象上，则f(2)＋g(－1)＝__32__．6. 已知函数f(x)＝x α(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x<1，则0<f(x)<1；③当x>0时，若f(x 1)>f(x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f （x 1）x 1<f （x 2）x 2.其中正确的命题有__①②③__．(填序号)7. 已知幂函数y ＝x n m，其中m ，n 是取自集合{1，2，3}中的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为__13__．解析：由题意得n m 所有值的集合为{12，13，2，23，3，32}，当n m 为2或23时，函数y ＝x nm为偶函数，所以该函数为偶函数的概率为13.8. 已知函数：①y ＝x 43；②y ＝x 32；③y ＝x －2；④y ＝x －14，其中既是偶函数又在区间(－∞，0)上为增函数的是__③__．(填序号)解析：①y ＝x 43＝3x 4在区间(－∞，0)上是减函数；②y ＝x 32＝x 3的定义域为[0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数；③y ＝x －2＝1x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在区间(－∞，0)上为增函数且为偶函数；④y ＝x －14＝14x的定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故选③.9. 如图所示的是幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d ，y ＝x 的图象，则实数a ，b ，c ，d 的大小关系为__c>a>b>d__．解析：根据幂函数y ＝x n的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n 越大，y 递增速度越快，所以c>a>b>0，d<0，故c>a>b>d.10. 已知f(x)＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在区间[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x 2－x)>f(x ＋3)．解析：由题意知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0， 解得－1<n<3.又n ＝2k ，k ∈Z ，所以n ＝0，2.当n ＝0或2时，f(x)＝x 13，所以函数f(x)在R 上单调递增，所以由f(x 2－x)>f(x ＋3)得x 2－x>x ＋3， 解得x<－1或x>3，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．11. 已知一个幂函数y ＝f(x)的图象过点(3，427)，另一个幂函数y ＝g(x)的图象过点(－8，－2)．(1) 求这两个幂函数的解析式； (2) 判断这两个函数的奇偶性；(3) 作出这两个函数的图象，观察图象直接写出f(x)<g(x)的解集． 解析：(1) 设幂函数f(x)＝x a ，g(x)＝x b .因为幂函数f(x)与g(x)的图象分别过点(3，427)，(－8，－2)， 所以427＝3a ，－2＝(－8)b ，解得a ＝34，b ＝13，所以两个函数的解析式为f(x)＝x 34与g(x)＝x 13. (2) 因为函数f(x)＝x 34的定义域是[0，＋∞)，所以函数f(x)是非奇非偶函数．因为函数g(x)＝x 13的定义域为R ，g(－x)＝(－x)13＝－x 13＝－g(x)， 所以函数g(x)是奇函数．(3) 作出这两个函数的图象如下，由图象可知，f(x)<g(x)的解集为{x|0<x<1}．12. 已知函数f(x)＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f(2)<f(3)． (1) 求k 的值并求出相应的f(x)的解析式；(2) 对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使得函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q －1)x 在区间[－1，2]上的值域为⎣⎡⎦⎤－4，178？若存在，求出实数q 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1) 因为f(2)<f(3)，所以2－k 2＋k ＋2<3－k 2＋k ＋2，所以lg 2－k 2＋k ＋2<lg 3－k 2＋k ＋2， 即(－k 2＋k ＋2)(lg 2－lg 3)<0. 因为lg 2<lg 3，所以－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k<2. 又因为k ∈Z ，所以k ＝0或k ＝1. 当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2， 所以f(x)＝x 2.(2) 假设存在q>0满足题意，则由(1)知g(x)＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1，2]． 因为g(2)＝－1，所以两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点⎝⎛⎭⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．又4q 2＋14q －g(－1)＝4q 2＋14q －(2－3q)＝（4q －1）24q≥0，所以g(x)max ＝4q 2＋14q ＝178，g(x)min ＝g(－1)＝2－3q ＝－4，解得q ＝2.所以存在q ＝2满足题意．。
【精选】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练77含解析
随堂巩固训练(77)1. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶3∶3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取 32 名学生.解析：高一年级的学生在总体中所占的比例为44＋3＋3＝25，故应从高一年级抽取的学生数为80×25＝32. 2. 某学校共有学生2 800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人.现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 93 .解析：抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为280×9302 800＝93. 3. 某课题组进行城市空气质量监测，按地域将24个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城市数分别为4，12，8.若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为 3 .解析：若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为6×1224＝3. 4. 某校共有师生1 600人，其中教师有100人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 75 .解析：学生的总人数为1 600－100＝1 500，则抽取学生的人数为80×1 5001 600＝75. 5. 若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，420，则抽取的21人中，编号在区间[241，360]内的人数是 6 .解析：根据题意，从420人中抽取21人做问卷调查，组距是420÷21＝20.编号在区间[241，360]内应抽取的人数是(360－241＋1)÷20＝6.6. 某高中共有1 200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列. 现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 16 .解析：因为高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，分别设为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝1 200，a ＋c ＝2b ，所以b ＝400.若用分层抽样的方法从中抽取48人，则高二年级被抽取的人数为48×4001 200＝16. 7. 某单位有840名职工， 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查， 将840人按1，2，…，840随机编号， 则抽取的42人中，编号落入区间[61， 120]的人数为 3 .解析：根据系统抽样的特点，组距应为840÷42＝20，所以抽取的42人中，编号落区间[61，120]的人数为(120－61＋1)÷20＝3.8. 某工厂生产某种产品5 000件，它们来自甲、乙、丙3条不同的生产线. 为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样.若从甲、乙、丙3条生产线抽取的件数之比为1∶2∶2，则乙生产线生产了 2 000 件产品.解析：由题意得甲、乙、丙3条生产数量之比为1∶2∶2，则乙生产线生产了 5000×21＋2＋2＝2 000(件).9. 对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为400，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30，35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为100 .解析：根据频率分布直方图可知，三等品的件数是[(0.012 5＋0.025＋0.012 5)×5]×400＝100.10. 某单位有职工52人，现将所有职工按1，2，3，…，52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是 19 .解析：设样本中还有一个职工的编号是x 号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6，x ，32，45，构成等差数列，所以6＋45＝x ＋32，所以x ＝19，即还有一个职工的编号是19.11. 一个社会调查机构就某地居民的月收入(单位：元)调查了10 000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10 000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2 500，3 000)内应抽出 25 人.解析：由直方图可得[2 500，3 000)月收入段共有10000×0.000 5×500＝2 500(人)，所以按分层抽样应从[2 500，3000)月收入段内抽取2 500×10010 000＝25(人). 12. 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km /h )绘制的频率分布直方图如下图所示.该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60km /h ～120km /h ，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为 15 .解析：由频率分布直方图可知，非正常行驶的频率为20×(0.002 5＋0.005)＝0.15，所以这100辆汽车中非正常行驶的机动车辆为100×0.15＝15(辆).(第12题) (第13题)13. 某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)，第二组[160，165)，…，第八组[190，195]，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示.估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm 以上(含180cm )的人数为 144 .解析：根据频率分布直方图，得男生身高在180 cm 以上(含180 cm )的频率为1－(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.18，所以估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm 以上(含180 cm )的人数为800×0.18＝144.。
【江苏高考】2020版数学名师大讲坛一轮复习教程学案全集(打包103份,含答案)
_第1课__集合及其基本运算1. 理解元素和集合之间的关系；理解集合相等的含义．2. 会求集合的交集、并集、补集.1. 阅读：阅读必修1第5～10页．2. 解悟：①集合中元素的三个性质；②常见数集的符号；③集合相等的定义；④子集、真子集的定义；⑤空集的定义．3. 践习：在教材空白处，完成第7页练习第2、5题；第10页习题第6、7题.基础诊断1. 设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝__{0，1}__．2. 已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，那么A ∪∁U B ＝__{1，2，5}__．解析：由题意得∁U B ＝{1，5}， 所以A ∪∁U B ＝{1，2，5}．3. 已知全集U ＝{1，3，5，7，9}，A ＝{1，5，9}，B ＝{3，5，9}，则∁U (A ∪B)的子集个数为__2__．解析：由题意得A ∪B ＝{1，3，5，9}， 所以∁U (A ∪B)＝{7}， 所以∁U (A ∪B)的子集个数为2.4. 已知集合A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，若A ∪B ＝{0，1，2，3}，则实数a 的值为__2__．解析：因为A ∪B ＝{0，1，2，3}， A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，所以a ＝2.范例导航考向❶ 利用数轴求集合的交集、并集、补集例1 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|132≤2－x≤4，B ＝{x|x 2＋2mx －3m 2<0}，m>0.(1) 若m ＝2，求A ∩B ；(2) 若A ⊇B ，求实数m 的取值范围． 解析：由题意得，集合A ＝{x|－2≤x ≤5}， 因为m>0，所以B ＝{x|－3m<x<m}． (1) 当m ＝2时，B ＝{x|－6<x<2}， 所以A ∩B ＝{x|－2≤x<2}．(2) A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|－3m<x<m}，因为A ⊇B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≥－2，m ≤5，所以m ≤23，所以0<m ≤23.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，23.全集I ＝R ，集合A ＝{x |y ＝2x －1}，B ＝{y |y ＝lg(x 2－2x ＋2)}，则A ∪∁I B ＝(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞． 解析：由题意得，集合A ＝{x |y ＝2x －1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12，集合B ＝{y |y ＝lg(x 2－2x ＋2)}＝{y |y ≥0}，所以∁I B ＝{y |y <0}，所以A ∪∁I B ＝(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 考向❷ 对空集的分类讨论例2 已知集合A ＝{x|－2≤x ≤7}，B ＝{x|m ＋1<x<2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是{}m|m ≤4.已知集合A ＝{x|x 2－2x －3＝0}，B ＝{x|mx －1＝0}，若B ⊆A ，则m 的值为__0，－1，13__．解析：由题意得，集合A＝{－1，3}．因为B⊆A，所以当B为∅时，m＝0；当B不为∅时，m＝－1或m＝13.综上，m的值为0，－1，13.例3若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，求实数a的值．解析：当a＝0时，不合题意，舍去；当a≠0时，由题意得，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.综上所述，a＝4.若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}只有一个子集，求实数a的取值范围．解析：由题意得，集合A为空集．①若a＝0，符合题意；②若a≠0，则Δ＝a2－4a<0，解得0<a<4.综上，a的取值范围是[0，4)．自测反馈1. 设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，若A∩B＝{3}，则实数a的值为__1__．解析：因为A∩B＝{3}，所以a＋2＝3或a2＋4＝3，解得a＝1，此时B＝{3，5}，符合题意，故实数a的值为1.2. 已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1，2，…}的关系如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有__2__个．解析：由图可知，阴影部分表示的是M∩N.由M＝{x|－2≤x－1≤2}得M＝{x|－1≤x≤3}．集合N表示的是正奇数集，所以M∩N＝{1，3}，所以阴影部分所示的集合中的元素共有2个．3. 下面四个命题中，正确命题的序号为__②__．①某班个子较高的同学构成集合A；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程x 2－2x ＋1＝0的解集是{1，1}； ④∅与{∅}表示同一个集合．解析：①集合是指一定范围内某些确定的、不同的对象的全体，个子较高的同学不确定，所以①错误；②正确，集合中的元素具有无序性；③错误，集合中的元素具有互异性；④错误，∅表示不含任何元素的集合，{∅}表示集合中有一个元素∅，而不是空集．4. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12，集合B ＝{y|y ＝x 2，x ∈A}，则A ∩B ＝__{1}__．解析：由题意得，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，4，14，所以A ∩B ＝{1}．1. 集合中元素的性质指确定性、无序性、互异性．2. 要特别注意空集，尤其是在分类讨论中不能遗漏．3. 你还有哪些体悟，写下来：____第2课__集合及其基本运算(2)______1. 熟练掌握集合间的交、并、补集的运算以及求集合的子集．2. 能应用分类讨论的思想解决简单的分类讨论问题.1. 阅读：阅读必修1第11～14页．2. 解悟：①从A∩B＝A能得到什么结论？②从A∪B＝A能得到什么结论？3. 践习：在教材空白处，完成第13页练习第6题，第14页习题第10、13题.基础诊断1. 集合U＝{1，2}的子集个数为__4__．解析：根据子集个数的公式可得，子集的个数为22＝4.2. 已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则集合∁U(A∪B)＝__{3}__．解析：由题意得，A∪B＝{1，2，4}，所以∁U(A∪B)＝{3}．3. (1) 已知集合A＝{y|y＝log2(x－1)}，集合B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝__(0，＋∞)__；(2) 已知集合A＝{x|y＝log2(x－1)}，集合B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝__(1，＋∞)__；(3) 已知集合A＝{(x，y)|y＝log2x}，集合B＝{(x，y)|y＝x－1}，则A∩B＝__{(1，0)，(2，1)}__．解析：(1) 由题意得，集合A＝R，集合B＝{y|y>0}，所以A∩B＝(0，＋∞)．(2) 由题意得，集合A＝{x|x>1}，集合B＝{y|y>0}，所以A∩B＝(1，＋∞)．(3) 令log2x＝x－1，解得x＝1或x＝2，所以y＝0或y＝1，所以A∩B＝{(1，0)，(2，1)}．4. 已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{－1，0，2}，则集合A∪B中所有元素之和为__5__．解析：因为A∪B＝{－1，0，1，2，3}，所以集合A∪B中所有元素之和为－1＋0＋1＋2＋3＝5.范例导航考向❶对子集的分类讨论例1已知集合A＝{2，5}，B＝{x|x2＋px＋q＝0，x∈R}．(1) 若B＝{5}，求p，q的值；(2) 若A∩B＝B，求实数p，q满足的条件．解析：(1) 因为B＝{5}，所以方程x2＋px＋q＝0有两个相等的实根5，所以5＋5＝－p ，5×5＝q ，所以p ＝－10，q ＝25. (2) 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A . 当B ＝∅时，Δ＝p 2－4q <0，即p 2<4q ； 当B ＝{2}时，可求得p ＝－4，q ＝4； 当B ＝{5}时，可求得p ＝－10，q ＝25； 当B ＝{2，5}时，可求得p ＝－7，q ＝10. 综上所述，实数p ，q 满足的条件为p 2<4q 或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－4，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－10，q ＝25或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－7，q ＝10.已知函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1) 当m ＝3时，求A ∩∁R B ；(2) 若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值． 解析：(1) 当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}， 则∁R B ＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 又因为A ＝(－1，5]， 所以A ∩∁R B ＝[3，5]．(2) 因为A ＝(－1，5]，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，所以4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根， 所以－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8. 此时集合B ＝{x |－2<x <4}，符合题意． 因此实数m 的值为8.考向❷ 对集合中元素的分类讨论例2 已知集合A ＝{y|y ＝－2x ，x ∈[2，3]}，B ＝{x|x 2＋3x －a 2－3a>0}．(1) 当a ＝4时，求A ∩B ；(2) 若A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 解析：(1) 由题意得，A ＝[－8，－4]，当a ＝4时，B ＝(－∞，－7)∪(4，＋∞)， 所以A ∩B ＝[－8，－7)．(2) 方程x 2＋3x －a 2－3a ＝0的两根分别为a ，－a －3. ①当a ＝－a －3，即a ＝－32时，B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪(－32，＋∞)，满足A ⊆B ； ②当a<－a －3，即a<－32时，B ＝(－∞，a)∪(－a －3，＋∞)，则a>－4或－a －3<－8，解得－4<a<－32；③当a>－a －3，即a>－32时，B ＝(－∞，－a －3)∪(a ，＋∞)， 则a<－8或－a －3>－4，解得－32<a<1.综上所述，实数a 的取值范围是(－4，1)．已知集合A ＝{x|x 2＋2x －8>0}，B ＝{y|y ＝x 2－2x ＋2，x ∈R}，C ＝{x |(x －a )(x ＋4)≤0，a ∈R}.(1) 求A ∩B ；(2) 若∁R A ⊆C ，求实数a 的取值范围．解析：(1) 因为x 2＋2x －8>0，解得x >2或x <－4， 所以A ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)． 因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1， 所以B ＝[1，＋∞)， 所以A ∩B ＝(2，＋∞)． 综上所述，A ∩B ＝(2，＋∞)． (2) 因为A ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)， 所以∁R A ＝[－4，2]．因为∁R A ⊆C ，且C ＝{x |(x －a )(x ＋4)≤0，a ∈R}，所以a ≥2，所以a 的取值范围为[2，＋∞).考向❸ 对自变量系数的分类讨论例3 已知集合A ＝{x|0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12<x ≤2.(1) 若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； (2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(3) A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由． 解析：对于不等式0<ax ＋1≤5，当a ＝0时，0<1<5恒成立，即x ∈R ，集合A ＝R ； 当a >0时，－1a <x ≤4a ，即集合A ＝{x |－1a <x ≤4a }；当a <0时，4a ≤x <－1a ，即集合A ＝{x |4a ≤x <－1a }．(1) 若A 是B 的子集，则当a ＝0时，不满足题意； 当a >0时，需要满足⎩⎨⎧－1a ≥－12，4a≤2，解得a ≥2；当a <0时，需要满足⎩⎨⎧4a >－12，－1a ≤2，解得a <－8. 综上所述，a 的取值范围是(－∞，－8)∪[2，＋∞)．(2) 若B 是A 的子集，则当a ＝0时，满足题意； 当a >0时，需要满足⎩⎨⎧－1a ≤－12，4a≥2，解得0<a ≤2；当a <0时，需要满足⎩⎨⎧－1a >2，4a ≤－12，解得－12<a <0.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－12，2. (3) 当A ＝B 时，需满足A ⊆B 且B ⊆A ，即同时满足(1)和(2)，所以a ＝2.自测反馈1. 设U 为全集，集合A 为U 的子集，则A ∩A ＝__A__；A ∪A ＝__A__；A ∩∅＝__∅__；A ∪∅＝__A__；A ∪∁U A ＝__U__；A ∩∁U A ＝__∅__．2. 满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A的个数是__4__．解析：因为{1，3}∪A＝{1，3，5}，所以A＝{5}或{1，5}或{3，5}或{1，3，5}，共有4个．3. 对于集合A，B，我们将集合{x|x∈A，且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A－B.(1) 若A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝__{1，2，3}__；B－A ＝__{6，7，8}__；(2) 如果A－B＝∅，那么集合A与B之间的关系是__A⊆B__．4. 已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，E＝{x|y＝x2＋1}，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，则与G＝{x|x≥1}为同一集合的是__Q__．解析：集合P中y＝x2＋1就是这个集合中的一个元素；集合Q＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，与集合G为同一集合；集合E＝{x|y＝x2＋1}＝R；集合F是一个点集，所以与集合G为同一集合的是Q.1. 区分点集和数集在书写上的不同．2. 解题时，注意分类讨论、数形结合等思想方法的运用．3. 你还有哪些体悟，写下来：____第3课__逻辑联结词与量词____1. 能正确对含有一个量词的命题进行否定．2. 能正确判断用“或”“且”“非”联结的命题的真假.1. 阅读：阅读选修21第10～18页．2. 解悟：①含有一个量词的命题的否定分别是什么？②由简单逻辑联结词构成的命题的真假怎么判断？3. 践习：在教材空白处，完成第15页练习第2题；第18页习题第4题.基础诊断2. 命题“∃x ∈R ，2x >0”的否定是__∀x ∈R ，2x ≤0__．3. 下列四个命题：①3≤π；②1≥1；③π≤e ；④2<3或3<2.其中假命题有__1__个． 解析：①②④正确，③错误．4. 已知命题“∃x ∈[1，2]，x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是__[－8，＋∞)__．解析：原命题的否定为∀x ∈[1，2]，x 2＋2x ＋a<0.因为y ＝x 2＋2x 在区间[1，2]上单调递增，所以x 2＋2x ≤8<－a ，所以a<－8.根据含有逻辑联结词的命题的真假判断，可知原命题中a 的取值范围是a<－8的补集，即a ≥－8，故a 的取值范围是[－8，＋∞)．范例导航考向❶ 以函数的单调性和值域为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围 例1 设命题p ：函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫a －32x是R 上的减函数；命题q ：函数g (x )＝x 2－4x ＋3在区间[0，a ]上的值域为[－1，3]．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解析：因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个命题为真命题．若命题p 为真，则0<a －32<1，所以32<a <52；若命题q 为真，则g (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1，3]，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a 2－4a ＋3≤3，解得2≤a ≤4. ①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧32<a <52，a <2或a >4，所以32<a <2；②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧2≤a ≤4，a ≤32或a ≥52，所以52≤a ≤4.综上所述，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，2∪⎣⎡⎦⎤52，4.已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解析：因为函数y ＝a x 在R 上单调递增， 所以命题p ：a >1.因为不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立， 所以a >0且a 2－4a <0，解得0<a <4， 所以命题q ：0<a <4.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真， 所以p ，q 中必是一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥4，解得a ≥4；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，0<a <4，解得0<a ≤1.综上所述，a 的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞).考向❷ 以函数的能成立和恒成立为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围 例2 已知命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解；命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋4>0恒成立．若命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解析：命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解，则a <1；由命题q 得，a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，解得0<a <4，所以命题q ：0≤a <4.因为命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个真命题．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ≥4或a <0，解得a <0；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0≤a <4，解得1≤a <4.综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪[1，4)．已知m ∈R ，设命题p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0恒成立；命题q ：∃x ∈[1，2]，log 12(x 2－mx ＋1)<－1成立，如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m的取值范围．解析：若p 为真，则∀x ∈[－1, 1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立． 设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3， 所以f (x )在区间[－1，1]上的最小值为－3， 所以4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，所以当p 为真时，12≤m ≤32；若q 为真，则∃x ∈[1，2], x 2－mx ＋1>2成立， 所以∃x ∈[1，2]，m <x 2－1x 成立．设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x，易知g (x )在区间[1，2]上是增函数， 所以g (x )的最大值为g (2)＝32，所以m <32，所以当q 为真时，m <32.因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 所以p 与q 必是一真一假，当p 真q 假时，⎩⎨⎧12≤m ≤32，m ≥32，所以m ＝32；当p 假q 真时，⎩⎨⎧m <12或m >32，m <32，所以m <12.综上所述，m 的取值范围是{m |m <12或m ＝32}.考向❸ 以圆锥曲线为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围例3 已知k 为实常数，命题p ：方程x 22k －1＋y 2k －1＝1表示椭圆；命题q ：方程x 24＋y 2k －3＝1表示双曲线.(1) 若命题p 为真命题，求k 的取值范围；(2) 若命题“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求k 的取值范围． 解析：(1) 若命题p 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>0，k －1>0，2k －1≠k －1，解得k>1，即k 的取值范围是(1，＋∞)． (2) 若命题q 为真命题，则k －3<0，即k<3. 因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题， 所以p ，q 必是一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧k>1，k ≥3， 解得k ≥3；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧k ≤1，k<3，解得k ≤1.综上所述，k 的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．自测反馈1. 命题“∀x>0，x ＋1>x ”的否定是．2. 若命题“p 且q ”是假命题，“非q ”是假命题，则p 是__假__命题．(填“真”或“假”)解析：因为“p 且q ”为假命题，则命题p ，q 中必是一真一假．又因为“非q ”是假命题，所以q 为真命题，所以p 为假命题．3. 若命题“∃x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ≤0”是真命题，则实数m 的取值范围是__(－∞，0)∪[1，＋∞)__．解析：由题意得Δ＝4m 2－4m ≥0，解得m ≤0或m ≥1，故实数m 的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．____第4课__充分条件和必要条件____1. 会分析四种命题之间的相互关系及判断命题的真假．2. 会判断充分条件、必要条件、充要条件.1. 阅读：阅读选修21第5～9页．2. 解悟：①命题的真假性一定是确定的；②四种命题之间有什么关系？③如何判断充分条件、必要条件？3. 践习：在教材空白处，完成第8～9页习题第2、4题.基础诊断1. 若a∈R，则“a＝0”是“a(a－1)＝0”的__充分不必要__条件．解析：因为a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝1，所以“a＝0”是“a(a－1)＝0”的充分不必要条件．2. 若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的__必要不充分__条件．解析：函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0一定成立；若f(0)＝0，则函数f(x)不一定是奇函数，可能为偶函数，也可能既不是奇函数也不是偶函数．故“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的必要不充分条件．3. 已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是__若a＋b ＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3__．4. 在命题“若ac2>bc2，则a>b”及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有__2__个．解析：原命题：因为ac2>bc2，c2>0，所以a>b，所以原命题为真命题，所以原命题的逆否命题也为真命题；原命题的逆命题为“若a>b，则ac2>bc2”，当c2＝0时，a＝b，所以逆命题为假命题，所以原命题的否命题也为假命题．故真命题共有2个．范例导航考向❶对充分条件、必要条件中集合包含关系的理解例1设集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，集合B＝{x||x＋a|<1}．(1) 若a＝3，求A∪B；(2) 设命题p：x∈A；命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解析：(1) 解不等式x2＋2x－3<0，得－3<x<1，即A＝(－3，1)．当a＝3时，由|x＋3|<1，解得－4<x<－2，即集合B＝(－4，－2)，所以A∪B＝(－4，1)．(2) 因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集．又集合A＝(－3，1)，B＝(－a－1，－a＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －1≥－3，－a ＋1≤1，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[0，2]．设函数y ＝lg (－x 2＋4x －3)的定义域为A ，函数y ＝2x ＋1，x ∈(0，m)的值域为B.(1) 当m ＝2时，求A ∩B ；(2) 若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解析：(1) 由－x 2＋4x －3>0，解得1<x<3， 所以A ＝(1，3)． 因为函数y ＝2x ＋1在区间(0，m)上单调递减， 所以y ∈⎝⎛⎭⎫2m ＋1，2，即B ＝⎝⎛⎭⎫2m ＋1，2，所以当m ＝2时，B ＝⎝⎛⎭⎫23，2， 所以A ∩B ＝(1，2)． (2) 由题意得m>0.因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件， 所以B A ，即⎝⎛⎭⎫2m ＋1，2(1，3)，所以2m ＋1≥1，解得0<m ≤1，故实数m 的取值范围为(0，1]. 考向❷ 对集合中元素的分类讨论例2 已知非空集合A ＝{x|x －2x －（3a ＋1）<0}，B ＝{x|x －a 2－2x －a<0}．(1) 当a ＝12时，求∁R B ∩A ；(2) 命题p ：x ∈A ；命题q ：x ∈B .若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解析：(1) 当a ＝12时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94，∁R B ＝{x |x ≤12或x ≥94}，所以∁R B ∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52.(2) 由q 是p 的必要条件可得A ⊆B . 由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52；②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，符合题意；③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，解得－12≤a <13.综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52.已知命题“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题． (1) 求实数m 的取值集合M ；(2) 设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若“x ∈N ”是“x ∈M ”的必要条件，求实数a 的取值范围．解析：(1) 由题意知，方程x 2－x －m ＝0在区间(－1，1)上有解，即m 的取值范围即为函数y ＝x 2－x 在区间(－1，1)上的值域，易得－14≤m <2，所以M ＝⎣⎡⎭⎫－14，2. (2) 因为“x ∈N ”是“x ∈M ”的必要条件，所以M ⊆N . 当a ＝1时，集合N 为空集，不满足题意；当a >2－a ，即a >1时，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，解得a >94；当a <2－a ，即a <1时，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，－14)∪(94，＋∞).考向❸ 对逆否命题的综合运用自测反馈1. “三个数a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的__充分不必要__条件．解析：若a，b，c成等比数列，根据等比数列的性质可得b2＝ac；若a＝0，b＝0，c＝2，则b2＝ac，但a，b，c不成等比数列，所以“三个数a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的充分不必要条件．2. “a<b”是“ln a<ln b”的__必要不充分__条件．解析：若a＝－2，b＝－1，则a<b，但ln a<ln b不成立；因为函数y＝ln x在定义域上单调递增，所以当ln a<ln b时，a<b，所以“a<b”是“ln a<ln b”的必要不充分条件．3. 给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cosα<cosβ”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2，x∈R为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为__③__．解析：①因为函数y＝3x是R上的增函数，所以“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①是假命题；②若α＝3π2，β＝π2，则α>β，但cos α＝cos β，充分性不得证，若α＝3π2，β＝2π，cos α<cos β，但α<β，必要性不得证，所以“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分又不必要条件，故②是假命题；③若a ＝0，则f (x )＝x 3，x ∈R ，f (－x )＝－f (x )，且定义域关于原点对称，所以函数f (x )是奇函数，若f (x )＝x 3＋ax (x ∈R)是奇函数，则f (－x )＝－f (x )对任意的x ∈R 恒成立，即(－x )3＋a (－x )2＝－(x 3＋ax 2)，即ax 2＝－ax 2，即a ＝0，所以“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax ，x ∈R 为奇函数”的充要条件，故③是真命题，故填③.4. 记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg (x －a)的定义域为集合B.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为__(－∞，－3]__．解析：由x 2＋x －6<0得－3<x<2，即A ＝(－3，2)，由x －a>0，得x>a ，即B ＝(a ，＋∞)．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆B ，所以a ≤－3，故实数a 的取值范围为(－∞，－3]．1. 否命题既要否定条件，又要否定结论；命题的否定只否定结论．2. 原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．3. 你还有哪些体悟，写下来：第二章 函 数____第5课__函数的概念____1. 体会函数是描述两个变量之间依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念．2. 了解构成函数的要素有定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域．3. 了解映射的概念，进一步了解函数是非空数集到非空数集的映射.1. 阅读：必修1第23～27页及第46页．2. 解悟：①读懂函数定义，并思考初中的函数定义与高中课本函数的定义是否相同？《函数》这一章节为何置于《集合》章节之后？②圈画函数定义中的关键词，准确理解函数的概念，并思考式子y 2＝x 中变量y 是变量x 的函数吗？为什么？③阅读第46页，思考映射和函数有什么区别和联系？ 怎样的映射不是函数，你能举例吗？④函数的三要素有哪些？怎样才能算相同的函数？至少需要满足几个条件？3. 践习：在教材空白处，完成第26～27页练习第4、6、7题.基础诊断1. 下列对应法则f 中，不是从A 到B 的函数的序号是__③__．①A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，32，B ＝{－6，－3，1}，f ⎝⎛⎭⎫12＝－6，f(1)＝－3，f ⎝⎛⎭⎫32＝1； ②A ＝{1，2，3}，B ＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8； ③A ＝B ＝{1，2，3}，f(x)＝2x －1； ④A ＝B ＝{x|x ≥1}，f(x)＝2x ＋1；⑤A ＝Z ，B ＝{－1，1}，当n 为奇数时，f (n )＝－1；当n 为偶数时，f (n )＝1.解析：根据函数的定义，①②④⑤中，对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与它对应；在③中f (3)＝5，集合B 中没有元素与集合A 中的3对应，故不是从A 到B 的函数．2. 判断下面说法是否正确．(在括号中画“√”或“”) (1) f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0，－1， x<0表示同一函数．()解析：因为函数f(x)的定义域为{x|x ≠0}，函数g(x)的定义域为R ，定义域不同，所以表示的不是同一函数，故是错误的．(2) 若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相同. ()解析：若两个函数的定义域、值域和对应法则都相同，则这两个函数相同，故是错误的．(3) 若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．()解析：若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，所以1≤2x －1<3，解得1≤x <2，所以函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <2}，故是错误的．(4) 函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个．( √ )解析：根据函数的定义，对于定义域内的任意一个自变量x ，存在唯一的函数值y 与之对应，所以函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有一个．(5) 函数f (x )＝x 2＋4＋1的值域是[1，＋∞)．()解析：因为x 2≥0，所以x 2＋4≥4，所以x 2＋4≥2，所以f (x )＝x 2＋4＋1≥3，所以函数f (x )＝x 2＋4＋1的值域是[1，＋∞)是错误的．(6) f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数．( √ )解析：因为函数f (x )与函数g (x )的定义域、对应法则和值域都相同，故函数f (x )与函数g (x )是同一函数．3. 设一函数的解析式为f(x)＝2x ＋3，它的值域为{－1，2，5，8}，则函数f(x)的定义域为__⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－12，1，52__．解析：当f(x)＝－1时，2x ＋3＝－1，解得x ＝－2； 当f(x)＝2时，2x ＋3＝2，解得x ＝－12；当f(x)＝5时，2x ＋3＝5，解得x ＝1； 当f(x)＝8时，2x ＋3＝8，解得x ＝52，所以函数f(x)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－12，1，52.4. 函数y ＝f(x ＋1)的值域为[3，5]，则函数y ＝2f(x)的值域为__[6，10]__．解析：因为函数y ＝f(x ＋1)的值域为[3，5]，函数f(x)是将函数f(x ＋1)的图象向右平移1个单位长度得到的，所以f(x)的值域也为[3，5]，所以2f(x)的值域为[6，10]．5. 若函数y ＝ax 2＋ax ＋2的定义域为R ，则a 的取值范围是__[0，8]__．解析：由题意得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ×2≤0，解得0≤a ≤8，所以a ∈[0，8]．范例导航考向❶ 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域：(1) y ＝12－|x|＋x 2－1； (2) y ＝xlog 12（2－x ）.解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|≠0，x 2－1≥0，解得x ≠±2或x ≥1或x ≤－1，故函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，2)∪(2，＋∞)．(2) 由题意0<2－x<1，解得1<x<2，故函数的定义域为(1，2)．已知函数f(x)＝2x －11－x，若函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称．记y ＝g(x)的定义域为A ，不等式x 2－(2a －1)x ＋a(a －1)≤0的解集为B.若A 是B 的真子集，求实数a 的取值范围．解析：由题意得g(x)＝－－2x －11＋x， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≠0，－2x －11＋x ≥0，解得－1<x ≤－12，所以A ＝⎝⎛⎦⎤－1，－12. 解不等式x 2－(2a －1)x ＋a(a －1)≤0， 解得a －1≤x ≤a ， 即B ＝[a －1，a]． 因为A 是B 的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤－1，a ≥－12，解得－12≤a ≤0， 故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，0.考向❷ 求函数的值域 例2 求下列函数的值域：(1) y ＝x 2＋2x(x ∈[0，3])； (2) y ＝2x －3x ＋1(x ≤－2)； (3) y ＝x －1－2x ； (4) y ＝log 3x ＋log x 3－1.解析：(1) 因为y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， 所以该函数在[0，3]上单调递增，所以该函数在[0，3]上的最大值为15，最小值为0， 所以函数的值域为[0，15]． (2) 由题意得y ＝2x －3x ＋1＝2－5x ＋1. 因为x ≤－2，所以－1≤1x ＋1<0， 所以0<－5x ＋1≤5，所以2<2－5x ＋1≤7，故该函数的值域为(2，7]．(3) 令1－2x ＝t ，t ≥0，所以x ＝1－t 22，所以原函数可转化为y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，因为t ≥0，所以函数在[0，＋∞)上单调递减， 所以y ≤12，所以原函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，12. (4) y ＝log 3x ＋log x 3－1＝log 3x ＋1log 3x－1，所以若log 3x>0，则log 3x ＋1log 3x －1≥1，当且仅当log 3x ＝1log 3x ，即log 3x ＝1时取等号，此时y ≥1；若log 3x<0，则－⎝⎛⎭⎫－log 3x ＋1－log 3x －1≤－2－1＝－3，当且仅当log 3x ＝－1时等号成立，此时y ≤－3，所以原函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．求下列函数的值域： (1) y ＝x 2－xx 2－x ＋1；(2) y ＝4x 2＋8x ＋136（x ＋1）(x>－1)．解析：(1) 由题意得y ＝x 2－x x 2－x ＋1＝1－1x 2－x ＋1＝1－1⎝⎛⎭⎫x －122＋34. 因为⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， 所以0<1⎝⎛⎭⎫x －122＋34≤43，所以－13≤y<1， 故函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. (2) 由题意得y ＝4x 2＋8x ＋136（x ＋1）＝4（x ＋1）2＋96（x ＋1）＝23(x ＋1)＋32（x ＋1）.因为x>－1，所以x ＋1>0，所以23(x ＋1)＋32（x ＋1）≥2，当且仅当23(x ＋1)＝32（x ＋1），即x ＝12时取等号，故函数的值域为[2，＋∞). 考向❸ 函数定义域和值域的综合 例3 已知函数f(x)＝1＋x ＋1－x.(1) 求函数f(x)的定义域和值域；(2) 设f(x)＝a2{[f(x)]2－2}＋f(x)(a 为实数)，当a<0时，求f(x)的最大值g(a)．解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，1－x ≥0，解得－1≤x ≤1，所以函数的定义域为[－1，1]．又[f(x)]2＝2＋21－x 2∈[2，4]，f(x)≥0， 所以f(x)∈[2，2]．(2) f(x)＝a2{[f(x)]2－2}＋f(x)＝a 1－x 2＋1＋x ＋1－x ，令t ＝f(x)＝1＋x ＋1－x ，则1－x 2＝12t 2－1，所以f(x)＝m(t)＝a ⎝⎛⎭⎫12t 2－1＋t ＝12at 2＋t －a ，t ∈[2，2]．由题意知g(a)即为函数m(t)＝12at 2＋t －a ，t ∈[2，2]的最大值，t ＝－1a 是抛物线m(t)＝12at 2＋t －a 的对称轴．因为a<0时，函数y ＝m(t)，t ∈[2，2]的图象是开口向下的抛物线的一段， ①若t ＝－1a ∈(0，2]，即a ≤－22，则g(a)＝m(2)＝2；②若t ＝－1a ∈(2，2]，即－22<a ≤－12，则g(a)＝m ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－a －12a ； ③若t ＝－1a ∈(2，＋∞)，即－12<a<0，则g(a)＝m(2)＝a ＋2.综上所述，g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2， －12<a<0，－a －12a ， －22<a ≤－12，2， a ≤－22.自测反馈1. 函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为(－1，1)．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x>－1，－4<x<1，所以－1<x<1，故定义域为(－1，1)． 2. 若函数f(x)＝3x －5kx 2＋4kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫0，34__． 解析：由题意得kx 2＋4kx ＋3＝0无解，所以k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝16k 2－12k <0， 解得0≤k <34，故实数k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，34. 3. 若函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域为__(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2__． 解析：因为函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，且在区间(－∞，1)和[2，5)上单调递减，当x ∈(－∞，1)时，y<0；当x ∈[2，5)时，12<y ≤2，即函数的值域为(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2. 4. 若函数y ＝ax ＋31－2x的值域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，则实数a 的值为__4__． 解析：由题意得ax ＋31－2x ≠－2，化简得(a －4)x ≠－5，要使x 取任意值时，(a －4)x ≠－5恒成立，所以a ＝4.故实数a 的值为4.1. 初中函数是看成刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型，高中将函数定义为建立在两个非空数集上的单值对应，同时高中函数的种类有所增加，如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等．2. 准确理解函数定义中的关键词(非空数集，对应法则，每一个，唯一，定义域)3. 你还有哪些体悟，写下来：____第6课__函数的表示方法____1. 了解构成函数的三要素，进一步理解函数的概念．2. 掌握函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3. 掌握求解函数解析式的几种类型及常用方法．4. 了解简单的分段函数，并能简单地应用.1. 阅读：阅读必修1第33～34页．2. 解悟：①函数的表示方法有哪些？回顾例1并比较三种表示方法的优劣；②你能在书本中找到分段函数的定义吗？分段函数是一个函数还是多个函数？③如何求分段函数的值域或最值？④函数的解析式是函数的一种表示方法，那么求函数解析式，你知道哪些方法？3. 践习：在教材空白处，完成第35页练习第3题和习题第2、4题.基础诊断1. 已知函数f(x)＝11＋x ，g(x)＝x 2＋2，则f(2)＝__13__；g(2)＝__6__；f(g(2))＝__17__；f(g(x))＝__1x ＋3__．解析：f(2)＝11＋2＝13；g(2)＝22＋2＝6； f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17；f(g(x))＝11＋x 2＋2＝1x 2＋3. 2. 已知函数 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ， x>0，2x ， x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝__14__． 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f(－2)＝2－2＝14. 3. 若f(x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，则f(x)＝x 2＋2x －2．解析：因为f(x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，所以f(t)＝(t －1)2＋4(t －1)＋1＝t 2＋2t －2，故f(x)＝x 2＋2x －2.4. 若等腰三角形的周长是20，底边长y 是一腰长x 的函数，则y ＝__20－2x ，x ∈(5，10)__．解析：因为△ABC 是等腰三角形且周长为20，△ABC 的周长＝2×腰长＋底边长，所以20＝2x ＋y ，即y ＝20－2x.又y<2x<20，解得5<x<10，故y ＝20－20x ，x ∈(5，10)．5. 设二次函数f(x)的最大值是13，f(3)＝f(－1)＝5，则f(x)的解析式为__f(x)＝－2x 2＋4x ＋11__．解析：由题意可设f(x)＝a(x －1)2＋13，因为f(3)＝f(－1)＝5，所以a ×(－1－1)2＋13＝5，解得a ＝－2，所以f(x)＝－2(x －1)2＋13＝－2x 2＋4x ＋11.范例导航考向❶ 求函数的解析式例1 (1) 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x ＋1)－2f(x －1)＝2x ＋17，求函数f(x)的解析式；(2) 已知函数f(x)满足2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，求函数f(x)的解析式． 解析：(1) 设f(x)＝kx ＋b ，则由题意得3[k(x ＋1)＋b]－2[k(x －1)＋b]＝2x ＋17，即kx ＋5k ＋b ＝2x ＋17，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，5k ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝7，所以f(x)＝2x ＋7.(2) 因为2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，① 用1x 代替x ，则2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f(x)＝3x ，② 由①×2－②得，4f(x)－f(x)＝6x －3x ，即3f(x)＝6x －3x ，所以f(x)＝2x －1x.(1) 已知f(x) 为二次函数，且满足f(0)＝0，f(x ＋1)－f(x)＝x ＋1，求函数f(x)的解析式； (2) 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x 2＋x ＋2，求函数f(x)和g(x)的解析式．解析：(1) 由题意可设f(x)＝ax 2＋bx. 因为f(x ＋1)－f(x)＝x ＋1，所以a(x ＋1)2＋b(x ＋1)－(ax 2＋bx)＝x ＋1， 整理得2ax ＋a ＋b ＝x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12，所以f(x)＝12x 2＋12x.(2) 由题意可知f(x)＝f(－x)，g(－x)＝－g(x)． 因为f(x)＋g(x)＝x 2＋x ＋2，① 所以f(－x)＋g(－x)＝x 2－x ＋2， 即f(x)－g(x)＝x 2－x ＋2.②由①＋②得，2f(x)＝2x 2＋4，即f(x)＝x 2＋2， 由①－②得，2g(x)＝2x ，即g(x)＝x ， 所以f(x)＝x 2＋2，g(x)＝x. 考向❷ 分段函数的解析式例2 如图是函数f(x)的图象，OC 段是射线，曲线OBA 是抛物线的一部分，试写出f(x)的函数表达式．解析：当x ≤0时，由图象过点(－2，－2)，(0，0)可知，直线OC 的斜率为1，所以射线OC 的函数表达式为y ＝x(x ≤0)；当x>0时，f(x)是二次函数， 所以设f(x)＝a(x －1)2＋b.由图可知，则⎩⎪⎨⎪⎧a ×（1－1）2＋b ＝－1，a ×（2－1）2＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以f(x)＝(x －1)2－1＝x 2－2x.故f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x<0，x 2－2x ， x ≥0.设函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|.(1) 将f(x)写成分段函数，并作出y ＝f(x)的图象； (2) 解不等式f(x)>5，并求出f(x)的最小值． 解析：(1) 当x ＋1<0，即x<－1时，x －2<0， 所以f(x)＝－x －1－x ＋2＝－2x ＋1； 当x ＋1≥0且x －2≤0，即－1≤x ≤2时， f(x)＝x ＋1－x ＋2＝3； 当x －2>0，即x>2时， f(x)＝x ＋1＋x －2＝2x －1， 所以y ＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x<－1，3， －1≤x ≤2，2x －1， x>2.函数图象为(2) 由题意可知，当x<－1时，1－2x>5，解得x<－2；当x>2时，2x －1>5，解得x>3， 所以f(x)>5的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)． 由图可知，f(x)的最小值为3. 考向❸ 由不等式恒成立求函数解析式例3 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点(－2，0)且不等式2x ≤f(x)≤12x 2＋2对∀x ∈R 恒成立．(1) 求函数f (x )的解析式；(2) 若对∀x ∈[－1，1]，不等式f (x ＋t )<f ⎝⎛⎭⎫x 3恒成立，求实数t 的取值范围． 解析：(1) 因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－2，0)， 所以4a －2b ＋c ＝0.①因为不等式2x ≤f (x )≤12x 2＋2对∀x ∈R 恒成立，所以当x ＝2时也成立，即4≤4a ＋2b ＋c ≤4， 即4a ＋2b ＋c ＝4.②由①②求得b ＝1，4a ＋c ＝2， 所以f (x )＝ax 2＋x ＋2－4a ， 所以2x ≤ax 2＋x ＋2－4a ≤12x 2＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x ＋2－4a ≥0，⎝⎛⎭⎫a －12x 2＋x －4a ≤0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a （2－4a ）≤0，a －12<0，Δ＝1－4⎝⎛⎭⎫a －12·（－4a ）≤0，解得a ＝14，故c ＝1，即函数f (x )的解析式为f (x )＝14x 2＋x ＋1.(2) 因为对∀x ∈[－1，1]，不等式f (x ＋t )<f ⎝⎛⎭⎫x 3恒成立，即14(x ＋t ＋2)2<136(x ＋6)2恒成立，亦可化得⎝⎛⎭⎫x ＋t ＋22－x ＋66⎝⎛⎭⎫x ＋t ＋22＋x ＋66<0， 解得－4x ＋123<t <－2x 3.又因为x ∈[－1，1]，所以－83<t <－23，故实数t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－83，－23. 自测反馈1. 已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f(x)＝33． 解析：因为f(x)＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1①，用1x 代替x 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f(x)·1x－1②，将②代入①得f(x)＝2⎝⎛⎭⎫2f （x ）·1x －1·x －1，化简得f(x)＝4f(x)－2x －1，即f(x)＝23x ＋13. 2. 若正比例函数f(x)满足f(f(x))＝4x ，则f(x)＝__±2x__．解析：根据题意可设f(x)＝kx ，因为f(f(x))＝4x ，所以k(kx)＝4x ，即k 2x ＝4x ，所以k 2＝4，解得k ＝±2，所以f(x)＝±2x.3. 已知f(x 2－1)＝x 4＋x 2－2，则f(x)＝__x 2＋3x(x ≥－1)__．解析：令x 2－1＝t(t ≥－1)，则x 2＝t ＋1，所以f(t)＝(t ＋1)2＋t ＋1－2＝t 2＋3t ，所以f(x)＝x 2＋3x(x ≥－1)．4. 已知实数a ≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x<1，－x －2a ， x ≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则实数a 的值为__－34__．解析：因为a ≠0，f(1－a)＝f(1＋a)． 当a>0时，1－a<1<1＋a ， 则f(1－a)＝2(1－a)＋a ＝2－a ， f(1＋a)＝－(1＋a)－2a ＝－1－3a ， 所以2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32(舍去)；当a<0时，1＋a<1<1－a ，则f(1－a)＝－(1－a)－2a ＝－a －1，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a ＝3a ＋2，所以－a －1＝3a ＋2，解得a ＝－34.综上所述，a 的值为－34.5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x<0，－x ＋1，0<x ≤1，则f(x)－f(－x)>－1的解集为__⎣⎡⎭⎫－1，－12∪(0，1]__．解析：当－1≤x<0时，0<－x ≤1，所以f(x)－f(－x)＝－x －1－(x ＋1)>－1，即－2x －2>－1，解得x<－12.又因为－1≤x<0，所以－1≤x<－12；当0<x ≤1时，－1≤－x<0，所以f(x)－f(－x)＝－x ＋1－(x －1)>－1， 即－2x ＋2>－1，解得x<32.又因为0<x ≤1，所以0<x ≤1.综上所述，原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪(0，1]．1. 要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域，定义域是使式子有意义的x 的取值范围，同时也要注意变量的实际意义．2. 准确理解分段函数的定义、特点及应用．分段函数是指函数的表达式是分段表示的，它是一个函数．3. 你还有哪些体悟，写下来：___第7课__函数的性质(1)____1. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，能判断或证明一些简单函数的单调性．2. 掌握判断一些简单函数单调性的常用方法．3. 会运用函数图象理解和研究函数的单调性.1. 阅读：必修1第37～39页．2. 解悟：①圈出第37页蓝色框中关于单调函数及单调区间概念中的关键词；②如何求函数的单调区间？有哪些方法？③用定义法判断函数单调性的一般步骤和注意点；④对于基本初等函数，我们一般用什么方法求函数的最值？3. 践习：在教材空白处，完成第40页练习第1、2、5、7、8题.基础诊断1. 函数y ＝xx －1的单调减区间是__(－∞，1)，(1，＋∞)__．解析：因为y ＝x x －1＝1＋1x －1，所以该函数的单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． 2. 已知函数y ＝f(x)在R 上是增函数，且f (m 2)>f (－m )，则实数m 的取值范围为__(－∞，－1)∪(0，＋∞)__．解析：因为y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (m 2)>f (－m )，所以m 2>－m ，即m 2＋m >0，解得m >0或m <－1，所以实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．3. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间为__(0，1]__．解析：由题意可知x>0，y′＝x －1x ，令y′≤0，则x －1x ≤0，即x 2－1x ≤0，解得－1≤x ≤1且x ≠0.又因为x>0，所以0<x ≤1，故该函数的单调减区间为(0，1]．4. 已知函数y ＝f(x)在R 上是减函数，点A (0，－2)，B (－3，2)在其图象上，则不等式－2<f (x )<2的解集为__(－3，0)__．解析：由题意得－2＝f (0)，2＝f (－3)，所以－2<f (x )<2，即f (0)<f (x )<f (－3)．又因为函数f (x )在R 上是减函数，所以－3<x <0，故该不等式的解集为(－3，0)．。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练70
随堂巩固训练(70)1. 已知平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则直线与该平面的位置关系是 平行或相交 .解析：分两种情况：①当A ，B 两点在平面α的同侧时，由于点A ，B 到α的距离相等，所以直线AB 与平面α平行；②当A ，B 两点在平面α的两侧，且AB 的中点C 在平面α内时，点A ，B 到α的距离相等，此时直线AB 与平面α相交.综上，直线与平面平行或相交.2. 已知不重合的直线m ，n ，平面α，β，γ.下列条件能得到α∥β的有 ④ .(填序号) ①m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β；②m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α；③n ∥α，n ∥β；④n ⊥α，n ⊥β；⑤γ⊥α，γ⊥β.解析：①②③⑤中α与β均可能相交，④能得到α∥β.3. 已知平面α∥平面β，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，则直线AC ∥直线BD 的充要条件是 ④ .(填序号)①AB ∥CD ；②AD ∥CB ；③AB 与CD 相交；④A ，B ，C ，D 四点共面.解析：因为α∥β，要使AC ∥BD ，则直线AC 与BD 是共面直线，即A ，B ，C ，D 四点必须共面.易知①②③的充分性成立，必要性不成立；④是AC ∥BD 的充要条件.4. 若两平面分别过两平行线中的一条，则这两平面的位置关系是 平行或相交 .5. 已知平面α∥β∥γ，两条直线l ，m 分别和平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 与点D ，E ，F ，已知AB ＝6，DE ∶DF ＝2∶5，则AC ＝ 15 Ｗ.解析：由平行平面的性质定理，知AD ∥BE ∥CF ，所以＝，所以AC ＝×AB ＝AB AC DE DF DF DE×6＝15. 526. 下列命题中正确的是 ③ .(填序号)①若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行；②若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；③若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；④若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行.解析：①中两条直线可能平行、相交或异面；②中两个平面可能平行或相交；④中两个平面可能平行或相交.7. 设m ，n 是平面α内的两条不同的直线，l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是 ② .(填序号)①m ∥β且l 1∥α；②m ∥l 1且n ∥l 2；③m ∥β且n ∥β；④m ∥β且n ∥l 2.解析：要得到α∥β，必须是一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行；若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面.故②正确.8. 对于平面α与平面β，有下列条件：①α，β都垂直于平面γ；②α，β都平行于平面γ；③α内不共线的三点到β的距离相等；④l ，m 为两条平行直线，且l ∥α，m ∥β；⑤l ，m 是异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β. 则可判定平面α与平面β平行的条件是 ②⑤ .(填序号)解析：由面面平行的判定定理及性质定理知，只有②⑤能判定α∥β.9. 给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β；②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n.其中真命题的个数为 1 .解析：①中，α∥β或α与β相交；②中，l ∥m 或l 与m 异面；③正确.故真命题的个数为1.10. 给出下列关于互不相同的直线m ，l ，n 和平面α，β的四个命题：①若m ⊂α，l ∩α＝A ，点A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α；③若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ；④若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β.其中真命题的序号是 ①②④ .解析：①②④为真命题；③为假命题，l 与m 可以异面，也可以相交.11. 如图，平面α∥平面β，线段AB 分别交平面α，β于M ，N 两点，线段AD 分别交平面α，β于C ，D 两点，线段BF 分别交平面α，β于F ，E 两点，若AM ＝9，MN ＝11，NB ＝15，S △FMC ＝78.求△END 的面积.解析：因为平面α∥平面β，平面ADN ∩平面α＝CM ，平面ADN ∩平面β＝DN ，所以CM ∥DN.同理FM ∥EN ，所以＝＝＝＝S △FMC S △END12·FM·MC·sin ∠FMC 12·EN·ND·sin ∠END FM·MC EN·ND BM·AM BN·AN ＝， （15＋11）×915×（11＋9）3950所以S △END ＝100.12. 如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，AE ＝AF ＝4，现将△AEF 沿线段EF 折起到△A′EF 位置，使得A′C ＝2.6(1) 求五棱锥A′BCDFE 的体积；(2) 在线段A′C 上是否存在一点M ，使得BM ∥平面A′EF ？若存在，求A′M 的长；若不存在，请说明理由.解析：(1) 如图，连结AC ，交EF 于点H ，连结A′H.因为四边形ABCD 是正方形，AE ＝AF ＝4，所以H 是EF 的中点，且EF ⊥AH ，EF ⊥CH ，所以EF ⊥A′H.因为A′H ∩CH ＝H ，A′H ，CH ⊂平面A′HC ，所以EF ⊥平面A′HC.又EF ⊂平面ABCD ，所以平面A′HC ⊥平面ABCD.过点A′作A′O ⊥HC 且与HC 相交于点O ，则A′O ⊥平面ABCD.因为正方形ABCD 的边长为6，AE ＝AF ＝4，故A′H ＝2，CH ＝4，22所以cos ∠A′HC ＝＝＝， A ′H 2＋CH 2－A ′C 22A ′H·CH 8＋32－242×22×4212所以HO ＝A′H·cos ∠A′HC ＝，则A′O ＝，26所以五棱锥A′BCDFE 的体积V ＝×(62－×4×4)×＝. 131262863(2) 线段A′C 上存在点M ，使得BM ∥平面A′EF ，此时A′M ＝.证明如下： 62如图，连结OM ，BD ，BM ，DM ，且易知BD 过点O.由(1)知HO ＝HC ，A′M ＝＝A′C ，146214所以OM ∥A′H.又OM ⊄平面A′EF ，A′H ⊂平面A′EF ，所以OM ∥平面A′EF.因为BD ∥EF ，BD ⊄平面A′EF ，EF ⊂平面A′EF ，所以BD ∥平面A′EF.又BD ∩OM ＝O ，BD ，OM ⊂平面BDM ，所以平面MBD ∥平面A′EF.因为BM ⊂平面MBD ，所以BM ∥平面A′EF.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练84含解析
随堂巩固训练(84)1. 因为正弦函数是奇函数，f(x)＝sin (x 2－1)是正弦函数，所以f(x)＝sin (x 2－1)是奇函数，以上推理 ③ .(填序号)①结论正确；②大前提不正确；③小前提不正确；④全不正确.解析：f(x)＝sin (x 2－1)不是正弦函数，是复合函数.f(－x)＝sin [(－x)2－1]＝sin (x 2－1)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，故小前提错误，结论错误.2. 下列表述：①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. 其中正确的是 ①③⑤ .(填序号)解析：由归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，可知①③⑤正确.3. “因为四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等”以上推理的大前提是 矩形的对角线相等 .4. 把“函数y ＝x 2的图象是一条抛物线”恢复成完整的三段论是 二次函数的图象是一条抛物线(大前提)，函数y ＝x 2是二次函数(小前提)，所以函数y ＝x 2的图象是一条抛物线(结论) Ｗ.5. “三角函数是周期函数，y ＝sin x ，x ∈是三角函数，所以y ＝sin x ，x ∈[－π2，π2][－π2，π2]是周期函数”. 在以上演绎推理中，下列说法正确的是 ③ .(填序号)①推理完全正确；②大前提不正确；③小前提不正确；④推理形式不正确.解析：y ＝sin x ，x ∈是三角函数的一部分，并不能代表一般的三角函数，小前提[－π2，π2]不正确，导致整个推理结论错误.6. 定义[x]为不大于x 的最大整数，则[－2.1]＝ －3 .7. 已知在等差数列{a n }中，有＝，则在等比数列{b n }中，a 11＋a 12＋…＋a 2010a 1＋a 2＋…＋a 3030会有类似的结论： ＝ .10b 11b 12·…·b 2030b 1b 2·…·b 30解析：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中的除法对应等比数列中的开方，故此可得出结论＝.10b 11b 12·…·b 2030b 1b 2·…·b 30 8. 对于任意的两个实数对(a ，b)和(c ，d)，规定：(a ，b)＝(c ，d)，当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“⊗”为：(a ，b)⊗(c ，d)＝(ac －bd ，bc ＋ad)；运算“⊕”为：(a ，b)⊕(c ，d)＝(a ＋c ，b ＋d). 设p ，q ∈R ，若(1，2)⊗(p ，q )＝(5，0)，则(1，2)⊕(p ，q )＝ (2，0) .解析：由(1，2)⊗(p ，q )＝(5，0)得解得所以(1，2)⊕(p ，q )＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，{p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，){p ＝1，q ＝－2，)0). 9. 关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ；②若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ；③若m ⊥α，n ∥β且α∥β，则m ⊥n ；④若m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m ∥n.其中真命题的序号是 ②③ .解析：若m ∥α，n ∥β，则m ，n 可能平行也可能异面，也可以相交，①错误；若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ，n 一定垂直，②正确；若m ⊥α，n ∥β且α∥β，则m ，n 一定垂直，③正确；若m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m ，n 可能相交、平行，也可能异面，④错误.10. 在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，求证：＝＋，那么在1AD 21AB 21AC 2四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.解析：如图1，由射影定理，得AD 2＝BD·DC ，AB 2＝BD·BC ，AC 2＝BC·DC ，所以＝＝＝. 1AD 21BD·DC BC 2BD·BC·DC·BC BC 2AB 2·AC 2又BC 2＝AB 2＋AC 2，所以＝＝＋.1AD 2AB 2＋AC 2AB 2·AC 21AB 21AC 2猜想：在四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则＝＋1AE 21AB 2＋.1AC 21AD 2如图2，连结BE 并延长交CD 于点F ，连结AF.因为AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，AC ⊂平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD.因为AF ⊂平面ACD ，所以AB ⊥AF.在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，所以＝＋.1AE 21AB 21AF 2因为AB ⊥AF ，AB ⊥AD ，AF ∩AD ＝A ，AD ，AF ⊂平面ADF ，所以AB ⊥平面AFD ，所以AB ⊥CD.因为CD ⊥AE ，AE ∩AB ＝A ，AB ，AE ⊂平面ABF ，所以CD ⊥平面ABF ，所以CD ⊥AF.在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，所以＝＋，1AF 21AC 21AD 2所以＝＋＋.1AE 21AB 21AC 21AD 2图1 图211. (1) 已知等差数列{a n }，b n ＝(n ∈N *)，求证：数列{b n }为等差数列；a 1＋a 2＋…＋a n n(2) 已知等比数列{c n }，c n >0(n ∈N *)，类比上述性质，写出一个真命题并加以证明.解析：(1) 设数列{a n }的公差为d ，因为b n ＝＝，n （a 1＋a n ）2n a 1＋a n 2则b n ＋1－b n ＝＝，a n ＋1－a n 2d 2所以数列{b n }为等差数列.(2) 类比命题：若数列{c n }为等比数列，c n >0(n ∈N *)，d n ＝，则数列{d n }为等n c 1c 2·…·c n 比数列.设数列{c n }的公比为q (a ≠0)，因为d n ＝＝，n （c 1c n ）n2 c 1c n 所以＝＝，d n ＋1dn c n ＋1c n q 所以数列{d n }为等比数列.12. 在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C>cos A ＋cos B ＋cos C.解析：因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B>，所以A>－B.π2π2因为y ＝sin x 在上是增函数，(0，π2)所以sin A>sin ＝cos B ，(π2－B )同理可得sin B>cos C ，sin C>cos A ，所以sin A ＋sin B ＋sin C>cos A ＋cos B ＋cos C.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练32含解析
随堂巩固训练(32)1. 已知sin2α＝，则cos 2＝____．23(α＋π4)16解析：因为sin2α＝，所以cos 2＝＝＝.23(α＋π4)1＋cos (2α＋π2)21－sin2α2162. 在△ABC 中，·＝tanA ，当A ＝时，△ABC 的面积为____．AB → AC → π616解析：由题意得·＝，则||||＝，所以△ABC 的面积S ＝||||·sinA ＝AB → AC → 33AB → AC → 2312AB → AC →××＝.122312163. 将函数y ＝sin2x －1的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所π4得图象的函数解析式为__y ＝cos2x__．解析：将函数y ＝sin2x －1的图象向左平移个单位长度得到函数y ＝cos2x －1的图象，π4再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝cos2x. 4. 已知0<α<<β<π，且cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cosβ＝__－__．π2134562＋415解析：因为cosα＝，且0<α<<β<π，所以sinα＝＝，cosβ<0.因为cos(α＋β)＝13π21－cos 2α223－，<α＋β<，所以sin(α＋β)＝±＝±，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α45π23π21－cos 2（α＋β）35＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－或(舍)，所以cosβ＝－.4＋621562－41562＋4155. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且＋≥1，sinA sinB ＋sinC sinC sinA ＋sinB则B 的取值范围是____．(0，π3]解析：因为＋≥1，所以由正弦定理得＋≥1，即a 2＋c 2－sinA sinB ＋sinC sinC sinA ＋sinB a b ＋c c a ＋bb 2≥ac ，所以由余弦定理得cosB ＝≥＝.因为B 为三角形的内角，所以B ∈.a 2＋c 2－b 22ac ac 2ac 12(0，π3]6. 若△ABC 的内角A ，B 满足＝2cos(A ＋B)，则tanB 的最大值为____．sinB sinA 33解析：因为sinA>0，sinB>0，所以＝2cos(A ＋B)＝－2cosC>0，所以cosC<0，所以C sinB sinA为钝角，所以sinB ＝－2sinAcosC.又sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ，所以sinAcosC ＋cosAsinC ＝－2sinAcosC ，即cosAsinC ＝－3sinAcosC ，所以tanC ＝－3tanA ，所以tanB ＝－tan(A＋C)＝－＝＝≤＝，当且仅当＝3tanA 时等号tanA ＋tanC 1－tanAtanC 2tanA 1＋3tan 2A 21tanA＋3tanA 223331tanA 成立，即tanB 的最大值为.337. 设向量a ＝(sinx ，cosx)，b ＝(sinx ，sinx)，x ∈R ，函数f(x)＝a ·(a ＋2b )，则满足3不等式f′(x)≥2的x 的取值范围为__{x|kπ－≤x ≤kπ＋，k ∈Z }__．π12π4解析：f(x)＝a ·(a ＋2b )＝a 2＋2a ·b ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2(sin 2x ＋sinxcosx)＝1＋1－cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x －)＋2，则f′(x)＝4cos .由f′(x)≥2，得cos ≥，所以2kπ－3π6(2x －π6)(2x －π6)12π3≤2x －≤2kπ＋(k ∈Z )，即kπ－≤x ≤kπ＋(k ∈Z )．π6π3π12π4 8. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且a 2＋b 2＋c 2＝2absinC ，3则△ABC 的形状是__等边三角形__．解析：在△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2＝2absinC ①，又由余弦定理知a 2＋b 2－c 2＝2abcosC ②，3①＋②得2(a 2＋b 2)＝2ab(sinC ＋cosC)＝4absin ，所以sin ＝≥＝1(当3(C ＋π6)(C ＋π6)a 2＋b 22ab 2ab 2ab且仅当a ＝b 时取等号)．又sin ≤1，所以sin ＝1.因为C 是三角形的内角，所以C ＝(C ＋π6)(C ＋π6).又a ＝b ，所以△ABC 为等边三角形. π3 9. 设函数f(x)＝2sin ，若对于任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1－x 2|(π2x ＋π5)的最小值为__2__．解析：易知周期T ＝＝4.因为对任意x ∈R ，存在x 1，x 2使得f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)恒成立，2ππ2所以f(x 1)是最小值，f(x 2)是最大值，所以|x 1－x 2|的最小值为半个最小正周期，所以最小值为T ＝2.1210. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知cos2A ＋cos2B ＝2cos2C ，则cosC 的最小值为____．12解析：由cos2A ＋cos2B ＝2cos2C 得1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2(1－2sin 2C)，所以sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C.由正弦定理得a 2＋b 2＝2c 2.由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2abcosC ，得a 2＋b 2＝c 2＋2abcosC ＝2c 2，所以cosC ＝＝≥＝，当且仅当a ＝b 时取等号，所以cosC 的最c 22ab a 2＋b 24ab 2ab 4ab 12小值为. 1211. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且△ABC 的面积为S ，·＝AB → AC →S.32(1) 求cosA 的值；(2) 若a ，b ，c 成等差数列，求sinC 的值．解析：(1) 由·＝S 得bccosA ＝×bcsinA ，即sinA ＝cosA ，AB → AC → 32321243代入sin 2A ＋cos 2A ＝1，整理得cos 2A ＝.925由sinA ＝cosA 知cosA>0，所以cosA ＝. 4335(2) 由a ，b ，c 成等差数列，可得2b ＝a ＋c.由正弦定理可得2sinB ＝sinA ＋sinC ，即2sin(A ＋C)＝sin A ＋sin C ，将cosA ＝，sinA ＝cosA ＝代入上式并整理得 cosC ＝，3543454－sinC 8代入sin 2C ＋cos 2C ＝1整理得65sin 2C －8sinC －48＝0，解得sinC ＝或sinC ＝－.121345因为C ∈(0，π)，所以sinC ＝. 121312. 已知向量m ＝，n ＝，函数f(x)＝m ·n .(3sin x 4，1)(cos x 4，cos 2x 4)(1) 若f(x)＝1，求cos 的值；(2π3－x )(2) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足acosC ＋c ＝b ，求f(B)12的取值范围．解析：(1) 由题意知f(x)＝sin cos ＋cos 2＝sin ＋cos ＋3x 4x 4x 432x 212x 212＝sin ＋＝1，所以sin ＝，(x 2＋π6)12(x 2＋π6)12所以cos ＝2cos 2－1＝2sin 2－1＝－. (2π3－x )(π3－x 2)(x 2＋π6)12(2) 因为acosC ＋c ＝b ，12所以由余弦定理得a·＋c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，a 2＋b 2－c 22ab 12所以cosA ＝＝.b 2＋c 2－a 22bc 12因为0<A<π，所以A ＝，所以B ＋C ＝，π32π3所以0<B<，所以0<<，所以<＋<，2π3B 2π3π6B 2π6π2所以1<sin ＋<，所以f(B)的取值范围是. (B 2＋π6)1232(1，32)13. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，且cosB ＝.34(1) 若·＝，求a ＋c 的值；BA → BC → 32(2) 求＋的值．cosA sinA cosC sinC解析：(1) 由·＝得accosB ＝.因为cosB ＝，所以b 2＝ac ＝2.BA → BC → 323234由余弦定理 b 2＝a 2＋c 2－2accosB 得a 2＋c 2＝b 2＋2accosB ＝5，所以(a ＋c)2＝a 2＋c 2＋2ac ＝9，即a ＋c ＝3.(2) 由cosB ＝得sinB ＝.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sinAsinC ，3474于是＋＝＝＝＝＝＝. cosA sinA cosC sinC sinCcosA ＋cosCsinA sinAsinC sin （A ＋C ）sinAsinC sinB sinAsinC sinB sin 2B 1sinB 477。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练3
随堂巩固训练(3)1. 命题“θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，使得sinθ＋cosθ≥1”的否定是__θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，使得sin__θ＋cos__θ<1__．2. 命题“若a>b, 则2a >2b ”的否命题为__若a ≤b ，则2a ≤2b __.3. 命题“x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sinx<1”的否定是__假__命题．(填“真”或“假”) 解析：命题“x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sinx<1”的否定是“x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sinx ≥1”．因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sinx ∈(0，1)，所以原命题的否定是假命题． 4. 命题p ：“若ac ＝b ，则a 、b 、c 成等比数列”，则命题p 的否命题是__假__命题. (填“真”或“假”)解析：命题p ：“若ac ＝b ，则a ，b ，c 成等比数列”的否命题是“若ac ≠b ，则a ，b ，c 不成等比数列”．举出反例，若a ＝－2，b ＝－4，c ＝－8，满足ac ≠b ，但a ，b ，c 是等比数列，故原命题的否命题是假命题．5. 设x ∈R ，函数y ＝lg(mx 2－4mx ＋m ＋3)有意义，则实数m 的取值范围是__[0，1)__．解析：由题意得x ∈R ，使得mx 2－4mx ＋m ＋3>0恒成立．当m ＝0时，3>0恒成立；当m ≠0时，Δ＝(－4m)2－4m(m ＋3)<0，且m>0，解得0<m<1.综上，实数m 的取值范围是[0，1)．6. 若命题“x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是__(2，＋∞)__． 解析：因为“x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则“x ∈R ，ax 2＋4x ＋a>0”为真命题．当a ＝0时，4x>0，解得x>0，不符合题意；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝42－4a 2<0，a>0，解得a>2，故实数a 的取值范围是(2，＋∞)．7. 已知命题p ：不等式|x －1|>m 的解集为R ；命题q ：f(x)＝2－m x在区间(0，＋∞)上是减函数．若命题“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数m 的取值范围是__[0，2)__．解析：因为不等式|x －1|>m 的解集为R ，所以m<0，即命题p ：m<0；若f(x)＝2－m x在区间(0，＋∞)上是减函数，则2－m>0，解得m<2，即命题q ：m<2.因为命题“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则命题p ，q 一真一假．若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m<0，m ≥2，此时无解；若p 假，q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m<2，解得0≤m<2.综上，实数m 的取值范围是[0，2)． 8. 已知命题p ：c 2<c ；命题q ：对x ∈R ，x 2＋4cx ＋1>0.若p ，q 中有且仅有一个是真命题，则实数c 的取值范围是__⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫12，1__． 解析：由c 2<c ，解得0<c<1，即命题p ：0<x<1；因为x ∈R ，x 2＋4cx ＋1>0，所以Δ＝16c 2－4<0，解得－12<c<12，即命题q ：－12<c<12.因为命题p ，q 中有且仅有一个是真命题，所以若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧0<c<1，c ≥12或c ≤－12，解得12≤c<1；若p 假，q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1或c ≤0，－12<c<12，解得－12<c ≤0.综上所述，实数c 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫12，1. 9. 已知命题p ：函数y ＝log a (1－2x)在定义域上单调递增；命题q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若“p ∨q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__(－2，2]__．解析：因为函数y ＝log a (1－2x)在定义域上单调递增，所以0<a<1，即命题p ：0<a<1；因为不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立，所以a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[2（a －2）]2－4（a －2）×（－4）<0，解得－2<a ≤2，即命题q ：－2<a ≤2.因为“p ∨q ”是真命题，所以－2<a ≤2，故实数a 的取值范围是(－2，2]．10. 若x ∈[1，2]，使得不等式x 2－mx ＋4>0成立，则实数m 的取值范围是__(－∞，5)__．解析：不等式x 2－mx ＋4>0可化为mx<x 2＋4，即x ∈[1，2]，使得m<x 2＋4x成立．记函数f(x)＝x 2＋4x ＝x ＋4x ，x ∈[1，2]，只需m 小于函数f(x)的最大值．由f′(x)＝1－4x 2＝0，得x ＝2，当x ∈[1，2]时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，故最大值为f(1)＝5，所以实数m 的取值范围是(－∞，5)．11. 设命题p ：函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数；命题q ：x ∈R ，x 2＋(2k －3)x ＋1＝0，如果“p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，求实数k 的取值范围．解析：因为函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数，所以k>0. 因为x ∈R ，x 2＋(2k －3)x ＋1＝0，所以方程x 2＋(2k －3)x ＋1＝0有解，所以Δ＝(2k －3)2－4≥0，解得k ≤12或k ≥52. 因为“p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，所以命题p ，q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧k>0，12<k<52，解得12<k<52； ②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≤0，k ≤12或k ≥52，解得k ≤0. 综上所述，实数k 的取值范围为(－∞，0]∪(12，52)． 12. 设a 为实数，给出命题p ：关于x 的不等式⎝⎛⎭⎫12|x －1|≥a 的解集为；命题q ：函数f(x)＝lg ⎣⎡⎦⎤ax 2＋（a －2）x ＋98的定义域为R ，若命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围．解析：若p 为真命题，则由0<⎝⎛⎭⎫12|x －1|≤1，解得a>1，即命题p ：a>1.若q 为真命题，则关于x 的不等式ax 2＋(a －2)x ＋98>0的解集为R . 当a ＝0时，－2x ＋98>0，即x<916，不符合题意，舍去；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝（a －2）2－4a ×98<0， 解得12<a<8，所以命题q ：12<a<8. 因为命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，所以p 和q 中有且仅有一个是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧a>1，a ≤12或a ≥8或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，12<a<8， 解得a ≥8或12<a ≤1. 综上所述，实数a 的取值范围为[8，＋∞)∪⎝⎛⎦⎤12，1. 13. 已知m 为实常数，命题p ：方程x 22m －y 2m －6＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：方程x 2m ＋1＋y 2m －1＝1表示双曲线． (1) 若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2) 若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；(3) 若命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －6<0，2m>0，－（m －6）>2m ，解得0<m<2，故当命题p 为真命题时，实数m的取值范围为(0，2)．(2) 若命题q 为真命题，则(m ＋1)(m －1)<0，解得－1<m<1，故当命题q 为假命题时，实数m 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(3) 由题意知命题p 与q 一真一假，当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧0<m<2，m ≤－1或m ≥1，解得1≤m<2； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0或m ≥2，－1<m<1，解得－1<m ≤0. 故实数m 的取值范围是(－1，0]∪[1，2)．。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练8 Word版含解析
2. 下列四个结论：①偶函数的图象一定与 y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③ 偶函数的图象关于 y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)＝0(x∈R)．其中 结论正确的个数是__1__．
解析：偶函数的图象关于 y 轴对称，但不一定与 y 轴相交，①错误，③正确；奇函数关 于原点对称，但不一定经过原点，②错误；若 y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得 f(x) ＝0，但不一定 x∈R，只要定义域关于原点对称即可，④错误．
解析：由题意得 f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)，由已知 f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2①，f(－2)＋ 15
g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2②，由①②解得 g(2)＝2＝a，f(2)＝a2－a－2＝ . 4
6. 已知 y＝f(x)是奇函数，若 g(x)＝f(x)＋2 且 g(1)＝1，则 g(－1)＝__3__．
( )1 2
是__ ， __． 33
( ) ( ) 1
1
解析：偶函数 f(x)＝f(|x|)，所以 f(2x－1)<f ，即 f(|2x－1|)<f .又函数 f(
12
上单调递增，所以|2x－1|< ，解得 <x< .
3
33
8. 已知函数 f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a，b∈R)对任意实数 x 都有 f(1－x)＝f(1＋x)成 立，若当 x∈[－1，1]时，f(x)>0 恒成立，则实数 b 的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__．
a 解析：由题意，得函数 f(x)图象的对称轴为直线 x＝1＝ ，即 a＝2.因为对称轴为直线 x＝
2 1，且图象开口向下，所以函数 f(x)在区间[－1，1]上是单调增函数．又 f(x)>0 恒成立，则 f(x)min ＝f(－1)＝b2－b－2>0，解得 b<－1 或 b>2，故实数 b 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
【精选】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练79含解析
随堂巩固训练(79)1. 现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为910. 解析：从5道试题中随机取2道题，共有10种取法，至少有1道试题是乙类试题的对立事件是选出的两道试题都为甲类试题，全是甲类试题的取法是1种，所以至少有1道试题是乙类试题的概率为1－110＝910.2. 某班要选1名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出的代表是男生”的概率是“选出的代表是女生”的概率的23，则这个班的女生人数占全班人数的百分比为60% .解析：由题意得该班的男女比例为2∶3，所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为32＋3×100%＝60%.在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为 0.3 . 解析：由频数分布表知，成绩在120分以上的频率为10＋240＝0.3，所以估计在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为0.3.4.则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 0.74 .解析：由表格可知至少有2人排队的概率为P ＝0.3×2＋0.1＋0.04＝0.74. 5. 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 23.解析：两种不同的数学书用a 1，a 2表示，语文书用b 表示，则所有的基本事件有(a 1，a 2，b)，(a 1，b ，a 2)，(a 2，a 1，b)，(a 2，b ，a 1)，(b ，a 1，a 2)，(b ，a 2，a 1)共6个，其中2本数学书相邻的事件有4个，故2本数学书相邻的概率为P ＝46＝23.6. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为3136. 解析：同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，基本事件总数n ＝6×6＝36.两个点数之积不小于4的对立事件为两个点数之积小于4，两个点之积小于4的事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)共5种，所以两个点数之积不小于4的概率为P ＝1－536＝3136. 7. 甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为 0.3 .解析：因为“乙获胜”“甲获胜”和“甲、乙下和棋”是互斥事件，所以乙获胜的概率为P ＝1－0.5－0.2＝0.3.8. 设x ∈{－1，1}，y ∈{－2，0，2}，则以(x ，y)为坐标的点落在不等式x ＋2y ≥1所表示的平面区域内的概率为 12.解析：由题意得，所有(x ，y)的坐标为(－1，－2)，(－1，0)，(－1，2)，(1，－2)，(1，0)，(1，2)共6个，其中以(x ，y)为坐标的点落在不等式x ＋2y ≥1所表示的平面区域内的点为(1，0)，(1，2)，(－1，2)共3个，所求概率为P ＝36＝12.9. 若将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有一个球的概率是 29.解析：甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个球都有3种放法，故共有3×3＝9种放法，在1，2号盒子中各有1个球，有2种放法，故在1，2号盒子中各有1个球的概率为P ＝29.10. 从3名男生和1名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率为 12.解析：从3名男生和1名女生中随机选取两人，共有6种选法，两人恰好是一名男生和一名女生的选法有3种，故所求概率为P ＝36＝12.11. 从集合{1，2，3，4}中任取2个不同的数，这2个数的和为3的倍数的概率为 13 Ｗ.解析：从集合{1，2，3，4}中任取2个不同的数有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)共6种，其中和为3的倍数的有(1，2)，(2，4)共2种，故所求概率为P ＝26＝13.12. 某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1人被录用的概率为56. 解析：从4名应聘者中招聘2人，共有6种结果，其中甲，乙2个中至少有1人被录用的结果有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)共5种，故所求的概率为P ＝56.13. 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4. (1) 求他乘火车或乘飞机去开会的概率； (2) 求他不乘船去开会的概率；(3) 如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去开会呢？解析：(1) 记“他乘火车去开会”为事件A 1，“他乘轮船去开会”为事件A 2，“他乘汽车去开会”为事件A 3，“他乘飞机去开会”为事件A 4，这四个事件不可能同时发生，故它们是互斥事件，故P(A 1＋A 4)＝P(A 1)＋P(A 4)＝0.3＋0.4＝0.7，故他乘火车或飞机去开会的概率为0.7.(2) 设他不乘船去开会的概率为P ，则P ＝1－P(A 2)＝1－0.2＝0.8，故他不乘船去开会的概率为0.8.(3) 由于0.3＋0.2＝0.5，0.1＋0.4＝0.5，故他有可能乘火车或轮船去开会，也有可能乘汽车或飞机去开会.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练72 Word版含解析
随堂巩固训练(72)1. 已知平面α，β都与γ垂直，且α∩β＝l，则直线l与平面γ的关系为 垂直 .解析：由题意设α∩γ＝m，β∩γ＝n.因为α∩β＝l，所以在l上任取一点P，过点P在平面α内作PA⊥m，过点P在平面β内作PB⊥n.因为α⊥γ，α∩γ＝m，所以PA⊥γ.因为β⊥γ，β∩γ＝n，所以PB⊥γ，所以PA，PB重合，即l，所以l⊥γ.2. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为 平行 .解析：连结AC，BD，交点为F，连结EF，在△BDD1中，E，F分别为DD1，BD的中点，所以EF∥BD1.又因为EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.3. 已知平面α∥平面β，直线m⊂α，则m∥β一定成立，理由为因为平面α∥平面β，所以平面α，β没有公共点.因为直线m⊂α，所以直线m与平面β没有公共点，所以直线m∥平面βＷ.4. 下列命题中正确的是 ②④ .(填序号)①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行； ④垂直于同一平面的两直线平行.解析：平行于同一直线的两个平面平行或相交，故①错误；平行于同一平面的两个平面平行，由平面平行的性质定理，可知②正确；垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，故③错误；垂直于同一平面的两直线平行，故④正确.5. 设不同的直线m，n和不同的平面α，β，则下列命题中正确的是 ② .(填序号)①若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β；②若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；③若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；④若m⊥α，m⊥n，n⊂β，则α∥β.解析：对于①，因为m∥n，m⊥α，所以n⊥α.又n⊥β，所以α∥β，故①错误；对于②，因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.又m⊂α，则α⊥β，故②正确；对于③，根据面面平行的判定定理可知，必须是两条相交直线分别平行，结论才成立，故③错误；对于④，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α.又n⊂β，所以α∥β不一定成立，故④错误.6. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若m∥α，m⊥β，则α⊥β；③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β.其中，真命题的序号是 ② .解析：若m⊂β，α⊥β，则根据空间中线面的位置关系可知，m⊥α或m∥α或m⊂α或m与α相交，故①为假命题；若m∥α，m⊥β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故②为真命题；若α⊥β，α⊥γ，则根据空间中平面与平面的位置关系可知β∥γ或β与γ相交，故③为假命题；若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则根据三棱柱的三个侧面可得α与β相交，根据四棱柱的四个侧面可得α∥β，故④为假命题.7. 已知α，β为两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的 必要不充分 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)解析：由m⊂α，α⊥β得不出m⊥β，因为两平面垂直，其中一平面内的直线不一定与另一平面垂直；若m⊂α，m⊥β，则根据面面垂直的判定定理可得α⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.8. 过△ABC所在平面α外一点P作PO⊥平面α，垂足为O，连结PA，PB，PC，若PA＝PB ＝PC，则O为△ABC的 外 心.解析：由题意得，过△ABC所在平面α外一点P作PO⊥平面α，垂足为O，且PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，所以O为△ABC的外心.9. 已知平面α，β，γ，直线l，m满足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么可由上述条件推出的结论有 ②④ .(填序号)①m⊥β； ②l⊥α； ③β⊥γ； ④α⊥β.解析：因为α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，所以β与γ相交，但不一定垂直，m与β相交，但不一定垂直，故①③错误；由面面垂直的性质，知l⊥α，故②正确；由面面垂直的判定定理，知α⊥β，故④正确.10. 对于平面α与平面β，有下列条件：①平面α，β都垂直于平面γ；②平面α，β都平行于平面γ；③平面α内不共线的三点到平面β的距离相等；④l，m为两条平行直线，且l∥α，m∥β；⑤l，m是异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.则可判定平面α与平面β平行的条件是 ②⑤ .(填序号)解析：对于①，由长方体过同一个顶点的三个侧面，可知垂直于同一个平面的两个平面可能相交，故①不正确；对于②，由两个平面互相平行的定义，可得平行于同一个平面的两个平面互相平行，故②正确；对于③，若平面α内不共线的三点不在平面β的同一侧，则平面α与平面β相交，故③不正确；对于④，若l，m为两条平行线，且l∥α，m∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故④不正确；对于⑤，若l，m是异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，则α∥β，故⑤正确.11. 如图，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点.求证：(1) AO⊥CD；(2) 平面AOF⊥平面ACE.解析：(1) 因为△ABE为等边三角形，O是BE的中点，所以AO⊥BE.又因为平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE＝BE，AO⊂平面ABE，所以AO⊥平面BCDE.因为CD⊂平面BCDE，所以AO⊥CD.(2) 连结BD.因为四边形BCDE为菱形，所以CE⊥BD.因为O，F分别为BE，DE的中点，所以OF∥BD，所以CE⊥OF.由(1)可知，AO⊥平面BCDE，因为CE⊂平面BCDE，所以AO⊥CE.因为AO∩OF＝O，AO，OF⊂平面AOF，所以CE⊥平面AOF.又因为CE⊂平面ACE，所以平面AOF⊥平面ACE.12. 在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，高清试卷下载可打印EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点.求证：(1) AB∥平面DEG；(2) BD⊥EG.解析：(1) 因为AD∥EF，EF∥BC，所以AD∥BC.又因为BC＝2AD，G是BC的中点，所以AD＝BG，所以四边形ADGB是平行四边形，所以AB∥DG.因为AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，所以AB∥平面DEG.(2) 过点D作DH∥AE，交EF于点H，连结GH，BH.因为EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，所以EF⊥AE，EF⊥BE.又AE⊥EB，EB∩EF＝E，EB，EF⊂平面BCFE，所以AE⊥平面BCFE，所以DH⊥平面BCFE.因为EG⊂平面BCFE，所以DH⊥EG.因为AD∥EF，DH∥AE，所以四边形AEHD是平行四边形，所以EH＝AD＝2.又EH∥BG，EH⊥BE，EH＝BE＝BG＝2，所以四边形BGHE为正方形，所以BH⊥EG.又BH∩DH＝H，BH，DH⊂平面BHD，所以EG⊥平面BHD.因为BD⊂平面BHD，所以BD⊥EG.13. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA＝PD，PA⊥AB，N是棱AD 的中点.(1) 求证：平面PAB⊥平面PAD；(2) 求证：PN⊥平面ABCD；(3) 在棱BC上是否存在动点E，使得BN∥平面DEP？并说明理由.解析：(1) 在矩形ABCD中，AB⊥AD.又因为AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2) 在△PAD中，PA＝PD，N是AD的中点，所以PN⊥AD.由(1)知AB⊥平面PAD，PN⊂平面PAD，所以AB⊥PN.又因为AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PN⊥平面ABCD.(3) 在棱BC上存在点E，使得BN∥平面DEP，此时E为BC的中点.理由如下：假设存在点E，使得BN∥平面DEP.因为BN⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PDE＝DE，所以BN∥DE.因为N是AD的中点，所以E为BC的中点，故假设成立，且E为BC的中点.总结：解决立体几何中的探索性问题的步骤：第一步：写出探求的最后结论；第二步：证明探求结论的正确性；第三步：给出明确答案；第四步；反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.温馨提醒：(1) 立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.(2) 这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练第十五章 7
随堂巩固训练(7)1. (4x －2－x )6 (x ∈R )展开式中的常数项是________．2. 在(2－x)6 的展开式中，含x 3项的系数为________．3. 设(x －1)21 ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________．4. 在(2x －x4)6的展开式中第2项是________．5. 已知在⎝⎛⎭⎫ax －x 29的展开式中x 3的系数为94，则常数a 的值为________．6. 已知⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n展开式中有连续3项的系数之比为3∶8∶14，则展开式中的常数项为________．7. 在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，已知前三项的系数成等差数列，则展开式中的有理项为__________________________．8. 已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n. (1) 若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2) 若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．9. 设m，n∈N，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n.(1) 当m＝n＝5时，若f(x)＝a5(1－x)5＋a4(1－x)4＋…＋a1(1－x)＋a0，求a0＋a2＋a4的值；(2) 若f(x)的展开式中x的系数是9，当m，n变化时，求x2的系数的最小值．10. 设(2－3x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值：(1) a0，a10；(2) (a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.答案与解析随堂巩固训练(7)1. 15 解析：(4x －2－x )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 64x(6－r)·(－2－x )r ＝C r 6(－1)r (2x )12－3r，当r ＝4时，展开式通项为常数项，故常数项为C 46＝15.2. －160 解析：(2－x)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·26－r ·(－x)r ，当r ＝3时，T 3＋1＝C 36·26－3·(－x)3＝－8C 36·x 3，故x 3的系数为－8C 36＝－160.3. 0 解析：a 10＝C 1121(－1)11＝－C 1121，a 11＝C 1021(－1)10＝C 1021，所以a 10＋a 11＝C 1021－C 1121＝0.4. －48x －2 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 46的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫2x 6－r ·⎝⎛⎭⎫－x 4r ＝C r 6(－1)r ·26－3r·(x)2r －6，则第2项为T 2＝C 16(－1)1·23·(x)－4＝－48x －2.5. 4 解析：⎝⎛⎭⎫a x－x 29的展开式的通式为T r ＋1＝C r 9⎝⎛⎭⎫a x 9－r ·⎝⎛⎭⎫－x 2r ＝C r 9(2)－r ·(－1)r ·a 9－r·x 3r 2－9，令3r 2－9＝3，解得r ＝8，故x 3的系数为C 89·116a ＝94，所以a ＝4. 6. 210 解析：由题意可设连续三项为k ，k ＋1，k ＋2，则C k n ∶C k ＋1n ∶C k ＋2n＝3∶8∶14，解得n ＝10，k ＝2.⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 10的展开式通项为T r ＋1＝C r 10(3x)10－r ·⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 10x 20－5r 6，当20－5r 6＝0，即r ＝4时，展开式为常数项，此时常数项为T 5＝210.7. x 4，358x ，1256x －2 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n ·(x)n －r·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝C r n ·⎝⎛⎭⎫12r ·x 2n －3r 4，得前三项的系数分别1，n 2，14C 2n ，故n ＝1＋14C 2n，从而n ＝8或n ＝1(舍去)，所以T r ＋1＝C r 8·⎝⎛⎭⎫12r·x 16－3r4(0≤r ≤8，r ∈N )，要使它为有理项，则16－3r4∈Z ，故r ＝0，4，8，从而有理项为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2. 8. 解析：(1) 因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0，所以n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，所以T 4的系数为C 37×⎝⎛⎭⎫124×23＝352， T 5的系数为C 47×⎝⎛⎭⎫123×24＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8，所以T 8的系数为C 714×⎝⎛⎭⎫127×27＝3 432. (2) 因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，所以n 2＋n －156＝0， 所以n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设第k ＋1的项的系数最大．因为⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212·(1＋4x)12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1，所以9.4≤k ≤10.4，所以k ＝10，所以展开式中系数最大的项为T 11，即T 11＝C 1012·⎝⎛⎭⎫122×210×x 10＝16 896x 10.9. 解析：(1) 当m ＝n ＝5时，f(x)＝2(1＋x)5. 令x ＝0，则f(0)＝a 5＋a 4＋…＋a 1＋a 0＝2，令x ＝2，则f(2)＝－a 5＋a 4＋…－a 1＋a 0＝2×35， 所以a 0＋a 2＋a 4＝f （0）＋f （2）2＝35＋1＝244.(2) 由题意得f(x)展开式中x 的系数为C 1m ＋C 1n ＝m ＋n ＝9，所以x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝m （m －1）2＋n （n －1）2＝m 2＋n 2－92＝m 2＋（9－m ）2－92＝2m 2－18m ＋722.因为m ，n ∈N ，所以当m ＝4或m ＝5时，x 2的系数最小，最小值为16.10. 解析：(1) a 0＝210＝1 024，a 10＝C 1010·(－3)10＝243. (2) 当x ＝1时，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－3)10； 当x ＝－1时，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋3)10，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10)＝(2－3)10·(2＋3)10＝1.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练4
随堂巩固训练(4)1. 下列说法错误的是__②__．(填序号)①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题是“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”； ②命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆命题为真命题；③“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件；④命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”．解析：①显然正确；②命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题是“若方程x 2＋x －m ＝0有实数根，则m>0”．由Δ＝1－4×(－m)≥0得m ≥－14，所以是假命题，故②错误；③当x ＝4时，x 2－3x －4＝42－3×4－4＝0，所以“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件，故③正确；④显然正确，故选②.2. “a>1”是“(a ＋1)x>2对x ∈(1，＋∞)恒成立”的__充分不必要__条件．解析：“(a ＋1)x>2对x ∈(1，＋∞)恒成立”等价于a ＋1>2x在x ∈(1，＋∞)上恒成立，即a ＋1≥2，解得a ≥1，因为“a>1”是“a ≥1”的充分不必要条件，故“a>1”是“(a ＋1)x>2对x ∈(1，＋∞)恒成立”的充分不必要条件．3. 已知命题p ：0<m<1；命题q ：椭圆x 2m＋y 2＝1的焦点在y 轴上，则命题p 是q 的__充要__条件．解析：若0<m<1，则椭圆x 2m ＋y 2＝1的焦点在y 轴上；若椭圆x 2m＋y 2＝1的焦点在y 轴上，则0<m<1，故命题p 是q 的充要条件．4. 已知实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，则“ac<0”是“该方程有实数根”的__充分不必要__条件．解析：若实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实数根，则Δ＝b 2－4ac ≥0，即ac ≤0.若“ac<0”则推得出“ac ≤0”，故充分性成立；若“ac ≤0”，则推不出“ac<0”，故必要性不成立，故“ac<0”是“该方程有实数根”的充分不必要条件．5. 设向量a ＝(sin2θ，cosθ)，b ＝(cosθ，1)，则“a ∥b ”是“tanθ＝12”的__必要不充分__条件．解析：若a ∥b ，则sin2θ－cos 2θ＝0，即cosθ(2sinθ－cosθ)＝0，解得cosθ＝0或tanθ＝12，故“a ∥b ”是“tanθ＝12”的必要不充分条件． 6. 设a ，b ∈R ，则“log 2a>log 2b”是“2a －b >1”的__充分不必要__条件．解析：因为log 2a>log 2b ，所以0<b<a ；因为2a －b >1，所以a>b ，所以“log 2a>log 2b ”是“2a－b >1”的充分不必要条件．7. 若函数f(x)＝2x －(k 2－3)·2－x ，则“k ＝2”是“函数f(x)为奇函数”的__充分不必要__条件．解析：若k ＝2，则f(x)＝2x －2－x ，f(－x)＝2－x －2x ＝－f(x)，函数f(x)是奇函数，故充分性成立；若f(x)＝2x －(k 2－3)2－x 是奇函数，则f(0)＝0，即20－(k 2－3)＝0，解得k ＝±2，故必要性不成立，所以“k ＝2”是“函数f(x)为奇函数”的充分不必要条件．8. 若“3x ＋m<0”是“x 2－2x －3>0”的充分条件，则实数m 的取值范围是__[3，＋∞)__．解析：由3x ＋m<0，解得x<－m 3；由x 2－2x －3>0，解得x<－1或x>3.因为“3x ＋m<0”是“x 2－2x －3>0”的充分条件，所以－m 3≤－1，解得m ≥3，故实数m 的取值范围是[3，＋∞)．9. 已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝a n ＋a n ＋1，则“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为等差数列”的__充分不必要__条件．解析：若数列{a n }为等差数列，设其公差为d 1，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋2－a n ＝2d 1，所以数列{b n }是等差数列，故充分性成立；若数列{b n }为等差数列，设其公差为d 2，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋2－a n ＝d 2，不能推出数列{a n }为等差数列，故必要性不成立，所以“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为等差数列”的充分不必要条件．10. 已知命题p ：|x －a|<4；命题q ：(x －1)(2－x)>0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__[－2，5]____．解析：由|x －a|<4，解得a －4<x<a ＋4，即命题p ：a －4<x<a ＋4；由(x －1)(2－x)>0，解得1<x<2，即命题q ：1<x<2.因为p 是q 的必要不充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1，a ＋4≥2，解得－2≤a ≤5，故实数a 的取值范围是[－2，5]．11. 已知命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a>0；命题q ：实数x 满足2<x ≤3.(1) 若a ＝1，且“p ∧q ”为真，求实数x 的取值范围；(2) 若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.解析：(1) 由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a)(x －a)<0.因为a>0，所以a<x<3a.所以当a ＝1时，命题p ：1<x<3.若“p ∧q ”为真，则p 为真且q 为真，所以实数x 的取值范围是(2，3)．(2) 设A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)}．因为p 是q 的必要不充分条件，所以因为B ＝(2，3]，A ＝(a ，3a)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3<3a ，解得1<a ≤2， 所以实数a 的取值范围是(1，2].12. 设命题p ：函数f(x)＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋a 16的定义域为R ；命题q ：不等式3x －9x <a －m 对任意x ∈R 恒成立.(1) 如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；(2) 如果p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解析：(1) 由题意得ax 2－x ＋a 16>0对任意x ∈R 恒成立， 当a ＝0时，x<0，不符合题意，舍去；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝1－a 24<0，解得a>2. 所以实数a 的取值范围是(2，＋∞)．(2) 令t ＝3x ，因为x ∈R ，所以t>0.令g(t)＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14， 所以g(t)max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝14.因为不等式3x －9x <a －m 对任意x ∈R 恒成立，所以a －m>14，即a>m ＋14. 设A ＝{a|p(a)}＝(2，＋∞)，B ＝{a|q(a)}＝⎝⎛⎭⎫m ＋14，＋∞. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以，所以m ＋14<2，所以m<74， 所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，74. 13. 已知命题p ：指数函数f(x)＝(2a －t)x 在R 上是单调增函数；命题q ：关于x 的方程 x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3.(1) 若q 是真命题，求实数a 的取值范围；(2) 若p 是q 的必要条件，求实数t 的取值范围.解析：(1) 若q 是真命题，令f(x)＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，它是开口向上的抛物线． 因为x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－3a ）2－4（2a 2＋1）＝a 2－4≥0，－－3a 2＝3a 2>3，f （3）＝32－9a ＋2a 2＋1＝2a 2－9a ＋10>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a>2，a<2或a>52，所以a>52. 故当命题q 是真命题时，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫52，＋∞.(2) 因为指数函数f(x)＝(2a －t)x 在R 上是单调增函数，所以2a －t>1，即a>t ＋12. 设A ＝{a|p(a)}＝⎝⎛⎭⎫t ＋12，＋∞，B ＝{a|q(a)}＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞， 因为p 是q 的必要条件，所以，所以t ＋12≤52，所以t ≤4. 故实数t 的取值范围是(－∞，4]．。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练7
随堂巩固训练(7)1. 函数f(x)＝x 2－2x(x ∈[－2，4])的单调增区间为__[1，4]__；f(x)max ＝__8__． 解析：函数f(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，所以函数f(x)图象的对称轴是直线x ＝1，所以单调增区间为[1，4]，根据二次函数的对称性可知f(x)max ＝f(－2)＝f(4)＝8.2. 若函数y ＝－a x在区间(0，＋∞)上是减函数，则y ＝－2x 2＋ax 在区间(0，＋∞)上是单调__减__函数．(填“增”或“减”)解析：因为y ＝－a x在区间(0，＋∞)上是减函数，所以a<0.又函数y ＝－2x 2＋ax 图象的对称轴为直线x ＝a 4<0，所以y ＝－2x 2＋ax 在区间(0，＋∞)上为减函数． 3. 设x 1，x 2为函数y ＝f(x)的定义域上任意两个变量，有以下几个命题：①(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0; ②(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]<0；③f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0; ④f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0. 其中能推出函数y ＝f(x)为增函数的命题为__①③__．(填序号)解析：根据函数y ＝f(x)为增函数，有若x 1<x 2，则f(x 1)<f(x 2)，即x 1－x 2与f(x 1)－f(x 2)同号，所以①③正确，②④错误．4. 函数f(x)＝x 2－2x －3的单调增区间为__[3，＋∞)__．解析：由x 2－2x －3≥0，得x ≤－1或x ≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．f(x)＝x 2－2x －3可看作由y ＝t ，t ＝x 2－2x －3复合成的，而y ＝t 在定义域上单调递增，要求函数f(x)＝x 2－2x －3的单调增区间，只需求t ＝x 2－2x －3的增区间，易知t ＝x 2－2x －3的单调增区间为[3，＋∞)，所以函数f(x)的单调增区间为[3，＋∞)．5. 设f(x)是定义在A 上的增函数，且f(x)>0，则下列函数中是减函数的有__①②④⑤__．①y ＝3－f(x) ②y ＝1＋2f （x ）； ③y ＝[f(x)]2； ④y ＝1－f （x ）； ⑤y ＝f(－x); ⑥y ＝f(x)－f(－x)．解析：因为f(x)是定义在A 上的增函数，且f(x)>0，所以①是减函数，②是减函数；③是增函数；④⑤是减函数；⑥是增函数．6. 函数f(x)＝log 2(x 2－2|x|)的单调增区间为__(2，＋∞)__．解析：由题意得x 2－2|x|>0，解得x>2或x<－2.因为a ＝2>1，所以由函数图象得单调增区间为(2，＋∞)．7. 若函数f(x)＝－x 2＋2ax 与g(x)＝a x ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是__(0，1]__．解析：因为函数f(x)＝－x 2＋2ax 在区间[1，2]上是减函数，所以a ≤1.又因为函数g(x)＝a x ＋1在区间[1，2]上是减函数，所以a>0，故实数a 的取值范围是(0，1]． 8. 已知函数f(x)为R 上的减函数，则满足不等式f ⎝⎛⎭⎫|1x |<f(1)的实数x 的取值范围是__(－1，0)∪(0，1)__．解析：因为函数f(x)为R 上的减函数，且满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f(1)，所以⎪⎪⎪⎪1x >1，解得－1<x<1.又|x|≠0，所以x ≠0，所以实数x 的取值范围是(－1，0)∪(0，1)．9. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log ax ， x>1，2ax ＋3x ＋2－43， 0<x ≤1在定义域上单调递减，则实数a 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫12，34__．解析：由题意，得2ax ＋3x ＋2－43＝2a ＋3－4a x ＋2－43.因为函数f(x)在定义域上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，3－4a>0，2a ＋31＋2－43≥0，解得12≤a<34，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，34.10. 若定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋是区间(0，＋∞)上的增函数，则不等式f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x －12≤0的解集是__⎭⎪⎫4，0∪⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝ ⎛12，4__． 解析：令x ＝y ＝1，由f(xy)＝f(x)＋f(y)，得f(1)＝0；令x ＝y ＝－1，得f(1)＝2f(－1)，所以f(－1)＝0.又令y ＝－1，则f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．因为f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当f(x)≤0＝f(1)时，－1≤x ≤1且x ≠0.因为f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝f ⎣⎡⎦⎤x ⎝⎛⎭⎫x －12≤0，所以－1≤x ⎝⎛⎭⎫x －12≤1且x ⎝⎛⎭⎫x －12≠0，解得1－174≤x<0或0<x<12或12<x ≤1＋174. 11. 已知函数f(x)＝a －1|x|. (1) 求证：函数y ＝f(x)在区间(－∞，0)上是减函数；(2) 若f(x)<2x 在区间(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1) 当x ∈(－∞，0)时，f(x)＝a ＋1x. 设x 1<x 2<0，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f(x 1)－f(x 2)＝⎝⎛⎭⎫a ＋1x 1－⎝⎛⎭⎫a ＋1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f(x 1)>f(x 2)，即f(x)在区间(－∞，0)上是减函数．(2) 由题意得a －1x<2x 在区间(1，＋∞)上恒成立， 即a<1x＋2x 在区间(1，＋∞)上恒成立． 设h(x)＝2x ＋1x，则a<h(x)在区间(1，＋∞)上恒成立． 因为h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，故a ≤h(1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围为(－∞，3]．12. 某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ．如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1) 写出总造价y(元)与污水处理池的长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；(2) 利用函数单调性求当污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？最低总造价是多少？解析：(1) 因为污水处理池的长为xm ，则宽为200xm ，总造价y ＝400⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋248×200x×2＋80×200＝800⎝⎛⎭⎫x ＋324x ＋16 000.由题设条件得⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<200x ≤16，x ≥200x ，解得102≤x ≤16，即函数的定义域为[102，16]．(2) 由(1)知y ＝800⎝⎛⎭⎫x ＋324x ＋16 000，所以y′＝800⎝⎛⎭⎫1－324x 2. 令y′＝800⎝⎛⎭⎫1－324x 2＝0，解得x ＝18. 当x ∈(0，18)时，函数y 为减函数；当x ∈(18，＋∞)时，函数y 为增函数，故函数y ＝f(x)在区间[102，16]上是减函数，所以当x ＝16时，y 取得最小值，此时y min ＝800×⎝⎛⎭⎫16＋32416＋16 000＝45 000(元)， 200x ＝20016＝12.5(m)， 故当污水处理池的长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价最低，最低为45 000元．13. 已知函数f(x)对任意的m ，n ∈R ，都有f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－1，且当x>0时，恒有f(x)>1.(1) 求证：函数f(x)在R 上是增函数；(2) 若f(3)＝4，解不等式：f(a 2＋a －5)<2.解析：(1) 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0.因为当x>0时，f(x)>1，所以f(x 2－x 1)>1.因为f(x 2)＝f[(x 2－x 1)＋x 1]＝f(x 2－x 1)＋f(x 1)－1，所以f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2－x 1)－1>0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在R 上为增函数．(2) 因为m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，所以f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1，即f(2)＝2f(1)－1.由f(3)＝4得f(2＋1)＝4，即f(2)＋f(1)－1＝4，所以3f(1)－2＝4，即f(1)＝2，所以f(a 2＋a －5)<2＝f(1)．因为f(x)在R 上为增函数，所以a 2＋a －5<1，解得－3<a<2.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：基础夯滚天天练(共60练)
目录高考数学一轮复习基础夯滚天天练(1) 集合的基本运算高考数学一轮复习基础夯滚天天练(2) 命题和逻辑联结词高考数学一轮复习基础夯滚天天练(3) 充分条件和必要条件高考数学一轮复习基础夯滚天天练(4) 函数及其表示方法高考数学一轮复习基础夯滚天天练(5) 函数的解析式和定义域高考数学一轮复习基础夯滚天天练(6) 函数的值域和最值高考数学一轮复习基础夯滚天天练(7) 函数的单调性和奇偶性高考数学一轮复习基础夯滚天天练(8) 函数的图象高考数学一轮复习基础夯滚天天练(9) 二次函数高考数学一轮复习基础夯滚天天练(10) 函数的应用高考数学一轮复习基础夯滚天天练(11) 指数与对数高考数学一轮复习基础夯滚天天练(12) 幂函数、指数函数与对数函数高考数学一轮复习基础夯滚天天练(13) 函数与方程高考数学一轮复习基础夯滚天天练(14) 导数的概念及运算高考数学一轮复习基础夯滚天天练(15) 导数在研究函数中的简单应用高考数学一轮复习基础夯滚天天练(16) 同角三角函数的关系及诱导公式高考数学一轮复习基础夯滚天天练(17) 三角函数的图象高考数学一轮复习基础夯滚天天练(18) 三角函数的性质(1)高考数学一轮复习基础夯滚天天练(19) 三角函数的性质(2)高考数学一轮复习基础夯滚天天练(20) 和差倍角的三角函数高考数学一轮复习基础夯滚天天练(21) 正弦定理和余弦定理高考数学一轮复习基础夯滚天天练(22) 三角函数及解三角形高考数学一轮复习基础夯滚天天练(23) 一元二次不等式高考数学一轮复习基础夯滚天天练(24) 简单的线性规划高考数学一轮复习基础夯滚天天练(25) 基本不等式及其应用高考数学一轮复习基础夯滚天天练(26) 直线的斜率和直线的方程高考数学一轮复习基础夯滚天天练(27) 两条直线的位置关系高考数学一轮复习基础夯滚天天练(28) 圆的方程高考数学一轮复习基础夯滚天天练(29) 直线与圆、圆与圆的位置关系高考数学一轮复习基础夯滚天天练(30) 直线与圆的综合运用高考数学一轮复习基础夯滚天天练(31) 椭圆(1)高考数学一轮复习基础夯滚天天练(32) 椭圆(2)高考数学一轮复习基础夯滚天天练(33) 双曲线高考数学一轮复习基础夯滚天天练(34) 抛物线高考数学一轮复习基础夯滚天天练(35) 圆锥曲线高考数学一轮复习基础夯滚天天练(36) 向量的概念与线性运算高考数学一轮复习基础夯滚天天练(37) 平面向量的基本定理与坐标运算高考数学一轮复习基础夯滚天天练(38) 平面向量的数量积高考数学一轮复习基础夯滚天天练(39) 平面向量的应用高考数学一轮复习基础夯滚天天练(40) 复数的概念、几何意义及运算高考数学一轮复习基础夯滚天天练(41) 数列的概念高考数学一轮复习基础夯滚天天练(42) 等差数列高考数学一轮复习基础夯滚天天练(43) 等比数列高考数学一轮复习基础夯滚天天练(44) 等差数列与等比数列高考数学一轮复习基础夯滚天天练(45) 数列的通项与求和高考数学一轮复习基础夯滚天天练(46) 数列综合题高考数学一轮复习基础夯滚天天练(47) 平面的基本性质、空间两直线高考数学一轮复习基础夯滚天天练(48) 直线与平面的位置关系高考数学一轮复习基础夯滚天天练(49) 平面与平面的位置关系高考数学一轮复习基础夯滚天天练(50) 柱、锥、台、球的表面积与体积高考数学一轮复习基础夯滚天天练(51) 空间线面关系的判断、推证与计算高考数学一轮复习基础夯滚天天练(52) 抽样方法与总体估计高考数学一轮复习基础夯滚天天练(53) 算法的含义与流程图高考数学一轮复习基础夯滚天天练(54) 基本算法语句高考数学一轮复习基础夯滚天天练(55) 随机事件的概率、古典概型高考数学一轮复习基础夯滚天天练(56) 几何概型高考数学一轮复习基础夯滚天天练(57) 合情推理与演绎推理高考数学一轮复习基础夯滚天天练(58) 直接证明与间接证明高考数学一轮复习基础夯滚天天练(59) 热点知识练(1)高考数学一轮复习基础夯滚天天练(60) 热点知识练(2)参考答案121滴水穿石·数学一轮基础夯滚天天练>>>高考数学一轮复习基础夯滚天天练(1)集合的基本运算班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1. 已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则A∪B中元素的个数为________．2. 设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝________________________________________________________________________.3. 已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A∩∁U B ＝________．4. 已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A＝{0，1，3，5，8}，集合B＝{2，4，5，6，8}，则∁U A∩∁U B＝________．5. 设集合S＝{x||x－2|>3}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，则实数a的取值范围是________．6. 已知集合A＝{－1，2，2a＋1}，B＝{－4，3}，且A∩B＝{3}，则a＝________．7. 已知集合A＝{－3，x2，x＋1}，B＝{x－3，2x－1，x2＋1}，若A∩B＝{－3}，则A∪B ＝________________．8. 已知集合P＝{－1，2}与M＝{x|kx＋1＝0}满足P∪M＝P，则实数k的值所组成的集合是______________．9. 已知集合A ＝{x|y ＝log 2(x 2－1)}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1，则A ∩B ＝______________．10. 集合B ＝{y ∈R |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∩B ＝________．11. 定义集合运算：A*B ＝{z|z ＝x·y ，x ∈A ，y ∈B}．设A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，则集合A*B 的所有元素之和为________．12. A ，B 是非空集合，定义A ×B ＝．若A ＝{x|y ＝x 2－3x}，B ＝{y|y ＝3x }，则A ×B ＝________．13. 若x ∈A ，且11－x∈A ，则称集合A 为“和谐集”．已知集合M ＝{－2，－1，－12，0，1，12，23，2，3}，则集合M 的子集中，“和谐集”的个数为________．14. 若集合{a ，b ，c ，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d)的个数是________．二、 解答题15. 已知集合M ＝{x|2x －4＝0}，N ＝{x|x 2＋3x ＋m ＝0}．(1) 当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N ；(2) 若M ∩N ＝M ，求集合N.高考数学一轮复习基础夯滚天天练(2)命题和逻辑联结词班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 命题的否定是____________________________．2. 已知命题“x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．3. 设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则“p ∧q ”为________命题．(填“真”或“假”)4. 给出以下四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为________．5. 已知命题p ：x ≤0，x 2＋2x －3≥0，则命题p 的否定是__________________________．6. 已知命题p ：x 2－2x －3<0；命题q ：1x －2<0.则x 的取值范围是________．7. 已知命题p ：“a ＝1”是“x>0，x ＋a x≥2”的充要条件；则下列命题正确的是________．(填序号)8. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是________________________________________________________________________．9. 下列四个命题：①若一个命题的逆命题为真，则这个命题的逆否命题一定为真；②“a>b”与“a ＋c>b ＋c ”不等价；③“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”； ④若一个命题的否命题为真，则这个命题的逆命题一定为真．其中不正确的是________．(填序号)10. 则a的取值范围是________．11. 则实数a的最小值为________．12. 如果不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对于恒成立，那么a的取值范围为________．13. 若命题“,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________________________________________________________________________．二、解答题14. 给定两个命题，p：对任意实数x，ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数解．如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(3)充分条件和必要条件班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)2. “ac 2>bc 2”是“a>b”成立的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)3. “x<－1”是“x 2－1>0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)4. 已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(2，1)，则a ⊥b 的充要条件是________________．5. “M>N”是“log 2M>log 2N”成立的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)6. 若a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“b<1a”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)7. 方程x 2k ＋1＋y 2k －5＝1表示双曲线的充要条件是____________． 8. 设p ，q 是两个命题，若p 是q 的充分不必要条件，那么非p 是非q 的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)9. “a ＝1”是“函数f(x)＝2x －a 2x ＋a在其定义域上为奇函数”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)10. “x<2”是“x 2－x －2<0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)11. 不等式1x －1<1的解集记为p ，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a>0的解集记为q ，已知p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．12. 已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是______________．13. 已知p ：12≤x ≤1，q ：(x －a)(x －a －1)>0，若p 是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．14. 下列四个命题：①“，x 2－x ＋1≤0”的否定； ②“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题；③在△ABC 中,“A >30°”是“sin A >12”的充分不必要条件； ④“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”．其中真命题的序号是________．二、解答题15. 若f(x)是R上的减函数，且f(0)＝3，f(3)＝－1，设P＝{x||f(x＋t)－1|<2}，Q＝{x|f(x)<－1}．若“x∈Q”是“x∈P”的必要不充分条件，求实数t的取值范围．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(4)函数及其表示方法班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 有以下判断：其中判断正确的序号是________．①f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0，－1， x<0表示同一函数； ②函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f(x)＝x 2－2x ＋1与g(t)＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f(x)＝|x －1|－|x|，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0.2. 下列四组中的f(x)，g(x)表示同一个函数的是________．(填序号)①f(x)＝1，g(x)＝x 0； ②f(x)＝x －1，g(x)＝x 2x－1； ③f(x)＝x 2，g(x)＝(x)4; ④f(x)＝x 3，g(x)＝3. 若f(x)＝x 2＋bx ＋c ，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝________．4. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x， x>1，则f(f(3))＝________．5. 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b ＝________．6. 函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝a(a 为常数)交点的个数为________．7. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时f (x )＝log 2(2－x )，则f (0)＋f (2)的值为________．8. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2， x ≥0，x 2＋2x ， x<0，则不等式f(f(x))≤3的解集为____________．9. 已知函数f(x)的图象如图所示，则它的一个解析式是________________．10. 已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，－2x ， x<0，若f(m)＝10，则m ＝________． 11. 已知f(2x ＋1)＝x 2－2x ，则f(3)＝________．12. 已知下列四组函数：①f(x)＝lg x 2，g(x)＝2lg x ；②f(x)＝x －2，g(x)＝x 2－4x ＋4；③f(x)＝1x －1，g(x)＝x ＋1x 2－1； ④f(x)＝x ，g(x)＝log a a x (a>0且a ≠1)．其中表示同一个函数的为________．(填序号)13. 已知映射f ：A →B ，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是________．二、 解答题14. 在边长为2的正方形ABCD 的边上有动点M ，从点B 开始，沿折线BCDA 向点A 运动，设点M 运动的距离为x ，△ABM 的面积为S.(1) 求函数S ＝f(x)的解析式、定义域和值域；(2) 求f(f(3))的值．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(5)函数的解析式和定义域班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 函数y ＝2x －x 2的定义域是________________．2. 函数y ＝16－x －x2的定义域是________________．3. 已知实数m ≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ， x ≤2，－x －2m ， x>2，若f(2－m)＝f(2＋m)，则实数m 的值为________________．4. 若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有________种．5. 已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x －1，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________________________________________________________________________.6. 已知二次函数y ＝f(x)满足条件f(x ＋1)－f(x)＝2x ，f(0)＝1，则f(x)的表达式为f(x)＝____________．7. 函数的定义域是________________．8. 函数y ＝x （x －1）＋x 的定义域是________________．9. 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝________．10. 已知函数y ＝f(x ＋1)的定义域是[－2，3]，则函数y ＝f(2x －1)的定义域为________．11. 函数f(x)＝lg (2x －3x )的定义域是________．12. 若函数y ＝f(x)的定义域是[0，8]，则函数g(x)＝f （2x ）ln x的定义域是________________________________________________________________________．13. 若函数f(x)＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．14. 已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图象过点(0，－3)，且f (x )>0的解集为(1，3)，则f (x )的解析式为f (x )＝________________．二、 解答题15. 如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，且上底CD的端点在圆周上，写出梯形周长y关于腰长x的函数关系式，并求出它的定义域．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(6)函数的值域和最值班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 函数y ＝x －x ＋1的值域为__________．2. 函数y ＝4－x 2的值域是________．3. 函数y ＝x 2＋3x ＋1的值域是____________________．4. 函数y ＝x －x 的值域为________．5. 函数f(x)＝2x －12x ＋1的值域为________．6. 已知函数y ＝x 2－2x ＋3⎝⎛⎭⎫0≤x ≤32，则函数的最大值和最小值的积是________．7. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≤0，－x 2＋1， x>0的值域为________．8. 函数f(x)＝log 2(4－x 2)的值域为________．9. 设函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x>2，x ＋a 2，x ≤2，若函数f(x)的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________________．10. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥0，－2－x， x<0的值域是________________．11. 已知函数y ＝ax 2＋2x ＋1的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．12. 已知函数f(x)＝x 2－1，g(x)＝－x ，令φ(x)＝max [f(x)，g(x)](即f(x)和g(x)中的较大者)，则φ(x)的最小值为________．13. 已知函数f(x)＝x ＋p x ＋1(x>－1，p 为正常数)，g(x)＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2(x ∈R )有相同值域，则p ＝________．14. 下列几个命题：①函数f(x)＝(x)2与g(x)＝x表示的是同一个函数；②若函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x＋1)的定义域为[2，3]；③若函数f(x)的值域是[1，2]，则函数f(x＋1)的值域为[2，3]；④若函数f(x)＝x2＋mx＋1是偶函数，则函数f(x)的单调减区间为(－∞，0]；⑤函数f(x)＝lg(x2＋1＋x)既不是奇函数，也不是偶函数．其中正确的命题有________个．二、解答题15. 已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1，9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(7)函数的单调性和奇偶性班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 在函数：①y ＝cos x ；②y ＝sin x ；③y ＝ln x ；④y ＝x 2＋1中，既是偶函数又存在零点的是________．(填序号)2. 已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是________________．3. 函数y ＝1－x1＋x的单调减区间为________________．4. 已知函数f(x)＝2x 2－mx ＋3，当x ∈(－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝________．5. 已知函数f(x)是减函数，且f(x)>0，则在函数：①y ＝1f （x ）；②y ＝2f(x)；③y ＝[f(x)]2；中为增函数的是________．(填序号)6. 设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________．7. 若f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则f(x 2＋x ＋1)和f ⎝⎛⎭⎫34的大小关系为______________．8. 已知函数f(x)是奇函数，且x ∈(0，＋∞)时的解析式是f(x)＝lg (x ＋1)，则x ∈(－∞，0)时，f(x)＝________________．9. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －k ， x ≤0，（1－k ）x ＋k ， x>0是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．10. 已知f(x)＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．11. 函数f(x)＝x 5＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )＝________．12. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为________．13. 已知y ＝log a (2－ax)在区间[0，1]上是关于x 的减函数，则a 的取值范围是________．14. 若f(x)＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．二、 解答题15. 已知函数f(x)＝x 2＋ax(x ≠0，a ∈R )．(1) 判断函数f (x )的奇偶性；(2) 若函数f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(8)函数的图象班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1. 函数y＝x 43的图象大致是________．(填序号)①②③④2. 某班四个同学在同一坐标系中，作了两个函数的图象，其中能够作为函数y＝ax2＋bx与y＝ax＋b(a≠0，b≠0)的图象的是________．(填序号)①②③④3. 函数y＝a x－a(a>0，a≠1)的图象可能是________．(填序号)①②③④4. 函数y＝1－|1－x|的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为________．5. 已知a>0且a≠1，函数y＝|a x－2|与y＝3a的图象有两个交点，则a的取值范围是____________．6. 若函数y＝4x＋a2x的图象关于原点对称，则实数a的值为________．7. 已知函数y＝log a(x＋b)的图象如图所示，则a b＝________．8. 函数y＝log2|x＋1|的图象关于直线________对称．9. 函数f(x)＝x|x ＋a|＋b 是奇函数的充要条件是________．10. 已知0<a<1，则函数f(x)＝a x －|log a x|的零点个数为________．11. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4， x>0，－x －3， x<0.若f(a)>f(1)，则实数a 的取值范围是____________．12. 将函数y ＝2x 的图象向左平移一个单位长度，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位长度得到图象C 2，则C 2的解析式为____________．13. 已知函数f(x)＝32x －(k ＋1)·3x ＋2，当x ∈R 时，函数f (x )恒为正值，则k 的取值范围是________________．二、 解答题14. 分别作出函数f(x)，g(x)的图象，并利用图象回答问题．(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4， x ≤1，x 2－4x ＋3， x>1，g(x)＝log 2x ，求方程f(x)＝g(x)的解的个数；(2) f(x)＝x ＋1，g(x)＝log 2(－x)，求不等式f(x)>g(x)的解集．二次函数班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1. 若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．2. 已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________．3. 若函数y＝x2－2x＋a在区间[0，3]上的最小值是4，则a＝________；若最大值是4，则a＝________．4. 若函数y＝|x－a－3|＋b，x∈[a，b]的图象关于直线x＝3对称，则b＝________．5. 已知函数f(x)＝3(x－2)2＋5，且|x1－2|>|x2－2|，则f(x1)________f(x2)．(填“>”“<”或“＝”)6. 若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．7. 设x，y是关于m的方程m2－2am＋a＋6＝0的两个实根，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值是________．8. 已知函数f(x)＝x2－4x，x∈[1，5]，则函数f(x)的值域是________．9. 已知函数f(x)＝x2－2x，x∈[a，b]的值域为[－1，3]，则b－a的取值范围是________．10. 若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是________．11. 已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0，1]上有一个最大值－5，则a＝________．12. 已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1，3)，又f(x)＋6a＝0有两个相等的根，则f(x)＝________________．13. 已知命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为；命题q：函数y＝(2a2－a)x为增函数．若命题“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是________________________________________________________________________．二、解答题14. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1) 当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；(2) 当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．函数的应用班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1. 某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3千米以内为起步价8元(即行程不超过3千米，一律收费8元)，若超过3千米，除起步价外，超过部分再按1.5元每千米收费计价，若某乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4千米，则乘客应付的车费是________元．2. 已知矩形的周长为1，它的面积S与矩形的长x之间的函数关系中，定义域为________．3. 某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元，据经验，若每件少卖0.1元，则每天可多卖出100件，为获得最好的经济利益每件单价应降低________元．4. 某厂生产中所需的一些配件可以外购，也可以自己生产．如果外购，每个价格是1.10元；如果自己生产，那么每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，那么决定此配件外购还是自产的转折点是________件．(即生产多少件以上自产合算)5. 某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)的最低产量是________台．6. 购买手机的“全球通”卡，使用时须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则他购买________卡才合算．7. 如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2m，边坡的倾角为45°，水深h m，则横截面中有水面积S(m2)与水深h(m)的函数关系式为____________．8. 某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路，该产品的广告效益应该是产品的销售额与广告费之间的差．如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场进行抽样调查的结果显示：每付出100元的广告费，所得的销售额是1 000元，那么该企业应该投入________元广告费，才能获得最大的广告效应．9. 某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(以30天计)里，有20天每天卖出量可达400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进________份，才能使每月所获的利润最大．10. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为__________________________________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)二、解答题11. 近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网．这种供电设备的安装费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝k20x ＋100(x ≥0，k 为常数)．记F 为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和．(1) 解释C(0)的实际意义，并建立F 关于x 的函数关系式； (2) 当x 为多少平方米时，F 取得最小值？最小值是多少万元？12. 随着机构改革工作的深入进行，各单位要裁员增效．有一家公司现有职员2a 人(140<2a<420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？高考数学一轮复习基础夯滚天天练(11)指数与对数一、 填空题 1.2. 计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________．3的值为________．4. 计算：lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2＝________．5. 设则a ，b ，c 的大小关系是________．6. 方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________．7. 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1， x<2，lg （x 2－1）， x ≥2，则f(f(2))＝________．8. 计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷＝________．9. 方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________________．10. 关于x 的不等式的解集为________．11. 已知3a ＝5b ＝c ，且1a ＋1b ＝2，则c ＝________．12. 不等式log 2(2x －1)<log 2(－x ＋5)的解集为________．13. 给出下列结论，其中正确的是________．(填序号)①当a<0时，(a 2)32＝a 3；②na n ＝|a|(n>1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2且x ≠73；④若2x＝16，3y＝127，则x＋y＝7.14. 已知函数f(x)＝2|x|－2，不等式x[f(x)＋f(－x)]>0的解集是________________________________________________________________________．二、解答题15. 求值或化简：(1) lg8＋lg125－lg2－lg5lg10·lg0.1；(2) ，求的值．16. 已知函数f(x)＝log a(a x－1)，a>0，a≠1.求证：(1) 函数f(x)的图象在y轴的一侧；(2) 函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.高考数学一轮复习基础夯滚天天练(12)幂函数、指数函数与对数函数班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 如果幂函数f(x)＝x a 的图象经过点(2，4)，那么函数f(x)的单调增区间为________．2. 函数f(x)＝ln x ＋1－x 的定义域为________．3. 若函数f(x)＝log a x(0<a<1)在区间[a ，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a ＝________．4. 要使函数f(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，则实数t 的取值范围为________．5. 若函数f(x)＝a x －1(a>0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a ＝________．6. 已知函数f(x)＝x 12，且f(2x －1)<f(3x)，则x 的取值范围是________．7. 若函数y ＝(log 0.5a)x 在R 上为增函数，则a 的取值范围是________．8. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x<1，2x ， x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．9. 函数f(x)＝的值域为________．10. 若log a 12a －1<1，则a 的取值范围是________．11. 在下列四个图象中，能够表示函数y ＝a x 与y ＝－log a x(a>0，a ≠1)在同一个平面直角坐标系的图象的可能是________．(填序号)①②③④12. 若函数f(x)＝log a (2x 2＋x)(a>0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫0，12内恒有f(x)>0，则函数f(x)的单调增区间是________．13. 函数y ＝a x －2＋1(a>0，a ≠1)恒过定点________．14. 若函数f(x)＝在[－1，1]上是单调增函数，则实数a 的取值范围是________________．二、 解答题15. 已知函数f(x)＝log a (3－ax)．(1) 当x ∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围；(2) 是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由．16. 已知函数f(x)＝x ⎝⎛⎭⎫13x －1＋12.(1) 判断该函数的奇偶性；(2) 求证：该函数在定义域上恒大于0.高考数学一轮复习基础夯滚天天练(13)函数与方程班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日 一、 填空题1. 已知函数f(x)的图象是连续不断的，x ，f(x)的对应关系如下表：则函数f(x)一定存在零点的区间有________．(填序号)①区间[1，2]；②区间[2，3]；③区间[3，4]；④区间[4，5]；⑤区间[5，6]．2. 已知函数f(x)＝ax ＋b 的零点是3，那么函数g(x)＝bx 2＋ax 的零点是________．3. 已知函数f(x)＝2mx ＋4，若存在x 0∈[－2，1]，使f(x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________________．4. 已知函数f(x)＝ln x ＋x －2的零点所在的区间为(k ，k ＋1)(其中k 为整数)，则k 的值为________．5. 已知函数f(x)＝x 2＋x ＋a 在区间(0，1)上有零点，则实数a 的取值范围是________．6. 已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4，其中y ＝g (x )是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在区间________范围内必有实数根．(填序号)①(0，1)；②(1，2)；③(2，3)；④(3，4)．7. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1， －1<x<2，则函数g(x)＝f(x)－x 的零点为________．8. 函数f(x)＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)上的零点的个数为________．9. 若对于任意的x ∈[a ，2a]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，这时a 的取值的集合为________．10. 已知函数f(x)＝log 2x ＋a 在区间(2，4)上有零点，则实数a 的取值范围是________．11. 若函数y ＝x ＋5x －a在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．12. 若关于x 的方程lg (mx)·lg (mx 2)＝4的所有解都大于1，则实数m 的取值范围是________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2，（x －1）2， x<2， 若关于x 的方程f(x)＝k 有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围为________．14. 若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x|＋m 的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是________．二、 解答题15. 已知关于x 的二次函数f(x)＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t. (1) 求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2) 若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1，0)及⎝⎛⎭⎫0，12上各有一个实数根．16. 已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(x ∈R )是偶函数． (1) 求k 的值；(2) 若方程f (x )－m ＝0有解，求m 的取值范围．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(14)导数的概念及运算班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 已知函数f(x)＝1＋1x ，则f(x)在区间[1，2]，⎣⎡⎦⎤12，1上的平均变化率分别为________．2. 若f′(x)是函数f(x)＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f′(1)＝________．3. 函数f(x)＝x 2sin x 的导数为f′(x)＝________________．4. 函数f(x)＝cos x 在点⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线方程为____________________．5. 已知曲线y ＝4x －x 2上两点A(4，0)，B(3，3)，若曲线上一点P 处的切线恰好与弦AB 平行，则点P 的坐标为________．6. 若直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b 的值为________．7. 函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________________．8. 过点(0，2)且与曲线y ＝－x 3相切的直线方程是________________．9. 若直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1，3)，则b 的值为________．10. 设P 是曲线f(x)＝13x 3－x 2－3x －3上的一个动点，则过点P 的切线中斜率最小的切线的方程为________________．11. 曲线y ＝x －cos x 在点⎝⎛⎭⎫π2，π2处的切线方程为________________．12. 若曲线C 1：y 1＝ax 3－6x 2＋12x 在x ＝1处的切线与曲线C 2：y 2＝e x 在x ＝1处的切线垂直，则实数a 的值为________．二、 解答题13. 设函数f(x)＝ax －bx ，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 求证：曲线y ＝f(x)上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．14. 设直线是曲线C：y＝ln xx在点(1，0)处的切线．(1) 求切线的方程；(2) 求证：除切点(1，0)之外，曲线C在直线的下方．。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练71 Word版含解析
随堂巩固训练(71)1. 若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m⊥l，则直线m，n所成的角是 90° .解析：因为α∩β＝l，α⊥β，m⊂α，m⊥l，所以m⊥β.又因为n⊂β，所以m⊥n，所以直线m，n所成的角是90°.2. 如果—个平面与另—个平面的垂线平行，那么这两个平面的位置关系为 垂直 .解析：由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理可知，如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面垂直.3. 设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ③ .(填序号)①若α⊥β，a∥α，则a⊥β；②若α⊥β，a⊥β，则a∥α；③若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.解析：若α⊥β，a∥α，则a与β相交、平行或a⊂β，故①错误；若α⊥β，a⊥β，则a∥α或a⊂α，故②错误；若a⊥b，a⊥α，则b∥a或b⊂α.又因为b⊥β，所以α⊥β，故③正确.4. 设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是 ③ .(填序号)①a⊥α，b∥β，α⊥β； ②a⊥α，b⊥β，α∥β；③a⊂α，b⊥β，α∥β； ④a⊂α，b∥β，α⊥β.解析：对于①，若a⊥α，b∥β，α⊥β，则直线a与b的关系可能是平行、相交或异面；对于②，若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b；对于③，若a⊂α，b⊥β，则b⊥α，所以a⊥b；对于④，若a⊂α，b∥β，α⊥β，则a与b可能平行、相交或异面.综上，由③可得a⊥b.5. 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，连结PB、PC、PD、AC、BD，则下列垂直关系中正确的序号是 ①② .①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；③平面PAB⊥平面PCD.解析：因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.又在正方形ABCD中，BC⊥AB，AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB.又因为BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC，故①正确；同理可得AD⊥平面PAB，AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PAB，故②正确；设平面PAB∩平面PCD＝l，因为AB∥CD，AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，所以CD∥平面PAB，所以CD∥l.又因为AB⊥平面PAD，所以l⊥平面PAD，所以∠APD 为平面PAB与平面PCD所成的二面角.若平面PAB⊥平面PCD，则AP⊥PD，显然不成立，故③错误.6. 可以作为平面α∥平面β的条件是 ④ .(填序号)①存在一条直线a，a∥α，a∥β；②存在一条直线a，a⊂α，a∥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.解析：因为a∥β，所以平面β中存在a′∥a.因为b∥α，所以平面α内存在b′，使得b∥b′，且a′与b相交，a与b′相交，所以α∥β.7. 已知P为△ABC所在平面外一点，正三角形PBC、正三角形ABC的边长都为2，PA＝6，则平面PBC和平面ABC的位置关系为 垂直 .解析：取BC的中点为D，连结AD，PD，如图所示.因为PB＝PC，BD＝CD，6所以PD⊥BC.因为正三角形PBC和正三角形ABC的边长都为2，PA＝，所3所以PD⊥所以PA2＝AD2＋PD2，所以PD⊥AD.又因为BC∩AD＝D，以PD＝AD＝，平面ABC.又因为PD⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.8. 设b，c表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题中真命题是 ④ .(填序号)①若b⊂α，c∥α，则b∥c； ②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β； ④若c∥α，c⊥β，则α⊥β.解析：若b⊂α，c∥α，则b∥c或b与c异面，故①错误；若b⊂α，b∥c，则c∥α或c⊂α，故②错误；若c∥α，α⊥β，则可能c∥β，可能c⊂β，故③错误；根据面面垂直的判定可知④是真命题.9. 已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题的个数为 2 .解析：若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题，故真命题有2个.10. 已知点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥AD1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确命题的序号是 ①②④ .解析：由题意知AD1∥BC1，因为AD1⊂平面AD1C，BC1⊄平面AD1C，所以BC1∥平面AD1C，所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以VAD1PC＝VPAD1C＝VBAD1C，故①正确；对于②，连结A1B，A1C1，则A1C1∥AC，由①知AD1∥BC1，所以平面BA1C1∥平面ACD1.因为A1P⊂平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，故②正确；对于③，因为DC⊥平面BCC1B1，所以DC⊥BC1.若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，则BC1⊥PC，所以P为BC1的中点，与P为动点矛盾，故③错误；对于④，连结DB1，因为AC⊥平面BB1D1D，DB1⊂平面BB1D1D，所以AC⊥DB1，同理可得AD1⊥DB1.又因为AD1∩AC＝A，AD1，AC⊂平面ACD1，所以DB1⊥平面ACD1.又因为DB1⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，故④正确.11. 如图，已知在斜三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，D为线段BC的中点.(1) 求证：A1B∥平面ADC1；(2) 若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1.解析：(1) 连结A1C交AC1于点E，连结DE.因为四边形AA1C1C是平行四边形，所以E是A1C的中点.因为D是BC的中点，所以DE∥A1B.又因为DE⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.(2) 因为在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC.又因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1.因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1.12. 如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F分别是CD，PC的中点.求证：(1) PA⊥底面ABCD；(2) BE∥平面PAD；(3) 平面BEF⊥平面PCD.解析：(1) 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA⊥AD，PA⊂平面PAD，所以PA⊥底面ABCD.(2) 因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3) 因为AB⊥AD，所以四边形ABED为矩形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，则PA⊥CD，又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.又E，F分别为CD，CP的中点，所以EF∥PD，故CD⊥EF.因为EF，BE⊂平面BEF，且EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.思维升华：(1) 判定面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).(2) 在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.13. 如图，已知在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，沿矩形的对角线BD把△ABD折起，使得点A 移到点A1，且点A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上.求证：(1) BC⊥A1D；(2) 平面A1BC⊥平面A1BD.解析：(1) 因为点A1在平面BCD上的射影O在CD上，所以A1O⊥平面BCD.又BC⊂平面BCD，所以BC⊥A1O.又BC⊥CD，A1O∩CD＝O，所以BC⊥平面A1CD.又A1D⊂平面A1CD，所以BC⊥A1D.(2) 因为四边形ABCD为矩形，所以A1B⊥A1D.由(1)知BC⊥A1D，A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.又A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BC⊥平面A1BD.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练17
随堂巩固训练(17) 1. 某商品的进货单价为40元/个，按单价每个50元售出，能卖出50个．若零售价在50元/个的基础上每上涨1元，其销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳零售价是__70__元/个．解析：设最佳零售价为(50＋x)元/个，利润为y 元，则y ＝(50＋x －40)(50－x)＝－x 2＋40x ＋500＝－(x －20)2＋900(0<x<50)，所以当x ＝20时，y 取得最大值，所以最佳零售价为70元/个．2. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年中的总仓储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总仓储费用之和最小，则每次需购买__30__吨．解析：根据题意知总费用y ＝600x ×3＋2x ≥2600x ×3×2x ＝120，当且仅当600x×3＝2x ，即x ＝30时等号成立，故每次需购买30吨．3. 某驾驶员喝了1 000mL 某种酒后，血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足表达式f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －2， 0≤x ≤1，35×⎝⎛⎭⎫13x ， x ＞1.根据酒后驾驶与醉酒驾驶的标准及相应的处罚规定，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02mg/mL ，据此可知，此驾驶员至少要过__4__h 后才能开车．(精确到1h)解析：当0≤x ≤1时，125≤5x －2≤15，此时不宜开车；所以35×⎝⎛⎭⎫13x ≤0.02，解得x ≥4.故此驾驶员至少要经过4 h 后才能开车．4. 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在点B 测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是__50__m.解析：如图，设水柱CD 的高为h.在Rt △ACD 中，因为∠DAC ＝45°，所以AC ＝h.因为∠BAE ＝30°，所以∠BAC ＝60°.在Rt △BCD 中，∠CBD＝30°，所以BC ＝3h.在△ABC 中，由余弦定理可得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC·ABcos 60°，即(3h)2＝h 2＋1002－2×h ×100×cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，解得h ＝50或h ＝－100(舍去)，故水柱的高度是50m.5. 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时的速度匀速直达B 市，已知两地的铁路线长400千米，为了安全，两列货车的最小间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202千米，那么这批物资全部运到B市的最快需要__8__小时．(不计货车的身长)解析：设这批物资全部运到B 市需要y 小时，因为不计货车的身长，所以设货车为一个点，可知最前的点与最后的点之间的距离的最小值为16×⎝⎛⎭⎫v 202 千米时，时间最快，所以y ＝⎝⎛⎭⎫v 202×16＋400v ＝v 25＋400v ≥2v 25×400v ＝8，当且仅当v 25＝400v，即v ＝100时等号成立，所以最快需要8小时．6. 如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD ＝2x ，梯形的面积为S ，则S 的最大值是__3227__． 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则点B 的坐标为(1，－1)．设抛物线的标准方程为x 2＝－2py(p>0)，则2p ＝1，解得p ＝12，所以抛物线方程为x 2＝－y.因为CD ＝2x ，所以点D 的坐标为(x ，－x 2)，等腰梯形的高为1－x 2，所以S ＝2x ＋22(1－x 2)＝(x ＋1)(1－x 2)，0＜x ＜1，求导可以得到当x ＝13时，S 取最大值3227. 7. 某工厂引入一条生产线，投入资金250万元，每生产x 千件，需另投入成本w(x)，当年产量不足80千件时，w(x)＝13x 2＋10x(万元)，当年产量不小于80千件时，w(x)＝51x ＋10 000x－1 450(万元)，当每件商品的售价为500元时，该厂产品全部售完． (1) 试写出年利润L(x)(万元)与年产量x(千件)的函数关系式；(2) 当年产量为多少千件时该厂的利润最大？解析：(1) 当每件商品售价为0.05万元时，x 千件销售额为0.05×1 000x ＝50x(万元)．当0＜x ＜80时，L(x)＝50x －⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x －250＝－13x 2＋40x －250； 当x ≥80时，L(x)＝50x －(51x ＋10 000x－1 450)－250＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ， 故L(x)＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250， 0<x<80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ， x ≥80. (2) 当0＜x ＜80时，L(x)＝－13x 2＋40x －250＝－13(x －60)2＋950， 故当x ＝60时，L(x)有最大值为950；当x ≥80时，L(x)＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－2x·10 000x＝1 000， 当且仅当x ＝10 000x，即x ＝100时，L(x)有最大值为1 000， 故当年产量为100千件时，该厂的利润最大．8. 如图，某市在海岛A 上建了一个水产养殖中心．在海岸线l 上有相距70千米的B 、C 两个小镇，并且AB ＝30千米，AC ＝80千米．已知B 镇在养殖中心工作的员工有3百人，C 镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D ，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每千米的运输费用之比为1∶2.(1) 求sin ∠ABC 的大小；(2) 设∠ADB ＝θ，试确定θ的大小，使得运输总费用最少．解析：(1) 在△ABC 中，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB·BC ＝900＋4 900－6 4002×30×70＝－17， 所以sin ∠ABC ＝437. (2) 由(1)知sin ∠DAB ＝sin(θ＋∠ABD)＝－17×sin θ＋437cos θ， 在△ABD 中，由正弦定理得30sinθ＝AD 437 ＝BD －17sinθ＋437cosθ， 解得AD ＝12037sinθ，BD ＝1203cosθ7sinθ－307.。
2020版高考数学一轮复习教程随堂巩固训练76 Word版含解析
随堂巩固训练(). 在如图所示的算法中，若输入的，，的值依次为，－，，则输出的的值为.解析：＝－，＝，＝＋＋＝－＋＋＝.. 如图所示的程序，输出的结果是.解析：由题意可得＝＋＋＋＝.. 某算法的伪代码如图所示，若输出的值为，则输入的值为.解析：当≤时，有＝＋，无解；当>时，有＝，得＝＝.. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为.解析：＝＋＝，＝＋＝；＝＋＝，＝＋＝；＝＋＝，＝；＝＋＝，＝；＝＋＝，不满足<，故输出＝.. 如图是求＋＋＋＋…＋值的伪代码，在横线上应填充的语句是≤.解析：由题意可知，应填充的语句是≤.. 根据如图所示的伪代码，输出的结果为.解析：图中伪代码表示的算法是＝＋＋＋…＋＝＝，故输出＝.. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入的值应为.解析：＝，，时，判断是；＝时，＝－＝，判断否，输出＝＝，所以＝.(第题)(第题)(第题). 如图所示的流程图，最后输出的的值是.解析：第一次循环：＝，＝；第二次循环：＝＋＝，＝；第三次循环：＝，＝，结束循环，输出＝.. 执行如图所示的程序框图，若输入的＝，则输出的结果是.解析：根据程序框图，＝，＝，＝，<继续循环；＝，＝＋＝，<继续循环；＝，＝＋＝，<继续循环；＝，＝＋＝，<继续循环；＝，＝＋＝，<继续循环；＝，＝＋＝，＝循环停止，输出＝.. 设，，…，是数列，，…，的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的的值为 .解析：程序框图的求个数的最大值，然后再计算.因为＝{，，…，}＝，所以＝＋π＝ .(第题)(第题). 执行如图所示的程序框图，若输入的＝，则输出的＝.解析：执行循环体，＝，＝，＝，满足>；＝，＝，＝，满足>；…执行循环体，＝，＝，＝，此时不满足>，退出循环，输出＝.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第17课__函数模型及其应用
____第17课__函数模型及其应用____1. 能根据实际问题建立合理的函数模型．2. 初步运用函数思想，理解和处理现实生活中的简单问题.1. 阅读：必修1第98～100页．2. 解悟：①读题：读懂和深刻理解题意，译为数学语言，找出主要关系；②建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；③求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；④检验：对结果进行验证或评估，对错误加以调整，最后将结果应用于现实，做出解释或验证．3. 践习：在教材空白处，完成第100页练习第3题.基础诊断1. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是__y ＝2x (x ∈N *)__．2. 某人若以每股17.25元购进股票一万股，一年后以每股18.96元抛售，假定手续费为交易额的0.3%.该年银行月复利率为0.8%，按月计算．为获取最大利润，此人应将钱__存入银行__. (填“购买股票”或“存入银行”)解析：买股票获得的利润为18.96×10 000×(1－0.3%)－17.25×10 000＝16 531.2(元)；存入银行获得的利润为(17.25×10 000)×(1＋0.8%)12－(17.25×10 000)＝17 308.42(元)．因为16 531.2<17 308.42，所以存入银行获取最大利润．3. 司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg /mL ，那么一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过__5__h ，才能开车. (精确到1 h )解析：设x h 后，驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09 mg /mL ，则0.3×(1－25%)x ≤0.09，即⎝⎛⎭⎫34x ≤0.3.令x ＝1，2，3，4，可得⎝⎛⎭⎫34x >0.3.当x ＝5时，⎝⎛⎭⎫345<0.3，故至少经过5 h ，才能开车．4. 在某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品__80__件．解析：由题意得，生产x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800＋x·x 8＝800＋x 28，所以平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)＝800＋x 28x ＝800x ＋x 8(x 为正整数)．由基本不等式得800x ＋x 8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80时，f(x)取得最小值，故每批应生产产品80件． 范例导航考向❶ 分段函数型应用问题例1 某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 与投资金额x 成正比，其关系如图1；B 产品的利润y 与投资金额x 的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资金额单位：万元).图1 图2(1) 分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式；(2) 已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部资金投入A ，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②如果你是企业老板，怎样分配这18万元资金，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解析：(1) 设A 产品的利润为f(x)＝k 1x ，B 产品的利润为g(x)＝k 2x.由图可知，f(1)＝0.25，即0.25＝k 1，即k 1＝14， 所以f(x)＝14x. g(4)＝4，即2k 2＝4，解得k 2＝2，所以g(x)＝2x.故A ，B 两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式分别为f(x)＝14x ，g(x)＝2x. (2) ①由题意得，18÷2＝9(万元)，所以总利润为14×9＋29＝334(万元)． 故平均投入生产两种产品，可获得利润334万元． ②设对B 产品投资x 万元，则对A 产品投资(18－x)万元，记企业获得的利润为y 万元，所以y ＝14(18－x)＋2x(0≤x ≤18)． 设x ＝t ，则x ＝t 2(0≤t ≤32)，所以y ＝14(18－t 2)＋2t ＝－14(t －4)2＋172， 当t ＝4，即x ＝16时，y 取最大值172. 故当对A 产品投资2万元，B 产品投资16万元时，该企业可获得最大利润，最大利润为172万元．如图，△OAB 是边长为2的正三角形．记△OAB 位于直线x ＝t(t>0)左侧的图形的面积为f(t)，则函数f(t)的解析式为。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
随堂巩固训练(17)1. 某商品的进货单价为40元/个，按单价每个50元售出，能卖出50个．若零售价在50元/个的基础上每上涨1元，其销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳零售价是__70__元/个．解析：设最佳零售价为(50＋x)元/个，利润为y 元，则y ＝(50＋x －40)(50－x)＝－x 2＋40x ＋500＝－(x －20)2＋900(0<x<50)，所以当x ＝20时，y 取得最大值，所以最佳零售价为70元/个．2. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年中的总仓储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总仓储费用之和最小，则每次需购买__30__吨．解析：根据题意知总费用y ＝×3＋2x ≥2＝120，当且仅当×3＝600x 600x×3×2x 600x 2x ，即x ＝30时等号成立，故每次需购买30吨．3. 某驾驶员喝了1 000mL 某种酒后，血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足表达式f(x)＝根据酒后驾驶与醉酒驾驶的标准及{5x －2， 0≤x ≤1，35×(13)x ， x ＞1.)相应的处罚规定，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02mg/mL ，据此可知，此驾驶员至少要过__4__h 后才能开车．(精确到1h)解析：当0≤x ≤1时，≤5x －2≤，此时不宜开车；所以×x ≤0.02，解得1251535(13)x ≥4.故此驾驶员至少要经过4 h 后才能开车．4. 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在点B 测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是__50__m.解析：如图，设水柱CD 的高为h.在Rt △ACD 中，因为∠DAC ＝45°，所以AC ＝h.因为∠BAE ＝30°，所以∠BAC ＝60°.在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，所以BC ＝h.在△ABC 中，由余弦定理可得，BC 2＝AC 2＋AB 2－32AC·ABcos 60°，即(h)2＝h 2＋1002－2×h ×100×cos 60°，即h 2＋50h －35 000＝0，解得h ＝50或h ＝－100(舍去)，故水柱的高度是50m.5. 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时的速度匀速直达B 市，已知两地的铁路线长400千米，为了安全，两列货车的最小间距不得小于千米，那(v 20)2 么这批物资全部运到B 市的最快需要__8__小时．(不计货车的身长)解析：设这批物资全部运到B 市需要y 小时，因为不计货车的身长，所以设货车为一个点，可知最前的点与最后的点之间的距离的最小值为16× 千米时，时间最快，(v 20)2 所以y ＝＝＋≥2＝8，当且仅当＝，即v ＝100时(v 20)2×16＋400vv 25400v v25×400v v 25400v 等号成立，所以最快需要8小时．6. 如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD ＝2x ，梯形的面积为S ，则S 的最大值是____． 3227解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则点B 的坐标为(1，－1)．设抛物线的标准方程为x 2＝－2py(p>0)，则2p ＝1，解得p ＝，所以抛物线方程为x 2＝－12y.因为CD ＝2x ，所以点D 的坐标为(x ，－x 2)，等腰梯形的高为1－x 2，所以S ＝(1－x 2)＝(x ＋1)(1－x 2)，02x ＋22＜x ＜1，求导可以得到当x ＝时，S 取最大值. 1332277. 某工厂引入一条生产线，投入资金250万元，每生产x 千件，需另投入成本w(x)，当年产量不足80千件时，w(x)＝x 2＋10x(万元)，当年产量不小于80千件时，w(x)＝51x ＋13－1 450(万元)，当每件商品的售价为500元时，该厂产品全部售完． 10 000x(1) 试写出年利润L(x)(万元)与年产量x(千件)的函数关系式；(2) 当年产量为多少千件时该厂的利润最大？解析：(1) 当每件商品售价为0.05万元时，x 千件销售额为0.05×1 000x ＝50x(万元)．当0＜x ＜80时，L(x)＝50x －－250＝－x 2＋40x －250； (13x 2＋10x )13当x ≥80时，L(x)＝50x －(51x ＋－1 450)－250＝1 200－， 10 000x (x ＋10 000x)故L(x)＝ {－13x 2＋40x －250， 0<x <80，1 200－(x ＋10 000x)， x ≥80.)(2) 当0＜x ＜80时，L(x)＝－x 2＋40x －250＝－(x －60)2＋950， 1313故当x ＝60时，L(x)有最大值为950；当x ≥80时，L(x)＝1 200－≤1 200－2＝1 000， (x ＋10 000x )x·10 000x当且仅当x ＝，即x ＝100时，L(x)有最大值为1 000， 10 000x故当年产量为100千件时，该厂的利润最大．8. 如图，某市在海岛A 上建了一个水产养殖中心．在海岸线l 上有相距70千米的B 、C 两个小镇，并且AB ＝30千米，AC ＝80千米．已知B 镇在养殖中心工作的员工有3百人，C 镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC 之间建一个码头D ，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每千米的运输费用之比为1∶2.(1) 求sin ∠ABC 的大小；(2) 设∠ADB ＝θ，试确定θ的大小，使得运输总费用最少．解析：(1) 在△ABC 中，cos ∠ABC ＝＝＝－， AB 2＋BC 2－AC 22AB·BC 900＋4 900－6 4002×30×7017所以sin ∠ABC ＝. 437(2) 由(1)知sin ∠DAB ＝sin(θ＋∠ABD)＝－×sin θ＋cos θ， 17437在△ABD 中，由正弦定理得＝＝， 30sin θAD 437BD －17sin θ＋437cos θ解得AD ＝，BD ＝－. 12037sin θ1203cos θ7sin θ307设水路运输每百人每千米的费用为k 元，则陆路运输每百人每千米的费用为2k 元，则运输总费用y ＝(5CD ＋3BD)×2k ＋8k ×AD ＝20k . (35＋67＋2437×2－cos θsin θ)令H(θ)＝，则H′(θ)＝. 2－cos θsin θ1－2cos θsin 2θ当0＜θ＜时，H′(θ)＜0，H(θ)单调递减；当＜θ＜时，H′(θ)＞0，H(θ)单调递增， π3π3π2所以当θ＝时，H(θ)取最小值，同时y 也取得最小值， π3此时BD ＝，满足0＜＜70， 907907故当θ＝时，运输总费用最少． π39. 如图，OM ，ON 是两条海岸线，Q 为大海中一个小岛，A 为海岸线OM 上的一个码头．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6km ，小岛Q 到海岸线OM ，ON 的距离分别为3km ， 6105km.现要在海岸线ON 上再建一个码头B ，使得水上旅游线路AB(直线)经过小岛Q.(1) 求水上旅游线路AB 的长；(2) 若小岛正北方向距离小岛6km 处的海中有一个圆形强水波P ，水波生成th 时的半径为r ＝3(其中0<a<5，a ∈R )(单位：km)．强水波开始生成at 时，一游轮以18 km/h 的速度自码头A 开往码头B ，问强水波是否会波及2游轮的航行？并说明理由．解析：(1) 以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示．则由题设知点A(6，0)，直线ON 的方程为y ＝－3x.设点Q(x 0，3)(x 0>0)．由＝， |3x 0＋3|106105解得x 0＝3或x 0＝－5(舍去)，所以点Q(3，3)．故直线AQ 的方程为y ＝－(x －6)，即x ＋y －6＝0.由得即点B(－3，9)， {y ＝－3x ，x ＋y －6＝0){x ＝－3，y ＝9，)所以AB ＝＝9(km)．（－3－6）2＋922故水上旅游线路AB 的长为9 km.2(2) 由题意可得点P(3，9)， 当强水波生成t h 时，游轮在线段AB 上的点C 处，则AC ＝18t ，0≤t ≤，所以点C(6－18t ，18t)． 212若强水波不会波及游轮的航行，即PC 2>r 2对t ∈恒成立， [0，12]即PC 2＝(18t －3)2＋(9－18t)2>r 2＝9at 恒成立．当t ＝0时，上式恒成立；当t ≠0，即t ∈时，a<72t ＋－48恒成立. (0，12]10t令g(t)＝72t ＋－48，t ∈， 10t (0，12]所以g(t)＝72t ＋－48≥24－48， 10t 5当且仅当t ＝∈时等号成立， 56(0，12]所以当0<a<24－48时，r<PC 恒成立．5故当0<a<5时，强水波不会波及游轮的航行．10. 如图，有一块半径为R 的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD 和其附属设施，附属设施占地形状是等腰三角形CDE ，其中O 为圆心，点A ，B 在圆的直径上，点C ，D ，E 在圆周上．(1) 设∠BOC ＝θ，征地面积记为f(θ)，求f(θ)的表达式；(2) 当θ为何值时，征地面积最大？解析：(1) 连结OE ，可得OE ＝R ，OB ＝Rcosθ，BC ＝Rsinθ，θ∈， (0，π2)所以f(θ)＝2S 梯形OBCE ＝R 2(sinθcosθ＋cosθ)，θ∈. (0，π2)(2) 由(1)得f′(θ)＝－R 2(2sinθ－1)(sinθ＋1)，令f′(θ)＝0，得sinθ＋1＝0(舍去)或sinθ＝. 12因为θ∈，所以当θ∈时，f′(θ)>0，函数f(θ)单调递增；当θ∈时，(0，π2)(0，π6)(π6，π2)f′(θ)<0，函数f(θ)单调递减， 所以当θ＝时，f(θ)取得最大值． π6故当θ＝时，征地面积最大． π6。