2017-2018学年人教版必修2 第6章 第4节 万有引力理论的成就 学案

第4节 万有引力理论的成就

学考报告

知识点一 “称量”地球质量

基 础 梳 理

(1)称量条件 不考虑地球自转的影响。

(2)称量原理 地面上物体的重力等于地球对该物体的万有引力，即mg ＝G Mm

R 2。

(3)称量结果 地球的质量M ＝gR 2

G

。

注意 (1)上式中地面的重力加速度g 和地球半径R 在卡文迪许之前就已知道，而卡文迪许在实验室中测出了引力常量

G ，利用上式就可算出地球的质量M 。这意味着人们在实验室里测出了地球的质量。

(2)通过万有引力定律“称量”地球的质量，其中的思想基础与牛顿的月—地检验是一致的，即相信宇宙中天体运动和地面上物体的运动都服从相同的规律。

典 例 精 析

【例1】 设地面附近的重力加速度g ＝9.8 m /s 2，地球半径R ＝6.4×106 m ，引力常量G ＝6.67×10

－11

N·m 2/ g 2，试估算地球的质量。

解析 M ＝gR 2G ＝9.8×(6.4×106)

2

6.67×10

－11

g ≈6.0×1024 g 。 答案 6.0×1024 g

知识点二 计算天体的质量和密度

基 础 梳 理

1．计算天体质量的方法

分析围绕该天体运动的行星(或卫星)，测出行星(或卫星)的运行周期和轨道半径，由万有引力提供向心力即可求中心天体的质量。由GMm r 2＝m 4π2T 2r ，得M ＝4π2r 3

GT

2。

2．天体密度的计算方法

根据密度的公式ρ＝M

43πR 3，只要先求出天体的质量就可以代入此式计算天体的密度。

(1)由天体表面的重力加速度g 和半径R ，求此天体的密度。 由mg ＝GMm R 2和M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3g

4πGR

。

(2)若天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为r ，运行周期为T ，中心天体的半径为R ，则由G Mm r 2＝mr 4π2T 2和M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3πr 3

GT 2R

3。

注意 R 、r 的意义不同，一般地R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径，若绕近地轨道运行，则有R ＝r ，此时ρ＝3π

GT

2。

典 例 精 析

【例2】 地球表面的平均重力加速度为g ，地球半径为R ，引力常量为G ，可估算地球的平均密度为( )

A ．3g 4πRG

B ．3g 4πR 2G

C ．g

RG

D ．

g RG 2

解析 忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg ＝G Mm

R 2，又地球质量M ＝

ρV ＝43πR 3ρ。代入上式化简可得地球的平均密度ρ＝3g 4πRG

。

答案 A

即 学 即 练

1．假设在半径为R 的某天体上发射一颗该天体的卫星。若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的运行周期为T 1，已知引力常量为G 。

(1)则该天体的密度是多少？

(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h ，测得在该处做圆周运动的周期为T 2，则该天体的密度又是多少？

解析 (1)设卫星的质量为m ，天体的质量为M ，卫星贴近天体表面运动时有G Mm R 2＝m 4π2T 2

1

R ，M ＝4π2R 3

GT 21

。

根据数学知识可知天体的体积V ＝4

3πR 3，故该天体密度

ρ＝M V ＝4π2R 3GT 21·43

πR 3＝3πGT 21

。

(2)卫星距天体表面的高度为h 时有 G Mm (R ＋h )2

＝m 4π2

T 22(R ＋h )得

M ＝4π2(R ＋h )3GT 22，ρ＝M V ＝4π2(R ＋h )3GT 22·43

πR

3

＝3π(R ＋h )3

GT 22R 3。 答案 (1)3π

GT 21 (2)3π(R ＋h )3GT 22R

3

计算天体质量和密度的方法

万有引力充当向心力，结合圆周运动向心加速度的三种表述方式可得三个不同的方程，即

①F 引＝G Mm

r 2＝ma ＝m v 2r ，即M ＝v 2r G (v 、r 法)

②F 引＝G Mm r 2＝ma ＝mω2

r ，即M ＝ω2r 3G (ω、r 法)

③F 引＝G Mm r 2＝ma ＝m 4π2r T 2，即M ＝4π2r 3

GT

2(T 、r 法)

上述三种表达式分别对应在已知环绕天体的线速度v 、角速度ω、周期T 时求解中心天体质量的方法。以上各式中M 表示中心天体的质量，m 表示环绕天体的质量，r 表示两天体间距离，G 表示引力常量。

知识点三 天体运动的分析与计算发现未知天体

基 础 梳 理

1．基本思路 一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。

2．常用关系

(1)G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝mω2

r ＝m 4π2T 2r

(2)忽略自转时，mg ＝G

Mm

R 2

(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得 gR 2＝GM ，该公式通常被称为“黄金代换式”。