8.10 Fourier余弦和正弦级数 托马斯微积分

第八章
第十节
傅里叶正弦与余弦级数
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一、正弦级数和余弦级数
1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数 定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为 正弦级数, 它的傅里叶系数为
周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,
它的傅里叶系数为
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x
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根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:

(1) n 1 sin nx f ( x) 2 o n n 1 1 1 2(sin x sin 2 x sin 3x ) 2 3
y
x
级数的部分和
n n＝ ＝5 4 2 1 3
逼近 f (x) 的情况见右图.
1. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其 图形? 答: 易看出奇偶性及间断点, 从而便于计算系数和写出 收敛域 . 2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ? 答: 用系数公式计算 an , bn时 ,如分母中出现因子n－k
则ak 或 bk 必须单独计算.
作业: P726 1, 3, 5, 9, 11, 15
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例2. 将周期函数
中E 为正常数 . 解:
展成傅里叶级数, 其
y
是周期为2 的
2
o 2 x
周期偶函数 , 因此
a0
an
u (t ) d t E sin t d t 0 0 u (t ) cos n td t 0 E
说明: 此式对


也成立,
y
据此有
1 2 (2k 1) 2 8 k 1
1 n2 n 1

o 2
x
由此还可导出

2
8
1 2 2 6 n 1 n
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补充例题
期的傅立叶级数, 并由此求级数 解:
展开成以2为周 的和. (91 考研)
y
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**. 设
的表达式 . 解: 由题设可知应对
又设 S ( x) 为周期的正弦级数展开式的和函数, 求当 作奇延拓:
由周期性:
x 2 ( , 0)
定义域
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在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数 奇延拓 f ( x), x [0 , ] 偶延拓
y
y

o
x

o
x
周期延拓 F (x) f (x) 在 [0 , ] 上展成 正弦级数
周期延拓 F (x)
f (x) 在 [0 , ]上展成 余弦级数
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说明: 令 x = 0 可得
y

即
1
o x
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例4. 把 (1) 正弦级数;
展开成 (2) 余弦级数. 在 x = 2 k 处级 数收敛于何值? 解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有
y
n x 2 2 dx bn x sin 2 2 0 2 n x 2 x cos n 2 n 4 cos n n 4 (1) n 1 n x f ( x) sin n 1 n 2

2

2

2


E sin t cos nt d t 0
2

sin(n 1)t sin(n 1)t d t 0
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an
sin(n 1)t sin(n 1)t d t 0
0,

E


n 2k 1
a1
sin 2 t d t 0 0 2E
E
u (t )


4E

来自百度文库k 1
4k 2 1 cos 2k x

1
4E 1 1 1 1 cos 2t cos 4t cos 6t 2 3 15 35
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2


0
y
o x
1

( k 1, 2 , )
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bn
因此得
( k 1, 2 , )
y
2 x 1 ( 2) sin x sin 2 x 2 2 sin 3 x sin 4 x 4 3
例3. 将函数 数与余弦级数 .
分别展成正弦级
解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓, 2 ( x 1) sin nx d x

0
x cos nx sin nx cos nx 2 n n n 2 1 cos n cos n n
其中 an

n x f ( x) cos dx l
( n 0 , 1, 2 , )
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二、例题
例1. 设 解: 若不计
周期为 2 的奇函数, 因此 是周期为2 的周期函数,它在 的表达式为 f (x)＝x , 将 f (x) 展成傅里叶级数.
y
an 0 ( n 0 , 1 , 2 , ) o 2 bn f ( x) sin nx d x 0 2 x cos nx sin nx 2 2 x sin nx d x n 0 n 0 2 2 cos n (1) n 1 ( n 1 , 2 , 3 , ) n n

0
2

2 x2 ( x 1) d x x 2 0
y

1
o x

( k 1, 2 , )
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1 cos(2k 1) x x 1 1 2 k 1 (2k 1) 2 4

1 1 4 cos 5 x 1 cos x 2 cos 3x 2 5 3 2
2 2
o 2
x

2
n x cos 2

2 0
(1)
n
1

1 (2k 1) x cos f ( x) x 1 2 2 2 k 1 (2k 1) (0 x2) 8
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1 (2k 1) x ( 0 x 2 ) f ( x) x 1 2 cos 2 2 k 1 (2k 1) 8
o x
1
注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 , 与给定函数 f (x) = x + 1 的值不同 .
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再求余弦级数. 将
作偶周期延拓 , 则有
2

0

( x 1) cos nx d x 0
2 x sin nx cos nx sin nx 2 n n n 2 2 cos n 1 n
2
为偶函数,
n 因 f (x) 偶延拓后在

2
2 2
(1)
n
1
1 o 1 x
故得
x [1,1]
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得
故
1 2 (2k 1) 2 8 k 1

1 2 n 1 n


2
6
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内容小结
1. 周期为 2l的奇、偶函数的傅里叶级数 • 奇函数 • 偶函数
o 2
x
2 0

2
n x sin 2

(0 x 2)
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(2) 将
作偶周期延拓, 则有
y
2 2 a0 x d x 2 0 2 2 n x an x cos dx 2 0 2 2 n x 2 x sin n 2 n
4 n
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2. 周期为 2l 的周期函数展开成Fourier级数.
如果 f (x) 为奇函数, 则有
(在 f (x) 的连续点处)
n x 其中 bn f ( x) sin dx l 如果 f (x) 为偶函数, 则有
( n 1, 2 , )
(在 f (x) 的连续点处)
正弦级数
余弦级数
2. 在 [ 0 , l] 上函数的傅里叶展开法
• 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 • 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数 思考题. 1.在 [ 0 , l ] 上的函数的傅里叶展开法唯 一吗 ?
答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .
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做题时注意