运筹学经典讲义第10次(2)

f k (sk )的递推公式：
f k sk min C (u k ) E (sk ) f k 1 sk 1
uk U k s k
[其中sk 1 uk sk g (k )]
生产存储问题的基本方程：
f k s k mincu k E ( s k ) f k 1 s k 1 uk f 5 s5 0 [其中sk 1 uk sk g (k )]
s3 u3
f 3 s3
2 3
0 1 2 3
u *4
4 5
1
2 3
4
0 1
2 3
0 1 2
C E f 4 12 12 .5 13 13.5 11.5 12 12.5 13 8 11.5 12 12.5 8 11.5 12
* s3 u3
12
11.5
8 0
8 0
2
1
s3 u3
f 3 s3
C f2
u1
2
3
4
5
* 0 u1
f 1 0
21 21.5 22 21
2
21.5
* * 0 5 0 2 u2 u1
* 2 0 u3
* 0 4 u4
最优化原理： 一个过程的最优策略具有这样的性质，即无 论初始状态及初始决策如何，对于先前决策 所形成的状态而言，其以后的所有决策必构 成最优策略
最短路问题的基本方程：
f k s k min uk f 5 s5 0由后向前迭代源自d s k , u k
f k 1 s k 1 k=4,3,2,1
递推公式
最优化原理： 一个过程的最优策略具有这样的性质，即无论初始 状态及初始决策如何，对于先前决策所形成的状态 而言，其以后的所有决策必构成最优策略 对最短路问题：
k 4,3,2,1
动态规划的基本方程为：

f k s k opt d s k , u k
uk

f k 1 s k 1
f n1 sn1 0
k=n,n-1,n-2, …,3,2,1
其中opt为最优，可取min或max
最优化原理： 一个过程的最优策略具有这样的性质，即无论初始 状态及初始决策如何，对于先前决策所形成的状态 而言，其以后的所有决策必构成最优策略
即 若最优策略p *k ,n s k {uk * sk , uk 1 * sk 1 ,, un * sn }
p *k 1,n sk 1 {uk 1 * sk 1 ,, un * sn }
阶段k=1，2，3，4 状态变量sk=第k个月月初的库存量 决策变量uk sk 第k月月初库存量为 sk时该月的产量 第k月的费用 Lk sk , uk E(sk ) C(uk ) sk 1 uk sk g (k ) 状态转移方程： 策略p k , 4 s k 第k月月初库存量为 s k 时, 从本月到第四个月的生 产计划 {uk sk , uk 1 sk 1 ,, u4 s4 }
对最短路问题：
最短路问题的特点：
来源于动态规划 的最优化原理
如果最短路线在第 k阶段通过 s点，则由 s点出发到 达终点的这段路线对于 从s出发到达终点的所有可 能选择的不同路线来说 ，必是最短的
找最短路线的方法：
从最后一阶段开始，用 由后向前的方法，求出 各点到 终点的最短路线，最后 求得由起点到终点的最 短路线
例3（生产与存储问题）某工厂生产并销售某种产品。已知今四 个月市场需求预测如下表，又每月生产j个单位产品的费用为
i月 g(i)需求 1 2 2 3 3 2 4 4
0 c j 3 j
j0 j 1,2,6
每月库存i个单位产品的费用E(i)=0.5i(千元），该厂最大库存容 量为3个单位，每月最大生产能力为6个单位，计划开始和计划 期末库存量都是零，试制定四个月的生产计划，在满足用户需 求条件下，使总费用最小。
j0 j 1,2, 6
由
f k s k mincu k E (s k ) f k 1 s k 1 uk k 4,3,2,1 s 4 f 5 s5 0 u4 [其中sk 1 uk sk g (k )]
0 4 7 1 3 6.5 6.5 3 2 2 6 6 2 3 1
s2 u2
f 2 s 2
0 3 4 5 6 2 3
1 4 5 1
2 2 3 4 0 1
3 2 3
C E f 3 18 18.5 16 17 17.5 18 15.5 16.5 17 17.5 15 16 13.5 17 14.5 15.5
15 13.5 最优生产方案： * 5 4 s2 u2 0 第13 个月生产2个， 第 2个月生产 E s1 C (u1 ) f 2 s2 5个， 当k=1时，f1 s1 min u1 s1 3 个月生产 0 个， [其中s2 u1 s1 g (1)] , s1第 0 第 4 个月生产 4 个， f1 0 min C (u1 ) f 2 s 2 [其中s2 u1 g (1)] u1 0 总费用 21 0 s1 结论：f1 0 21 16 15.5
2 3
0
1
2
3
4 5
1
2 3
4
0 1
2 3
0 1 2
C E f 4 12 12 .5 13 13.5 11.5 12 12.5 13 8 11.5 12 12.5 8 11.5 12
* s3 u3
12
11.5
8 0
8 0
2
1
min C (u 2 ) E ( s 2 ) f 3 s3 当k=2时，f 2 (s 2 ) u 2 s2 [其中s3 u2 s2 g (2)] , s 2 0,1,2,3
当k=4时， f 4 ( s 4 ) mincu 4 E ( s 4 )
CE
5.5
5.5 1
f 4 (s4 )
7
4
s4 0,1,2,3
u4
u *4
i月
1
2 3
3 2
4 4
g(i)需求 2
s4 u4
CE
0 4 7 7 4
1 3 6.5 6.5 3
2
3
2 6
6 2
1
5.5
E(i)=0.5i，
f k ( s k ) Lk (sk , uk *) f k 1 (sk 1 )
当k 2,s 2 1时
U 2 1 u2 1
2,3,4,5
f 2 (1) L2 (1, u 2 *) f 3 (s3 )
sk 1 uk sk g (k ) 状态转移方程： s3 u2 s2 g (2) u2 1 3 u 2 2 若u 2 * 2 , 得s3 0 则L2 (1, u 2 *) f 3 (s3 ) L2 (1,2) f 3 (0)
阶段k=1，2，3，4 状态变量sk=第k个月月初的库存量 决策变量uk sk 第k月月初库存量为 sk时该月的产量 sk 1 uk sk g (k ) 状态转移方程：
策略p k , 4 s k 第k月月初库存量为 s k 时, 从本月到第四个月的生 产计划
指标函数V s k , pk , 4 第k月月初库存量为 s k 时, 从本月到第四 个月采用生产计划 pk , 4生产的总费用
最短路问题的基本方程：
f k s k min uk f 5 s5 0
d s k , u k
f k 1 s k 1 k=4,3,2,1
生产存储问题的基本方程为：
f k s k mincu k E ( s k ) f k 1 s k 1 uk d s k ,u k f 5 s5 0
s2 u2
f 2 s 2
0
3 4 5 6 2 3
1
4 5 1
2
2 3 4 0 1
3 2 3
C E f 3 18 18.5 16 17 17.5 18 15.5 16.5 17 17.5 15 16 13.5 17 14.5 15.5
* s2 u2
16 5
15.5
4
15 3
13.5 0

p *k 1 s k 1
f k ( s k ) V sk , p *k , 4 Li ( si , ui *)
i k
4
V s k 1 , p *k 1, 4
i i
? L (s , u *) f
k k k
Lk (sk , uk *)
0 c j 3 j j0 j 1,2,6
u3 s 3
f 4 (s4 )
5.5
1
当k=3时， f 3 (s3 ) min C (u3 ) E (s3 ) f 4 s 4
[其中s4 u3 s3 g (3)] , s3 0,1,2,3
E1 F ○
○
2
E ○
○ D ○
D1
2
若C1 D2 E1 F 是C1到F的最优策略（最短路）
C ○ C ○ C ○
1 2 3
B ○ B ○ B ○
1 2 3
A ○
则不论前面A如何到达B，B又如何到达C1 对状态 C1来说，必有： D2 E1 F是D2到F的最优策略 E1 F是E1到F的最优策略
若u 2 * 3 , 得s3 1 则L2 (1, u 2 *) f 3 (s3 ) L2 (1,3) f 3 (1)