12.机械振动和机械波习题111

O
f
mg
复摆： 复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体 当 sinθ ≈θ 时
dθ gh −m θ = I 2 dt
2
O
θ h
C
mgh ω= J
dθ 2 +ω 2θ = 0 2 dt
mg
结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。 结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。
J T= = 2π mgh ω 2π
(B)1:2
（C)1:1 (D)2:1
Ek = kA sin 2 2 1 2 2 T π t=T/8时刻， Ek = kA sin ω× + 时刻， 时刻 2 8 2
1 2 1 2 2 Ek = mv = kA sin (ωt +π / 2) 2 2 1 2 2 π
1 1 1 1 + + = k' k' k' k
两根并联时
k ' = 3k
ω 1 k '' ν= = 2π 2π m
k '' = 2k ' = 6k
所以振动系统的频率为：（Ｂ） 所以振动系统的频率为：（Ｂ）
５．一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1,如果简谐振动振幅 一弹簧振子作简谐振动，总能量为 增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍， 增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能 变为： 量E1变为： (A)E1/4 (B)E1/2 (C)2E1 (D)4E1 谐振动系统的能量=系统的动能 系统的势能E 谐振动系统的能量 系统的动能Ek+系统的势能 p 系统的动能 系统的势能 某一时刻，谐振子速度为 ，位移为x 某一时刻，谐振子速度为v，位移为
δ 称为波程差： 称为波程差：
λ
δ = r2 − r 1
λ
k = 0,1 ,2,3,...
驻波方程
相邻波腹或相邻波节间的距离都为： 相邻波腹或相邻波节间的距离都为：
∆x = λ 2
波节两侧的点振动相位相反，波节之间的点其振动相位相同。 波节两侧的点振动相位相反，波节之间的点其振动相位相同。
半波损失
( A)k = mv
2 max
/x
2 max
(B)k = mg / x
(D)k = ma / x
(C)k = 4π m/ T
2
2
1 1 2 ( A) mvmax = kxmax2 2 2
(D) F = −kx = ma
k 2π m (C) ω = , T= = 2π ω m k
2. 轻质弹簧下挂一个小盘，小盘作简谐振动，平衡位置为原点， 轻质弹簧下挂一个小盘，小盘作简谐振动，平衡位置为原点， 位移向下为正， 并采用余弦表示。 小盘处于最低位置时刻有 位移向下为正 ， 并采用余弦表示 。 一个小物体落到盘上并粘住， 如果以新的平衡位置为原点， 一个小物体落到盘上并粘住 ， 如果以新的平衡位置为原点 ， 设新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小于原振幅， 设新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小于原振幅， 且以小物体与盘相碰时为计时零点， 且以小物体与盘相碰时为计时零点 ， 那么新的位移表示式的 初相在： 初相在： (A) 0～π/2之间。 ～ 之间 之间。 (B) π/2～π之间。 ～ 之间 之间。
A = A + A + 2A A2 cos ∆ϕ 1 2π ∆ϕ = (ϕ20 −ϕ10 ) − (r2 − r ) 1 λ ∆ϕ = ±2kπ k = 0,1,2,3,...
2 2 1 2 2
∆ϕ = ±(2k +1)π
= ±kλ = ±2k , 2
= ±( 2k +1) , 2
k = 0,1,2,3,...
3. 劲度系数分别为 1和k2的两个轻弹簧串联在 劲度系数分别为k 一起，下面挂着质量为m的物体 的物体， 一起，下面挂着质量为 的物体，构成一个 竖挂的弹簧振子，则该系统的振动周期为： 竖挂的弹簧振子，则该系统的振动周期为： 解：设弹簧串联后弹簧的劲度系数为k， 设弹簧串联后弹簧的劲度系数为 ， 平衡时伸长了x,则 平衡时伸长了 则
v = −Aω sin(ωt +ϕ0 )
x = Acos( ωt +ϕ0 )
1 1 2 2 Ek = m v Ep = kx 2 2 1 2 2 1 2 = kA sin (ω t +ϕ0 ) = kA cos2 (ωt +ϕ0 ) 2 2
1 2 E = Ek + Ep = kA 2
总能量变为（Ｄ） 总能量变为（Ｄ）
6.一物体作简谐振动， 6.一物体作简谐振动，振动方程 x = Acos(ωt +π / 2)，则该物体 一物体作简谐振动 在t=0时刻的动能与 =T/8 (T为振动周期)时刻的动能之比为： t=0时刻的动能与t 为振动周期)时刻的动能之比为： 时刻的动能与 为振动周期
(A)1:4 解：动能为 t=0时刻， 时刻， 时刻
k1 k2 m
kx = mg k1x1 = mg
x = x1 + x2
k2 x2 = mg
1 1 1 1 = + + +⋯ k k1 k2 k3
1 1 m m(k1 + k2 ) 答案： 答案：C T = 2π = 2π m + = 2π k k1k2 k1 k2
1、将一个劲度系数为k的弹簧一截为二，则一半长的弹簧的劲度 、将一个劲度系数为 的弹簧一截为二 的弹簧一截为二， 系数为多少？ 系数为多少？ 平衡时分别伸长了x 解：设弹簧截断后的劲度系数为k1， k1，平衡时分别伸长了 1， 设弹簧截断后的劲度系数为 x2，则
1 2 2 2π π 1 2 2 3π = kA sin + = kA sin 2 8 2 2 4
动能之比为（Ｄ） 动能之比为（Ｄ）2:1 （Ｄ）
解：弹性力所做的功等于动能的变化量，所以半个 弹性力所做的功等于动能的变化量， 周期所做的功为零。 周期所做的功为零。
E kA2/2 o x t E
Ep
Ek
Ep = Ek
T t
一长为l 8. 一长为 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平 固定轴上，（如图所示），作成一复摆。 ，（如图所示），作成一复摆 固定轴上，（如图所示），作成一复摆。已知 细棒绕通过其一端的轴的转动惯量 J = ml 2 /3， 此摆作微小振动的周期为: 此摆作微小振动的周期为:
机械振动和机械波知识点总结
简谐振动微分方程
d x 2 +ω x = 0 2 dt
简谐振动的运动学方程
2
其通解为： 其通解为： = Acos(ωt +ϕ) x 利用初始条件确定
A,ω,ϕ
v0
A = x02 + tanϕ = − ωx0
T= 2π
ω
1 ω ν= = T 2 π
2 2 2
1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小 ）在波动的传播过程中， 相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。 相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。 2）在波传动过程中，任意质元的能量不守恒，所以波动过 ）在波传动过程中，任意质元的能量不守恒， 程实质上是能量的传递过程。 程实质上是能量的传递过程。
kx = mg k1x1 + k2 x2 = mg
k = k1 + k2+k3 +⋯
x = x1 = x2
3、把一根弹簧在其一半处折叠成一根双股弹簧，其弹簧的劲度 、把一根弹簧在其一半处折叠成一根双股弹簧， 系数为多少？ 系数为多少？
k ' = 2k
k '' = 2k ' = 4k
解：截成三等份，设每等份的倔强系数为 k ' , 则 截成三等份，
波的周期 T 、频率 v 和波长 λ 之间的关系
T=
2π
ω
=
1
ν
λ =T⋅u=
u
ν
平面简谐波的波动式
x y = Acos ω(t ∓ ) +ϕ u
x o
振动图
y
t
O
u
x
x
波动图
p
波中各质点的总机械能为： 波中各质点的总机械能为：
x ∆E = ∆Ek + ∆Ep = ρ A ω sin ω(t − ) ∆V u ∆Ek = ∆Ep
x = x1 + x2 , x = Acos(ωt +ϕ)
A = A + A + 2AA2 cos(ϕ2 −ϕ1) 1
2 1 2 2
ϕ
x = x1 + x2
A sinϕ1 + A2 sinϕ2 tgϕ = 1 A cosϕ1 + A2 cosϕ2 1
二、微振动的简谐近似 单摆 摆球对C点的力矩 摆球对 点的力矩 M = −mgl sinθ 当 sinθ ≈θ 时
惠更斯原理：在波的传播过程中，波面（波前）上的各点， 惠更斯原理：在波的传播过程中，波面（波前）上的各点，
都可以看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻， 都可以看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波 的包迹就成为新的波面。 的包迹就成为新的波面。
波的相干条件
1.具有相同的频率 具有相同的频率 2.振动方向相同 振动方向相同 3.具有恒定的相位差 具有恒定的相位差
kx = mg k1x1 = mg
x = x1 + x2
k2 x2 = mg
1 1 1 = + k k1 k2
k1 = k2 = 2k
将劲度系数为k的弹簧平分为 段 则一段弹簧的劲度系数为： 将劲度系数为 的弹簧平分为N段，则一段弹簧的劲度系数为： 的弹簧平分为