第二章 流体静力学

p
gz c
重力有势！
流体静力学
§2.2 流体平衡微分方程式
三、等压面
1. 定义
流场中压强相等的各点组成的面。 dp 0
2. 微分方程
dp f x dx f y dy f z dz dp 0

f x dx f y dy f z dz 0 或
基准面 z1
静 水 头
p2 2
p0
p2
A' pe2/g
2
z2
z1
p1 1
1
p1
在重力作用下的连续均质不可压静止流体中，静水头线为水平线。
第二章 流体静力学
§2.3 流体静力学基本方程式
一、流体静力学基本方程式（续）
4.帕斯卡原理
p0 p （z h) a点压强： z g g
z
p0
上式即为流体平衡微分方程 (欧拉平衡微分方程)
第二章 流体静力学
§2.2 流体平衡微分方程式
一、平衡微分方程式（续）
2.压强差公式
dp
1 f x 1 fy 1 fz
p p p dx dy dz x y z
p 0 x p 0 y p 0 z
a
位 压 势 强 能 势 能 hp
z o x
在重力作用下的连续均质不可压静止流体中，各点的 单位重力流体的总势能保持不变。
第二章 流体静力学
§2.3 流体静力学基本方程式
一、流体静力学基本方程式（续）
3.几何意义
p z C g
位 置 水 头 压 强 水 头
pa
A
p1/g
完全真空
p0
A pa/g A' p2/g pe1/g z2
二、流体静压强的两个特性
2. 大小性
流体静压力与作用面在空间的方位无关，仅是该点坐标的函数。
1 1 p x dydz pn dA cos (n,x) f x ρ dxdydz 0 2 6
1 p x pn f x dx 0 3
略去无穷小项

y D
px
pz
pn
1 p p f dx 0 n x x 3 1 p y p n f y dy 0 3 1 p p f dz 0 n z z 3

px p y pz pn
z
dz
B
dy o dx
C x
py
第二章
流体静力学
p pb dydz pc dydz dxdydz x
f x ρdxdydz
y p- p/x•dx/2
p ρf xdxdydz dxdydz 0 x
f,p,ρ
a dx y z c
p+ p/x•dx/2
dy b
o z x
dz
x
1 p f x 0 x
第二章
2r 2
2g
2r 2
2
z)
gzs C
o y
r
y
x
2y 2r

p p0 g ( z s z ) p0 gh
第二章 流体静力学
x
2x
§2.5 液体的相对平衡
一、等角速旋转容器中液体的相对平衡（续）
3.与绝对静止情况比较
（1）等压面
绝对静止：
z
z c
第二章 流体静力学
h

p1 p2
A

§2.4 绝对压强 计示压强 液柱式测压计
二、液柱式测压计
4.补偿式微压计
p pa gh pe gh

pa pa pa p

h
第二章
流体静力学
§2.5 液体的相对平衡
一、等角速旋转容器中液体的相对平衡
z
容器以等角速度ω旋转

质量力
f x r cos x 2 2 f r sin y y f z g
x
2
2 2


y
2
2 2

积分
gz C
p0 o m
h zs z
r
2
2 2
y
gz C
等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 自由液面：
x0 y0
r
2
2 2

z 0
C 0
o
r
y
2y 2r
gzs 0
第二章 流体静力学
x
2x
§2.5 液体的相对平衡
一、等角速旋转容器中液体的相对平衡（续）
f dr 0
3. 性质
等压面恒与质量力正交。 f dr f dr 0

第二章
流体静力学
§2.3 流体静力学基本方程式
一、流体静力学基本方程式
1.基本方程式
作用在流体上的质量力只有重力 均匀的不可压缩流体
fx 0 fy 0 f z －g

p x f x p f y y p f z z

dp ( f x dx f y dy f z dz)
物理意义：
流体静压强的增量决定于质量力。
第二章
流体静力学
§2.2 流体平衡微分方程式
二、力的势函数和有势力
若存在函数π(x,y,z)满足 f=-gradπ,则称 f 有势，π为 f 的势函数。 若质量力 f 存在势函数，则π为 质量力 的势函数，质量力为有势力 对于不可压流体
P dP p lim dA A A
第二章
流体静力学
§2.1 流体静压强及其特性
二、流体静压强的两个特性
1. 方向性
流体静压力的方向总是沿着作用面的内法线方向；
原因:(1)静止流体不能承受剪力，即τ=0，故p垂直受压面；
(2)因流体几乎不能承受拉力，故p指向受压面。
第二章 流体静力学
§2.1 流体静压强及其特性
大气压强 p=pa
2.计示压强
以当地大气压强为基准计量的压强。 表压： p pa 真空： p pa
p<pa
绝对 压强 完全真空 p=0
pe p pa gh
o
pv pa p pe
第二章
流体静力学
§2.4 绝对压强 计示压强 液柱式测压计
二、液柱式测压计
1.测压管
p d ( f x dx f y dy f z dz) f 0 x x 重力是否有势？ f 0 y y g fz z dp
第二章
源自文库

p f grad

dp gdz

dz
dp 0 g
z
g
p0
1
积分得：
p z C g
z1 p1 p z2 2 g g
第二章 流体静力学
o
p1
2
p2
z1
z2
基准面
x
§2.3 流体静力学基本方程式
一、流体静力学基本方程式（续）
2.物理意义
z p C g
总 势 能
z
p0
h
hp p
2 2
p0 o
m
h z
zs
y
o
r
y 2y 2r
x
2x
第二章
流体静力学
§2.5 液体的相对平衡
一、等角速旋转容器中液体的相对平衡（续）
质量力
f x 2r cos 2 x f y 2r sin 2 y f z g
z
1.等压面方程
dp 2 xdx 2 ydy gdz 0
一、水平平面上的液体总压力
各点压强大小： 处处相等
各点压强方向： 方向一致
F pe A ghA
a pa d a pa d a pa d a h A b c b A c b A c b A c pa d
第二章
流体静力学
§2.6 静止液体作用在平面上的总压力
二、倾斜平面上的液体总压力
第二章 流体静力学
§2.6 静止液体作用在平面上的总压力
二、倾斜平面上的液体总压力(续）
作用在平面ab上的总压力：

Fp A dFp g sin A ydA
由工程力学知：
A yd A yc A
hD hC h y yC
yD
受压面面积A对OX轴的静矩
故 Fp g ( yC sin ) A ghc A ( pc pa ) A
§2.2 流体平衡微分方程式
一、平衡微分方程式
在静止流体中取如图所示微小六面体。 设其中心点a(x,y,z)的密度为ρ，压强为p，所受质量力为f。
y
f, p,ρ
dy o
a dx y z dz y
z
x 第二章 流体静力学
§2.2 流体平衡微分方程式
以x方向为例,列力平衡方程式
表面力： 质量力:
据 Fx 0,
p1 pA g (h h2 )
△z
p2 pB g (h z) 2 gh2
B

pA g (h h2 ) pB g (h z) 2 gh2
1
h2 2
2
pA pB g (z h2 ) 2 gh2 gz 2 g (h2 h)
2 2
水平面
相对静止： r gz C 2
p0 o m
h zs z
旋转抛物面
y
（2）压强分布
绝对静止： 相对静止：
p p0 gh
p p0 g ( zs z) p0 gh
o y
r
y
x
2y 2r
h－任一点距离自由液面的淹深
第二章 流体静力学
x
2x
§2.6 静止液体作用在平面上的总压力
hD hC h
y

yC
yD
g sinyc AyD g sin y 2 dA
hc yc sin
pc pa ghc
即静止液体作用在平面上的总压力等于受压面面积与其形心 处的相对压强的乘积。
第二章 流体静力学
§2.6 静止液体作用在平面上的总压力
二、倾斜平面上的液体总压力（续）
3. 总压力的作用点
合力矩定理：合力对某轴的矩等于 各分力对同一轴的矩的代数和。
Fp y D dFp y
h
hp p
a
p p0 gh
z o x
在重力作用下不可压缩流体表面上的压强，将以同一数值沿 各个方向传递到流体中的所有流体质点。
第二章
流体静力学
§2.4 绝对压强 计示压强 液柱式测压计
一、压强的计量
p
1.绝对压强
以完全真空为基准计量的压强。
计示 压强 绝对 压强 计示 压强 （真空）
p>pa
2. 静压强分布规律
dp ( xdx ydy gdz)
2 x2
2
2 2
z



积分
p (
2 y2
2
gz) C
p g (
2r 2
2g
z) C
p0 o m
h zs z
利用边界条件：
y
x0 z0
得： C p0
p p0 g (
p p0
p2 pa 2 gh2
p
ρ
h1
pa

p1 p2
p pa 2 gh2 gh1 pe 2 gh2 gh1
优点：可以测量较大的压强
第二章 流体静力学
1 ρ2
h2
2
A
§2.4 绝对压强 计示压强 液柱式测压计
二、液柱式测压计
3.U形管差压计
测量同一容器两个不同位置的压差或不同容器的压强差。
各点压强大小： 处处不相等
各点压强方向： 方向一致
1. 总压力的方向
总压力的方向垂直于受压的平面

2. 总压力的大小
作用在微分面积dA上的压力：
hD hC h
y
dFp pdA ghdA g ( y sin )dA
作用在平面ab上的总压力：
yC
yD
Fp A dFp g sin A ydA
流体静力学
§2.2 流体平衡微分方程式
一、平衡微分方程式（续）
1.平衡微分方程式 （续）
同理，考虑y，z方向，可得:
1 f x 1 fy 1 f z p 0 x p 0 y p 0 z
物理意义： 在静止流体中，单位质量流体 上的质量力与静压强的合力相平衡 适用范围： 所有静止流体或相对静止的流体。
《流体力学》 电子教案
第二章 流体静力学
§2.1
§2.2 §2.3 §2.4 §2.5
流体静压强及其特性
流体平衡微分方程式 流体静力学基本方程式 绝对压强 计示压强 液柱式测压计 液体的相对平衡
§2.6 力
静止液体作用在平面上的总压
第二章
流体静力学
§2.1 流体静压强及其特性
一、流体的静压强
流体处于绝对静止或相对静止时的压强
测压管是一根直径均匀的玻璃管，直接连在需要测量压强的 容器上，以流体静力学基本方程式为理论依据。
pa
表压 真空 优点：结构简单
pe gh
pv gh
p0
A
pv
h
h pa
缺点：只能测量较小的压强
第二章 流体静力学
§2.4 绝对压强 计示压强 液柱式测压计
二、液柱式测压计
2.U形管测压计
p1 p gh1