全维状态观测器

xˆ Axˆ L(y - yˆ ) Bu，xˆ (0) xˆ 0 yˆ Cxˆ
结论6.53[观测偏差状态方程] 对图6.23所示结构的全维状态观测器，表x为被观测系统状态， 为观测器
状态，则观测偏差
的状态方程为
(6.373)
xˆ
证：由
，并利用~x 被观x 测- xˆ系统状态方程和全维观测器状态方程，即可得到
~x (A- LC)~x，~x(0) ~x0 x0 - xˆ 0
~x x - xˆ
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~x x - xˆ
(Ax Bu) -[(A- LC)xˆ LCx Bu]
( A LC)(x - xˆ ) ( A LC)~x
对初始条件，可由
~x
直接导出。
x - xˆ
结论6.54[观测偏差表达式] 对图6.23所示结构的全维状态观测器，
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状态重构实质
u
B+
x C
y
+
A
状态观测器
x
状态重构直观说明
状态重构的实质是，对给定确定性线性时不变被观测系统 ，构造与 具有相同属性的一个系
统 ˆ，利用 中可直接量测的输出y和输入u作为 的输入，ˆ并使 状态或其变ˆ 换 在一定指标提xˆ法下
等价于 状态x。等价指标的提法通常取为渐近等价，即
全维状态观测器
xp809584068
状态重构和状态观测器
状态重构即状态观测器的提出，主要是为了解决状态反馈在性能上的不可替代性和在物理上的不能实现性 的矛盾。
（1）不可替代性：先前各节中极点配置，镇定，动态解耦控制，静态解耦控制，渐进跟踪和扰动控制， 以及线性二次型最优控制等都有赖于状态反馈才能实现。
的表达式为
(6.375)
~x x - xˆ
证：利用线性时不变系统零输入响应关系式~x(，t)由式e((6A.3L7C3))t即~x0可，导t 出 式0 (6.375).
结论6.55[ 全维观测器渐近等价条件] 对图6.23所示结构n维全维状态观测器，存在nxq反馈矩阵L使成立
充分必要条件是被观测系统 不能观测部分l为im渐xˆ近(t稳) 定l，im充x分(t条) 件为被观测系统(A,C)完全能观测。
（2）物理上的不能实现性：状态作为系统内部变量组，或由于不可能全部直接测量，或由于测量手段在 经济性和适用性上限制，使状态反馈的物理实现成为不可能或很困难的事。
解决状态反馈物理构成的途径：采用理论分析和对应算法的手段，导出在一定意义下等价于原状态的一个 重构状态，并用重构状态代替真实状态组成状态反馈。
A,B,C，按相同结构建立一个复制系统。反馈是指，取被观测系统输出y和复制系统输出 的差值作为修
正变量，经增益矩阵L反馈到复制系统中积分器组输入端以构成闭环系统。
yˆ
u
B+
+
x C
y
+
B ++
A L
xˆ
+
-
yˆ
C
A
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图6.22方案I全维状态观测器构造思路图
5
引入反馈项 L(y - C的xˆ必) 要性
t
完全等同于被观测状态x。
xˆ
函数观测器特点：以重构被观测系统状态的函数如反馈线性函数kx为目标，将等价指标取
为重构输出w和被观测状态函数kx的渐近等价，即
结构角度：全维观测器和降维观测器
k为常数阵
limw(t) limkx(t)
t
t
维数等于被观测系统的状态观测器称为全维观测器，维数小于被观测系统的状态观测器为
并且，称 状态 为被观测系统 状态x的重构状态lt，im所xˆ构(t造) 系 统ltim为x(被t)观测系统 的一个状态观测器。
ˆ xˆ
ˆ
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观测器的分类
对线性时不变被观测系统，观测器也是一个线性时不变系统，观测器可按两种方式
进行分类。
功能角度：状态观测器和函数观测器。
状态观测器特点：以重构被观测系统状态为目标，当 即系统达到稳定时可使重构状态
证：基于对偶原理，(A,C)能观测性等价于 t 能控t性。由此，并利用线性时不变系统镇定问题对应
结论，即可证得
，等价地这又意味着
。
( AT , CT )
结论6.56[全维观测器ltim极 ~x点(t配) 置0] 对图6.23所示结构n维全维ltim状 xˆ态(t观) 测 器ltim， x存(t在) nxq反馈矩阵L可任意配置
(6.370)
相应结构图如图6.23所示，虚线框内为xˆ被观(测A系统L，C虚)xˆ线框L外y为全B维u 状态观xˆ测(0器) 。 xˆ 0
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u
B+
x C
y
+
A
L
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+
B ++
xˆ
A-LC
证 ：对按图6.22思路所给出的全维状态观测器，可图6以.23导方出案I：全维状态观测器的结构图
化简后可导出式（6.370）。
算法6.9[全维观测器综合算法] 给定完全能观测连续时间线性时不变被观测系统：
只有“复制”组成的开环状态观测器存在的问题：
1.对的系偏统差矩就阵会A随包t增含加不而稳扩定散特或征震值荡情，形不，可只能要满初足始渐状近态等价和目标存。在x 0很小xˆ的0偏差，系统状态x(t)和重构状态
xˆ2(.t对) 系统矩阵A为稳定情形，尽管系统状态x(t)和重构状态 最终趋于渐近等价，但收敛速度不能由设
计者按期望要求来综合，从控制工程角度这是不允许的。
xˆ (t)
3.对系统矩阵A出现摄动情形，开环型状态观测器由于系数矩阵不能相应调整，从而使系统状态x(t)和重
构状态 的偏差情况变坏。
xˆ (t) 引入反馈项就能克服或减少上述这些问题的影响。 结论6.52[全维观测器状态空间描述]对按图6.22思路组成的全维状态观测器，状态空间描述为
降维观测器。
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全维状态观测器：综合方案一
考虑n维连续时间线性时不变被观测系统：
x Ax Bu，x(0) x0，t 0 y Cx
其中 A Rnn，B Rnp，C ，R状q态n x不能直接量测，输出y和输入u是可以利用的。
(1)全维状态观测器的构造思路
方案I全维状态观测器在构造思路上由“复制”和“反馈”合成。复制就是，基于被观测系统的系数矩阵
观测器全部特征值，即对任给n个期望特征值
可找到nxq矩阵L使成立：
充分必要条件为被观测系统(A,C)完全能观测。
1，2，，n
i ( A LC ) i，i 1,2,，n
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证：基于对偶原理，(A,C)能观测性等价于 理，即可证得结论。
(能A控T ,性CT。)由此，并利用线性时不变系统的极点配置定