安徽省和县第二中学2019-2020学年高二第二学期期末考试数学(理)试卷

数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1．若直线a 平行于平面α，则下列结论错误．．的是（ ） A ．直线a 上的点到平面α的距离相等 B ．直线a 平行于平面α内的所有直线C ．平面α内有无数条直线与直线a 平行D ．平面α内存在无数条直线与直线a 成90°角2．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点。

若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ） A ．1122-++a b c B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+ D ．1122a b c -+ 3．已知R b R a ∈∈,，则“直线012=-+y ax 与直线012)1(=+-+ay x a 垂直”是“3=a ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(0,4)，离心率为35，则椭圆C 的标准方程为（ ）A ．221169x y +=B ．2212516x y +=C ．221164x y +-D ．221259x y +=5．直线:(21)60l mx m y +--=与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m 的值为（ ）A ．2B ．32-C ．3D ．2或32-6．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90︒榫卯起来若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为（容器壁的厚度忽略不计）（ ）A ．28πB ．30πC ．60πD ．120π7．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A ．6B ．3C ．2D ．338．动直线():22= 0l x my m m R ++-∈与圆22:2440C x y x y +-+-=交于点A ,B ,则弦AB 最短为（ ）.A ．3B ．6C ．42D ．259．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该三棱锥的主视图可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为13，则双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．32y x =± C ．22y x =± D ．y x =±11．已知直线l ：()(1)0y k x k =->与抛物线2:4C y x =相交于A 、B 两点，且满足2AF BF =，则k 的值是（ ）A ．33B ．3C ．223D ．2212．两圆2221:240()C x y ax a a R +++-=∈与2222:210()C x y by b b R +--+=∈只有一条公切线，则a b +的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．2-D ．2-二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．命题“x R ∃∈,使得0522=++x x ”的否定是 ．14．已知方程222114x y m m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为 ．15．已知实数x ，y 满足2268240x y x y +--+=，则22x y +的最小值为 ． 16．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:如图，卫星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地心的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设该椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c .某同学根据所学知识，得到下列结论:①卫星向径的取值范围是[],a c a c -+②卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁③卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 ④卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 其中正确的结论是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

17．（本小题满分10分）已知:p 方程22240x y y m +-+=表示圆;:q 方程2213x ym+=表示焦点在x 轴上的椭圆.（1）若p 为真命题,求实数m 的取值范围;（2）若“p q ∧”为假,“p q ∨”为真,求实数m 的取值范围. 18．（本小题满分12分）已知点(3,1)M ，直线40ax y -+=及圆22:(1)(2)4C x y -+-=. （1）求过点M 的圆C 的切线方程；（2）若直线40ax y -+=与圆C 相交于B A ,两点，且弦AB 的长为23，求a 的值；19．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -底面是直角梯形，点E 是棱PC 的中点，BA AD ⊥，CD AD ⊥，2CD AB =，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB AD ===． （1）判断BE 与平面PAD 是否平行，证明你的结论； （2）证明：BE ⊥平面PDC ； 20．（本小题满分12分）已知椭圆22:12xC y +=的左、右焦点分别为12,F F （1）过椭圆C 的左焦点且倾斜角为60︒的直线与椭圆交于A,B 两点，求2ABF ∆的面积； （2）过定点(2,2)的直线交椭圆C 于AB 两点，求弦AB 中点P 的轨迹方程. 21．（本小题满分12分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（1）证明：AE PB ⊥；（2）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的余弦值. 22．（本小题满分12分）已知抛物线()2:20E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，满足124y y =-.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为()2,0-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值.数学（理）★★答案★★一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ★★答案BABBDBBCAADCD ABCPE13．x R ∀∈,都有0522≠++x x 14．()1,215．16 16．①③三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．【解析】（1）整理圆的方程：()22224x y m +-=- 若p 为真，则22m -<<（2）若q 为真，则03m << 由题可知，,p q 一真一假 故“p 真q 假”时，2203m m m -<<⎧⎨≤≥⎩或则20m -<≤ “q 真p 假”时，2203m m m ≤-≥⎧⎨<<⎩或则23m ≤<综上，2023m m -<≤≤<或18.【解析】由题意(1,2)C ，2r ．（1）过点M 且斜率不存在的直线为3x =与圆C 相切，过点M 且斜率存在的直线，设其方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=，2=，解得34k =，切线方程为35044x y --=，即3450x y --=．∴所求切线方程为3x =或3450x y --=． （2）d ==∴==34a =-． 19．【解析】（1）证明：取PD 中点Q ，连EQ ，AQ ，则12QE CD AB == //////QE CD CD AB QE AB QE AB ⎧⎪⇒⎨⎪=⎩且QE AB = ⇒四边形ABEQ 是平行四边形//BE AQ ⇒D ABCPE////BE AQ AQ PAD BE BE PAD ⎧⎪⊂⇒⎨⎪⊄⎩平面平面平面PAD （2）证明：PA ABCDPA CD CD ABCD ⊥⎧⇒⊥⎨⊂⎩平面平面，又CD AD ⊥，PAAD A =CD ∴⊥平面PAD 又AQ ⊂平面PAD AQ CD ∴⊥，又PA AD =，Q 为PD 的中点AQ PD ∴⊥，又PD CD D =AQ ∴⊥平面PCD又//BE AQ BE ⇒⊥平面PCD ．20．（1）直线方程为：)31y x =+，联立得到：)221231x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得到12212237233037y y y y y ⎧+=⎪⎪--=∴⎨⎪=-⎪⎩()221212121121262424977ABF S c y y y y y y ∆=⨯-=+-=+=（2）设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程相减得到()()()()1212121202x x x x y y y y +-++-=设中点为(),P x y ，则121220y y x yx x -+=-，121222y y y k x x x --==--代入化简得到：222240x x y y -+-=（椭圆内部部分）21．【解析】（1）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ，∵AB||CE,AB=CE ，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE ， ∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=，23DAB ABC π∠=∠=, ∴在等腰ADB ∆中，6ADB ABD π∠=∠=∴2362DBC πππ∠=-=,即BD ⊥BC ，∴BD⊥AE，翻折后可得：OP⊥AE,OB⊥AE，又,,OP POB OB POB OP OB O⊂⊂=平面平面，AE POB∴⊥平面，,PB POB AE PB⊂∴⊥平面；（2）解：在平面POB内作PQ⊥OB,垂足为Q，因为AE⊥平面POB，∴AE⊥PQ，因为OB⊂平面ABCE, AE⊂平面ABCE,AE∩OB=O∴PQ⊥平面ABCE，∴直线PB与平面ABCE夹角为4PBQπ∠=，又因为OP=OB，∴OP⊥OB，∴O、Q两点重合，即OP⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为3131313(,0,0),(,0,),(,222P E C PE EC∴=-=,设平面PCE的一个法向量为1(,,)n x y z=，则1113022,,01322x zPE nEC nx y⎧-=⎪⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪+=⎪⎩设3x y=-1,z=1，∴1(3,-1,1)n=，由题意得平面PAE的一个法向量2(0,1,0)n=，设二面角A-EP-C为α，1212||5|cos|=||||5n nn nα⋅==.易知二面角A-EP-C为钝角，所以5cosα.22．【解析】（1）因为直线AB 过焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为2p x my =+，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y mpy p --=，所以有2124y y p =-=-，0p >，2p ∴=，因此，抛物线E 的方程24y x =；（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+，联立抛物线的方程2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-，则有1113m k y =+，2213m k y =+， 因此22222221212121211331111=269m m m m k k y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()221212222122212122484926926954162y y y y m y y mm m m m m y y y y +-++=+⋅+⋅=+⋅+⋅=+-. 因此，当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。