第6讲抛物线 2
高二数学竞赛专属课程第6讲 组合构造-例题简答
第六讲 组合构造例1. 城堡里有3个编号分别为1、2、3的按钮，打开城堡大门的密码是一个三位数，为了保证能打开城堡，最少需要按多少次按钮？（当且仅当连续且正确地依次按出密码的3位数字，才能打开城堡大门）【解析】：由1,2,3组成的不同的3位数共有27个.显然，除了所按的前两个数字之外，从第3个数字开始的一个数字都是一个3位数字的个位数字.可见，为了按出全部的27个3位数，至少要按29次按钮。
另一方面，当29次顺序如下时：11123222133313121223113233211时，满足要求．例2. 平面上是否存在100条直线，它们恰有1987个不同交点？【解析】：利用7326991997⨯+=考虑两组平行线分别有73、26条，最后1条独立，共形成1997个交点．从前两组平行线中各取5条，分别等距排列，让最后一条直线穿过形成的大平行四边形的对角线，可以少10个交点．例3. 求证：平面中存在100个点，使得任意两点之间的距离为无理数；且任意三点不共线，以这三点为顶点的三角形面积为有理数．【解析】：抛物线()20y x x =≥上的格点的集合()}{,|2,S x y x m m N ==∈，它是一个无穷集，并且满足条件（1）（2），只需验证（3）．任取()()()2221112223332,4,2,4,2,4A m m A m m A m m S ∈，则可计算出123A A A S ∆是偶数也可只满足后两个要求，再相似放大．例4. 平面上是否存在100个整点，任意三点不共线，且任意两点之间的距离为整数？【解析】：存在，转化为构造单位圆上100个有理点，任意两点之间的距离为有理数 让所有点所对旋转角的一半的三角函数取有理数值即可例5. 已知n 为正整数，求证：平面上存在一个有限点集n A ，使得n A 中每个点恰与n A 中n 个点的距离为1．【解析】：当1n =时，任取平面上距离为1的两点组成1A ．假设n k =时，存在满足要求的点集k A ．当1n k =+时，我们给出1k A +的构造． 以k A 中每一个点为圆心，1为半径作圆，标出这些圆之间的所有交点． 连结这些交点与所在圆的圆心，并连结k A 中所有距离为1的两点． 这样得到有限条长度为1的线段，取单位向量a 与上述线段都不平行． 将k A 沿向量a 平移得到点集k A '，则取1k kkA A A +'=即可．下面说明1k A +满足要求． 对k A 中的任意点P ，在k A 中恰有另外k 个点与P 距离为1． 考虑k A '中的点，设P 点沿a 平移得到点P '，则1PP '=．对连结k A 中所有距离为1的两点得到的线段，a 与其都不平行，故k P A '∉． 对k A '中另外一点Q '，设其对应k A 中的点Q ，则1QQ '=．若1PQ '=，则Q '为圆P 和圆Q 的交点，这样半径QQ '与a 平行，矛盾． 于是k A '中恰有一点到P 的距离为1．即1k A +中恰有1k +个点到P 的距离为1． 类似的，对k A '中任意一点，1k A +也恰有1k +个点到其距离为1． 综上可知原命题成立．例6. 将凸2017边形的每一个顶点都染上一种颜色，且任意相邻两个顶点异色．求证：一定存在2014条对角线，它们将这个多边形剖分成三角形，且每条对角线的两个端点颜色不同．【证明】：考虑多边形的边数()21n k k +=+∈的一般情形．对k 用数学归纳法证明．当1k =时，3n =，结论显然成立．设结论对k m =成立．当1k m =+时，设给定的凸23m +边形已按要求涂好颜色，则必有一个顶点A 于它的两个相邻顶点异色．若不然，则每个顶点的两个相邻顶点都同色．由于顶点数为奇数，故所有顶点都同色，此与已知矛盾．将顶点A 的相邻两个顶点连一条对角线，则它的两端点异色，并将原多边形分成一个三角形和一个凸22m +边形．如果在凸22m +边形中有一个顶点B ，它的相邻的两个顶点异色，那么这两个异色点间所连对角线又分出一个三角形和一个凸21m +边形，于是由归纳假设知结论成立．否则这个凸22m +边形的每个顶点的两个相邻顶点恰涂有这两种颜色，从而顶点A 与另外22m +个顶点均不同色．于是从A 出发的2m 条对角线将凸23m +边形完全剖分为21m +个三角形，即满足题中要求，这就完成了归纳证明．特别取1001,2003k n ==便知原题结论成立．例7. 平面上有一个无限大的方格棋盘，棋盘上有一个n n ⨯（2n ≥）的正方形中每个小方格里摆放了一枚棋子，其余小方格都空着．按下述规则进行操作：每一枚棋子都可以沿水平或竖直方向（即平行于网格线的方向）越过相邻的棋子，放进紧挨着这枚相邻棋子的空格里，并把相邻棋子从棋盘上取走． 求证：当3|n /时，一定可以经过有限次操作后使得棋盘上恰好剩下一枚棋子．【解析】：先说明按如下方式可以去掉13⨯中的棋子：再用归纳构造，2n =时,如下图方式操作4n =时，如图所示，去掉途中绿色的13⨯中的棋子变为2n =的情况； n k =时，构造3n k =+，去掉左上到右下的“L 形”……。
抛物线复习
ly
yl
o Fx F o x
x≥0，y∈R
x轴(开口向右)
F( p ,0) 2
x= - p 2
x≤0，y∈R
x轴(开口向左)
p
F(- ,0)
2 x= p
2
y F
o
x
l
y≥0，x∈R
y轴(开口向上)
p
F(0, )
2 y= - p
2
y l
o x
F
y≤0，x∈R
y轴(开口向下)
p
F(0,- )
2 y= p
的距离为d，由定义知
|PA|+|PF|=|PA|+d，
当PA⊥l时，7 |PA|+d最小，
7
2
2
最小值为 ，即|PA|+|PF|的最小值为 ，
此时P点的纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，
∴点P的坐标为（2，2）.
课堂互动讲练
【思维总结】 与抛物线有关的 最值问题，一般情况下都与抛物线的 定义有关．由于抛物线的定义在运用 上有较大的灵活性，因此此类问题也 有一定的难度．本题中的两小问有一 个共性，都是利用抛物线的定义，将 抛物线上的点到准线的距离与该点到 焦点的距离互相转换，从而构造出“两 点间线段最短”，使问题获解．
(2) 若抛物线的焦点为F，点P为抛物线上的点，则以焦 半径 |FP|为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所 有这样的圆过定点F,过顶点垂直于轴的直线是公切线。
y
（3）以抛物线的焦点弦为直
径的圆与它的相应准线相切
P
OF
x
课堂互动讲练
复习二 求抛物线的标准方程
根据给定条件求抛物线的标准方程时，由于标准 方程有四种形式，故应先根据焦点位置或准线确定方 程的标准形式，再利用待定系数法求解．如果对称轴 已知，焦点位置不确定时，可分类讨论，也可设抛物 线的一般方程求解．
高中数学必修抛物线教学讲义
03- 抛物线【知识点】一、抛物线的标准方程、种类及其几何性质() ：标准方程图形焦点准线范围对称轴极点离心率二、抛物线的焦半径、焦点弦轴（0，0）轴1.焦点弦：过抛物线焦点的弦，若，则(1) x0+，(2) ，－ p2(3)弦长 , ，即当 x1=x2时 , 通径最短为 2p(4)若 AB的倾斜角为θ，则 =（5） +=2.通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦。
过焦点的全部弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.3.的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.4、弦长公式：三、抛物线问题的基本方法1.直线与抛物线的地点关系2.直线，抛物线，3.，消 y 得：4.（ 1）当 k=0 时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；5.（ 2）当 k≠ 0 时，＞0，直线与抛物线订交，两个不一样交点；=0，直线与抛物线相切，一个切点；＜0，直线与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗（不必定）6.对于直线与抛物线的地点关系问题常用办理方法直线：抛物线，①联立方程法：设交点坐标为, ，则有 , 以及，还可进一步求出，在波及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方a.订交弦 AB的弦长或b.中点, ，②点差法：设交点坐标为，，代入抛物线方程，得将两式相减，可得a.在波及斜率问题时，b.在波及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线订交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件： 1）直线与抛物线有两个不一样的交点， 2）直线的斜率存在，且不等于零）【典型例题】考点 1 抛物线的定义题型利用定义, 实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的变换[ 例1 ]已知点P 在抛物线 y2= 4x 上，那么点P 到点Q（ 2，－ 1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为[分析]过点P 作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P 点为抛物线与垂线的交点时，获得最小值，最小值为点Q到准线的距离, 因准线方程为x=-1,故最小值为31. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列，则有（）A．B．C． D.［分析］C由抛物线定义，即：．2.已知点 F 是抛物线的焦点 ,M 是抛物线上的动点 , 当最小时 ,M点坐标是()A. B. C. D.[分析]设 M到准线的距离为, 则，当最小时，M点坐标是，选C考点2抛物线的标准方程题型 : 求抛物线的标准方程[ 例 2 ]求知足以下条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1) 过点 (-3,2)(2)焦点在直线上[ 分析 ] (1)设所求的抛物线的方程为或,∵过点 (-3,2)∴∴∴抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为(2)令得，令得，∴抛物线的焦点为(4,0) 或 (0,-2),当焦点为(4,0)时,∴，此时抛物线方程; 焦点为 (0,-2)时∴，此时抛物线方程.∴所求抛物线方程为或, 对应的准线方程分别是.3. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合, 则的值[分析]4.对于极点在原点的抛物线，给出以下条件：①焦点在 y 轴上；②焦点在 x 轴上；③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；④抛物线的通径的长为 5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2， 1）.能使这抛物线方程为y 2=10的条件是 ____________. （要求填写适合条件的序号）x[分析]用清除法，由抛物线方程y2=10x 可清除①③④，进而②⑤知足条件.5.若抛物线的极点在原点，张口向上， F 为焦点， M为准线与 Y 轴的交点， A 为抛物线上一点 , 且，求此抛物线的方程[ 分析 ]设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点 A 的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或考点 3抛物线的几何性质题型：相关焦半径和焦点弦的计算与论证[ 例 3 ] 设 A、 B 为抛物线上的点, 且 (O 为原点 ), 则直线 AB必过的定点坐标为__________.［分析］设直线OA方程为 , 由解出 A点坐标为解出 B 点坐标为，直线AB方程为 , 令得，直线AB 必过的定点增补：抛物线的几个常有结论及其应用结论一：若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。
北师大版初中数学九年级下册知识讲解(教学资料)：第6讲二次函数y=a(x-h)^2+ k(a≠0)的图像与性质(提高)
二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系；2.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题；3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax =2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax =2y ax k =+2()y a x h =-2()+(0y a x h k a =-≠）⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x 轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1. 已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a 、h 、k 的值；(2)在同一坐标系中，画出与的图象； (3)观察的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗? 【答案与解析】()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k，h k c bx ax y ++=2y m c bx ax y ++=2m c bx ax y +++=2m c bx ax y -++=2c bx ax y ++=2m c bx ax y ++=2c m x b m x a y ++++=)()(2c m x b m x a y +-+-=)()(22()y a x h k =-+212y x =-2()y a x h k =-+212y x =-2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+(1)∵ 抛物线向上平移2个单位长度， 再向右平移1个单位长度得到的抛物线是， ∴ ，1h =，． (2)函数与的图象如图所示．(3)观察的图象知，当时，y 随x 的增大而增大； 当时，y 随x 增大而减小，当x ＝1时，函数y 有最大值是2．(4)由图象知，对于一切x 的值，总有函数值y ≤2． 【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线平移后的抛物线的解析式，再对比得到a 、h 、k 的值，然后画出图象，由图象回答问题．举一反三：【变式】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象． （1）试确定a 、h 、k 的值；（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 【答案】（1）.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5）， 当x ≥1时，y 随x 的增大而减小； 当x ＜1时，y 随x 的增大而增大.212y x =-21(1)22y x =--+12a =-2k =21(1)22y x =--+212y x =-21(1)22y x =--+1x <1x >212y x =-2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+21(1)12y x =-+-2()y a x h k =-+1,1,52a h k =-==-2. 已知函数，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D ；【解析】函数 的图象如图： ，根据图象知道当y=3时，对应成立的x 恰好有三个，∴k=3． 故选D ．【总结升华】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用3.（2019秋•滨海县期末）已知：二次函数y=x 2﹣4x+3． （1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求出该抛物线与x 轴的交点坐标； （3）当x 取何值时，y ＜0． 【解析】解：（1）∵y=x 2﹣4x+3，∵y=（x ﹣2）2﹣1， ∵对称轴为：直线x=2， ∵顶点（2，﹣1）； （2）令y=0，则，x 2﹣4x+3=0， ∵（x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∵x 1=1，x 2=3，∵与x 轴的交点坐标为（1，0），（3，0）； （3）当1＜x ＜3时，y ＜0．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x 轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便． 举一反三：【变式】（2019秋•岑溪市期末）已知抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8． （1）直接写出它的顶点坐标： ，对称轴： ；()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞（2）x 取何值时，y 随x 增大而增大？ 【答案与解析】解：（1）抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1；故答案为（1，﹣8），直线x=1； （2）当x ＞1时，y 随x 增大而增大．4. 如图所示，抛物线的顶点为C ，与y 轴交点为A ，过点A 作y 轴的垂线，交抛物线于另一点B ．(1)求直线AC 的解析式； (2)求△ABC 的面积；(3)当自变量x 满足什么条件时，有? 【答案与解析】(1)由知抛物线顶点C(-1，0)，令x ＝0，得，∴ ．由待定系数法可求出，∴(2)∵ 抛物线的对称轴为x ＝-1，根据抛物线对称性知．∴ ． (3)根据图象知或时，有．【总结升华】 图象都经过A 点和C 点，说明A 点、C 点同时出现在两个图象上，A、C 两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．二次函数y=a （x -h)2+k(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题213(1)y x +2y kx b =+12y y >211)y x +y =A b =k =2y 211)y x +(B -122ABC S =⨯=△0x >1x <-12y y >1. 不论m 取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a ≠0)的顶点都( )A.在y=x 直线上B.在直线y=－x 上C.在x 轴上D.在y 轴上 2．二次函数的最小值是( )．A ．-2B ．2C ．-lD ．13．如图所示，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是( )． A ． B ． C ． D ．，0n ＜第3题 第5题4．（2019•牡丹江）将抛物线y=（x ﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点坐标是（ ）．A ．（0，2）B ．（0，3）C ．（0，4）D ．（0，7） 5．如图所示，抛物线的顶点坐标是P(1，3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是( )． A ． B ． C ． D ．6．若二次函数．当≤l 时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）A ．=lB ．>lC ．≥lD ．≤l二、填空题 7．（2019•巴中模拟）抛物线y=x 2+2x+7的开口向 ，对称轴是 ，顶点是 ．8．若点A （３，－４)在函数的图象上，则_ _.这个抛物线的对称轴是 ；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是 ．9．如果把抛物线向上平移－３个单位，再向右平移３个单位长度后得到抛物线，则求的值为 ；的值为 . 10．请写出一个二次函数，图象顶点为(-1，2)，且不论x 取何值，函数值y 恒为正数．则此二次函数为______ __． 11．若二次函数中的x 取值为2≤x ≤5，则该函数的最大值为 ；最小值为 ．12．已知抛物线y=x 2+x+b 2经过点，则y 1的值是_____.三、解答题2(1)2y x =-+h m =k n =k n >0k>3x >3x <1x >1x <2()1y x m =--x y x m m m m m 2)(m x y --==m 2)(b x a y +=3)2(212-+=x y a b 23(1)2y x =-+13．抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．14.（2019秋•湘西州期末）已知二次函数y=﹣x2+2（m﹣1）x+2m﹣m2的图象关于y轴对称，其顶点为A，与x轴两交点为B、C．（1）求B、C两点的坐标．（2）求∵ABC的面积．15．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE•的垂直平分线交AB于M，交DC于N．（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】抛物线y=a(x+m)2+m(a ≠0)的顶点为（-m,m ）,所以顶点在直线y=－x 上. 2.【答案】B ；【解析】当时，二次函数有最小值为2． 3.【答案】B ；【解析】由两抛物线对称轴相同可知，且由图象知，，0n ＜． 4.【答案】B ；【解析】抛物线y=（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3）， 所以平移后抛物线解析式为y=x 2+3，所以得到的抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）． 故选：B ．5.【答案】C ；【解析】由顶点坐标P(1，3)知抛物线的对称轴为直线，因此当时，y 随x 的增大而减小． 6.【答案】C ；【解析】画出草图进行分析得出结论.二、填空题 7．【答案】上，x=﹣1，（﹣1，6）． 【解析】∵y=x 2+2x+7，而a=1＞0， ∵开口方向向上，∵y=y=x 2+2x+7=（x 2+2x+1）+6=（x+1）2+6， ∵对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，6）．8．【答案】５或１； 直线x=5或直线x=1； 或（－１，－４）；【解析】因为点A （３，－４)在函数的图象上，所以把点A （３，－４)代入函数得或；对称轴是直线x=5或直线x=1；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是或（－１，－４）.9．【答案】 ，； 【解析】抛物线向上平移－３个单位得到，再向右平移３个单位长度得到，即与相同，故，.1x =2(1)2y x =-+h m =k n >0k >1x =1x >(7,4)-2)(m x y --=2)(m x y --=5m =1m =(7,4)-12a =5b =2)(b x a y +=2()3y a x b =+-2(3)3y a x b =+--2(3)3y a x b =+--3)2(212-+=x y 12a =5b =10．【答案】 等；【解析】答案不唯一，只要抛物线开口向上即可，即，所以或等均可． 11．【答案】50；5.【解析】由于函数的顶点坐标为(1，2)，，当时，y 随x 的增大而增大，当x ＝5时，函数在2≤x ≤5范围内的最大值为50； 当x ＝2时，函数的最小值为．12．【答案】；【解析】把1(,)4a -代入y=x 2+x+b 2得22104a a b +++=，221()02a b ++=， ，代入即可求得.三、解答题13.【答案与解析】∵ 抛物线y=3(x －2)2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴ A(2，0)，B(0，12)，∴ S △AOB =12，△AOB 的周长为14十．14.【答案与解析】解：由二次函数y=﹣x 2+2（m ﹣1）x+2m ﹣m 2的图象关于y 轴对称，得m ﹣1=0． 解得m=1．函数解析式为y=﹣x 2+1， 当y=0时，﹣x 2+1=0． 解得x 1=﹣1，x 2=1， 即B （﹣1，0），C （1，0）； （2）当x=0时，y=1，即A （0，1）， S △ABC =×2×1=1． 15.【答案与解析】（1）连接ME ，设MN 交BE 交于P ， 根据题意得MB=ME ，MN ⊥BE ．2(1)2y x =++0a >2(1)2y x =++22(1)2y x =++23(1)2y x =-+30a =>1x >23(21)25y =⨯-+=最小过N 作NF ⊥AB 于F ，在Rt △MBP 和Rt △MNF 中，∠MBP+∠BMN=90°， ∠FNM+∠BMN=90°，∠MBP=∠MNF ，又AB=FN ，Rt △EBA ≌Rt △MNF ，MF=AE=x ． 在Rt△AME 中，由勾股定理得 ME 2=AE 2+AM 2，所以MB 2=x 2+AM 2，即（2-AM ）2=x 2+AM 2，解得AM=1-x 2． 所以四边形ADNM 的面积S=×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2（1-x 2）+x=-x 2+x+2． 即所求关系式为S=-x 2+x+2． （2）S=-x 2+x+2=-（x 2-2x+1）+=-（x-1）2+． 当AE=x=1时，四边形ADNM 的面积S 的值最大，此时最大值是．1422AM DN AM AF AD ++⨯=141212121252125252。
第8章 第6讲 双曲线
列说法正确的是
( BCD )
A．当 m<0 时，曲线 C 表示椭圆
B．当 m<－1 时，曲线 C 表示焦点在 y 轴上的椭圆
C．当 m>0 时，曲线 C 表示双曲线，其渐近线方程为 y＝± mx
D．当 m>－1 且 m≠0 时，曲线 C 的离心率是 1＋m
第八章 解析几何
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〔变式训练 1〕
(1)在△ABC 中，B(4，0)，C(－4，0)，动点 A 满足条件 sin B－sin C ＝12sin A 时，则点 A 的轨迹方程为___x_42_－__1y_22_＝__1_(x_>_2__) ___.
(2)(2022·河南九师联盟摸底)双曲线x92－1y62 ＝1 的两个焦点分别是 F1，
＝2a，
所以PF2＝a，PF1＝3a；
因为∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得 4c2＝9a2＋a2－2×3a·a·cos 60°，
整理可得
4c2＝7a2，所以
e2＝ac22＝74，即
e＝
7 2.
故选 A．
第八章 解析几何
考点突破·互动探究
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考点一
双曲线的定义及其应用——自主练透
第八章 解析几何
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(2)设双曲线的右焦点为 F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|， 所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图形可知，当点 A，P，F1 共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1| ＝5，故所求的最小值为 9.
2023秋季初三AA第6讲代数综合
第6讲 代数综合模块1 求系数范围【经典例题】例1 在平面直角坐标系xOy中，点（x0，m），a﹣1，n），是抛物线y＝ax2﹣2a2x上的点，x0≠a﹣1．1）当x0＝2，m＝n时，求a和n的值；2）若﹣4≤x0≤﹣3时，mn＜0，求a的取值范围．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】 1）a＝1，n＝0；2）或a＞1．例2 在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，m），B（x0+4，n）在抛物线y＝x2﹣2bx+1上． 1）当b＝5，x0＝3时，比较m与n的大小，并说明理由；2）若对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，求b的取值范围．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【答案】 1）m＝n；2）4＜b＜5．例3 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1过点 2，1）．1）求b 用含a的式子表示）；2）抛物线过点M ﹣2，m），N 1，n），P 3，p），①判断：m﹣1）n﹣1）___0 填“＞”“＜”或“＝”）；②若M，N，P恰有两个点在x轴上方，求a的取值范围．【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．【答案】 1）b＝﹣2a；2）①＜；②，﹣＜a＜﹣或a＞1．例4 在平面直角坐标系xOy中，点 1，y1）， 3，y2）在抛物线y＝x2﹣2mx+m2上．1）求抛物线的对称轴用含 m的式子表示）；2）若y1＜y2，求m的取值范围；3）若点（x0，y0）在抛物线上，若存在﹣1＜x0＜0，使y1＜y0＜y2成立，求m的取值范围．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】 1）直线x＝m；2）m＜2；3）．模块2 求坐标范围【经典例题】例5 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4 a≠0）．1）求该抛物线的顶点坐标；2）当抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4 a≠0）经过点 3，0）时：①求此时抛物线的表达式；②点M（n﹣2，y1），N（2n+3，y2）在抛物线上，且位于对称轴的两侧，当y1＞y2时，求n 的取值范围．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】 1） 1，﹣4）； 2）①y＝x2﹣2x﹣3； 2）﹣1＜n＜．例6 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+ 2m﹣6）x+1经过点 1，2m﹣4）．1）求a的值；2）求抛物线的对称轴 用含m的式子表示）；3）点（﹣m，y1），m，y2），m+2，y3）在抛物线上，若y2＜y3≤y1，求m的取值范围．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【答案】 1）a＝1；2）直线x＝3﹣m；3）1＜m≤2．附加题1 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x a≠0）．1）当抛物线过点 2，0）时，求抛物线的表达式；2）求这个二次函数的对称轴 用含a的式子表示）；3）若抛物线上存在两点A a﹣1，y1）和B a+3，y2），当y1•y2＜0，求a的取值范围．【专题】二次函数的应用；应用意识．【答案】 1）抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；2）抛物线对称轴为直线x＝a；3）a的取值范围为1＜a＜3或﹣3＜a＜﹣1．附加题2 已知抛物线y＝ax2+bx+4的对称轴为直线x＝t．1）若点 2，4）在抛物线上，求t的值；2）若点 x1，3），x2，6）在抛物线上，①当t＝1时，求a的取值范围；②若t≤x1＜x2，且x2﹣x1≥1，直接写出a的取值范围．【专题】代数综合题；一元一次不等式（组）及应用；二次函数图象及其性质；数据分析观念；推理能力．【答案】 1）t＝1； 2）①a≥1或a≤﹣2；②0＜a≤3．【作业】作业1 已知：抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3 a＞0）．1）求此抛物线与y轴的交点坐标及抛物线的对称轴；2）已知点A（n，y1），B（n+1，y2）在该抛物线上，且位于对称轴的同侧．若|y2﹣y1|≤4，求a的取值范围．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】 1）抛物线与y轴交点坐标为 0，﹣3），对称轴x＝2；2）0＜a≤4．作业2 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+5 a≠0）与y轴交于点C．1）求点C的坐标及抛物线的对称轴；2）已知点（﹣1，y1）， 2，y2）， 6，y3）在该抛物线上，且y1，y2，y3中有且只有一个小于0，求a的取值范围．【专题】分类讨论；一次方程 组）及应用；二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】 1）C 0，5），抛物线y＝ax2﹣4ax+5的对称轴为直线x＝2；2）a的范围是a＞或﹣1≤a＜﹣．作业3 在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，0）， ﹣1，y1）， 1，y2）， 2，y3）在抛物线y＝x2+bx+c上．1）若y1＝y2，求y3的值；2）若y2＜y1＜y3，求y3的取值范围．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】 1）y3＝0．2）﹣4＜y3＜0．。
抛物线讲义
第五讲 抛物线教学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．2.了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．3.理解数形结合的思想.一、知识回忆 课前热身知识点1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．知识点2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0)|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p2例题辨析 推陈出新例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)假设B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．[自主解答](1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF交曲线于P点，那么所求的最小值为|AF|，即为 5.(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，那么|P1Q|＝|P1F|.那么有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.变式练习1．(1)假设点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，那么点P的轨迹方程是________．(2)过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，假设线段AB中点的横坐标为3，那么|AB|等于________．解析：(1)由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.(2)抛物线的准线方程为x＝－1，那么AB中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB|＝8.答案：(1)x2＝12y(2)8例2(1)抛物线y2＝24ax(a>0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，那么抛物线的方程为()A．y2＝8x B．y2＝12xC．y2＝16x D．y2＝20x(2)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．假设线段F A 的中点B 在抛物线上，那么B 到该抛物线准线的距离为________．[自主解答] (1)由题意知，3＋6a ＝5，a ＝13，那么抛物线方程为y 2＝8x .(2)抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，线段F A 的中点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4， 解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. [答案] (1)A (2)324变式练习2．直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，那么△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48解析：选C 设抛物线方程为y 2＝2px ，那么焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，得p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，所以△P AB 的面积为12×6×12＝36.例3过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 1)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，假设OC ＝OA ＋λOB ，求λ的值． [自主解答] (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立， 从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.变式练习3．直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，假设|F A |＝2|FB |，求k 的值．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1＋x 2＝8k 2－4，x 1x 2＝4.又由抛物线的定义可知|F A |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2， 所以x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2(x 2＋1)，代入x 1x 2＝4 得2(x 2＋1)x 2＝4，解得x 2＝1(x 2＝－2舍去)，将x 2＝1，x 1＝4代入x 1＋x 1＝8k 2－4得k 2＝89，由k >0，所以k ＝223.三、归纳总结 方法在握归纳4个结论——直线与抛物线相交的四个结论抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么有以下结论：(1)|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2α(α为AB 所在直线的倾斜角)；(2)x 1x 2＝p 24；(3)y 1y 2＝－p 2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p . 3个注意点——抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，假设是标准方程，那么要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程．(2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．(3)直线与抛物线有一个交点，并不说明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点.1．随着新课程改革的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产中实际应用为背景的应用问题已经进入教材，并且越来越受重视，在一些考试中越来越多的表达．2．解决此类问题，要把实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，抓住问题实质，利用数形结合，根据这些圆锥曲线的几何性质解决问题．四、拓展延伸 能力升华例1(2021·陕西高考)下列图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽____________米．[解析] 以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p ＝1，那么抛物线的方程为x 2＝－2y ，当水面下降1米时，为y ＝－3，代入抛物线方程得x ＝±6，所以此时水面宽为26米．[答案] 2 6变式练习 1.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，那么救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如下图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y ＝1249x 2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．假设此时两船恰好会合，求救援船速度的大小；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？解：(1)t ＝0.5时，P 的横坐标x P ＝7t ＝72，代入抛物线方程y ＝1249x 2，得P 的纵坐标y P ＝3.由|AP |＝9492，得救援船速度的大小为949海里/时． (2)设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t,12t 2)． 由v t ＝(7t )2＋(12t 2＋12)2， 整理得v 2＝144⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2＋337. 因为t 2＋1t 2≥2，当且仅当t ＝1时等号成立．所以v 2≥144×2＋337＝252，即v ≥25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．五、课后作业 稳固提高一、选择题(本大题共6小题，每题5分，共30分)1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，那么实数a ＝( ) A.52B.32C ．－12D ．－32解析：选D 把抛物线方程化为x 2＝－2⎝⎛⎭⎫12－a y ，那么p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a2，那么12－a 2＝1，解得a ＝－32.2．抛物线y 2＝4x ，假设过焦点F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 是坐标原点，那么△OAB 的面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选B 焦点坐标是(1,0)，A (1,2)，B (1，－2)，|AB |＝4，故△OAB 的面积S ＝12|AB ||OF |＝12×4×1＝2.3．直线y ＝x ＋1截抛物线y 2＝2px 所得弦长为26，此抛物线方程为( ) A ．y 2＝2xB ．y 2＝6xC ．y 2＝－2x 或y 2＝6xD ．以上都不对解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝2px ，得x 2＋(2－2p )x ＋1＝0.x 1＋x 2＝2p －2，x 1x 2＝1.那么26＝1＋12·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 2·(2p －2)2－4. 解得p ＝－1或p ＝3，故抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝6x .4．点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，那么点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线解析：选A 由点P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于点P 到点M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．5．(2021·湛江模拟)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x解析：选D 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1，故圆心坐标为(1，－3)，设抛物线方程为y 2＝2p 1x 或x 2＝－2p 2y ，那么(－3)2＝2p 1或1＝6p 2，得2p 1＝9或2p 2＝13，故抛物线方程为y 2＝9x 或x 2＝－13y ，那么y 2＝9x 或y ＝－3x 2.6．(2021·衡水模拟)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，假设△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，那么抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4. 得a ＝±8故抛物线方程为y ＝±8x .二、填空题(本大题共3小题，每题5分，共15分)7．以抛物线x 2＝－4y 的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是______________． 解析：抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝4. 答案：x 2＋y 2＝48．(2021·厦门模拟)动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，那么此动圆必过定点________．解析：因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)．答案：(1,0)9．(2021·安徽高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．假设|AF |＝3，那么|BF |＝________.解析：如图，设A (x 0，y 0)(y 0<0)，易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1，故由抛物线的定义得|AF |＝x 0－(－1)＝3，解得x 0＝2，所以y 0＝－2 2.故点A (2，－22)．那么直线AB 的斜率为k ＝－22－02－1＝－22，直线AB的方程为y ＝－22x ＋22，联立⎩⎨⎧y ＝－22x ＋22，y 2＝4x ，消去y 得2x 2－5x ＋2＝0，由x 1x 2＝1，得A ，B 两点横坐标之积为1，所以点B 的横坐标为12.再由抛物线的定义得|BF |＝12－(－1)＝32.答案：32三、解答题(本大题共3小题，每题12分，共36分)10．圆C 过定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解：(1)由题意，点C 到定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， 故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理有y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，那么N (－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|，＝12|ON ||y 1－y 2|＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4. ∵S △OAB ＝10，所以12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.11．假设椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的上顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)假设过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2， 由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1.那么椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， 所以p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，那么可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x .∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4k ＝0，那么Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0.又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12．(2021·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝⎛⎭⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离． 点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， 其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)， M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0， 圆的半径r ＝|MA |＝(x 0－1)2＋y 20，那么|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， 因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．。
学而思中考数学一轮复习第6讲.二次函数.提高班.教师版
考试内容考试要求层次A B C二次函数能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其它知识结合的有关问题本讲结构知识导航中考大纲剖析6中考第一轮复习二次函数初三寒假·第6讲·提高班·教师版初三寒假·第6讲·提高班·教师版1. a b c 、、的作用：①a 决定开口方向及开口大小. 0a ＞,开口向上；0a ＜，开口向下；a 越小开口越大；a 越大开口越小；a 相等, 开口大小相同.②a b 、共同决定对称轴的位置：对称轴在y 轴左侧，则a b 、同号；对称轴在y 轴右侧，则 a b 、异号，简称“左同右异” ③ c 决定与y 轴交点.2. 二次函数解析式的三种表示形式：① 一般式：()20y ax bx c a =++≠； ② 顶点式：()2y a x h k =-+或()224024b ac b y a x a a a -⎛⎫=++≠ ⎪⎝⎭；③ 交点式：()()12y a x x x x =--()0a ≠，其中12x x ，是方程20ax bx c ++=()0a ≠的两实根．3. ① 当02b a x a ><-，时，y 随x 的增大而减小；当02ba x a >>-，时，y 随x 的增大而增大．② 当02b a x a <<-，时，y 随x 的增大而增大；当02ba x a<>-，时，y 随x 的增大而减小．4. 二次函数与一元二次方程的联系：① 当240b ac ->时，抛物线与x 轴有2个交点，并且关于2bx a=-对称，两交点之间的距24b ac a-② 当240b ac -=时，抛物线与x 轴有1个交点，即为抛物线的顶点； ③ 当240b ac -<时，抛物线与x 轴没有交点．5. 抛物线平移的规律：按照八字原则“左加右减，上加下减”进行．或化成顶点式平移顶点.6. 抛物线()20y ax bx c a =++≠关于x 轴对称的抛物线解析式为2y ax bx c =---；关于y 轴对称的抛物线解析式为2y ax bx c =-+；关于原点对称的抛物线解析式为2y ax bx c =-+-；关于顶点对称的抛物线解析式为222b y ax bx c a=--+-.抛物线常见基本型的性质：0a ≠ 开口方向 对称轴 最值顶点坐标 单调性 2y ax =①0a >时开口向上; ②0a <时开口向下.y 轴（即直线0x =）0a >时min 0y = 0a <时max 0y = ()00，①当0a >时，对称轴左侧，y 随x 的增大而减小；对称轴右侧，y 随x 的增大而增大. ②当0a <时，对称轴左侧，y 随x 的增大而2y ax c =+y 轴（即直线0x =）0a >时min y c =0a <时max y c =(0)c ，初三寒假·第6讲·提高班·教师版次函数的图像和性质等基础知识（例1）第二个板块：能力提升主要复习二次函数的基本应用；如图像变换（例2），最值问题（例3），简单的代几综合：将军饮马（例4）；第三个板块：探索创新用来回顾二次函数同一元二次方程的结合，这是本讲次的重难点所在，这是北京中考23题常考类型，常见题型主要有三种类型：一是同方程、代数式变形结合（例5）；二是根的分布问题（例6）；三是数形结合（例7），数形结合常见类型如下：Ⅰ、a ＞0；①、不等式ax 2 + bx + c恒大于0； Ⅱ、b 2 - 4ac ＜0；2y ax bx =+直线2b x a=-0a >时2min 4b y a=-0a <时2max 4b y a=-2()24b b a a--，增大；对称轴右侧，y随x 的增大而减小. 2y ax bx c =++ 直线2b x a =-0a >时 2min44ac b y a-=0a <时2max44ac b y a-=24(,)24b ac b a a --2()y a x h =-或 2()2by a x a=+直线x h = 或直线 2b x a=- 0a >时min 0y = 0a <时max 0y = (0)h ，或 (,0)2ba- 2()y a x h k =-+或 224()24b ac b y a x a a-=++直线x h = 或直线 2b x a=-0a >时min y k =或2min44ac b y a-=0a <时max y k =或 2max44ac b y a-=()h k ，或24(,)24b ac b a a --1、二次函数y = ax2 + bx + c与x轴无交点Ⅰ、a ＜0；②、不等式ax2 + bx + c恒小于0；Ⅱ、b2 - 4ac＜0f (m) = am2 + bm + c ＜0；2、二次函数y = ax2 + bx + c有根m ＜x1＜n ( a ＞0，) f (n) = an2 + bn + c ＞0。
高考数学复习 知识讲解_抛物线的方程与性质_基础
高考数学复习 抛物线的方程与性质 编稿：张希勇 责编：李霞【学习目标】1．掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程.2．理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 3．能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题. 4. 进一步体会数形结合的思想方法. 【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．要点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导如图，以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴,垂足为K.以F,K 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p(p ＞0)，那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-. 设点M （x,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合}|||{d MF M P ==..|2|)2(|,2|,)2(||2222p x y p x px d y p x MF +=+-∴+=+-=将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>. ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p它的准线方程是2p x =-. 抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >。
要点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线220x y =-的一次项为20y -，故其焦点在y 轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线220x y =-的一次项20y -的系数为20-，故其焦点坐标是(0,5)-。
北师大版2021版高考数学(理)一轮复习 第九章平面解析几何第6讲抛物线练习(含答案)
北师大版2021版高考数学（理）一轮复习 第九章平面解析几何第6讲抛物线练习[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选D.由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p2＝2p ，解得p ＝8，故选D.2．(2020·河北衡水三模)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若A ，B ，C 三点坐标分别为(1，2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝10，则x 1＋x 2＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A.根据抛物线的定义，知|FA →|，|FB →|，|FC →|分别等于点A ，B ，C 到准线x ＝－1的距离，所以由|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝10，可得2＋x 1＋1＋x 2＋1＝10，即x 1＋x 2＝6.故选A.3．(2020·河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A.2512m B ．256 mC.95m D ．185m解析：选D.建立如图所示的平面直角坐标系． 设抛物线的解析式为x 2＝－2py ，p ＞0，因为抛物线过点(6，－5)，所以36＝10p ，可得p ＝185，所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185m ．故选D.4．(2020·河南安阳三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA ′⊥l ，垂足为A ′.若四边形AA ′PF 的面积为14，且cos ∠FAA ′＝35，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选C.过点F 作FF ′⊥AA ′，垂足为F ′.设|AF ′|＝3x ，因为cos ∠FAA ′＝35，故|AF |＝5x ，则|FF ′|＝4x ，由抛物线定义可知，|AF |＝|AA ′|＝5x ，则|A ′F ′|＝2x ＝p ，故x ＝p2.四边形AA ′PF 的面积S ＝（|PF |＋|AA ′|）·|FF ′|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋52p ·2p 2＝14，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .5．已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13 B ．23C.23D ．223解析：选D.设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ，易知l ：x ＝－2， 直线y ＝k (x ＋2)恒过定点P (－2，0)，如图，过A ，B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N ，由|FA |＝2|FB |，知|AM |＝2|BN |， 所以点B 为线段AP 的中点，连接OB ， 则|OB |＝12|AF |，所以|OB |＝|BF |，所以点B 的横坐标为1， 因为k ＞0，所以点B 的坐标为(1，22)，所以k ＝22－01－（－2）＝223.故选D.6．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为________．解析：由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |， 得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4.答案：47．过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的斜率为________．解析：设抛物线的准线为m ，分别过点A ，N ，B 作AA ′⊥m ，NN ′⊥m ，BB ′⊥m ，垂足分别为A ′，N ′，B ′.因为直线l 过抛物线的焦点，所以|BB ′|＝|BF |，|AA ′|＝|AF |.又N 是线段AB 的中点，|MN |＝|AB |，所以|NN ′|＝12(|BB ′|＋|AA ′|)＝12(|BF |＋|AF |)＝12|AB |＝12|MN |，所以∠MNN ′＝60°，则直线MN 的倾斜角为120°.又MN ⊥l ，所以直线l 的倾斜角为30°，斜率是33. 答案：338．(一题多解)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.答案：29．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.10．(2020·河北衡水二模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点M (2，m )(m ＞0)在抛物线上，且|MF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P (x 0，y 0)为抛物线上任意一点，过该点的切线为l 0，证明：过点F 作切线l 0的垂线，垂足必在x 轴上．解：(1)由抛物线的定义可知，|MF |＝m ＋p2＝2，①又M (2，m )在抛物线上，所以2pm ＝4，② 由①②解得p ＝2，m ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)证明：①当x 0＝0，即点P 为原点时，显然符合； ②x 0≠0，即点P 不在原点时， 由(1)得，x 2＝4y ，则y ′＝12x ，所以抛物线在点P 处的切线的斜率为12x 0，所以抛物线在点P 处的切线l 0的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，又x 20＝4y 0，所以y －y 0＝12x 0(x －x 0)可化为y ＝12x 0x －y 0.又过点F 且与切线l 0垂直的方程为y －1＝－2x 0x .联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －y 0，y －1＝－2x 0x ，消去x ，得y ＝－14(y －1)x 20－y 0.(*)因为x 20＝4y 0，所以(*)可化为y ＝－yy 0，即(y 0＋1)y ＝0， 由y 0＞0，可知y ＝0，即垂足必在x 轴上． 综上，过点F 作切线l 0的垂线，垂足必在x 轴上．[综合题组练]1．(2020·陕西西安一模)已知F 为抛物线C ：y 2＝6x 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．10D ．12解析：选B.抛物线y 2＝6x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 因为|AF |＝3|BF |， 所以x 1＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32，所以x 1＝3x 2＋3，因为|y 1|＝3|y 2|，所以x 1＝9x 2，所以x 1＝92，x 2＝12，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32＝8.故选B.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B ． 2 C.322D ．2 2解析：选C.由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3， 所以x 1＝2，y 1＝2 2. 设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty 消去x 得y 2－4ty －4＝0.所以y 1y 2＝－4，所以y 2＝－2，x 2＝12，所以S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322，故选C.3．(2020·江西九江二模)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，连接AF 并延长交抛物线C 于点D ，若AB 中点的纵坐标为|AB |－1，则当∠AFB 最大时，|AD |＝( )A ．4B ．8C ．16D ．163解析：选C.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)， 由抛物线定义得y 1＋y 2＋2＝|AF |＋|BF |， 因为y 1＋y 22＝|AB |－1，所以|AF |＋|BF |＝2|AB |，所以cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝3（|AF |2＋|BF |2）－2|AF |·|BF |8|AF |·|BF |≥6|AF |·|BF |－2|AF |·|BF |8|AF |·|BF |＝12，当且仅当|AF |＝|BF |时取等号．所以当∠AFB 最大时，△AFB 为等边三角形， 联立⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，消去y 得，x 2－43x －4＝0， 所以x 1＋x 3＝43，所以y 1＋y 3＝3(x 1＋x 3)＋2＝14. 所以|AD |＝16. 故选C.4．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则实数a 的取值范围为________．解析：如图，设C (x 0，x 20)(x 20≠a )，A (－a ，a )，B (a ，a )， 则CA →＝(－a －x 0，a －x 20)，CB →＝(a －x 0，a －x 20)． 因为CA ⊥CB ，所以CA →·CB →＝0，即－(a －x 20)＋(a －x 20)2＝0，(a －x 20)(－1＋a －x 20)＝0， 所以x 20＝a －1≥0，所以a ≥1. 答案：[1，＋∞)5．已知抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M .(1)求OA →·OB →；(2)设直线MF 与抛物线交于C ，D 两点，且四边形ACBD 的面积为323p 2，求直线AB 的斜率k .解：(1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2，得x 2－2pkx －p 2＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2pk ，x 1·x 2＝－p 2，所以y 1·y 2＝p 24， 所以OA →·OB →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝－34p 2.(2)由x 2＝2py ，知y ′＝x p，所以抛物线在A ，B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ，x 2p ，所以直线AM 的方程为y －y 1＝x 1p(x －x 1)，直线BM 的方程为y －y 2＝x 2p (x －x 2)，则可得M ⎝⎛⎭⎪⎫pk ，－p 2. 所以k MF ＝－1k，所以直线MF 与AB 相互垂直．由弦长公式知，|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4p 2k 2＋4p 2＝2p (k 2＋1)， 用－1k代替k 得，|CD |＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1，四边形ACBD 的面积S ＝12·|AB |·|CD |＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋k 2＋1k 2＝323p 2，解得k 2＝3或k 2＝13，即k ＝±3或k ＝±33. 6．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 解：设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①(1)由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p， 因为点N 在以AB 为直径的圆上，所以AN ⊥BN ， 所以－2p＝－1，所以p ＝2.(2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p(x －x 2)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝x1p（x －x 1），y －y 2＝x2p （x －x 2），结合①式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k2， 则△ABN 的面积S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，当k ＝0时，取等号，因为△ABN 的面积的最小值为4，所以22p ＝4，所以p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .。
高三数学复习(理)：第6讲 双曲线
第6讲双曲线[学生用书P184]1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线．(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线．(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形范围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R性质对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点 A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b a xy ＝±a b x离心率e ＝ca ，e ∈(1，＋∞)实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系 c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)3.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)．(2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 互相垂直． 常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a 2.5．P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)椭圆的离心率e ∈(0，1)，双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)．( ) (3)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)忽视双曲线的定义； (2)忽视双曲线焦点的位置；(3)忽视双曲线的渐近线与离心率的关系．1．平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________． 解析：由|PF 1|－|PF 2|＝6＜|F 1F 2|＝8，得a ＝3，又c ＝4，则b 2＝c 2－a 2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线y 29－x 27＝1的下支．答案：双曲线y 29－x 27＝1的下支2．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则双曲线的离心率为________．解析：若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则渐近线的方程为y ＝±b a x ，由题意可得b a ＝tan π3＝3，b ＝3a ，可得c ＝2a ，则e ＝ca ＝2；若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，则渐近线的方程为y ＝±a b x ，由题意可得a b ＝tan π3＝3，a ＝3b ，可得c ＝233a ，则e ＝233.综上可得e ＝2或e ＝233.答案：2或2333．(2020·高考全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝2x ，则C 的离心率为________．解析：由双曲线的一条渐近线为y ＝2x 可知，ba ＝2，即b ＝2a .在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2，所以c 2＝3a 2，所以e ＝ca ＝ 3.答案： 3[学生用书P185]双曲线的定义(多维探究) 角度一 利用定义求轨迹方程已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________．【解析】 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以 |MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y28＝1(x ≤－1)．【答案】 x 2－y 28＝1(x ≤－1)角度二 利用定义解决“焦点三角形”问题已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________．【解析】 由双曲线的定义有 |PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， 所以|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34.【答案】 34【迁移探究1】 (变条件、变问法)将本例中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，求△F 1PF 2的面积是多少？解：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝8，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝2 3.【迁移探究2】 (变条件、变问法)将本例中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，求△F 1PF 2的面积是多少？解：不妨设点P 在双曲线的右支上，则 |PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，由于PF 1→·PF 2→＝0， 所以PF 1→⊥PF 2→，所以在△F 1PF 2中，有 |PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4， 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2. 角度三 利用定义求解最值问题若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1，4)，则|PF |＋|P A |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12【解析】 由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4，0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4，0)，由双曲线的定义知|PF |＋|P A |＝4＋|PB |＋|P A |≥4＋|AB |＝4＋（4－1）2＋（0－4）2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．所以|PF |＋|P A |的最小值为9. 【答案】 B双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[提醒]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．1．(2020·高考全国卷Ⅲ)设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：选A.通解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P为双曲线右支上一点，则S△PF1F2＝12mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，又e＝c a＝5，所以a＝1，选A.优解：由题意得，S△PF1F2＝b2tan 45°＝4，得b2＝4，又c2a2＝5，c2＝b2＋a2，所以a＝1.2．(2020·贵阳市适应性考试)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P.若线段PF的中点为M，M在线段PT上，O为坐标原点，则|OM|－|MT|＝() A．b－a B．a－bC．c－a D．c－b解析：选A.如图，设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′.因为点M ，O 分别为线段PF ，FF ′的中点，所以|OM |＝12|PF ′|＝12(|PF |－2a )＝12|PF |－a ＝|MF |－a ，所以|OM |－|MT |＝|MF |－|MT |－a ＝|FT |－a .连接OT ，因为FT 是圆的切线，所以OT ⊥FT ，在Rt △FOT 中，|OF |＝c ，|OT |＝a ，所以|FT |＝|OF |2－|OT |2＝b ，所以|OM |－|MT |＝b －a .故选A.双曲线的标准方程(师生共研)(1)(一题多解)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2，1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 22－y 2＝1C.x 23－y 23＝1D ．x 2－y22＝1(2)(一题多解)若双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点(4，3)，则双曲线的标准方程为________．【解析】 (1)方法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程是x 22－y 2＝1.方法二：设所求双曲线方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2，1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.(2)方法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， 所以可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点(4，3)，所以λ＝16－4×(3)2＝4，所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.方法二：因为渐近线y ＝12x 过点(4，2)，而3<2，所以点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．所以双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.【答案】 (1)B (2)x 24－y 2＝1(1)求双曲线标准方程的答题模板(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)或mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．1．(2020·高考天津卷)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 24－y 2＝1D ．x 2－y 2＝1解析：选D.方法一：由题知y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，则过焦点和点(0，b )的直线方程为x ＋y b ＝1，而x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为x a ＋y b ＝0和x a －yb ＝0，由l与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a ＝1，b ＝1，故选D.方法二：由题知双曲线C 的两条渐近线互相垂直，则a ＝b ，即渐近线方程为x ±y ＝0，排除B ，C.又知y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，l 过点(1，0)，(0，b )，所以b －00－1＝－1，b ＝1，故选D.2．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为________．解析：因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且（4－a ）2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.答案：x 24－y 212＝13．经过点P (3，27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________． 解析：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，因为所求双曲线经过点P (3，27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝1双曲线的几何性质(多维探究) 角度一 求双曲线的渐近线方程(2021·南充市第一次适应性考试)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于2a ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．4x ±3y ＝0C ．3x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0【解析】由|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c 及双曲线的定义，得|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝2c ＋2a .如图，过点F 2作F 2Q ⊥PF 1于点Q ，则|F 2Q |＝2a ，在等腰三角形PF 1F 2中，|PQ |＝12|PF 1|＝c ＋a ，所以|PF 2|2＝|PQ |2＋|QF 2|2，即(2c )2＝(c ＋a )2＋(2a )2，解得a ＝35c ， 则b ＝c 2－a 2＝45c ，所以b a ＝43，该双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.【答案】 B求双曲线的渐近线的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)．[说明] 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x 轴，y 轴对称．角度二 求双曲线的离心率(1)(一题多解)(2021·安徽省部分重点学校联考)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且∠F 1PF 2为120°，则双曲线C 的离心率为( )A.3＋12B ．5＋12C. 5D.7(2)(2021·河北九校第二次联考)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，使得点F 2到直线PF 1的距离为a ，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，52B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞C ．(1，5)D ．(5，＋∞)【解析】 (1)通解：不妨设P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝120°，|F 1F 2|＝2c ，所以在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(4a )2＋(2a )2－2×4a ×2a cos 120°，化简整理得c 2＝7a 2，则e ＝7，故选D.优解：不妨设P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝120°，所以S △PF 1F 2＝12×4a ×2a ×sin 120°＝23a 2，又S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22＝b 23，所以23a 2＝b 23，所以b 2a 2＝6，e 2＝1＋b 2a 2＝7，则e ＝7，故选D.(2)双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .设直线PF 1的方程为y ＝k (x ＋c )，因为点P在双曲线的右支上，所以|k |＜b a ，F 2(c ，0)到直线PF 1的距离d ＝2|kc |k 2＋1＝a ，解得k 2＝a 24c 2－a 2＝a 23c 2＋b2，根据k 2＜b 2a 2，得a 4＜3b 2c 2＋b 4，所以a 4－b 4＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)c 2＜3b 2c 2，则a 2－b 2＜3b 2，即b 2a 2＞14，所以e 2＝1＋b 2a 2＞54，则e ＞52，故选B.【答案】 (1)D (2)B(1)求双曲线的离心率或其取值范围的方法①求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e .②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．(2)双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝ba ＝c 2－a 2a＝c 2a 2－1＝e 2－1.角度三 双曲线几何性质的综合应用(1)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 (2)(2021·潍坊模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2S △ABF 2＝( )A ．1B ．12 C.13D.23【解析】 (1)因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1， 所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＜0，即3y 20－1＜0，解得－33＜y 0＜33.(2)如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a .又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ， 因为∠F 1AF 2＝23π，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2. 由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ， 所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |， 所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ， 所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2， 所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12.故选B. 【答案】 (1)A (2)B(1)双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系．(2)与双曲线有关的取值范围问题的解题思路①若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解．②若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．1．(2020·开封市模拟考试)关于渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线有下述四个结论：①实轴长与虚轴长相等；②离心率是2；③过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等；④顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离比值为 2.其中所有正确结论的编号是( )A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③④解析：选C.因为双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，故此双曲线为等轴双曲线，即a ＝b ，c ＝2a ，则离心率e ＝2，故①②均正确．过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为2×b 2a ＝2a ，故等于实轴长，③正确．不妨取一个顶点(a ，0)，其到渐近线x ±y ＝0的距离d 1＝a 2＝22a ，焦点到渐近线的距离d 2＝b ，又a ＝b ，所以d 1d 2＝22，故④错误．综上可知，正确结论的编号为①②③，故选C.2．(2020·高考全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选B.由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .因为D ，E 分别为直线x ＝a 与双曲线C 的两条渐近线的交点，所以不妨设D (a ，b )，E (a ，－b )，所以S△ODE ＝12×a ×|DE |＝12×a ×2b ＝ab ＝8，所以c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝16，所以c ≥4，所以2c ≥8，所以C 的焦距的最小值为8，故选B.3．(2021·四省八校第二次质量检测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，A ，B 是双曲线上关于原点对称的两点，M 是双曲线上异于A ，B 的动点，直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1∈[1，2]，则k 2的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，14 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，－18 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－14 解析：选A.设A (x 1，y 1)，M (x ，y )，则B (－x 1，－y 1)．因为A ，M 均在双曲线上，所以x 21a 2－y 21b 2＝1 ①，x 2a 2－y 2b 2＝1 ②，所以x 21－x 2a 2＝y 21－y 2b 2，即y 2－y 21x 2－x 21＝b 2a 2.因为双曲线的离心率e ＝c a ＝52，所以a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，所以k 1·k 2＝y 1－y x 1－x ·－y 1－y －x 1－x ＝y 2－y 21x 2－x 21＝b 2a 2＝14，所以k 2＝14k 1，因为k 1∈[1，2]，所以k 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，14.[学生用书P405(单独成册)][A 级 基础练]1．“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，所以(25－k )(k －9)<0，所以k <9或k >25，所以“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2021·深圳市统一测试)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且渐近线经过点(1，－2)，则此双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 24－y 216＝1D.x 216－y 24＝1解析：选 B.由题意知，渐近线y ＝－ba x 过点(1，－2)，2c ＝25，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，所以双曲线的方程为x 2－y 24＝1，故选B. 3．(2021·广州市调研检测)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过F 作C 的渐近线的垂线FD ，垂足为D ，且满足|FD |＝12|OF |(O 为坐标原点)，则双曲线的离心率为( )A.233B ．2C ．3D.103解析：选A.根据双曲线的几何性质可知，焦点到渐近线的距离|FD |＝b ，而|OF |＝c ，依题意得b ＝12c ，代入c 2＝a 2＋b 2得c 2＝a 2＋14c 2，即34c 2＝a 2，所以c 2a 2＝43，c a ＝233.故选A.4．(2020·高考全国卷Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A.72 B ．3 C.52D ．2解析：选B.通解：设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2，0)，F 2(2，0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝16.不妨令点P 在双曲线C 的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝6，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6＝3.故选B.秒解：设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2，0)，F 2(2，0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以S △PF 1F 2＝b 2tan θ2＝3tan 45°＝3(其中θ＝∠F 1PF 2)．故选B.5．(2021·昆明市三诊一模)已知F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且F 2在C 的渐近线上的射影为点H ，O 为坐标原点，若|OH |＝|F 2H |，则C 的渐近线方程为( )A ．x ±y ＝0B ．3x ±y ＝0C ．x ±3y ＝0D ．x ±2y ＝0解析：选A.由题意F 2H ⊥OH ，所以|F 2H |＝|bc |a 2＋b2＝b ，又|F 2O |＝c ，所以|OH |＝c 2－b 2＝a ，又|OH |＝|F 2H |，所以a ＝b ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x＝±x ，即x ±y ＝0，故选A.6．(2021·贵阳市适应性考试)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，若△MF 1N 为正三角形，则该双曲线的离心率为( )A.13 B ．132C ．213D.72解析：选C.由⎩⎨⎧x ＝c ，y ＝±b a x 得⎩⎨⎧x ＝c ，y ＝±bc a ，于是|MN |＝2bca.因为△MF 1N 是正三角形，所以bc a ＝2c ·tan 30°＝23c 3，b a ＝233.因此，该双曲线的离心率e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋43＝73＝213，选C.7．(2020·东北三校第一次联考)已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝120°，则△F 1PF 2的面积为( )A ．2 3B ． 3C ．2 5D. 5解析：选B.由题意可知，a ＝1，b ＝3，c ＝2.不妨设点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，在△F 1PF 2中，因为∠F 1PF 2＝120°，所以由余弦定理得4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos 120°，即4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋3|PF 1||PF 2|＝4a 2＋3|PF 1||PF 2|，所以|PF 1||PF 2|＝4b 23，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin 120°＝3b 23＝3，故选B.8．(2020·福州市适应性考试)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1与l 2，若点A ，B 为l 1上关于原点对称的不同两点，点M 为l 2上一点，且k AM ·k BM ＝3ba ，则双曲线C 的离心率为( )A ．1B ． 2C ．2D. 5解析：选C.不妨设直线l 1的方程为y ＝b a x ，则直线l 2的方程为y ＝－ba x .设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，b a x 1，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，－b a x 2， 则点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1，－b a x 1，k AM ＝ba （x 1＋x 2）x 1－x 2，k MB ＝－b a x 1＋b a x 2－x 1－x 2＝ba （x 1－x 2）x 1＋x 2，所以k AM ·k BM ＝b 2a 2＝3b a ，所以b a ＝3，所以e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选C.9．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝110．(2020·高考全国卷Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________．解析：设B (c ，y B )，因为B 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1上的点，所以c 2a 2－y 2Bb 2＝1，所以y 2B ＝b 4a2.因为AB 的斜率为3，所以y B ＝b 2a ，b 2ac －a＝3，所以b 2＝3ac －3a 2，所以c 2－a 2＝3ac －3a 2，所以c 2－3ac ＋2a 2＝0，解得c ＝a (舍去)或c ＝2a ，所以C 的离心率e ＝ca ＝2.答案：2[B 级 综合练]11．(2020·合肥第一次教学检测)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，圆F 2与双曲线C 的渐近线相切，M 是圆F 2与双曲线C 的一个交点．若F 1M →·F 2M →＝0，则双曲线C 的离心率等于( )A. 5 B ．2 C ． 3D. 2解析：选A.双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 2(c ，0)，圆F 2与双曲线C 的渐近线y ＝±ba x 相切，故圆F 2的半径r 等于点F 2到直线bx ±ay ＝0的距离，所以r ＝b ，又M 是圆F 2与双曲线C 的一个交点，所以|F 2M |＝b ，|F 1M |＝2a ＋b ，又F 1M →·F 2M →＝0，所以F 1M →⊥F 2M →，又|F 1F 2|＝2c ，所以(2a ＋b )2＋b 2＝4c 2，所以b ＝2a ，e ＝ 1＋b 2a 2＝5，故选A.12．(2021·东北三校第一次联考)已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝120°，∠F 1PF 2的平分线交x 轴于点A ，则|P A |＝( )A.55B ．255C ．355 D. 5解析：选B.不妨设点P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则r 1－r 2＝2a ＝2.由余弦定理，知|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2.又|F 1F 2|＝2c ＝2a 2＋b 2＝4，代入上式，得r 21＋r 22＋r 1r 2＝16＝(r 1－r 2)2＋3r 1r 2，所以r 1r 2＝4，r 1＋r 2＝r 21＋r 22＋2r 1r 2＝16＋4＝25，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin ∠F 1PF 2＝S △F 1P A ＋S △APF 2＝12r 1·|P A |·sin ∠F 1PF 22＋12r 2·|P A |·sin ∠F 1PF 22，代入可得r 1r 2＝(r 1＋r 2)·|P A |，所以|P A |＝r 1r 2r 1＋r 2＝425＝255，故选B. 13．(2020·开封市第一次模拟考试)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，圆O ：x 2＋y 2＝a 2＋b 2与C 在第一象限、第三象限的交点分别为M ，N ，若△MNF 的面积为ab ，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2B ． 3C ．2 D. 5解析：选A.设双曲线的左焦点为F ′，连接MF ′，不妨设|MF ′|＝m ，|MF |＝n ，则m ＞n 且m －n ＝2a .①由题意知，FF ′为圆O 的直径，则△MFF ′为直角三角形，且∠F ′MF ＝π2，所以S △MFF ′＝12mn ，又易知S △MFF ′＝S △MNF ，所以12mn ＝ab ，②且有|MF ′|2＋|MF |2＝|F ′F |2，即m 2＋n 2＝(2c )2.③③可变形为(m －n )2＋2mn ＝(2c )2，把①②代入上式，整理得b 2＝ab ，所以b ＝a .所以所求双曲线的离心率e ＝ 1＋b 2a 2＝ 2.故选A.14．(2020·南充市第一次适应性考试)已知1＜m ＜4，F 1，F 2为曲线C ：x 24＋y 24－m ＝1的左、右焦点，点P 为曲线C 与曲线E ：x 2－y 2m －1＝1在第一象限的交点，直线l 为曲线C 在点P 处的切线，若△F 1PF 2的内心为点M ，直线F 1M 与直线l 交于N 点，求点M ，N 横坐标之差．解：联立两曲线方程，消去y 可得x ＝±2m ，设P (x 0，y 0)且x 0＝2m，y 0＝ （m －1）（4m －1），则直线l 的方程为x 0x 4＋y 0y 4－m＝1 ①，因为1＜m ＜4，所以4－m ＞0，所以|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＋|PF 2|＝4.设△F 1PF 2的内切圆半径为r ，则由等面积可得12|F 1F 2|·y 0＝12r (|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)，即2my 0＝(4＋2m )r ，所以r ＝my 02＋m＝y M ②，因为△F 1PF 2为双曲线的焦点三角形，M 为内切圆圆心，所以x M ＝1，直线F 1M 的方程为y ＝y M 1＋m(x ＋m ) ③，联立①②③，化简可得3mx ＝6m ，得x ＝2，所以x N ＝2，所以x M －x N ＝－1.[C 级 提升练]15．已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，直线l ：y ＝kx ＋m 与双曲线C 相交于A ，B两点(A ，B 均异于左、右顶点)，且以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，则直线l 所过定点为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 2＝1，得(1－4k 2)x 2－8kmx －4(m 2＋1)＝0，所以Δ＝64m 2k 2＋16(1－4k 2)(m 2＋1)＞0，x 1＋x 2＝8mk 1－4k 2，x 1x 2＝－4（m 2＋1）1－4k 2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 21－4k 2. 因为以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D (－2，0)，所以k AD ·k BD ＝－1，即y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝－1， 所以y 1y 2＋x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝0，即m 2－4k 21－4k 2＋－4（m 2＋1）1－4k 2＋16mk 1－4k 2＋4＝0， 所以3m 2－16mk ＋20k 2＝0，解得m ＝2k 或m ＝10k 3.当m ＝2k 时，直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，直线过定点(－2，0)，与已知矛盾；当m ＝10k 3时，直线l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋103，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0，经检验符合已知条件．故直线l 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0 16．已知P 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上的任意一点，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点．若点A ，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点，当AP →＝12PB →时，△AOB 的面积为2b .求双曲线C的实轴长．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由AP →＝12PB →，得(x －x 1，y －y 1)＝12(x 2－x ，y 2－y )，则x ＝23x 1＋13x 2，y ＝23y 1＋13y 2，所以（23x 1＋13x 2）2a 2－（23y 1＋13y 2）2b 2＝1. 由题意知A 在直线y ＝b a x 上，B 在y ＝－b a x 上，则y 1＝b a x 1，y 2＝－b a x 2.所以（23x 1＋13x 2）2a 2－（23y 1＋13y 2）2b 2＝1，即b 2(23x 1＋13x 2)2－a 2(2b 3a x 1－b 3a x 2)2＝a 2b 2，化简得a 2＝89x 1x 2，由渐近线的对称性可得sin ∠AOB ＝sin 2∠AOx＝2sin ∠AOx cos ∠AOx sin 2∠AOx ＋cos 2∠AOx ＝2tan ∠AOx tan 2∠AOx ＋1＝2b a （b a）2＋1＝2ab b 2＋a 2. 所以△AOB 的面积为12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12x 21＋y 21·x 22＋y 22·sin ∠AOB ＝12 x 21＋（b a x 1）2·x 22＋（－b a x 2）2·2ab b 2＋a 2 ＝x 1x 2·1＋（b a ）2·1＋（b a ）2·ab b 2＋a2 ＝98a 2·ab b 2＋a 2·[1＋(b a )2]＝98ab ＝2b ，解得a ＝169.所以双曲线C 的实轴长为329.。
2020年中考代数综合第6讲：二次函数图象的翻折问题
2020 年中考代数综合第 6 讲：二次函数图象的翻折问题【案例赏析】1.当x≤3 时，函数y＝x2﹣2x﹣3 的图象记为G，将图象G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图象G 的其余部分保持不变，得到一个新图象M，若直线y＝x+b 与图象M 有且只有两个公共点，则b 的取值范围是．2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A（3，0），B两点．（1）求抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）当﹣2＜x＜3 时的函数图象记为G，求此时函数y 的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图象G 的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若经过点C（4，2）的直线y＝kx+b（k≠0）与图象M 在第三象限内有两个公共点，结合图象求b 的取值范围．3.在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+2m﹣7的图象经过点（1，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）把﹣4＜x＜1 时的函数图象记为H，求此时函数y 的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象H 在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象H 的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y＝x+b 与图象M 有三个公共点，求b 的取值范围．4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x 轴交于A，B 两点，且点A的坐标为（3，0）．（1）求点B 的坐标及m 的值；（2）当﹣2＜x＜3 时，结合函数图象直接写出y 的取值范围；（3）将抛物线在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y＝kx+1（k≠0）与图象M 在直线左侧的部分只有一个公共点，结合图象求k 的取值范围．【专题突破】5.如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点P是坐标平面内一点，点P坐标（1，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接OP，若点D 在抛物线上且∠DBO+∠POB＝90°，求点D 的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+c 当﹣1≤x≤3 时的函数图象记为l1，将图象l1 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图象l1 的其余部分保持不变，得到一个新图象l2．若经过点P 的一次函数y＝mx+n 的图象与图象l2 在第四象限内恰有两个公共点，求n 的取值范围．6.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝﹣x2+2bx﹣3 的对称轴为直线x＝2．（1）求b 的值；（2）在y轴上有一动点P（0，m），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2．①当x2﹣x1＝3 时，结合函数图象，求出m 的值；②把直线PB 下方的函数图象，沿直线PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W 在0≤x≤5 时，﹣4≤y≤4，求m 的取值范围．7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝nx2﹣4nx+4n﹣1（n≠0），与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），与y轴交于点A．（1）求抛物线顶点M 的坐标；（2）若点A的坐标为（0，3），AB∥x轴，交抛物线于点B，求点B的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线在B，C 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G，若直线y＝x+m 与图象G 有一个交点，结合函数的图象，求m 的取值范围．8.在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+ mx+m2﹣3m+2 与x 轴的交点分别为原点O和点A，点B（4，n）在这条抛物线上．（1）求B 点的坐标；（2）将此抛物线的图象向上平移个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y＝x+b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．【参考答案】1.当x≤3 时，函数y＝x2﹣2x﹣3 的图象记为G，将图象G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图象G 的其余部分保持不变，得到一个新图象M，若直线y＝x+b 与图象M 有且只有两个公共点，则b 的取值范围是﹣3＜b＜1 或b＝．【分析】根据题意画出图形，进而利用直线y＝x+b 过（﹣1，0）以及（3，0）得出b 的值，再利用直线y＝x+b 与抛物线y＝x2﹣2x﹣3 有一个交点，求出答案．【解答】解：如图所示：∵y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3，解得：x1＝﹣1，x2＝3，当直线y＝x+b 过（﹣1，0）时，b＝1，当直线y＝x+b 过（3，0）时，b＝﹣3，故当﹣3＜b＜1 时，直线y＝x+b 与图象M 有且只有两个公共点，当直线y＝x+b 与抛物线y＝x2﹣2x﹣3 有一个交点，则x2﹣3x﹣3﹣b＝0 有两个相等的实数根，故△＝b2﹣4ac＝9+4（3+b）＝0，解得：b＝﹣，综上所述：直线y＝x+b 与图象M 有且只有两个公共点，则 b 的取值范是：﹣3＜b＜1 或b＝﹣．故答案为：﹣3＜b＜1 或b＝﹣．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确利用数形结合分析是解题关键．2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A（3，0），B两点．（1）求抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）当﹣2＜x＜3 时的函数图象记为G，求此时函数y 的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图象G 的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若经过点C（4，2）的直线y＝kx+b（k≠0）与图象M 在第三象限内有两个公共点，结合图象求b 的取值范围．【分析】（1）把点A 的坐标代入抛物线解析式，列出关于m 的方程，通过解该方程可以求得m 的值；（2）根据抛物线解析式求得对称轴，所以由抛物线的对称性和增减性进行解答；（3）根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．【解答】解：（1）将A（3，0）代入，得m＝1．∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．B点的坐标（﹣1，0）．（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4．∵当﹣2＜x＜1 时，y 随x 增大而减小；当1≤x＜3 时，y 随x 增大而增大，∴当x＝1，y 最小＝﹣4．当x＝﹣2，y＝5．∴y 的取值范围是﹣4≤y＜5．（3）当直线y＝kx+b 经过B（﹣1，0）和点（4，2）时，解析式为y＝x+．当直线y＝kx+b 经过（﹣2，﹣5）和点（4，2）时，解析式为y＝x﹣．结合图象可得，b 的取值范围是﹣＜b＜．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式．解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化，降低了解题的难度．3.在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+2m﹣7的图象经过点（1，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）把﹣4＜x＜1 时的函数图象记为H，求此时函数y 的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象H 在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象H 的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y＝x+b 与图象M 有三个公共点，求b 的取值范围．【分析】（1）把点（1，0）代入抛物线解析式，列出关于m 的方程，通过解该方程可以求得m 的值，从而得到抛物线的表达式；（2）根据抛物线解析式求得对称轴，所以由抛物线的对称性和增减性进行解答；（3）根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+mx+2m﹣7的图象经过点（1，0），∴1+m+2m﹣7＝0，解得m＝2．∴抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；（2）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4．∵当﹣4＜x＜﹣1 时，y 随x 增大而减小；当﹣1≤x＜1 时，y 随x 增大而增大，∴当x＝﹣1，y 最小＝﹣4．当x＝﹣4 时，y＝5．∴﹣4＜x＜1 时，y 的取值范围是﹣4≤y＜5；（3）y＝x2+2x﹣3与x轴交于点（﹣3，0），（1，0）．新图象M 如右图红色部分．把抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4 的图象x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1），当直线y＝x+b 经过（﹣3，0）时，直线y＝x+b 与图象M 有两个公共点，此时b＝3；当直线y＝x+b 与抛物线y＝﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1）相切时，直线y＝x+b 与图象M 有两个公共点，即﹣（x+1）2+4＝x+b 有相等的实数解，整理得x2+3x+b﹣3＝0，△＝32﹣4（b﹣3）＝0，解得b＝．结合图象可得，直线y＝x+b 与图象M 有三个公共点，b 的取值范围是3＜b＜．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，画出函数M 的图象是解题的关键．4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x 轴交于A，B 两点，且点A的坐标为（3，0）．（1）求点B 的坐标及m 的值；（2）当﹣2＜x＜3 时，结合函数图象直接写出y 的取值范围；（3）将抛物线在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y＝kx+1（k≠0）与图象M 在直线左侧的部分只有一个公共点，结合图象求k 的取值范围．【分析】（1）求出对称轴，根据对称性求出点B 坐标，利用待定系数法求出m 的值．（2）画出图象，利用图象即可解决问题．（3）当直线y＝kx+1 经过点（，﹣）时，k＝﹣，推出直线y＝kx+1（k≠0）与图象M 在直线左侧的部分只有一个公共点，由图象可知k＜﹣，当直线y＝kx+1 经过点（﹣1，0）时，k＝1，此时直线y＝kx+1 也满足条件，由此即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴x＝1，点A坐标（3，0），又∵A、B 关于对称轴对称，∴B（﹣1，0），把点B（﹣1，0）代入得到0＝m+2m﹣3，∴m＝1．（2）如图，由图象可知，当﹣2＜x＜3 时，﹣4≤y＜5．（3）将抛物线在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象M，如图所示，∵x＝时，y＝﹣1﹣3＝﹣，∴当直线y＝kx+1 经过点（，﹣）时，k＝﹣，∴直线y＝kx+1（k≠0）与图象M 在直线左侧的部分只有一个公共点，由图象可知k＜﹣，当直线y＝kx+1 经过点（﹣1，0）时，k＝1，此时直线y＝kx+1 也满足条件，综上所述，k 的取值范围为k＜﹣或k＝1．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点、一次函数、待定系数法等知识，解题的关键是学会正确画出函数图象，利用图象法解决问题，属于中考常考题型．5.如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点P是坐标平面内一点，点P坐标（1，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接OP，若点D 在抛物线上且∠DBO+∠POB＝90°，求点D 的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+c 当﹣1≤x≤3 时的函数图象记为l1，将图象l1 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图象l1 的其余部分保持不变，得到一个新图象l2．若经过点P 的一次函数y＝mx+n 的图象与图象l2 在第四象限内恰有两个公共点，求n 的取值范围．【分析】（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线的解析式；（2）如图1中，如图1中，作PH⊥OB于H．由P（1，﹣2），推出tan∠OPH＝，由∠DBO+∠POB＝90°，∠POB+∠P＝90°，推出∠DBO＝∠P，推出tan∠DBO＝，设BD交y轴于E，则E（0，），可得直线BD 的解析式为y＝﹣x+ ，利用方程组即可求出点D 坐标，同法求出D′；（3）当直线y＝mx+n经过P（1，﹣2），B（3，0）时，则有，解得，可得一次函数的解析式为y＝x﹣3，观察图象即可解决问题；【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入得a•1•（﹣3）＝3，解得a＝﹣1，所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1 中，作PH⊥OB 于H．∵P（1，﹣2），∴tan∠OPH＝，∵∠DBO+∠POB＝90°，∠POB+∠P＝90°，∴∠DBO＝∠P，∴tan∠DBO＝，设BD交y轴于E，则E（0，），∴直线BD 的解析式为y＝﹣x+，由，解得或，∴D（﹣，）．当点D′在x 轴下方时，直线BD′的解析式为y＝x﹣，由，解得或．∴D′（﹣，﹣）．（3）如图2 中，当直线y＝mx+n经过P（1，﹣2），B（3，0）时，则有，解得，∴一次函数的解析式为y＝x﹣3．观察图象可知：n＞﹣3 时，直线经过点P 的一次函数y＝mx+n 的图象与图象l2 在第四象限内恰有两个公共点．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、两直线垂直k 的乘积为﹣1 等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．6.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝﹣x2+2bx﹣3 的对称轴为直线x＝2．（1）求b 的值；（2）在y轴上有一动点P（0，m），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2．①当x2﹣x1＝3 时，结合函数图象，求出m 的值；②把直线PB 下方的函数图象，沿直线PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W 在0≤x≤5 时，﹣4≤y≤4，求m 的取值范围．【分析】（1）根据对称轴x＝﹣，求出b 的值；（2）①先根据x2﹣x1＝3 及对称轴方程，确定A、B 中一个点的坐标，代入解析式求出m 的值．②根据图象和x、y 的取值范围，可求出m 的值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2bx﹣3的对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，即﹣＝2∴b＝2．（2）①∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3．∵A（x1，y），B（x2，y），∴直线AB 平行x 轴．∵x2﹣x1＝3，∴AB＝3．∵对称轴为x＝2，∴A（，m）．∴当时，m＝﹣（）2+4×﹣3＝﹣．②当y＝m＝﹣4 时，0≤x≤5 时，﹣4≤y≤1；当y＝m＝﹣2 时，0≤x≤5 时，﹣2≤y≤4；∴m 的取值范围为﹣4≤m≤﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质，图形的翻折变化等知识，解决本题的关键是l 理解题意，充分的利用数形结合的思想．7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝nx2﹣4nx+4n﹣1（n≠0），与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），与y轴交于点A．（1）求抛物线顶点M 的坐标；（2）若点A的坐标为（0，3），AB∥x轴，交抛物线于点B，求点B的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线在B，C 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G，若直线y＝x+m 与图象G 有一个交点，结合函数的图象，求m 的取值范围．【分析】（1）利用配方法将已知函数解析式转化为顶点式方程，可以直接得到答案．．（2）根据抛物线的对称性质解答；（3）利用待定系数法求得抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3．根据题意作出图象G，结合图象求得m 的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝nx2﹣4nx+4n﹣1＝n（x2﹣2）2﹣1，∴该抛物线的顶点M的坐标为（2，﹣1）；（2）由（1）知，该抛物线的顶点M的坐标为（2，﹣1）；∴该抛物线的对称轴直线是x＝2，∵点A的坐标为（0，3），AB∥x轴，交抛物线于点B，∴点A 与点B 关于直线x＝2 对称，∴B（4，3）；（3）∵抛物线y＝nx2﹣4nx+4n﹣1与y轴交于点A（0，3），∴4n﹣1＝3．∴n＝1．∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3．∴抛物线G 的解析式为：y＝x2+4x+3由x+m＝x2+4x+3．由△＝0，得：m＝﹣∵抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴的交点C的坐标为（1，0），∴点C关于y轴的对称点C1的坐标为（﹣1，0）．把（﹣1，0）代入y＝x+m，得：m＝．把（﹣4，3）代入y＝x+m，得：m＝5．∴所求m 的取值范围是m＝﹣或＜m≤5．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，画出函数G 的图象是解题的关键．8.在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+ mx+m2﹣3m+2 与x 轴的交点分别为原点O和点A，点B（4，n）在这条抛物线上．（1）求B 点的坐标；（2）将此抛物线的图象向上平移个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y＝x+b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．【分析】（1）把原点坐标代入抛物线，解关于m 的一元二次方程得到m 的值，再根据二次项系数不等于0 确定出函数解析式，再把点B 坐标代入函数解析式求出n 的值，即可得解；（2）根据向上平移纵坐标加解答即可；（3）把直线解析式与抛物线解析式联立，消掉y 得到关于x 的一元二次方程，根据△＝0 求出b 的值，然后令y＝0 求出抛物线与x 轴的交点坐标，再求出直线经过抛物线与x轴左边交点的b 值，然后根据图形写出b 的取值范围即可．【解答】解：（1）∵抛物线经过原点O，∴m2﹣3m+2＝0，解得m1＝1，m2＝2，当m＝1 时，﹣＝﹣＝0，∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x，∵点B（4，n）在这条抛物线上，∴n＝﹣×42+3×4＝﹣8+12＝4，∴点B（4，4）；（2）∵抛物线的图象向上平移个单位，∴平移后的图象的解析式y＝﹣x2+3x+ ；（3）联立，消掉y 得，﹣x2+3x+ ＝x+b，整理得，x2﹣5x+2b﹣7＝0，△＝（﹣5）2﹣4×1×（2b﹣7）＝0，解得b＝，令y＝0，则﹣x2+3x+ ＝0，整理得，x2﹣6x﹣7＝0，解得x1＝﹣1，x2＝7，∴抛物线与x轴左边的交点为（﹣1，0），当直线y＝x+b 经过点（﹣1，0）时，×（﹣1）+b＝0，解得b＝，当该直线经过点（7，0）时，×7+b＝0，解得b＝﹣，∴当直线y＝x+b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围为b＞或﹣＜b＜．【点评】本题是二次函数综合题，主要利用了解一元二次方程，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，难点在于（3）求出直线与抛物线有三个交点时的b 值，作出图形更形象直观．。
抛物线讲义
抛物线知识点一．抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l (l 不经过点 F )距离______ 的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做 抛物线的________ ，直线 l 叫做抛物线的________ 。
注： 当定点 F 在定直线 l 时， 动点的轨迹： _____________________ 。
知识点二：抛物线的标准方程和几何性质标准方程 y 2 = 2px(p > 0) y 2 = 一2px(p > 0) x 2 = 一2py(p > 0) x 2 = 2py(p > 0) 题型一：抛物线的定义及其应用1．抛物线的离心率 e =1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及 抛物线的焦半 径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为 点到准线之间的距离。
p p例 1 、若动点 P 到定点 F(一4,0) 的距离与到直线 x = 4 的距离相等，则 P 点的轨迹是( )图形对称轴 F(0, 一 p )2 p y = 一2x 轴F (一 p ,0)2 p x =2pp y =2 | PF |= 一y 0 + 2p焦点坐标准线方程焦半径2 | PF |= x 0 + 2px ≥0x 轴F ( p ,0) 2 py 轴 F (0, p )2O(0,0)y 轴 性2．焦半径 PF = x + 或 PF = y + 在解题中有重要作用，注意灵活运用。
2 2A 抛物线 B. 线段 C.直线 D.射线变式：已知抛物线y2 = 2px(p > 0) 上一点P， F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴的位置关系是__________.例 2： 设 P 是抛物线y 2 = 4x 上的一个动点．(1)求点 P 到点 A(一1,1) 的距离与点 P 到直线 x = 一1 的距离之和的最小值； (2)若 B(3,2) ，求PB + PF 的最小值．变式： 设 M(x 0 , y 0 ) 为抛物线 C ： x 2 = 8y 上一点， F 为抛物线 C 的焦点， 以 F 为圆心、 FM 为半径的圆 和抛物线 C 的准线相交，则 y 0 的取值范围是( )A ． (0,2)B ． [0,2]C ． (2，＋∞) D． [2，＋∞) 题型二：抛物线的标准方程与几何性质：求抛物线的标准方程常采用 待定系数法。
2022年人教版(通用)中考数学分类专项精讲精解第六讲 函数(二)
第六讲函数（二）专项一二次函数的图象和性质知识清单1．二次函数的概念一般地，形如（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数.2．二次函数的图象和性质考点例析例1 二次函数y＝-x2-2x+3图象的顶点坐标为．分析：确定a，b，c的值，代入顶点公式计算即可；也可以将“一般式”化为“顶点式”求得其顶点坐标．解：例2 已知（-3，y1），（-2，y2），（1，y3）是抛物线y＝-3x2-12x+m上的点，则（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2分析：易得抛物线的对称轴为x＝-2，因为a＝-3＜0，所以当x＝-2时，函数值最大，即y2最大，再根据二次函数的对称性和增减性判断y1，y3的大小即可．解：归纳：对于这类问题一般利用抛物线上对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行函数值的大小比较．例3 点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则m-n的最大值等于（）A．154B．4C．154-D．174-分析：由二次函数图象的对称轴为y轴可得a＝0，将点P（m，n）代入解析式可得m，n的关系式，然后将m-n表示为含m的代数式-m2+m-4，最后利用二次函数的性质可求得其最大值．解：跟踪训练1．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（-1，0），对称轴是x=1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）A．72⎛⎫⎪⎝⎭，B．（3，0）C．52⎛⎫⎪⎝⎭，D．（2，0）第1题图2．请写出一个函数解析式，使其图象的对称轴为y轴：．3．抛物线y＝3（x-1）2+8的顶点坐标为．4．当-1≤x≤3时，二次函数y＝x2-4x+5有最大值m，则m＝．专项二二次函数的图象与系数的关系知识清单二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象特征与其系数a，b，c的符号有密切的联系，它们之间的关系如下表：例1 一次函数y ＝acx +b 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D分析：选项A ，由抛物线开口向上可知a ＞0，对称轴在y 轴右侧可知a ，b 异号，与y 轴的交点在x 轴上方可知c ＞0，所以ac ＞0，b ＜0，由直线可知ac＞0，b ＞0，故本选项不合题意；用同样的方法分别判断其余选项即可．解：例 2 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，有如下结论：①abc ＞0；①2a +b =0；①3b -2c ＜0；①am 2+bm ≥a +b （m 为实数）．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4分析：由抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y 轴的交点可得a ，b ，c 的符号，从而得出abc 的正负；由对称轴x ＝2b a-＝1可得2a +b ＝0；由图象可知当x ＝-1时，y ＝a -b +c ＞0，结合2a +b =0，利用不等式的性质可判断3b -2c 的正负；由图象知当x ＝1时，y 有最小值为a +b +c ，由此可判断am 2+bm 与a +b 的大小关系．解：归纳：几种常见代数式的判断跟踪训练1．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A B C D2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（-2，0），B（1，0）两点，则以下结论：①ac ＞0；①二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝-1；①2a+c＝0；①a-b+c＞0．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3第2题图专项三确定二次函数的解析式知识清单用待定系数法求二次函数的解析式时，若已知条件给出了图象上任意三点（或任意三组对应值），可设解析式为；若给出顶点坐标为（h，k），则可设解析式为；若给出抛物线与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则可设解析式为.考点例析例（2020·江西改编）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…-2-1012…y…m0-3n-3…求抛物线的解析式及m，n的值．分析：结合给出的数据可知c＝-3，再将（-1，0），（2，-3）代入解析式得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可确定抛物线的解析式，最后令x＝-2或1，可求得m，n的值．解：跟踪训练1．已知函数y＝a（x-h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8．（）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞02．若抛物线y＝ax2-2ax-3+2a2（a≠0）的顶点在x轴上，求其解析式．专项四二次函数图象的平移知识清单抛物线y=ax2向左（右）或向上（下）平移，可得抛物线y=a（x-h）2+k，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定.当h＞0时，抛物线向平移|h|个单位长度；当h＜0时，抛物线向平移|h|个单位长度.当k＞0时，抛物线向平移|k|个单位长度；当k＜0时，抛物线向平移|k|个单位长度，即“左加右减自变量，上加下减常数项”.考点例析例将抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2，求抛物线C2的解析式．分析：先将抛物线C1的“一般式”化为“顶点式”，再根据抛物线的平移规律得到新抛物线C2的解析式．解：跟踪训练1．将抛物线y＝2（x-3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式为（）A．y＝2（x-6）2 B．y＝2（x-6）2+4C．y＝2x2 D．y＝2x2+42．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x-3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x-5）2+33．将抛物线y＝ax2+bx-1向上平移3个单位长度后，经过点（-2，5），则8a-4b-11的值是．专项五二次函数与一元二次方程的关系知识清单二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的关系：考点例析例1 抛物线y＝（k-1）x2-x+1与x轴有交点，则k的取值范围是．分析：由抛物线与x轴有交点，得Δ≥0，再结合二次函数的意义，得k-1≠0，解两个不等式即可得k的取值范围．解：例2 （2020·娄底）二次函数y＝（x-a）（x-b）-2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（）A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b分析：易知二次函数y＝（x-a）（x-b）与x轴的交点的横坐标为a，b，将其图象向下平移2个单位长n，a，b的大小关系．度可得二次函数y＝（x-a）（x-b）-2的图象，如图所示，观察图象可判断m，跟踪训练1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，-1＜x1＜0，则下列说法正确的是（）A．x1+x2＜0B．4＜x2＜5C．b2-4ac＜0D．ab＞0第1题图第3题图2．抛物线y＝2x2+2（k-1）x-k（k为常数）与x轴交点的个数是．3．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（-3，0），对称轴为x＝-1，则当y＜0时，x的取值范围是．4．在平面直角坐标系中，已知A（-1，m），B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位长度，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为．专项六二次函数的应用知识清单构建二次函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题，分析问题中的变量和常量；（2）建立二次函数模型表示它们之间的关系；（3）充分结合已知条件，利用函数解析式或图象等得出相应问题的答案，或把二次函数解析式用顶点坐标公式或用配方法化为顶点式，确定出二次函数的最大（小）值；（4）结合自变量的取值范围和问题的实际意义，检验结果的合理性.考点例析例1 “闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行煎炸时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率P与煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a，b，c是常数，a≠0），如图1记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟图1分析：将三组实验数据（3，0.8），（4，0.9），（5，0.6）代入函数关系式P＝at2+bt+c，可确定a，b 的值，利用t ＝2b a计算抛物线顶点的横坐标即为煎炸臭豆腐的最佳时间． 解： 例2 某服装厂生产A 品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x 件时，批发单价为y 元，y 与x 之间满足如图2所示的函数关系，其中批发件数x 为10的正整数倍．（1）当100≤x ≤300时，y 与x 的函数解析式为 ；（2）零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装200件，需要支付多少元？（3）零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x （100≤x ≤400）件，服装厂的利润为w 元，问：x 为何值时，w 最大？最大值是多少？图2分析：（1）设y 与x 的函数解析式为y ＝kx +b ，将（100，100），（300，80）代入即可求得其解析式；（2）因为100≤200≤300，所以在（1）的解析式中，令x ＝200，可求得此时的批发单价y ，再乘件数即可求得需要支付的总费用；（3）分两种情况讨论：当100≤x ≤300时，可列出w 关于x 的二次函数解析式，根据二次函数的性质结合“批发件数x 为10的正整数倍”可求得此时w 的最大值；当300＜x ≤400时，可列出w 关于x 的一次函数解析式，根据一次函数的性质可求得其最大值，两种情况进行对比可得最终结果．解：跟踪训练1．某公司新产品上市30天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图①表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元．① ①第1题图2．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD ，为美化环境，用总长为100 m 的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE ＝3BE ；（2）在（1）的条件下，设BC 的长为x m ，矩形区域ABCD 的面积为y m 2，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．第2题图3．某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件x 元（x ≥50），月销量为y 件，月销售利润为w 元．（1）写出y 与x 的函数解析式和w 与x 的函数解析式；（2）商店要在月销售成本不超过10 000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求最大利润．专项七 二次函数中的分类讨论思想知识清单分类讨论思想是当待解决的问题包含两种或两种以上的可能情况时，需要按不同情况分类来解决问题的一种思想方法，同时它也是一种解题策略.考点例析例 已知抛物线y ＝x 2+（2m -6）x +m 2-3与y 轴交于点A ，与直线x ＝4交于点B ，当x ＞2时，y 随x 的增大而增大．记抛物线在线段AB 下方的部分为G （包含A ，B 两点），M 为G 上任意一点，设点M 的纵坐标为t ，若t ≥-3，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥32B ．32≤m ≤3C ．m ≥3D ．1≤m ≤3分析：根据题意，得x ＝2b a-≤2，244ac b a -≥-3，然后再分对称轴在y 轴右侧、为y 轴、在y 轴左侧三种情况对b 的正负进行讨论，最后综合三种情况得出m 的取值范围．解：跟踪训练1．若函数y=（m-1）x2-6x+32m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（）A．-2或3 B．-2或-3 C．1或-2或3 D．1或-2或-32．二次函数y＝ax2-3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上．若①ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为．参考答案专项一二次函数的图象和性质例1 （-1，4）例2 B 例3 C1．B 2．答案不唯一，如y＝x23．（1，8）4．10专项二二次函数的图象与系数的关系例1 B 例2 D1．C 2．C专项三确定二次函数的解析式例抛物线的解析式为y＝x2-2x-3，m＝5，n＝-4．1．C2．解：因为y＝ax2-2ax-3+2a2＝a（x-1）2+2a2-a-3，且抛物线的顶点在x轴上，所以2a2-a-3=0．解得a＝32或a＝-1．所以抛物线的解析式为y＝32x2-3x+32或y＝-x2+2x-1．专项四二次函数图象的平移例y＝（x-3）2-3．1．C 2．D 3．-5专项五二次函数与一元二次方程的关系例1 k≤54且k≠1 例2 C111．B 2．2 3．-3＜x ＜1 4．4专项六 二次函数的应用例1 C例2 （1）y ＝110-x +110 （2）当x ＝200时，y ＝-20+110＝90．90×200＝18 000（元）．答：零售商一次性批发A 品牌服装200件，需要支付18 000元．（3）分两种情况：①当100≤x ≤300时，w ＝11107110x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝110-x 2+39x ＝110-（x -195）2+3802.5． 因为110-＜0，且批发件数x 为10的正整数倍，所以当x ＝190或200时，w 有最大值，为110-（200-195）2+3802.5＝3800；②当300＜x ≤400时，w ＝（80-71）x ＝9x ．因为9＞0，所以当x ＝400时，w 有最大值，为9×400＝3600．综上，零售商一次性批发A 品牌服装x （100≤x ≤400）件，x 为190或200时，w 最大，最大值是3800元．1．18002．（1）证明：因为矩形MEFN 与矩形EBCF 的面积相等，所以ME ＝BE ．因为四块矩形花圃的面积相等，所以S 矩形AMND ＝2S 矩形MEFN ，所以AM ＝2ME ．所以AE ＝3BE ．（2）解：因为篱笆总长为100 m ，所以2AB +GH +3BC ＝100．所以AB ＝40-65BC ． 所以y ＝BC ·AB ＝x 6405x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝26405x x -+． 因为BE ＝14AB ＝10-310x ＞0，解得x ＜1003，所以0＜x ＜1003． 所以y 关于x 的函数解析式为y ＝26405x x -+（0＜x ＜1003）． 3．解：（1）y ＝500-10（x -50）＝-10x +1000；w ＝（x -40）（-10x +1000）＝-10x 2+1400x -40 000．（2）由题意，得-10x 2+1400x -40 000＝8000，解得x 1＝60，x 2＝80．当x＝60时，成本为40×（-10×60+1000）＝16 000＞10 000不符合要求，舍去；当x＝80时，成本为40×（-10×80+1000）＝8000＜10 000符合要求．所以销售价应定为每件80元．（3）因为w＝-10x2+1400x-40 000＝-10（x-70）2+9000．因为-10＜0，所以当x＝70时，w取最大值，为9000．所以销售价定为每件70元时会获得最大利润，最大利润为9000元．专项七二次函数中的分类讨论思想例A1．C 2．3-92⎛⎫⎪⎝⎭，或362⎛⎫⎪⎝⎭，12。
抛物线 标准方程、几何性质、经典大题归纳总结
一、 第一讲: 抛物线标准方程 二、 考点、热点回顾一、定义: 在平面内,及一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.即：的轨迹是抛物线。
则点若M MNMF,1 三、 (定点F 叫做抛物线的焦点, 定直线l 叫做抛物线的准线。
)标准方程:设定点F 到定直线l 的距离为p(p 为已知数且大于0).取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴, x 轴及l 交于K, 以线段KF 的垂直平分线为y 轴, 建立直角坐标系抛物线上的点M(x, y)到l的距离为d, 抛物线是集合p={M||MF|=d}.化简后得: y2=2px(p＞0).由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况, 抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：二、典型例题(2)例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x, 求它的焦点坐标和准线方程；已知抛物线的焦点坐标是F(0, -2), 求它的标准方程．方程是x2=-8y.例2.根据下列所给条件, 写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F(3, 0)；(3)焦点到准线的距离是2.答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x, y2=-4x, x2=4y, x2=-4y．三、课堂练习1.抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________答案：2解析: 解析: 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0), 准线x＝－1.∴焦点到准线的距离为2.2.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.答案：解析: 解: (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0), 则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝, 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0, 由方程x－2y－4＝0, 得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0, －2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0), 则由＝2, 得2p＝8. ∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0), 则由＝4, 得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上, 所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.3.已知抛物线的顶点在原点, 对称轴是x轴, 抛物线上的点M(-3, m)到焦点的距离等于5, 求抛物线的方程和m的值解法一: 由焦半径关系, 设抛物线方程为y2=-2px(p＞0), 则准线方因为抛物线上的点M(-3, m)到焦点的距离|MF|及到准线的距离得p=4.因此, 所求抛物线方程为y2=-8x.又点M(-3, m)在此抛物线上, 故m2=-8(-3)．解法二: 由题设列两个方程, 可求得p和m. 由学生演板. 由题意在抛物线上且|MF|=5, 故四、课后作业1.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.答案：解析: (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0), 则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝, 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0, 由方程x－2y－4＝0, 得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0, －2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0), 则由＝2, 得2p＝8. ∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0), 则由＝4, 得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上, 所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.2.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M, 其横坐标为－9, 它到焦点的距离为10, 求抛物线方程和M点的坐标.解析: 解: 由抛物线的定义, 设焦点F(－, 0). 则准线为x＝.设M到准线的距离为|MN|,则|MN|＝|MF|＝10, 即－(－9)＝10, ∴p＝2. 故抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)，代入抛物线方程得y＝±6. 故M(－9,6)或M(－9，－6)．3.已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上, 点A(2, )在抛物线内. 若抛物线上一动点P到A.F两点距离之和的最小值为4, 求抛物线C的方程.解析: 解: 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0), 其准线为x＝－, 过P点作抛物线准线的垂线, 垂足为H(图略), 由定义知, |PH|＝|PF|.∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|, 故当H、P、A三点共线时, |PA|＋|PF|最小. ∴|PA|＋|PF|的最小值为＋2＝4, p＝4, 即抛物线C的方程为y2＝8x.4.动圆M经过点A(3,0)且及直线l: x＝－3相切, 求动圆圆心M的轨迹方程.解：设圆M及直线l相切于点N. ∵|MA|＝|MN|, ∴圆心M到定点A(3,0)和定直线x＝－3的距离相等．根据抛物线的定义, M在以A为焦点, l为准线的抛物线上．∵＝3，∴p＝6. ∴圆心M的轨迹方程为y2＝12x.第二讲: 抛物线简单几何性质一、考点、热点回顾定义: 在平面内,及一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.补充：1.通径: 通过焦点且垂直对称轴的直线, 及抛物线相交于两点, 连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
2.7.2 抛物线的几何性质(教学课件)-高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册
顶点 对称轴 e x轴
(0,0)
1
y轴
O
课堂总结
y²=2px (p>0) ① (3)顶点
在方程①中，令y=0,得 x=0;令 x=0,得 y=0.
可知抛物线C 与 x 轴 、y 轴都交于原点(0,0).
此时，称原点是抛物线的顶点.
学习目标
新课讲授
O
O
课堂总结
y²=2px (p>0) ①
(2)离心率 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之 比称为抛物线的离心率，用e 表示. 根据抛物线的定义可知，抛物线的离心率
AF=dA=x₁+1,BF=dp=X₂+1
于是
|AB|=|AF|+|BF|=x+x₂+2,
O
O
学习目标
新课讲授
O
O
课堂总结
例4 斜率为1的直线l经过抛物线y²=4x 的焦点F, 且与抛物线相 交于A,B 两点，求线段AB的长.
因为直线l的斜率为1,且过焦点F(1,0), 所 以
直线l的方程为 y=x-1
通过抛物线方程可以研究抛物线的范 围，对称性，顶点，离心率等性质.
O
O
学习目标
新课讲授
O
O
课堂总结
思考：已知抛物线C的方程为y²=2x, 根据方程回答下列问题： (1)方程中x 与 y 取值范围是多少?
∵y²≥0,∴2x≥0,即x≥0,y∈R.
由此可知，抛物线C 位于y 轴及y 轴的 右侧，如图所示.
①
将①代入方程y²=4x, 得(x-1)²=4x, 化简，得
x²-6x+1=0.
所以 x+x₂=6,AB=x+x₂+2=8.
高中数学圆锥曲线系统讲解第6讲《通径公式》练习及答案
第6讲 通径公式知识与方法1．椭圆的通径公式：如图1所示，在椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦叫做通径，通径的长22b AB a=.2．双曲线的通径公式：如图2所示，在双曲线中，过焦点且垂直于实轴的弦叫做通径，通径的长22b AB a=3．抛物线的通径公式：如图3所示，在抛物线中，过焦点且垂直于对称轴的弦叫做通径，通径的长2AB p =.典型例题【例1】椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线交椭圆C 于A 、B 两点，则AB =_________.【解析】由通径公式，222222b AB a ⨯=== 【答案】2变式1 椭圆22:142x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在椭圆C 上，且2AF 的中点在y 轴上，则12tan F AF ∠=_________.【解析】如图，设2AF 的中点为M ，又O 为12F F 的中点，所以OM 是12AF F 的中位线，故1AF OM ∥，因为OM x ⊥轴，所以1AF x ⊥轴，从而211b AF a==，易求得12F F =12121tan F F F AF AF ∠==【答案】变式2 椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，上、下顶点分别为M 、N ，过F 且与x 轴垂直的直线交椭圆C 于A 、B 两点，则以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形的面积为_________. 【解析】如图，四边形ABMN 为等腰梯形，由通径公式，22b AB a ===22MN b ==，梯形的高1h OF ==，所以梯形ABMN 的面积)12122S =⨯⨯=+.【答案】12+ 变式3 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆C 的一个交点为B ，若直线AB 的倾斜角为150°，则椭圆C 的离心率为_________.【解析】如图，直线AB 的倾斜角为215030b BAF AF a c a︒⇒∠=︒⇒=⇒+=，所以2222a ac +(2210ac a ++=，两端同除以2a 210e ++=，所以()110e ++=，解得：1e =或1−（舍去）【答案】1【例2】双曲线22:13xC y−=的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交双曲线C于A、B两点，则AB=_________.【解析】由通径公式，223bABa===.变式1 双曲线22:1C x y−=的左、右焦点分别为1F、2F，过2F且与x轴重直的直线交双曲线C于A、B两点，则1ABF的面积为_________.【解析】如图，由题意，122F F c==，由通径公式，222bABa==，所以1122ABFS=⨯⨯=【答案】变式2 双曲线()2222:10,0x yC a ba b−=>>的左焦点为F，右顶点为A，过F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一个交点为B，若tan FBA∠=C的离心率为_________.【解析】如图，由题意，()()2222tanFA a a c a a ca c aFBAbFB b c a c aa+++∠======−−，所以a ，从而)1a +=，所以双曲线C 的离心率1c e a ===.【答案】1【例3】抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线交抛物线C 于A 、B 两点，则AB =_________.【解析】由通径公式，26AB p ==. 【答案】6变式1 已知O 为坐标原点，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，则OPQ 的面积为_________. 【解析】如图，由题意，()1,0F ，所以1OF =，由通径公式，2PF =，故OP ==因为PQ OP ⊥，所以~POF QOP ，而OP OF=，所以1551252POQPOFSS==⨯⨯⨯=.【答案】5变式2 （2021·新高考I 卷）已知O 为坐标原点，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥.若6FQ =，则C 的准线方程为_________.【解析】如图，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，将2p x =代入22y px =解得：y p =±，不妨设,2p P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，66,02p FQ Q ⎛⎫=⇒+ ⎪⎝⎭，因为PQ OP ⊥，所以21622OP PQ p k k p p ⋅=⋅=−⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，解得：3p =，故抛物线C 的准线方程为32x =−.解法2：如图，由题意，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，2p OF =，由抛物线的通径公式可得PF p =所以直线OP 的斜率tan 2OP PF k POF OF=∠==，因为PQ OP ⊥，所以直线PQ 的斜率为12−，从而1tan 2PQF ∠=，又tan 6PF pPQF FQ ∠==， 所以162p =，解得：3p =，故抛物线C 的准线方程为32x =−【答案】32x =−变式3 （2021·天津）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的右焦点与抛物线22y px=()0p >的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A 、B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若CD AB ，则双曲线的离心率为（ ）C.2D.3【解析】如图，设双曲线的右焦点为(),0c ，则该点也是抛物线的焦点，所以抛物线的准线为x c =−，故AB 是双曲线的通径，由通径公式，22b AB a =，联立x cb y x a =−⎧⎪⎨=±⎪⎩解得：bc y a =±，所以2bc CD a =，因为CD =，所以222bc b a a=，从而c =，不妨取1b =，c =1a =，故ce a==.【答案】A强化训练1.（★★）椭圆222:1x C y a+=()1a >的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线交椭圆C 于A 、B 两点，若1ABF C 的离心率为_________.【解析】如图，12F F =2AB a=，所以11211222ABF SAB F F a a==⋅⋅=，由题意，a =C 的离心率2e a ==.2.（★★）已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，O 为原点，点P 在抛物线C 上且PF x ⊥轴，则直线OP 的斜率为_________.【解析】如图，由通径公式，PF p =，又2p OF =， 所以直线OP 的斜率tan 2PF k POF OF=∠==.【答案】23.（★★）已知双曲线2222:1y x C a b−=()0,0a b >>的上焦点为F ，过F 且与y 轴垂直的直线交双曲线C 于A 、B 两点，若2AB a =，则双曲线C 的渐近线方程为_________. 【解析】由通径公式，22b AB a=，又2AB a =，所以222b a a =，从而b a =，故离心率e ==4.（★★★）已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点F 也是双曲线2222:1x y C a b−=()0,0a b >>的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰好过F ，则该双曲线的离心率为_________. 【解析】如图，设双曲线的半焦距为c ，由题意，2p c =，2222pc b pa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去p 化简得：22b ac =，所以222c a ac −=，从而2220c ac a −−=， 故2210e e −−=，解得1e =+1−.【答案】15.（2017·新课标Ⅰ卷·★★★）已知F 是双曲线22:13y C x −=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是()1,3，则APF 的面积为（ ）A.13 B .12C .23D .32【解析】由题意，()2,0F ，由通径公式，23b PF a==，所以132122APFSPF =⋅⋅−=.【答案】D2020·新课标Ⅰ卷·★★★）已知F 为双曲线2222:1x y C a b−=()0,0a b >>的右焦点，A 为C的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴，若AB 的斜率为3，则C 的离心率为_________.【解析】如图，由通径公式，2b BF a =，又直线AB 的斜率为3，所以2tan 3b BFa BAF AF c a∠===−，从而()23b a c a =−，故()()()3c a c a a c a +−=−， 所以3c a a +=，故双曲线的离心率2ce a==.【答案】2。
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第6讲抛物线
基础巩固题组
一、选择题
1．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是()．
A．2B．2
C． D．1
解析由抛物线方程知2p＝8⇒p＝4，故焦点F(2,0)，由点到直线的距离公式知，F到直线x－y＝0的距离d＝＝1.
答案 D
2．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p的值为()．
A．1B．2
C． D．4
解析圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线的距离为3－＝4，解得p＝2.
答案 B
3．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()．
A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2
解析分两类a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.
答案 D
4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则A点的横坐标为()．
A．2B．3
C．2D．4
解析抛物线的焦点为，准线为x＝－.双曲线的右焦点为(3,0)，所以＝3，即p＝6，即y2＝12x.过A做准线的垂线，垂足为M，则|AK|＝|AF|＝|AM|，即|KM|＝|AM|，设A(x，y)，则y＝x＋3，代入y2＝12x，解得x＝3.
答案 B
5．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B 两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为()．
A．y＝x－1或y＝－x＋1
B．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
C．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
解析法一由|AF|＝3|BF|，得＝3，而F点坐标为(1,0)，设B(x0，y0)，则从而可解得A的坐标为(4－3x0，－3y0)，因为点A，B都在抛物线上，所以解得x0＝，y0＝±，所以kl＝＝±.
则过点F的直线方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)．
法二结合焦点弦公式|AB|＝及＋＝求解，设直线AB的倾斜角为θ，由题意知p＝2，F(1,0)，＝3，又＋＝，∴＋＝1，
∴|BF|＝，|AF|＝4，∴|AB|＝.
又由抛物线焦点弦公式：|AB|＝，∴＝，
∴sin2θ＝，∴sin θ＝，∴k＝tan θ＝±，故选C.
答案 C
二、填空题
6．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．
解析由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x2＝12y.
答案x2＝12y
7．已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x0＝________.
解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.
根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.
答案 3
8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2米．
答案 2
三、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值．
解法一根据已知条件，抛物线方程可设为
y2＝－2px(p＞0)，则焦点F.
∵点M(－3，m)在抛物线上，且|MF|＝5，
故
解得或
∴抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
法二设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则准线方程为x＝，由抛物线定义，M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，所以有－(－3)＝5，∴p＝4.
∴所求抛物线方程为y2＝－8x，
又∵点M(－3，m)在抛物线上，
故m2＝(－8)×(－3)，
∴m＝±2.
10．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；
(2)求证：·是一个定值．
(1)解∵由题意可知抛物线的焦点F为(1,0)，准线方程为x＝－1，∴直线l的方程为y＝x－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，
由直线l过焦点，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.
(2)证明设直线l的方程为x＝ky＋1，
由得y2－4ky－4＝0.∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．
∵·＝x1x2＋y1y2
＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2
＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.
∴·是一个定值．。