平面向量在高考中的题型分类
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平面向量
题型一、向量在几何中的运算
1.(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,
则EB = A .3144
AB AC - B .
1344AB AC - C .3144AB AC + D .1344AB AC + 2.(2016年天津)已知ΔABC 是边长为1的等边三角形,点E D ,分别是边BC AB ,的中点,连接DE 并延长到点F ,使得EF DE 2=,则AF BC ⋅的值为
A .85-
B .81
C .41
D .811
3.(2015安徽)ΑΒC ∆是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足2ΑΒ=a ,2ΑC =+a b ,则下列结论正确的是
A .1=b
B .⊥a b
C .1⋅=a b
D .()4ΒC -⊥a b
4.(2014新课标1)设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点,则=+FC EB
A .AD
B . AD 21
C . BC 2
1 D . BC 5.(2013福建)四边形ABCD 中,)2,4(),2,1(-==BD AC ,则该四边形的面积为
A .5
B .52
C .5
D .10
6.(2013新课标Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则
AE BD ⋅= .
7.(2013天津)在平行四边形ABCD 中,AD = 1,60BAD ︒∠=,E 为CD 的中点.若
·1AC BE =, 则AB 的长为 .
8.(2014新课标Ⅰ)已知A ,B ,C 是圆O 上的三点,若1()2
AO AB AC =+,则
AB 与AC 的夹角为 .
9.(2019天津理14)在四边形ABCD ,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥,
点E 在线段CB 的延长线上,且AE BE =,则BD AE ⋅= .
10.(2015山东)已知菱形ABCD 的边长为a ,60ABC ∠=,则BD CD ⋅=
A .232a -
B .234
a - C .234a D .232a 11.(2015新课标)设D 为ABC ∆所在平面内一点,3BC CD =,则
A .1433AD A
B A
C =-+ B .1433
AD AB AC =- C .4133AD AB AC =+ D .4133
AD AB AC =- 12.(2015四川)设四边形ABCD 为平行四边形,6AB =,4AD =.若点,M N
满足3BM MC =,2DN NC =,则AM NM ⋅=
A .20
B .15
C .9
D .6
13.(2014天津)已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD
,点,E F 分别在边,BC DC 上,BE λBC ,DF μDC .若1AE AF ,23CE CF ,则λμ
A .12
B .23
C .56
D .712
15.(2012天津)在△ABC 中,∠A =90°,AB =1,设点P ,Q 满足AP AB λ=,
(1)AQ AC λ=-,R λ∈.若2BQ CP ⋅=-,则λ=
A .13
B .23
C .43
D .2 16.(2010湖南)在边长为1的正三角形ABC 中, 设2,3,BC BD CA C
E ==
则AD BE ⋅=______.
17.(2019江苏12)如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,
AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅,则AB AC
的值是 .
18.(2017新课标Ⅲ)在矩形ABCD 中,1AB =,2AD =,动点P 在以点C 为圆
心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+,则λμ+的最大值为
A .3
B .22
C 5
D .2
19.(2015天津)在等腰梯形ABCD 中,已AB DC ∥,2AB =,1BC =,60ABC ∠=.
动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且BE BC λ=,19DF DC λ=
,则AE AF ⋅的最小值为 . 二、数量积运算
1.(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ,b 满足||1=a ,1⋅=-a b ,则(2)⋅-=a a b
A .4
B .3
C .2
D .0
2.(2016年山东)已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |,1cos ,3
<>=
m n .若()t ⊥+n m n ,则实数t 的值为 A .4 B .–4 C .94 D .–94
3.(2015重庆)若非零向量a ,b 满足223=
a ,且()(32)-⊥+a
b a b ,则a 与b 的夹角为
A .4π
B .2
π C .34π D .π 4.(2014新课标2)设向量a ,b 满足|+10a b |6-a b ⋅=a b
A .1
B .2
C .3
D .5
5.(2013浙江)设ABC ∆,0P 是边AB 上一定点,满足014
PB AB =
,且对于边AB 上任一点P ,恒有00PB PC P B PC ⋅⋅≥.则
A .090=∠ABC
B .090=∠BA
C C .AC AB =
D .BC AC =
6.(2010辽宁)平面上O ,A ,B 三点不共线,设OA=a ,OB =b ,则△OAB 的
面积等于
A B
C D
7.(2017山东)已知1e ,2e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60,则实数λ的值是 .
8.(2015新课标Ⅰ)设向量,a b 不平行,向量λ+a b 与2+a b 平行,则实数λ= ___.
9.(2013新课标Ⅰ)已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)=+-c ta t b ,若
0⋅=b c ,则t =_____.
10.(2013山东)已知向量AB 与AC 的夹角120,且|AB |=3,|AC |=2,若
AP AB AC λ=+,且AP BC ⊥,则实数λ的值为_____.
11.(2014山东)在中ABC ,已知tan AB AC A ⋅=,当6A π=
时,ABC 的面积
为 . 11.(2011江苏)已知1e ,2e 是夹角为π3
2的两个单位向量,122=-a e e ,12k =+b e e , 若0⋅=a b ,则k 的值为 .
12.(2011新课标)已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量a +b
与向量k a -b 垂直,则k =_____________.
13.(2011安徽)已知向量,a b 满足()()+2⋅-=-6a b a b ,且1=a ,2=b ,则a
与b 的夹角为 .
三、坐标数量积运算(建系)
1.(2019全国Ⅱ理3)已知AB =(2,3),AC =(3,t ),BC =1,则AB BC ⋅= A .-3
B .-2
C .2
D .3
2.(2016年山东)已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |,1cos ,3
<>=
m n .若()t ⊥+n m n ,则实数t 的值为 A .4 B .–4 C .94 D .–94
3.(2016年全国III )已知向量1(,22
BA = ,31(),22BC = 则ABC ∠=
A .30
B .45
C .60
D .120
4.(2014山东)已知向量(3,)m ==a b . 若向量,a b 的夹角为
6
π,则实数m =
A .
B
C .0
D . 5.(2014福建)在下列向量组中,可以把向量()3,2=a 表示出来的是
A .12(0,0),(1,2)==e e
B .12(1,2),(5,2)=-=-e e
C .12(3,5),(6,10)==e e
D .12(2,3),(2,3)=-=-e e
6.(2014重庆)已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ,则实数k =
A .92-
B .0
C .3
D .152
7.(2013辽宁)已知点(1,3)A ,(4,1)B -,则与向量AB 同方向的单位向量为
A .3455⎛⎫ ⎪⎝⎭,-
B .4355⎛⎫ ⎪⎝⎭,-
C .3455⎛⎫- ⎪⎝⎭,
D .4355⎛⎫- ⎪⎝⎭, 8.(2013湖北)已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为
A B C . D . 9.(2012陕西)设向量a =(1,cos θ)与b =(-1,2cos θ)垂直,则cos2θ等于
A .
2 B .12
C .0
D .-1
10.(2011广东)已知向量a =(1,2),b =
(1,0),c =(3,4).若λ为实数, ()λ+∥a b c ,则λ=
A . 14
B .12
C .1
D .2
11.(2011辽宁)已知向量(2,1)=a ,(1,)k =-b ,(2)0⋅-=a a b ,则=k
A .12-
B .6-
C .6
D .12
12.(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)=a ,(2,2)=-b ,(1,)λ=c .若(2)+∥c a b ,
则λ= .
13.(2016全国I)设向量(,1)m =a ,(1,2)=b ,且222||||||+=+a b a b ,则m = .
14.(2015江苏)已知向量(2,1)=a ,(1,2)=-b ,若(9,8)m n +=-a b (,m n ∈R ),
则m n - 的值为___.
15.(2014京)已知向量a 、b 满足1=a ,
(2,1)=b ,且0λ+=a b (R λ∈),则λ=__. 16.(2014四川)平面向量(1,2)=a ,(4,2)=b ,m =+c a b (m R ∈),且c 与a 的
夹角等于c 与b 的夹角,则m =____________.
17.(2010陕)向量a =(2,-1),b =(-1,m ),c =(-1,2),若(a +b ) ∥
c ,则m = .
18.(2018天津)如图,在平面四边形ABCD 中,AB BC ⊥,AD CD ⊥,
120BAD ∠=︒,1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点,则⋅AE BE 的最小值为
A .2116
B .32
C .2516
D .3
E
D
C B A
19.(2018浙江)已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为3π,向量b 满足2430-⋅+=b e b ,则||-a b 的最小值是 A .31-
B .31+
C .2
D .23- 20.(2017新课标Ⅱ)已知ABC ∆错误!未找到引用源。
是边长为2的等边三角形,
P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+错误!未找到引用源。
的最小值是
A .2-
B .32-
C .43
- D .1- 9.(2015福建)已知AB AC ⊥, 1AB t
=, AC t =,若点P 是ABC ∆所在平面内一点,且4AB
AC
AP AB AC =+ ,则PB PC ⋅ 的最大值等于
A .13
B .15
C .19
D .21
11.(2015湖南)已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动,且AB BC ⊥.若点P 的坐标为(2,0),则PA PB PC ++的最大值为
A .6
B .7
C .8
D .9
18.(2018上海)在平面直角坐标系中,已知点(10)A -,,(2,0)B ,E ,F 是y 轴
上的两个动点,且||2EF =,则AE BF ⋅的最小值为______.
19.(2017江苏)在平面直角坐标系xOy 中,(12,0)A -,(0,6)B ,点P 在圆O :
2250x y +=上,若20PA PB ⋅≤,则点P 的横坐标的取值范围是 .
20.(2017天津)在ABC △中,60A =︒∠,3AB =,2AC =.若2BD DC =,
AE AC AB λ=-()λ∈R ,且4AD AE ⋅=-,则λ的值为___________.
27.(2012江苏)如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==,
,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是 .
26.(2014湖南)在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0),(3,0),A B C -动
点D 满足||1CD =,则||OA OB OD ++的最大值是 .
27.(2013湖南)已知,a b 是单位向量,0⋅a b =.若向量c 满足1--=c a b ,则
c 的最大值为
A 1
B
C 1
D 2
28.(2013重庆)在平面上,12AB AB ⊥,121OB OB ==,12AP AB AB =+.若12OP <,则OA 的取值范围是
A .⎛ ⎝⎦
B .
⎝⎦ C .
⎝ D .⎝ 29.(2013湖南)已知,a b 是单位向量,0⋅a b =.若向量c 满足1--=c a b ,则
c 的最大值为
A 1
B C 1 D 2
四、模的运算
1.(2015陕西)对任意向量,a b ,下列关系式中不恒成立的是
A .||||||⋅≤a b a b
B .||||||||--≤a b a b
C .22()||+=+a b a b
D .22()()+-=-a b a b a b
2.(2014浙江)设θ为两个非零向量a ,b 的夹角,已知对任意实数t ,||t +b a 是
最小值为1
A .若θ确定,则||a 唯一确定
B .若θ确定,则||b 唯一确定
C .若||a 确定,则θ唯一确定
D .若||b 确定,则θ唯一确定
5.(2012浙江)设a ,b 是两个非零向量
A .若||||||+=-a b a b ,则⊥a b
B .若⊥a b ,则||||||+=-a b a b
C .若||||||+=-a b a b ,则存在实数λ,使得λ=b a
D .若存在实数λ,使得λ=b a ,则||||||+=-a b a b
6.(2017新课标Ⅰ)已知向量a ,b 的夹角为60°,||2=a ,||1=b ,则|2|+a b = .
7.(2017浙江)已知向量a ,b 满足||1=a ,||2=b ,则||||++-a b a b 的最小值
是 ,最大值是 .
8.(2017江苏)如图,在同一个平面内,向量OA ,OB ,OC 的模分别为1,1,
2,OA 与OC 的夹角为α,且tan 7α=,OB 与OC 的夹角为45.若OC =m OA +n OB (m ,n ∈R ),则m n += .
9.(2012安徽)若平面向量a ,b 满足:23-≤a b ;则⋅a b 的最小值是_____.
10.(2013北京)已知向量a ,b 夹角为o 45,且||1=a ,|2|10-=a b ||=b
11.(2013浙江)设1e ,2e 为单位向量,非零向量12x y =+b e e ,,x y ∈R ,若1e ,
2e 的夹角为6
π,则||||x b 的最大值等于________. 12.(2019浙江17)已知正方形ABCD 的边长为1,当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取
遍1±时,123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________,最大值是_______.。