2011级高数工(上)A卷
2011级高数(上)试题及答案
2011级高数(上)试题及答案D（B ）)(x f 在0x 点有定义；（C ）)(x f 在0x 的某去心邻域内有定义； （D ）0()k f x =4．若314lim 1x x ax b x →-++=+，则（ ） （A ）6a =，3b = （B ）6a =-，3b = （C ）3a =，6b = （D ）3a =，6b =- 5．设xe2为)(x f 的一个原函数，则⎰'dx x f x )(为（ ）（A ）C e x +221 （B ）2x e C + （C ）C e xe x x +-2221 （D ）C e xe x x +-222 三、计算题（每小题 6分，共30分）1．求极限22sin lim2sin x x x x x x →-+2．求极限cot 0lim(cos )xx x →3．计算⎰dx x sin4．计算 22(1)x xx edx ++⎰5．计算dx x x ⎰-3 022四、解答题（每小题 8分，共 16 分）1．设可微函数)(x y y =由方程⎰⎰=+-220cos y axtdt t dt e确定，求dx dy 和22d ydx2．设232,sin 10y x t t dydx e t y ⎧=+⎨-+=⎩求五、应用题（每小题 8分，共 16 分）1．求曲线53(1)y x x=-的凹凸区间及拐点2．设函数x x y ln =，求该函数的单调区间和极值．六、证明题（本题满分8分）设()f x ，()g x 在[],a b 上连续， 证明：至少存在一个(),a b ξ∈，使得：dx x f g dx x g f ab⎰⎰=ξξξξ)()()()(．南昌大学 2011～2012学年第一学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设2()xf x e =，则[()]f f x =22x ee2. 若⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=0,1sin 0,)(2x x x x a x x f 在0=x 处连续，则a =0。
高等数学A-2011(上)A卷解答
2010 ~2011学年秋季学期高等数学A 课程考试试题(A 卷)答案 2011/01(注意：本试卷共有八道大题，满分100分，考试时间100分钟)一、单项选择题(本题共有4道小题，每小题3分，满分12分)，请将合适选项填在括号内．1．设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是【 D 】.（A ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =（C ）若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在 （D ）若0()()lim x f x f x x →--存在，则(0)f '存在.2. 设20()sin x f x tdt =⎰，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的【 A 】.（A ）高阶无穷小 （B ）同阶但非等价无穷小 （C ）等价无穷小 （D ）低阶无穷小. 3. 设()x f 是[]a a ,-上的连续函数，则()()cos a af x f x xdx ---⎡⎤⎣⎦⎰=【 B 】.（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）无法计算.4. 下列选项正确的是【 C 】.(A) ⎰-1121dx x = 2 (B) ⎰-1121dx x = - 2(C) dx x ⎰-1121 不存在 (D) dx x ⎰-1121= 0 . 二、填空题(本题共有4道小题，每小题3分，满分12分)，请将答案填在横线上． 1. 已知0sin lim3(2)x kxx x →=-+，则k 的值等于 -6 .2.已知cos x x 是()f x 的一个原函数，则cos ()d x f x x x ⋅=⎰____21cos ()2x C x+_______.3. 计算定积分10x =⎰______4π_____________.4. )(x f y =是偶函数，在曲线)(x f y =上点（1，2）处的切线方程为053=+-y x ，则曲线在点（-1，2）处的切线方程为___053=-+y x ________________. 三、计算下列各题（本题共有4道小题，每小题6分，满分24分）.1．求极限 30sin lim x x xx→-. 解：33300sin 6lim lim x x x x x x x →→-= 16= 2．求参数方程231x t y t ⎧=+⎨=⎩（t 为参数）所确定的函数()y f x =的导数22,dy d y dx dx . 解：23322dy t t dx t == ； '223()3224t d y dx t t==3. 求不定积分ln d x x x⎰. 解：ln d ln d(ln )x x x x x =⎰⎰2(ln )2x C =+ 4. 已知0()()()d xF x x t f t t =-⎰，求()F x 的二阶导数.解： 0()()()d ()d ()d x x xF x x t f t t xf t t tf t t =-=-⎰⎰⎰()[()d ()d ]()d ()()()d x x x xF x x f t t tf t t f t t xf x xf x f t t ''=-=+-=⎰⎰⎰⎰()(()d )()xF x f t t f x '''==⎰四、（本题满分10分）求函数xn e n x x x y -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=!!212 的极值 (其中n 为正奇数).解：x n xn e n x x x en x x x y ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++='!!21)!1(!21212 xn e n x --=!， 驻点为0x =，由于n 为正奇数，当0x <时，0<nx ，故,0>'y 故y 单调上升 ；当0x >时，0>n x ，故,0<'y 故y 单调递减 ；因此0x =为函数的极大值点，且极大值为(0)1y =.五、（本题满分10分）设()f x 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明02()d 1xx f t t -=⎰在[0,1]上只有一个解. 证明：（1）存在性()2()d 1xF x x f t t =--⎰(0)1,F =-1(1)1()1()0F f x dx f ξ=-=->⎰函数()f x 在[0,1]上连续，根据介值定理，则存在(0,1)ξ∈， 使得()0F ξ=.（2）唯一性()2()0F x f x '=->，函数()F x 在[0,1]上单调增加，从而()F x 在[0,1]有唯一的根.六、（本题满分10分）求经过三点123(1,1,1),(2,0,1),(1,1,0)P P P --的平面方程. 解：法一：12(1,1,0),PP =- 13(2,2,1)PP =--- 取1213110(1,1,4),221ijkn PP PP =⨯==-=----平面方程为(1)(1)4(1)0,x y z -+---=整理得420.x y z +-+=法二：所求平面的方程为1111100221x y z ----=--- 整理得420.x y z +-+=七、（本题满分10分） 设函数()f x 在[]0,1上可微，且满足()()-=⎰12012d 0,f x f x x 证明在()0,1内至少存在一点ξ，使'=-()()f f ξξξ.证明: 作辅助函数 )()(x xf x =ϕ，根据积分中值定理，由-=⎰120(1)2()d 0f x f x x 得到 -⋅=1(1)2()02f c f c即()()1f c f c =显然，)(x ϕ在[,1]c 上连续，在(,1)c 内可导，且()(1)c ϕϕ=，可见，)(x ϕ满足罗尔定理， 所以，在(),1(0,1)c ⊂内至少有一点ξ，使0)()()(=ξ'ξ+ξ=ξϕ'f f . 即 '=-()()f f ξξξ.八、（本题满分12分）求曲线22y x x =-与0,1,3y x x ===所围成的平面图形的面积S ，并求该图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.解：22221112(02)(2)3S x x dx x x dx =-+=-=⎰⎰. 32224(2)3S x x dx =-=⎰.所以1224233S S S =+=+=. 平面图形1S 绕y 轴旋转一周所得的体积为：21111(16V dy πππ-=+-=⎰.平面图形2S 绕y 轴旋转一周所得的体积为：232204333(16V dy πππ=⋅⋅-+=⎰. 旋转体的体积为121143966V V V πππ=+=+=. 或222111112()2(2)6V xf x dx x x x dx πππ==-=⎰⎰. 332222432()2(2)6V xf x dx x x x dx πππ==-=⎰⎰.旋转体的体积为121143966V V V πππ=+=+=.。
高数真题及答案
山东省普通高等教育专升本统一考试《高等数学》真题（部分）一、 选择题1、函数22712arcsin x x x y -+-=的定义域为（ ）【2011年真题】 A 、]4,3[- B 、 )4,3(- C 、 ]2,0[ D 、 ）2,0(【答案】选C.2、如果级数)0(1≠∑∞=n n n u u 收敛，则必有（ ）【2011年真题】A 、级数∑∞=11n n u 发散B 、级数)1(1n u n n +∑∞=收敛 C 、级数∑∞=1n n u 收敛 D 、级数n n n u ∑∞=-1)1(收敛【答案】选A.二、填空题：1、由方程0422=--xy y x 确定的隐函数的导数dxdy = 【2011年真题】 【答案】填 x y y x 22+-. 2、向量)4,1,1(=a 与向量)2,2,1(-=b 的夹角余弦值是 . 【2011年真题】 【答案】填1827. 3、级数∑∞=n n n x !的收敛区间为_______.【2010年真题】 【答案】),(+∞-∞. 【解析】收敛半径：∞=+=+==∞→∞→+∞→)1(lim !)!1(lim ||lim 1n n n a a R n n n n n ， 所以，收敛区间为：),(+∞-∞.4、当26ππ≤<x 时，x x x f sin )(=是_______函数（填“单调递增”、“单调递减”） 【2009年真题】【答案】单调递减 【解析】,sin cos )(2xx x x x f -='令,sin cos )(x x x x g -= ,sin cos sin cos )(x x x x x x x g -=--='当26ππ≤<x 时，0)(<'x g ，从而，,0)(<'x f 故函数)(x f 单调递减. 二、计算下列各题：1、求函数)0(1>⎪⎭⎫⎝⎛+=x x x y x的导数. 【2011年真题】【解析】两边取对数，)]1ln([ln ln x x x y +-=两边对x 求导数，x x x x x x x x y y ++⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+='111ln 1111ln 1 所以，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x x dx dyx111ln 1.2、级数∑∞=n nn x !的收敛区间为___________.【2010年真题】【解析】收敛半径：∞=+=+==∞→∞→+∞→)1(lim !)!1(lim ||lim 1n n n a a R n n n n n ，所以，收敛区间为：),(+∞-∞.3、求幂级数 +-+-+--n xx x x nn 132)1(32的收敛半径和收敛域.【2009年真题】 【解析】 收敛半径: 11lim lim 1=+==∞→+∞→nn a a R n n nn ,当1-=x 时,级数∑∑∞=∞=--=--1111)1()1(n n n n n n 发散;当1=x 时,级数∑∞=--111)1(n n n 收敛.所以,级数的收敛域为:]1,1(-. .0663********sin 6cos 6)6()(<-⋅=-⋅=-⋅=<ππππππg x g .0663********sin 6cos6)6()(<-⋅=-⋅=-⋅=<ππππππg x g三、证明题：1、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只能够砌成20m 长的墙壁.问:应围成怎样的长方形才能使这间小屋面积最大. 【2011年真题】【解析】设小屋宽为x 米,则长为(20-2x )米,小屋面积为：)220(x x y -=,0420=-='x y 得,5=x由实际问题的实际意义知，当围成宽5米，长10米的长方形时小屋面积最大.2、求抛物线221x y =将圆822=+y x 分割后形成的两部分的面积. 【2011年真题】 【解析】联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=821222y x x y ，得2±=x 面积2032402022131)cos 22(22182x dt t dx x x A -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰⎰π 342382sin 21838)2cos 1(84040+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-+=⎰πππt t dt t . 另一部分面积346812-=-=ππA A .3、设函数)(x f 在[0，1]上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：存在ξξξ=∈)(],1,0[f 使.【2010年真题】【解析】本题考查闭区间上连续函数的性质——零点定理.证明. 令x x f x g -=)()(，则)(x g 在[0，1]上连续，且,0)0(0)0()0(≥=-=f f g ,01)1()1(≤-=f g若等号成立，即1)1(,0)0(==f f 或，则端点0或1即可作为要找的ξ；若等号不成立，即,0)1()0(<⋅g g 由零点定理知，存在0)(),1,0(=∈ξξg 使，即ξξ=)(f . 综上可证，存在ξξξ=∈)(],1,0[f 使.4、某工厂需要围建一个面积为2512m 的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁.问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？【2009年真题】【解析】求最值问题.首先根据题意建立数学函数,然后求导数,并求出使一阶导数等于零的点,若只求得一个驻点,则可直接断定结论.解 设宽为x 米,则长为x 512米.新砌墙的总长度为: x x y 5122+= 由051222=-='xy ,得16=x (16-=x 舍去), 32512=x 所以,当堆料场的长为32米,宽为16米时砌墙所用的材料最省.。
2011级模拟题1 高数
z z 2 xyf ( x 2 z 2 ) 1 f ( x2 z2 ) y 则 z y z 2 z2 ) x y 1 2 yzf ( x 1 2 yzf ( x 2 z 2 ) 2 xyzf ( x 2 z 2 ) z yf ( x 2 z 2 ) 1 2 yzf ( x 2 z 2 ) 2 xyzf ( x 2 z 2 ) x = x. 1 2 yzf ( x 2 z 2 )
3. 交换二次积分的次序 1 1 arcsin x 1 arcsin x x I 0 dy y dx ( 0 dx 0 dy ). x x 解: 积分区域为0y1, yx1 如图. 1 arcsin x x 故 I 0 dx 0 dy. x
2 22 2 23 3 2n x n , 4. 设幂级数 x x x 2 2 5 10 n 1 其收敛半径R=( 1/2 ).
n n n
n1
六、求微分方程 y+9y=18cos3x–30sin3x 的通解. 解: 特征方程为: r2 + 9 = 0, 特征根为 r1, 2 = 3i, 所以, 对应齐次方程的通解为: Y = c1cos 3x + c2sin 3x, 由 f(x)=18cos3x–30sin3x, 得=0, =3, 即+i = 3i 是单特征根, Pl(x) = 18, Pn(x) = –30, 所以原方程有特解: y*= x[Acos 3x + Bsin 3x] 而 y*= [Acos 3x + Bsin 3x] + x[–3Asin 3x + 3Bcos 3x], y*= 6[–Asin 3x + Bcos 3x] + 9x[–Acos 3x – Bsin 3x] 代入原方程得:
11-12高数理工A1(A)试题
2011～2012 学年度第 一 学期《高等数学(理工)A1》试卷（ A 卷）适用年级专业：2011级材料科学与工程、材料成型与控制工程、冶金工程、机械设计制造及其自动化、工业工程、工业设计、电气工程与自动化、电子信息工程、自动化、测控技术与仪器、化学工程与工艺、环境工程、生物工程、土木工程 考 试 形 式：（ ）开卷、（ V ）闭卷二级学院： 行政班级： 学 号： 教 学 班： 任课教师： 姓 名： 注：学生在答题前，请将以上内容完整、准确填写，填写不清者，成绩不计。
一、单项选择题.（每小题 3分，共 15 分）1.数列}{n x 有极限a ，则在a 的ε邻域之外，数列中的点（ ）. A.必不存在； B.可能有有限多个，也可能有无穷多个； C.必定有无穷多个； D.至多只有有限多个.2.当0→x 时，与2325x x +等价的无穷小量是（ ）. A.3x ； B.22x ； C.2x ； D.35x .3.若在(,)a b 内恒有()0,()0f x f x '''>>，则在(,)a b 内曲线弧()y f x =为（ ）. A.下降的凹弧； B.下降的凸弧； C.上升的凹弧； D.上升的凸弧.4.若()f x 的导函数为sin x ，则()f x 的一个原函数是 （ ）. A.1sin x-； B.1sin x +； C.1cos x -； D.1cos x +. 5.二阶常系数线性微分方程8120y y y '''++=的通解是（ ）. A.2612x xy c e c e =+； B.2612xxy c e c e--=+；C.2612xxy c e c e-=+； D.12cos 26y c x c sin x =+.……………………………………………线………………………………………订………………………………………装………………二、填空题.（每题 3 分，共 15分）1.设函数arctan (2)x y x x =-，则x = 是可去间断点.2.设函数1sin ,0()1,0x x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪+-≤⎩，()f x 在点0x =连续，则a = .3.设()y f x =，已知()()0002lim38t f x t f x t→+-=-，则x x dy dx=＝ .4.曲线53210310y x x x =+++在0x =处的切线方程为 ． 5．计算434525cos sin 12x x dx x x x -⋅⋅+=+⎰．三、求下列极限.（每题 5分，共15分）1.30sin tan lim sin x x x x →-.2.221lim xx x x →∞⎛⎫ ⎪-⎝⎭．3. 023sint limx x dt x→⎰.四、求下列函数的导数或微分.（每题 5分，共 15分）1．设arccos ln 32xx y +++=，求dy ．2.函数()=y f x 由方程320xyx y e +++=所确定的隐函数，求d d y x.3.设331x t y t t ⎧=-⎨=-⎩,求22d d yx .五、求下列不定积分和定积分.（每题6分，共12分）1.1e⎰.2.2tan dx x x ⎰.六、求函数23(4)(1)y x x=-+的单调区间,并求极值．（8分）七、求由曲线22,1,2y x x x===在第一象限内所围成的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积.（7 分）八、求微分方程的解（共 7分）求微分方程24xy y e '+=，00x y==的特解．九、设函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且1(0)(1)0,()12f f f ===，证明：在()0,1内至少存在一ξ，使()1f ξ'=．（6分）。
2011年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解上海理
2011年上海理一、填空题（共14小题；共70分）1. 函数f x=1x−2的反函数为f−1x=．2. 若全集U=R，集合A=x x≥1∪x x≤0，则∁U A=．3. 设m为常数，若点F0,5是双曲线y2m −x29=1的一个焦点，则m=．4. 不等式x+1x≤3的解集为．5. 在极坐标系中，直线ρ2cosθ+sinθ=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为．（结果用反三角函数值表示）6. 在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB=75∘，∠CBA=60∘，则A，C两点之间的距离为千米．7. 若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．8. 函数y=sinπ2+x cosπ6−x 的最大值为．9. 马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：x123Pξ=x?!?请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管" ! "处完全无法看清，且两个" ？ "处字迹模糊，但能断定这两个" ？ "处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ=．10. 行列式a bc da,b,c,d∈−1,1,2所有可能的值中，最大的是．11. 在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则AB⋅AD=．12. 随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）．13. 设g x是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f x=x+g x在区间3,4上的值域为−2,5，则f x在区间−10,10上的值域为．14. 已知点O0,0，Q00,1和点R03,1，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1，R1，使之满足OQ1−2OR1−2<0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2，R2，使之满足OQ2−2OR2−2<0．依次下去，得到P1，P2，⋯，P n，⋯，则limn→∞Q0P n=．二、选择题（共4小题；共20分）15. 若a,b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是 A. a2+b2>2abB. a+b≥2abC. 1a +1b>abD. ba+ab≥216. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间0,+∞上单调递减的函数是 A. y=ln1xB. y=x3C. y=2 xD. y=cos x17. 设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使MA1+MA2+MA3+MA4+MA5=0成立的点M的个数为 A. 0B. 1C. 5D. 1018. 设a n是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i,a i+1的矩形的面积（i=1,2,⋯），则A n为等比数列的充要条件是 A. a n是等比数列B. a1,a3,⋯,a2n−1,⋯或a2,a4,⋯,a2n,⋯是等比数列C. a1,a3,⋯,a2n−1,⋯和a2,a4,⋯,a2n,⋯均是等比数列D. a1,a3,⋯,a2n−1,⋯和a2,a4,⋯,a2n,⋯均是等比数列，且公比相同三、解答题（共5小题；共65分）19. 已知复数z1满足z1−21+i=1−i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1⋅z2是实数，求z2．20. 已知函数f x=a⋅2x+b⋅3x，其中常数a,b满足a⋅b≠0．（1）若a⋅b>0，判断函数f x的单调性；（2）若a⋅b<0，求f x+1>f x时的x的取值范围．21. 已知ABCD−A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A−B1D1−A1的大小为β．求证：tanβ=2tanα；（2）若点C到平面AB1D1的距离为4，求正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的高．322. 已知数列a n和b n的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7n∈N∗．将集合x x=a n,n∈N∗∪x x=b n,n∈N∗中的元素从小到大依次排列，构成数列c1,c2,c3,⋯,c n,⋯．（1）写出c1,c2,c3,c4；（2）求证：在数列c n中，但不在数列b n中的项恰为a2,a4,⋯,a2n,⋯；（3）求数列c n的通项公式．23. 已知平面上的线段l及点P，在l上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d P,l．（1）求点P1,1到线段l:x−y−3=03≤x≤5的距离d P,l；（2）设l是长为2的线段，求点的集合D=P d P,l≤1所表示的图形面积；（3）写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω=P d P,l1=d P,l2，其中l1=AB，l2=CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组．对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分．①A1,3，B1,0，C−1,3，D−1,0．②A1,3，B1,0，C−1,3，D−1,−2．③A0,1，B0,0，C0,0，D2,0．答案第一部分1. 1x+22. x0<x<13. 164. x x<0 或x≥12【解析】x+1x ≤3⇒1−2xx≤0⇒x<0或x≥12．5. arctan12【解析】因为两直线的一般方程分别为2x+y=2、x=1，所以两条直线的夹角为arctan12．6.【解析】由正弦定理，ACsin B =ABsin C，即ACsin60=2sin45．所以AC=6．于是A、C两点之间的距离是6千米．7. 33π【解析】由圆锥的底面面积为π，可知圆锥的底面半径为1，由圆锥的侧面积为2π，可得圆锥的母线为2，则圆锥的高为3，所以V=1×3×π×12=3π.8. 2+34【解析】因为y=sin π2+x cosπ6−x=cos x 3cos x+1sin x=3cos2x+1sin x cos x=12sin2x+π3+34.所以当2x+π3=2kπ+π2，k∈Z时，y取最大值为2+34．9. 210. 611. 152【解析】如图：过点D作DE⊥AB于E．则AB ⋅AD =AB ⋅AE =3 AE =3 3−12BD =152.12. 0.985【解析】试验发生包含的基本事件数129，每人生日各不相同，共有A 129种结果，所以要求的事件的概率是1−A 12912≈0.985．13. −15,11【解析】对f x =x +g x ⋯⋯①中的x 进行换元用x +1代替，得f x +1 = x +1 +g x +1 ⋯⋯②结合g x 是周期为1的函数知g x =g x +1 ，故①−②可得f x +1 −f x =1． 所以可得 4,5 上的值域为 −1,6 ，依次可得答案． 14. 3【解析】取Q 0R 0的中点P 1，Q 1R 1的中点P 2，Q 2R 2的中点为P 3，依次下去，点P 1,P 2,⋯,P n ,⋯,均在线段Q 0R 0上，依次取线段Q k R k 的中点为P k +1，且选取P k +1的标准是 OQ k −2 OR k −2 <0，也就是说线段 OQ k 和 OR k 一个大于2，一个小于2． 事实上，在线段Q 0R 0上存在一点P 0 3,1 ， OP 0 =2．那么，按题意，依次二分线段Q k R k 时，始终让点Q k 和点R k 分别在点P 0的左右两边，这样无限进行下去，点P k +1就会无限地越来越接近于点P 0．于是，点P k +1的极限位置就是点P 0，因此 Q 0P n 的极限是 3． 第二部分 15. D【解析】因为a 2+b 2≥2ab ，所以a 2+b 2>2ab 不恒成立； 当a <0,b <0时，a +b ≥2 ab ，1a +1b > ab不成立；而当ab >0时，ba>0，ab>0，则b a +a b ≥2 b a ⋅ab=2.16. A 17. B 【解析】首先，使MA 1 +MA 2 +MA 3 +MA 4 +MA 5 =0 成立的点M 是存在的， 例如：在向量A 1A 5 上取四等分点A 2，A 3，A 4，则点A 3就是使MA 1 +MA 2 +MA 3 +MA 4 +MA 5 =0 成立的点M ．下面再证明点M是唯一的：假设除点M之外，还有点N满足要求，则MA1+MA2+MA3+MA4+MA5=0 ⋯⋯①，NA1+NA2+NA3+NA4+NA5=0 ⋯⋯②，②化为A1N+A2N+A3N+A4N+A5N=0 ⋯⋯③，①+③得5MN=0，于是，点M与点N重合，与假设矛盾．所以点M是唯一的．18. D 【解析】由题可知，A i=a i a i+1，由数列A n为等比数列，则A n+1A n =a n+2a n为非零常数，当n为奇数时，数列a n的奇数项构成等比数列；当n为偶数时，数列a n的偶数项构成等比数列，且两者公比为同一非零常数，即公比相同．第三部分19. 由z1−21+i=1−i得z1−2+z1i−2i=1−i,所以z1=3+i=3+i1−i=2−i,所以z1=2−i.设z2=a+2i,a∈R，则z1z2=2−i a+2i=2a+2+4−a i,因为z1z2∈R，所以4−a=0，a=4，z2=4+2i.20. （1）当a>0,b>0时，任意x1,x2∈R,x1<x2，则f x1−f x2=a2x1−2x2+b3x1−3x2.因为2x1<2x2,a>0，所以a2x1−2x2<0,因为3x1<3x2,b>0，所以b3x1−3x2<0,所以f x1−f x2<0,函数f x在R上是增函数．当a<0,b<0时，同理，函数f x在R上是减函数．（2）f x+1−f x=a⋅2x+2b⋅3x>0.当a<0,b>0时，3x>−a ,则x>log1.5 −a2b;当a>0,b<0时，3 2x<−a2b,则x<log1.5 −a 2b.21. （1）连接AO1，AA1⊥底面A1B1C1D1于A1．AB1与底面A1B1C1D1所成的角为∠AB1A1，即∠AB1A1=α．因为AB1=AD1，O1为B1D1中点，所以AO1⊥B1D1，又A1O1⊥B1D1，所以∠AO1A1是二面角A−B1D1−A1的平面角，即∠AO1A1=β．设AA1= ，所以tanα=AA1A1B1= ,（2）建立如图空间直角坐标系，有A0,0, ，B11,0,0，D10,1,0，C1,1, ，AB1=1,0,− ,AD1=0,1,− ,AC=1,1,0.设平面AB1D1的一个法向量为n=x,y,z，则n⊥AB1,n⊥AD1,即n⋅AB1=0,n⋅AD1=0,取z=1得n= , ,1.所以点C到平面AB1D1的距离为d=n⋅AC=2+ 2+1=4,则 =2．22. （1）c1=9,c2=11,c3=12,c4=13.（2）①任意n∈N∗，设a2n−1=32n−1+6=6n+3=b k=2k+7,则k=3n−2，即a2n−1=b3n−2.②假设a2n=6n+6=b k=2k+7，则k=3n−12∈N∗（矛盾），所以a2n∉b n.所以在数列c n中，但不在数列b n中的项恰为a2,a4,⋯,a2n,⋯．（3）b3k−2=23k−2+7=6k+3=a2k−1,b3k−1=6k+5,a2k=6k+6,b3k=6k+7.因为6k+3<6k+5<6k+6<6k+7,所以当k=1时，依次有b1=a1=c1,b2=c2,a2=c3,b3=c4,⋯,所以c n=6k+3,n=4k−3,6k+5,n=4k−2,6k+6,n=4k−1,6k+7,n=4k,k∈N∗.23. （1）设Q x,x−3是线段l:x−y−3=03≤x≤5上一点，则PQ = x−12+x−42=2 x−52+93≤x≤5,当x=3时，d P,l=PQ min= 5.（2）设线段l的端点分别为A，B，以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系．如图．则A−1,0，B1,0，点集D由如下曲线围成l1:y=1 x ≤1,l2:y=−1 x ≤1,C1:x+12+y2=1x≤−1,C2:x−12+y2=1x≥1,其面积为S=4+π.（3）①选择A1,3，B1,0，C−1,3，D−1,0．如图．Ω=x,y x=0;②选择A1,3，B1,0，C−1,3，D−1,−2．如图．Ω=x,y x=0,y≥0∪x,y y2=4x,−2≤y<0∪x,y x+y+1=0,x>1;③选择A0,1，B0,0，C0,0，D2,0．如图．Ω=x,y x≤0,y≤0∪x,y y=x,0<x≤1∪x,y x2=2y−1,1<x≤2∪x,y 4x−2y−3=0,x>2.。
西南科技大学2011至2012学年高数A2期末试题
西南科技大学2011-2012-2学期《高等数学A2》本科期末考试试卷（A 卷）一、单项选择题（每题4分，共20分）1、已知曲面225z y x ++=上点P 处的切平面平行于平面222012x y z ++=， 则点P 的坐标为( )。
（A ）(1,1,3)- （B ）(1,1,3) （C ）(1,1,3)- （D ）(1,1,3)-- 2、(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x∂∂及z y∂∂存在，是函数(,)f x y 在该点可微的（ ）。
（A ）充分条件而非必要条件 （B ）必要条件而非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 3、幂级数1(1)nnn ∞=-∑）。
.A []1,1-B .[)1,1-.C .(]1,1-.D .()1,1-4、若()()2x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分，则a =( )。
(A)1- (B) 0 (C) 1 (D) 25、设函数(,)f x y 在点（0，0）的某个邻域内连续且2220(,)lim 1()x y f x y xyx y →→-=+，则有（ ）。
A.点（0，0）不是(,)f x y 的极值点B. 点（0，0）是(,)f x y 的极大值点C. 点（0，0）是(,)f x y 的极小值点D.无法判断点（0，0）是不是(,)f x y 的极值点1、B ；2、B ；3、C ；4、D ；5、A 。
二、填空题（每题4分，共20分） 1、级数111()n nnn nn n+∞=+∑的敛散性是 。
2、设(2)x z e f x y -=--，且当0y =时，2z x =，则z x∂=∂ 。
3、设D 是闭区域222x y +≤，则201120132013(sin 5)DI x dxdy y x =++=⎰⎰ 。
4、已知D 是长方形区域：;03a x b y ≤≤≤≤，且2()99Dy f x d σ=⎰⎰，则()baf x dx =⎰ .5、设Ω是由球面22222012x y z ++=所围成的闭区域，则32462489ln(232012)(231)z x y z dxdydz x y z Ω++++++⎰⎰⎰= .1、发散。
2011高等数学上试卷及答案(Bear)
2011高等数学上试卷及答案(Bear)装订线华南农业大学期末考试试卷（A卷）2011~2012学年第1 学期考试科目：高等数学AⅠ考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．sin5lim2xxx→=。
2．曲线2x xe ey-+=在点(0,1)处的曲率是。
3．设()f x可导，[]l n()y f x=，则d y= 。
4．不定积分23x x d x-⎰= 。
5．反常积分6xe dx+∞-⎰= 。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设2,01(),,12x xf xx x⎧<≤=⎨<<⎩在点1x=处必定（）A．连续但不可导B．连续且可导C．不连续但可导D．不连续，故不可导2．曲线y x在点4x=处的切线方程是（）A．114y x=-B．112y x=+C．114y x=+D．124y x=+3．下列函数在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是（）得分得分装订线A．21xB．3x C．x D．211x+4．设()f x为连续函数，则下列等式中正确的是（）A．()()f x d x f x'=⎰B．()()df x d x f x Cd x=+⎰C．()()d f x d x f x=⎰D．()()d f x d x f x d x=⎰5．已知()232ax xd x-=⎰，则a=（）A．1-B．0C．12D．1三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1.求极限()11limxxxe xx e→---。
2. 设函数1s i n2 ,0(),,0x xf xa b x x+≤⎧=⎨+>⎩在点0x=处可导，求,a b的值。
得分1.5CM装订线装订线7．求不定积分321xdxx-⎰。
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题7 分，共21 分）1．证明不等式：当0x>时，3sin6xx x>-。
高数试题A卷试题及答案
４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）
内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ）
①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧
５．设Ｆ'(x) ＝ Ｇ'(x)，则 （ ）
① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数
ｄｐ
② 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ ───
ｄｙ
ｄｐ
③ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ───
３．下列说法正确的是 （ ）
①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续， 则ｆ（ X ）在X＝Xo可导
②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续
③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在
④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导
_______
R √R2－ｘ2
８．累次积分∫ ｄｘ ∫ ｆ（Ｘ2 ＋ Ｙ2 ）ｄｙ 化为极坐标下的累次积分为
____________。
0 0
n=1 n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，
１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
（一）每小题１分，共１０分
１
高数试题 A卷
一、填空题（每小题１分，共１０分）
________ １
１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2 ＋ ────── 的定义域为
_________
３
ｘｙ
１７．ｌｉｍ ｘｙｓｉｎ ───── ＝ （ ）
x→0 ｘ2＋ｙ2
2011年高考理科数学(全国卷)(含答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷．．．．上作答无效。
．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题 （1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i（2）函数2(0)y x x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13 （B ）3 （C ）6 （D ）9(6)已知直二面角α –ι- β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 (A)23 (B)33 (C)63(D) 1(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种(8)曲线y=2xe-+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A)13(B)12(C)23(D)1(9)设()f x是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x=2(1)x x-，则5 ()2f-=(A) -12(B)14- (C)14(D)12(10)已知抛物线C：24y x=的焦点为F，直线24y x=-与C交于A，B两点．则cos AFB∠=(A)45(B)35(C)35- (D)45-(11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π(12)设向量a，b，c满足a=b =1，a b =12-，,a cb c--=060，则c的最大值等于(A)2 (B)3 (c)2 (D)1第Ⅱ卷注意事项：1、答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011年安徽高考数学(理科)试卷(A3含答案)102教育完整word收藏版
2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试题分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1、答题前，务必在试题卷，答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2、答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号。
3、答Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔记清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后在用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4、考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么 锥体积V=13Sh, 其中S 为锥体的底面面积，P(A+B)=P(A)+P(B) h 为锥体的高 如果事件A 与B 相互独立，那么 P(AB)=P(A)P(B)第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设i 是虚数单位，复数iai -+21为纯虚数，则实数a 为(A)2(B) -2(C) 21-(D)21（2）双曲线8222=-y x 的实轴长是(A)2(B) 22(C) 4(D) 24（3）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f -=22)(,则=)1(f (A)-3 (B)-1 (C) 1 (D)3（4）设变量x,y 满足|x|+|y|≤1，则x+2y 的最大值和最小值分别为 (A) 1,-1 (B) 2,-2 (C)1,-2 (D)2,-1（5）在极坐标系中，点)3,2(π到圆θρcos 2=的圆心的距离为(A) 2 (B) 942π+(C) 912π+(D)3（6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(A) 48(B) 17832+(C) 17848+(D) 80（7）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是 (A) 所有不能被2整除的整数都是偶数(B) 所有不能被2整除的整数都不是偶数 (C) 存在一个不能被2整除的整数是偶数(D) 存在一个能被2整除的整数不是偶数（8）设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8}，则满足A S ⊆且φ≠B S 的集合S 的个数是(A)57 (B) 56 (C) 49 (D)8 （9）已知函数)2sin()(ϕ+=x x f ，其中ϕ为实数，若|)6(|)(πf x f ≤对R x ∈恒成立，且)()2(ππf f >，则)(x f的单调递增区间是 (A) )(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ(B) )(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ (C) )(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ(D) )(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ （10）函数nmx ax x f )1()(-=在区间[0,1]上的图像如图所示，则m,n 的值可能是(A)m=1,n=1 (B) m=1,n=2(C) m=2,n=1(D) m=3,n=1第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2011-2012学年第一学期高等数学A试卷(A卷)答案
一、单选题(每小题3分，共15分)(要求把答案填在答题纸上)
1．设 ，则当 时，有（B）
（A） 与 是等价无穷小；（B） 与 同阶但非是等价无穷小；
（C） 是比 高阶的无穷小；（D） 是比 低阶的无穷小.
2.函数 在 可导，且 ，则 （D）
（A） ；（B）2；（C） ；（D）－2.
3. 是曲线 有拐点 的（D）
（A）充分而非必要条件；（B）必要而非充分条件；
（C）充分必要条件；（D）既非充分又非必要.
4.设 ，则 （C）
（A） ；（B） ；
（C） ；（D） .
5． 等于(B)
（A） ；（B） ；（C） ；（D） .
二、填空(每小题3分，共15分)(要求把答案填在答题纸上)
故所求面积为
……………8分
四、（共14分）求函数 的定义域，单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线，并画出草图.
解：（1）定义域：
由于 是偶函数，它的图形关于 轴对称，因此可以只讨论 上该函数的图形------------------------------------(2分)
（2） ，得水平渐近线 ，-------------(3分)
（3） ，由 得 -------------(5分)
，由 得 -------------(7分)
（4）列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
0
0
－
－
-
-
-
0
+
极大
拐点
所以，函数的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ；
极大值为 ；
凹区间为 ， ；凸区间为 ；
高数期末试题
2 1
f ( x)dx 1 , 证明在(0,3)内存在
, 使 f ( ) f ( ) 0.
九 . (8 分) 设 f ( x) 有连续导数 , 且 lim
x 0
f ( x) f ( x) 2, ex 1
f (0) 0, 证明 x 0 是 f ( x) 的
x 0
____________ .
2.
I1
ln 2 x dx 与 I 2 x
dx 中 收 敛 的 为 _____________, 其 值 等 于 x ln 3 x
___________. 3.
1
1
3 1 x 2 dx _____________,
1
1
x 1 x 2 dx _____________ .
2x 1 x2
( x 1) 是否恒为常数.
y 1 dy d 2 y 2 2 六. (9 分) 设 arctan ln( x y ) 确定函数 y y ( x) , 求 , 2 . x 2 dx dx
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七. (10 分) 求下列反常积分. (1)
1
二. (9 分) 求极限 lim(cos x x sin x) .
x2 x 0
三. (9 分) 求不定积分 ( x arctan x
1 x e )dx . x2
1
四. (9 分) 求 f ( x) 3 ( x 2 2 x) 2 在区间 [1,3] 上的最大值和最小值.
五. (8 分) 判断 f ( x) arctan x arcsin
0
x
是 f ( x) 的极值点, 并判断 f (0) 是极大值还是极小值.
2011年河南专升本高数真题+答案解析
2011年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学一、选择题 （每小题2 分，共60 分） 1．函数()ln(2)2f x x x =-+的定义域是（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)-+∞C ．(2,2)-D ．(0,2)【答案】C【解析】202220x x x ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故函数()f x 的定义域是(2,2)-．2．设2(1)22f x x x +=++，则()f x =（ ）A ．2xB ．21x +C ．256x x -+D ．232x x -+【答案】B【解析】22(1)22(1)1f x x x x +=++=++，故()f x =21x +．3．设函数()f x 在R 上为奇函数，()g x 在R 上为偶函数，则下列函数必为奇函数的是（ ）A ．()()f x g x ⋅B ．[]()f g xC ．[]()g f xD ．()()f x g x +【答案】A【解析】由于奇函数与偶函数的乘积为奇函数，故()()f x g x ⋅为奇函数．4．01lim sinx x x→=（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．不存在【答案】C【解析】当0x →时，x 无穷小量，1sin 1x ≤，1sin x为有界函数，由于无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，故01lim sin0x x x→=．5．设()1f x '=，则0(2)(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A ．4B ．5C ．2D ．1【答案】B 【解析】000(2)(3)(2)()(3)()lim2lim 3lim 5()523h h h f x h f x h f x h f x f x h f x f x h h h→→→+--+---'=+==-．6．当0x →时，下列无穷小量与x 不等价的是（ ）A ．2x x -B ．321x e x --C ．2ln(1)x x+D ．sin(sin )x x +【答案】D 【解析】000sin(sin )sin 1cos limlim lim 21x x x x x x x xx x →→→+++===，故sin(sin )x x +与x 不等价．7．11,0()10,0x x f x e x ⎧≠⎪=⎨+⎪=⎩，则0x =是()f x 的（ ）A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．连续点D ．第二类间断点【答案】B 【解析】11lim 01x xe +→=+，101lim 11x xe -→=+，()f x 在0x =处的左、右极限存在但不相等，故0x =是()f x 的跳跃间断点．8．sin y x =的三阶导数是（ ）A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -【答案】D【解析】(sin )cos x x '=，(sin )(cos )sin x x x '''==-，(sin )(sin )cos x x x ''''=-=-．9．设[]1,1x ∈-，则arcsin arccos x x +=（ ）A ．2π B ．4π C ．0 D ．1【答案】A【解析】22(arcsin arccos )011x x x x '+=--，故arcsin arccos x x +为常数，令22x =，可得arcsin arccos 442x x πππ+=+=．10． 若0()0f x '=，0()0f x ''>，则下述表述正确的是（ ） A ．0x 是()f x 的极大值点 B ．0x 是()f x 的极小值点C ．0x 不是()f x 的极值点D ．无法确定0x 是否为()f x 的极值点【答案】B【解析】由极值的判定条件可知，0x 是()f x 的极小值点．11．方程1arcsin y x=所表示的曲线（ ）A ．仅有水平渐近线B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线【答案】A【解析】函数的定义域为(,1][1,)-∞-+∞，而1limarcsin0x x →∞=，故1arcsin y x=仅有水平渐近线． 12．1211dx x -=⎰（ ）A ．0B ．2C ．2-D ．以上都不对【答案】D 【解析】10101122211011111dx dx dx x x x x x---=+=---⎰⎰⎰，积分值不存在，故选D ．13．方程sin 10x x +-=在区间(0,1)内根的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】令()sin 1f x x x =+-，()cos 1f x x '=+，所以()f x 在区间(0,1)上单调递增，又 (0)10f =-<，(1)sin10f =>，故sin 10x x +-=在区间(0,1)内只有一个根．14．设()f x 是cos x 的一个原函数，则()df x =⎰（ ）A ．sin x C +B ．sin xC -+C ．cos x C -+D ．cos x C +【答案】A【解析】由于()f x 是cos x 的一个原函数，故1()sin f x x C =+，()df x =⎰sin x C +．15．设2cos ()sin x t xF x e tdt π+=⎰，则()F x （ ）A ．为正常数B ．为负常数C ． 恒为零D ．不为常数【答案】C 【解析】2cos cos 2cos cos ()sin 0x t tx x x xxF x e tdt e e e ππ++==-=-+=⎰．16．b txd te dt dx =⎰（ ）A ．x xe -B ．x xeC ．b x e e -D ．b x be xe -【答案】A 【解析】b txd te dt dx =⎰x xe -．17．由曲线sin (0)y x x π=≤≤与x 轴所围成的区域的面积为（ ）A ．0B ．2C 2D ．π【答案】B【解析】0sin cos 2xdx xππ=-=⎰．18． 关于二阶常微分方程的通解，下列说法正确的是（ ） A ．一定含有两个任意常数 B ．通解包含所有解C ．一个方程只有一个通解D ．以上说法都不对【答案】A【解析】微分方程的解中所含任意常数相互独立，且个数与方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解，由通解的定义可得A 正确．19．微分方程3y y x '+=的通解是（ ） A ．221x y x Ce =++ B ．1x y xe Cx =+-C ．139x y x Ce =++D ．31139x y x Ce -=+-【答案】D【解析】通解为3331139dx dxx y e xe dx C x Ce --⎛⎫⎰⎰=+=+- ⎪⎝⎭⎰，C 为任意常数．20．已知向量=++a i j k ，则垂直于a 且垂直于y 轴的向量是（ ）A ．-+i j kB ．--i j kC ．+i kD ．-i k【答案】【解析】设y 轴方向向量(0,1,0)=j ，而111()010⨯==--i j ka j i k ，与a ，j 都垂直的向量是()l =-c i k ，故选D ．21．对任意两向量a ，b ，下列等式不恒成立的是（ ） A ．+=+a b b a B ．⋅=⋅a b b aC ．⨯=⨯a b b aD ．()()2222⋅+⨯=⋅a b a b a b【答案】C【解析】由向量积运算法则可知⨯=-⨯a b b a ，故选C ．22．直线110x y z ==-与平面2x y z +-=的位置关系是（ ）A ．平行B ．直线在平面内C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】A【解析】(1,1,0)(1,1,1)0-⋅-=，得直线的方向向量与平面的法向量垂直，在直线上取一点(0,0,0)，该点不在平面2x y z +-=上，故直线与平面平行．23．20limsin x y yxy →→的值为（ ）A ．0B ．1C ．12D ．不存在【答案】C 【解析】2220011limlim lim sin 2x x x y y y y xy xy x →→→→→===．24．函数(,)f x y 在00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '，00(,)y f x y '都存在是(,)f x y 在该点处连续的（ ） A ．充要条件 B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．既非充分亦非必要条件【答案】D【解析】两个偏导数存在与连续没有关系，故选D ．25．函数ln 1x z y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在点(1,1)处的全微分(1,1)dz=（ ）A ．0B ．1()2dx dy -C ．dx dy -D ．11dx dy x y y-+【答案】B【解析】1111z x x y x y y∂=⋅=∂++，2211z x xxy y y xy y ⎛⎫∂=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭+，(1,1)1122dzdx dy =-，故选B ．26．设11220yI dy x y dx -=⎰，则交换积分次序后（ ） A ．11220xI dx x y dy -=⎰B ．112203yI x y dy -=⎰C ．2112203x I dx x y dy -=⎰⎰D ．2112203x I dx x y dy +=⎰⎰【答案】C【解析】201010101y x y x x y ≤≤⎧≤≤⎧⎪⎨⎨≤≤-≤≤-⎪⎩⎩，交换积分次序后为21122003x I dx x y dy -=⎰⎰．27．设L 为三个顶点分别为(1,0)A -，(0,0)O 和(0,1)B 的三角形区域的边界，L 的方向为顺时针方向，则(3)(2)Lx y dx x y dy -+-=⎰（ ）A ．0B ．1C ．2D ．1-【答案】 【解析】28．设(,)0,114D x y x y π⎧⎫=≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭，则cos(2)Dy xy dxdy =⎰⎰（ ）A ．12-B ．0C ．14D ．12【答案】B【解析】111411111cos(2)cos(2)sin cos 0222Dy yy xy dxdy dy y xy dx dy ππππ---===-=⎰⎰⎰⎰⎰．29．若级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都发散，则下列表述必正确的是（ ）A ．1()n n n a b ∞=+∑发散B ．1n n n a b ∞=∑发散C ．1()n n n a b ∞=+∑发散D ．221()n n n a b ∞=+∑发散【答案】C【解析】1n n a ∞=∑发散，则1n n a ∞=∑发散，n n n a b a +≥，由正项级数的比较判别法可知，1()nn n ab ∞=+∑发散．30．若级数1(2)n n n a x ∞=-∑在2x =-处收敛，则此级数在4x =处（ ）A ．发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．敛散性不能确定【答案】C【解析】级数1(2)n n n a x ∞=-∑在2x =-处收敛，由阿贝尔定理知，对于所有满足24x -<的点x ，即26x -<<，幂级数1(2)n n n a x ∞=-∑绝对收敛，故此级数在4x =处绝对收敛．二、填空题 （每小题 2分，共 20分） 31．10lim(1)xx x →-=________．【答案】1e -【解析】[]11(1)100lim(1)lim 1()xxx x x x e ⋅---→→-=+-=．32．设()f x 为奇函数，则0()3f x '=时，0()f x '-=________． 【答案】3【解析】由于()f x 为奇函数，故()f x '为偶函数，故0()f x '-=0()3f x '=．33．曲线ln y x =上点(1,0)处的切线方程为________． 【答案】1y x =- 【解析】11x y ='=，故切线方程为01y x -=-，即1y x =-．34．1(1)dx x x =-⎰________．【答案】1lnx C x-+【解析】1111ln 1ln ln (1)1x dx dx dx x x C C x x x x x-=-=--+=+--⎰⎰⎰．35． 以2212x x C e C xe --+为通解的二阶常系数齐次线性方程为________． 【答案】440y y y '''++=【解析】由题意可知，2r =-为二阶常系数齐次线性微分方程所对应的特征方程的二重根，满足特征方程2440r r ++=，故所求方程为440y y y '''++=．36．点(1,2,3)关于y 轴的对称点是________． 【答案】(1,2,3)--【解析】点(1,2,3)关于y 轴的对称点，即y 不变，x ，z 取其相反数，故对称点为(1,2,3)--．37．函数x y z e +=在点(0,0)处的全微分(0,0)dz =________．【答案】dx dy + 【解析】x y x y z zdz dx dy e dx e dy x y++∂∂=+=+∂∂，故(0,0)dz =dx dy +．38．由1x y xy ++=所确定的隐函数()y y x =在1x =处导数为________． 【答案】12-【解析】方程两边同时关于x 求导得，10y y xy ''+++=，当1x =时，0y =，代入得1(1)2y '=-．39．函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)A 到(2,23)B +的方向的方向导数等于________．【答案】123+【解析】(1,2)2z x∂=∂，(1,2)4z y∂=∂，与(1,3)AB =同方向的单位向量为132⎛ ⎝⎭，故方向导数为(1,2)13241232z l∂=⋅+=+∂40．幂级数1nn x n∞=∑的收敛区间为________．【答案】(1,1)- 【解析】1lim lim 11n n n n a na n ρ+→∞→∞===+，11R ρ==，故收敛区间为(1,1)-．三、计算题 （每小题5 分，共50 分） 41．用夹逼准则求极限222lim 12n nn n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭． 【答案】1【解析】因为2221n n nn n n k n ≤≤+++，1,2,,k n =，所以2222211nk n n n n n n k n =≤≤+++∑， 又22lim 1n n n n →∞=+，22lim 11n n n →∞=+，由夹逼准则可知，222lim 112n nn n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭．42．讨论函数321sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的可导性． 【答案】【解析】3222001sin()(0)1(0)limlim lim sin 00x x x x f x f x f x x x x →→→-'====-，故函数()f x 在0x =处可导．43．求不定积分21xx e dx e +⎰．【答案】arctan x e C +【解析】()22arctan 11x xx x x e de dx e C e e ==+++⎰⎰．第 11 页 共 13 页44．求定积分10x xe dx ⎰．【答案】1【解析】11110(1)1x x xx xe dx xde xe e dx e e ==-=--=⎰⎰⎰．45．求微分方程32x y y y e '''++=的通解．【答案】21216x x x y C e C e e --=++，其中12,C C 为任意常数【解析】特征方程为2320r r ++=，解得11r =-，22r =-，1λ=不是特征方程的根， 可设x y ke =为方程的一个特解，代入得16k =， 故方程的通解为21216x x x y C e C e e --=++，其中12,C C 为任意常数．46．设2(,)z x y x ϕ=+，且ϕ具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂．【答案】11212x ϕϕ''''+ 【解析】122zx xϕϕ∂''=+∂，211212z x x y ϕϕ∂''''=+∂∂．47．求曲面:3z e z xy ∑-+=在点0(2,1,0)M 处的切平面方程． 【答案】240x y +-=【解析】令(,,)3z F x y z e z xy =-+-，则(2,1,0)1F x∂=∂，(2,1,0)2F y∂=∂，(2,1,0)0F z∂=∂，从而所求切平面的方程为(2)2(1)0x y -+-=，即240x y +-=．48．计算二重积分x y De d σ+⎰⎰，其中D 是由直线1x y +=和两条坐标轴所围成的闭区域．【答案】1【解析】{}(,)01,01D x y x y x =≤≤≤≤-，故第 12 页 共 13 页111100()()1xx yx y x x De d dx e dy e e dx ex e σ-++==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰．49．计算(1)Lxdx ydy x y dz +++-⎰，其中L 是从点(1,1,1)A )到点(1,1,4)B 的直线段．【答案】3【解析】L 的参数方程为1x =，1y =，13(01)z t t =+≤≤，故1(1)33Lxdx ydy x y dz dt +++-==⎰⎰．50．将21()f x x =展开为(1)x +的幂级数． 【答案】11()(1)n n f x n x ∞-==+∑，(2,0)x ∈-【解析】011(1)1(1)n n x x x ∞=-==-+-+∑，(2,0)x ∈-，故1200111()(1)(1)(1)n n n n n n f x x x n x x x ∞∞∞-===''⎡⎤⎛⎫'⎡⎤==-=--+=+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑∑∑，(2,0)x ∈-．四、应用题 （每小题6 分，共 12 分）51．求点(0,1)P 到抛物线2y x =上点的距离的平方的最小值． 【答案】34【解析】2222213(1)124d x y y y y ⎛⎫=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，故所求最小值为34．52．求几何体22444x y z ++≤的体积． 【答案】325π 【解析】令{}22(,)4D x y x y =+≤，则几何体22444x y z ++≤的体积为第 13 页 共 13 页222224224400032212124445Dx y r V d d dr r dr πσθππ+=-=-=-=⎰⎰⎰．五、证明题 （8分）52．设函数()f x ，()g x 均在区间[],a b 上连续，()()f a g b =，()()f b g a =，且()()f a f b ≠．证明：存在一点(,)a b ξ∈，使()()f g ξξ=．【解析】令()()()F x f x g x =-，则函数()F x 也在区间[],a b 上连续，且()()()F a f a g a =-，()()()F b f b g b =-．由于()()f a f b ≠，所以()()f a f b <或()()f a f b >， 当()()f a f b <时，()()()()()0F a f a g a f a f b =-=-<，()()()()()0F b f b g b f b f a =-=->， 于是由连续函数的零点定理知存在(,)a b ξ∈，使()0F ξ=，即()()f g ξξ=． 类似地可证()()f a f b >时结论也成立．。
2011级高数上试题
2011级高数上试题一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1）设()()21lim 1n n xf x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为x =0，它是第二类间断点。
分析：()100x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，2）若函数()()()()()1232008f x x x x x x =----，则()0f '=2008!。
分析：()()()()()()()()()12320081232008f x x x x x x x x x x ''=----+⎡----⎤⎣⎦ 3）设()f u 可微，且()2sin 3y f x =，则dy =()()6sin3sin3cos3f x f x xdx'。
4）(22214x x dx -+-=⎰2π。
分析：2222240,4x x dx x dx---=-⎰⎰为圆心在原点半径为2的半圆面积。
5）已知()f x 的一个原函数为ln x x ，则()f x '=1x。
6）设{}1,2,2a =-，{}2,1,2b =-，则()()a b a b -⨯+={}12,12,6-。
二、解答下列各题（共4小题，每小题5分，共20分）1）设)2sin 2nan n n π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，求lim nn a →∞。
解：2222sin 2lim lim sin 2222n n n n n n a n n n n n n nπ→∞→∞⎡⎤⎢⎥⎡⎤++⎣⎦==⎢++++⎣++2211n nπ==++ 2）求极限011cos lim 12xx x x →⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦。
解：原式1cos ln201cos ln 11cos 2lim limlimln 02xx x x x xx ex xx +→→→+-+====3）已知()f x 有一阶连续导数，且()()001f f '==，求极限()()sin 1lim ln x f x f x →-。
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1
得分 1、设 lim
二、填空题（本题共 5 小题，每题 3 分） .
x2 1 x b 0 ，则 b x x 1
cos x cos3 xdx
.
2、
x
2 2
3、方程 x 5 x 1 0 在区间 (1, 0) 内有
5
… 1 x 1, y 0 所围成的平面图形 D 的面积是 ，求 a, b, c 的值，使图形 D 绕 x 轴旋转一 … 3 …
周而成的旋转体体积 V 最小。
得分
七、证明题（本题 7 分）
设 f x 在 a, a 上有二阶连续导数，且 f 0 0 ， （1）写出 f ( x ) 的一阶麦克劳林公式； （2）证明： a, a ，使 a f 3
题号 满分 学 院 得分
一 15
二 15
三 14
四 21
五 21
得分 专业 班级
一、选择题（本题共 5 小题，每题 3 分） ) 无穷小。 低阶
1、当 x 0 时， f ( x) 1 x 1 x 是 x 的(
A
等价
B
同阶
C
高阶
D
2、设 f ( x ) 在 [1,1] 上连续， x 0 是函数 g ( x) 学 号
x x
x
1 x
.
2、 lim
x 0
x
0
x sin x . ln(1 u 3 ) du u
得分
四、计算题（每题 7 分，共 21 分）
f ( x)
1、设函数 y f (tan x) e
，其中 f 可导，求 dy.
2
2、设函数 y y ( x) 由方程组
x arctan t dy 所确定，求 y dx y te 1
个实根。
4、曲线 y
2 3 x 2 上相应于 0 x 3 的一段弧的长度为 3
.
5、已知 F ( x)
x
0
( x u) f (u) du,
1
0
f ( x)dx 1 ，那么 F( x)
x1
.
得分
三、计算下列极限（每题 7 分，共 14 分）
1、 lim 2011 2012
x0 x0
，求
2
0
f ( x 1)dx.
3、设 f ( x ) 在区间 0,
2 上连续，且满足 f ( x) x cos x 2 f ( x) dx ，试求 f ( x ). 0 2
3
得分
六、应用题（本题 7 分） 分 设抛物线 y ax2 bx c 通过原点，且 0 x 1 时， y 0 。已知该抛物线与直线 得分
武汉理工大学考试试卷（A 卷）
2011 ~2012 学年 1 学期 高等数学(A)（上） 课程 时间 120 分钟
78 学时，5 学分，闭卷，总分 100 分，占总评成绩 70 % 2012 年 01 月 10 日 六 7 七 7 合计 100
… … … … 试 卷 装 订 线 … … … … … … 装 订 线 内 不 要 答 题 ， 不 要 填 写 考 生 信 息 … … … … … … 试 卷 装 订 线 … … … …
3
a
a
f ( x)dx.
… 试 卷 装 订 线 … … … … … … 装 订 线 内 不 要 答 题 ， 不 要 填 写 考 生 信 息 … … … … … … 试 卷 装 订 线 … … … …
4
A C
姓 名
f ( x0 ) 是 f ( x ) 的极大值 f ( x0 ) 是 f ( x) 的极小值
B
f ( x0 ) 是 f ( x) 的极大值
f ( x) 的拐点
D x0 , f ( x0 ) 是曲线 y
4、在下列 4 个广义积分 有( )个。 1；
1 1 ln x 3 1 x dx ， 3/ 2 dx ， dx ， dx 中，收敛的 2 2 1 x 0 x 1 0 x 1 x
x
0
f (t )dt x
的( ) 间断点。 A跳跃B 源自可去C 无穷
D
振荡
3、设 f ( x ) 在 U ( x0 , ) ( 0) 内有三阶连续导数，且 f ( x0 ) f ( x0 ) 0, 则下列结论正确的是（ ） 。
f ( x0 ) 0 ，
t 0
.
dny 3、设函数 y x ln x ，求 n n 1 . dx
得分 五、计算下列积分（每题 7 分，共 21 分） 1、已知 f ( x )
x2
1
1 sin t dt ，求 xf ( x)dx. 0 t
1 x 1 2、设 f ( x ) x 1 1 e
A
B
2；
b
C
3；
D 4。
)。
5、设 a b ，当
a
( x x 2 )dx 取最大值时， a , b 的取值为 (
2 2
A a , b 1 ； B a 0, b 1 ； C a 1 , b 1 ； D a 0, b 1 。