江苏省苏州市常熟市2021-2022高二数学上学期期中试题(含解析).doc
2021-2022学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合M ={x|−2≤x ≤3}，N ={x|log 2x ≤1}，则M ∩N =( )A. [−2,3]B. [−2,2]C. (0,2]D. (0,3]2. 若a >0，b >0，则“ab <1”是“a +b <1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若tanα=34，则1+sin2α1−2sin 2α=( )A. −17B. −7C. 17D. 74. 函数f(x)=(3x −x 3)sinx 的部分图象大致为( )A.B.C.D.5. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. −58B. 14C. 18D. 1186. 定义方程f(x)=f′(x)的实数根x.叫做函数f(x)的“躺平点”.若函数g(x)=lnx ，ℎ(x)=x 3−1的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为( )A. α≥βB. a >βC. α≤βD. α<β7. 已知函数f(x)=Asin(ωx −π6)(A >0,ω>0)，直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，(其中k ∈N ∗)，若a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，则A =( )B. 2C. √2D. 2√3A. 2√338.设数列{a m}(m∈N∗)，若存在公比为q的等比数列{b m+1}(m∈N∗)，使得b k<a k<b k+1，其中k=1，2，…，m，则称数列{b m+1}为数列{a m}的“等比分割数列”，则下列说法错误的是()A. 数列{b5}：2，4，8，16，32是数列{a4}：3，7，12，24的一个“等比分割数列”B. 若数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，则有a1<⋯<a k−1<a k<⋯<a n和b1<⋯<b k−1<b k<⋯<b n<b n+1成立，其中2≤k≤n，k∈N∗C. 数列{a3}：−3，−1，2存在“等比分割数列”{b4}D. 数列{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,…,10)，若数列{a10}的“等比分割数列”{b11}的首项为1，则公比q∈(2,2109)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）=2−i(i为虚数单位)，设复数z=(a+1)+(a−1)i，则下列9.已知实数a满足3−ai1+i结论正确的是()A. z为纯虚数B. z2为虚数C. z+z−=0D. z⋅z−=410.已知不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是()A. −1B. 3C. 2D. 011.关于函数f(x)=sin|x|+|cosx|有下述四个结论，则()A. f(x)是偶函数B. f(x)的最小值为−1,π)单调递增C. f(x)在[−2π,2π]上有4个零点D. f(x)在区间(π212.如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则()A. CP的最小值为√32B. 当P在直线AE上运动时，三棱锥D−BPF的体积不变C. PD+PF的最小值为√2−√2D. 三棱锥A−DCE的外接球表面积为3π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知曲线y =me x +xlnx 在x =1处的切线方程为y =3x +n ，则n =______． 14. 已知数列{a n }是等差数列，a 1>0，a 3+3a 7=0，则使S n >0的最大整数n 的值为______．15. 某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道．要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元(不考虑宽度厚度等因素)，则水池面积最大值为______平方米．16. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(1−x)=f(x)，则f(x)的最小正周期为______；若对任意的x 1，x 2∈[0,12]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，则关于x 的不等式f(x)≤sinπx 在区间[−32,32]上的解集为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ =(2sinx,2sin(x +π4))，向量b ⃗ =(cosx,√62(cosx −sinx))，记f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ (x ∈R)． (1)求f(x)表达式；(2)解关于x 的不等式f(x)≥1．18. 在下列条件：①数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n 2−a n }为常数列，②S n =12(a n +n +1)(n ∈N ∗)，③a 3=2，S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，______． (1)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n ； (2)设b k =1S 2k ⋅S 2k+1(k ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <34(n ∈N ∗)．19.在等腰直角三角形ABC中，已知∠ACB=90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD=4．(1)若D为AB的中点，三角形CDE的面积为4，求证：E为CB的中点；(2)若BD=2AD，求△ABC的面积．20.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC=2，BC=CD=1，∠CAD=30°，∠ACB=60°，M是PB上一点，且PB=3MB，N是PC中点．(1)求证：PC⊥BD；(2)若二面角P−BC−A大小为45°，求棱锥C−AMN的体积．−alnx(a>0)．21.已知函数f(x)=ax−1x(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，且不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2恒成立，求实数m的取值范围．22.已知函数f(x)=lnx−x+2sinx，f′(x)为f(x)的导函数，求证：(1)f′(x)在(0,π)上存在唯一零点；(2)f(x)有且仅有两个不同的零点．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合M={x|−2≤x≤3}=[−2,3]，N={x|log2x≤1}=(0,2]，则M∩N= (0,2]．故选：C．先化简集合N，再根据交集的运算即可求出．本题考查描述法、区间的定义，以及对数不等式的解法和交集的运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵a>0，b>0，⇒∵ab<1，令a=4，b=18，则a+b>1，∴充分性不满足．⇐当a+b<1时，0<a<1且0<b<1，所以ab<1，∴a>0，b>0，ab<1a+b<1的必要不充分条件，故选：B．判断充分条件、必要条件时均可以列举出满足条件的数，或使之不成立的数．本题考查了充分、必要条件的判断，可以列举出满足条件的具体数进行判断，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为tanα=34，所以1+sin2α1−2sin2α=sin2α+cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α−2sin2α=tan 2α+1+2tanα1−tan 2α=(34)2+1+2×341−(34)2=7． 故选：D ．由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式将1+sin2α1−2sin 2α用tanα表示，再求值即可．本题主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵f(−x)=(−3x +x 3)sin(−x)=(3x −x 3)sinx =f(x)， ∴f(x)为偶函数，排除选项C ；当0<x <√3时，3x −x 3>0，sinx >0，∴f(x)>0， 当√3<x <π时，3x −x 3<0，sinx >0，∴f(x)<0， 故选：A ．根据函数奇偶性的概念可判断f(x)为偶函数，排除选项B ，再对比剩下选项，需考虑0<x <√3和√3<x <π时，f(x)与0的大小关系即可作出选择．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】 【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题． 由题意画出图形，把AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，然后代入数量积公式得答案． 【解答】解：如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE =2EF ，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +32DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−54|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°+34×12 =−54×1×1×12+34=18． 故选：C ．6.【答案】D【解析】解：g(x)=lnx 定义域为(0,+∞)，g′(x)=1x ， 由题意得：lnα=1α，令t(x)=lnx −1x ，x ∈(0,+∞)， 则α为函数t(x)=lnx −1x 的零点，t′(x)=1x +1x 2>0， 所以t(x)=lnx −1x 在x ∈(0,+∞)上单调递增，又t(1)=−1<0，t(e)=1−1e >0，由零点存在性定理，α∈(1,e)． 另外ℎ(x)=x 3−1，ℎ′(x)=3x 2，由题意得：β3−1=3β2，令s(x)=x 3−1−3x 2，则β为函数s(x)=x 3−1−3x 2的零点，s′(x)=3x 2−6x ， 令s′(x)>0得：x >2或x <0，令s′(x)<0得：0<x <2，所以s(x)=x 3−1−3x 2单调递增区间为(−∞,0)，(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)， s(x)在x =0处取得极大值，s(0)=−1<0，在x =2处取得极小值， 故s(x)在(−∞,2)上无零点，因为函数在(2,+∞)上单调递增，且s(3)=27−1−27<0，s(4)=64−1−48>0，由零点存在性定理：β∈(3,4) 所以α<β． 故选：D ．对g(x)=lnx 求导，构造函数t(x)=lnx −1x ，研究其单调性和零点，利用零点存在性定理求出α∈(1,e)；同样的方法求出β∈(3,4)，得到答案．本题主要考查新定义的应用，利用导数研究函数的单调性的方法，函数零点存在定理及其应用等知识，属于中等题．7.【答案】B【解析】解：设函数周期为T ，由直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，(其中k ∈N ∗)，易知a 2k+1−a 2k−1=T ，因为a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，所以a 2k −a 2k−1=13T ， 令顶点为(m,A)，所以m −a 2k−1=T6， 所以a 2k−1到左边零点的距离为T12，将y =sinx 与y =Asin(ωx −π6)相对比，确定1与A 两个最大值的比例， 当x ∈[0,π2]时，π2×T 12T 6+T 12=π6，所以1A =sinπ6sin π2=12，所以A =2，故选：B ．由正弦型函数的图象易知a 2k+1−a 2k−1=T ，结合条件可得a 2k −a 2k−1=13T ，设出顶点坐标，结合图象找到对应比例可求得A ．本题考查了y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：对于A ，数列{b 5}：2，4，8，16，32，数列{a 4}：3，7，12，24， 因为2<3<4<7<8<12<16<24<32，所以{b5}是{A4}的一个“等比分割数列”，故A正确；对于B，因为数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，所以b k<a k<b k+1，k=1，2，…，n，则b k+1<a k+1<b k+2，所以b k<a k<b k+1<a k+1，故b k<b k+1，a k<a k+1，所以数列{a n}和数列{b n}均为单调递增数列，故B正确；对于C，假设存在{b4}是{a3}：−3，−1，2的“等比分割数列”，所以b1<−3<b2<−1<b3<2<b4，因为−3<b2<−1，b1<−3，故q=b2b1∈(0,1)，q=b3b2∈(0,1)，因为−3<b2<−1，所以−1<b3<0，因为b4<2，则q=b4b3<0，产生矛盾，故假设不成立，故C错误；对于D，{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,...,10)，{b11}的首项为1，公比为q(q>1)，所以b n=q n−1，n=1，2， (11)因为b n<a n<b n+1，n=1，2， (10)则q n−1<2n<q n，n=1，2， (10)故2<q<2n n−1，n=2， (10)因为2n n−1=21+1n−1关于n单调递减，所以2<q<2109，即q∈(2,2109)，故D正确．故选：C．利用“等比分割数列”的定义，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了数列的综合应用，考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．9.【答案】ACD【解析】解：∵3−ai1+i=2−i，∴3−ai=(2−i)(1+i)=3+i，∴a=−1，∴z=−2i，∴z为纯虚数，故选项A正确，∴z2=(−2i)2=−4，为实数，故选项B错误，∴z+z−=−2i+2i=0，故选项C正确，∴z⋅z−=(−2i)×2i=4，故选项D正确，故选：ACD．利用复数的四则运算求解．本题主要考查了复数的四则运算，是基础题．10.【答案】AD【解析】解：∵不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，∴△=4a2+4(b−1)=0，即a2=1−b≥0，∴b≤1，故选：AD．由不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，得到△=0，求出b的取值范围即可．本题主要考查了一元二次不等式的应用，属于基础题．11.【答案】ABC【解析】解：对于A，函数定义域为R，f(−x)=sin|−x|+|cos(−x)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；对于B，f(x+2π)=sin|x+2π|+|cos(x+2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以2π是函数f(x)=sin|x|+|cosx|的一个周期，当x∈[0,π2]时，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，此时f(x)的最小值为1，当x∈(π2,32π]时，f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，此时f(x)的最小值为−1，当x ∈(3π2,2π]时，f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)， 此时f(x)的最小值为−1，所以f(x)的最小值为−1，故B 正确；对于C ，当x ∈[0,π2]时，f(x)={sinx +cosx,0≤x ≤π2sinx −cosx,π2<x ≤3π2sinx +cosx,3π2<x ≤2π， 令f(x)=0，可得x =5π4，7π4， 又f(x)为偶函数，所以f(x)[−2π,2π]上有4个零点，故C 正确；对于D ，当x ∈(π2,π)时，sin|x|=sinx ，|cosx|=−cosx|， 则f(x)=sinx −cosx =√2sin(x −π4)， 当x ∈(π2,π),x −π4∈(π4,3π4)，所以函数f(x)在(π2,π)上不具备单调性，故D 错误； 故选：ABC ．利用奇偶性定义可判断A ；由f(x +2π)=sin|x +2π|+|cos(x +2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，确定2π为函数f(x)的一个周期，求出一个周期内函数的最小值，可判断B ；由于函数为偶函数，故研究x ∈[0,2π]时函数的零点情况，从而可得[−2π,2π]函数零点情况，可判断C ；确定(π2,π)上函数的解析式，可判断D ．本题考查了分段函数的奇偶性，单调性，周期性，最值等相关知识，属于中档题．12.【答案】BD【解析】解：对于A ，连接DP ，CP ，易得CP =√DP 2+CD 2=√DP 2+1≥√12+1=√62，故A 错误；对于B ，P 在直线AE 上运动时，△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，故三棱锥D −BPF 的体积不变，故B 正确；对于C ，如图，将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，则当D 、P 、F 三点共线时，PD +PF 取得最小值√(√22)2+(√22+1)2=√2+√2，故C 错误；对于D ，将该几何体补成正方体，则外接球半径为√32，外接球表面积为3π，故D 正确．故选：BD ．由题可知CP =√DP 2+CD 2，可判断A ；根据条件可知△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，可判断B ；将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，即可判断C ；由正方体的性质可判断D ．本题主要考查立体几何中的最值问题，锥体体积的计算，锥体的外接球问题等知识，属于中等题．13.【答案】−1【解析】解：由y =me x +xlnx ，得y′=me x +lnx +1， 则y′|x=1=me +1=3，即me =2， 又me =3+n ，∴3+n =2，即n =−1．故答案为：−1．求出原函数的导函数，再由函数在x=1处的导数值为3求得m值，然后利用函数在x=1时的函数值相等列式求解n．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．14.【答案】10【解析】解：数列{a n}是等差数列，a1>0，a3+3a7=0，∴a1+2d+3(a1+6d)=0，解得a1=−5d，d<0，∴S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)，∵d<0，n>0，∴S n>0时，n<11，∴使S n>0的最大整数n的值为10．故答案为：10．由等差数列通项公式求出a1=−5d，d<0，从而S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)，由此能求出使S n>0的最大整数n的值．本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】400【解析】解：由题意，扇形的弧长AB为l=θr，扇形的面积为S=12θr²，由题意400×12θr²+1000(2r+θr)≤24×104；化简得θr2+5(2r+θr)≤1200(∗)；又θr+2r≥2√2θr2，所以θr2+10√2θr2≤1200；设t=√2θr2，t>0，则t 22+10t ≤1200，解得−60≤t ≤40，所以当θr =2r =40时，面积S =12θr²的最大值为400． 故答案为：400．求出扇形的面积，得到关于θ，r 的不等式，利用基本不等式求出面积的最大值． 本题考查了利用数学知识解决实际问题，考查了扇形的面积，考查了基本不等式运用以及最值的计算问题，是中档题．16.【答案】2 [−1,0]∪[1,32]【解析】解：因为f(1−x)=f(x)，且f(x)是定义在R 上的奇函数， 所以f(−x)=−f(x)， 则f(1−x)=−f(−x)，则f(2−x)=−f(1−x)=f(−x)， 所以f(x)的最小正周期为2；因为对任意的x 1，x 2∈[0,12]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，不妨设x 1>x 2，则f(x 1)−f(x 2)>πx 1−πx 2， 故f(x 1)−πx 1>f(x 2)−πx 2，故函数y =f(x)−πx 在[0,12]上为增函数，所以当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥f(0)−π×0=0， 令g(x)=sinπx ， 则y =sinπx −πx ， 因为y′=πcosπx −π≤0，所以y =sinπx −πx 是单调递减函数，当x ∈[0,12]时，g(x)−πx =sinπx −πx ≤g(0)−0=0， 即当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥g(x)−πx ， 故f(x)≥g(x)，由对称性以及周期性作出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示，所以f(x)≤sinπx在区间[−32,32]上的解集为[−1,0]∪[1,32]．利用奇函数的定义结合已知的恒等式，可得f(2−x)=f(−x)，利用周期的定义即可得到答案；将已知的不等式变形，利用函数单调性的定义得到函数y=f(x)−πx在[0,12]上为增函数，从而f(x)−πx≥0，令g(x)=sinπx，由y=sinπx−πx是单调递减函数，得到g(x)−πx≤0，从而f(x)≥g(x)，作出f(x)与g(x)的图像，即可得到答案．本题考查了函数性质的综合应用，函数的周期性以及奇偶性定义的理解与应用，函数单调性定义的应用，利用导数研究函数单调性的运用，考查了逻辑推理能力与数形结合法的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为a⃗=(2sinx,2sin(x+π4))，b⃗ =(cosx,√62(cosx−sinx))，f(x)=a⃗⋅b⃗ =(2sinx,2sin(x+π4))⋅(cosx,√62(cosx−sinx))=2sinxcosx+2×√6 2sin(x+π4)(cosx−sinx)=2sinxcosx+√3(cos2x−sin2x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，所以f(x)=2sin(2x+π3)；(2)由(1)得2sin(2x+π3)≥1，所以sin(2x+π3)≥12，即π6+2kπ≤2x+π3≤5π6+2kπ,(k∈Z)，解得−π12+kπ≤x≤π4+kπ,(k∈Z)，所以不等式解集为[−π12+kπ,π4+kπ],(k∈Z)．【解析】(1)由向量的数量积运算以及三角恒等变换化简，得函数f(x)的表达式； (2)由正弦函数的性质，整体代换可得不等式的解集．本题考查了三角函数的恒等变换，解三角不等式，属于基础题．18.【答案】解：(1)选条件①时，数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n2−a n }为常数列，所以a n 2−a n =a 12−a 1=2，解得a n =2或a n =−1；所以数列{a n }为2，−1，2，−1，2，−1，.......， 所以a n +a n−1=1(n ≥2)， 即a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)， 所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列； 所以a n −12=32×(−1)n−1， 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1； 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．选条件②时，S n =12(a n +n +1)， 所以S n−1=12(a n−1+n −1+1)， 上面两式相减得：a n =12a n −12a n−1+12， 整理得a n =−a n−1+1(n ≥2)， 整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)， 所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列； 所以a n −12=32×(−1)n−1， 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1； 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．选条件③时，a 3=2，S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中，转换为S n+1−S n−1=1(常数)，即a n+1+a n =1， 所以所以a n +a n−1=1(n ≥2)， 即a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)， 所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列； 所以a n −12=32×(−1)n−1， 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1； 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．(2)由(1)得：S 2k =3+2×2k4+34⋅(−1)2k−1=k ，S 2k+1=3+2×(2k+1)4+34⋅(−1)2k+1−1=k +2， 所以：b k =1S2k ⋅S 2k+1=1k(k+2)=12(1k −1k+2)，所以T n =12(1−13+12−14+13−15+...+1k −1k+2)=12(1+12−1k+1−1k+2)=34−12(1k+1+1k+2)<34．【解析】(1)选条件①时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件②时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件③时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；(2)利用(1)的结论，进一步利用数列的求和及裂项相消法和放缩法的应用求出结果． 本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法的求和，裂项相消法和放缩法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】证明：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中点，∴CD是△ABC的中线，角平分线，高线，∴CD⊥AB，CD=AD，∴S△BCD=12×4×4=8，又S△CDE=4=12S△BCD，∴E为CB中点．解：(2)作CF⊥AB于F，∴∠AFC=∠BCF=90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴CF=BF=AF=12AB，在直角三角形CFD中，CD2=CF2+DF2=CF2+(AF−AD)2，设AD=x，∴BD=2AD=2x．∴AB=AD+BD=3x，∴CF=AF=BF=12AB=32x，∴CD2=CF2+(AF−AD)2，∴42=(32x)2+(32x−x)2，解得x=4√105，则AB=12√105，CF=6√105，∴S△ABC=12AB⋅CF=12×12√105×6√105=725．【解析】(1)由等腰三角形的性质证明即可，(2)设出AD的长，再在三角形CFD中应用勾股定理求解出AD，再求AB及面积即可．本题考察等腰三角形的性质的应用，及勾股定理，属于中档题．20.【答案】(1)证明：因为AC=2，BC=1，∠ACB=60°，AC=2，所以AB2=BC2+AC2−2⋅BC⋅AC⋅cos60°，整理得AC2=AB2+BC2，所以AB⊥BC，因为CD=1，∠CAD=30°，AC=2，所以CDsin30∘=ACsin∠ADC，所以sin∠ADC=1，所以∠ADC=90°，所以AD⊥CD，所以∠ACD=∠ACB=60°，所以BD⊥AC，因为PA⊥底面ABCD，所以PC在平面ABCD内投影是AC，所以PC⊥BD．(2)解：由(1)知BD⊥平面PAC，设点M到平面PAC距离为ℎ，因为BO=BC⋅sin60°=√32，又因为PB=3MB，所以ℎ=BO⋅23=√33，因为PB在平面ABCD内的投影是AB，BC⊥AB，所以BC⊥PB，所以∠PBA是二面角P−BC−A的平面角，所以∠PBA=45°，所以PA=AB=AC⋅sin60°=√3，V C−AMN=V M−ANC=13⋅S ANC⋅ℎ=13⋅12⋅S PAC⋅ℎ=13⋅12⋅12⋅AC⋅AP⋅ℎ=16．【解析】(1)只要证明BD垂直于PC在平面ABCD内的投影AC即可；(2)用等体积法求解．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了四面体体积问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=a+1x2−ax=ax2−ax+1x2，令f′(x)=0，则ax2−ax+1=0，①当△=a2−4a≤0，即0<a≤4时，f′(x)≥0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，无递减区间；②当△=a2−4a>0，即a>4时，方程ax2−ax+1=0的解为x=a±√a2−4a2a，且当0<x<a−√a2−4a2a 和x>a+√a2−4a2a时，f′(x)>0，f(x)递增，当a−√a2−4a2a<x<a+√a2−4a2a时，f′(x)<0，f(x)递减，综上，当0<a≤4时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；当a>4时，f(x)的单调递增区间为(0,a−√a2−4a2a ),(a+√a2−4a2a)，单调递减区间为(a−√a2−4a2a ,a+√a2−4a2a)；(2)若f(x)有两个极值点，由(1)知，a>4，且x1，x2是方程ax2−ax+1=0的两个不等的实数根，∴x1+x2=1,x1x2=1a，∴不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2即为ax1−1x1−alnx1+ax2−1x2−alnx22>12a−2−aln12+am，∴a(x1+x2)−x1+x2x1x2−aln(x1x2)>a−4+2aln2+2am，∴a−a−aln1a >a−4+2aln2+2am，即2m<lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a −2ln2−1，则ℎ′(a)=1a−4a2=a−4a2>0，∴ℎ(a)在(4,+∞)上单调递增，则ℎ(a)>ℎ(4)=0，∴m≤0，即实数m的取值范围为(−∞,0]．【解析】(1)对函数f(x)求导，令f′(x)=0，然后分0<a≤4及a>4讨论导函数与零的关系，进而得到单调性情况；(2)依题意，x1+x2=1,x1x2=1a ，则原不等式可转化为2m<lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a−2ln2−1，求出ℎ(a)的最小值即可得到实数m的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分离参数思想及分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)设g(x)=f′(x)=1x−1+2cosx，当x∈(0,π)时，g′(x)=−2sinx−1x2<0，所以g(x)在(0,π)上单调递减，又因为g(π3)=3π−1+1>0，g(π2)=2π−1<0，所以g(x)在(π3,π2)上有唯一的零点α，即f′(x)在(0,π)上存在唯一的零点α；(2)①由(1)可知，当x∈(0,α)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，当x∈(α,π)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以f(x)在x∈(0,π)上存在唯一的极大值点α，且α∈(π3,π2 )，所以f(α)>f(π2)=lnπ2−π2+2>2−π2>0，又因为f(1e2)=−2−1e2+2sin1e2<−2−1e2+2<0，所以f(x)在(0,α)上恰有一个零点，又因为f(π)=lnπ−π<2−π<0，所以f(x)在(α,π)上也恰有一个零点；②当x∈[π,2π)时，sinx≤0，f(x)≤lnx−x，设ℎ(x)=lnx−x，则ℎ′(x)=1x−1<0，故ℎ(x)在[π,2π)上单调递减，所以ℎ(x)≤ℎ(π)<0，故当x∈[π,2π)时，f(x)≤ℎ(x)≤ℎ(π)<0恒成立，所以ℎ(x)在[π,2π)上没有零点；③当x∈[2π,+∞)时，f(x)≤lnx−x+2，令m(x)=lnx−x+2，则m′(x)=1x−1<0，故m(x)在[2π,+∞)上单调递减，所以m(x)≤m(2π)<0，则当x∈[2π,+∞)时，f(x)≤m(x)≤m(2π)<0恒成立，所以f(x)在[2π,+∞)上没有零点．综上所述，f(x)有且仅有两个零点．【解析】(1)设g(x)=f′(x)，利用导数研究函数g(x)的单调性，然后由零点的存在性定理证明即可；(2)分x∈(0,π)，x∈[π,2π)，x∈[2π,+∞)三种情况，分别利用导数研究函数的单调性以及函数的取值情况，结合零点的存在性定理进行分析证明即可．本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，利用导数研究函数单调的运用，函数零点存在性定理的运用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．。
江苏省常熟市2021-2022高二数学下学期期中试题 理(含解析)
2021-2022第二学期期中试卷高二数学（理科）一、填空题：请把答案填写在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．.1.已知，那么_____.【答案】8【解析】【分析】由排列数的公式将原式化为关于的一元二次方程，即可求出结果.【详解】因为，所以，即，因为，所以.故答案为8【点睛】本题主要考查排列数的计算，熟记公式即可，属于基础题型.2.设是虚数单位，若复数满足，则_____.【答案】【解析】【分析】先将化为，再由复数的除法运算法则，即可得出结果.【详解】因为，所以.故答案为【点睛】本题主要考查复数的除法，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.3.在某比赛中，选手需从5个试题中选答3题，若有1题是必答题，则有____种选题方法. 【答案】6【解析】【分析】从5个试题中选答3题，有1题必答题，等价于从4个非必答题中选答2题，进而可得出结果.【详解】因为选手需从5个试题中选答3题，若有1题是必答题，所以只需该选手从4个非必答题中选答2题，即有种选题方法.故答案为6【点睛】本题主要考查组合问题，熟记概念即可，属于基础题型.4.若的二项展开式中二项式系数的和为______.【答案】32【解析】【分析】根据的二项展开式中二项式系数之和为，可直接得出结果.【详解】因为的二项展开式中二项式系数之和为，所以的二项展开式中二项式系数的和为.故答案为32【点睛】本题主要考查二项式系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.5.已知随机变量的分布列为，那么实数_____. 【答案】3【解析】【分析】根据概率之和为1，即可求出结果.【详解】因为随机变量的分布列为，所以，因此.故答案为3【点睛】本题主要考查概率的性质，熟记概率性质即可，属于基础题型. 6.若直线与曲线的图象相切，则实数的值是______.【答案】【解析】【分析】先设直线与曲线的切点坐标，对函数求导，表示出在该点处的切线斜率，再由直线斜率，即可求出切点坐标，进而可求出结果.【详解】设直线与曲线的切点为，由得，所以曲线在点处的切线斜率为，又直线与曲线切于点，所以，因此，所以或，因为点在直线上，所以.故答案为【点睛】本题主要考查由直线与曲线相切求参数，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.7.设是虚数单位，若复数满足，则的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】先设复数所对应坐标为，根据得到所满足关系式，再由表示点到原点的距离，进而可求出结果.【详解】设复数所对应坐标为，由得，即，所以表示圆上的点到原点的距离，因此，（其中为圆的半径）.故答案为3【点睛】本题主要考查复数的几何意义，熟记复数与复平面内的点一一对应，即可求解，属于基础题型.8.在实数中：要证明实数，相等，可以利用且来证明.类比到集合中：要证明集合，相等，可以利用________来证明.【答案】且【解析】【分析】集合之间的是“包含”和“包含于”的关系。
江苏2022学年高二数学上学期中测试卷(含答案解析)
江苏地区2021~2022学年高二上期中测试数学卷测试时间：120分钟满分：150分一、单选题1.设x∈R，则“ x2−5x<0”是“ |x−1|<1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由|x−1|<1得，0<x<2由x2−5x<0得0<x<5由“小范围”推出“大范围”得出0<x<2可推出0<x<5故“ 0<x<5”是“ |x−1|<1”的必要而不充分条件.故答案为：B【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可.2.不等式2x+1<1的解集是（）．A．(−∞,−1)B．(1,+∞)C．(−∞,−1)∪(1,+∞)D．(−1,1)【答案】C【考点】其他不等式的解法【解析】由题意，不等式2x+1<1，可化为2x+1−1=1−xx+1<0，即x−1x+1>0，解得x<−1或x>1，即不等式2x+1<1的解集是(−∞,−1)∪(1,+∞).故答案为：C．【分析】化简不等式为x−1x+1>0，结合分式不等式的解法，即可求解.3.已知数列{a n}中，a1=2，a n=1−1a n−1(n≥2)，则a2021等于（）A． -1B．−12C．12D．2【答案】C【考点】数列递推式【解析】因为a1=2，所以a2=1−1a1=12,a3=1−1a2=−1,a4=1−1a3=2,......所以a n+3=1−1a n+2=1−11−1a n+1=1−11−11−1an=1−11−a na n−1=1−a n−1−1=a n，所以{a n}是周期为3的周期数列，所以a2021=a3×673+2=a2=12，故答案为：C．【分析】先计算出{a n}的前几项，然后分析{a n}的周期性，根据周期可将a2021=a3×673+2= a2，结合a1=2求解出结果.4.已知a>b>c，ac>0，则下列关系式一定成立的是（）A．c2>bc B．bc(a−c)>0C．a+b>c D．a2>b2【答案】B【考点】不等式的基本性质【解析】ac>0，∴a,c同号，又a>b>c，从而a,b,c同号，所以bc>0，而a−c> 0，所以bc(a−c)>0，B符合题意．c>0时，A不符合题意，a<0时，C,D都错．故答案为：B．【分析】根据不等式性质求解．5.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？A．6斤B．7斤C．9斤D．15斤【答案】D【考点】等差数列的前n项和【解析】因为每一尺的重量构成等差数列{a n}，a1=4，a5=2，∴a1+a5=6，数列的前5项和为S5=5×a1+a52=5×3=15．即金锤共重15斤，故答案为：D．【分析】直接利用等差数列的求和公式求解即可.6.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a5=2a4+3a3，则a6=（）A．2B．54C．162D．243【答案】C【考点】等比数列的通项公式【解析】设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由题意可得{a1q=2a1q4=2a1q3+3a1q2，解得q=3，∴a6=a2q4=162.故答案为：C【分析】由题意可得{a1q=2a1q4=2a1q3+3a1q2，解可得q的值，结合等比数列的通项公式分析可得答案.7.已知等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9]，则使数列{a n}的前n项和S n取得最大值的正整数n的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】∵关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9]，∴0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x=0的两个实数根，且d<0．∴−2a1d=9，可得：2a1+9d=0，∴a1=−9d2．∴a n=a1+(n−1)d=(n−11d2)，可得：a5=−d2>0，a6=d2<0．∴使数列{a n}的前n项和S n最大的正整数的值是5．故答案为：B．【分析】关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9],可得:0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x=0的两个实数根，且d<0，可得−2a1d =9，a1=−9d2，于是a n=a1+(n−1)d=(n−11d2)即可判断出结论.8.设S n是数列{a n}的前n项和，满足a n2+1=2a n S n，且a n>0，则S100=（）A．10B．3√11C．10−3√11D．11【答案】A【考点】数列递推式【解析】∵a n2+1=2a n S n∴a12+1=2a1S1∴a12=1∵a n>0∴a1=1∵a n2+1=2a n S n∴(S n−S n−1)2+1=2(S n−S n−1)S n,(n≥2)∴S n2−S n−12=1,(n≥2)因此数列{S n2}为等差数列，首项为1，公差为1，即S n2=1+(n−1)⋅1=n∵a n>0∴S n>0∴S n=√n∴S100=10故答案为：A【分析】首先求出数列的首项，进一步利用数列的递推关系式的应用整理出S n2−S n−12= 1,(n≥2)(常数),最后求出数列的通项公式，进一步确定结果.二、多选题9..关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)，则下列正确的是（）A．a<0B．关于x的不等式bx+c>0的解集为(−∞,−6)C．a+b+c>0D ． 关于x 的不等式 cx 2−bx +a >0 的解集为 (−∞,−13)∪(12,+∞)【答案】 A,C,D【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】【解答】A ．由已知可得 a <0 且 −2,3 是方程 ax 2+bx +c =0 的两根，A 符合题意，B ．由根与系数的关系可得： {−2+3=−ba −2×3=c a，解得 b =−a,c =−6a ，则不等式 bx +c >0 可化为： −ax −6a >0 ，即 x +6>0 ，所以 x >−6 ，B 不符合题意，C ．因为 a +b +c =a −a −6a =−6a >0 ，C 符合题意，D ．不等式 cx 2−bx +a >0 可化为： −6ax 2+ax +a >0 ，即 6x 2−x −1>0 ，解得 x >12 或 x <−13 ，D 符合题意， 故答案为：ACD ．【分析】 先由已知可得a <0且b =−a,c =−6a ，然后代入各个选项验证是否正确即可得出答案.10.当 x ≥1 时，下列函数的最小值为4的有（ ） A ． y =4x +1x B ． y =4x 2−4x+52x−1C ． y =x 2+5√x 2+1D ． y =5x −1x【答案】 B,C,D 【考点】平均值不等式【解析】【解答】A ．根据对勾函数的单调性可知： y =4x +1x 在 [1,+∞) 上单调递增，所以函数最小值为： 4×1+11=5 ，故不符合；B ． y =4x 2−4x+52x−1=(2x−1)2+42x−1=(2x −1)+42x−1≥2√(2x −1)⋅42x−1=4 ，取等号时 {2x −1=42x−1x ≥1，即 x =32，所以函数的最小值为4，故符合； C ． y =2√x 2+1=2√x 2+1=√x 2+1+√x 2+1≥2√√x 2+1⋅√x 2+14 ，取等号时 {√x 2+1=√x 2+1x ≥1，即 x =√3 ，所以函数的最小值为4，故符合； D ． y =5x −1x 在 [1,+∞) 为单调递增函数，所以函数的最小值为 5×1−1×1=4 ，故符合；故答案为：BCD ．【分析】 直接利用不等式的性质和均值不等式的应用和函数的单调性判断A 、B 、C 、D 的结论.11.设首项为1的数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=2S n+n−1，则下列结论正确的是（）A．数列{S n+n}为等比数列B．数列{a n}的通项公式为a n=2n−1−1 C．数列{a n+1}为等比数列D．数列{2S n}的前n项和为2n+2−n2−n−4【答案】A,D【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，等比关系的确定【解析】因为S n+1=2S n+n−1，所以S n+1+n+1S n+n =2S n+2nS n+n=2．又S1+1=2，所以数列{S n+n}是首项为2，公比为2的等比数列，A符合题意；所以S n+n=2n，则S n=2n−n．当n≥2时，a n=S n−S n−1=2n−1−1，但a1≠21−1−1，B不符合题意；由a1=1,a2=1,a3=3可得a1+1=2,a2+1=2,a3+1=4，即a3+1a2+1≠a2+1a1+1，C不符合题意；因为2S n=2n+1−2n，所以2S1+2S2+...+2S n=22−2×1+23−2×2+...+2n+1−2n=22+23+...+2n+1−2(1+2+...+n)=4(1−2n)1−2−2[n+n(n−1)2]=2n+2−n2−n−4所以数列{2S n}的前n项和为2n+2−n2−n−4，D符合题意．故答案为：AD．【分析】首先由上来的递推公式代入数值即可得出数列数列{S n+n}是等比数列，结合等比数列的通项公式即可得出数列{a n}的前n项和公式，再由数列前n项和公式与项之间的关系即可得出数列{a n}的通项公式，由数列的通项公式即可得出该数列为等比数列，借助等比数列的前n项和公式整理即可得出数列{2S n}的前n项和公式；由此对选项逐一判断即可得出答案.12.已知{a n}为等比数列，下列结论正确的是（）A．若a3=−2，则a22+a42≥8B．a32+a52≥2a42C．若a3=a5，则a1=a2D．若a5>a3，则a7>a5【答案】A,B,D【考点】基本不等式，等比数列的性质【解析】【解答】A．因为a22+a42≥2a2a4=2a32=8，取等号时a2=a4=±2，故正确；B．因为a32+a52≥2a3a5=2a42，取等号时a3=a5，故正确；C．设等比数列的公比为q，因为a3=a5，所以q2=a5a3=1，所以q=±1，当q=−1时，a1=−a2，故错误；D．设等比数列的公比为q，因为a5>a3且q2>0，所以a5⋅q2>a3⋅q2，所以a7> a5，故正确；故答案为：ABD．【分析】对于A,利用基本不等式及等比数列的性质即可判断得解；对于B,利用基本不等式及等比数列的性质即可判断得解；对于C,由a3=a5，得q=±1，当q=−1时，a1=−a2可判断C；由a5>a3且q2>0，所以a5⋅q2>a3⋅q2，所以a7>a5，即可判断D.三、填空题13..命题“ ∃x>0，x3+x<0”的否定为1．【答案】∀x>0，x3+x≥0【考点】命题的否定【解析】【解答】解：命题“ ∃x>0，x3+x<0”的否定为“ ∀x>0，x3+x≥0” 故答案为：∀x>0，x3+x≥0．【分析】特称命题的否定是全称命题，直接写出结果即可.14..已知实数x，y满足y>32且6xy−9x+2y−4=0，则3x+y的最小值是1.【答案】2√2+12【考点】基本不等式【解析】由6xy−9x+2y−4=0，可得y=9x+46x+2，∵y>32，∴9x+46x+2>32，解不等式可得，x>−13，则3x+y=3x+9x+46x+2=3x+3(3x+1)+12(3x+1)=3x+12(3x+1)+32，=3x+1+12(3x+1)+12⩾2√12+12=√2+12，当且仅当3x+1=12(3x+1)即x=√2−26时上式取等号，∴3x+y的最小值是√2+12，故答案为√2+12．【分析】由6xy-9x+2y-4=0，化为y=9x+46x+2，根据y>32求出x的取值范围，把3x+y化为只含有x的式子，根据x的取值范围求出3x+y的最小值.15..数列 {a n } 满足 a 1+2a 2+22a 3+⋅⋅⋅+2n−1a n =12n 2−72n ，若对任意 λ>0 ，所有的正整数n 都有 λ2−kλ+2>a n 成立，则实数k 的取值范围是 1 ． 【答案】 (−∞,√312)【考点】基本不等式，数列的函数特性【解析】【解答】记 b n =2n−1a n ，设 S n =a 1+2a 2+222a 3+⋅⋅⋅+2n−1a n =12n 2−72n ， 当 n =1 时， b 1=12−72=−3 ；当 n ≥2 时， b n =S n −S n−1=12n 2−72n −[12(n −1)2−72(n −1)]=n −4 ． 当 n =1 时， b 1=−3 也满足上式，所以 b n =n −4(n ∈N *) ，即 a n =n−42n−1 ． 显然当 n ≤3 时， a n <0 ， a 4=0 ，当 n ≥5 时， a n >0 ，因此 a n 的最大值若存在，必为正值． 当 n ≥5 时，a n+1a n=n−32(n−4) ，因为a n+1a n−1=5−n 2(n−4)≤0 ，当且仅当 n =5 时取等号．所以 a n 的最大值为 116．故 λ2−kλ+2>(a n )max =116，变形得， k <λ+3116λ，而 λ+3116λ≥2√3116=√312，当且仅当 λ=√314时取等号，所以 k <√312．故答案为： (−∞,√312) ．【分析】 先由题设求得a n ,然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意λ> 0，所有的正整数n 都有λ2−kλ+2>a n 成立转化为k <λ+3116λ， 对任意λ> 0恒成立，再利用基本不等式求得λ+3116λ的最小值，即可得到答案.16.已知数列 {a n } 满足： a n ={12,(n =1)[1+2⋅(−1)λ]a n−1+2(n ≥2) ， {a n } 的前 n 项和为 S n ，则当 λ=1 时， S 11= ________；当 λ=2 时，数列 {a n } 的通项公式为 a n = ________. 【答案】212；a n =3n 2−1【考点】数列的函数特性，数列的求和【解析】【解答】当 λ=1 时， a n =−a n−1+2 ，即 a n +a n−1=2 ，所以 S 11=(a 11+a 10)+(a 9+a 8)+(a 7+a 6)+(a 5+a 4)+(a 3+a 2)+a 1=2×5+12=212，λ=2 时， a n =3a n−1+2 ， 所以有 a n +1=3(a n−1+1) ，所以{a n+1}是以a1+1=32为首项，以3为公比的等比数列，所以a n+1=32⋅3n−1，所以a n=3n2−1，故答案为：①212；②a n=3n2−1.【分析】根据题意分情况讨论；当λ=1时，由数列的通项公式整理即可得出a n+a n−1=2结合已知计算出结果即可；当λ=2时，整理数列的通项公式即可得出a n+1=3(a n−1+1)进而得出数列{a n+1}为等比数列，由等比数列的通项公式即可求出a n+1=32⋅3n−1整理即可得到a n=3n2−1，从而得出答案.四、解答题17.已知关于x的不等式ax2−2x+a<0的解集为空集，函数f(x)=x+22x+1+m在x∈(−12,+∞)上的值域为B．（1）.求实数a的取值集合A及函数f(x)的值域B；（2）.对（1）中的集合A，B，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）1°若a=0，则−2x<0不符合；2°若a>0，则Δ=4−4a2≤0，则a≤−1或a≥1，∴a≥1；3°若a<0不成立；综上，a≥1，∴A=[1,+∞)．令t=2x+1∈(0,+∞)，则x=t−12．∴g(t)=t−12+2t+m=t2+2t+m−12≥2√t2⋅2t+m−12．当且仅当t2=4即t=2时等号成立，此时g(t)min=32+m．∴B=[32+m,+∞)．（2）∵x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴B是A的真子集，则32+m>1，解得m>−12．【考点】集合关系中的参数取值问题，基本不等式【解析】【分析】(1)通过讨论a的范围,求出集合A,根据函数的单调性求出B即可;(2)求出B是A的真子集,得到关于m的不等式，求出m的范围即可.18.已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=12，且2a1,a2,a3+1成等比数列.（1）.求{a n}的通项公式；（2）.设b n=a n3n，记数列{b n}的前n项和为T n，求T n【答案】（1）设公差为d，则∵S3=12，，即a1+a2+a3=12，∴3a2=12，∴a2=4，又∵2a 1 ， a 2 ， a 3+1成等比数列，∴a 22=2（a 2-d ）（a 2+d+1），解得d=3或d=-4（舍去）， ∴a n =a 2+（n -2）d=3n -2 （2）b n =a n 3n =3n−23n，∴ T n =1×13+4×132+7×133+⋯+(3n −2)×13n①①× 13得 13T n =1×132+4×133+7×134+⋯+(3n −5)×13n +(3n −2)×13n+1②①-②得 23T n =13+3×132+3×133+⋯+3×13n −(3n −2)×13n+1 =13+3×132×(1−13n−1)1−13−(3n −2)×13n+1=56−12×13n−1−(3n −2)×13n+1，∴ T n =54−14×13n−2−3n−22×13n =54−6n+54×13n ．【考点】数列的求和，等差数列的性质，等比数列的性质【解析】 (1)利用等差数列的性质以及S 3=12求出a 2=4，再由 2a 1,a 2,a 3+1 成等比数列求出公差即可求 {a n } 的通项公式； (2)把(1)的结论代入 b n =a n 3n,再利用错位相减法求T n .19..小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x 万件时，该产品需另投入流动成本 W(x) 万元．在年产量不足8万件时， W(x)=13x 2+x ，在年产量不小于8万件时， W(x)=6x +100x−38 ．每件产品的售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完，设年利润为 L(x) （单位：万元）．（1）.若年利润 L(x) （单位：万元）不小于6万元，求年产量x （单位：万件）的范围． （2）.年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】 （1）由题意得： L(x)=5x −W(x)−3当 x ∈(0,8) 时， L(x)=5x −(13x 2+x)−3=−13x 2+4x −3 ．∴ −13x 2+4x −3≥6 ，整理得： x 2−12x +27≤0 ，解得 3≤x ≤9 ．又∵ x ∈(0,8) ，∴ 3≤x <8 ． 当 x ∈[8,+∞) 时， L(x)=5x −(6x +100x−38)−3=35−(x +100x) ，∴ 35−(x +100x)≥6 ，整理得 x 2−29x +100≤0 ，解得 4≤x ≤25 ，又∵ x ∈[8,+∞) ，∴ 8≤x ≤25 ． 综上，x 的取值范围为 3≤x ≤25 ．（2）由（1）可知当 x ∈(0,8) 时， L(x)=−13x 2+4x −3=−13(x −6)2+9 ． ∴当 x =6 时， L(x)max =9 ． 当 x ∈[8,+∞) 时， L(x)=35−(x +100x)≤35−2√x ⋅100x=15 ．当且仅当 x =100x即 x =10 时， L(x)max =15 ．∵9<15，∴年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获得利润最大，且最大利润是15万元．【考点】二次函数的性质，根据实际问题选择函数类型，基本不等式【解析】(1)由题意可知L(x)=5x−W(x)−3，分段求出L(x)的解析式，令L(x)≥6,即可求出x的取值范围；(2)由(1)可知当x∈(0,8)时L(x)=5x−(13x2+x)−3=−13x2+4x−3，利用二次函数的性质求出L(x)的最大值，当x∈[8,+∞)时L(x)=5x−(6x+100x−38)−3=35−(x+ 100x)，利用基本不等式求出L(x)的最大值，再比较两者的大小，较大者即为L(x)的最大值.20.设函数f(x)=ax2−(3a+2)x+6．（1）.若f(x)>(a−2)x2−(a+1)x+1在x∈[−1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围；（2）.解关于x的不等式ax2−(3a+2)x+6>0．【答案】（1）∵f(x)>(a−2)x2−(a+1)x+1，∴2x2−(2a+1)x+5>0在x∈[−1,+∞)恒成立．令g(x)=2x2−(2a+1)x+5，则g(x)的最小值大于0，1°当2a+14≤−1，则a≤−52，x=−1时，g(x)min=g(−1)=8+2a>0，则a>−4，∴−4<a≤−522°当2a+14>−1，则a>−52，x=2a+14时，g(x)min=g(2a+14)>0，即Δ=(2a+1)2−40<0，∴−2√10<2a+1<2√10，−2√10−12<a<2√10−12，∴−52<a<2√10−12．综上−4<a<2√10−12．（2）1°当a=0时，则−2x+6>0，∴x<32°当a>0时，Δ=(3a+2)2−24a=(3a−2)2≥0，所以(ax−2)(x−3)>0，方程根为x1=2a或x2=3，①2a <3，即a>23时，x<2a或x>3；②2a >3，即0<a<23时，x<3或x>2a；③2a =3，即a=23时，x≠3．3°当a<0时，则x1=2a ，x2=3，∴2a<x<3．综上， a <0 解集为 (2a ,3) ； a =0 解集为 (−∞,3) ； 0<a <23 解集为 (−∞,3)∪(2a ,+∞) ； a =23 解集为 {x ∣x ≠3} ； a >23 解集为 (−∞,2a )∪(3,+∞) ． 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】 (1)将不等式化简归零,然后构造函数,研究函，数的单调性，令该函数的最小值大于零即可;(2)求出不等式对应方程的两个根，然后讨论两个根的大小结合函数的单调性求出不等式的解.21.设数列 {a n } 的前n 项和为 S n ，满足 S n +a n =An 2+Bn +1 ．且 a 1=1 ， a 2=32 ．（1）.求证：数列 {a n −n +1} 是等比数列并求数列 {a n } 的通项公式；（2）.令 b n =1a n −n+1 ，求数列 {b n(b n +1)(b n+1+1)} 的前n 项和 T n ，若对任意n 都有 T n >m ，求实数m 的取值范围．【答案】 （1）解：分别令 n =1、2 ，代入条件，得 {2a 1=A +B +12a 2+a 1=4A +2B +1又 a 1=1 ， a 2=32 ，解得 A =12 ， B =12 ． ∴ a n +S n =12n 2+12n +1 ，n ≥2 时， a n−1+S n−1=12(n −1)2+12(n −1)+1 ，∴ 2a n −a n−1=12(2n −1)+12=n ，∴ a n−1=2a n −n ，∵ a 1−1+1=1≠0 ，∴ a n −n+1a n−1−(n−1)+1=a n−n+12a n −2n+2=12 （常数）． ∴ {a n −n +1} 为等比数列且首项为1，公比为 12 ， ∴ a n −n +1=(12)n−1 ，∴ a n =n +(12)n−1−1 ． （2）b n =1an −n+1=2n−1 ∴ b n (b n +1)(b n+1+1)=2n−1(2n−1+1)(2n +1)=12n−1+1−12n +1 ∴ T n =(120+1−121+1)+(121+1−122+1)+(122+1−123+1)+⋅⋅⋅+(12n−1+1−12n +1)=12−12n +1又∵ T n 在 n ∈N ∗ 递增，∴ n =1 时， (T n )min =12−13=16 ．∴ m <16 ．【考点】数列的求和，数列递推式【解析】(1)根据数列的递推关系和等比数列的定义及通项公式可求出通项公式；(2)利用裂项相消法求出数列的和，进步利用恒成立问题的应用和函数单调性求出参数的范围.22.设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知数列{a n}满足na n+1−(n+ 1)a n=1(n∈N∗)，且a1=1．（1）.求数列{a n}的通项公式；（2）.求λ的值使数列{√4S n+4n+λ}为等差数列；（3）.数列{b n}满足b n=14S n−1，T n为数列{b n}的前n项和，是否存在正整数m，k(1< m<k)，使得T k=3T m2？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）na n+1−(n+1)a n=1，两边同时除以n(n+1)得：a n+1 n+1−a nn=1n−1n+1，从而有：a nn −a n−1n−1=1n−1−1n，……，a22−a11=1−12．叠加可得：a nn −a11=1−1n，a n=2n−1(n≥2)．又n=1满足等式，从而a n=2n−1．（2）因为a n+1−a n=2，所以{a n}是首项为1，公差为2为等差数列，所以S n=n+n(n−1)2×2=n2，假设√4S1+4+λ，√4S2+8+λ，√4S3+12+λ成等差数列，所以2√4S2+8+λ= √4S1+4+λ+√4S3+12+λ，解得λ=1．检验当λ=1时，√4S n+4n+λ=2n+1，√4S n+1+4(n+1)+λ=2n+3，√4S n+1+4(n+1)+λ−√4S n+4n+λ=2，∴当λ=1时，{√4S n+4n+λ}为等差数列．（3）∴b n=14n2−1=12(12n−1−12n+1)，∴T n=b1+b2+⋅⋅⋅+b n，=12[(1−13)+(13−15)+⋅⋅⋅+(12n−3−12n−1)+(12n−1−12n+1)]，=12(1−12n+1)=n2n+1，若T k=3T m2，则k2k+1=3m2(2m+1)2，整理得k=3m24m+1−2m2，又k>m>1，∴{3m24m+1−2m2>mm>1，整理得{2m2−m−14m+1−2m2>0m>1，解得1<m<1+√62又m∈N∗，∴m=2，∴k=12∴存在m=2，k=12满足题意【考点】数列的求和，等差数列的性质【解析】(1)直接利用关系式的变换的应用和叠加法的应用求出数列的通项公式；(2)利用关系式的变换和存在性问题的应用求出参数的值；(3)利用裂项相消法和存在性问题的应用求出结果.。
2021-2022年高二数学上学期期中试卷 理(含解析)
2021-2022年高二数学上学期期中试卷理（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．排列数=（）A． 6 B． 20 C． 60 D． 1202．已知等差数列{an }中，a5+a7+a9=21，则a7的值是（）A． 7 B． 9 C． 11 D． 133．给出下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④4．数列{an }的前n项和为Sn，若，则S5等于（）A． 1 B． C． D．5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A． AC⊥BEB． EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等6．已知正四棱锥P﹣ABCD棱长都等于a，侧棱PB，PD的中点分别为M，N，则截面AMN与底面ABCD所成锐二面角的正切值为（）A． B． C． 1 D．7．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2 B． C． D． 5πa28．6个人站成前后两排，每排3人，其中甲不站前排，乙不站在后排的站法总数为（） A． 72 B． 216 C． 360 D． 1089．已知等差数列{a n}满足a2=3，a5=9，若数列{b n}满足，则{b n}的通项公式为（）A． b n=3n+1 B． b n=2n+1 C． b n=3n+2 D． b n=2n+210．已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB，BC，BB1两两垂直且长度相等，点P在线段A1C1（包括端点A1，C1）上运动，直线BP与B1C所成角为θ，则θ的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分.11．在公比为2的等比数列{a n}中，，则a1= ．12．如图，用6种不同的颜色为一块广告牌着色，要求在四个区域中相邻的区域不用同一种颜色，则共有种不同的方法（用数值表示）．13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积为．14．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，左视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于．15．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，使二面角D﹣AE﹣B为60°，则直线AD与面ABCE所成角的正弦值为．16．已知数列{a n}满足a n=cos，则a1+a2+a3+…+a xx= ．17．如图，边长为4的正△ABC顶点A在平面α上，B，C在平面α的同侧，M为BC的中点．若△ABC在平面α上的射影是以A为直角顶点的三角形AB1C1，则M到平面α的距离的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18．已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．19．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：MN⊥平面A1B1C．20．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2．（1）求直线SD与平面ABCD所成角的正切值；（2）求二面角C﹣SA﹣B的大小的余弦值．21．已知数列{a n}中，．（1）求证：数列{a2n﹣1}与{a2n}（n∈N*）均为等比数列；（2）求数列{a n}的前2n项和T2n；（3）若数列{a n}的前2n项和为T2n，不等式3（1﹣ka2n）≥64T2n•a2n对n∈N×恒成立，求k 的最大值．22．已知直角三角形ABE，AB⊥BE，AB=2BE=4，C，D分别是AB，AE上的动点，且CD∥BE，将△ACD沿CD折起到位置A1CD，使平面A1CD与平面BCD所成的二面角A1﹣CD﹣B的大小为θ，设=λ，λ∈（0，1）．（1）若θ=且A1E与平面BCD所成的角的正切值为，求二面角A1﹣DE﹣B的大小的正切值；（2）已知λ=，G为A1E的中点，若BG⊥A1D，求cosθ的取值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．排列数=（）A． 6 B． 20 C． 60 D． 120考点：排列及排列数公式．专题：排列组合．分析：直接利用排列数公式求解即可．解答：解：排列数=5×4×3=60．故选：C．点评：本题考查排列数公式的应用，基本知识的考查．2．已知等差数列{a n}中，a5+a7+a9=21，则a7的值是（）A． 7 B． 9 C． 11 D． 13考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用等差数列的性质结合已知得答案．解答：解：在等差数列{a n}中，∵a5+a7+a9=21，∴3a7=21，得a7=7．故选：A．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．3．给出下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：利用空间两条直线关系的定义及判定方法，易判断①的对错；根据面面垂直的判定定理，可得到②的真假；根据空间两条直线垂直的定义及判定方法，可判断③的真假，结合面面垂直的判定定理及互为逆否命题同真同假，即可得到④的正误，进而得到结论．解答：解：分别与两条异面直线都相交的两条直线，可能相交也可能异面，故A错误；根据面面垂直的判定定理，当一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面一定相互垂直，故B正确；垂直于同一直线的两条直线可能平行与可能相交也可能异面，故C错误；由面面垂直的性质定理，当两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故D正确；故选D点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线、面之间位置关系的定义、判定、性质，建立良好的空间想象能力是解答本题的关键．4．数列{a n}的前n项和为S n，若，则S5等于（）A． 1 B． C． D．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵，∴…+==．∴．故选B．点评：熟练掌握“裂项求和”的方法是解题的关键．5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A． AC⊥BEB． EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等考点：棱柱的结构特征．专题：计算题．分析： A．AC⊥BE，可由线面垂直证两线垂直；B．EF∥平面ABCD，可由线面平行的定义证线面平行；C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；D．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF 的面积相等不正确．解答：解：A．AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确，不是正确选项；B．EF∥平面ABCD，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确，不是正确选项；C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A 点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；D．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF 的面积相等不正确，故D是错误的．综上应选D故选D点评：本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断．熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的知识保证．6．已知正四棱锥P﹣ABCD棱长都等于a，侧棱PB，PD的中点分别为M，N，则截面AMN与底面ABCD所成锐二面角的正切值为（）A． B． C． 1 D．考点：二面角的平面角及求法．专题：综合题；空间角．分析：证明BD⊥面PAC，过A作直线l∥BD，则l⊥EA，l⊥AO，可得∠EAO为所求二面角的平面角，即可得出结论．解答：解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的两对角线的交点，则PO⊥面ABCD，PO交MN于E，则PE=EO，又BD⊥AC，∴BD⊥面PAC，过A作直线l∥BD，则l⊥EA，l⊥AO，∴∠EAO为所求二面角的平面角．又EO=AO=a，AO=a，∴tan∠EAO=．故选：B．点评：本题考查二面角的平面角及求法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．7．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2 B． C． D． 5πa2考点：球内接多面体．专题：计算题．分析：由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选B．点评：本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．8．6个人站成前后两排，每排3人，其中甲不站前排，乙不站在后排的站法总数为（） A． 72 B． 216 C． 360 D． 108考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：由题意知本题是一个分步问题，先排有限制条件的元素，甲不在前排先安排甲，乙不在后排再安排乙，剩下的4个元素在4个位置排列，最后根据分步计数原理得到结果．解答：解：先排有限制条件的元素，甲不在前排，则甲有C31种站法，乙不在后排，则乙有C31种站法，剩下的4个元素在4个位置排列，有A44种结果，根据分步计数原理知共有C31C31A44=216，故选B．点评：本题考查分步计数原理，是一个站队问题，分步乘法计数原理首先确定分步标准，其次满足必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成．9．已知等差数列{a n}满足a2=3，a5=9，若数列{b n}满足，则{b n}的通项公式为（）A． b n=3n+1 B． b n=2n+1 C． b n=3n+2 D． b n=2n+2考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题．分析：由已知，求出等差数列{a n}通项公式，再代入得出{b n}的递推关系式，再求{b n}的通项公式解答：解：由已知，等差数列{a n}，d=2，则{a n}通项公式a n=2n﹣1，b n+1=2b n﹣1两边同减去1，得b n+1﹣1=2（b n﹣1 ）∴数列{b n﹣1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，b n﹣1=2×2 n﹣1=2n，∴b n=2n+1故选B点评：本题考查等差数列，等比数列的判断、通项公式、转化变形构造能力．10．已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB， BC，BB1两两垂直且长度相等，点P在线段A1C1（包括端点A1，C1）上运动，直线BP与B1C所成角为θ，则θ的取值范围是（）A． B． C． D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角；空间向量及应用．分析：画出图形，建立空间直角坐标系，设棱长AB=1，P（﹣a，1﹣a，1）（0≤a≤1），求出、的坐标表示，利用空间向量的夹角公式，求出结果．解答：解：画出图形，建立空间直角坐标系，如图所示；设棱长AB=1，则B（0，0，0），C（0，1，0），B1（0，0，1），设P（﹣a，1﹣a，1）（0≤a≤1），则=（﹣a，1﹣a，1），=（0，1，﹣1），∴cosθ=||=||=，当a=0时，cosθ=0，当a≠0时，cosθ=•=•；∵0＜a≤1，∴≥1，∴≥1，当且仅当a=1时“=”成立；∴cosθ≤，即0≤cosθ≤；又∵0≤θ≤，∴≤θ≤，即θ的取值范围是≤θ≤．故选：C．点评：本题考查了利用空间向量的知识求空间角的问题，解题时建立适当的坐标系是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分.11．在公比为2的等比数列{a n}中，，则a1= 2 ．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的定义，结合条件，即可求a1的值．解答：解：∵公比为2的等比数列{a n}中，，∴8a1=（2a1）2∵a1≠0∴a1=2故答案为：2点评：本题考查等比数列的通项，考查学生的计算能力，属于基础题．12．如图，用6种不同的颜色为一块广告牌着色，要求在四个区域中相邻的区域不用同一种颜色，则共有480 种不同的方法（用数值表示）．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：应用题；排列组合．分析：根据题意，分分四个步骤来完成着色，即依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数，由乘法原理计算可得答案．解答：解：完成着色这件事，共分四个步骤，即依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数，为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也只有4种方法．∴共有着色方法6×5×4×4=480，故答案为：480．点评：本题考查涂色问题，是排列、组合的典型题目，一般涉及分类加法原理与分步乘法原理，注意认真分析题意，把握好限制条件．13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积为6π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先求出圆锥的底面半径和母线长，然后再求圆锥的全面积．解答：解：一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则它的边长是a，所以=，∴a=2，这个圆锥的全面积是：2π+×2π××2=6π故答案为：6π．点评：本题考查圆锥的有关知识，考查空间想象能力，是基础题．14．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，左视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原几何体是底面是正方形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，求出底面面积，即可求出体积．解答：解：三视图复原几何体是底面是正方形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，底面对角线的长为1，高为2，底面面积是，所以它的体积是，故答案为：．点评：本题考查由三视图求体积，解答的关键是利用三视图复原原来的几何体，是基础题．15．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，使二面角D﹣AE﹣B为60°，则直线AD与面ABCE所成角的正弦值为．考点：直线与平面所成的角．专题：证明题；综合题；压轴题．分析：作DO垂直面ABCD，垂足为O，过O作OF垂直AE于F，连接DF、OA，则∠OFD为二面角D﹣AE﹣B的平面角等于60°，∠OAD为直线AD与面ABCD所成角，解三角形OFD，和三角形OAD，即可求出直线AD与面ABCE所成角的正弦值．解答：解：作DO垂直面ABCD，垂足为O，过O作OF垂直AE于F，连接DF、OA，则DF垂直AE，∠OFD为二面角D﹣AE﹣B的平面角，∠OFD=60°，∠OAD为直线AD与面ABCD所成角，AE==，DF•AE=AD•DE，DF==，=sin∠OFD=sin60°，DO=DF•=•=，sin∠OAD==故答案为：．点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中添加辅助线，构造出∠OAD为直线AD与面ABCD所成角，将线面夹角问题转化为解三角形问题，是解答本题的关键．16．已知数列{a n}满足a n=cos，则a1+a2+a3+…+a xx= ．考点：数列的求和．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：首先求出数列的周期，进一步求出结果．解答：解：，所以：，，，，，数列的周期为：3，所以：a1+a2+a3=0进一步求得：a1+a2+a3+…+a xx=，故答案为：．点评：本题考查的知识要点：数列的各项的值，数列的周期在运算中的应用．17．如图，边长为4的正△ABC顶点A在平面α上，B，C在平面α的同侧，M为BC的中点．若△ABC在平面α上的射影是以A为直角顶点的三角形AB1C1，则M到平面α的距离的取值范围是．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设出B，C到面的距离，则M到平面α的距离为两者和的一半，确定ab=8，即可求出M到平面α的距离的取值范围．解答：解：设B，C到平面α距离分别为a，b，则M到平面α距离为h=射影三角形两直角边的平方分别16﹣a2，16﹣b2，设线段BC射影长为c，则16﹣a2+16﹣b2=c2，（1）又线段AM射影长为，所以（）2+=12，（2）由（1）（2）联立解得ab=8，∵a＜4，b＜4，∴2＜a＜4，∴h=（a+）∈，故答案为：．点评：本题考查M到平面α的距离的取值范围，考查学生分析解决问题的能力，确定ab=8是关键．三、解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18．已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差为d，然后根据第三项为﹣6，第六项为0利用等差数列的通项公式列出方程解出a1和d即可得到数列的通项公式；（Ⅱ）根据b2=a1+a2+a3和a n的通项公式求出b2，因为{b n}为等比数列，可用求出公比，然后利用首项和公比写出等比数列的前n项和的公式．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差d．因为a3=﹣6，a6=0所以解得a1=﹣10，d=2所以a n=﹣10+（n﹣1）•2=2n﹣12（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q因为b2=a1+a2+a3=﹣24，b1=﹣8，所以﹣8q=﹣24，即q=3，所以{b n}的前n项和公式为点评：考查学生会根据条件求出等差数列的通项公式和等比数列的前n项和的公式，此题是一道基础题．19．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：MN⊥平面A1B1C．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）欲证MN||平面BCC1B1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面BCC1B1内一直线平行即可，而连接BC1，AC1．根据中位线定理可知MN||BC1，又MN⊄平面BCC1B1满足定理所需条件；（Ⅱ）以B1为原点，A1B1为x轴，B1B为y轴，B1C1为z轴建立空间直角坐标系B1﹣xyz，求出平面A1B1C的法向量为n=（x，y，z），而，根据法向量的意义可知MN⊥平面A1B1C．解答：证明：（Ⅰ）证明：连接BC1，AC1．在△ABC1中，∵M，N是AB，A1C的中点，∴MN||BC1．又∵MN⊄平面BCC1B1，∴MN||平面BCC1B1．（Ⅱ）如图，以B1为原点建立空间直角坐标系B1﹣xyz．则B1（0，0，0），C（0，2，2），A1（﹣2，0，0），M（﹣1，0，2），N（﹣1，1，1）∴=（0，2，2），，．设平面A1B1C的法向量为n=（x，y，z）．令z=1，则x=0，y=﹣1，∴n=（0，﹣1，1）．∴．∴MN⊥平面A1B1C．点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．20．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2．（1）求直线SD与平面ABCD所成角的正切值；（2）求二面角C﹣SA﹣B的大小的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）建立空间坐标系，求出直线SD的方向向量，和平面ABCD的一个法向量，根据两个向量的夹角公式线面夹角的正弦，再由同角三角函数关系求出线面夹角的正切值．（2）求出两个平面SAC和SAB的法向量，利用两个法向量的夹角的余弦值，得到二面角C ﹣SA﹣B的大小的余弦值解答：解：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，∵AB=2，BC=2，∴A（，0，0），B（0，，0），C（0，﹣，0），D（，﹣2，0），S（0，0，1），∵=（，﹣2，﹣1），由平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1），设直线SD与平面ABCD所成角的为θ，则sinθ==，则cosθ=，tanθ=，即直线SD与平面ABCD所成角的正切值为．（2）=（，0，﹣1），=（0，，﹣1），=（0，﹣，﹣1），设平面SAC的一个法向量为=（x，y，z），则由，得：令z=，则=（1，﹣1，）是平面SAC的一个法向量；设平面SAB的法向量为=（a，b，c），则由，得：令c=，则=（1，1，）是平面SAB的一个法向量；设钝二面角C﹣SA﹣B的平面角为α，则cosα=﹣=．点评：本题考查利用空间向量解决立体几何问题，解题的关键是建立坐标系，写出要用的点的坐标，进而写出向量的坐标，然后进行向量的有关运算．21．已知数列{a n}中，．（1）求证：数列{a2n﹣1}与{a2n}（n∈N*）均为等比数列；（2）求数列{a n}的前2n项和T2n；（3）若数列{a n}的前2n项和为T2n，不等式3（1﹣ka2n）≥64T2n•a2n对n∈N×恒成立，求k 的最大值．考点：等比关系的确定；等比数列的前n项和；不等式的证明．专题：计算题；证明题．分析：（1）由题意知数列a1，a3，…，a2n﹣1，…是以1为首项，为公比的等比数列；数列a2，a4，…，a2n，…是以为首项，为公比的等比数列；（2）利用等比数列的求和公式得到即可；（3）不等式3（1﹣ka2n）≥64T2n•a2n对n∈N×恒成立等价于64T2n•a2n≤3（1﹣ka2n）⇔64[3﹣3•]≤3﹣3k⇔2n+≥64+k.≥16当且仅当n=3时取等号，所以64+k≤16，即k≤﹣48求出k的最大值即可．解答：解：（1）∵∴∴数列a1，a3，…，a2n﹣1，…是以1为首项，为公比的等比数列；数列a2，a4，…，a2n，…是以为首项，为公比的等比数列．（2）T2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）=+=3﹣3•（3）64T2n•a2n≤3（1﹣ka2n）⇔64[3﹣3•]≤3﹣3k⇔2n+≥64+k≥16当且仅当n=3时取等号，所以64+k≤16，即k≤﹣48∴k的最大值为﹣48点评：考查学生对等比关系的确定能力，求等比数列前n项的能力．22．已知直角三角形ABE，AB⊥BE，AB=2BE=4，C，D分别是AB，AE上的动点，且CD∥BE，将△ACD沿CD折起到位置A1CD，使平面A1CD与平面BCD所成的二面角A1﹣CD﹣B的大小为θ，设=λ，λ∈（0，1）．（1）若θ=且A1E与平面BCD所成的角的正切值为，求二面角A1﹣DE﹣B的大小的正切值；（2）已知λ=，G为A1E的中点，若BG⊥A1D，求cosθ的取值．考点：二面角的平面角及求法．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：（1）由题意可证A1C⊥平面BCD，从而∠A1EC为直线A1E与平面BCD所成的角，设A1C=x，由勾股定理可求得x=2，作出二面角A1﹣DE﹣B的平面角∠A1OC，在直角三角形中求正切值即可，（2）由题意可知，A1B=BE=2，A1C=BC=2，故△A1CB是等边三角形，从而求cosθ的取值．解答：解：（1）由题意，∠A1CB=θ=，∴A1C⊥CB，∵A1C⊥CD，CB∩CD=C，∴A1C⊥平面BCD，∴∠A1EC为直线A1E与平面BCD所成的角，设A1C=x，∵A1E与平面BCD所成的角的正切值为，∴CE=x，∴（4﹣x）2+4=（x）2，∴x=2，即C为AB的中点，在图1中，设C在AD上的射影为O，则CO=，∠A1OC为二面角A1﹣DE﹣B的平面角，∴二面角A1﹣DE﹣B的大小的正切值为tan∠A1OC==；（2）∵=λ=，∴C为AB的中点，又∵G为A1E的中点，BG⊥A1D，∴A1B=BE=2，又∵A1C=BC=2，故△A1CB是等边三角形，故cosθ=．点评：本题考查了空间中的位置关系，考查了学生的空间想象力与作图能力，同时考查了勾股定理的应用，属于难题．22995 59D3 姓S 28353 6EC1 滁33988 84C4 蓄 36667 8F3B 輻39262 995E 饞25058 61E2 懢28184 6E18 渘35412 8A54 詔(37029 90A5 邥。
2021-2022学年江苏省苏州中学高二(上)质检数学试卷(10月份)(解析版)
2021-2022学年江苏省苏州中学高二（上）质检数学试卷（10月份）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项B．第24项C．第26项D．第28项2．已知数列{a n}的前n项和为S n，若，则a1+a3的值为（）A．8B．9C．10D．113．已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过P（﹣2，），Q（m，0）两点，且直线l与l1垂直，则实数m的值为（）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣54．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1+a22＝1，a2与a4的等差中项为2，则S4的值为（）A．6B．﹣2C．﹣2或6D．2或65．等差数列{a n}的公差为d，前n项的和为S n，当首项a1和d变化时，a2+a8+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是（）A．S7B．S8C．S13D．S156．已知{a n}是公比不为1的等比数列，S n为其前n项和，满足a2021﹣a2019＝a2019﹣a2020，则下列等式成立的是（）A．S2020S2021＝S20192B．S2020+S2021＝2S2019C．S2019S2021＝S20202D．S2019+S2021＝2S20207．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用a n表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a1＝1．且a n＝，则解下6个环所需的最少移动次数为（）A．13B．16C．31D．648．已知数列{a n}满足a1＝1，且，则数列{b n}前108项和为（）A．174B．672C．1494D．5904二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知直线l的一个方向向量为，且l经过点（1，﹣2），则下列结论中正确的是（）A．l的倾斜角等于120°B．l与x轴的交点坐标为C．l与直线垂直D．l与直线平行10．设数列{a n}是等差数列，S n为其前n项和，a1＞0，且S6＝S9，则（）A．d＜0B．a8＝0C．S6＜S5D．S7，S8为S n的最大值11．在公比为q等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若a1＝1，a5＝27a2，则下列说法正确的是（）A．q＝3B．数列是等差数列C．数列是等比数列D．数列是等比数列12．已知数列{a n}中的前n项和为S n，若对任意的正整数n，都有a n+1≤S n，则称{a n}为“和谐数列”，下列结论正确的有（）A．常数数列为“和谐数列”B．为“和谐数列”C．{2n+1}为“和谐数列”D．若公差为d的等差数列{a n}满足{a n+n}为“和谐数列”，则a1+d的最小值为﹣2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在平面直角坐标系中，若直线l的倾斜角为120°，则该直线的一个方向向量为．14．已知S n为等比数列{a n}的前n项和，S5＝5，S10＝15，则a16+a17+a18+a19+a20的值为．15．已知S n为数列{a n}的前n项和，若a1＝2，且对任意p，q∈N*，都有a p•a q＝a p+q，则数列的最大值为．16．已知数列{a n}满足a1＝4，na n+1＝2（n+1）a n，则数列{a n}的通项公式为，若数列的前n项和S n，则满足不等式S n≥30的n的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．18．已知△ABC顶点坐标分别是A（0，5），B（1，﹣2），C（﹣7，4）．（1）求过点C且与直线AB平行的直线方程；（2）若点D（1，m2﹣2m+5），当实数m取遍一切实数时，求直线AD倾斜角的取值范围．19．某渔业养殖基地在2020年底共养殖各种鱼共13万尾，为向应国家号召，拟大力发展水产养殖．（1）今年1月份投入鱼苗3万尾，如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多投入鱼苗2000尾，那么今年底共有养殖鱼的数量是多少万尾？（精确到0.1，不计鱼苗损耗，确保成活）（2）现计划今年投入鱼苗60万尾，到2023年底至少养殖800万尾，若今后新投入鱼苗的数量每年比上一年以等比递增，问2022年和2023年至少各投入多少万尾才能完成计划？（参考数据，精确到1万个）20．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a2＝2，a1﹣1，a2，a3成等差数列，数列{b n}满足a1b1+a2b2+⋯+a n b n＝（n﹣1）2n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n}是等差数列．21．在数列{a n}中，，．（1）求证：等比数列；（2）已知数列{b n}满足．①若数列{b n}的前n项和T n，可以表示成，求♠处的代数式；②若不等式对一切正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．22．已知数列{a n}的各项均为正数，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且3T n＝S n2+2S n，n∈N*．（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若k，t∈N*，且S1，S k﹣S1，S t﹣S k成等比数列，求k和t的值．参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项B．第24项C．第26项D．第28项【分析】先求出数列的通项公式，a n＝，由此能求出答案．解：数列1，2，，…就是数列，，，，，…，∴a n＝＝，∴＝2＝，∴n＝26，故2是这个数列的第26项，故选：C．2．已知数列{a n}的前n项和为S n，若，则a1+a3的值为（）A．8B．9C．10D．11【分析】由a n＝可求数列的通项，进而代入可求得a1+a3的值．解：由题意结合公式a n＝，可得a n＝，所以a1＝4，a3＝7，即a1+a3＝4+7＝11，故选：D．3．已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过P（﹣2，），Q（m，0）两点，且直线l与l1垂直，则实数m的值为（）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣5【分析】根据直线垂直的条件即可求出．解：∵直线l的倾斜角为π，∴直线l的斜率为k＝tan＝﹣，∵直线l1经过P（﹣2，），Q（m，0）两点，且直线l与l1垂直，∴×（﹣）＝﹣1，∴m＝﹣5，故选：D．4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1+a22＝1，a2与a4的等差中项为2，则S4的值为（）A．6B．﹣2C．﹣2或6D．2或6【分析】由已知结合等差数列的通项公式，可求出首项及公差，然后代入等差数列的求和公式，即可求出S4的值．解：因为a1+a22＝1，a2+a4＝4，所以，解得或，当时，S4＝6，或时，S4＝﹣2，所以S4＝6或﹣2．故选：C．5．等差数列{a n}的公差为d，前n项的和为S n，当首项a1和d变化时，a2+a8+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是（）A．S7B．S8C．S13D．S15【分析】利用等差数列的通项公式化简已知的式子，得到关于a7的关系式，由已知式子为定值得到a7为定值，再利用等差数列的求和公式及等差数列的性质化简S13，也得到关于a7的关系式，进而得到S13为定值．解：∵a2+a8+a11＝（a1+d）+（a1+7d）+（a1+10d）＝3（a1+6d）＝3a7，且a2+a8+a11是一个定值，∴a7为定值，又S13＝＝13a7，∴S13为定值．故选：C．6．已知{a n}是公比不为1的等比数列，S n为其前n项和，满足a2021﹣a2019＝a2019﹣a2020，则下列等式成立的是（）A．S2020S2021＝S20192B．S2020+S2021＝2S2019C．S2019S2021＝S20202D．S2019+S2021＝2S2020【分析】先由等比数列结合条件a2021﹣a2019＝a2019﹣a2020求出q2+q＝2，两边同乘q2019，化简即可得到答案．解：设等比数列{a n}的公比为q（q≠1），因为a2021﹣a2019＝a2019﹣a2020，即a2019q2﹣a2019＝a2019﹣a2019q，可得q2﹣1＝1﹣q，即q2+q＝2，两边同乘q2019，得q2021+q2020＝2q2019，则1﹣q2021+1﹣q2020＝2﹣2q2019，∴，即S2020+S2021＝2S2019，故选：B．7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用a n表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a1＝1．且a n＝，则解下6个环所需的最少移动次数为（）A．13B．16C．31D．64【分析】直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的各项．解：由于a1＝1，所以a2＝2a1﹣1＝1，a3＝2a2+2＝4，a4＝2a3﹣1＝7，a5＝2a4+2＝16，a6＝2a5﹣1＝31．故选：C．8．已知数列{a n}满足a1＝1，且，则数列{b n}前108项和为（）A．174B．672C．1494D．5904【分析】根据题意可知，利用累乘法求得{a n}的通项公式，即可求得数列{b n}通项公式，利用并项求和求得b3k﹣2+b3k﹣1+b3k关系，即可求得数列{b n}前108项和．解：由，则，由累乘法，所以，因为，所以，所以，所以数列{b n}前108项和，故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知直线l的一个方向向量为，且l经过点（1，﹣2），则下列结论中正确的是（）A．l的倾斜角等于120°B．l与x轴的交点坐标为C．l与直线垂直D．l与直线平行【分析】对于A，先求出直线l的斜率，由此能求出l的倾斜角；对于B，求出直线l的斜率，再由l经过点（1，﹣2），求出直线l的方程，由此能求出l与x轴的交点坐标；对于C，∵直线l的斜率为k＝﹣，直线斜率为，从而l与直线不垂直；对于D，直线l的斜率为﹣，直线的斜率为﹣，从而l与直线平行．解：直线l的一个方向向量为，且l经过点（1，﹣2），对于A，直线l的斜率为k＝＝﹣，∴l的倾斜角等于120°，故A正确；对于B，直线l的斜率为k＝＝﹣，且l经过点（1，﹣2），∴直线l的方程为y+2＝﹣（x﹣1），即x+y+2﹣＝0，取y＝0，得l与x轴的交点坐标为（（1﹣，0），故B错误；对于C，∵直线l的斜率为k＝＝﹣，直线斜率为，∴l与直线不垂直，故C错误；对于D，∵直线l的斜率为k＝＝﹣，直线的斜率为﹣，∴l与直线平行，故D正确．故选：AD．10．设数列{a n}是等差数列，S n为其前n项和，a1＞0，且S6＝S9，则（）A．d＜0B．a8＝0C．S6＜S5D．S7，S8为S n的最大值【分析】对于A，利用等差数列前n项和公式求出a1＝﹣7d，由此得到d＜0；对于B，由a1＝﹣7d，得到a8＝a1+7d＝0；对于C，求出S6＝﹣27d，S5＝﹣25d，由此得到S6＞S5；对于D，由a1＞0，a1＝﹣7d，得到S7，S8为S n的最大值．解：数列{a n}是等差数列，S n为其前n项和，a1＞0，且S6＝S9，对于A，＝，整理得a1＝﹣7d，∴d＜0，故A正确；对于B，∵a1＝﹣7d，∴a8＝a1+7d＝0，故B正确；对于C，S6＝6a1+d＝6a1+15d＝﹣27d，S5＝5a1+＝5a1+10d＝﹣25d，∴S6＞S5，故C错误；对于D，∵a1＞0，a1＝﹣7d，∴S7，S8为S n的最大值，故D正确．故选：ABD．11．在公比为q等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若a1＝1，a5＝27a2，则下列说法正确的是（）A．q＝3B．数列是等差数列C．数列是等比数列D．数列是等比数列【分析】利用等比数列通项公式求出公式判断A；利用等比数列前n项和公式和等差数列定义判断B；利用等比数列通项公式及定义判断CD．解：在公比为q等比数列{a n}中，S n为其前n项和，a1＝1，a5＝27a2，∴1×q4＝27×1×q，解得q＝3，故A正确；S n＝＝，∴2S n﹣3n＝﹣1，∴数列是等差数列，故B正确；a n＝1×3n﹣1＝3n﹣1，∴a n﹣3n＝3n﹣1﹣3n＝﹣，∴数列是等比数列，故C正确；＝（n﹣1）lg3﹣3n，∴数列不是等比数列，故D错误．故选：ABC．12．已知数列{a n}中的前n项和为S n，若对任意的正整数n，都有a n+1≤S n，则称{a n}为“和谐数列”，下列结论正确的有（）A．常数数列为“和谐数列”B．为“和谐数列”C．{2n+1}为“和谐数列”D．若公差为d的等差数列{a n}满足{a n+n}为“和谐数列”，则a1+d的最小值为﹣2【分析】反例判断A；利用等比数列求和与通项公式的关系判断B；特例判断C；等差数列的形状判断D即可．解：数列{a n}中的前n项和为S n，若对任意的正整数n，都有a n+1≤S n，则称{a n}为“和谐数列”，如果数列{﹣1}，是常数列，但是不满足新定义，所以A不正确；是等比数列，S n＝＝，a n+1＝＝•≤S n＝1﹣，恒成立，所以数列是“和谐数列”，所以B正确；{2n+1}为“和谐数列”，S n＝n（n+2），a n+1＝2n+3，当n＝1时，a2＝5＞S1＝3，不满足新定义，所以C不正确；若公差为d的等差数列{a n}，可知a n＝a1+（n﹣1）d，令b n＝a n+n，{b n}为“和谐数列”，b1＝a1+1，b n+1＝a1+nd+n+1≤S n＝b1+b2+•••+b n＝a1+a2+•••+a n+1+2+3+•••+n＝na1++，恒成立，a1+nd+n+1≤na1++，（n﹣1）a1+d+﹣1≥0，当n＝1时，d≤﹣1，当n≥2时，不等式为恒成立，所以≥0，所以d≥﹣1，所以d＝﹣1，则（a1+1）n﹣a1﹣1≥0，可得a1≥﹣1，所以a1+d的最小值为﹣2，所以D正确；故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在平面直角坐标系中，若直线l的倾斜角为120°，则该直线的一个方向向量为，答案不唯一．【分析】先求出直线的斜率k＝tan120°＝﹣，由此能求出该直线的一个方向向量．解：在平面直角坐标系中，直线l的倾斜角为120°，∴直线的斜率k＝tan120°＝﹣，∴该直线的一个方向向量为，答案不唯一．故答案为：，答案不唯一．14．已知S n为等比数列{a n}的前n项和，S5＝5，S10＝15，则a16+a17+a18+a19+a20的值为40．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，则有S10﹣S5＝q5（a1+a2+a3+a4+a5），求出q5，又由a16+a17+a18+a19+a20＝q15（a1+a2+a3+a4+a5），计算可得答案．解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若S5＝5，即S5＝a1+a2+a3+a4+a5＝5，又由S10＝15，则S10﹣S5＝a6+a7+a8+a9+a10＝q5（a1+a2+a3+a4+a5）＝10，变形可得q5＝2，则a16+a17+a18+a19+a20＝q15（a1+a2+a3+a4+a5）＝23×5＝40，故答案为：40．15．已知S n为数列{a n}的前n项和，若a1＝2，且对任意p，q∈N*，都有a p•a q＝a p+q，则数列的最大值为．【分析】先令p＝1，n＝q，可知{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，进而得到，再令，作差f（n+1）﹣f（n）可知当n＝2时取得最大值．解：令p＝1，n＝q，则a1a n＝a n+1，即a n+1＝2a n，∴{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，令，则，易知当n≥2时，f（n+1）＜f（n），又，∴的最大值为．故答案为：．16．已知数列{a n}满足a1＝4，na n+1＝2（n+1）a n，则数列{a n}的通项公式为n⋅2n+1，若数列的前n项和S n，则满足不等式S n≥30的n的最小值为6．【分析】根据题意，可得为等比数列，即可求得数列{a n}的通项公式，即可求得数列，采用“裂项求和”求得S n，解不等式即可求得n的取值范围．解：由题意可知，，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以，，所以，则，所以，由S n≥30，即，2n﹣3≥n+2，解得n≥6，所以n的最小值为6，故答案为：n⋅2n+1；6．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）设等差数列的通项公式为a n＝a1+n﹣1，由于a1，a3，a9成等比数列，可得关于a1的方程，即可求得数列{a n}的通项公式；（2）把数列{a n}的通项公式代入，即可求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）设等差数列的通项公式为a n＝a1+n﹣1，由于a1，a3，a9成等比数列，得，解得a1＝1，∴a n＝n；（2）由题意，＝n+3n﹣1，∴．18．已知△ABC顶点坐标分别是A（0，5），B（1，﹣2），C（﹣7，4）．（1）求过点C且与直线AB平行的直线方程；（2）若点D（1，m2﹣2m+5），当实数m取遍一切实数时，求直线AD倾斜角的取值范围．【分析】（1）先求出AB的斜率，从而得以与直线AB平行的直线的斜率，由此能求出所求直线的方程；（2）求出直线AD的斜率为，由此能求出直线AD倾斜角的取值范围．解：（1）由已知可得AB的斜率为，所以与直线AB平行的直线的斜率也为﹣7，从而所求直线的方程为y﹣4＝﹣7（x+7），即y＝﹣7x﹣45；（2）由题意得直线AD的斜率为，所以直线AD倾斜角的取值范围为．19．某渔业养殖基地在2020年底共养殖各种鱼共13万尾，为向应国家号召，拟大力发展水产养殖．（1）今年1月份投入鱼苗3万尾，如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多投入鱼苗2000尾，那么今年底共有养殖鱼的数量是多少万尾？（精确到0.1，不计鱼苗损耗，确保成活）（2）现计划今年投入鱼苗60万尾，到2023年底至少养殖800万尾，若今后新投入鱼苗的数量每年比上一年以等比递增，问2022年和2023年至少各投入多少万尾才能完成计划？（参考数据，精确到1万个）【分析】（1）由条件可得每月投入的鱼苗数量构成等差数列，再利用等差数列求和公式即可得解；（2）由条件可得每年投入的鱼苗数量构成等比数列，借助等比数列前n项和求出公比即可．解：（1）依题意，2021年每月投入的数量构成一个首项为3万，公差为0.2万的等差数列，2021年底一共养殖的数量为万尾．故2021年年底共有鱼13+49.2＝62.2万尾；（2）依题意，从2021年起，每年新投入的数量构成一个首项为60万的等比数列，设公比为q，且q＞1则60+60q+60q2≥800﹣13，即，解得，所以2022年至少投入180万尾，2023年至少投入540万尾，才能完成计划．20．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a2＝2，a1﹣1，a2，a3成等差数列，数列{b n}满足a1b1+a2b2+⋯+a n b n＝（n﹣1）2n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n}是等差数列．【分析】（1）设等比数列的通项公式为，其中q＞1，由a1﹣1，a2，a3成等差数列，列方程求出q＝2，由此能求出数列{a n}的通项公式；（2）由，得，当n＝1时，b1＝1，当n≥2时，，作差，得b n＝n，从而b n+1﹣b n＝1，由此能证明数列{b n}是等差数列．解：（1）设等比数列的通项公式为，其中q＞1，由于a1﹣1，a2，a3成等差数列，则，解得q＝2，从而数列{a n}的通项公式为；（2）证明：因为，即，当n＝1时，b1＝1，当n≥2时，，作差，得，所以b n＝n；因此b n+1﹣b n＝1，所以数列{b n}是等差数列．21．在数列{a n}中，，．（1）求证：等比数列；（2）已知数列{b n}满足．①若数列{b n}的前n项和T n，可以表示成，求♠处的代数式；②若不等式对一切正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）由，结合即可证明数列是以3为首项，3为公比的等比数列；（2）①由（1）可知+1＝3n，则，所以，从而利用错位相减求和法即可确定♠处的代数式；②由①可知T n+＝2﹣，于是得不等式（﹣1）nλ＜2﹣对一切正整数n恒成立，考虑{2﹣}是递增数列，从而分类讨论n为偶数和n为奇数两种情况即可确定λ的取值范围．解：（1）证明：由，又，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列；（2）由（1）可知+1＝3n，则，所以，①T n＝+++…+，则T n＝+++…++，两式相减得T n＝++…+﹣＝﹣＝1﹣，则T n＝2﹣，又，所以♠的代数式为n+2；②由①可知T n+＝2﹣，于是得不等式（﹣1）nλ＜2﹣对一切正整数n恒成立，显然{2﹣}是递增数列，当n为偶数时，λ＜2﹣＝，当n为奇数时，﹣λ＜2﹣1＝1，即λ＞﹣1，所以实数λ的取值范围为．22．已知数列{a n}的各项均为正数，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且3T n＝S n2+2S n，n∈N*．（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若k，t∈N*，且S1，S k﹣S1，S t﹣S k成等比数列，求k和t的值．【分析】（I）由3T n＝S n2+2S n，n∈N*．n＝1时，3T1＝+2S1，可得≠0，解得a1．（II）由3T n＝S n2+2S n，n∈N*．n≥2时，+2S n﹣1，相减可得：＝S n2﹣+2a n，3a n＝S n+S n﹣1+2．可得3a n+1＝S n+1+S n+2，相减化为：a n+1＝2a n．利用等比数列的通项公式即可得出．（III）由（II）可得：S n＝2n﹣1．由S1，S k﹣S1，S t﹣S k成等比数列，可得，2t﹣2＝（2k﹣1）2﹣3•2k﹣1+1．，对k分类讨论即可得出．解：（I）由3T n＝S n2+2S n，n∈N*．n＝1时，3T1＝+2S1，可得≠0，解得a1＝1．（II）由3T n＝S n2+2S n，n∈N*．n≥2时，+2S n﹣1，相减可得：＝S n2﹣+2a n，∴3a n＝S n+S n﹣1+2．∴3a n+1＝S n+1+S n+2，可得：3a n+1﹣3a n＝a n+1+a n，化为：a n+1＝2a n．n＝1时，，可得+2（1+a2），a2＞0，解得a2＝2，满足上式．∴数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为2．∴a n＝2n﹣1．（III）由（II）可得：S n＝＝2n﹣1．由S1，S k﹣S1，S t﹣S k成等比数列，∴，可得（2k﹣2）2＝2t ﹣2k．化为：2t＝（2k）2﹣3•2k+4，可得：2t﹣2＝（2k﹣1）2﹣3•2k﹣1+1．（*）k＝1时不满足题意，∴k≥2．k＝2时，2t＝8，解得t＝3．k≥3时，t＝2时，化为2k＝3，不成立舍去．t≥3时，（*）左边为偶数，右边为奇数，不成立．综上可得：t＝3，k＝2．。
江苏省2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷含解析
江苏省2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线l 经过原点，且经过另两条直线2310x y ，460x y --=的交点，则直线l 的方程为（ ） A ．20x y += B ．20x y += C ．20x y -=D ．20x y -=2．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（ ）A ．7B ．9C ．21D ．423．椭圆221259x y +=与221925x y k k+=--(0<k <9)的（ ）A ．长轴的长相等B ．短轴的长相等C ．离心率相等D ．焦距相等4．若两条直线()2(2)340m x m m y ++-+=和2(3)10x m y +-+=互相平行，则m 的值为（ ） A ．3B ．4-或4C ．3或4-D ．3或45．设直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与圆22:1C x y +=相切于点P ，且P 位于第一象限，O 为坐标原点，则AOB 的面积的最小值为（ ）A．1B 2C D ．26．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为 A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=7．若直线:l y x b =+与曲线y b 的取值范围是（ ）A ．{b b -<∣B ．{2b b <<∣C ．{222}b b <∣D ．{}2bb =±∣8．已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- B ．经过点()1,2且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +-= C ．若方程22220x y x y m +-+-=表示圆，则2m >-D ．圆224x y +=上有且只有三点到直线:0l x y -+=的距离都等于1 10．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，P 为C 上一点，下列说法正确的是（ ） A ．C 的准线方程为116y =-B ．直线1y x =-与C 相切C ．若()0,4M ，则PM 的最小值为D ．若()3,5M ，则PMF △的周长的最小值为1111．设椭圆22:132x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则（ ）A ．12PF PF +=B ．CC ．12PF F △D ．C 上有且只有4个点P ，使得12PF F △是直角三角形12．已知直线l ：20ax by r +-=与圆C ：222x y r +=，点(),A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切三、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为_______．14．已知数列{an }满足an ＋2＝－an (n ∈N ＋)，且a 1＝1，a 2＝2，则数列{an }的前2017项的和为_______15．已知向量13=(-,),=22a OA ab - OB a b =+，若OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB 的面积为________．四、双空题16．已知抛物线()220y px p =>的焦点为()1,0F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且23AB FA =-，则抛物线的准线方程为________；BF 的值为________．五、解答题17．已知{an }是公差不为零的等差数列，a 5＝17，a 1，a 2，a 7成等比数列． (1)求数列{an }的通项公式；(2)将数列{an }与{3n }的相同的项按由小到大的顺序排列构成的数列记为{bn }，求数列{bn }的前n 项和Sn ．18．求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心在x 轴上，半径为5，且过点()2,3A -； (2)经过点()4,5A --、()6,1B -，且以线段AB 为直径； (3)圆心在直线y =-2x 上，且与直线y =1-x 相切于点()2,1-； (4)圆心在直线x -2y -3=0上，且过点()2,3A -，()2,5B --．19．若两条相交直线1l ，2l 的倾斜角分别为1θ，2θ，斜率均存在，分别为1k ，2k ，且120k k ⋅≠，若1l ，2l 满足______（从∈12θθπ+=；∈12l l ⊥两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），求：(1)1k ，2k 满足的关系式；(2)若1l ，2l 交点坐标为()1,1P ，同时1l 过(),2A a ，2l 过()2,B b ，在（1）的条件下，求出a ，b 满足的关系；(3)在（2）的条件下，若直线1l 上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上，求实数a ，b 的值．20．已知一直线经过点()1,2，并且与点()2,3和()0,5-的距离相等，求此直线的方程． 21．已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，对称轴为x 轴，焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为2，且16.FA OA ⋅= (1)求抛物线的方程；(2)过点(8,0)M 作直线l 交抛物线于,B C 两点，设1122(,),(,)B x y C x y ，判断OB OC ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦点坐标为(，长轴长是短轴长的2倍．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l 不过点(0,1)P 且与椭圆C 交于A B 、两点，从下面∈∈中选取一个作为条件，证明另一个成立.∈直线PA PB 、的斜率分别为12,k k ，则121k k ⋅=；∈直线l 过定点5(0,)3-.参考答案：1．B【分析】联立方程可解交点，进而可得直线的斜率，可得方程，化为一般式即可.【详解】联立方程2310460x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得：21x y =⎧⎨=-⎩ 所以两直线的交点为()2,1-，所以直线的斜率为101202--=--， 则直线l 的方程为：12y x =-，即20x y +=.故选：B 2．C【解析】利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()1212121632a a S +==， 所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =， 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a ++++=++++++111111111122277321a a a a a =+++==⨯=，故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=即可求解.3．D【分析】根据椭圆方程求得两个椭圆的2c ，由此确定正确选项.【详解】椭圆221259x y +=与221925x y k k+=-- (0<k <9)的焦点分别在x 轴和y 轴上， 前者a 2＝25，b 2＝9，则c 2＝16，后者a 2＝25－k ，b 2＝9－k ，则216c =． 显然只有D 正确． 故选：D 4．C【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程（不等式）组，解得即可；【详解】解：因为直线()2(2)340m x m m y ++-+=和2(3)10x m y +-+=互相平行， 所以()()223(2)131(2)14m m m m m ⎧-+=⨯-⎪⎨⨯+≠⨯⎪⎩，解得3m =或4m =-； 故选：C 5．A【分析】根据题意，设出直线与坐标轴的交点坐标(,0)A a ，(0,)B b ，利用直线方程截距式列出方程并化简方程，再根据基本不等式求出2ab ≥，代入三角形面积公式，即可求解三角形面积的最小值.【详解】依题意，设(,0)A a ，(0,)B b ，直线l 与圆22:1C x y +=相切于点P ，P 位于第一象限则直线过一、二、四象限，即0a >，0b >，则直线方程为1x ya b+=，化简得bx ay ab +=，直线与圆相切，故圆心到直线的距离1d r ===，ab ≥，∈2ab ≥，当且仅当a b ==.∈s 112AOB S ab =≥.即三角形面积最小值为1 故选：A.【点睛】本题考查直线的截距式方程，考查基本不等式，综合性较强，属于中等题型. 6．D【详解】试题分析：双曲线的一条渐近线是b y x a=2b a =∈，抛物线2y =的准线是x =c =2227a b c +==∈，由∈∈联立解得2a b =⎧⎪⎨⎪⎩为22143x y -=．故选D ． 考点：双曲线的标准方程． 7．C【分析】求出直线与曲线相切时实数b 的值，再结合图象，即可得到答案；【详解】化简方程y 224(0)x y y +=≥，方程224(0)x y y +=≥对应的曲线为以()0,0为圆心，以2为半径的圆在x 轴上方的部分（含点()2,0,()2,0-）；当直线y x b =+与半圆相切时，2=0b >，所以b =，当直线过点()2,0-时，2b =，所以实数b 的取值范围为2,⎡⎣， 故选：C.8．B【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数. 【详解】设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=-，，由AP BP ⊥，得 22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-=，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个. 故选：B.9．CD【分析】由直线的两点式方程可判断A ，利用直线的截距式方程可判断B ，由二元二次方程表示圆的条件可判断C ，利用直线和圆的位置关系可判断D.【详解】对于A ，由当12x x =或12y y =时，过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程不能表示为112121y y x x y y x x --=--，故A 错误； 对于B ，经过点()1,2且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程还有2y x =，故B 错误； 对于C ，若方程22220x y x y m +-+-=表示圆，则()()222240m -+-->即2m >-，故C 正确；对于D ，圆224x y +=的圆心为原点()0,0，半径为2，圆心到到直线:0l x y -+=的距离为1d =，则圆224x y +=上有且只有三点到直线:0l x y -的距离都等于1，故D 正确.故选：CD. 10．BCD【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A ，联立直线与抛物线方程，消元，由0∆=判断B ，设点(),P x y ，表示出2PM ，根据二次函数的性质判断C ，根据抛物线的定义转化求出PMF △的周长的最小值，即可判断D.【详解】解：抛物线C ：214y x =，即24x y =，所以焦点坐标为()0,1F ，准线方程为1y =-，故A 错误；由2141y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，即2440x x -+=，解得()24440∆=--⨯=，所以直线1y x =-与C 相切，故B 正确；设点(),P x y ，所以()()22222441621212x P y y y y M =+-=-+=-+≥，所以min PM =C 正确；如图过点P 作PN 准线，交于点N ，NP PF =，5MF =，所以5611PFMCMF MP PF MF MP PN MF MN =++=++≥+=+=，当且仅当M 、P 、N 三点共线时取等号，故D 正确； 故选：BCD 11．ACD【分析】根据椭圆的方程求得,,a b c 的值，结合椭圆的定义，离心率的定义和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，椭圆22:132x y C +=，可得1a b c ==，根据椭圆的定义，可得122PF PF a +==A 正确；根据离心率的定义，可得椭圆的离心率为c e a ==，所以B 不正确； 由椭圆的几何性质，可得12PF F S最大值为1211222S F F b =⋅⨯=⨯，所以C 正确；因为以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=，联立方程组22221132x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，整理得23x =-，即方程组无解，所以以点P 为直角顶点的12PF F △不存在；过1F 作x 的垂线，交椭圆C 于12,P P 两点，此时可得直角112PF F 和212P F F ； 过2F 作x 的垂线，交椭圆C 于34,P P 两点，此时可得直角312P F F △和412P F F ， 综上可得，椭圆上有且仅有4个点使得12PF F △为直角三角形，所以D 正确. 故选：ACD. 12．ABD【分析】根据点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系，对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A ：∈点A 在圆C 上，∈222a b r +=， ∈圆心()0,0C 到直线l的距离为d r ==，∈直线与圆C 相切，故A 选项正确；对于选项B ：∈点A 在圆C 内，222a b r ∴+<， ∈圆心()0,0C 到直线l的距离为d r =>，∈直线与圆C 相离，故B 选项正确；对于选项C ：∈点A 在圆C 外，∈222a b r +>， ∈圆心()0,0C 到直线l的距离为d r =<，∈直线与圆C 相交，故C 选项错误；对于选项D ：∈点A 在直线l 上，∈222a b r +=， ∈圆心()0,0C 到直线l的距离为d r ==，∈直线与圆C 相切，故D 选项正确． 故选：ABD ． 13．13【分析】设点B 为椭圆的左顶点，由题得AM AFBQ BF=，化简即得解. 【详解】设点B 为椭圆的左顶点，由题意知AM∈BQ ，且AM ＝12BQ, ∈AM AF BQ BF =，则12a ca c-=+求得a ＝3c ，即e ＝13．故答案为13【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 14．1【分析】推导出数列的周期为4，再求和即可【详解】an ＋2＝－an ，42n n n a a a ++∴=-=，则数列周期为4，又314212341,2,0a a a a a a a a =-=-=-=-∴+++= 则2017项的和为()123415041a a a a a ⨯++++= 故答案为1【点睛】本题考查数列求值，准确推得周期是关键，是基础题 15．1【分析】根据向量的垂直推出1a b =＝，继而求得||||2OA OB ==式求得答案.【详解】由题意，得112a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA OB ⊥，||||OA OB =,由OA OB ⊥得22()()0a b a b a b -⋅+=-=，所以1a b =＝，由||||OA OB =得||||a b a b -=+，故22||a b a b -=+，所以·0a b ＝ ，所以222||||2a b a b +=+=，所以|||||2OA OB ==112OABS =, 故答案为：1 16． 1x =-32【分析】根据焦点坐标可得12p=，求得p 的值即可求解；由已知条件可得2AF FB =，取AF 的中点为C ，分别过点A ，C ，F ，B 作准线的垂线，设BN t =，则2AM t =，根据抛物线的定义以及梯形中位线的性质即可求解.【详解】抛物线()220y px p =>的焦点为()1,0F ，则12p=， ∈2p =，所以抛物线方程为24y x =，准线为1x =-.如图取AF 的中点为C ，分别过点A ，C ，F ，B 作准线的垂线， 垂足分别为M ，Q ，P ，N ．由23AB FA =-可知2AF FB =， 由抛物线的定义可得：AM AF =，BN BF =， 所以2AM BN =． 设BN t =，则2AM t =，又2PF =，2PF BN CQ =+，所以4CQ t =-， 又2PF AM CQ +=，即()2224t t +=-， 解得32t =，所以32BF =．故答案为：1x =-；32【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是根据2AF FB =以及2PF =结合抛物线的定义、梯形中位线的性质列方程. 17．(1)an ＝4n －3(2)9(91)8=-n n S【分析】（1）由517a =及127,,a a a 成等差数列建立等式求解即可；（2）根据条件求出数列239n nn b ==，再求和即可.(1)设等差数列的公差为d ，d ≠0， 由条件得()()12111417,6,a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 解之得11,4,a d =⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为an ＝4n －3． (2)设4n －3＝3m ，则n ＝334+m ＝(41)34-+m ＝()()111144 (14134)m mm m m m m m m C C C ----+-+-+，当m ＝2k ，k ∈N *时，(－1)m mm C ＋3＝4，所以n ∈N *， 当m ＝2k －1，k ∈N *时，(－1)m mm C ＋3＝2，所以n ∈N *，所以239n nn b ==，所以9(19)9(91)198n nn S -==--．18．(1)()22225x y ++=或()22625x y -+= (2)()()221329x y -++= (3)()()22122x y -+=+ (4)()()221210x y +++=【分析】利用待定系数法分别求出（1）、（2）、（3）、（4）的圆的标准方程. （1）设圆的标准方程为()2225x a y -+=．因为点()2,3A -在圆上，所以()()222325a -+-=，解得a =-2或a =6，所以所求圆的标准方程为()22225x y ++=或()22625x y -+=． （2）设圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，由题意得4612a -+==，5132b --==-； 又因为点()6,1-在圆上，所以()()222611329r =-+-+=．所以所求圆的标准方程为()()221329x y -++=． （3）设圆心为(),2a a -．因为圆与直线y =1-x 相切于点()2,1-解得a =1．所以所求圆的圆心为()1,2-，半径r =所以所求圆的方程为()()22122x y -+=+． （4）设点C 为圆心，因为点C 在直线230x y --=上，故可设点C 的坐标为()23,a a +． 又该圆经过A 、B 两点，所以CA CB =．a =-2，所以圆心坐标为()1,2C --，半径r = 故所求圆的标准方程为()()221210x y +++=． 19．(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析【分析】（1）依题意11tan k θ=，22tan k θ=，若选∈利用诱导公式计算可得；若选∈根据两直线垂直的充要条件得解；（2）首先表示出直线1l 、2l ，再将点代入方程，再结合（1）的结论计算可得；（3）按照函数的平移变换规则将直线1l 进行平移变换，即可求出1k ，从而求出直线1l 的方程，即可求出a ，再根据（1）求出直线2l 的方程，即可求出b 的值； （1）解：依题意11tan k θ=，22tan k θ=，且1θ，2θ均不为0或2π， 若选∈12θθπ+=，则12θπθ=-，则()122tan tan tan θπθθ=-=-，即120k k +=； 若选∈12l l ⊥，则121k k（2）解：依题意直线1l ：()111y k x -=-，直线2l ：()211y k x -=-，又1l 过(),2A a ，所以()1121k a -=-且1a ≠，即()111k a =-且1a ≠，又2l 过()2,B b ，所以()2211b k -=-且1b ≠，即21b k -=且1b ≠；若选∈，则120k k +=，所以121b k k -==-，即()()111b a =--且1a ≠、1b ≠； 若选∈，则121k k ，所以()()21111b a k k -⨯=-⨯，即2b a +=且1a ≠、1b ≠；（3）解：直线1l ：()111y k x -=-，将直线1l 向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到()14121y k x -⎡⎤-=-+⎣⎦，即11215x y k k --=+，所以1152k k -+=-，解得112k =，此时直线1l ：()1112y x -=-，所以()1112a =-，解得3a =； 若选∈，则212k =-，此时直线2l ：()1112y x -=--，所以121b -=-，解得12b =；若选∈，则22k =-，此时直线2l ：()121y x -=--，所以12b -=-，解得1b =-； 20．420x y --=或1x =【分析】当直线斜率存在时，设出方程，由点到直线的距离解出斜率即可；斜率不存在时检验满足条件即可.【详解】假设所求直线的斜率存在，则可设其方程为()21y k x -=-，即20kx y k --+=．，即17k k -=-，解得4k =，则直线方程420x y --=．又所求直线的斜率不存在时，方程为1x =，适合题意．∈所求直线的方程为420x y --=或1x =．21．(1)28y x = (2)是，0【分析】（1）根据题意，设抛物线的方程为：22(0)y px p =>，则,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，(A ，进而根据16FA OA ⋅=得4p =，进而得答案；（2）直线l 的方程为8x ky =+，进而联立方程，结合韦达定理与向量数量积运算化简整理即可得答案. (1)解：由题意，设抛物线的方程为：22(0)y px p =>，所以点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，点A 的坐标为(2,，因为16FA OA ⋅=，所以(2,2,162p ⎛-⋅= ⎝，即4416p p -+=，解得4p =.所以抛物线的方程为：28y x = (2)解：设直线l 的方程为8x ky =+，则联立方程288y xx ky ⎧=⎨=+⎩得28640y ky --=，所以128y y k +=，1264y y ⋅=-， 因为1122(,),(,)OB x y OC x y ==，所以12121112(8)(8)OB OC x x y y ky ky y y ⋅=+=+++221212(1)8()6464(1)88640k y y k y y k k k =++++=-++⋅+=.所以OB OC ⋅为定值0. 22．(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由条件可得22224c a b a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解出即可；（2）选∈证∈，当直线l 的斜率存在时，设l ：y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，然后联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得122841km x x k +=-+，21224(1)41m x x k -=+，然后由121k k ⋅=可算出53m =-，即可证明，选∈证∈，设l ：53y kx =-，1122(,),(,)A x y B x y ，然后联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得()12240341k x x k +=+，()12264941x x k =+，然后可算出121k k ⋅=.(1)由条件可得22224c a b a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆方程为2214x y +=(2)选∈证∈：当直线l 的斜率存在时，设l ：y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y由2214x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(41)84(1)0k x kmx m +++-=，则122841km x x k +=-+，21224(1)41m x x k -=+ 由121k k ⋅=得1212111y y x x --⋅= 即1212(1)(1)0y y x x ---=，即1212(1)(1)0kx m kx m x x +-+--=所以()221212(1)1()(1)0k x x k m x x m -+-++-=代入()222224(1)8(1)1()(1)04141m kmk k m m k k --+--+-=++ 所以()()222224(1)(1)81(41)10m k k m m k m ----++-= 所以()224410m m ---= 解得：1m =（舍去），53m =-所以直线过定点503⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当直线斜率不存在时，设l ：,x s = (,),(,)A s t B s t -所以2214s t +=，由121k k ⋅=得111t t s s ---⋅= 所以221s t +=，即224s s =，解得0s =所以直线0x =（不符合题意，舍去） 综上：直线过定点503⎛⎫- ⎪⎝⎭， 选∈证∈：由题意直线l 的斜率存在，设l ：53y kx =- 1122(,),(,)A x y B x y由221453x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得224064(41)039k x kx +-+= 则()12240341k x x k +=+，()12264941x x k =+ 所以2121212121212121288864()()()113339kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ---++--⋅=⋅== ()()()2222648406439941341164941k k k k k k ⋅-⋅+++==+.。
江苏省常熟市2020-2021学年上学期高二年级期中考试数学试卷
江苏省常熟市2020－2021学年上学期高二年级期中考试数学试卷本卷包含选择题（第1题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题），本卷满分150分，考试时间为120分钟。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1.设x ∈R ，则“x 2－5x<0”是“x －1|<1”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.不等式21x <1的解集是 A.（－∞，－1）∪（1，＋∞） B.（1，＋∞） C.（－∞，－1）D.（－1，1）3.已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝1－n-11a （n ≥2），则a 2021等于 A.－1 B.－12 C.12D.2 4.已知a>b>c ，ac>0，则下列关系式一定成立的是 A.c 2>bc B.bc （a －c ）>0 C.a ＋b>c D.a 2>b 25.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金等，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤。
”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤。
若该金等从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重为A.6斤B.7斤C.9斤D.15斤6.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝2a 4＋3a 3，则a 6＝ A.2 B.54 C.162 D.2437.已知等差数列{a n }的公差为d ，关于x 的不等式dx 2＋2a 1x ≥0的解集为[0，9]，则使数列{a n }的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是A.4B.5C.6D.78.设S n 是数列{a n }的前n 项和，满足a n 2＋1＝2a n S n ，且a n >0，则S 100＝－D.11二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
江苏省常熟市2021-2022高二数学下学期期中试题.doc
江苏省常熟市2021-2022高二数学下学期期中试题注意事项答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含选择题(第1题～第12题)、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)，本卷满分150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将答题卷交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的规定位置。
3.请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效。
选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4.请保持答题卷卷面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知复数z＝21ii(其中i是虛数单位)，则复数z的虛部为A.－1B.－iC.1D.i2.火车开出车站一段时间内，速度v(单位：m/s)与行驶时间t(单位：s)之间的关系是v(t)＝0.4t＋0.6t2，则火车开出几秒时加速度为2.8m/s2?A.32s B.2s C.52s D.73s3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD与平面ABCD所成二面角的正弦值为134.有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有A.240种B.144种C.72种D.24种5.若函数f(x)＝x3－3bx＋2在区间(2，3)内单调递增，则实数b的取值范围是A.b≤4B.b<4C.b≥4D.b>46.如图，在圆锥PO的轴截面PAB中，∠APB＝60°，有一小球O1内切于圆锥(球面与圆锥的侧面、底面都相切)，设小球O1的体积为V1，圆锥PO的体积为V，则V1：V的值为A.13B.49C.59D.237.若函数()2x x f x ax e=-存在两个不同零点，则实数a 的取值范围是 A.(－∞，1e ) B.(0，1e ) C.(－∞，0)∪{1e } D.(－∞，0)∪(0，1e) 8.从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为A.252B.216C.162D.228二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
江苏省苏州市常熟市2021-2022高一数学上学期期中试题(含解析).doc
2021-2022第一学期期中试卷高一数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将你认为正确的选项填涂在答题卡相应的位置． 1.集合A ＝｛1，2｝的真子集的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】【详解】试题分析：集合{}1,2A =的真子集有{}{}21∅，，，共3个，故选C. 考点：集合的子集2. ） A. 8 B. 4 C. 2D.18【答案】A 【解析】 【分析】将根式化为分数指数幂，结合指数幂的运算法则可得出结果.()33434416228====.故选：A.【点睛】本题考查根式的运算，考查分数指数幂的应用与指数幂的运算法则，考查计算能力，属于基础题.3.若集合{}22A y y x ==-，{}2log 1B x x =<，则A B =（ ）A. (),2-∞B. [)2,-+∞C. [)2,2-D. ()0,2【答案】D 【解析】 【分析】求出集合A 、B ，然后利用交集的定义可求出集合AB .【详解】20x ≥，222y x ∴=-≥-，则{}[)222,A y y x ==-=-+∞.解不等式22log 1log 2x <=，得02x <<，则()0,2B =. 因此，()0,2A B =.故选：D.【点睛】本题考查了交集的运算，同时也考查了函数值域与对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 4.化简5log 22lg5lg 45+-的结果为（ ） A. 0 B. 2C. 4D. 6【答案】A 【解析】 【分析】由对数的运算性质即可得解. 【详解】5log 22lg5lg45+-=5log 2lg25lg45lg1002+-=-=2-2=0.故选A.【点睛】本题考查对数的运算性质，熟记公式是关键，属于基础题.5.若22a a ->（0a >且1a ≠），则函数()log (1)a f x x =-的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】求出a 的取值范围，可得知函数log ay x =的增减性，然后在此函数的基础上向右平移一个单位长度得出函数()()log 1a f x x =-的图象，从而可得出正确选项.【详解】22a a ->（0a >且1a ≠），且22-<，则指数函数xy a =为减函数，01a ∴<<，所以，对数函数log ay x =在()0,∞+上为减函数，在该函数图象的基础上向右平移一个单位长度得出函数()()log 1a f x x =-的图象， 因此，C 选项中的图象为函数()()log 1a f x x =-的图象. 故选：C.【点睛】本题考查对数型函数图象的识别，解题的关键就是结合条件求出底数的取值范围，考查推理能力，属于基础题.6.已知全集U =R ，{}1M x x =<-，(){}20N x x x =+<，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A. ()1,0-B. [)1,0-C. ()2,1--D.(],2-∞-【答案】B 【解析】 【分析】求出集合N ，并求出集合M N ⋂，根据韦恩图表示的集合可得出结果. 【详解】(){}()202,0N x x x =+<=-，且(),1M =-∞-，则()2,1MN =--.图中阴影部分所表示的集合为{x x N ∈且}x M N ∉⋂. 因此，图中阴影部分所表示的集合为[)1,0-. 故选：B.【点睛】本题考查韦恩图所表示集合的求解，解题时要弄清楚韦恩图所表示集合的含义，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.7.已知函数()2f x ax bx c =++，若关于x 的不等式()0f x >的解集为()1,3-，则A. ()()()401f f f >>B. ()()()104f f f >>C. ()()()014f f f >>D. ()()()140f f f >>【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得0a <，且1-，3为方程20ax bx c ++=的两根，运用韦达定理可得a ，b ，c 的关系，可得()f x 的解析式，计算(0)f ，f （1），f （4），比较可得所求大小关系． 【详解】关于x 的不等式()0f x >的解集为(1,3)-， 可得0a <，且1-，3为方程20ax bx c ++=的两根， 可得13ba -+=-，13c a-⨯=，即2b a =-，3c a =-， 2()23f x ax ax a =--，0a <，可得(0)3f a =-，f （1）4a =-，f （4）5a =， 可得f （4）(0)f f <<（1），故选B ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用。
江苏省常熟市2021-2022学年高二上学期期中考试物理试题 Word版含答案
考生留意： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分2.请将答案填写到答题卷上(选择题填涂到答题卡上) 否则答题无效第I 卷(选择题共38分)一、单项选择题： (本题共6小题，每小题3分，共18分。
每小题只有一个选项符合题意）1.比值定义法是定义物理量的一种方法，所定义的物理量只与两者比值有关，与单个物理量的大小无关。
下列各物理量中不属于比值定义法的是（ ）A.q F E =B.IL F B =C.S l R ρ=D.U QC =2.下列说法中正确的是( )A.通电直导线在磁场中肯定受到安培力的作用B.运动电荷在磁场中受到的洛伦兹力可能对其做正功C.磁感线都是从磁体的N 极动身，到磁体的S 极终止D.通电直导线在磁场中受到的安培力方向肯定与磁场方向垂直3.如图所示，厚薄均匀的矩形金属薄片长ab=10cm ，宽bc=5cm 当将A 与B 接入电压为U 的电路中时，电流为1A ；当将C 与D 接入电压为U 的电路中，则电流为（ ）A.4AB.2AC.21AD.41A4.如图所示的电路，闭合开关S ，待电路中的电流稳定后，减小电阻箱R 的阻值。
则下列说法正确的是（ ） A.电流表的示数减小 B.电压表的示数减小 C.路端电压增大D.电阻R 2两端的电压减小5.如图所示，a 、b 、c 、d 为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于圆弧上相互垂直的两条直径的四个端点上，导线中通有大小相同的电流，方向如图所示，一带正电的粒子从圆心O 沿垂直于纸面的方向向里运动，它所受洛伦兹力的方向是( ) A.从O 指向a B.从O 指向bC.从0指向cD.从O 指向d6.如图所示，PQ 、MN 是放置在水平面内的粗糙导轨，GH 是长度为L 、电阻为r 的导体棒。
导体棒GH 处在方向向下、磁感应强度为B 的勺强磁场中。
图中E 是电动势为E ，内阻不计的直流电源，C 是电容为C 的电容器。
闭合开关，导体棒GH 能始终保持静止，待电路稳定后，则有（ ）A.导体棒中电流r R R EI ++=12B.导体棒所受到的摩擦力方向向左C.导体棒所受到的安培力LB R r EF 1+=安D.电容器带电量为21CR R r EQ +=二、多项选择题：(本题共5小题，每小题4分，共20分每小题有多个选项符合题意，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，多选、错选或不答的得0分)7.截面积为S 的导线中通有电流I 。
2021-2022学年江苏省苏州市高二(上)期中数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共16小题，共72.0分） 1. 若x ∈{1,2,x 2}，则x 的可能值为( )A. 0，2B. 0，1C. 1，2D. 0，1，22. 函数y =|x|x+√1−x 的定义域是( )A. (−∞,1]B. (−∞,0)∪(0,1)C. (0,1)D. (−∞,0)∪(0,1]3. 已知命题p ：∃x 0∈(1,3)，x 02−4x 0+3<0，则￢p 是( )A. ∃x 0∈(1,3)，x 02−4x 0+3≥0B. ∃x 0∉(1,3)，x 02−4x 0+3<0C. ∀x ∈(1,3)，x 2−4x +3≥0D. ∀x ∉(1,3)，x 2−4x +3<04. 设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A. a 2>b 2B. ac >bcC. 2a <2bD. a −c >b −c5. 设a ∈R ，则“a <2”是“a−2a 2+4<0”成立的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件6. 设a >0，则a +3a+4a的最小值为( )A. 2√3a +4B. 7C. 4D. 57. 已知定义在[m −5,3−2m]上的奇函数f(x)，当x >0时，f(x)=x 2+2x ，则f(m)的值为( )A. 8B. 0C. −8D. 48. 已知f(x)={x 2−2ax +a 2,x ≤0x +1x −a,x >0，若f(0)是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为( )A. [−2,0]B. [0,1]C. [−2,1]D. [1,2]9. 若(1,k)是直线x −√3y +2=0的一个方向向量，则k 的值为( )A. −√3B. −√33C. √33D. √310. 在等比数列{a n }中，a 3=1，a 7=3，则a 15的值为( )A. 9B. 27C. 81D. 24311. 已知直线l 1：ax +2y =0与直线l 2：(a +1)x −y +2=0垂直，则a 的值为( )A. −2B. −23C. 1D. 1或−212.《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭．欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士(爵位依次变低)5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为()A. 14B. 16C. 18D. 2013.过点P(a,6)引圆C：x2+y2−6x−2y+1=0的切线，切点为A，则PA的最小值为()A. 4B. 5C. 6D. 714.已知数列{a n}的前n项和为S n，若a n+a n+1=2n，则S20的值为()A. 100B. 200C. 400D. 80015.已知A，B，C(ABC≠0)成等差数列，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+2tx+ty−6=0的位置关系是()A. 相交B. 相切C. 相离D. 随着t的变化而变化16.已知数列{a n}的通项公式为a n=3n+1，数列{b n}的通项公式为b n=n2.若将数列{a n}，{b n}中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列{c n}，则625是数列{c n}中的第()A. 14项B. 15项C. 16项D. 17项二、多选题（本大题共8小题，共40.0分）17.下列命题中为假命题的是()A. ∀x0∈Z，x02≥1B. ∃x0∈Q，x02=3C. ∀x0∈R，x02−2x0−3>0D. ∃x0∈N，|x0|≤018.下列命题正确的是()A. 若a≠0，则a2+1a2>2B. 若a<0，则a+4a≥−4C. 若a>0，b>0，则a+b≥2√abD. 若a<0，b<0，则ab +ba≥219. 已知函数f(x)={x 2,x ≥0−x 2,x <0，则下列结论中正确的是( )A. f(√2)=2B. 若f(m)=9，则m =±3C. f(x)是奇函数D. f(x)在R 上是单调递增函数20. 已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ≥0的解集为{x|−3≤x ≤4}，则下列说法正确的是( )A. a >0B. 不等式bx +c >0的解集为{x|x >−12}C. 不等式cx 2−bx +a <0的解集为{x|x <−14或x >13} D. 4a +2b +c >021. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则( )A. S 3，S 6−S 3，S 9−S 6成等差数列B. S33，S66，S99成等差数列 C. S 9=2S 6−S 3 D. S 9=3(S 6−S 3)22. 已知圆C 1：x 2+y 2+2x +2y −8=0与圆C 2：x 2+y 2−2x +10y −24=0( )A. 两圆的圆心距为2√5B. 两圆的公切线有3条C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为x −2y +4=0D. 两圆相交，且公共弦的长度为4√523. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若2a 5+a 4=a 3，且存在两项a m ，a n ，使得4√a m a n =a 1，则( )A. a n+1=2a nB. S n =2a 1−a nC. mn =5D. m +n =624. 已知AB 为圆O ：x 2+y 2=49的弦，且点M(4,3)为AB 的中点，点C 为平面内一动点，若AC 2+BC 2=66，则( )A. 点C 构成的图象是一条直线B. 点C 构成的图象是一个圆C. OC 的最小值为2D. OC 的最小值为3三、单空题（本大题共8小题，共36.0分）25. 已知幂函数y =f(x)的图象过点(2,√2)，则f(25)=______． 26. 已知全集U =R ，集合A ={x|x >1}，B ={x|x >2或x <−3}，则A ∩27.若函数f(x)={x 2,x≥2f(x+1)+1,x<2，则f(0)=______．28.函数g(x)=ax+2(a>0)，f(x)=x2+2x，对∀x1∈[−3,0]，∃x0∈[−3,0]使g(x1)=f(x0)成立，则实数a的取值范围是______．29.类比是学习探索中一种常用的思想方法，在等差数列与等比数列的学习中我们发现：只要将等差数列的一个关系式中的运算“+”改为“×”，“−”改为“÷”，正整数改为正整数指数幂，相应地就可以得到等比数列的一个形式相同的关系式，反之也成立．在等差数列{a n}中有a n−k+a n+k=2a n(n>k)，借助类比，在等出数列{b n}中有______．30.已知点M(1,3)，N(5,−2)，若x轴上存在一点P，使|PM−PN|最大，则点P的坐标为______．31.如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2).如此继续下去，得图(3)……，则第5个图形的边长为______；第n个图形的周长为______．32.如图，已知圆C1：x2+(y−s)2=s2(s>0)内切于圆C2：x2+(y−t)2=t2(t>0)，直线l：y=kx(k>0)分别交圆C1，C2于A，B两点(A,B在第一象限内)，过点A作x轴的平行线交圆C2于M，N两点，若点A既是线段OB的中点，又是线段MN的三等分点，那么k的值为______．四、解答题（本大题共11小题，共122.0分）33.求下列不等式的解集．(1)6−2x2−x<0；(2)x−2x+4≤0．34.集合A={x|x2−2x−8≤0}，集合B={x|m−2≤x≤2m−1}．(1)当m=5时，求A∪B；(2)若A∩B=B，求实数m的取值范围．35.已知不等式x2−3x+1+a≥0．(1)若该不等式对于任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)若存在实数x∈[1,4]使得该不等式成立，求实数a的取值范围．36.近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国的华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x(千部)手机，且R(x)={10x 2+100x,0<x <30601x +10000x−7250,x ≥30，由市场调研知，每部手机售价0.6万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．(1)求出2021年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式； (利润=销售额−成本)(2)2021年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？37. 已知函数f(x)=x−a1+x 2是定义在(−1,1)上的奇函数．(1)求函数f(x)的解析式；(2)用定义证明函数f(x)在(−1,1)上是增函数；(3)若∀x ∈(0,1)使得不等式1f(x)+kf(2x)>0恒成立，求实数k 的取值范围．38. 已知三角形的顶点A(4,1)，B(−6,3)，C(3,0)．(1)求AC 边上的高BH 所在的直线方程； (2)求AB 边上的中线CD 所在的直线方程．39. 已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且{b n }的各项均为正数，若a 1=b 1=1，a 2−b 2=1，a 3+b 3=9． (1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n =a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．40. 已知圆M 经过A(2,−√3)，B(2,√3)，C(−1,0)．(1)求圆M 的标准方程；(2)若点P(3,2)，点Q 是圆M 上的一个动点，求MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．41. 在①S n =2a n −1，②a 1=1，S n+1=2S n +1，③a 1=1，S n =a n+1−1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答． 问题：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足____． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)在a n 与a n+1之间插入n 个数，使得这n +2个数组成一个公差为d n 的等差数列，在数列{d n }中是否存在三项d m ，d k ，d p (其中m ，k ，p 成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由．42.已知圆C：x2+y2−8x+12=0，直线l是过原点O的一条动直线，且l与圆C交于A，B两点．(1)若A，B恰好将圆C分成长度之比为1：2的两段圆弧，求l的斜率；(2)记AB的中点为M，在l绕着原点O旋转的过程中，点M在平面内形成一段曲线E，求E的长度．43.有一种被称为汉诺塔(Hanoi)的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆(编号A、B、C)，在A杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个金盘(如图).游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好．操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上．记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为a n．∗(2)求证：a1+1a1a2+a2+1a2a3+⋅⋅⋅+a n+1a n a n+1<1．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵x∈{1,2,x2}，当x=1时，{1,2,x2}={1,2,1}，不满足集合中元素的互异性；当x=2时，{1,2,x2}={1,2,4}，满足集合中元素的互异性；当x=x2，即x=0或x=1(舍)时，{1,2,x2}={1,2,0}，满足集合中元素的互异性；∴a=0或a=2．故选：A．利用集合中元素的互异性求解．本题考查了集合中元素的互异性，属于易做题．2.【答案】D【解析】解：由题意得：{x≠01−x≥0，解得：x≤1且x≠0，故函数的定义域是(−∞,0)∪(0,1]，故选：D．根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，命题p：∃x0∈(1,3)，x02−4x0+3<0，则￢p：∀x∈(1,3)，x2−4x+3≥0．故选：C．利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：对于A，取a=1，b=−1，满足a>b，但a2=b2，故A错误；对于B，若c=0，则ac=bc，故B错误；对于C，取a=1，b=−1，满足a>b，但2a >2b，故C错误；对于D，由a>b，−c=−c，可得a−c>b−c，故D正确．故选：D．由不等式的性质及特值法逐一判断即可得结论．本题主要考查不等式的基本性质，特值法的应用，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵a2+4>0，∴a<2⇔a−2a2+4<0，∴a<2是a−2a2+4<0成立的充要条件，故选：A．利用不等式的基本性质，再结合充要条件的定义判断即可．本题考查了不等式的基本性质，充要条件的判断，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：a>0，则a+3a+4a =a+4a+3≥2√a⋅4a+3=7，当且仅当a=4a即a=2时取等号，此时取得最小值7．故选：B．由已知先进行分离，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：定义在[m−5,3−2m]上的奇函数f(x)，可得m−5+3−2m=0，解得m=−2，当x>0时，f(x)=x2+2x，则f(m)=f(−2)=−f(2)=−(4+4)=−8．故选：C．由定义域关于原点对称可得m的方程，解得m，再由奇函数的定义和已知解析式，计算可得所求值．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：(1)当a<0时，f(0)=a2>0，f(a)=0，所以f(0)不是f(x)最小值；(2)当a≥0时，f(x)在(−∞,0]上单调递减，f(x)=(x−a)2≥a2，f(x)在(0,+∞)上，f(x)=x+1x −a≥2⋅√x⋅1x−a=2−a，要使f(0)是f(x)的最小值，只要a2≤2−a，解得−2≤a≤1，所以0≤a≤1，故选：B．对a分类讨论，对x分段讨论函数最小值，解不等式求解．本题考查了分段函数最值问题，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：∵(1,k)是直线x−√3y+2=0的一个方向向量，∴k1=−√3，解得k=√33，故选：C．根据直线方向向量与斜率之间的关系即可得出．本题考查了直线方向向量与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 7=a 3⋅q 4，得q 4=3，所以a 15=a 3q 12=a 3(q 4)3=33=27．故选：B ．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 7=a 3⋅q 4可得q 4=3，从而根据a 15=a 3q 12=a 3(q 4)3进行求解即可．本题考查等比数列的通项公式，考查学生基本的运算求解能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：∵直线l 1：ax +2y =0与直线l 2：(a +1)x −y +2=0垂直，∴a(a +1)−2=0，即a 2+a −2=0，解得a =1或−2，故选：D ．由直线l 1：ax +2y =0与直线l 2：(a +1)x −y +2=0垂直，可得a(a +1)−2=0，解得a 即可得出．本题考查了直线垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：设大夫、不更、簪褭、上造、公士所出钱数成等差数列{a n }，其公差为d ，前n 项和为S n ，由题意可得{a 5=a 1+4d =28S 5=5a 1+10d =100，解得{a 1=12d =4，则a 2=a 1+d =12+4=16， 所以不更出的钱数为16钱．故选：B ．设大夫、不更、簪褭、上造、公士所出钱数成等差数列{a n }，其公差为d ，前n 项和为S n ，由题意可得{a 5=a 1+4d =28S 5=5a 1+10d =100，从而求出a 1与d 后再利用a 2=a 1+d 进行求解即可．本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，解题的关键在于运用等差数列相关知识解决实际问题，考查学生的基本运算求解能力，属于基础题．13.【答案】A【解析】解：圆C：x2+y2−6x−2y+1=0的圆心(3,1)，半径为3，点P(a,6)的轨迹为y=6，过点P(a,6)引圆C：x2+y2−6x−2y+1=0的切线，切点为A，则PA的最小值的平方就是圆的圆心到直线y=6的距离的平方与半径的平方差，可得：PA的最小值：√(6−1)2−32=4，故选：A．求出圆的圆心与半径，判断P的轨迹，利用点到直线的距离以及圆的半径，转化求解即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．14.【答案】B【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，若a n+a n+1=2n，则S20=a1+a2+a3+a4+⋅⋅⋅+a19+a20=2×1+2×3+2×5+⋅⋅⋅+2×19=2(1+3+5+⋅⋅⋅+19)=2×1+19×10=200．2故选：B．利用数列的递推关系式，直接求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力，是基础题．15.【答案】A【解析】解：若A，B，C公差为d，则Ax+(A+d)y+(A+2d)=A(x+y+1)+d(y+ 2)=0，∴直线恒过定点(1,−2)，将代入圆中，可得5+2t−2t−6=−1<0，∴(1,−2)在圆x2+y2+2tx+ty−6=0内，故直线与圆相交．故选：A．若A，B，C公差为d，结合直线方程可得A(x+y+1)+d(y+2)=0，即可确定所过的定点坐标，再判断定点与圆的位置关系即可．本题主要考查直线恒过定点问题，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，属于中等题．16.【答案】C【解析】解：∵数列{a n}的通项公式为a n=3n+1，数列{b n}的通项公式为b n=n2，若将数列{a n}，{b n}中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列{c n}，令a n=b m，即3n+1=m2，1.若m=3k，则b m=9k2∉{a n}.2.若m=3k+1，则b m=(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1∈{a n}.3.若m=3k+2，则b m=(3k+2)2=9k2+12k+4=3(3k2+4k+1)+1∈{a n}.故当m=3k+1和m=3k+2，k∈Z时，项b m才能在{a n}中出现，即为公共项．所以，公共项为b2，b4，b5，b7，b8，b10，b11，b13，b14，b16，b17，b19，b20，b22，b23，b25，⋅⋅⋅，令m2=625，求得m=25，即b25=625，显然625是数列{c n}中的第16项，故选：C．利用数列的通项公式列举数列的项，进一步利用共性求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，列举法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．17.【答案】ABC【解析】解：对于A：当x0=0时，x02=0<1，故A错误，对于B：当x02=3时，则x0=±√3∉Q，故B错误，对于C：当x0=0时，则x02−2x0−3<0，故C错误，对于D：∃x0=0∈N，|x0|=0，故D正确．故选：ABC．直接利用赋值法判断命题的真假即可．本题考查命题真假的判定，利用赋值法是关键，属于基础题．18.【答案】CD【解析】解：由a ≠0，得a 2>0，所以a 2+1a 2≥2√a 2⋅1a 2=2，当且仅当a 2=1a 2，即a =±1时等号成立，所以a 2+1a 2≥2，选项A 错误；由a <0，得−a >0，所以a +4a =−[(−a)+(−4a )]≤−2√((−a)(−4a)=−4，当且仅当−a =−4a，即a =−2时等号成立， 所以a +4a ≤−4，选项B 错误；由a <0，b <0，得a b >0，b a >0，所以b a +a b ≥2√b a ⋅a b =2，当且仅当b a =a b ，即a =b 时等号成立，所以b a +ab ≥2，选项D 正确．故选：CD ．根据“一正，二定，三相等”的法则，利用基本不等式对选项进行逐一判断即可． 本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题． 19.【答案】ACD【解析】解：∵f(√2)=(√2)2=2，∴A 对；由f(m)=9得m 2=9，又m ≥0，∴m =3，∴B 错；函数f(x)={x 2,x ≥0−x 2,x <0的图象为 由函数图象可知C 、D 正确．故选：ACD ．根据函数求值方法可解决A 、B ；根据函数f(x)图象可解决C 、D ．本题考查函数图象和性质、函数值，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．20.【答案】BD【解析】解：∵关于x 的不等式ax 2+bx +c ≥0的解集为{x|−3≤x ≤4}， ∴{a <0(−3)+4=−b a (−3)×4=c a，即{b =−a c =−12a ，则选项A 错误； 不等式bx +c >0可转化为−ax −12a >0，即x +12>0，解得x >−12， 即不等式bx +c >0的解集为{x|}x >−12}，选项B 正确；不等式cx 2−bx +a <0可转化为−12ax 2+ax +a <0，即12x 2−x −1<0，解得−14<x <13，所以不等式cx 2−bx +a <0的解集为{x|−14<x <13}，选项C 错误；由题意可知二次函数f(x)=ax 2+bx +c 的图象开口向下，与x 轴交于(−3,0)与(4,0)两个点，所以f(2)=4a +2b +c >0，选项D 正确．故选：BD ．根据题意可得{a <0−3+4=−b a (−3)×4=ac，即{b =−a c =−12a ，即二次函数f(x)=ax 2+bx +c 的图象开口向下，与x 轴交于(−3,0)与(4,0)两个点，从而对选项进行逐项判断即可．本题考查二次函数的性质与图象，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题． 21.【答案】ABD【解析】解：因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和，设等差数列的公差为d ，则S 9=9a 1+36d ，S 6=6a 1+15d ，S 3=3a 1+3d ， 则S 3=3a 1+3d ，S 6−S 3=3a 1+12d ，S 9−S 6=3a 1+21d ，所以2(3a 1+12d)=(3a 1+3d)+(3a 1+21d)，则S 3，S 6−S 3，S 9−S 6成等差数列，故选项A 正确；因为S 9=9a 1+36d ，S 6=6a 1+15d ，S 3=3a 1+3d ，则S33=a1+d,S66=a1+52d,S99=a1+4d，所以2(a1+52d)=(a1+d)+(a1+4d)，则S33，S66，S99成等差数列，故选项B正确；因为S9=9a1+36d，S6=6a1+15d，S3=3a1+3d，所以2S6−S3=2(6a1+15d)−(3a1+3d)=9a1+27d，则S9≠2S6−S3，故选项C错误；因为S9=9a1+36d，S6=6a1+15d，S3=3a1+3d，所以3(S6−S3)=3[(6a1+15d)−(3a1+3d)]=9a1+36d=S9，故选项D正确．故选：ABD．设等差数列的公差为d，利用等差数列的求和公式分别求出S3，S6，S9，然后利用等差中项的定义判断选项A，B，利用S9=9a1+36d，S6=6a1+15d，S3=3a1+3d，即可判断选项C，D．本题考查了等差数列的前n项和公式，等差中项的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．22.【答案】AC【解析】解：由圆C1：x2+y2+2x+2y−8=0，得(x+1)2+(y+1)2=10，由圆C2：x2+y2−2x+10y−24=0，得(x−1)2+(y+5)2=50，可得C1(−1,−1)，r1=√10，C2(1,−5)，r2=5√2．两圆的圆心距为|C1C2|=√(−1−1)2+(−1+5)2=2√5，故A正确；∵5√2−√10<|C1C2|<√10+5√2，∴两圆相交，公切线有2条，故B错误；两圆方程作差，可得x−2y+4=0，即公共弦所在的直线方程为x−2y+4=0，故C 正确；圆心C1(−1,−1)到直线x−2y+4=0的距离d=√5=√5，r1=√10，则公共弦的长度为2√10−5=2√5，故D错误．故选：AC．化两圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，即可求得圆心距判定A；由两圆相交判断B与C；求出公共弦长判断D．本题考查两圆位置关系的判定及应用，考查运算求解能力，是基础题．23.【答案】BD【解析】解：等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，由各项均为正数的等比数列{a n }满足2a 5+a 4=a 3，可得2a 3q 2+a 3q =a 3，∴2q 2+q −1=0，∴公比q =12，∴a n+1=12a n ，故A 错误．∴S n =a 1⋅[1−(12)n ]1−12=2a 1⋅[1−(12)n ]=2a 1−a 1⋅(12)n−1=2a 1−a n ，故B 成立． ∵4√a m a n =a 1，∴16a m ⋅a n =a 12，即a m ⋅a n =116⋅a 12，又a m ⋅a n =a 12⋅(12)m+n−2=116⋅a 12， ∴(12)m+n−2=116=(12)4，∴m +n −2=4，即m +n =6，(m ∈N ∗,n ∈N ∗)，故D 正确．再根据m +n =6，m 、n 为正整数，故mn =5不一定成立，如m =2，n =4时，故C 错误，故选：BD ．由题意利用等比数列的通项公式，求出公比，可得结论．本题主要考查等比数列的通项公式，根据等比数列的通项公式求出公比是解决本题的关键，属于中档题．24.【答案】BC【解析】解：如图，∵M 是AB 的中点，∴OM ⊥AB ，∵|OA|=r =7，|OM|=√32+42=5，∴|MA|=√72−52=2√6．又AC 2+BC 2=66，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=66，可得(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=66，∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=66，可得2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=66，则MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9，|MC|=3．∴点C 构成的图象是一个圆，故A 错误，B 正确；又|OM|=5，∴当O 、M 、C 共线，且C 在OM 之间时，OC 有最小值为5−3=2． 故C 正确，D 错误．故选：BC ．由题意画出图形，求出|MA|的值，再把AC 2+BC 2=66转化为向量等式，可得|MC|=3，即可得到C 的轨迹判断A 与B ；再由圆与圆的位置关系求得OC 的最小值判断C 与D ． 本题考查轨迹方程的求法，考查点与圆、圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．25.【答案】5【解析】解：设幂函数f(x)=x α(α为常数)，∵幂函数y =f(x)的图象过点(2,√2)，∴2α=√2，∴α=12， ∴f(x)=x 12，∴f(25)=2512=5，故答案为：5．先利用待定系数法求出幂函数f(x)的解析式，从而求出f(25)的值．本题主要考查了幂函数的定义，是基础题．26.【答案】(1,2]【解析】解：全集U =R ，集合A ={x|x >1}，B ={x|x >2或x <−3}，所以∁U B ={x|−3≤x ≤2}，所以A ∩(∁U B)={x|1<x ≤2}=(1,2]． 故答案为：(1,2]．根据补集与交集的定义计算即可．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．27.【答案】6【解析】解：根据题意，函数f(x)={x 2,x ≥2f(x +1)+1,x <2，则f(0)=f(1)+1=f(2)+2=22+2=6， 故答案为：6．根据题意，由函数的解析式计算可得答案．本题考查分段函数的性质，涉及函数值的计算，属于基础题．28.【答案】(0,1]【解析】解：函数f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，对称轴为x =−1，图象开口向上， 所以f(x)在[−3,−1]上单调递减，在[−1,0]上单调递增， 故f(x)∈[−1,3]，记A =[−1,3]，因为函数g(x)=ax +2(a >0)在[−3,0]上单调递增， 所以−3a +2≤g(x)≤2， 故函数g(x)∈[−3a +2,2]，因为对∀x 1∈[−3,0]，∃x 0∈[−3,0]使g(x 1)=f(x 0)成立， 所以[−3a +2,2]⊆[−1,3]， 则−3a +2≥−1，解得a ≤1， 又a >0，所以实数a 的取值范围是(0,1]． 故答案为：(0,1]．利用二次函数的性质求出f(x)的值域，由一次函数的单调性求出g(x)的值域，将问题转化为[−3a +2,2]⊆[−1,3]，利用集合子集的定义，列式求解即可．本题考查了函数恒成立问题，函数值域的求解，二次函数的性质以及一次函数单调性的应用，集合子集定义的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．29.【答案】b n−k b n+k=b n2(n>k)【解析】解：由题设描述，将左式加改乘，则相当于a n−k+a n+k改写为b n−k b n+k；将右式正整数2改为指数，则相当于2a n改写为b n2，∴等比数列{b n}中有b n−k b n+k=b n2(n>k)．故答案为：b n−k b n+k=b n2(n>k)根据题设描述，应用类比思想将等差数列{a n}递推式左右两边按规则改写，即可得等比数列{b n}的递推关系式．本题主要考查数列中的递推关系式，类比推理的应用等知识，属于基础题．30.【答案】(13,0)【解析】解：作M(1,3)关于x轴对称点M′(1,−3)，作直线M′N交x轴于点P，则点P即为所求，设直线M′N的解析式为y=kx+b将M′(1,−3)，N(5,−2)代入{−3=k+b−2=5k+b，解得k=14，b=−134，所以此函数的解析式为y=14x−134，当y=0时，x=13所以P点坐标(13,0)．故答案为：(13,0)作M(1,3)关于x轴对称点M′(1,−3)，作直线M′N交x轴于点P，则点P即为所求，由此求出直线M′N就能求出点P的坐标．本题考查使某段线段长取得最大值的点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意对称性的合理运用．31.【答案】1814n−1 3n−2【解析】解：根据题意，第一个图形有3条边，边长为1，第二个图形有3×4条边，边长为1×13，第三个图形有3×42条边，边长为1×132， ……第n 个图形中有3×4n−1条边，每条边的边长为13n−1， 则第5个图形的边长为135−1=134=181， 第n 个图形的周长为(3×4n−1)×13n−1=4n−13n−2；故答案为：181，4n−13n−2．根据题意，归纳分析第n 个图形中边长和边数，由此计算可得答案．本题考查合情推理的应用，注意分析图形的边数、边长的关系，属于基础题．32.【答案】√7【解析】解：由{y =kx x 2+(y −s)2=s 2，解得A(2ks 1+k 2,2k 2s1+k 2)，由{y =kx x 2+(y −t)2=t 2，解得B(2kt 1+k 2,2k 2t1+k 2)，因为点A 是线段OB 的中点，所以2⋅2ks1+k 2=2kt1+k 2， 即有t =2s ，s ，t >0，由{y =2k 2s1+k 2=k 2t1+k 2x 2+(y −t)2=t 2，解得x M =−√t 2−(t 1+k 2)2，x N =√t 2−(t1+k2)2，因为A 为线段MN 的三等分点，所以|MA|=2|AN|， 即有kt 1+k 2+√t 2−(t 1+k 2)2=2(√t 2−(t 1+k 2)2−kt1+k 2)，即3kt1+k 2=√t 2−(t 1+k 2)2，两边平方化为9k 2t 2=t 2(1+k 2)2−t 2，即有k 4=7k 2，由于k >0， 解得k =√7． 故答案为：√7．联立直线y =kx 与两圆的方程，求得A ，B 的坐标，由中点坐标公式可得t =2s ，将B 的纵坐标代入圆C 2的方程，求得M ，N 的横坐标，再由A 是线段MN 的三等分点，解方程可得所求值．本题考查直线和圆、圆与圆的位置关系，以及线段的中点坐标公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．33.【答案】解：(1)将原不等式整理可得2x2+x−6>0，即(2x−3)(x+2)>0，所以x<−2或x>32，所以原不等式的解集为(−∞,−2)∪(32,+∞)．(2)原不等式转化为(x+4)(x−2)≤0且x≠−4，所以−4<x≤2，所以原不等式的解集为(−4,2]．【解析】(1)因式分解可得(2x−3)(x+2)>0，解得x的范围，即可；(2)先将其转化为一元二次不等式(组)，再解之即可．本题考查分式不等式，一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．34.【答案】解：(1)A={x|−2≤x≤4}，当m=5时，B={x|3≤x≤9}，所以，A∪B={x|−2≤x≤9}；(2)因为A∩B=B所以，B⊆A，当B=⌀时，则m−2>2m−1，所以，m<−1，当B≠⌀时，则有{m−2≤2m−1m−2≥−22m−1≤4，所以，0≤m≤52，所以，实数m的取值范围为[0,52]∪(−∞,−1)．【解析】(1)m=5时，可求得集合B，从而可求得A∪B；(2)由A∩B=B得B⊆A，分B=⌀和B≠⌀分别求解运算．本题考查了集合间的运算，利用集合间的关系求参数范围的问题，属于基础题．35.【答案】解：(1)因为不等式x2−3x+1+a≥0对于任意实数x恒成立，所以△=9−4(1+a)≤0，解得a≥54，故实数a的取值范围是[54,+∞)；(2)存在实数x∈[1,4]，使得不等式x2−3x+1+a≥0，令 f(x)=x 2−3x +1+a ，要使得存在实数x ∈[1,4]原不等式成立， 则只需要f(x)max ≥0，又f(x)在[1,4]的最大值为f(4)=5+a ， 所以5+a ≥0，解得a ≥−5， 故实数a 的取值范围为[−5,+∞)．【解析】(1)利用二次函数的图象与性质，列出不等式求解即可；(2)构造函数 f(x)=x 2−3x +1+a ，将问题转化为求解f(x)的最大值，利用二次函数的性质求解即可．本题考查了函数恒成立问题，二次函数图象与性质的应用，二次函数最值的求解，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．36.【答案】解：(1)销售x(千部)手机获得的销售额为0.6×1000x =600x ，当0<x <30时，W(x)=600x −250−10x 2−100x =−10x 2+500x −250， 当x ≥30时，W(x)=600x −250−601x −10000x+7250=−x −10000x+7000，故W(x)={−10x 2+500x −250,0<x <30−x −10000x +7000,x ≥30． (2)当0<x <30时，W(x)=−10x 2+500x −250， 当x =25时，W(x)max =−6250+12500−250=6000， 当x ≥30时，W(x)=−x −10000x+7000≤−2√10000+7000=6800，当−x =−10000x，即x =100时，等号成立，∵6800>6000∴当x =100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是6800 (万元)．【解析】(1)根据已知条件，分0<x <30，x ≥30两种情况，结合利润=销售额−成本公式，即可求解．(2)根据已知条件，结合二次函数的性质和基本不等式的考点，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，结合二次函数的性质和基本不等式的考点，属于中档题．37.【答案】(1)解：因为函数f(x)在(−1,1)上是奇函数，则f(0)=0，解得a=0，此时f(−x)=−x1+(−x)2=−x1+x2=−f(x)，所以f(x)=x1+x2；(2)证明：任意的x1，x2∈(−1,1)且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x11+x12−x21+x22=(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)，因为x1<x2，所以x1−x2<0，又x1，x2∈(−1,1)，所以1−x1x2)>0，所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在(−1,1)上是增函数；(3)解：由1f(x)+kf(2x)>0，可得(4k+2)x2+k+22x>0，因为x∈(0,1)，所以只需(4k+2)x2+k+2>0对于x∈(0,1)恒成立，(i){4k+2>0k+2≥0，解得k>−12；(ii){4k+2<04k+2+k+2≥0，解得−45≤k<−12；(iii){4k+2=0k+2>0，解得k=−12．综上所述，实数k的取值范围为[−45,+∞)．【解析】(1)利用奇函数的性质f(0)=0，求出a的值，再利用奇函数的定义验证，即可得到答案；(2)利用函数单调性的定义证明即可；(3)将问题转化为(4k+2)x2+k+2>0对于x∈(0,1)恒成立，然后利用二次函数的图象与性质，分类讨论，求解即可．本题考查了函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，函数单调性定义以及奇偶性定义的理解与应用，不等式恒成立的求解，二次函数图象与性质的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．38.【答案】解：(1)∵A(4,1)，C(3,0)，∴k AC =0−13−4=1，∵BH 为AC 边上的高，∴k AC ⋅k BH =−1，得k BH =−1，又BH 过点B(−6,3)，∴BH 所在直线的方程为y −3=−1×(x −(−6))， 即x +y +3=0；(2)∵A(4,1)，B(−6,3)，∴AB 的中点(4+(−6)2,1+32)，即D(−1,2)，又C(3,0)，∴k CD =2−0−1−3=−12，又∵直线CD 过点C(3,0)，∴CD 所在直线的方程为y −0=−12×(x −3)， 即x +2y −3=0．【解析】(1)由已知求得AC 所在直线的斜率，动点BH 所在直线当斜率再由直线方程的点斜式得答案；(2)由中点坐标公式求得AB 中点的坐标，再由两点求斜率可得CD 所在直线当斜率，然后利用直线方程的点斜式得答案．本题考查直线方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．39.【答案】解：(1)由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，∵数列{b n }的各项均为正数，∴q >0， 由a 2−b 2=1，a 3+b 3=9， 可得{1+d −q =11+2d +q 2=9，解得{d =2q =2，∴a n =1+2(n −1)=2n −1，n ∈N ∗， b n =1⋅2n−1=2n−1，n ∈N ∗．(2)由(1)得，c n =a n ⋅b n =(2n −1)⋅2n−1， 则S n =1×1+3×2+5×22++(2n −1)×2n−1， 2S n =1×2+3×22+5×23++(2n −1)×2n ，两式相减，可得−S n =1×1+2×2+2×22+⋅⋅⋅+2×2n−1−(2n −1)×2n =2+22+23+⋅⋅⋅+2n −(2n −1)×2n −1 =2(1−2n )1−2−(2n −1)×2n −1=−(2n −3)×2n −3， ∴S n =(2n −3)×2n +3．【解析】(1)先设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，然后根据已知条件列出关于公差d 与公比q 的方程组，解出d 与q 的值，即可计算出数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{c n }的通项公式，然后运用错位相减法计算出前n 项和S n ．本题主要数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n 项和．考查了方程思想，转化与化归思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．40.【答案】解：(1)设圆M 的标准方程为(x −a)2+(y −b)2=r 2(r >0)，由于圆经过A(2,−√3)，B(2,√3)，C(−1,0)， 所以有{(2−a)2+(−√3−b)2=r 2,(2−a)2+(√3−b)2=r 2,(−1−a)2+(0−b)2=r 2,，解得{a =1,b =0,r =2,所以圆M 的标准方程为(x −1)2+y 2=4．(2)由(1)知M(1,0)，设Q(1+2cosθ,2sinθ)，θ∈R ， MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2cosθ,2sinθ)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2cosθ−2,2sinθ−2)，所以MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2cosθ)(2cosθ−2)+(2sinθ)(2sinθ−2)=4−4(cosθ+sinθ)=4−4√2sin(θ+π4)≥4−4√2．当θ=π4时，MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为4−4√2． 所以MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为4−4√2．【解析】(1)用待定系数法求解；(2)用向量数量积运算及正弦函数性质求解． 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，考查了圆的标准方程问题，考查了最值问题，属于中档题．41.【答案】解：(1)如选①：由于S n =2a n −1，当n ≥2时，有S n−1=2a n−1−1， 两式作差得a n =2a n −2a n−1，即a n =2a n−1，又n =1时，有S 1=a 1=2a 1−1，所以a 1=1≠0，所以a n−1≠0，所以a na n−1=2，即数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以a n =2n−1． 如选②：由于S n+1=2S n +1，当n ≥2时，有S n =2S n−1+1， 两式作差得a n+1=2a n (n ≥2)，又n =1时，有a 1=1且S 2=a 1+a 2=1+a 2=2S 1+1=2a 1+1=3，所以a 2=2，有a 2=2a 1，所以a n+1=2a n (n ≥1)，且a 1=1≠0， 所以a n+1a n=2，即数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n =2n−1． 如选③：由于S n =a n+1−1，当n ≥2时，有S n−1=a n −1， 两式作差得a n =a n+1−a n ，即a n+1=2a n (n ≥2)，又n =1时，有a 1=1且S 1=a 1=1=a 2−1，所以a 2=2，有a 2=2a 1， 所以a n+1=2a n (n ≥1)，且a 1=1≠0， 所以a n+1a n=2，即数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n =2n−1．(2)由(1)可知a n =2n−1，a n+1=2n ． 因为a n+1=a n +(n +2−1)d n ， 所以d n =a n+1−a n n+1=2n−1n+1．假设在数列{d n }中存在三项d m ，d k ，d p (其中m ，k ，p 成等差数列)成等比数列，则d k2=d m d p ，即(2k−1k+1)2=2m−1m+1⋅2p−1p+1，化简得22k (k+1)2=2m+p(m+1)(p+1)(∗)，因为m ，k ，p 成等差数列，所以m +p =2k ，从而(∗)可以化简为k 2=mp ． 联立{m +p =2k,k 2=mp,可得k =m =p ，这与题设矛盾．所以在数列{d n }中不存在三项d m ，d k ，d p (其中m ，k ，p 成等差数列)成等比数列．【解析】(1)分别取①②③三个条件，均可得数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，即可求得数列{a n }的通项公式；(2)由(1)可知a n =2n−1，a n+1=2n .再由a n+1=a n +(n +2−1)d n ，得d n =a n+1−a n n+1=。
2021-2022学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷(附详解)
2021-2022学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合M ={x|−2⩽x ⩽3}，N ={x|log 2x ⩽1}，则M ∩N =( )A. [−2,3]B. [−2,2]C. (0,2]D. (0,3]2. 若a >0,b >0，则“ab <1”是“a +b <1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若tanα=34，则1+sin2α1−2sin 2α=( )A. −17B. −7C. 17D. 74. 函数f(x)=(3x −x 3)sinx 的部分图象大致为( )A.B.C.D.5. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. −58B. 14C. 18D. 1186. 定义方程f(x)=f ′(x)的实数根x.叫做函数f(x)的“躺平点”.若函数g(x)=lnx,ℎ(x)=x 3−1的“躺平点”分别为α,β，则α,β的大小关系为( )A. α⩾βB. α>βC. α⩽βD. α<β7. 已知函数f(x)=Asin(ωx −π6)(A >0,ω>0)，直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为 a 1,a 2,···,a k ,a k+1,···,，…，(其中k ∈N ∗)，若a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，则A =( )B. 2C. √2D. 2√3A. 2√338.设数列{a m}(m∈N∗)，若存在公比为q的等比数列{b m+1}(m∈N∗)，使得 b，k<a k<b k+1其中k=1，2，…，m，则称数列{b m+1}为数列{a m}的“等比分割数列”，则下列说法错误的是()A. 数列 {b：2，4，8，16，32是数列{a4}：3，7，12，24的一个“等比分割数列”5}B. 若数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，则有 a和1<···<a k−1<a k<···<a n b成立，其中2⩽k⩽n,k∈N∗1<···<b k−1<b k<···<b n<b n+1C. 数列{a3}：−3，−1，2存在“等比分割数列”{b4}D. 数列{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,…,10)，若数列{a10}的“等比分割数列”{b11}的首项为1，则公比q∈(2,2109)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）=2−i(i为虚数单位)，设复数z=(a+1)+(a−1)i，则下列9.已知实数a满足3−ai1+i结论正确的是()A. z为纯虚数B. z2为虚数C. z+z−=0D. z⋅z−=410.已知不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是()A. −1B. 3C. 2D. 011.关于函数f(x)=sin|x|+|cosx|有下述四个结论，则()A. f(x)是偶函数B. f(x)的最小值为−1C. f(x)在[−2π,2π]上有4个零点D. f(x)在区间(π,π)单调递增212.如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则()A. CP的最小值为√32B. 当P在直线AE上运动时，三棱锥D−BPF的体积不变C. PD+PF的最小值为√2−√2D. 三棱锥A−DCE的外接球表面积为3π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知曲线y=me x+xlnx在x=1处的切线方程为y=3x+n ，则n=．14. 已知数列{a n }是等差数列，a 1>0，a 3+3a 7=0，则使S n >0的最大整数n 的值为 ．15. 某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道．要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元(不考虑宽度厚度等因素)，则水池面积最大值为 平方米．16. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(1−x)=f(x)，则f(x)的最小正周期为 ；若对任意的x 1,x 2∈[0,12]，当 x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，则关于x 的不等式f(x)⩽sinπx 在区间[−32,32]上的解集为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ =(2sinx,2sin(x +π4))，向量b ⃗ =(cosx,√62(cosx −sinx))，记f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ (x ∈R)． (1)求f(x)表达式；(2)解关于x 的不等式f(x)⩾1．18. 在下列条件：①数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n 2−a n }为常数列，②S n =12(a n +n +1)(n ∈N ∗)，③a 3=2,S n+1=S n−1+1(n ⩾2,n ∈N ∗)中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，______． (1)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n ； (2)设b k =1S 2k ⋅S 2k+1(k ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <34(n ∈N ∗)．19.已知函数f(x)=√3sin x2cos x2−cos2x2+12．(1)设g(x)=f(−x)，求函数g(x)的单调递减区间；(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC边的中点，若f(A)=12，a=√3，求线段AD的长的取值范围．20.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC=2，BC=CD=1，∠CAD=30°，∠ACB=60°，M是PB上一点，且PB=3MB，N是PC中点．(1)求证：PC⊥BD；(2)若二面角P−BC−A大小为45°，求棱锥C−AMN的体积．21.已知函数f(x)=ax−1x−alnx(a>0)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2)，且不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2恒成立，求实数m的取值范围．22.已知函数f(x)=lnx−x+2sinx，f′(x)为f(x)的导函数，求证：(1)f′(x)在(0,π)上存在唯一零点；(2)f(x)有且仅有两个不同的零点．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查描述法、区间的定义，以及对数不等式的解法和交集的运算，属于基础题．先化简集合N，再根据交集的运算即可求出．【解答】解：集合M={x|−2⩽x⩽3}=[−2,3]，N={x|log2x⩽1}=(0,2],则M∩N=(0,2]．故答案选：C．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了充分、必要条件的判断，可以用特殊值法，列举出满足条件的具体数进行判断，属于基础题．判断充分条件、必要条件时均可以列举出满足条件的数，或使之不成立的数．【解答】解：∵a>0,b>0，∵ab<1，，则a+b>1，令a=4，b=18∴充分性不满足;当a+b<1时，0<a<1且0<b<1，所以ab<1，必要性满足，∴a>0,b>0，ab<1是a+b<1的必要不充分条件．故答案选：B．【解析】【分析】本题主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式将1+sin2α1−2sin2α用tanα表示，再求值即可．【解答】解：因为tanα=34，所以1+sin2α1−2sin2α=sin2α+cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α−2sin2α=tan2α+1+2tanα1−tan2α=(34)2+1+2×341−(34)2=7．故答案选：D．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的图像与性质，一般可以从函数的单调性，奇偶性或特殊点出的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．根据函数奇偶性的概念可判断f(x)为偶函数，排除选项B;再对比剩下选项，需考虑0< x<√3和√3<x<π时，f(x)与0的大小系即可作出选择．【解答】解：∵f(−x)=(−3x+x3)sin(−x)=(3x−x3)sinx=f(x)，∴f(x)为偶函数，排除选项C；当0<x<√3时，3x−x3>0,sinx>0,∴f(x)>0，排除选项D；当√3<x<π时，3x−x3<0，3x−x3<0,sinx>0,∴f(x)<0，排除选项B．故答案选：A．【解析】 【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题． 由题意画出图形，把AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，然后代入数量积公式得答案． 【解答】 解：如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE =2EF ，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +32DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−54|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°+34×12=−54×1×1×12+34=18．故答案选：C ．6.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查新定义的应用，利用导数研究函数的单调性的方法，函数零点存在定理及其应用等知识，属于中等题．对g(x)=lnx 求导，构造函数t(x)=lnx −1x ，研究其单调性和零点，利用零点存在性定理求出α∈(1,e)；同样的方法求出β∈(3,4)，即可得到答案．解：g(x)=lnx 定义域为(0,+∞)，g′(x)=1x ， 由题意得：lnα=1α，令t(x)=lnx −1x ，x ∈(0,+∞)， 则α为函数t(x)=lnx −1x 的零点，t′(x)=1x +1x 2>0， 所以t(x)=lnx −1x 在x ∈(0,+∞)上单调递增，又t(1)=−1<0，t(e)=1−1e >0，由零点存在定理，α∈(1,e)． 另外ℎ(x)=x 3−1，ℎ′(x)=3x 2，由题意得：β3−1=3β2，令s(x)=x 3−1−3x 2，则β为函数s(x)=x 3−1−3x 2的零点，s ′(x)=3x 2−6x ， 令s ′(x)>0得：x >2或x <0， 令s ′(x)<0得：0<x <2，所以s(x)=x 3−1−3x 2单调递增区间为(−∞,0)，(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)， s(x)在x =0处取得极大值，s(0)=−1<0，在x =2处取得极小值， 故s(x)在(−∞,2)上无零点，因为函数在(2,+∞)上单调递增，且s(3)=27−1−27<0，s(4)=64−1−48>0， 由零点存在定理：β∈(3,4) 所以α<β． 故答案选：D ．7.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于中档题．由正弦型函数的图象易知a 2k+1−a 2k−1=T ，结合条件可得a 2k −a 2k−1=13T ，设出顶点坐标，结合图象找到对应比例可求得A ． 【解答】解：设函数周期为T ，由直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1,a 2,···,a k ,a k+1,···,(其中k ∈N ∗k ∈N ∗)， 易知a 2k+1−a 2k−1=T ，因为a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，所以a 2k −a 2k−1=13T ，令顶点为(m,A)，所以m−a2k−1=16T，所以 a2k−1到左边零点的距离为T12，将y=sinx与y=Asin(ωx+φ)相对比，确定1与A两个最大值的比例，当x∈[0,π2]时，π2×T12T6+T12=π6，所以1A =sinπ6sinπ2=12，所以A=2．故答案选：B．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了数列的综合应用，考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于较难题．利用“等比分割数列”的定义，对四个选项逐一分析判断即可．【解答】解：对于A，数列{b5}：2，4，8，16，32，数列{a4}：3，7，12，24，因为2<3<4<7<8<12<16<24<32，所以{b5}是{a4}的一个“等比分割数列”，故A正确；对于B，因为数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，所以 bk<a k<b k+1，k=1，2，…，n，则 bk+1<a k+1<b k+2，所以 bk<a k<b k+1<a k+1，故 b k<b k+1,a k<a k+1,，所以数列{a n}和数列{b n}均为单调递增数列，故B正确；对于C，假设存在{b4}是{a3}：−3，−1，2的“等比分割数列”，所以b1<−3<b2<−1<b3<2<b4，因为−3<b2<−1，b1<−3，故q=b2b1∈(0,1)，q=b3b2∈(0,1)，因为−3<b2<−1，所以−1<b3<0，因为b4>2，则q=b4b3<0，与q∈(0,1)产生矛盾，故假设不成立，故C错误；对于D，{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,...,10)，{b11}的首项为1，公比为q(q>1)，所以b n=q n−1，n=1，2， (11)因为b n<a n<b n+1，n=1，2， (10)则q n−1<2n<q n，n=1，2， (10)故2<q<2n n−1，n=2， (10)因为2n n−1=21+1n−1关于n单调递减，所以2<q<2109，即q∈(2,2109)，故D正确．故答案选：C．9.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查了复数的四则运算，概念分类，共轭复数，复数相等，属于基础题利共用复数的四则运算求解．【解答】解：∵3−ai1+i=2−i，∴3−ai=(2−i)(1+i)=3+i，∴a=−1，∴z=−2i，∴z为纯虚数，故选项A正确;∴z2=(−2i)2=−4为实数，故选项B错误;∴z+z−=−2i+2i=0，故选项C正确;∴z⋅z−=(−2i)×2i=4，故选项D正确．故答案选：ACD．10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查了二次函数与方程，不等式的解对应的关系，属于基础题．由不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，得到△=0，求出b的取值范围即可．【解答】解：∵不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，∴△=4a2−4(b−1)=0,即a2=b−1⩾0,∴b⩾1．故答案选：BC．11.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查了三角函数的奇偶性，单调性，周期性，最值及三角函数零点等相关知识，属于中档题．利用奇偶性定义可判断A；由周期的定义f(x+2π)=sin|(x+2π)|+|cos(x+2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，确定2π为函数f(x)的一个周期，求出一个周期内函数的最小值，可判断B；由于函数f(x)为偶函数，故研究x∈[0,2π]时函数的零点情况，从而可得[−2π,2π]函数零点情况，可判断C；,π)上函数的解析式，可判断D．确定(π2【解答】解：对于A，函数定义域为R，f(−x)=sin|−x|+|cos(−x)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；对于B，f(x+2π)=sin|(x+2π)|+|cos(x+2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以2π是函数f(x)=sin|x|+|cosx|的一个周期，当x ∈[0,π2]时，f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)，此时f (x )的最小值为1， 当x ∈(π2,32π]时，f(x)=sinx −cosx =√2sin(x −π4)，此时f(x)的最小值为−1， 当x ∈(3π2,2π]时，f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)，此时f(x)的最小值为−1， 所以f(x)的最小值为−1，故B 正确；对于C ，当时，f (x )={sinx +cosx,0≤x ≤π2sinx −cosx,π2<x ≤3π2sinx +cosx,3π2<x ≤2π，令f (x )=0，可得x =5π4,7π4，又f (x )为偶函数，所以f (x )在[−2π,2π]上有4个零点，故C 正确； 对于D ，当x ∈(π2,π)时，sin |x |=sinx,|cosx |=−cosx ， 则f(x)=sinx −cosx =√2sin(x −π4)， 当x ∈(π2,π),x −π4∈(π4,3π4)，所以函数f (x )在(π2,π)上不具备单调性，故D 错误． 故答案选：ABC ．12.【答案】BD【解析】 【分析】本题主要考查立体几何中表面的最短距离问题，锥体体积的计算，锥体的外接球问题等知识，属于中档题．由题可知CP =√DP 2+CD 2，可判断A ；根据条件可知△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，可判断B ；将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，即可判断C ；由正方体的性质可判断D ． 【解答】解：对于A ，连接DP ，CP ，易得CP =√DP 2+CD 2=√DP 2+1≥√12+1=√62，故A错误；对于B ，P 在直线AE 上运动时，△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，故三棱锥D −BPF 的体积不变，故B 正确；对于C ，如图，将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，则当D 、P 、F 三点共线时，PD +PF 取得最小值√(√22)2+(√22+1)2=√2+√2，故C 错误；对于D ，将该几何体补成正方体，则外接球半径R 为√32，外接球表面积为，故D 正确． 故答案选：BD ．13.【答案】−1【解析】 【分析】本题考查利用导数的几何意义研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数及导数的四则运算，属于基础题．求出原函数的导函数，再由函数在x =1处的导数值即为此处切线的斜率3求得me 的值，然后利用函数在x =1时的函数值相等列式求解n ． 【解答】解：由y=me x+xlnx，得y′=me x+lnx+1，则y′|x=1=me+1=3，即me=2，x=1代入曲线当中得y=me，代入切线方程中得y=3+n，又me=3+n，∴3+n=2，即n=−1．故答案为：−1．14.【答案】10【解析】【分析】本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．由等差数列通项公式求出a1=−5d，d<0，从而S n=na1+n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)=d2n(n−11)，由此能求出使S n>0的最大整数n的值．【解答】解：数列{a n}是等差数列，a1>0，a3+3a7=0，∴a1+2d+3(a1+6d)=0，解得a1=−5d，d<0，∴S n=na1+n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)=d2n(n−11)，∵d<0,n>0，∴S n>0时，n<11，∴使S n>0的最大整数n的值为10．故答案为：10．15.【答案】400【解析】【分析】本题考查了利用数学知识解决实际问题，考查了弧长及扇形面积公式，考查了基本不等式求最值的问题，属于中档题．写出扇形观景水池的总预算费用，表示出扇形的面积，得到关于θ，r的不等式，利用基本不等式求出面积的最大值．【解答】解：如图，设扇形的半径为r，∠AOB=θ则扇形的弧长l=θr扇形的面积S=12θr2，由题意得， 400×12θr2+1000(2r+θr)⩽240000；化简得θr2+5(2r+θr)⩽1200；又2r+θr⩾2√2θr2，当且仅当2r=θr，即θ=2时取等号。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021—2021第一学期期中试卷高二数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将你认为正确的选项填涂在答题卡相应的位置． 1.关于x 的不等式220x x -+≥的解集为（ ） A. [0,2] B. (,0][2,)-∞+∞ C. (,2]-∞ D. (,0)(2,)-∞+∞【答案】A 【解析】 【分析】化简一元二次不等式，求出对应方程的根，结合二次函数图象，写出不等式解即可. 【详解】由原不等式可得220x x -≤， 即(2)0x x -≤， 解得02x ≤≤， 故选：A【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于容易题. 2.已知x ∈R ，则“|1|x >”是“1x >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据|1|x >成立推不出1x >，1x >成立能推出|1|x >，即可求解. 【详解】因为|1|x >11x x ⇔><-或， 所以|1|x >1x >，而1x >1||x ⇒>，所以“|1|x >”是“1x >”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，属于中档题. 3.若2x >，则函数42y x x =+-的最小值为（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】D 【解析】 【分析】 由42y x x =+-可得4222y x x =-++-，利用均值不等式即可求解. 【详解】因为2x >， 所以20x ->，故44222622y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当422x x -=-，即4x =时等号成立.所以函数的最小值为6. 故选：D【点睛】本题主要考查了均值不等式求最值，属于中档题. 4.中心在原点，焦距为2，离心率为12的椭圆标准方程为（ ） A. 22134x y +=或22143x y +=B. 22143x y +=C. 2214x y +=D. 2214y x +=【答案】A 【解析】 【分析】根据焦距可知1c =，由离心率可知2a =，即可求出23b =，结合椭圆的焦点位置可求出椭圆的方程.【详解】由题意焦距为2，离心率为12， 可得1c =，2a =， 所以2223b a c =-=，椭圆焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上， 所以椭圆方程22134x y +=或22143x y +=. 故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，属于容易题.5.若椭圆2214x y m +=的焦距是2，则实数m 的值是（ ）A. 5B. 6C. 5或3【答案】C 【解析】 【分析】根据焦距可知1c =，结合椭圆中222c a b =-即可求解.【详解】因为椭圆2214x y m +=的焦距是2，所以1c =，若焦点在x 轴上，则214m =-，得5m =， 若焦点在y 轴上，则214m =-，得3m =， 故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，属于容易题. 6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若632a a =，则96S S 的值为（ ） A. 2 B.73C. 83D. 3【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的前n 项和公式，可知996611S q S q-=-，由632a a =可解的32q =，代入即可求解. 【详解】在等比数列中632a a =，所以52112a q a q =，解得32q =，因为996611S q S q-=-，32q =， 所以96187143S S -==-， 故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，前n 项和公式，属于中档题.7.已知数列{}n a 中，114a =，111(2)nn a n a -=-≥，则2020a 的值是（ ）A.43B.14C. -3D.15【答案】B 【解析】 【分析】写出数列的前几项，可发现数列有周期，周期为3，则20201a a =. 【详解】因为114a =，111(2)n n a n a -=-≥， 所以2143a =-=-，314133a =+=，431144a =-=，⋯， 可知数列的取值有周期，周期为3， 所以2020114a a ==， 故选：B【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，属于容易题.8.设1F ，2F 分别是椭圆2212516x y +=的左，右焦点，P 为椭圆上一点，M 是线段1PF 的中点，若3OM =（O 为坐标原点），则1PF 的值是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C 【解析】 【分析】由题意知OM 是12F PF ∆的中位线，可知26PF =，再根据椭圆的定义可得1PF 的值. 【详解】由题意知OM 是12F PF ∆的中位线，2||3,6OM PF =∴=，又12210PF PF a +==，14PF ∴=故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，属于中档题. 9.在等差数列{}n a 中，已知首项10a =，公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k 的值为（ ） A. 24B. 23C. 22D. 21【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，可将1237k a a a a a =++++转化为4721k a a d ==，进而求出k 值.【详解】数列{}n a 为等差数列，且首项10a =，公差0d ≠，又12374(1)721k a k d a a a a a d ∴=-=+++⋯+==，∴22=k故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，属于中档题.10.已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围为A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=可得以原点为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有公共点， ∴c b ≥，∴2222c b a c ≥=-，∴2212c a ≥∴2c e a =≥． 由01e <<，∴12e ≤<，即椭圆离心率e 的取值范围为⎫⎪⎪⎣⎭．选B ． 点睛：求椭圆离心率或其范围的方法(1)求出a ，b ，c 的值，由222222221c a b b e a a a-===-直接求．(2)列出含有a ，b ，c 的方程(或不等式)，借助于222b a c =-消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．11.已知数列{}n a 满足121a =，14n n a a n +-=，则na n的最小值为（ ）A. 2-B.454C. 10D. 11【答案】D 【解析】 【分析】根据累加法可求出数列的通项公式，再利用均值不等式（或对勾函数）求最小值. 【详解】因为121a =，14n n a a n +-=， 所以2141a a -=⨯，3242a a -=⨯⋯14(1)n n a a n --=⨯-累加得：14[123(1)]2(1)n a a n n n -=⨯++++-=-，所以22221n a n n =-+，故2122n a n n n=+-， 由于2121222n n n n+⋅，当且仅当212n n =，即2212n =，由于n N +∈， 所以当3n =时，n a n的最小值为67211+-=.故选：D【点睛】本题主要考查了累加法求数列的通项公式，均值不等式，属于中档题.12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式2221222(1)n nS a ma n ++≥+对任意正整数n 都成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 11,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】令(2)n d t -=,由222222122222213()(2)43(1)22n nS a a t a t t a t a n ++=+++=+++，当243a t =-时，取得最小值，由此能求出结果. 【详解】2212222122122(1)2[(1)]22[(2)][(2)]2[](1)(1)2n n n n a n d Sn a a n d a n d a d n n +++++=+-+=+-++++22221[(2)][2(2)]2a n d a n d +-++-=,令(2)n d t -=，则222222122222213()(2)43(1)22n nS a a t a t t a t a n ++=+++=+++， 当243a t =-时，取最小值2213a ， 即23(42)n d a -=-，2423an d=-，因为不等式2221222(1)n nS a ma n ++≥+对任意正整数n 都成立， 当20a ≠， 所以13m ≤， 当20a =时，m R ∈， 综上13m ≤. 故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与求和公式，二次函数的单调性，分类讨论，不等式的性质，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应的位置． 13.不等式13x x+≥的解集为________． 【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】化简分式不等式为210x x-≤，转化为(21)0(0)x x x -≤≠，根据二次不等式求解即可. 【详解】由13x x+≥可得210x x -≤， 即(21)0(0)x x x -≤≠，解得102x <≤， 所以不等式解集为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查了分式不等式，二次不等式的解法，属于中档题.14.在等比数列{}n a 中，10a >，243546225a a a a a a ++=，则35a a +的值是________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可知2243a a a =，2465a a a =，根据完全平方和公式即可求解.【详解】因为在等比数列{}n a 中，2243a a a =,2465a a a =,所以22224354633553522()25a a a a a a a a a a a a ++=++=+=，又10a >， 所以355a a += 故答案为：5【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，考查了运算能力，属于容易题.15.已知椭圆2214x y +=的左、右焦点为1F ，2F ，点P 为椭圆上动点，则12PF PF ⋅的取值范围是________． 【答案】[2,1]- 【解析】 【分析】设(,)P x y 为椭圆上任意一点，根据向量数量积运算求12PF PF ⋅，利用二次函数求值域即可. 【详解】设(,)P x y 为椭圆上任意一点,则12(3,),(3,)PF x y PF x y =---=--， 所以22222123(,),)31244x PF PF x y x y x y x x ⋅=--⋅-=+-=+-=-，因为P 在椭圆上，所以22x -≤≤， 所以232214x -≤-≤， 即12PF PF ⋅的取值范围是[2,1]- 故答案为：[2,1]-【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，椭圆的简单几何性质，属于中档题. 16.已知实数x ，y 满足0x >，0y >，且1353y x x y+++=，则3x y +的最小值为________．【答案】3 【解析】 【分析】变形13313533y x y x x y x y ++++=++=，则23)95(3=63x y y xx y x y+++++（），利用基本不等式，建立关于3x y +的一元二次不等式，求解即可. 【详解】因为13313533y x y x x yx y++++=++=， 所以2223)93)3)5(3=6612333x y y x x y x y x y x y +++++++≥++=+（（（）， 当且仅当3362y x ==或时，取等号. 上式可化为23)153)360x y x y +-++≤（（， 解得3)12x y ≤+≤3（， 所以3x y +的最小值为3. 故答案为：3【点睛】本题主要考查了均值不等式，一元二次不等式，考查了变形推理运算能力，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区城内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知关于x 的不等式2(1)(1)10m x m x ---+>的解集为R ；关于x 的不等式22210x ax a -+-<的解集为N ．（1）求实数m 的取值集合M ；（2）对（1）中的M ，若x ∈N 是x M ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|15}M x m =≤<；（2）24a ≤≤ 【解析】 【分析】（1）分1,1m m =>两种情况讨论，当1m 时，由∆<0求解即可（2）由题意可知N 为M 的真子集，结合集合的关系即可建立不等式求解. 【详解】（1）当1m =时，10>，不等式恒成立．当1m 时，2(1)4(1)0m m ∆=---<，解得15m <<．综上，{|15}M x m =≤<．（2）因为{|11}N x a x a =-<<+．由x ∈N 是x M ∈的充分不必要条件，得N 为M 的真子集，所以1115a a -≥⎧⎨+≤⎩，得24a ≤≤．【点睛】本题主要考查了二次不等式恒成立，子集，充分不必要条件，分类讨论，属于中档题.18.已知数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，其前n 项和为n S ，满足42210S a -=，且1a ，2a ，5a 恰为等比数列{}n b 的前三项．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设nn na cb =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3n T <． 【答案】（1）21n a n =-，13n n b -=；（2）见解析【解析】 【分析】（1）根据等差数列，等比数列基本量计算即可求出通项公式（2）由nn na cb =可知数列利用错位相减法求和即可.【详解】（1）由题意，422215210S a a a a -=⎧⎨=⋅⎩，得121252a d d a d +=⎧⎨=⎩，由0d ≠，得11a =，2d =． 所以21n a n =-．由11b =，23b =，得公比3q =，所以13n n b -=．（2）因为1213n n n c --=，所以0121135213333n n n T --=++++① 得23111352321333333n n nn n T ---=+++⋯++② ①-②得21222221133333n n nn T --=++++-12113321221213313n n nn n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-+⎢⎥⎣⎦=+-=--．所以3333n nn T +=-． 从而3n T <．【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列基本量的运算，错位相减法求数列的和，属于中档题.19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为12，点B ，C 分别是椭圆E 的左、右顶点，点P 是直线:4l x =上的一个动点（与x 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ．（1）求椭圆E 的方程；（2）当直线PB 过椭圆E 的短轴顶点(0,)b 时，求PBM 的面积．【答案】（1）22143x y +=；（2363【解析】 【分析】（1）根据椭圆过点及离心率联立方程求解即可（2）先由题意得直线PB 方程，求出P 点坐标，即可写出直线PC 方程，联立椭圆，求出M 点坐标，即可得到弦长及高，写出三角形面积即可.【详解】（1）由题意22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，因为222a b c =+，得2a =，3b =1c =．所以椭圆E 的方程为22143x y +=．（2）直线PB 的方程为32)2y x =+，得(4,33)P ． 所以直线PC 的方程33(2)2y x =-， 联立方程组2233(2)23412y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，化简得2518160x x -+=， 解得12x =，285x ，得点833,55M ⎛- ⎝⎭． 又点M 到直线PB 的距离24357d =，37PB =所以12PBMS=⨯=． 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的交点，属于中档题. 20.某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x 年后设备的盈利总额y 万元． （1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．【答案】（1）2248128y x x =-+-（万元）；（2）第4年该设备开始盈利；（3）选择方案①处理较为合理，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意总收入去掉每年的维修费之和及购置费用即为盈利，写出函数关系即可（2）由（1），令0y >，解一元二次不等式求解即可（3）分别计算两种方案，根据均值不等式及二次函数求最值，比较大小即可.【详解】（1）由题意使用x 年的维修，保养费用为（万元）所以盈利总额()225426128248128y x x x x x =-+-=-+-（万元）． （2）由0y >，得22481280x x -+->，即224640x x -+<，解得1212x -<<+ 由*x ∈N ，得420x ≤≤． 答：第4年该设备开始盈利． （3）方案①年平均盈利644824846416y x x x ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭， 当且仅当64x x =，即8x =时取“=”，max16y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以方案①总利润为16842170⨯+=（万元），方案②22(12)160y x =--+，12x =时max 160y =，所以方案②总利润为16010170+=（万元）， 答：选择方案①处理较为合理．【点睛】本题主要考查了函数在实际问题的应用，涉及二次不等式，二次函数，均值不等式，属于中档题.21.如图，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点，点P 是椭圆E 上一点，满足1PF x ⊥轴，2130PF F ︒∠=．（1）求椭圆E 的离心率；（2）过点(,)M a a 的直线l 与椭圆E 交于两点A ，B ，若在椭圆B 上存在点Q ，使得四边形OAQB 为平行四边形，求直线l 的斜率． 【答案】（1）3e =（2）463k ±= 【解析】 【分析】（1）根据21b PF a=，2130PF F ︒∠=，122F F c =，建立,a c 的方程即可求解（2）斜率不存在时不符合题意，斜率存在时利用平行四边形的对角线互相平分，求出AB 中点，可得出Q 坐标，利用点在椭圆上上求出斜率.【详解】（1）由1PF x ⊥轴，得2,b P c a ⎛⎫-± ⎪⎝⎭，所以21b PF a =．因为2130PF F ︒∠=，122F F c =，所以223b c a=，即)222ac a c=-220e +=，解得e =e =，所以e = （2）因为c e a ==，所以222223b a c a =-=， 椭圆E 方程可化为222232x y a +=．若直线l 斜率不存在，直线:l x a =，与椭圆E 只有一个交点，不成立．（法一）设直线l 方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,D x y ， 因为直线l 过点(,)M a a ，所以m a ak =-，联立方程组222232y kx m x y a=+⎧⎨+=⎩，得()2222236320k x kmx m a +++-=． ()()2222(6)423320km k m a ∆=-+->，得16k >．由韦达定理，122623km x x k +=-+，221223223m a x x k -=+，得02323km x k -=+，002223m y kx m k=+=+，即点． 因为平行四边形OAQB ，所以点2264,2323kmm Q k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，因为点Q 在椭圆上，所以()()2222222236162322323k m m a k k ⋅+=++，化简得()2221223m ka=+．由m a ak =-，得2924100k k -+=，解得k =． （法二）设直线l 的方程为()y a k x a -=-，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,D x y ，由222(1)232y kx a k x y a=--⎧⎨+=⎩，得()22222236(1)3(1)20k x ak k x a k a +--+--=， ()22222[6(1)]4233(1)20ak k k a k a ⎡⎤∆=--+-->⎣⎦，得16k >．由韦达定理，1226(1)23ak k x x k -+=+，2221223(1)223a k a x x k --=+，得023(1)23ak k x k -=+，022(1)23a k y k -=+，即点223(1)2(1),2323ak k a k D k k --⎛⎫⎪++⎝⎭． 因为平行四边形OAQB ，所以点226(1)4(1),2323ak k a k Q kk --⎛⎫⎪++⎝⎭， 因为点Q 在椭圆上，所以()()222222222236(1)16(1)2322323a k k a k a k k --⋅+⋅=++，化简得2924100k k -+=，解得43k ±=． 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，对运算能力要求较高，属于难题.22.已知数列{}n a 的首项为12，设其前n 项和为n S ，且对*n ∈N 有0n a ≠，1121n n n n n a a S a a ++=+-． （1）设1nn n na b a a +=-，求证：数列{}n b 为等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式;（3）是否存在正整数m ，k ，使得2S ，m S ，k S (2)m k <<成等差数列？若存在，求出m ，k 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）1(1)n a n n =+；（2）存在，3m =，5k =或4m =，14k =【解析】 【分析】（1）根据n S 与n a 的关系可得111122n n n n n n n n n a a a a a a a a a +-+-=---，由递推关系知1nn n n a b a a +=-为等差数列，即可求出通项公式（2）由（1）知22n n b +=-，可得12n n a n a n +=+，根据累乘法即可求出n a （3）由裂项相消法求出n S ，假设存在正整数m ，k ，使2S ，m S ，k S (2)m k <<成等差数列，根据等差中项化简计算可得1854m k =-+，存在正整数m ，k 使2S ，m S ，k S (2)m k <<成等差数列.【详解】（1）因为1121n n n n n a a S a a ++=+-①，112a =，所以1n =时，1212121a a S a a =+-，得216a =．当2n ≥时，11121n nn n n a a S a a ---=+-②，①-②得111122n n n nn n n n n a a a a a a a a a +-+-=---，因为0n a ≠，所以111112n n n n n n a a a a a a +-+--=--．当2n ≥时，有11111111122n n n n n n n n n n n n n n a a a a b b a a a a a a a a -+-+-++⎛⎫-=-=--=- ⎪----⎝⎭． 所以数列{}n b 为等差数列． （2）因为112132a b a a ==--，公差12d =-，得22n n b +=-．所以122n n n a n a a ++=--，得12n n a n a n +=+．所以23112211221341n n n n a a a a n n a a a a n n -----⋅=⋅⋅+, 得12(1)n a a n n =+，即1(1)n a n n =+．（3）1111111111223(1)2231n S n n n n =+++=-+-++-⨯⨯++ 111n =-+． 因为2S ，m S ，k S 成等差数列，所以22m k S S S =+，即1112111131m k ⎛⎫-=-+- ⎪++⎝⎭，化简得1854m k =-+． 因为*,m k ∈N ，所以46k +=时，2k =，2m =（舍去）；49k +=时，5k =，3m =；418k +=时，14k =，4m =．综上，存在3m =，5k =或4m =，14k =．【点睛】本题主要考查了数列前n 项和n S 与项n a 的关系，等差数列的定义，累乘法求通项公式，裂项相消法求和，等差中项，属于难题.。