2019版高考数学一轮总复习 8.5椭圆课件
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研考点 知规律 通法悟道
精品
17
问题探究 问题 1 在椭圆的定义中，若 2a＝|F1F2|或 2a<|F1F2|，则动点 的轨迹如何？ 当 2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段 F1F2；当 2a<|F1F2|时，动点 的轨迹是不存在的．
精品
18
问题 2 如何用待定系数法求椭圆的标准方程？
求椭圆的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个
k＋1>3－k，
解得 1<k<3.
答案 B
精品
13
3．已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0)，若椭圆短 轴的两个三等分点 M，N 与 F 构成正三角形，则椭圆的方程为 ________．
解析 因为△FMN 为正三角形，则 c＝|OF|
＝ 23|MN|＝ 23·23b＝1，解得 b＝ 3，而 a2＝b2＋c2＝4，所以 椭圆方程为x42＋y32＝1.
第八章 平面解析几何
精品
1
第五节 椭圆
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
精品
2
高考明方向
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范 围、对称性、顶点、离心率)．
2.了解椭圆的简单应用． 3.理解数形结合的思想.
精品
3
备考知考情 椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点， 几乎每年必考．尤其是离心率问题是高考考查的重点，多在选择、 填空中出现，主要考查学生结合定义、几何性质，分析问题、解 决问题的能力以及运算能力．如 2014 江西 14.在解答题中考查较 为全面，考查直线与椭圆的位置关系，并与向量、圆等知识相结 合，考查学生分析问题、解决问题的迁移能力及数形结合思想、 转化与化归思想.
答案 x42＋y32＝1
精品
14
知识点二
椭圆的几何性质
4.已知椭圆的方程为 2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为
________．
解析 椭圆 2x2＋3y2＝m(m>0)可化为xm2＋ym2＝1，所以 c2＝m2 － 23
m
m3 ＝m6 ，因此
e2＝ca22＝m6 ＝13，即
e＝
3 3.
B.x32＋y2＝1
C.1x22 ＋y82＝1
D.1x22 ＋y42＝1
精品
21
(2)已知 F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2 且垂直
于 x 轴的直线交 C 于 A，Βιβλιοθήκη Baidu 两点，且|AB|＝3，则 C 的方程为( )
A.x22＋y2＝1
B.x32＋y22＝1
C.x42＋y32＝1
答案 A
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11
2．已知曲线k＋x2 1＋3－y2 k＝1(k∈R)表示焦点在 x 轴上的椭圆，
则 k 的取值范围是( )
A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，3)
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12
解析 因为曲线k＋x2 1＋3－y2 k＝1(k∈R)表示焦点在 x 轴上的椭
3－k>0， 圆，所以k＋1>0，
精品
4
J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
精品
5
知识点一
知识梳理 椭圆的定义
平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(__大__于___|F1F2|) 的点的轨迹叫椭圆，这两定点叫做椭圆的__焦__点___，两焦点间的距 离叫做_焦__距__．
精品
6
集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中 a>0，c>0， 且 a，c 为常数}．
2
答案
3 3
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15
5．椭圆 x2＋my2＝1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，则 m＝________.
解析 椭圆 x2＋my2＝1 可化为 x2＋y12＝1， m
因为其焦点在 y 轴上，所以 a2＝m1 ，b2＝1.
依题意知 m1 ＝2，解得 m＝14.
答案
1 4
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16
R 热点命题·深度剖析
方面去思考．“定形”就是指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴
为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上．“定
式”就是根据“形”设出椭圆方程的具体形式，若焦点在 x 轴上， 则设方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，若焦点在 y 轴上，则设方程为ay22＋xb22 ＝1(a>b>0)，若焦点位置不明确，可设方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，
(1)若__a_>_c_______，则集合 P 为椭圆； (2)若__a_＝__c______，则集合 P 为线段； (3)若__a_<_c_______，则集合 P 为空集．
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7
知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
标准方 程
xa22＋by22＝ 1(a>b>0)
图形
ya22＋bx22＝ 1(a>b>0)
n>0，m≠n)．“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的
系数 a，b 和 m，n.
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19
问题 3 求椭圆离心率的常用方法有哪些？ (1)求得 a、c 的值，直接代入公式 e＝ac求得；(2)列出关于 a， b，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据 b2＝a2－c2，消去 b，转化 成关于 e 的方程(或不等式)求解．
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20
高频考点
考点一
椭圆的定义及标准方程
【例 1】 (1)(2014·大纲全国卷)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)
的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，
B 两点．若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为( )
A.x32＋y22＝1
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8
精品
9
对点自测
知识点一
椭圆的定义及标准方程
1.已知 F1，F2 是椭圆1x62 ＋y92＝1 的两焦点，过点 F2 的直线交
椭圆于 A，B 两点，在△AF1B 中，若有两边之和是 10，则第三边 的长度为( )
A．6
B．5
C．4
D．3
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10
解析 根据椭圆定义，知△AF1B 的周长为 4a＝16，故所求的 第三边的长度为 16－10＝6.
D.x52＋y42＝1
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22
听课记录
(1)∵ax22＋yb22＝1(a>b>0)的离心率为
33，∴ac＝
3 3.
又∵过 F2 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，△AF1B 的周长为 4 3，
∴4a＝4 3，∴a＝ 3.
∴b＝ 2，∴椭圆方程为x32＋y22＝1，选 A.
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23
(2)由题意知椭圆焦点在 x 轴上，且 c＝1，可设 C 的方程为xa22＋ a2y－2 1＝1(a>1)，由过 F2 且垂直于 x 轴的直线被 C 截得的弦长|AB| ＝3，知点1，32必在椭圆上，代入椭圆方程化简得 4a4－17a2＋4 ＝0，所以 a2＝4 或 a2＝14(舍去)．故椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1.选 C.
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问题探究 问题 1 在椭圆的定义中，若 2a＝|F1F2|或 2a<|F1F2|，则动点 的轨迹如何？ 当 2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段 F1F2；当 2a<|F1F2|时，动点 的轨迹是不存在的．
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问题 2 如何用待定系数法求椭圆的标准方程？
求椭圆的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个
k＋1>3－k，
解得 1<k<3.
答案 B
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3．已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0)，若椭圆短 轴的两个三等分点 M，N 与 F 构成正三角形，则椭圆的方程为 ________．
解析 因为△FMN 为正三角形，则 c＝|OF|
＝ 23|MN|＝ 23·23b＝1，解得 b＝ 3，而 a2＝b2＋c2＝4，所以 椭圆方程为x42＋y32＝1.
第八章 平面解析几何
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1
第五节 椭圆
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
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2
高考明方向
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范 围、对称性、顶点、离心率)．
2.了解椭圆的简单应用． 3.理解数形结合的思想.
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3
备考知考情 椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点， 几乎每年必考．尤其是离心率问题是高考考查的重点，多在选择、 填空中出现，主要考查学生结合定义、几何性质，分析问题、解 决问题的能力以及运算能力．如 2014 江西 14.在解答题中考查较 为全面，考查直线与椭圆的位置关系，并与向量、圆等知识相结 合，考查学生分析问题、解决问题的迁移能力及数形结合思想、 转化与化归思想.
答案 x42＋y32＝1
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知识点二
椭圆的几何性质
4.已知椭圆的方程为 2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为
________．
解析 椭圆 2x2＋3y2＝m(m>0)可化为xm2＋ym2＝1，所以 c2＝m2 － 23
m
m3 ＝m6 ，因此
e2＝ca22＝m6 ＝13，即
e＝
3 3.
B.x32＋y2＝1
C.1x22 ＋y82＝1
D.1x22 ＋y42＝1
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(2)已知 F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2 且垂直
于 x 轴的直线交 C 于 A，Βιβλιοθήκη Baidu 两点，且|AB|＝3，则 C 的方程为( )
A.x22＋y2＝1
B.x32＋y22＝1
C.x42＋y32＝1
答案 A
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11
2．已知曲线k＋x2 1＋3－y2 k＝1(k∈R)表示焦点在 x 轴上的椭圆，
则 k 的取值范围是( )
A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，3)
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解析 因为曲线k＋x2 1＋3－y2 k＝1(k∈R)表示焦点在 x 轴上的椭
3－k>0， 圆，所以k＋1>0，
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4
J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
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5
知识点一
知识梳理 椭圆的定义
平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(__大__于___|F1F2|) 的点的轨迹叫椭圆，这两定点叫做椭圆的__焦__点___，两焦点间的距 离叫做_焦__距__．
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6
集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中 a>0，c>0， 且 a，c 为常数}．
2
答案
3 3
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15
5．椭圆 x2＋my2＝1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，则 m＝________.
解析 椭圆 x2＋my2＝1 可化为 x2＋y12＝1， m
因为其焦点在 y 轴上，所以 a2＝m1 ，b2＝1.
依题意知 m1 ＝2，解得 m＝14.
答案
1 4
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16
R 热点命题·深度剖析
方面去思考．“定形”就是指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴
为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上．“定
式”就是根据“形”设出椭圆方程的具体形式，若焦点在 x 轴上， 则设方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，若焦点在 y 轴上，则设方程为ay22＋xb22 ＝1(a>b>0)，若焦点位置不明确，可设方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，
(1)若__a_>_c_______，则集合 P 为椭圆； (2)若__a_＝__c______，则集合 P 为线段； (3)若__a_<_c_______，则集合 P 为空集．
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知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
标准方 程
xa22＋by22＝ 1(a>b>0)
图形
ya22＋bx22＝ 1(a>b>0)
n>0，m≠n)．“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的
系数 a，b 和 m，n.
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问题 3 求椭圆离心率的常用方法有哪些？ (1)求得 a、c 的值，直接代入公式 e＝ac求得；(2)列出关于 a， b，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据 b2＝a2－c2，消去 b，转化 成关于 e 的方程(或不等式)求解．
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高频考点
考点一
椭圆的定义及标准方程
【例 1】 (1)(2014·大纲全国卷)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)
的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，
B 两点．若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为( )
A.x32＋y22＝1
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对点自测
知识点一
椭圆的定义及标准方程
1.已知 F1，F2 是椭圆1x62 ＋y92＝1 的两焦点，过点 F2 的直线交
椭圆于 A，B 两点，在△AF1B 中，若有两边之和是 10，则第三边 的长度为( )
A．6
B．5
C．4
D．3
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10
解析 根据椭圆定义，知△AF1B 的周长为 4a＝16，故所求的 第三边的长度为 16－10＝6.
D.x52＋y42＝1
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22
听课记录
(1)∵ax22＋yb22＝1(a>b>0)的离心率为
33，∴ac＝
3 3.
又∵过 F2 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，△AF1B 的周长为 4 3，
∴4a＝4 3，∴a＝ 3.
∴b＝ 2，∴椭圆方程为x32＋y22＝1，选 A.
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23
(2)由题意知椭圆焦点在 x 轴上，且 c＝1，可设 C 的方程为xa22＋ a2y－2 1＝1(a>1)，由过 F2 且垂直于 x 轴的直线被 C 截得的弦长|AB| ＝3，知点1，32必在椭圆上，代入椭圆方程化简得 4a4－17a2＋4 ＝0，所以 a2＝4 或 a2＝14(舍去)．故椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1.选 C.