广西省梧州、崇左2015届高三摸底考试数学(理) 扫描版
2015届广西学业水平考试数学模拟考及详细参考答案
2015届广西普通高中数学学业水平考试模拟考一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合}2,1{},3,2,1{==N M ，则N M 等于A ．}2,1{B ．}3,1{C ．}3,2{D ．}3,2,,1{ 2．函数)2lg()(-=x x f 的定义域是A ．),2[+∞B ．),2(+∞C ．),3(+∞D ．),3[+∞ 3．0410角的终边落在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．抛掷一枚骰子，得到偶数点的概率是A ．61 B ．41 C ．31 D ．215．在等差数列}{n a 中，11=a ，公差2=d ，则8a 等于 A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 6．下列函数中，在区间),0(+∞内单调递减的是 A ．2x y = B ．xy 1=C ．x y 2=D ．x y 2log = 7．直线0=-y x 与02=-+y x 的交点坐标是A ．)1,1(B ．)1,1(--C ．)1,1(-D ．)1,1(-8．命题甲“sin 0x >”，命题乙“0x >”，那么甲是乙的（ ） （A ）充分而不必要条件 （ B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件（第16题图）正（主）视图侧（左）视图俯视图9．圆0622=-+x y x 的圆心坐标和半径分别是A ．9),0,3(B ．3),0,3(C ．9),0,3(-D ．3),0,3(- 10．313tanπ的值是 A ．33- B ．3- C ．33 D ．311．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知0120,2,1===C b a ，则c 等于 A ．2 B ．5 C ．7 D ．4 12．在等比数列}{n a 中，44=a ，则62a a ⋅等于 A ．32 B ．16 C ．8 D ．4 13．将函数)3sin(2π+=x y 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），所得图象对应的表达式为A ．321sin(2π+=x yB ．)621sin(2π+=x yC ．32sin(2π+=x y D ．)322sin(2π+=x y 14．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若B c b si n 2=，则C sin 等于 A ．1 B ．23 C ．22 D ．21 15．曲线x x x y 223-+=在1-=x 处的切线斜率是（ ）(A) 1 (B) －1 (C) 16．如图是一个空间几何体的三视图，则这个几何体侧面展开图的面积是 A ．4π B ．2πC ．πD ．π2甲 乙85 0 1 2 3 2 2 8 8 95 2 3 5 第25题图17．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤0111y x y x 表示的平面区域面积是A ．21B ．41C ．1D ．218．容量为100的样本数据被分为6组，如下表第3组的频率是 A ．15.0 B ．16.0 C ．18.0 D ．20.0 19．若c b a >>，则下列不等式中正确的是A ．bc ac >B ．c b b a ->-C ．c b c a ->-D ．b c a >+ 20．如图所示的程序框图，其输出的结果是 A ．11 B ．12 C ．131 D ．132 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）21．已知函数⎩⎨⎧<≥=0,0,)(2x x x x x f ，则=)3(f ____________．22．过点)1,0(且与直线02=-y x 垂直的直线方程的一般式是____________． 23．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ．已知36=a ，则=11S ___________．24、甲、乙两名篮球运动员在六场比赛中得分的茎叶图如图所示，记甲的平均分为a ，乙的平均分为b ，则=-a b ___．2015届学业水平考试模拟考（二）数学科答题卡MCV ABD第27题图一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）21 22 23 24 三、解答题（本大题共4小题，共28分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）25.（本题满分6分）已知抛物线的焦点和双曲线224520x y -=的一个焦点重合，求抛物线的标准方程.26．（本小题满分6分）已知向量a =)3,sin 1(x +，b =)3,1(．设函数=)(x f b a ⋅，求)(x f 的最大值及单调递增区间． 27．（本小题满分8分）已知：如图，在四棱锥ABCD V -中，底面ABCD 是 平行四边形，M 为侧棱VC 的中点．求证：//VA 平面BDM 28．（本小题满分8分）已知函数)(5)1(23)(2R k k x k x x f ∈++-+=在区间)2,0(内有零点，求k 的取值范围．参 考 答 案一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）21 9 22 x+2y-2=0 23 33 24 0.5三、解答题（本大题共3小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）25、抛物线的标准方程为：x y 122±=26函数f(x)=a·b=1+sinx+3= sinx+4，所以最大值是5.增区间是[2kπ-π/2，2kπ+π/2],k ∈Z.27、连结AC 交BD 于O 点，连结OM.底面ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点，又因M 为侧棱VC 的中点，所以VA ∥OM,因为OM ⊂平面BDM,VA ⊄平面BDM, 所以//VA 平面BDM .28、f(x)=3x2＋2(k －1)x ＋k ＋5在区间(0，2)内有零点， 等价于方程3x2＋2(k －1)x ＋k ＋5=0在(0，2)内有实数根，则：(1)判别式△=4(k －1)2－12(k ＋5)=0时，得：k=7或者k=－2，此时方程的根分别是： k=7时，根是：x1=x2=－2；k=－2时，根是：x1=x2=1. 因为方程在(0，2)内有实数根，所以k=-2.（k=7舍去） (2)若判别式大于0，则：k>7或k<－2.此时：①若两根都在(0，2)内，则：对称轴x=-(k-1)/3在(0，2)内、f(0)>0、f(2)>0，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-+=>+=<--<>+--=05)1(412)2(05)0(23100)5(12)1(42k k f k f k k k △解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><<<>513-5-15-2-7k k k k k 或得：2-513-<<k . ②若在(0，2)内存在一个根，则：f(0)×f(2)<0，得：－5<k<－13/5. (3)当f(2)=0时，即12+4(k-1)+k+5=0,k=-13/5.此时f(0)=k+5=12/5>0,所以k=-13/5符合题意.当f(0)=k+5=0时，k=-5,此时f(2)= 12+4(k-1)+k+5=-12<0,不符合题意，舍去.得：k=513-.综上可得：－5<k ≤-2.。
2015年高考理科数学模拟试题
2015年普通高等学校招生考试数学模拟试题（理工类）第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则AB =（ ）A 、{1,0}-B 、{0,1}C 、{2,1,0,1}--D 、{1,0,1,2}-2、在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析。
在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ）A 、总体B 、个体C 、样本的容量D 、从总体中抽取的一个样本3、为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A 、向左平行移动1个单位长度 B 、向右平行移动1个单位长度 C 、向左平行移动π个单位长度 D 、向右平行移动π个单位长度4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）A 、3B 、2C 、3D 、15、若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）A 、a b d c > B 、a b d c < C 、a b c d > D 、a b c d<6、执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈，那么输出的S 的最大值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、37、已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d=，则下列等式一定成立的是（ ）侧视图俯视图11222211A 、d ac =B 、a cd =C 、c ad =D 、d a c =+ 8、如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于（ ） A、1)m B、1)mC、1)m D、1)m9、设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、10、已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A 、2 B 、3 C、8D第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2015级高三摸底考试数学理科答案及评分意见
数学(理科)参考答案及评分意见
第 Ⅰ 卷 (选 择 题 ,共 ６０ 分 )
一 、选 择 题 :(每 小 题 ５ 分 ,共 ６０ 分 )
１．B;
２．A;
３．C;
７．B;
８．C;
９．D;
４．C; １０．; １２．B．
第 Ⅱ 卷 (非 选 择 题 ,共 ９０ 分 )
������ ������ ������ ������１１ 分 ������ ������ ������ ������１２ 分
２１．解 :(Ⅰ )f′(x)＝１－ax－２１nx(x＞０)．
由f′(x)＝０,得x＝e１－a ．
������ ������ ������ ������１ 分
当０＜x＜e１－a 时,f′(x)＞０．此时函数f(x)单调递增;
{ { a＝３
a＝ －２
∴
,或
．
b＝－９ b＝１
经检验符合题意．
(Ⅱ )∵a＞０,由 (Ⅰ ),得 f(x)＝x３ ＋３x２ －９x＋９． ∴f′(x)＝３x２＋６x－９． ∴f(－２)＝３１,f′(－２)＝ －９． ∴ 所 求 切 线 方 程 为 ９x＋y－１３＝０．
１８．解 :(Ⅰ )由 题 意 ,可 得 x������＝７,y������＝３．
５
５
������xiyi
i＝１
＝１１０,i���＝５���１xi２＝２５５,b∧ ＝i���＝������１５x���xiyi２i－－５５x���x������２���y������＝
１ ２
．
i＝１
∵a∧ ＝y������－b∧x,∴a∧ ＝
－
１ ２
．
∴
所
广西梧州市高考数学三模试卷 理(含解析)
广西梧州市2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，A={x∈N|y=ln（2﹣x）}，B={x|2x（x﹣2）≤1}，A∩B=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2} C．{1} D．{0，1}2．（5分）已知复数z满足方程z+i=zi（i为虚数单位），则复数对应点在第几象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}，若a1•a20=100，那么a3+a18的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在4．（5分）已知向量=（﹣1，﹣2），=（m2，4），那么“∥”是“m=”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）如图所示，当输入的实数x∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于111的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中点，则直线DE与平面BCF所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）在△ABC中，A=60°，若a，b，c成等比数列，则=（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=则f（x）dx=（）A．﹣B．+C．+D．﹣9．（5分）设函数f（x）=cos（ωx+ϕ）对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（+x），若函数g（x）=3sin（ωx+ϕ）﹣2，则g（）的值是（）A．1 B．﹣5或3 C．﹣2 D．10．（5分）点M（x，y）在直线x+y﹣10=0上，且x，y满足﹣5≤x﹣y≤5，则的取值范围是（）A．[0，] B．[0，5] C．[5，] D．[5，] 11．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）直线y=m分别与曲线y=2x+3，y=x+lnx交于A、B，则|AB|的最小值为（）A．B．C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在△ABC中，若AB=1，AC=3，•=，则S△ABC=．14．（5分）若球的半径为a，球的最大截面面积为4π，则二项式（a﹣）4的展开式中的常数项为．15．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的外接圆上的动点，则•的范围是．16．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），给出下列结论：①f（3）=1；②函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是增函数；③函数f（x）的图象关于直线x=1对称；④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，16]上的所有根之和为12．则其中正确的命题为．三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=17，S10=100．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若数列{b n}满足b n=a n cos（nπ）+2n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．18．（12分）我市某大型企业2008年至2014年销售额y（单位：亿元）的数据如下表所示：年份2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014代号t 1 2 3 4 5 6 7销售额y 27 31 35 41 49 56 62（1）在下表中，画出年份代号与销售额的散点图；（2）求y关于t的线性回归方程，相关数据保留两位小数；（3）利用所求回归方程，说出2008年至2014年该大型企业销售额的变化情况，并预测该企业的销售额，相关数据保留两位小数．附：回归直线的斜率的最小二乘法估计公式：b==．19．（12分）已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形，已知D是棱A1C1的中点．（1）求证：BC1∥平面AB1D（2）求二面角B1﹣AD﹣B的余弦值．20．（12分）已知A、B分别为曲线C：+y2=1（a＞0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B且与x轴垂直，P为l上异于点B的点，连结AP与曲线C交于点M．（1）若曲线C为圆，且|BP|=，求弦AM的长；（2）设N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，若O、N、P三点共线，求曲线C的方程．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1、l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：a=0或＜a＜；（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0时，h（x）≥1，求实数a的取值范围．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB、CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1．（1）求证相交弦定理：AP•PB=PD•PC；（2）求圆心O到弦CD的距离．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．若点P（x，y）在曲线C的参数方程（θ为参数，θ∈R）上，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求的范围．（2）若射线θ=（ρ≥0）与曲线C相交于A，B两点，求|OA|+|OB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．（1）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|，求不等式f（x）＜2的解集；（2）若a，b，c都为正实数，且满足a+b+c=2，证明：++≥．广西梧州市2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，A={x∈N|y=ln（2﹣x）}，B={x|2x（x﹣2）≤1}，A∩B=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2} C．{1} D．{0，1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A与B中x的范围，确定出A与B，找出两集合的交集即可．解答：解：由A中x∈N，y=ln（2﹣x），得到2﹣x＞0，即x＜2，∴A={0，1}，由B中不等式变形得：2x（x﹣2）≤1=20，即x（x﹣2）≤0，解得：0≤x≤2，即B=[0，2]，则A∩B={0，1}．故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数z满足方程z+i=zi（i为虚数单位），则复数对应点在第几象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：通过化简，计算即可．解答：解：∵z+i=zi，∴z=====﹣i，∴=+i，故选：A．点评：本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于基础题．3．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}，若a1•a20=100，那么a3+a18的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比中项的性质、基本不等式计算即得结论．解答：解：由题可知：a3•a18=a1•a20=100，∴a 3+a18≥2=2×10=20，故选：A．点评：本题考查等比中项的性质、基本不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．4．（5分）已知向量=（﹣1，﹣2），=（m2，4），那么“∥”是“m=”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合向量共线的等价条件进行判断即可．解答：解：若∥，则，即m2=2，则m=±，故“∥”是“m=”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量平行的等价条件是解决本题的关键．5．（5分）如图所示，当输入的实数x∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于111的概率是（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：概率与统计；算法和程序框图．分析：由程序框图的流程，写出前三次循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于111得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于111的概率．解答：解：设实数x∈[2，30]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2，经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3，经过第三循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4，此时输出x，输出的值为8x+7，令8x+7≥111得x≥13，由几何概型得到输出的x不小于111的概率为P==，故选：B点评：解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律，属于基础题．6．（5分）正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中点，则直线DE与平面BCF所成角的正弦值为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：连接EF，由BF=CF，我们易得∠FED是线面所成角，设棱长为a，求出三角形FED的各边长，代入余弦定理，求出∠FED的余弦后，再根据同角三角函数关系，即可得到直线DE 与平面BCF所成角的正弦值．解答：解：连接EF，由BF=CF，BD=CD可得FE⊥BC，DE⊥BC∴∠FED是线面所成角设棱长a，CD=a，ED=BF=CF= a三角形BCF是等腰三角形，则EF= a由余弦定理，cos∠FED=则SIN∠FED=故选B点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，解答的关键是根据已知条件，求出∠FED 即为直线DE与平面BCF所成角的平面角．7．（5分）在△ABC中，A=60°，若a，b，c成等比数列，则=（）A．B．C．D．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列；解三角形．分析：由等比中项的性质列出式子，结合条件和正弦定理求出a的表达式，代入式子化简即可求出的值．解答：解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，①又A=60°，则由正弦定理得：=，即a=，代入①得，，则，所以=sinA=sin60°=，故选：B．点评：本题考查了正弦定理，以及等比中项的性质的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）=则f（x）dx=（）A．﹣B．+C．+D．﹣考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：由f（x）dx=dx+x2dx，分别根据定积分的几何意义和定积分的计算法则计算计算即可．解答：解：∵函数f（x）=，∴f（x）dx=dx+x2dx，∵dx表示以原点为圆心，以为半径的圆的面积的四分之一，∴dx=π•2=，∴f（x）dx=dx+x2dx=+x3|=+，故选：B．点评：本题考查了定积分的计算和定积分的几何意义，属于中档题．9．（5分）设函数f（x）=cos（ωx+ϕ）对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（+x），若函数g（x）=3sin（ωx+ϕ）﹣2，则g（）的值是（）A．1 B．﹣5或3 C．﹣2 D．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据f（﹣x）=f（+x），得x=是函数f（x）的对称轴，结合正弦函数与余弦函数的关系进行求解即可．解答：解：∵对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（+x），∴x=是函数f（x）的对称轴，此时f（x）=cos（ωx+ϕ）取得最值，而y=sin（ωx+ϕ）=0，故g（）=0﹣2=﹣2，故选：C点评：本题主要考查三角函数值的计算，根据正弦函数和余弦函数的关系是解决本题的关键．10．（5分）点M（x，y）在直线x+y﹣10=0上，且x，y满足﹣5≤x﹣y≤5，则的取值范围是（）A．[0，] B．[0，5] C．[5，] D．[5，]考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题；直线与圆．分析：求出直线x+y﹣10=0与x﹣y+5=0、x﹣y﹣5=0的交点坐标，可得，再求出原点到直线x+y﹣10=0的距离，即可求出的取值范围．解答：解：直线x+y﹣10=0与x﹣y+5=0联立可得交点坐标为（，），此时==；直线x+y﹣10=0与x﹣y﹣5=0联立可得交点坐标为（，），此时==；原点到直线x+y﹣10=0的距离为=5，∴的取值范围是[5，]．故选：C．点评：本题考查直线与直线的位置关系，考查距离公式的运用，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设右焦点为F′，由=2﹣，可得E是PF的中点，利用O为FF'的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．解答：解：设右焦点为F′，则∵=2﹣，∴+=2，∴E是PF的中点，∴PF′=2OE=a，∴PF=3a，∵OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∴（3a）2+a2=4c2，∴e==，故选：C．点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．12．（5分）直线y=m分别与曲线y=2x+3，y=x+lnx交于A、B，则|AB|的最小值为（）A．B．C．2 D．3考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：设A（x1，a），B（x2，a），则2x1+3=x2+lnx2，表示出x1，求出|AB|，利用导数求出|AB|的最小值．解答：解：设A（x1，a），B（x2，a），则2x1+3=x2+lnx2，∴x1=（x2+lnx2）﹣，∴|AB|=x2﹣x1=（x2﹣lnx2）+，令y=（x﹣lnx）+，则y′=（1﹣），∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，函数的最小值为2，故选：C．点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在△ABC中，若AB=1，AC=3，•=，则S△ABC=．考点：平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用向量的数量积求出两个向量的夹角，然后通过三角形的面积公式求解即可．解答：解：在△ABC中，AB=1，AC=3，所以=1×3×cosA=∴cosA=，∴sinA=则S△ABC=sinA==故答案为：点评：本题考查三角形的面积的求法，向量的数量积的应用，考查计算能力．14．（5分）若球的半径为a，球的最大截面面积为4π，则二项式（a﹣）4的展开式中的常数项为24．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由球的最大截面面积求出a值，然后写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r 值，则答案可求．解答：解：由题意可知πa2=4π，即a=2．∴（a﹣）4 =（2﹣）4 ，由=．令2﹣r=0，得r=2．∴二项式（a﹣）4的展开式中的常数项为．故答案为：24．点评：本题考查圆的面积公式，考查了二项式系数的性质，是基础题．15．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的外接圆上的动点，则•的范围是[﹣2+2，2+2]．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：如图所示，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．设P（cosθ，sinθ），可得•=（2，0）•（cosθ+1，sinθ+1）=2cosθ+2，利用余弦函数的单调性即可得出．解答：解：如图所示，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．设P（cosθ，sinθ）．∴•=（2，0）•（cosθ+1，sinθ+1）=2cosθ+2，∵﹣1≤cosθ≤1，∴•的范围是[﹣2+2，2+2]，故答案为：[﹣2+2，2+2]．点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、余弦函数的单调性，属于基础题．16．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），给出下列结论：①f（3）=1；②函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是增函数；③函数f（x）的图象关于直线x=1对称；④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，16]上的所有根之和为12．则其中正确的命题为①④．考点：抽象函数及其应用；函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：对于①，利用赋值法，取x=1，得f（3）=﹣f（1）=1即可判断；对于③由f（x﹣4）=f（﹣x）得f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），即f（x）关于直线x=﹣2对称，对于②结合奇函数在对称区间上单调性相同，可得f（x）在[﹣2，2]上为增函数，利用函数f（x）关于直线x=﹣2对称，可得函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数；对于④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2=﹣12，另两根的和为2×2=4，故可得结论．解答：解：取x=1，得f（1﹣4）=﹣f（1）=﹣log2（1+1）=﹣1，所以f（3）=﹣f（1）=1，故①的结论正确；∵f（x﹣4）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x），即f（x﹣4）=f（x+4）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），则f（x﹣4）=f（﹣x），∴f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），∴函数f（x）关于直线x=﹣2对称，故③的结论不正确；又∵奇函数f（x），x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1）为增函数，∴x∈[﹣2，2]时，函数为单调增函数，∵函数f（x）关于直线x=﹣2对称，∴函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数，故②的结论不正确；若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2=﹣12，另两根的和为2×2=4，所以所有根之和为﹣8．故④正确故答案为：①④．点评：本题考查函数的性质，考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、对称性等基础知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=17，S10=100．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若数列{b n}满足b n=a n cos（nπ）+2n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（I）由题意等差数列{a n}中a2=17，S10=100，利用通项公式及前n项和公式建立首项与公差的方程求出即可得到数列{a n}的通项公式a n；（II）首先利用诱导公式以及（I）求出数列{b n}的通项公式，然后当n为奇数时T n=b1+b2++b n=，当n为奇数时，T n=b1+b2+…+b n==2n+1+n﹣22，即可求出结果．解答：解：（I）设a n首项为a1，公差为d，则解得（5分）∴a n=19+（n﹣1）×（﹣2）=21﹣2n（7分）（II）∵b n=a n cos（nπ）+2n=（﹣1）n a n+2n当n为偶数时，T n=b1+b2++b n=（﹣a1+2）+（a2+22）+（﹣a3+23）+…+（a n+2n）=（10分）当n为奇数时，T n=b1+b2++b n=（﹣a1+2）+（a2+22）+（﹣a3+23）+…+（﹣a n+2n）===2n+1+n﹣22（13分）∴（14分）点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列求和以及三角函数的诱导公式，（II）问要注意对n的奇偶性进行讨论，属于中档题．18．（12分）我市某大型企业2008年至2014年销售额y（单位：亿元）的数据如下表所示：年份2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014代号t 1 2 3 4 5 6 7销售额y 27 31 35 41 49 56 62（1）在下表中，画出年份代号与销售额的散点图；（2）求y关于t的线性回归方程，相关数据保留两位小数；（3）利用所求回归方程，说出2008年至2014年该大型企业销售额的变化情况，并预测该企业的销售额，相关数据保留两位小数．附：回归直线的斜率的最小二乘法估计公式：b==．考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（1）有给定的坐标系中描出各组数据对应的点，可得年份代号与销售额的散点图；（2）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（3）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区的销售额．解答：解：（1）年份代号与销售额的散点图如下所示：（2）由已知中的数据可得：=（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（27+31+35+41+49+56+62）=43，=1373，=140，故===≈6.04，则=﹣6.04=18.84，故y关于t的线性回归方程=6.04x+18.84，（3）的年份代号为8，当t=8时，=6.04×8+18.84=67.16，故预测该企业的销售额约为67.16亿元点评：本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．19．（12分）已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形，已知D是棱A1C1的中点．（1）求证：BC1∥平面AB1D（2）求二面角B1﹣AD﹣B的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，底面是高为的正三角形，三棱柱的高为h=3．（1）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；（2）通过建立空间直角坐标系，利用两平面的法向量的夹角即可得到两平面所成的锐二面角的余弦值．解答：（1）证明：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，底面是高为的正三角形，三棱柱的高为h=3．连接A1B交AB1于点E，连接DE，由矩形ABB1A1，可得A1E=EB．又∵D是这个几何体的棱A1 C1的中点，∴ED是三角形A1BC1的中位线，∴ED∥BC1∵BC1⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，∴BC1∥平面AB1D．（2）解：在平面ABC内作AN⊥AB，分别以AB，AN，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B1（2，0，3），D（，，3），B（2，0，0）．∴=（2，0，3），=（，，3），．设平面AB1D的法向量为=（a，b，c），则，令a=1，得=（1，，﹣）．同理平面ABD的法向量=（0，﹣6，）．∴cos＜，＞=．点评：由三视图可得出该几何体是一个正三棱柱，熟练掌握三角形的中位线定理和线面平行的判定定理、通过建立空间直角坐标系并利用两平面的法向量的夹角求得两平面所成的锐二面角的余弦值是解题的关键．20．（12分）已知A、B分别为曲线C：+y2=1（a＞0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B且与x轴垂直，P为l上异于点B的点，连结AP与曲线C交于点M．（1）若曲线C为圆，且|BP|=，求弦AM的长；（2）设N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，若O、N、P三点共线，求曲线C的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线．分析：（1）先求出A、B、P的坐标，从而求出直线AP的方程，进而求出弦AM的长；（2）设出直线AP的方程，联立方程组，求出M点的坐标，结合BM⊥OP，求出a的值，从而求出曲线C的方程．解答：解：（1）∵曲线C为圆，则曲线C为x2+y2=1，∴A（﹣1，0），B（1，0），P（1，±），∴直线AP的方程为：y=±（x+1），∴圆心到直线AP的距离为d=，∴弦AM=2=2=；（2）由已知得A（﹣a，0），B（a，0），由于点N在以BP为直径的圆上，且O、N、P三点中线，故BM⊥OP，显然，直线AP的斜率k存在且k≠0，可设直线AP的方程为y=k（x+a），由得：（1+a2k2）x2+2a3k2x+a4k2﹣a2=0，设点M（x M，y M），∴x M•（﹣a）=，故x M=，从而y M=k（x M+a）=，∴M（，），∵B（a，0），∴=（，），由BM⊥OP，可得•==0，即﹣2a4k2+4a2k2=0，∵k≠0，a＞0，∴a=，经检验，当a=时，O、N、P三点共线，∴曲线C的方程是：+y2=1．点评：本题考察了直线和圆锥曲线的问题，第一问中求出AP的方程是解题的关键，第二问中求出M点的坐标，利用向量垂直的性质是解题的关键，本题是一道难题．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1、l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：a=0或＜a＜；（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0时，h（x）≥1，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数求函数的单调区间，注意对参数a的分类讨论；（2）背景为指数函数y=e x与对数函数y=lnx关于直线y=x对称的特征，得到过原点的切线也关于直线y=x对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明；（3）利用导数处理函数的最值和不等式的恒成立求参数的范围问题，求导过程中用到了课后习题e x≥x+1这个结论，考查学生对课本知识的掌握程度．解答：（1）解：依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），对f（x）求导，得f′（x）=﹣a=．①若a≤0，对一切x＞0有f'（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．②若a＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f'（x）＜0．所以函数f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，+∞）．（2）解：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则y2=，k2=g′（x2）=e x2=，所以x2=1，y2=e，则k2=e x2=e．由题意知，切线l1的斜率为k1==，l1的方程为y=k1x=x．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则k1=f′（x1）=﹣a==，所以y1==1﹣ax1，a=﹣．又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得lnx1﹣1+﹣=0．令m（x）=lnx﹣1+﹣=0，则m′（x）=﹣=，m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．若x1∈（0，1），因为m（）=﹣2+e﹣＞0，m（1）=﹣＜0，所以x1∈（，1），而a=﹣在x1∈（，1）上单调递减，所以＜a＜．若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e，所以a=﹣=0（舍去）．综上可知，＜a＜（3）证明：h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）﹣ax+e x，h′（x）=ex+﹣a．①当a≤2时，因为e x≥x+1，所以h′（x）=ex+﹣a≥x+1+﹣a≥2﹣a≥0，h（x）在[0，+∞）上递增，h（x）≥h（0）=1恒成立，符合题意．②当a＞2时，因为h″（x）=ex﹣=≥0，所以h′（x）在[0，+∞）上递增，且h′（0）=2﹣a＜0，则存在x0∈（0，+∞），使得h′（0）=0．所以h（x）在（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，又h（x0）＜h（0）=1，所以h（x）≥1不恒成立，不合题意．综合①②可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，2]．点评：本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题及研究不等式恒成立问题．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB、CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1．（1）求证相交弦定理：AP•PB=PD•PC；（2）求圆心O到弦CD的距离．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；推理和证明．分析：（1）证明△APC∽△DPB，可得AP•PB=PD•PC；（2）利用垂径定理、勾股定理，即可求圆心O到弦CD的距离．解答：（1）证明：连接AC，DB，则有∠ACP=∠ABD，∠APC=∠DPB，∴△APC∽△DPB，∴，∴AP•PB=PD•PC；（2）解：由（1）知，AP•PB=PD•PC，可得2×2=1×PC，∴PC=4，过O作OM⊥CD于点M，由圆的性质可知CM=2.5，在△OMC中，d==．点评：本题考查三角形相似的判定与性质，考查垂径定理、勾股定理，考查学生的计算能力，比较基础．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．若点P（x，y）在曲线C的参数方程（θ为参数，θ∈R）上，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求的范围．（2）若射线θ=（ρ≥0）与曲线C相交于A，B两点，求|OA|+|OB|的值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）化圆的参数方程为普通方程，利用过原点的圆的切线的斜率求得的范围；（2）化圆的直角坐标方程为极坐标方程，和直线线θ=联立后，利用根与系数的关系求解．解答：解：（1）由，得（x﹣2）2+y2=3，如图，设过原点的直线方程为y=kx，由圆心（2，0）到直线的距离为，得，即，∴的范围为[]；（2）曲线C的极坐标方程可化为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，把θ=代入上式可得：，设A，B两点的极径分别为ρ1，ρ2，则．故|OA|+|OB|=．点评：本题考查参数方程化普通方程，考查直角坐标方程化极坐标方程，考查了直线和圆的位置关系，是基础题．【选修4-5：不等式选讲】24．（1）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|，求不等式f（x）＜2的解集；（2）若a，b，c都为正实数，且满足a+b+c=2，证明：++≥．考点：不等式的证明；绝对值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由条件把不等式的左边化为[3++++]，再利用基本不等式证得结论．解答：解：（1）根据f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|，由不等式f（x）＜2，可得①，或②，或③．解①求得＜x≤1，解②求得1＜x＜3，解③求得 x∈∅，综上可得，原不等式的解集为{x|＜x＜3}．（2）∵a+b+c=2，∴++=[++]=[3+++]=[3++++]≥（3+2+2+2）=，当且仅当a=b=c时，取等号，故++≥成立．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，用基本不等式证明不等式，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．。
2015年广西梧州市高考数学一模试卷(理科)及参考答案
）的图象向左平移
个单位后关 ． + …+
]上取得最小值时，x＝
16． （5 分） 数列{an}满足 a1＝ ， an+1＝an2﹣an+1 （n∈N*） ， 则 m＝ 的整数部分是 ．
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17． （12 分）在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AB＝2，BC＝ 延长线上一点，且 CD＝ （1）求∠BCD 的大小； （2）求 BD 的长． 18． （12 分）随着教育制度和高考考试制度的改革，高校选拔人才的方式越来越 多，某高校向一基地学校投放了一个保送生名额，先由该基地学校初选出 10 名优秀学生，然后参与高校设置的考核，考核设置了难度不同的甲、乙两个 方案，每个方案都有 M（文化） 、N（面试）两个考核内容，最终选择考核成 绩总分第一名的同学定为该高校在基地学校的保送生，假设每位同学完成每 个方案中的 M、N 两个考核内容的得分是相互独立的，根据考核前的估计， 某同学完成甲方案和乙方案的 M、N 两个考核内容的情况如表： 表 1：甲方案 考核内容 M（文化） N （面 试 ） 得分 概率 表 2：乙方案
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13． （5 分）向量 ＝（﹣1，1） ， ＝（x，2） ，若（ ﹣ ）⊥ ，则 ， 的夹角 为 ． ．
14． （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
第 2 页（共 23 页）
15． （5 分）函数 f（x）＝cos（2x+φ） （|φ|＜ 于原点对称，则当函数 f（x）在[0，
（i 是虚数单位）为纯虚数，则实数 a 的值为（ B．﹣ C．1 D．﹣1
3． （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时，f（x）＝sin2x， 则 f（﹣ A． ）＝（ ） C． ） D．﹣
数学_2015年广西柳州市高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2015年广西柳州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分1. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{y|y ＝2x , x ∈R}，B ＝{x|x ≥2}，则A ∩(∁U B)＝（ ） A ⌀ B {0, 1} C (0, 2) D (−∞, 2)2. 已知m ，n ∈R ，mi −1＝n +i ，则复数m +ni 在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3. 已知p:x ≤1，q:x 2−x >0，则p 是￢q 成立的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既非充分也非必要条件 4. 已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若α⊥β，m // α，则m ⊥β；②若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β； ③若m ⊥β，m // α，则α⊥β；④若m // α，n // β，且m // n ，则α // β． 其中正确命题的序号是（ ）A ②③B ①④C ②④D ①③5. 由直线x =−π3，x =π3，y ＝0与曲线y ＝cosx 所围成的封闭图形的面积为（ ） A 12 B 1 C √32 D √36. 若函数y ＝tanωx(ω∈N ∗)的一个对称中心是(π6, 0)，则ω的最小值为（ ）A 2B 3C 6D 97. 在各项都为正数的等差数列{a n }中，若a 1+a 2+...+a 10＝30，则a 5⋅a 6的最大值等于（ ）A 3B 6C 9D 368. 把一枚硬币任意抛掷三次，事件A ＝“至少一次出现正面”，事件B“恰有一次出现正面”，则P(B|A)＝（ ） A 37B 38C 78D 189. 已知函数f(x)＝cosπx 3，根据下列框图，输出S 的值为（ ）A 670B 67012 C 671 D 67210. 设非零向量a →，b →，c →满足|a →|＝|b →|＝|c →|，|a →+b →|＝|c →|，则向量a →，b →的夹角是（ ） A π6 B π3 C 2π3 D 5π611. 设点P 在曲线y ＝e x ，点Q 在曲线y ＝lnx 上，则|PQ|最小值为（ ） A ln2 B √2 C 1+√2 D √2−112. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，位于第一象限的点P在l1上，若l2⊥PF1，l2 // PF2，则双曲线的离心率是( ) A √5 B √3 C 2 D √2二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13. 已知x,y满足不等式组{y≤x,x+y≥2，x≤2,则z=2x+y的最大值为________．14. 数列{a n}的通项公式a n=√n+1+√n，它的前n项和为9，则n＝________．15. 在(1−x)(1+x)10的展开式中，含x5的项的系数为________．16. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________三、解答题17. 为了解甲乙两个快递公司的工作情况，现从甲乙两公司各随机抽取一名快递员（假设同一公司快递的工作情况基本相同），并从两人某月（30）天的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，如图：已知每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（1）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinCcosC =sinA+sinB cosA+cosB（1）求角C的大小（2）若△ABC的外接圆直径为2，求a2+b2的取值范围．19. 已知平行四边形ABCD （如图1）中，AB＝4，BC＝5，对角线AC＝3，将三角形△ACD 沿AC折起至△PAC位置（图2），使二面角P−AC−B为60∘，G，H分别是PA，PC的中点．(Ⅰ)求证：PC⊥平面BGH；(Ⅱ)求平面PAB与平面BGH夹角的余弦值．20. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点为F(2, 0)，且离心率为√63．(1)求椭圆方程；(2)斜率为k 的直线l 过点F ，且与椭圆交于A ，B 两点，P 为直线x =3上的一点，若△ABP 为等边三角形，求直线l 的方程． 21. 设函数f(x)＝lnx −ax −a−1x(a ∈R)，若f(x)≤−1对定义域内的x 恒成立（1）求实数a 的取值范围（2）对任意的θ∈[0, π2)，证明f(1−sinθ)≤f(1+sinθ)四、请考生在第22，23，24三题中任选一题作答．选修4-1：几何证明选讲22. 如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（1）若EA ＝2ED ，EB ＝3EC ，求ABCD 的值；（2）若EF // CD ，求证：线段FA ，FE ，FB 成等比数列．选修4-4：坐标系与参数方程23. 已知：直线l 的参数方程为:{x =2+ty =√3t （t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：ρ2cos2θ＝1．（1）求曲线C 的普通方程；（2）求直线l 被曲线C 截得的弦长．选修4-5：不等式选讲24. 已知关于x 的不等式|2x +1|−|x −1|≤log 2a （其中a >0）．(1)当a =4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a 的取值范围．2015年广西柳州市高考数学一模试卷（理科）答案1. C2. D3. B4. A5. D6. B7. C8. A9. C10. C11. B12. C13. 614. 9915. 4216. 193π17. 甲公司员工A投递件数的平均数为36，众数为33．设a为乙公司员工B投递件数，则当a＝34时，X＝136元，当a≥35时，X＝35×4+(a−35)×7，X的可能值为136，147，154，189，203X的分布列为：E(X)＝136×110+147×310+154×210+189×310+203×110=165.5（元）．根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元．18. 由sinCcosC =sinA+sinB cosA+cosB得sinCcosA+sinCcosB＝cosCsinA+cosCsinB，即sin(C−A)＝sin(B−C)，则C−A＝B−C，即2C＝A+B，即C=π3．∵ 2C＝A+B，∴ A，C，B成等差数列，且C=π3，设A =π3−α．B =π3+α，则−π3<−α<π3．则a 2+b 2＝(2RsinA)2+(2RsinB)2＝4(sin 2A +sin 2B)， 即a 2+b 2＝4(1−cos2A2+1−cos2B2)＝4−2[cos(2π3+2α)+cos(2π3−2α)]＝4+2cos2α， 由−π3<α<π3，则−2π3<2α<2π3，∴ −12<cos2α≤1，∴ 3<a 2+b 2≤6，故a 2+b 2的范围是(3, 6]．19. （1）证明：过C 作CE // AB ，且CE ＝AB ，连结BE ，PE ， ∵ AC 2+AB 2＝BC 2，∴ AC ⊥AB ， ∴ 四边形ABCD 是矩形，AC ⊥CE ， ∵ PC ⊥AC ，∴ AC ⊥平面PEC ， ∴ ∠PCE ＝60∘，∵ PC ＝CE ＝4，∴ △PCE 是正三角形， ∵ BE // AC ，∴ BE ⊥平面PEC ，∴ BE ⊥PE ，∴ PB =√PE 2+BE 2=5＝BC ， 而H 是PC 的中点，∴ BH ⊥PC ， ∵ G ，H 是△PAC 的中位线， ∴ GH // AC ，∴ GH ⊥PC ， ∵ GH ∩BH ＝H ， ∴ PC ⊥平面BGH ．（2）以CE 的中点O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知A(3, −2, 0)，B(3, 2, 0)，P(0, 0, 2√3)，C(0, −2, 0)， ∴ PA →=(3,−2,−2√3)，PB →=(3, 2, −2√3)，PC →=(0,−2,−2√3)， 设平面PAB 的法向量n →=(x, y, z)，则n →⋅PA →=0，n →⋅PB →=0， ∴ {3x −2y −2√3z =03x +2y −2√3z =0，取x ＝2√3，得y ＝0，z ＝3，∴ n →=(2√3,0,3)，平面BGH 的法向量PC →=(0,−2,−2√3)， 设平面PAB 与平面BGH 所成的角为θ， 则cosθ＝|cos <n →,PC →>|＝√3√21⋅√16=3√714．20. 解：(1)∵ 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的一个焦点为F(2, 0)，且离心率为√63． ∴ c =2，ca =√63，a 2=b 2+c 2，解得a 2=6，b 2=2． ∴ 椭圆方程为x 26+y 22=1．(2)直线l 的方程为y =k(x −2)，联立方程组{y =k(x −2)x 26+y 22=1.，消去y 并整理，得(3k 2+1)x 2−12k 2x +12k 2−6=0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 故x 1+x 2=12k 23k 2+1，x 1x 2=12k 2−63k 2+1．则|AB|=√1+k 2|x 1−x 2| =√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =2√6(k 2+1)3k 2+1． 设AB 的中点为M(x 0, y 0)． 可得x 0=6k 23k 2+1，y 0=−2k3k 2+1． 直线MP 的斜率为−1k ，又 x P =3，所以|MP|=√1+1k 2⋅|x 0−x P |=√k 2+1k 2⋅3(k 2+1)(3k 2+1)．当△ABP 为正三角形时，|MP|=√32|AB|， ∴ √k 2+1k 2⋅3(k 2+1)(3k 2+1)=√32⋅2√6(k 2+1)3k 2+1， 解得k =±1．∴ 直线l 的方程为x −y −2=0，或x +y −2=0．21. 若f(x)≤−1对定义域内的x 恒成立，则f(x)max ≤−1．则f(1)+1＝−a −a +1≥1，即a ≥1．当a ≥1时，f ′(x)=−(ax+a−1)(x−1)x 2=0，解得x =1,x =−1+1a ．因为x =−1+1a ≤0，则当x ∈(0, 1)时，f′(x)>0，故f(x)在(0, 1)上单调递增， 当x ∈(1, +∞)时，f′(x)<0，故f(x)在(1, +∞)单调递增减；故f(x)max ＝f(1)＝1−2a ≤−1，即a ≥1时，f(x)≤−1恒成立． 故所求a 的范围是[1, +∞)．由（1）知，实数a 的范围为[1, +∞)，f(1+sinθ)−f(1−sinθ)＝ln(1+sinθ)−a(1+sinθ)−a−11+sinθ−[ln(1−sinθ)−a(1−sinθ)−a−11−sinθ] ＝ln(1+sinθ)−ln(1−sinθ)−2asinθ−(a −1)[11+sinθ−11−sinθ] ＝ln(1+sinθ)−ln(1−sinθ)−2asinθ+2(a −1)sinθcos 2θ ＝ln(1+sinθ)−ln(1−sinθ)−2asinθ(1−1cos 2θ)−2sinθcos 2θ ＝ln(1+sinθ)−ln(1−sinθ)+2asin 3θcos 2θ−2sinθcos 2θ≥ln(1+sinθ)−ln(1−sinθ)+2sin 3θcos 2θ−2sinθcos 2θ=ln(1+sinθ)−ln(1−sinθ)+2sinθcos 2θ(sin 2θ−1) ＝ln(1+sinθ)−ln(1−sinθ)−2sinθ．令ℎ(x)＝ln(1+x)−ln(1−x)−2x(0≤x <1)， 则ℎ(x)=11+x+11−x−2=21−x 2−2≥2−2=0．所以ℎ(x)在[0, 1)上递增，所以ℎ(x)≥ℎ(0)＝0．由题意知sinθ∈[0, 1)，于是ln(1+sinθ)−ln(1−sinθ)−2sinθ≥0． 所以f(1+sinθ)≥f(1−sinθ)．故对任意的θ∈[0,π2)，f(1−sinθ)≤f(1+sinθ)成立． 22. 由A ，B ，C ，D 四点共圆，得∠CDE ＝∠ABE ，又∠DEC ＝∠BEA ，∴ △ABE ∽△CDE ，于是ABCD =BEDE =AECE ．① 设DE ＝a ，CE ＝b ，则由BEDE =AECE ，得3b 2＝2a 2，即b =√2√3代入①，得ABCD =3b a=√6．证明：由EF // CD ，得∠AEF ＝∠CDE ． ∵ ∠CDE ＝∠ABE ，∴ ∠AEF ＝∠EBF ． 又∠BFE ＝∠EFA ， ∴ △BEF ∽△EAF ，于是FA FE=FE FB，故FA ，FE ，FB 成等比数列．23. 由曲线C:ρ2cos2θ＝ρ2(cos 2θ−sin 2θ)＝1，得ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ＝1，化成普通方程x 2−y 2＝1．①（方法一）把直线参数方程化为标准参数方程{x =2+12ty =√32t(t)，②把②代入①:(2+12t)2−(√32t)2=1，整理，得t2−4t−6＝0，设其两根为t1，t2，则t1+t2＝4，t1⋅t2＝−6，．从而弦长为|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=√42−4(−6)=√40=2√10．（方法二）把直线l的参数方程化为普通方程为y=√3(x−2)，代入x2−y2＝1，得2x2−12x+13＝0，．设l与C交于A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=6,x1⋅x2=132，．∴ |AB|=√1+3⋅√(x1+x2)2−4x1x2=2√62−26=2√10．24. 解：(1)当a=4时，不等式即|2x+1|−|x−1|≤2，当x<−12时，不等式为−x−2≤2，解得−4≤x<−12．当−12≤x≤1时，不等式为3x≤2，解得−12≤x≤23．当x>1时，不等式为x+2≤2，此时x不存在．综上，不等式的解集为{x|−4≤x≤23}．(2)设f(x)=|2x+1|−|x−1|={−x−2,x<−123x,−12≤x≤1 x+2,x>1，故f(x)∈[−32，+∞)，即f(x)的最小值为−32．所以，若f(x)≤log2a有解，则有log2a≥−32，解得a≥√24，即a的取值范围是[√24，+∞)．。
广西2015届高考压轴数学(理)试题word 版 含答案
2015广西高考压轴卷理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则AB =A ．[0,2]B ．(1,3)C ．[1,3)D ．(1,4) 2. 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i -3. 已知点()1,1A -,()1,2B ,()2,1C --,()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）.2A.2B.2C -.2D - 4. 在△ABC 中, ,3,AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠= ()A BC D 5. 两位工人加工同一种零件共100个,甲加工了40个,其中35个是合格品,乙加工了60个,其中有50个合格,令A 事件为“从100个产品中任意取一个,取出的是合格品”,B 事件为“从100个产品中任意取一个,取到甲生产的产品”,则P(A|B)等于( )A.25B.35100C.78D.576. 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( ) A ．4B ．143C ．163D ．6 7. 将6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）A ．144B ．120C ．72D ．248.已知函数2()2(2)88,f x f x x x =--+- 则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ）A.21y x =-B.y x =C.32y x =-D.23y x =-+9.已知,x y满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by ab =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（ ）A ．5 B ．4 CD ．2俯视图 侧视图10..在直三棱柱111ABC A B C -中，A 1,2,B AC BC ===分别是1AC 和1BB 的中点，则直线DE 与平面11BBC C 所成角为（ ） A ．6π B ． 4π C ．3π D ．2π11.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ） A.34 B.35 C.49 D.3 12.已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）A.121()0,()2f x f x >>- B. 121()0,()2f x f x <<- C.121()0,()2f x f x ><-D. 121()0,()2f x f x <>-二.填空题:(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
广西梧州市高考数学三模试卷理(含解析)
广西梧州市2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，A={x∈N|y=ln（2﹣x）}，B={x|2x（x﹣2）≤1}，A∩B=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2} C．{1} D．{0，1}2．（5分）已知复数z满足方程z+i=zi（i为虚数单位），则复数对应点在第几象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}，若a1•a20=100，那么a3+a18的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在4．（5分）已知向量=（﹣1，﹣2），=（m2，4），那么“∥”是“m=”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）如图所示，当输入的实数x∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于111的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中点，则直线DE与平面BCF所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）在△ABC中，A=60°，若a，b，c成等比数列，则=（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）已知函数f （x ）=则f （x ）dx=（）A ． ﹣B ． +C ． +D ． ﹣9．（5分）设函数f （x ）=cos （ωx+ϕ）对任意的x ∈R ，都有f （﹣x ）=f （+x ），若函数g （x ）=3sin （ωx+ϕ）﹣2，则g （）的值是（）A ． 1B ． ﹣5或3C ． ﹣2D ．10．（5分）点M （x ，y ）在直线x+y ﹣10=0上，且x ，y 满足﹣5≤x﹣y≤5，则的取值范围是（） A ． [0，]B ． [0，5]C ． [5，]D ． [5，]11．（5分）过双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0），作圆x 2+y 2=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若=2﹣，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）直线y=m 分别与曲线y=2x+3，y=x+lnx 交于A 、B ，则|AB|的最小值为（）A ．B ．C ． 2D ． 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）在△ABC 中，若AB=1，AC=3，•=，则S △ABC =．14．（5分）若球的半径为a ，球的最大截面面积为4π，则二项式（a ﹣）4的展开式中的常数项为．15．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的外接圆上的动点，则•的范围是．16．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），给出下列结论：①f（3）=1；②函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是增函数；③函数f（x）的图象关于直线x=1对称；④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，16]上的所有根之和为12．则其中正确的命题为．三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=17，S10=100．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若数列{b n}满足b n=a n cos（nπ）+2n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．18．（12分）我市某大型企业2008年至2014年销售额y（单位：亿元）的数据如下表所示：年份2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014代号t 1 2 3 4 5 6 7销售额y 27 31 35 41 49 56 62（1）在下表中，画出年份代号与销售额的散点图；（2）求y关于t的线性回归方程，相关数据保留两位小数；（3）利用所求回归方程，说出2008年至2014年该大型企业销售额的变化情况，并预测该企业的销售额，相关数据保留两位小数．附：回归直线的斜率的最小二乘法估计公式：b==．19．（12分）已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形，已知D是棱A1C1的中点．（1）求证：BC1∥平面AB1D（2）求二面角B1﹣AD﹣B的余弦值．20．（12分）已知A、B分别为曲线C：+y2=1（a＞0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B且与x轴垂直，P为l上异于点B的点，连结AP与曲线C交于点M．（1）若曲线C为圆，且|BP|=，求弦AM的长；（2）设N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，若O、N、P三点共线，求曲线C的方程．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1、l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：a=0或＜a＜；（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0时，h（x）≥1，求实数a的取值范围．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB、CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1．（1）求证相交弦定理：AP•PB=PD•PC；（2）求圆心O到弦CD的距离．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．若点P（x，y）在曲线C的参数方程（θ为参数，θ∈R）上，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求的范围．（2）若射线θ=（ρ≥0）与曲线C相交于A，B两点，求|OA|+|OB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．（1）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|，求不等式f（x）＜2的解集；（2）若a，b，c都为正实数，且满足a+b+c=2，证明：++≥．广西梧州市2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，A={x∈N|y=ln（2﹣x）}，B={x|2x（x﹣2）≤1}，A∩B=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2} C．{1} D．{0，1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A与B中x的范围，确定出A与B，找出两集合的交集即可．解答：解：由A中x∈N，y=ln（2﹣x），得到2﹣x＞0，即x＜2，∴A={0，1}，由B中不等式变形得：2x（x﹣2）≤1=20，即x（x﹣2）≤0，解得：0≤x≤2，即B=[0，2]，则A∩B={0，1}．故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数z满足方程z+i=zi（i为虚数单位），则复数对应点在第几象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：通过化简，计算即可．解答：解：∵z+i=zi，∴z=====﹣i，∴=+i，故选：A．点评：本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于基础题．3．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}，若a1•a20=100，那么a3+a18的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比中项的性质、基本不等式计算即得结论．解答：解：由题可知：a3•a18=a1•a20=100，∴a 3+a18≥2=2×10=20，故选：A．点评：本题考查等比中项的性质、基本不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．4．（5分）已知向量=（﹣1，﹣2），=（m2，4），那么“∥”是“m=”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合向量共线的等价条件进行判断即可．解答：解：若∥，则，即m2=2，则m=±，故“∥”是“m=”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量平行的等价条件是解决本题的关键．5．（5分）如图所示，当输入的实数x∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于111的概率是（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：概率与统计；算法和程序框图．分析：由程序框图的流程，写出前三次循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于111得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于111的概率．解答：解：设实数x∈[2，30]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2，经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3，经过第三循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4，此时输出x，输出的值为8x+7，令8x+7≥111得x≥13，由几何概型得到输出的x不小于111的概率为P==，故选：B点评：解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律，属于基础题．6．（5分）正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中点，则直线DE与平面BCF所成角的正弦值为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：连接EF，由BF=CF，我们易得∠FED是线面所成角，设棱长为a，求出三角形FED的各边长，代入余弦定理，求出∠FED的余弦后，再根据同角三角函数关系，即可得到直线DE 与平面BCF所成角的正弦值．解答：解：连接EF，由BF=CF，BD=CD可得FE⊥BC，DE⊥BC∴∠FED是线面所成角设棱长a，CD=a，ED=BF=CF= a三角形BCF是等腰三角形，则EF= a由余弦定理，cos∠FED=则SIN∠FED=故选B点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，解答的关键是根据已知条件，求出∠FED 即为直线DE与平面BCF所成角的平面角．7．（5分）在△ABC中，A=60°，若a，b，c成等比数列，则=（）A．B．C．D．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列；解三角形．分析：由等比中项的性质列出式子，结合条件和正弦定理求出a的表达式，代入式子化简即可求出的值．解答：解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，①又A=60°，则由正弦定理得：=，即a=，代入①得，，则，所以=sinA=sin60°=，故选：B．点评：本题考查了正弦定理，以及等比中项的性质的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）=则f（x）dx=（）A．﹣B．+C．+D．﹣考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：由f（x）dx=dx+x2dx，分别根据定积分的几何意义和定积分的计算法则计算计算即可．解答：解：∵函数f（x）=，∴f（x）dx=dx+x2dx，∵dx表示以原点为圆心，以为半径的圆的面积的四分之一，∴dx=π•2=，∴f（x）dx=dx+x2dx=+x3|=+，故选：B．点评：本题考查了定积分的计算和定积分的几何意义，属于中档题．9．（5分）设函数f（x）=cos（ωx+ϕ）对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（+x），若函数g（x）=3sin（ωx+ϕ）﹣2，则g（）的值是（）A．1 B．﹣5或3 C．﹣2 D．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据f（﹣x）=f（+x），得x=是函数f（x）的对称轴，结合正弦函数与余弦函数的关系进行求解即可．解答：解：∵对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（+x），∴x=是函数f（x）的对称轴，此时f（x）=cos（ωx+ϕ）取得最值，而y=sin（ωx+ϕ）=0，故g（）=0﹣2=﹣2，故选：C点评：本题主要考查三角函数值的计算，根据正弦函数和余弦函数的关系是解决本题的关键．10．（5分）点M（x，y）在直线x+y﹣10=0上，且x，y满足﹣5≤x﹣y≤5，则的取值范围是（）A．[0，] B．[0，5] C．[5，] D．[5，]考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题；直线与圆．分析：求出直线x+y﹣10=0与x﹣y+5=0、x﹣y﹣5=0的交点坐标，可得，再求出原点到直线x+y﹣10=0的距离，即可求出的取值范围．解答：解：直线x+y﹣10=0与x﹣y+5=0联立可得交点坐标为（，），此时==；直线x+y﹣10=0与x﹣y﹣5=0联立可得交点坐标为（，），此时==；原点到直线x+y﹣10=0的距离为=5，∴的取值范围是[5，]．故选：C．点评：本题考查直线与直线的位置关系，考查距离公式的运用，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设右焦点为F′，由=2﹣，可得E是PF的中点，利用O为FF'的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．解答：解：设右焦点为F′，则∵=2﹣，∴+=2，∴E是PF的中点，∴PF′=2OE=a，∴PF=3a，∵OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∴（3a）2+a2=4c2，∴e==，故选：C．点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．12．（5分）直线y=m分别与曲线y=2x+3，y=x+lnx交于A、B，则|AB|的最小值为（）A．B．C．2 D．3考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：设A（x1，a），B（x2，a），则2x1+3=x2+lnx2，表示出x1，求出|AB|，利用导数求出|AB|的最小值．解答：解：设A（x1，a），B（x2，a），则2x1+3=x2+lnx2，∴x1=（x2+lnx2）﹣，∴|AB|=x2﹣x1=（x2﹣lnx2）+，令y=（x﹣lnx）+，则y′=（1﹣），∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，函数的最小值为2，故选：C．点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在△ABC中，若AB=1，AC=3，•=，则S△ABC=．考点：平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用向量的数量积求出两个向量的夹角，然后通过三角形的面积公式求解即可．解答：解：在△ABC中，AB=1，AC=3，所以=1×3×cosA=∴cosA=，∴sinA=则S△ABC=sinA==故答案为：点评：本题考查三角形的面积的求法，向量的数量积的应用，考查计算能力．14．（5分）若球的半径为a，球的最大截面面积为4π，则二项式（a﹣）4的展开式中的常数项为24．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由球的最大截面面积求出a值，然后写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r 值，则答案可求．解答：解：由题意可知πa2=4π，即a=2．∴（a﹣）4 =（2﹣）4 ，由=．令2﹣r=0，得r=2．∴二项式（a﹣）4的展开式中的常数项为．故答案为：24．点评：本题考查圆的面积公式，考查了二项式系数的性质，是基础题．15．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的外接圆上的动点，则•的范围是[﹣2+2，2+2]．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：如图所示，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．设P（cosθ，sinθ），可得•=（2，0）•（cosθ+1，sinθ+1）=2cosθ+2，利用余弦函数的单调性即可得出．解答：解：如图所示，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．设P（cosθ，sinθ）．∴•=（2，0）•（cosθ+1，sinθ+1）=2cosθ+2，∵﹣1≤cosθ≤1，∴•的范围是[﹣2+2，2+2]，故答案为：[﹣2+2，2+2]．点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、余弦函数的单调性，属于基础题．16．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），给出下列结论：①f（3）=1；②函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是增函数；③函数f（x）的图象关于直线x=1对称；④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，16]上的所有根之和为12．则其中正确的命题为①④．考点：抽象函数及其应用；函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：对于①，利用赋值法，取x=1，得f（3）=﹣f（1）=1即可判断；对于③由f（x﹣4）=f（﹣x）得f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），即f（x）关于直线x=﹣2对称，对于②结合奇函数在对称区间上单调性相同，可得f（x）在[﹣2，2]上为增函数，利用函数f（x）关于直线x=﹣2对称，可得函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数；对于④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2=﹣12，另两根的和为2×2=4，故可得结论．解答：解：取x=1，得f（1﹣4）=﹣f（1）=﹣log2（1+1）=﹣1，所以f（3）=﹣f（1）=1，故①的结论正确；∵f（x﹣4）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x），即f（x﹣4）=f（x+4）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），则f（x﹣4）=f（﹣x），∴f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），∴函数f（x）关于直线x=﹣2对称，故③的结论不正确；又∵奇函数f（x），x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1）为增函数，∴x∈[﹣2，2]时，函数为单调增函数，∵函数f（x）关于直线x=﹣2对称，∴函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数，故②的结论不正确；若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2=﹣12，另两根的和为2×2=4，所以所有根之和为﹣8．故④正确故答案为：①④．点评：本题考查函数的性质，考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、对称性等基础知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=17，S10=100．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若数列{b n}满足b n=a n cos（nπ）+2n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（I）由题意等差数列{a n}中a2=17，S10=100，利用通项公式及前n项和公式建立首项与公差的方程求出即可得到数列{a n}的通项公式a n；（II）首先利用诱导公式以及（I）求出数列{b n}的通项公式，然后当n为奇数时T n=b1+b2++b n=，当n为奇数时，T n=b1+b2+…+b n==2n+1+n﹣22，即可求出结果．解答：解：（I）设a n首项为a1，公差为d，则解得（5分）∴a n=19+（n﹣1）×（﹣2）=21﹣2n（7分）（II）∵b n=a n cos（nπ）+2n=（﹣1）n a n+2n当n为偶数时，T n=b1+b2++b n=（﹣a1+2）+（a2+22）+（﹣a3+23）+…+（a n+2n）=（10分）当n为奇数时，T n=b1+b2++b n=（﹣a1+2）+（a2+22）+（﹣a3+23）+…+（﹣a n+2n）===2n+1+n﹣22（13分）∴（14分）点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列求和以及三角函数的诱导公式，（II）问要注意对n的奇偶性进行讨论，属于中档题．18．（12分）我市某大型企业2008年至2014年销售额y（单位：亿元）的数据如下表所示：年份2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014代号t 1 2 3 4 5 6 7销售额y 27 31 35 41 49 56 62（1）在下表中，画出年份代号与销售额的散点图；（2）求y关于t的线性回归方程，相关数据保留两位小数；（3）利用所求回归方程，说出2008年至2014年该大型企业销售额的变化情况，并预测该企业的销售额，相关数据保留两位小数．附：回归直线的斜率的最小二乘法估计公式：b==．考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（1）有给定的坐标系中描出各组数据对应的点，可得年份代号与销售额的散点图；（2）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（3）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区的销售额．解答：解：（1）年份代号与销售额的散点图如下所示：（2）由已知中的数据可得：=（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（27+31+35+41+49+56+62）=43，=1373，=140，故===≈6.04，则=﹣6.04=18.84，故y关于t的线性回归方程=6.04x+18.84，（3）的年份代号为8，当t=8时，=6.04×8+18.84=67.16，故预测该企业的销售额约为67.16亿元点评：本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．19．（12分）已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形，已知D是棱A1C1的中点．（1）求证：BC1∥平面AB1D（2）求二面角B1﹣AD﹣B的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，底面是高为的正三角形，三棱柱的高为h=3．（1）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；（2）通过建立空间直角坐标系，利用两平面的法向量的夹角即可得到两平面所成的锐二面角的余弦值．解答：（1）证明：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，底面是高为的正三角形，三棱柱的高为h=3．连接A1B交AB1于点E，连接DE，由矩形ABB1A1，可得A1E=EB．又∵D是这个几何体的棱A1 C1的中点，∴ED是三角形A1BC1的中位线，∴ED∥BC1∵BC1⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，∴BC1∥平面AB1D．（2）解：在平面ABC内作AN⊥AB，分别以AB，AN，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B1（2，0，3），D（，，3），B（2，0，0）．∴=（2，0，3），=（，，3），．设平面AB1D的法向量为=（a，b，c），则，令a=1，得=（1，，﹣）．同理平面ABD的法向量=（0，﹣6，）．∴cos＜，＞=．点评：由三视图可得出该几何体是一个正三棱柱，熟练掌握三角形的中位线定理和线面平行的判定定理、通过建立空间直角坐标系并利用两平面的法向量的夹角求得两平面所成的锐二面角的余弦值是解题的关键．20．（12分）已知A、B分别为曲线C：+y2=1（a＞0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B且与x轴垂直，P为l上异于点B的点，连结AP与曲线C交于点M．（1）若曲线C为圆，且|BP|=，求弦AM的长；（2）设N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，若O、N、P三点共线，求曲线C的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线．分析：（1）先求出A、B、P的坐标，从而求出直线AP的方程，进而求出弦AM的长；（2）设出直线AP的方程，联立方程组，求出M点的坐标，结合BM⊥OP，求出a的值，从而求出曲线C的方程．解答：解：（1）∵曲线C为圆，则曲线C为x2+y2=1，∴A（﹣1，0），B（1，0），P（1，±），∴直线AP的方程为：y=±（x+1），∴圆心到直线AP的距离为d=，∴弦AM=2=2=；（2）由已知得A（﹣a，0），B（a，0），由于点N在以BP为直径的圆上，且O、N、P三点中线，故BM⊥OP，显然，直线AP的斜率k存在且k≠0，可设直线AP的方程为y=k（x+a），由得：（1+a2k2）x2+2a3k2x+a4k2﹣a2=0，设点M（x M，y M），∴x M•（﹣a）=，故x M=，从而y M=k（x M+a）=，∴M（，），∵B（a，0），∴=（，），由BM⊥OP，可得•==0，即﹣2a4k2+4a2k2=0，∵k≠0，a＞0，∴a=，经检验，当a=时，O、N、P三点共线，∴曲线C的方程是：+y2=1．点评：本题考察了直线和圆锥曲线的问题，第一问中求出AP的方程是解题的关键，第二问中求出M点的坐标，利用向量垂直的性质是解题的关键，本题是一道难题．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1、l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：a=0或＜a＜；（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0时，h（x）≥1，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数求函数的单调区间，注意对参数a的分类讨论；（2）背景为指数函数y=e x与对数函数y=lnx关于直线y=x对称的特征，得到过原点的切线也关于直线y=x对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明；（3）利用导数处理函数的最值和不等式的恒成立求参数的范围问题，求导过程中用到了课后习题e x≥x+1这个结论，考查学生对课本知识的掌握程度．解答：（1）解：依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），对f（x）求导，得f′（x）=﹣a=．①若a≤0，对一切x＞0有f'（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．②若a＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f'（x）＜0．所以函数f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，+∞）．（2）解：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则y2=，k2=g′（x2）=e x2=，所以x2=1，y2=e，则k2=e x2=e．由题意知，切线l1的斜率为k1==，l1的方程为y=k1x=x．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则k1=f′（x1）=﹣a==，所以y1==1﹣ax1，a=﹣．又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得lnx1﹣1+﹣=0．令m（x）=lnx﹣1+﹣=0，则m′（x）=﹣=，m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．若x1∈（0，1），因为m（）=﹣2+e﹣＞0，m（1）=﹣＜0，所以x1∈（，1），而a=﹣在x1∈（，1）上单调递减，所以＜a＜．若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e，所以a=﹣=0（舍去）．综上可知，＜a＜（3）证明：h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）﹣ax+e x，h′（x）=ex+﹣a．①当a≤2时，因为e x≥x+1，所以h′（x）=ex+﹣a≥x+1+﹣a≥2﹣a≥0，h（x）在[0，+∞）上递增，h（x）≥h（0）=1恒成立，符合题意．②当a＞2时，因为h″（x）=ex﹣=≥0，所以h′（x）在[0，+∞）上递增，且h′（0）=2﹣a＜0，则存在x0∈（0，+∞），使得h′（0）=0．所以h（x）在（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，又h（x0）＜h（0）=1，所以h（x）≥1不恒成立，不合题意．综合①②可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，2]．点评：本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题及研究不等式恒成立问题．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB、CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1．（1）求证相交弦定理：AP•PB=PD•PC；（2）求圆心O到弦CD的距离．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；推理和证明．分析：（1）证明△APC∽△DPB，可得AP•PB=PD•PC；（2）利用垂径定理、勾股定理，即可求圆心O到弦CD的距离．解答：（1）证明：连接AC，DB，则有∠ACP=∠ABD，∠APC=∠DPB，∴△APC∽△DPB，∴，∴AP•PB=PD•PC；（2）解：由（1）知，AP•PB=PD•PC，可得2×2=1×PC，∴PC=4，过O作OM⊥CD于点M，由圆的性质可知CM=2.5，在△OMC中，d==．点评：本题考查三角形相似的判定与性质，考查垂径定理、勾股定理，考查学生的计算能力，比较基础．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．若点P（x，y）在曲线C的参数方程（θ为参数，θ∈R）上，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求的范围．（2）若射线θ=（ρ≥0）与曲线C相交于A，B两点，求|OA|+|OB|的值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）化圆的参数方程为普通方程，利用过原点的圆的切线的斜率求得的范围；（2）化圆的直角坐标方程为极坐标方程，和直线线θ=联立后，利用根与系数的关系求解．解答：解：（1）由，得（x﹣2）2+y2=3，如图，设过原点的直线方程为y=kx，由圆心（2，0）到直线的距离为，得，即，∴的范围为[]；（2）曲线C的极坐标方程可化为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，把θ=代入上式可得：，设A，B两点的极径分别为ρ1，ρ2，则．故|OA|+|OB|=．点评：本题考查参数方程化普通方程，考查直角坐标方程化极坐标方程，考查了直线和圆的位置关系，是基础题．【选修4-5：不等式选讲】24．（1）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|，求不等式f（x）＜2的解集；（2）若a，b，c都为正实数，且满足a+b+c=2，证明：++≥．考点：不等式的证明；绝对值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由条件把不等式的左边化为[3++++]，再利用基本不等式证得结论．解答：解：（1）根据f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|，由不等式f（x）＜2，可得①，或②，或③．解①求得＜x≤1，解②求得1＜x＜3，解③求得 x∈∅，综上可得，原不等式的解集为{x|＜x＜3}．（2）∵a+b+c=2，∴++=[++]=[3+++]=[3++++]≥（3+2+2+2）=，当且仅当a=b=c时，取等号，故++≥成立．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，用基本不等式证明不等式，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．。
广西梧州崇左两市联考高三上学期摸底数学理试题word版含解析
2广西梧州、案左两市联«2015届高三上学期摸底理数试題第I 卷（共60分）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有是符合题目要求的•1.已知集合 M={x| (x+1) (x — 3)V 0, x € R}, N={ - 1, 0, 1 , 2,【答案】A 【解析】试题分析|因次1山£=｛彳（兀+1）（瓦一3）"丄龙€盘｝ 1 < jr<3j 所显就0押={兀|-1 x V 3}「11 —1:0； 1L 2r. 3j — 10.1_ 2}故选A.考点：集合的运算• 2.已知复数z 满足（1+i ） z=2i ，贝U z=（【答案】C 【解析】试酸晰因机®』?删"春=需吿*考点：复数的运算• 3.设向量 二， 满足 | 二+1「：|=”；.汕，| i|=1 , | 1：：|=2，则二？ t ：等于B .【答案】D【解析】又因为 a =1, b =2，所以 1 +2a b +4 = 6，解得：a b =,2 故选D.3｝，则MAN 等于（）A {0 , 1 , 2}B . { - 1, 0, 1}C. { - 1 , 0, 2}D.{1 , 2, 3}A. — 1 + i B . - 1 - iC. 1 + iD.1- iD.试题分析：因为 a+b ）八6 ，所以 a b=6= a2+ 2ab+b =6考点：平面向量的概念与运算24. 已知双曲线C: M一-工=1 （a>0, b> 0）的离心率为则C的渐近线方程为（）2 L 2日bA. y=± 2xB. y=±_xC. y=± —xD. y=±_x2 3 4【答案】A【解析】试题分析’由题设*岳所= = = 2a a a a所以双曲线渐近线育程为：y = +-x即：y = ±lxa敕选A.考点：双曲线的简单几何性质•2 25. 已知（1+ax）（1 - x）的展开式中x的系数为5,贝U a等于（）A. 1B. - 1C. 2D. - 2【答案】D【解析】试题分析：因為的展开式中&的系数次ip1）=1—為，由题意：1—加=棗解得】a =-2.故选D考点：组合数与二项式定理•6. 执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）宇・- 」A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】B【解析】试题分析；运行■第一次，lr$ = S'次1 =1;$弐100成立；运行第二袂，* = 2^=1 + 3^2 = 7:^< 100^77；运行第三ifc,比=2 = 7 + ¥灯=3斗垃彳皿成立；运行第四次，A7 = <ff = 34+33x4 = Ulj <100不成立*退出循坏，输出比的值虫故选B.考点：循环结构•7. 若某物体的三视图如图所示，则该物体的体积是（）A. 10+6 nB. 10+20 nC. 14+5 nD. 14+20 n【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知该几何体杲一个长、宽、高分别为心0.5, 7的长方体与的个底面直径为h高为5的扇柱组成的组合眼所型该几何郎的体积卩=斗乂2灯十班冥（彳）x5 = 14+5^故选C.考点：1、三视图；2、空间几何体的体积•x+y<5&已知不等式组* ，则目标函数z=2y - x的最大值是（）L Q OA. 1B. - 1C. - 5D. 4【答案】A【解析】x+v^ 5试题分析’往平面直甬坐标系中，不等式组*丸-卩31所叢示的平面区域如下圏中的阴影部分所示,^>0由z=2y-x •得：v = 当2变化时，它表示T 经过可行域且互相平行的直线，直銭的斜率为「在*轴上的截距壮截距越大£越大，截距越小z 越小；由图可知当直线经过点止时，在卩轴上的截距最尢解方程组x — ¥ = 1右防严”的蚱次w所以当JC = 3V故选A.考点：线性规划•9.(x )的图象向右平移:个单位，所得图象对应函数为g ( x ),则( )A. f (x ) 的图象关于直线B. f (x ) 的图象关于点(C. f (x )的图象关于直线D.f (x ) 的图象关于点(K g x= 对称，g一，0)对称，(X图象关于原点对称 g (X )图象关于直线(X )图象关于原点对称【答案】C【解析】=sin2x5JT 1_=sin ——=—工 +l.^rUA3®5 A 不正确:6 2因为彳彳卜帥¥ = ¥ *乩所以选项B 不正蘇因淘子［专卜站彳二1：且^(x) = sin 2兀是奇西骯 所段选项C 正确； 因为" 菩卜""花=債寸彳卜£ = ¥工±1所识选项D 不正晞 故选C.考点：1、三角函数的图象和性质； 2、两角和与差的三角函数公式10.已知函数f (x ) =x 3+ax 2-9x+1，下列结论中错误的是()A. ? xo € R, f (xo ) =0B.“a=3”是“-3为f (x )的极大值点”的充分不必要条件C. 若xo 是f (x )的极小值点，贝U f (X )在区间(xo , +8) 单调递增D. 若3是f (x )的极值点，贝U f (x )的单调递减区间是(- 1, 3)【答案】 B【解析】试题分析匸因/lx) = x J + ax 1 -9x+1 + 所liA/F f Jt ) = 3x ；1+2ar-9 令 / (x) = 0+ 取衣1 + 2ac-4Ch因7(o(^)a -4x3x(-9)=4^+!()«>&,所以方程^ + 2ar-? = Q<两个不相等的买数根*设这两个根为见丹且X, exp 且\ -Xj = -3 »试题分析;因粉(护¥心冷—血Z 冷十翻“咱亠x -----12当x<\或工：：》花时，/* （x）> 0 ；当jq < x < 时，y r（x） < 0所以抄川戈）二空+&-%+1在区阖（YO声）和（甩皿）上都是増函甑在区佃（卷也）上为據函甑在工=耳处取得极犬值，在工=花处取有极小值.函数的值域为氐所以选项A正确；当“门=厂时，码=—3无=1,所UL-g为fg 的极大值点二反过来*若的极大值点J则*7是方程女7+ 2a-9“的一牛抿，由韦达定理知.另一根為冷=1,所以为f上）的极大值点1所以“沪3“量-3为f k）的极大値点"的充必豐乗件t所収选项B不正确；逸项。
梧州北海崇左五市高三5月联合模拟数学试题(理)含答案
高考桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合12|A x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，{}|ln(1)B x y x ==+，则A B =（ ）A ．[0,)+∞B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-2.下面是关于复数2z i =-的四个命题：1p ：||5z =；2p ：234z i =-；3p ：z 的共轭复数为2i -+；4p ：z 的虚部为1-，其中真命题为（ ） A ．2p ，3pB ．1p ，2pC ．2p ，4pD ．3p ，4p3.在如图所示的矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为线段BC 上的点，则AE DE ⋅的最小值为（ ） A ．12B ．15C ．17D ．164.如图是第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述正确的是（ ）①第一季度GDP 总量和增速均居同一位的省只有1个； ②与去年同期相比，第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长； ③去年同期的GDP 总量前三位是江苏、山东、浙江； ④同期浙江的GDP 总量也是第三位．A ．①②B ．②③④C ．②④D ．①③④5.若函数()2sin (01)f x x ωω=<<在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则ω=（ ） A ．14B ．13 C ．12D ．326.若11log 3a π=，3b e π=，31log cos 5c π=，则（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c a b >>7.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B =（ ）A ．15B ．29C ．31D ．638.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1a =，3b =，30A =︒，B 为锐角，那么角::A BC 的比值为（ ）A ．1:1:3B ．1:2:3C ．1:3:2D ．1:4:19.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．2045+B ．125+C ．2025+D ．125+10.在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，BAC ∆与BCD ∆均为等腰直角三角形，且90BAC BCD ∠=∠=︒，2BC =，点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AC 成30︒的角，则线段PA 的长度的取值范围是（ ）A ．2(0,2B ．6C ．2(2)2D ．62) 11.设P 为双曲线22115y x -=右支上一点，M ，N 分别是圆22(4)4x y ++=和22(4)1x y -+=上的点，设||||PM PN -的最大值和最小值分别为m ，n ，则||m n -=（ ） A ．4B ．5C ．6D ．712.ab 表示一个两位数，十位数和个位数分别用a ，b 表示，记()3f ab a b ab =++，如(12)123129f =++⨯⨯=，则满足()f ab ab =的两位数的个数为（ ）A ．15B ．13C ．9D ．7第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数x ，y 满足不等式组12,11,x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩则11y z x +=+的最大值是 ．14.已知1sin cos 5θθ+=，(,)2πθπ∈，则tan θ= ． 15.直线x a =分别与曲线21y x =+，ln y x x =+交于A ，B ，则||AB 的最小值为 ．16.设圆C 满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；③圆心到直线l ：20x y -=的距离为d ．当d 最小时，圆C 的面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知各项均为正数的等差数列{}n a 满足：422a a =，且1a ，4，4a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列2n n S n ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：3n T <． 18.某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x 年与年销量y （单位：万件）之间的关系如表：x1 2 3 4 y12284256（Ⅰ）在图中画出表中数据的散点图；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的散点图拟合y 与x 的回归模型，并用相关系数甲乙说明； （Ⅲ）建立y 关于x 的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？． 421()32.6ii y y =-≈∑5 2.24≈，41418i i i x y ==∑．参考公式：相关系数12211()()()()n iii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-．19.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别是棱1CC ，1BB 上的点，且2EC FB =．（Ⅰ）证明：平面AEF ⊥平面11ACC A ；（Ⅱ）若2AB EC ==，求二面角C AF E --的余弦值． 20.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率22e <．以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为3 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点00(,)P x y 为椭圆C 上一点，直线l 的方程为0034120x x y y +-=，求证：直线l 与椭圆C 有且只有一个交点． 21.设函数()ln nf x m x x=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-． （Ⅰ）求实数m ，n 的值； （Ⅱ）若1b a >>，()2a b A f +=，()()2f a f b B +=，()()1bf b af a C b a-=--，试判断A ，B ，C 三者是否有确定的大小关系，并说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()33πρθ+=．（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．23.选修4-5：不等式选讲 已知函数1()||2f x x a a=-+（0a ≠）． （Ⅰ）若不等式()()1f x f x m -+≤恒成立，求实数m 的最大值； （Ⅱ）当12a <时，函数()()|21|g x f x x =+-有零点，求实数a 的取值范围．高考桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联合模拟考试理科数学试卷答案 一、选择题1-5:ACBBC 6-10:BDBAB 11、12：CC二、填空题13.2 14.43-15.2 16.2π 三、解答题17.（Ⅰ）解：根据题意，等差数列{}n a 中，设公差为d ，422a a =，且1a ，4，4a 成等比数列，10a >， 即111132(),(3)16,a d a d a a d +=+⎧⎨⋅+=⎩解得12a =，2d =，所以数列{}n a 的通项公式为1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知12a d ==，则2(1)222n n n S n n n -=+⨯=+， ∴122n n n n S n b n +==⋅． ∴12323412222n n n T +=++++…，（*）231123122222n n n n n T ++=++++…，（**） ∴1231121111222222n n n n T ++=++++-…， ∴1121111(1)11111112222331222222212n n n n n n n n n n T ----+++=++++-=+-=--<-…．∴3n T <．18.解：（Ⅰ）作出散点图如图：（Ⅱ）由（Ⅰ）散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由题中所给表格及参考数据得：52x =，692y =，41418i i i x y ==∑421()32.6ii y y =-≈∑，42130i i x ==∑，4441115()()418138732iii iii i i x x y y x y x y===--=-=-⨯=∑∑∑，442222115()304()5 2.242i ii i x x x nx ==-=-=-⨯=≈∑∑， 41442211()()730.99962.2432.6()()iii iii i x x y y r x x y y ===--==≈⨯--∑∑∑．∵y 与x 的相关系数近似为0.9996，说明y 与x 的线性相关程度相当大， ∴可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（Ⅲ）由（Ⅱ）知：52x =，692y =，41418i i i x y ==∑，42130i x ==∑，421()5i i x x =-=∑，1221735ni ii nii x y nx yb xnx==-==-∑∑，697352252a y bx =-=-⨯=-， 故y 关于x 的回归直线方程为7325y x =-， 当5x =时，7352715y =⨯-=， 所以第5年的销售量约为71万件．19.（Ⅰ）证明：取线段AE 的中点G ，取线段AC 的中点M ，连接MG ，GF ，BM ，则12MG EC BF ==，又////MG EC BF ，∴MBFG 是平行四边形，故//MB FG ．∵MB AC ⊥，平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，∴MB ⊥平面11ACC A ，而//BM FG ， ∴FG ⊥平面11ACC A ， ∵FG ⊂平面AEF ， ∴平面AEF ⊥平面11ACC A ．（Ⅱ）以MA 、MB 、MG 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系M xyz -，则(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，(1,0,2)E -，3,1)F ，(2,0,0)AC =-，(3,1)AF =-，(2,0,2)AE =-，设平面ACF 的一个法向量111(,,)m x y z =，则有0,0,m AC m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111120,30,x x z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令11y =，则(0,1,3)m =，设平面AEF 的一个法向量222(,,)n x y z =，则有0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即22222220,30,x z x z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩令21x =，则(1,0,1)n =， 设二面角C AF E --的平面角θ， 则|||3|6cos |cos ,|||||22m n m n m n θ⋅-=<>===⋅⨯20.解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，由题设条件知，48a =，2a =，122232c b ⨯⨯⨯=，2224b c a +==，所以3b =1c =，或1b =，3c =，故椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）当00y =时，由2200143x y +=，可得02x =±， 当02x =，00y =时，直线l 的方程为2x =，直线l 与曲线C 有且只有一个交点(2,0)． 当02x =-，00y =时，直线l 的方程为2x =-，直线l 与曲线C 有且只有一个交点(2,0)-．当00y ≠时，直线l 的方程为001234x x y y -=，联立方程组0022123,4 1.43x x y y x y -⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得22220000(43)2448160y x x x x y +-+-=．①由点00(,)P x y 为曲线C 上一点，得2200143x y +=，可得22004312y x +=． 于是方程①可以化简为220020x x x x -+=，解得0x x =，将0x x =代入方程001234x xy y -=可得0y y =，故直线l 与曲线C 有且有一个交点00(,)P x y ，综上，直线l 与曲线C 有且只有一个交点，且交点为00(,)P x y ．21.解：（Ⅰ）2'()m n f x x x=-． 由于(1)0,'(1)1,f n f m n ==⎧⎨=-=⎩所以1m =，0n =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()ln f x x =．（i ）ln ln ln 10222a b a b A B ab++-=-=≥=, 而a b ≠，故A B >．（ii ）ln ln ln (1)2a b b b a a A C b a +--=---1()ln ln ln 2a b b a b b a a b a b a +⎡⎤=--++-⎢⎥-⎣⎦． 设函数()()lnln ln 2x a g x x a x x a a x a +=--++-，(0,)x ∈+∞， 则'()ln 2x a x a g x x x a+-=++，2()''()()a x a g x x x a -=+． 当x a >时，''()0g x >，所以'()g x 在(,+)a ∞上单调递增；又'()'()0g x g a >=，因此()g x 在(,)a +∞上单调递增．又b a >，所以()()0g b g a >=，即0A C ->，即A C >．（iii ）ln ln ln ln 12b b a a a b C B b a -+-=---1(ln ln )22a b a b b a a b b a ++=-+--． 设()ln ln 22x a x a h x x a x a ++=--+，(0,)x ∈+∞． 则111'()ln ln 2222a h x x a x =+--，有2''()2x a h x x -=． 当x a >时，''()0h x >，所以'()h x 在(,)a +∞上单调递增，有'()'()0h x h a >=． 所以()h x 在(,)a +∞上单调递增．又b a >，所以()()0h b h a >=，即0C B ->，故C B >．综上可知：A C B >>．22.解：（Ⅰ）因为直线l 的极坐标方程为cos()33πρθ+= 即13(cos )32ρθθ=330x -=． 曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去α， 可得22193x y +=． （Ⅱ）设点(3cos 3)P αα为曲线C 上任意一点，则点P 到直线l 的距离|32)23|3cos 3sin 23|42d πααα+---==， 故当cos()14πα+=-时，d 取最大值为3232． 23.解：（Ⅰ）1()||2f x m x m a a+=+-+． ∵()()||||||f x f x m x a x m a m -+=--+-≤，∴()()1f x f x m -+≤恒成立当且仅当||1m ≤，∴11m -≤≤，即实数m 的最大值为1． （Ⅱ）当12a <时，()()|21|g x f x x =+-1|||21|2x a x a =-+-+131,,2111,,221131,.22x a x a a x a a x a x a x a ⎧-+++<⎪⎪⎪=--++≤≤⎨⎪⎪-+->⎪⎩∴2min 11121()()02222a a g x g a a a-++==-+=≤， ∴210,2210,a a a ⎧<<⎪⎨⎪-++≤⎩或20,210,a a a <⎧⎨-++≥⎩ ∴102a -≤<，∴实数a 的取值范围是1[,0)2．。