最新实验1无穷级数(基础实验)

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高等数学第七章无穷级数.ppt

推论 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有
(1) 若强级数收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数发散 , 则强级数也发散 .
例1.
讨论
p
级数1
1 2p
1 3p
1 np
(常数
p
>
0)
的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
而调和级数
知存在 N Z , 当n N 时, un1 1
un
收敛 , 由比较审敛法可知 un 收敛.
(2) 当 1 或时,必存在 N Z , uN 0,当n N
时
从而
un1 un un1 uN
因此
lim
n
un
uN
0,
所以级数发散.
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
不存在 , 因此级数发散.
由定义, 讨论级数敛散性的方法 1. 先求部分和; 2. 求部分和的极限.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
利用此结论，可以直接判别某此级数的敛散性。例如：
例如：
公比 q 1 ,
2
q 1,
n1
(1) n1 2n1
3.按基本性质.
第三节正项级数
第七章
一、正项级数收敛的基本定理二、比较审敛法三、比值审敛法四、根值审敛法
一、正项级数收敛的基本定理
若 un 0, 则称 un 为正项级数 . n1
分析特点：部分和序列单调递增。
当

Mathematica使用说明

Mathematica 入门一、引言Mathematica 是美国Wolfram 公司开发的一个功能强大的数学软件系统,它主要包括:数值计算、符号计算、图形功能和程序设计. 本指导书力图在不大的篇幅中给读者提供该系统的一个简要的介绍. 指导书是按Mathematica 4.0版本编写的, 但是也适用于Mathematica 的任何其它图形界面的版本.Mathematica 在数值计算、符号运算和图形表示等方面都是强有力的工具,并且其命令句法惊人地一致, 这个特性使得Mathematica 很容易使用.不必担心你还不太熟悉计算机.本入门将带你迅速了解Mathematica 的基本使用过程, 但在下面的介绍中,我们假定读者已经知道如何安装及启动Mathematica. 此外,始终要牢记的几点是:● Mathematica 是一个敏感的软件. 所有的Mathematica 函数都以大写字母开头; ● 圆括号( ),花括号{ },方括号[ ]都有特殊用途, 应特别注意; ● 句号“.”,分号“;”,逗号“,”感叹号“！”等都有特殊用途, 应特别注意; ● 用主键盘区的组合键Shfit+Enter 或数字键盘中的Enter 键执行命令.二、一般介绍1. 输入与输出例1 计算 1+1:在打开的命令窗口中输入1+2+3并按组合键Shfit+Enter 执行上述命令,则屏幕上将显示:In[1] : =1+2+3 Out[1] =6这里In[1] : = 表示第一个输入,Out[1]= 表示第一个输出,即计算结果.2. 数学常数Pi 表示圆周率π; E 表示无理数e; I 表示虚数单位i ; Degree 表示π/180; Infinity 表示无穷大.注:Pi,Degree,Infinity 的第一个字母必须大写,其后面的字母必须小写.3. 算术运算Mathematica 中用“+”、“-”、“*”、“/” 和“^”分别表示算术运算中的加、减、乘、除和乘方.例2 计算 π⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫⎝⎛⋅--213121494891100. 输入 100^(1/4)*(1/9)^(-1/2)+8^(-1/3)*(4/9)^(1/2)*Pi则输出 3103π+这是准确值. 如果要求近似值,再输入N[%] 则输出 10.543这里%表示上一次输出的结果,命令N[%]表示对上一次的结果取近似值. 还用 %% 表示上上次输出的结果,用 %6表示Out[6]的输出结果.注:关于乘号*,Mathematica 常用空格来代替. 例如,x y z 则表示x*y*z,而xyz 表示字符串,Mathematica 将它理解为一个变量名. 常数与字符之间的乘号或空格可以省略.4. 代数运算例3 分解因式 232++x x 输入 Factor[x^2+3x+2] 输出 )x 2)(x 1(++ 例4 展开因式 )2)(1(x x ++ 输入 Expand[(1+x)(2+x)] 输出 2x x 32++例5 通分 3122+++x x 输入 Together[1/(x+3)+2/(x+2)]输出 )x 3)(x 2(x38+++例6 将表达式)3)(2(38x x x+++ 展开成部分分式输入 Apart[(8+3x)/((2+x)(3+x))]输出 3x 12x 2+++ 例7 化简表达式 )3)(1()2)(1(x x x x +++++ 输入 Simplify[(1+x)(2+x)+(1+x)(3+x)]输出 2x 2x 75++三、函数1. 内部函数Mathematica 系统内部定义了许多函数,并且常用英文全名作为函数名,所有函数名的第一个字母都必须大写,后面的字母必须小写. 当函数名是由两个单词组成时,每个单词的第一个字母都必须大写,其余的字母必须小写. Mathematica 函数(命令)的基本格式为函数名[表达式,选项] 下面列举了一些常用函数:算术平方根x Sqrt[x] 指数函数x e Exp[x] 对数函数x a log Log[a,x]对数函数x ln Log[x]三角函数 Sin[x], Cos[x], Tan[x], Cot[x], Sec[x], Csc[x] 反三角函数ArcSin[x], ArcCos[x], ArcTan[x], ArcCot[x], AsrcSec[x], ArcCsc[x]双曲函数 Sinh[x], Cosh[x], Tanh[x], 反双曲函数 ArcSinh[x], ArcCosh[x], ArcTanh[x] 四舍五入函数 Round[x] (*取最接近x 的整数*) 取整函数 Floor[x] (*取不超过x 的最大整数*) 取模 Mod[m,n] (*求m/n 的模*)取绝对值函数 Abs[x] n 的阶乘 n! 符号函数 Sign[x] 取近似值 N[x,n] (*取x 的有n 位有效数字的近似值,当n 缺省时,n 的默认值为6*)例8 求π的有6位和20位有效数字的近似值. 输入 N[Pi] 输出 3.14159输入 N[Pi, 20] 输出 3.1415926535897932285 注:第一个输入语句也常用另一种形式: 输入 Pi//N 输出 3.14159例9 计算函数值(1) 输入 Sin[Pi/3] 输出23 (2) 输入 ArcSin[.45] 输出 0.466765 (3) 输入 Round[-1.52] 输出 -2 例10 计算表达式)6.0arctan(226sin 2ln 1132+-+-e π 的值输入 1/(1+Log[2])*Sin[Pi/6]-Exp[-2]/(2+2^(2/3))*ArcTan[.6] 输出 0.2749212. 自定义函数在Mathematica 系统内,由字母开头的字母数字串都可用作变量名,但要注意其中不能包含空格或标点符号.变量的赋值有两种方式. 立即赋值运算符是“=”,延迟赋值运算符是“: =”. 定义函数使用的符号是延迟赋值运算符“: =”.例11 定义函数 12)(23++=x x x f ,并计算)2(f ,)4(f ,)6(f . 输入Clear[f,x]; (*清除对变量f 原先的赋值*) f[x_]:=x^3+2*x^2+1; (*定义函数的表达式*) f[2] (*求)2(f 的值*)f[x]/.{x->4} (*求)4(f 的值,另一种方法*)x=6; (*给变量x 立即赋值6*)f[x] (*求)6(f 的值,又一种方法*)输出17 97 289注:本例1、2、5行的结尾有“;”,它表示这些语句的输出结果不在屏幕上显示.四、解方程在Mathematica 系统内,方程中的等号用符号“==”表示. 最基本的求解方程的命令为 Solve[eqns, vars]它表示对系数按常规约定求出方程(组)的全部解,其中eqns 表示方程(组),vars 表示所求未知变量. 例12 解方程0232=++x x 输入 Solve[x^2+3x+2==0, x] 输出 }}1x {},2x {{-→-→例13 解方程组 ⎩⎨⎧=+=+1dy cx by ax输入 Solve[{a x + b y == 0,c x + d y ==1}, {x,y}]输出 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-→-→ad bc a y ,ad bc b x例14 解无理方程a x x =++-11输入 Solve[Sqrt[x-1]+ Sqrt[x+1] == a, x]输出 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+→24a 4a 4x 很多方程是根本不能求出准确解的,此时应转而求其近似解. 求方程的近似解的方法有两种, 一种是在方程组的系数中使用小数,这样所求的解即为方程的近似解;另一种是利用下列专门用于求方程(组)数值解的命令:NSolve[eqns, vars] (*求代数方程(组)的全部数值解*)FindRoot[eqns, {x, x0}, {y, y0} ,]后一个命令表示从点),,(00 y x 出发找方程(组)的一个近似解,这时常常需要利用图像法先大致确定所求根的范围,是大致在什么点的附近.例15 求方程013=-x 的近似解输入 NSolve[x^3-1== 0, x]输出 {{→x -0.5-0.866025ii},{→x -0.5+0.866025ii},{→x 1.}} 输入 FindRoot[x^3-1==0,{x, .5}] 输出 {→x 1.}下面再介绍一个很有用的命令:Eliminate[eqns, elims] (*从一组等式中消去变量(组)elims*)例16从方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+-+=++11)1()1(1222222y x z y x z y x 消去未知数y 、z .输入Eliminate[{x^2+y^2+z^2 ==1,x^2+(y-1)^2 + (z-1)^2 ==1, x + y== 1},{y, z}] 输出 0x 3x 22==+-注:上面这个输入语句为多行语句,它可以像上面例子中那样在行尾处有逗号的地方将行与行隔开, 来迫使Mathematica 从前一行继续到下一行在执行该语句. 有时候多行语句的意义不太明确,通常发生在其中有一行本身就是可执行的语句的情形,此时可在该行尾放一个继续的记号“\”, 来迫使Mathematica 继续到下一行再执行该语句.五、保存与退出Mathematica 很容易保存Notebook中显示的内容,打开位于窗口第一行的File菜单,点击Save 后得到保存文件时的对话框,按要求操作后即可把所要的内容存为*.nb文件. 如果只想保存全部输入的命令,而不想保存全部输出结果,则可以打开下拉式菜单Kernel,选中Delete All Output,然后再执行保存命令. 而退出Mathematica与退出Word的操作是一样的.六、查询与帮助查询某个函数(命令)的基本功能,键入“?函数名”,想要了解更多一些,键入“??函数名”,例如, 输入?Plot则输出Plot[f,{x,xmin,xmax}] generates a plot of f as a functionof x from xmin to xmax. Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax}] plots several functions fi它告诉了我们关于绘图命令“Plot”的基本使用方法.例17 在区间]1,1y=的图形.[-上作出抛物线2x输入Plot[x^2,{x,-1,1}]则输出例18 .输入Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,0,2Pi}]则输出??Plot则Mathematica会输出关于这个命令的选项的详细说明,请读者试之.此外,Mathematica的Help菜单中提供了大量的帮助信息,其中Help菜单中的第一项Help Browser(帮助游览器)是常用的查询工具,读者若想了解更多的使用信息,则应自己通过Help菜单去学习.空间图形的画法(基础实验)实验目的掌握用Mathematica 绘制空间曲面和曲线的方法. 熟悉常用空间曲线和空间曲面的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力. 深入理解二次曲面方程及其图形.基本命令1.空间直角坐标系中作三维图形的命令Plot3D命令Plot3D 主要用于绘制二元函数),(y x f z =的图形. 该命令的基本格式为Plot3D[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2},选项]其中f[x,y]是y x ,的二元函数, x1,x2表示x 的作图范围, y1,y2表示y 的作图范围.例如,输入Plot3D[x^2+y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]则输出函数22y x z +=在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上的图形(图2.1)与Plot 命令类似, Plot3D 有许多选项. 其中常用的如PlotPoints 和ViewPoint. PlotPoints 的用法与以前相同. 由于其默认值为PlotPoints->15, 常常需要增加一些点以使曲面更加精致, 可能要用更多的时间才能完成作图. 选项ViewPoint 用于选择图形的视点(视角), 其默认值为 ViewPoint->{1.3,-2.4,2.0},需要时可以改变视点.2.利用参数方程作空间曲面或曲线的命令ParametricPlot3D 用于作曲面时, 该命令的基本格式为ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,u1,u2},{v,v1,v2},选项]其中x[u,v],y[u,v],z[u,v]是曲面的参数方程表示式. u1,u2是作图时参数u 的范围, v1,v2是参数v 的范围.例如，对前面的旋转抛物面, 输入ParametricPlot3D[{u*Cos[v],u*Sin[v],u^2},{u,0,3},{v,0,2 Pi}]同样得到曲面22y x z +=的图形(图2.2).由于自变量的取值范围不同, 图形也不同. 不过, 后者比较好的反映了旋转曲面的特点, 因而是常用的方法.又如, 以原点为中心, 2为半径的球面. 它是多值函数, 不能用命令Plot3D 作图. 但是, 它的参数方程为,20,0,cos 2,sin sin 2,cos sin 2πθπϕϕθϕθϕ≤≤≤≤===z y x因此,只要输入ParametricPlot3D[{2 Sin[u]*Cos[v],2 Sin[u]*Sin[v],2 Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi}]便作出了方程为22222=++y x z 的球面(图2.3)..用于作空间曲线时,ParametricPlot3D 的基本格式为ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,t1,t2},选项]其中x[t],y[t],z[t]是曲线的参数方程表示式. t1,t2是作图时参数t 的范围.例如, 空间螺旋线的参数方程为).80(10/,sin ,cos π≤≤===t t z t y t x输入ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],t/10,RGBColor[1,0,0]},{t,0,8 Pi}]则输出了一条红色的螺旋线(图2.4).在这个例子中，请读者注意选项RGBColor[1,0,0]的位置.用于作空间曲线时, ParametricPlot3D 的选项PlotPoints 的默认值是30, 选项ViewPoint 的默认值没有改变.3.作三维动画的命令MoviPlot3D:无论在平面或空间, 先作出一系列的图形, 再连续不断地放映, 便得到动画. 例如, 输入调用作图软件包命令<<Graphics\Animation.m.执行后再输入MoviePlot3D[Cos[t*x]*Sin[t*y],{x,-Pi,Pi},{y,-Pi,Pi},{t,1,2},Frames->12]则作出了12幅曲面图, 选中任一幅图形, 双击它便可形成动画.实验举例一般二元函数作图例2.1 (教材例2.1) 作出平面y x z 326--=的图形,其中20,30≤≤≤≤y x . 输入Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2}]则输出所作平面的图形（图2.5）.如果只要位于第一卦限的部分, 则输入Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2},PlotRange->{0,6}]观察图形.2.6）.图2.6例2.2 (教材例2.2) 作出函数2214y x z ++=的图形.输入k[x_,y_]:=4/(1+x^2+y^2)Plot3D[k[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->30,PlotRange->{0,4},BoxRatios->{1,1,1}]则输出函数的图形2.7. 观察图形, 理解选项PlotRange->{0,4}和BoxRatios->{1,1,1}的含义. 选项 BoxRatios 的默认值是{1,1,0.4}.例2.3 (教材例2.3) 作出函数22y x xye z ---=的图形. 输入命令Plot3D[-x*y*Exp[-x^2-y^2],{x,-3,3},{y,-3,3},PlotPoints->30,AspectRatio->Automatic];则输出所求图形（图图2.8例2.4 (教材例2.4) 作出函数)94cos(22y x z +=的图形. 输入Plot3D[Cos[4x^2+9y^2],{x,-1,1},{y,-1,1},Boxed->False,Axes->Automatic,PlotPoints->30,Shading->False]则输出网格形式的曲面图2.9, 这是选项Shading->False 起的作用, 同时注意选项Boxed->False 的作用.二次曲面例2.5 (教材例2.5) 作出椭球面1194222=++z y x 的图形. 这是多值函数, 用参数方程作图的命令ParametricPlot3D. 该曲面的参数方程为,cos ,sin sin 3,cos sin 2u z v u y v u x === (ππ20,0≤≤≤≤v u ).输入ParametricPlot3D[{2*Sin[u]*Cos[v],3*Sin[u]*Sin[v], Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi},PlotPoints->30]则输出椭球面的图形, 可使图形更加光滑.图2.10例2.6 (教材例2.6) 作出单叶双曲面1941222=-+z y x 的图形. 曲面的参数方程为,tan 3,cos sec 2,sin sec u z v u y v u x === (.20,2/2/πππ≤≤<<-v u )输入ParametricPlot3D[{Sec[u]*Sin[v],2*Sec[u]*Cos[v], 3*Tan[u]},{u,-Pi/4,Pi/4},{v,0,2 Pi},PlotPoints->30]图2.11例2.7 作双叶双曲面13.14.15.1222222-=-+z y x 的图形.曲面的参数方程是,csc 3.1,sin cot 4.1,cos cot 5.1u z v u y v u x ===其中参数πππ<<-≤<v u ,20时对应双叶双曲面的一叶, 参数πππ<<-<≤-v u ,02时对应双叶双曲面的另一叶. 输入sh1=ParametricPlot3D[{1.5*Cot[u]*Cos[v],1.4*Cot[u]*Sin[v],1.3/Sin[u]},{u,Pi/1000,Pi/2},{v,-Pi,Pi}, DisplayFunction->Identity];(*DisplayFunction->Identity 是使图形暂时不输出的选项*) sh2=ParametricPlot3D[{1.5*Cot[u]*Cos[v],1.4* Cot[u]*Sin[v],1.3/Sin[u]},{u,-Pi/2,-Pi/1000}, {v,-Pi,Pi},DisplayFunction->Identity];Show[sh1,sh2,DisplayFunction->$DisplayFunction](*命令Show[sh1,sh2]是把图形sh1,sh2放置在一起, DisplayFunction->$DisplayFunction 是恢复显示图形的选项*) 输出为图2.12.例2.8 可以证明: 函数xy z =的图形是双曲抛物面. 在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上作出它的图形.输入Plot3D[x*y,{x,-2,2},{y,-2,2},BoxRatios->{1,1,2}, PlotPoints->30]输出图形略. 也可以用ParametricPlot3命令作出这个图形, 输入ParametricPlot3[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2*Cos[t] *Sin[t]},{r,0,2},{t,0,2 Pi},PlotPoints->30]输出为图2.13例2.9 (教材例2.7) 作出圆环v z u v y u v x sin 7,sin )cos 38(,cos )cos 38(=+=+=,(πππ22/,2/30≤≤≤≤v u )的图形.输入ParametricPlot3D[{(8+3*Cos[v])*Cos[u],(8+3*Cos[v])*Sin[u],7*Sin[v]},{u,0,3*Pi/2},{v,Pi/2,2*Pi}];图2.14例2.10 画出参数曲面]2,001.0[],4,0[)5/2/ln(tan cos sin sin sin cos ∈∈⎪⎩⎪⎨⎧++===v u u v v z vu y v u x π的图形.输入命令ParametricPlot3D[{Cos[u]*Sin[v],Sin[u]Sin[v],Cos[v]+Log[Tan[v/2]+u/5]}, {u,0,4*Pi},{v,0.001,2}];则输出所求图形(图2.15).曲面相交例2.11 (教材例2.8) 作出球面22222=++z y x 和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形. 输入g1=ParametricPlot3D[{2 Sin[u]*Cos[v],2 Sin[u]*Sin[v],2 Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi},DisplayFunction->Identity];g2=ParametricPlot3D[{2Cos[u]^2,Sin[2u],v},{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-3,3},DisplayFunction->Identity];Show[g1,g2,DisplayFunction->$DisplayFunction]则输出所求图形（图2.16）例2.12 作出锥面222z y x =+和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形. 输入g3=ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r}, {r,-3,3},{t,0,2 Pi},DisplayFunction->Identity];Show[g2,g3,DisplayFunction->$DisplayFunction]输出为图2.17.图2.17例2.13 画出以平面曲线x y cos =为准线, 母线平等Z 轴的柱面的图形. 写出这一曲面的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=∈-∈==s z R s t t y t x ],,[,cos ππ 取参数s 的范围为[0, 8]. 输入命令ParametricPlot3D[{t,Cos[t],s},{t,-Pi,Pi},{s,0,8}]则输出所求图形(图2.18).例2.14 (教材例2.9) 作出曲面x y x y x z =+--=2222,1及xOy 面所围成的立体图形. 输入g1=ParametricPlot3D[{r*Cos[t], r*Sin[t],r^2},{t,0,2*Pi},{r,0,1},PlotPoints->30]; g2=ParametricPlot3D[{Cos[t]*Sin[r],Sin[t]Sin[r],Cos[r]+1},{t,0,2*Pi},{r,0,Pi/2},PlotPoints->30];Show[g1,g2]则输出所求图形（图图2.19例2.15 (教材例2.10) 作出螺旋线t z t y t x 2,sin 10,cos 10===(R t ∈)在xOz 面上的正投影曲线的图形.所给螺旋线在xOz面上的投影曲线的参数方程为10==.,cosx2ztt输入ParametricPlot[{2t,10Cos[t]},{t,-2Pi,2Pi}];则输出所求图形（图图2.20注:将表示曲线的方程组, 消去其中一个变量, 即得到曲线在相应于这一变量方向上的正投影曲线的方程, 不考虑曲线所在平面, 它就是投影柱面方程; 对于参数方程, 只要注意将方程中并不存在的那个变元看成第二参数而添加第三个方程即可.例2.16 (教材例2.11) 作出默比乌斯带(单侧曲面)的图形.输入Clear[r,x,y,z];r[t_,v_]:=2+0.5*v*Cos[t/2];x[t_,v_]:=r[t,v]*Cos[t]y[t_,v_]:=r[t,v]*Sin[t]z[t_,v_]:=0.5*v*Sin[t/2];ParametricPlot3D[{x[t,v],y[t,v],z[t,v]},{t,0,2 Pi},{v,-1,1},PlotPoints->{40,4},Ticks->False]则输出所求图形（图空间曲线例2.17 (教材例2.12) 作出空间曲线)60(2,sin ,cos π≤≤===t t z t t y t t x 的图形. 输入ParametricPlot3D[{t*Cos[t],t*Sin[t],2*t,RGBColor[1.0,0,0.5]},{t,0,6 Pi}]则输出所求图形（图图2.22例2.18 绘制参数曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧===2/cos 2sin t z t y t x 的图形.输入命令ParametricPlot3D[{Sin[t],2Cos[t],t.2},{t,0,12}];则输出所求图形(图2.23).例2.19 绘制参数曲线 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==t z t y t x arctan 211cos 2的图形.输入命令ParametricPlot3D[{Cos[t]^2,1/(1+2*t),ArcTan[t]},{t,0,8}]; 则输出所求图形(图2.24).动画制作例2.20 平面正弦曲线的运动. 输入Table[Plot[Sin[x+t*Pi],{x,0,6 Pi}],{t,0,2,1/8}]则作出了16幅具有不同相位的正弦曲线(输出图形略). 双击屏幕上某一幅画, 则可形成动画. 下面是动画的最后一幅图（图2.25）.例2.21 (教材例2.13) 作模拟水波纹运动的动画. 输入调用软件包命令<<Graphics\Animation.m执行后再输入MoviePlot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]+t*2*Pi],{x,-8 Pi,8 Pi},{y,-8 Pi,8 Pi},{t,1,0},PlotPoints->50,AspectRatio->0.5,ViewPoint->{0.911,-1.682,2.791},Frames->12]则输出12幅具有不同相位的水面图形, 双击屏幕上任意一幅图, 均可观察动画效果. 下图是第一幅图（图2.26）.图2.26例2.22 (教材例2.14) 用动画演示由曲线],0[,sin π∈=z z y 绕z 轴旋转产生旋转曲面的过程.该曲线绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为,sin 222z y x =+ 其参数方程为])2,0[],,0[(,,sin sin ,cos sin ππ∈∈===u z z z u z y u z x输入For[i=1,i<=30,i++,ParametricPlot3D[{Sin[z]*Cos[u],Sin[z]*Sin[u],z},{z,0,Pi},{u,0,2*Pi*i/30},AspectRatio->1,AxesLabel->{"X","Y","Z"}]];则输出连续变化的30幅图形. 双击屏幕上任意一幅图, 均可观察动画效果. 下面是生成旋转曲面的过程中的第23幅图（图2.27）.图2.27例2.23 将一张薄膜贴在1,0,1,0====y y x x 的方框上, 薄膜振动的函数取为)cos()sin()sin()cos 1)(cos 1(16),,(224141222t n m y m x n m n n m t y x u m n ππππππ+⋅-+=∑∑==其中t 为参数, 作出图形随t 的变动而引起薄膜振动的动画.初始位置是).0,,(y x u 通过t 的不同值得到多幅画面, 然后将这些图形连续地一张张显示出来, 即可达到运动的动画效果. 输入命令<<Graphics 'Animation '; Clear[x,y,t,m,n];u[x_,y_,t_]:=Sum[16*(1+Cos[n*Pi])*(1-Cos[m*Pi])*Sin[n*Pi*x]*Sin[m*Pi*y]*Cos[Sqrt[m^2+n^2]*Pi*t] /(m^2*n^2*Pi*2),{m,1,4},{n,1,4}]Animate[Plot3D[u[x,y,t],{x,0,1},{y,0,1}, PlotRange->{-8,8}],{t,0,1.75,0.25}];图2.28附录Ⅰ 大学数学实验指导书项目三多元函数微积分实验1 多元函数微分学（基础实验）实验目的掌握利用Mathematica 计算多元函数偏导数和全微分的方法, 掌握计算二元函数极值和条件极值的方法. 理解和掌握曲面的切平面的作法. 通过作图和观察, 理解二元函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念.基本命令1.求偏导数的命令D命令D 既可以用于求一元函数的导数, 也可以用于求多元函数的偏导数. 例如: 求),,(z y x f 对x 的偏导数, 则输入D[f[x,y,z],x] 求),,(z y x f 对y 的偏导数, 则输入D[f[x,y,z],y]求),,(z y x f 对x 的二阶偏导数, 则输入D[f[x,y,z],{x,2}] 求),,(z y x f 对y x ,的混合偏导数, 则输入D[f[x,y,z],x,y] …………2.求全微分的命令Dt该命令只用于求二元函数),(y x f 的全微分时, 其基本格式为Dt[f[x,y]]其输出的表达式中含有Dt[x],Dt[y], 它们分别表示自变量的微分d x ,d y . 若函数),(y x f 的表达式中还含有其它用字符表示的常数, 例如a, 则Dt[f[x,y]]的输出中还会有Dt[a], 若采用选项Constants->{a}, 就可以得到正确结果, 即只要输入Dt[f[x,y],Constants->{a}]3.在Oxy 平面上作二元函数),(y x f 的等高线的命令ContourPlot 命令的基本格式为ContourPlot[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}]例如,输入ContourPlot[x^2-y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]则输出函数22y x z -=的等高线图(图1.1). 该命令的选项比较多(详细的内容参见光盘中的实验案例库). 如选项Contours->15表示作15条等高线, 选项Contours->{0}表示只作函数值为0的等高线.实验举例求多元函数的偏导数与全微分例1.1 (教材例1.1) 设),(cos )sin(2xy xy z +=求.,,,222yx zx z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂输入Clear[z];z=Sin[x*y]+Cos[x*y]^2; D[z,x] D[z,y] D[z,{x,2}] D[z,x,y]则输出所求结果.y Cos x y2y Cos x y Sin x yx Cos x y 2x Cos x y Sin x y2y 2Cos x y 2y 2Sin x y 2y 2Sin x y2Cos x y 2x y Cos x y 2x y Sin x y 2Cos x y Sin x y2x y Sin x y2例1.2 设,)1(y xy z +=求yzx z ∂∂∂∂,和全微分dz.输入Clear[z];z=(1+x*y)^y;D[z,x] D[z,y]则有输出⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-]1[1)1()1(12xy Log xy xy xy xy y y y再输入Dt[z]则得到输出⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++]1[][1])[][()1(xy Log y Dt xy y xDt x yDt y xy y 例1.3 (教材例1.2) 设,)(y xy a z +=其中a 是常数, 求dz.输入Clear[z,a];z=(a+x*y)^y;wf=Dt[z,Constants->{a}]//Simplify则输出结果:(a+xy)-1+y (y 2Dt[x,Constants->{a}]+Dt[y,Constants->{a}](xy+(a+xy)Log[a+xy]))其中Dt[x,Constants->{a}]就是d x , Dt[y,Constants->{a}]就是d y . 可以用代换命令“/.”把它们换掉. 输入wf/.{Dt[x,Constants->{a}]->dx,Dt[y,Constants->{a}]->dy}输出为(a+xy)-1+y (dxy 2+dy(xy+(a+xy)Log[a+xy]))例1.4 (教材例1.3) 设v u e y v u e x u u cos ,sin -=+=,求.,,,yv x v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂ 输入eq1=D[x==E^u+u*Sin[v],x,NonConstants->{u,v}](*第一个方程两边对x 求导数, 把u,v 看成x,y 的函数*) eq2=D[y==E^u-u*Cos[v],x,NonConstants->{u,v}](*第二个方程两边对x 求导数, 把u,v 看成x,y 的函数*) Solve[{eq1,eq2},{D[u,x,NonConstants->{u,v}],D[v,x,NonConstants->{u,v}]}]//Simplify(*解求导以后由eq1,eq2组成的方程组*)则输出}}][][1(][}],{tan ,,[,][][1][}],{tan ,,[{{v Sin E v Cos E u v Cos E v u ts NonCons x v D v Sin E v Cos E v Sin v u ts NonCons x u D u u u u u -+-->->-+->->-其中D[u,x,NonConstants->{u,v}]表示u 对x 的偏导数, 而D[v,x,NonCosnstants->{u,v}]表示v 对x 的偏导数. 类似地可求得u ,v 对y 的偏导数.微分学的几何应用例1.5 求出曲面222y x z +=在点(1,1)处的切平面、法线方程, 并画出图形.解(1) 画出曲面的图形. 曲面的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=∈∈==2]2,0[],2,0[,cos 2/sin rz r u u r y u f x π 输入命令Clear[f];f[x_,y_]=2x^2+y^2;p1=Plot3D[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2}];g1=ParametricPlot3D[{r*Sin[u]/Sqrt[2.],r*Cos[u],r^2}, {u,0,2*Pi},{r,0,2}] 则输出相应图形(图1.2).(2) 画出切平面的图形. 输入命令a=D[f[x,y],x]/.{x->1,y->1}; b=D[f[x,y],y]/.{x->1,y->1}; p[x_,y_]=f[1,1]+a(x-1)+b(y-1);g2=Plot3D[p[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2}];则输出切平面方程为,012=-+y x 及相应图形(图1.3).(3) 画出法线的图形. 输入命令ly[x_]=1+b(x-1)/a;lz[x_]=f[1,1]-(x-1)/a;g3=ParametricPlot3D[{x,ly[x],lz[x]},{x,-2,2}]; Show[p1,g2,g3,AspectRatio->Automatic,ViewPoint->{-2.530,-1.025,2.000}];则输出相应图形(图1.4).例1.6 (教材例1.4) 求曲面14),(22++=y x y x k 在点⎪⎭⎫⎝⎛2164,21,41处的切平面方程, 并把曲面和它的切平面作在同一图形里.输入Clear[k,z];k[x_,y_]=4/(x^2+y^2+1); (*定义函数k(x,y)*)kx=D[k[x,y],x]/.{x->1/4,y->1/2};(*求函数k(x,y)对x 的偏导数, 并代入在指定点的值*) ky=D[k[x,y],y]/.{x->1/4,y->1/2};(*求函数k(x,y)对y 的偏导数, 并代入在指定的值*) z=kx*(x-1/4)+ky*(y-1/2)+k[1/4,1/2]; (*定义在指定点的切平面函数*)再输入qm=Plot3D[k[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotRange->{0,4}, BoxRatios->{1,1,1},PlotPoints->30, DisplayFunction->Identity]; qpm=Plot3D[z,{x,-2,2},{y,-2,2}, DisplayFunction->Identity];Show[qm,qpm,DisplayFunction->$DisplayFunction]则输出所求曲面与切平面的图形（图1.5）.多元函数的极值例1.7 (教材例1.5) 求x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值. 输入Clear[f];f[x_,y_]=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x; fx=D[f[x,y],x] fy=D[f[x,y],y]critpts=Solve[{fx==0,fy==0}]则分别输出所求偏导数和驻点:2236369y y x x -++-{{x->-3,y->0},{x->-3,y->2},{x->1,y->0},{x->1,y->2}}再输入求二阶偏导数和定义判别式的命令fxx=D[f[x,y],{x,2}]; fyy=D[f[x,y],{y,2}]; fxy=D[f[x,y],x,y]; disc=fxx*fyy-fxy^2输出为判别式函数2xy yy xx f f f -的形式:(6+6x)(6-6y)再输入data={x,y,fxx,disc,f[x,y]}/.critpts;TableForm[data,TableHeadings->{None,{ "x ", "y ", "fxx ", "disc ", "f "}}]最后我们得到了四个驻点处的判别式与xx f 的值并以表格形式列出.X y fxx disc f -3 0 -12 -72 27 -3 2 -12 72 31 1 0 12 72 -51 2 12 -72 -1易见,当2,3=-=y x 时,12-=xx f 判别式disc=72, 函数有极大值31; 当0,1==y x 时,12=xx f 判别式disc=72, 函数有极小值-5;当0,3=-=y x 和2,1==y x 时, 判别式disc=-72, 函数在这些点没有极值. 最后,把函数的等高线和四个极值点用图形表示出来,输入d2={x,y}/.critpts;g4=ListPlot[d2,PlotStyle->PointSize[0.02],DisplayFunction->Identity]; g5=ContourPlot[f[x,y],{x,-5,3},{y,-3,5},Contours->40,PlotPoints->60,ContourShading->False,Frame->False,Axes->Automatic,AxesOrigin->{0,0},DisplayFunction->Identity];Show[g4,g5,DisplayFunction->$DisplayFunction]则输出图1.6.从上图可见, 在两个极值点附近, 函数的等高线为封闭的. 在非极值点附近, 等高线不封闭. 这也是从图形上判断极值点的方法.注:在项目一的实验4中,我们曾用命令FindMinimum 来求一元函数的极值, 实际上,也可以用它求多元函数的极值, 不过输入的初值要在极值点的附近. 对本例,可以输入以下命令FindMinimum[f[x,y],{x,-1},{y,1}]则输出{-5.,{x->1.,y->-2.36603×10-8}}从中看到在0,1==y x 的附近函数),(y x f 有极小值-5, 但y 的精度不够好.例1.8 求函数22y x z +=在条件0122=-+++y x y x 下的极值. 输入Clear[f,g,la]; f[x_,y_]=x^2+y^2;g[x_,y_]=x^2+y^2+x+y-1; la[x_,y_,r_]=f[x,y]+r*g[x,y]; extpts=Solve[{D[la[x,y,r],x]==0,D[la[x,y,r],y]==0,D[la[x,y,r],r]==0}]得到输出⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+->-+->-+->-⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧-->--->--->-)31(21),31(21),33(31,)31(21),31(21),33(31y x r y x r再输入f[x,y]/.extpts//Simplify得到两个可能是条件极值的函数值}.32,32{-+但是否真的取到条件极值呢? 可利用等高线作图来判断.输入dian={x,y}/.Table[extpts[[s,j]],{s,1,2},{j,2,3}] g1=ListPlot[dian,PlotStyle->PointSize[0.03],DisplayFunction->Identity]cp1=ContourPlot[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},Contours->20,PlotPoints->60,ContourShading->False,Frame->False,Axes-> Automatic,AxesOrigin->{0,0},DisplayFunction->Identity]; cp2=ContourPlot[g[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->60,Contours->{0},ContourShading-> False,Frame->False,Axes->Automatic,ContourStyle->Dashing[{0.01}],AxesOrigin->{0,0},DisplayFunction->Identity]; Show[g1,cp1,cp2,AspectRatio->1,DisplayFunction->$DisplayFunction]输出为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-+-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----)31(21,2321,)31(21,2321 及图1.7. 从图可见，在极值可疑点,2321,2321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-2321,2321 处, 函数),(y x f z =的等高线与曲线0),(=y x g (虚线)相切. 函数),(y x f z =的等高线是一系列同心圆, 由里向外, 函数值在增大, 在)31(21),31(21--=--=y x 的附近观察, 可以得出),(y x f z =取条件极大的结论. 在),31(21+-=x )31(21+-=y 的附近观察, 可以得出),(y x f z =取条件极小的结论.梯度场例1.9 画出函数222),,(y x z z y x f --=的梯度向量. 解输入命令<<Graphics`ContourPlot3D` <<Graphics`PlotField3D` <<Calculus`VectorAnalysis`SetCoordinates[Cartesian[x,y,z]];f=z^2-x^2-y^2;cp3d=ContourPlot3D[f,{x,-1.1,1.1},{y,-1.1,1.1},{z,-2,2},Contours->{1.0},Axes->Tr ue,AxesLabel->{"x","y","z"}];vecplot3d=PlotGradientField3D[f,{x,-1.1,1.1},{y,-1.1,1.1},{z,-2,2},PlotPoints->3,Ve ctorHeads->True];Show[vecplot3d, cp3d];则输出相应图形(图1.8)例1.10 在同一坐标面上作出⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=2211),(y x x y x u 和 ,11),(22⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=y x y y x v 的等高线图(0>x ), 并给出它们之间的关系.解输入命令<<Calculus`VectorAnalysis` <<Graphics`PlotField`SetCoordinates[Cartesian[x,y,z]];check[u_,v_]:={Grad[u][[1]]-Grad[v][[2]],Grad[v][[1]]+Grad[u][[2]]} u=x(1+1/(x^2+y^2));v=y(1-1/(x^2+y^2)); check[u,v]//Simplifyugradplot=PlotGradientField[u,{x,-2,2},{y,-2,2},DisplayFunction->Identity];uplot=ContourPlot[u,{x,-2,2},{y,-2,2},ContourStyle->GrayLevel[0],ContourShading->False,DisplayFunction->Identity,Contours->40,PlotPoints->40]; g1=Show[uplot,ugradplot,DisplayFunction->$DisplayFunction];vgradplot=PlotGradientField[v,{x,-2,2},{y,-2,2},DisplayFunction->Identity];vplot=ContourPlot[v,{x,-2,2},{y,-2,2},ContourStyle->GrayLevel[0.7],ContourShading->False,DisplayFunction->Identity,Contours->40,PlotPoints->40]; g2=Show[vplot,vgradplot,DisplayFunction->$DisplayFunction]; g3=Show[uplot,vplot,DisplayFunction->$DisplayFunction];g4=Show[ugradplot,vgradplot,DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出相应图形(图1.9)，其中(a) ),(y x u 的梯度与等高线图;(b) ),(y x v 的梯度与等高线图; (c) ),(y x u 与),(y x v 的等高线图; (d) ),(y x u 与),(y x v 的梯度图.图1.9从上述图中可以看出它们的等高线为一族正交曲线. 事实上, 有,,2222x v y x x y u y v y x x x u ∂∂-=+=∂∂∂∂=+=∂∂ 且,0=∇⋅∇v u 它们满足拉普拉斯方程022222222=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂y vx v y u x u 例1.11 (教材例1.6) 设,),()(22y x xe y x f +-=作出),(y x f 的图形和等高线, 再作出它的梯度向量gradf 的图形. 把上述等高线和梯度向量的图形叠加在一起, 观察它们之间的关系.输入调用作向量场图形的软件包命令<<Graphics\PlotField.m再输入Clear[f];f[x_,y_]=x*Exp[-x^2-y^2];dgx=ContourPlot[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->60, Contours->25,ContourShading->False,Frame->False,Axes->Automatic,AxesOrigin->{0,0}] td=PlotGradientField[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},Frame->False] Show[dgx,td]输出为图1.10. 从图可以看到Oxy 平面上过每一点的等高线和梯度向量是垂直的, 且梯度的方向是指向函数值增大的方向图1.10例1.12 求出函数244),(y xy x y x f +-=的极值, 并画出函数),(y x f 的等高线、驻点以及),(y x f -的梯度向量的图形.输入命令<<Graphics`PlotField`f=x^4-4*x*y+y^2;FindMinimum[f,{x,1},{y,1}]conplot=ContourPlot[f,{x,-2,2},{y,-3,3},ContourShading->False,PlotPoints->100,Contours->{-4,-2,0,2,4,10,20}];fieldplot=PlotGradientField[-f,{x,-2,2},{y,-3,3},ScaleFunction->(Tanh[#/5]&)];critptplot=ListPlot[{{-Sqrt[2],-2*Sqrt[2]},{0,0},{Sqrt[2],2*Sqrt[2]}},PlotStyle->{PointSize [0.03]}];Show[conplot,fieldplot,critptplot];则得到),(y x f 的最小值.4)82843.2,41421.1(-=f 以及函数的图形(图1.11).实验习题 1.设,xy e z =求.dz2.设),,(y xy f z =求.,,22222y x zy z x z ∂∂∂∂∂∂∂ 3.设),sin (cos ),(228/)(22y x e y x g y x+=+-求.,,2yx z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂ 4.试用例1.5的方法求265433051830120),(xy x x x x y x f +++--=的极值. 5.求324y x z +=在01422=-+y x 条件下的极值.6.作出函数42210/)2(),(y x e y x f +-=的等高线和梯度线的图形, 并观察梯度线与等高线的关系.实验2 多元函数积分学（基础实验）实验目的掌握用Mathematica 计算二重积分与三重积分的方法; 深入理解曲线积分、曲面积分的概念和计算方法. 提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力.基本命令1. 计算重积分的命令lntegrate 和NIntegrate 例如,计算dydx xy x ⎰⎰102, 输入Integrate[x*y^2,{x,0,1},{y,0,x}]则输出 151又如,计算dydx xy )sin(10102⎰⎰的近似值, 输入NIntegrate[Sin[x*y^2],{x,0,1},{y,0,1}] 则输出 0.160839注: Integrate 命令先对后边的变量积分.计算三重积分时,命令Integrate 的使用格式与计算二重积分时类似. 由此可见, 利用 Mathematica 计算重积分, 关键是确定各个积分变量的积分限. 2. 柱坐标系中作三维图形的命令CylindricalPlot3D使用命令Cylindricalplot3D, 首先要调出作图软件包. 输入 <<Graphics`ParametricPlot3D` 执行成功后便可继续下面的工作.使用命令Cylindricalplot3D 时,一定要把z 表示成r ,θ的函数. 例如,在直角坐标系中方程22y x z +=是一旋转抛物面, 在柱坐标系中它的方程为2r z =. 因此,输入 CylindricalPlot3D[r^2,{r,0,2},{t,0,2Pi}] 则在柱坐标系中作出了该旋转抛物面的图形.3. 球面坐标系中作三维图形命令SphericalPlot3D使用命令SphericalPlot3D, 首先要调出作图软件包. 输入 <<Graphics`ParametricPlot3D` 执行成功后便可继续下面的工作.命令SphericalPlot3D 的基本格式为SphericalPlot3D[r[],θϕ, {}],,{},,,2121θθθϕϕϕ其中r[],θϕ是曲面的球面坐标方程, 使用时一定要把球面坐标中的r 表示成ϕ、θ的函数. 例如,在球面坐标系中作出球面,22222=++z y x 输入Sphericalplot3D[2,{u,0,pi},|v,0,2,pi|,plotpoints->40]则在球面坐标系中作出了该球面的图形. 4. 向量的内积用“.”表示两个向量的内积. 例如,输入 vecl={al,bl,cl} vec2={a2,b2,c2} 则定义了两个三维向量, 再输入 vec1. vec2 则得到它们的内积a1a2+b1b2+c1c2实验举例计算重积分例2.1 (教材例2.1) 计算,2dxdy xyD⎰⎰ 其中D 为由,,2y x y x ==+ 2=y 所围成的有界区域.先作出区域D 的草图, 易直接确定积分限,且应先对x 积分, 因此, 输入 Integrate[x*y^2,{y,1,2},{x,2-y,Sqrt[y]}] 则输出所求二重积分的计算结果.120193例2.2 (教材例2.2) 计算,)(22dxdy e Dy x⎰⎰+- 其中D 为.122≤+y x如果用直角坐标计算, 输入Clear[f,r];f[x,y]=Exp [-(x^2+y^2)];Integrate[f[x,y],{x,-1,1},{y,-Sqrt[1-x^2],Sqrt[1-x^2]}]则输出为dx x 1Erf e 211x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π⎰--其中Erf 是误差函数. 显然积分遇到了困难.如果改用极坐标来计算, 也可用手工确定积分限. 输入Integrate[(f[x,y]/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]})*r,{t,0,2 Pi},{r,0,1}] 则输出所求二重积分的计算结果eπ-π 如果输入NIntegrate[(f[x,y]/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]})*r,{t,0,2 Pi},{r,0,1}] 则输出积分的近似值1.98587例 2.3 (教材例 2.3) 计算dxdydz z y x)(22++⎰⎰⎰Ω, 其中Ω由曲面222y x z --=与22y x z +=围成.先作出区域Ω的图形. 输入g1=ParametricPlot3D[{Sqrt[2]*Sin[fi]*Cos[th],Sqrt[2]*Sin[fi]*Sin[th], Sqrt[2]*Cos[fi]},{fi,0,Pi/4},{th,0,2Pi}] g2=ParametricPlot3D[{z*Cos[t],z*Sin[t],z},{z,0,1},{t,0,2Pi}] Show[g1,g2,ViewPoint->{1.3,-2.4,1.0}]则分别输出三个图形（图2.1(a), (b), (c)）.考察上述图形, 可用手工确定积分限. 如果用直角坐标计算, 输入 g[x_,y_,z_]=x^2+y^2+z;Integrate[g[x,y,z],{x,-1,1},{y,-Sqrt[1-x^2], Sqrt[1-x^2]},{z,Sqrt[x^2+y^2],Sqrt[2-x^2-y^2]}] 执行后计算时间很长, 且未得到明确结果.现在改用柱面坐标和球面坐标来计算. 如果用柱坐标计算,输入Integrate[(g[x,y,z]/.{x->r*Cos[s],y->r*Sin[s]})*r, {r,0,1},{s,0,2Pi},{z,r,Sqrt[2-r^2]}]则输出π⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-15281252 如果用球面坐标计算,输入Integrate[(g[x,y,z]/.{x->r*Sin[fi]*Cos[t],y->r*Sin[fi]*Sin[t],z->r*Cos[fi]})*r^2*Sin[fi],{s,0,2Pi},{fi,0,Pi/4},{r,0,Sqrt[2]}]则输出π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-321662551这与柱面坐标的结果相同.重积分的应用例2.4 求由曲面()y x y x f --=1,与()222,y x y x g --=所围成的空间区域Ω的体积.输入Clear[f,g];f[x_,y_]=1-x -y;g[x_,y_]=2-x^2-y^2;Plot3D[f[x,y],{x,-1,2},{y,-1,2}] Plot3D[g[x,y],{x,-1,2},{y,-1,2}] Show[%,%%]一共输出三个图形,首先观察到Ω的形状. 为了确定积分限, 要把两曲面的交线投影到Oxy 平面上输入 jx=Solve[f[x,y]==g[x,y],y] 得到输出 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-++→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-→22445121,445121x x y x x y为了取出这两条曲线方程, 输入 y1=jx[[1,1,2]] y2=jx[[2,1,2]] 输出为⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-2445121x x⎪⎭⎫ ⎝⎛-++2445121x x再输入tu1=Plot[y1,{x,-2,3},PlotStyle->{Dashing[{0.02}]},DisplayFunction->Identity];tu2=Plot[y2,{x,-2,3},DisplayFunction->Identity]; Show[tu1,tu2,AspectRatio->1, DisplayFunction-> $DisplayFunction]输出为图2.2, 由此可见,y 是下半圆(虚线),y 是上半圆,因此投影区域是一个圆.设21y y =的解为1x 与2x ,则21,x x 为x 的积分限. 输入 xvals=Solve[y1==y2,x]输出为 ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+→⎭⎬⎫⎩⎨⎧-→6121,6121x x 为了取出21,x x , 输入x1=xvals[[1,1,2]]x2=xvals[[2,1,2]]输出为()6121- ()6121+。

《微积分》课程教学大纲.

《微积分》课程教学大纲学时数：126学分数：7适用专业：经济类本科执笔：吴赣昌编写日期：2006年6月课程的性质、目的和任务本课程是高等学校经济类本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才服务的。

是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才服务的。

通过本课程的学习，要使学生获得一元函数微积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后续课程的学习奠定必要的数学基础。

为后续课程的学习奠定必要的数学基础。

在课程的教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力。

能力以及自学能力。

课程教学的主要内容与基本要求一、函数、极限与连续主要内容：函数的概念及其表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；反函数、复合函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形特征，初等函数，简单应用问题的函数关系的建立；常用经济函数；数列极限与函数极限的定义和性质，函数的左、右极限，无穷小与无穷大；无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则和两个重要极限；连续函数的概念，函数间断点的分类；初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(最大值最小值定理和介值定理)。

基本要求：1、理解函数的概念，掌握函数的表示法；、理解函数的概念，掌握函数的表示法；2、了解函数的有界性、单调性、周期性与奇偶性；、了解函数的有界性、单调性、周期性与奇偶性；3、理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念；、理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念；4、掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念；、掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念；5、会建立简单应用问题的函数关系，熟悉几种常用经济函数；、会建立简单应用问题的函数关系，熟悉几种常用经济函数；6、了解数列极限和函数极限（包括左、右极限）的概念；、了解数列极限和函数极限（包括左、右极限）的概念；7、了解无穷小的概念和基本性质，掌握无穷小的阶的比较方法。

无穷级数(课件)

∞
（1）
1
n1 (n 1)(n 4)
∞
（2）
1
n1 n(n 1)
解
（1）因为
(n
1 1)(n
＜1 4) n2
，而级数
∞ n 1
1 n2
收敛，所以根据比较审敛法，级数
∞ n1
(n
1 1)(n
4)
收敛。
（2）因为
1＞ n(n 1)
1 (n 1)2
1 n 1
，而级数
∞ n1
1 n+1
是级数
∞ n 1
1 n2
去掉
∞
第一项所成的级数，由第一节中的性质 6.3 可知级数
1
发散，所以根据比较审敛法，级
n1 n+1
∞
数
1 发散。
n1 n(n 1)
21
第二节常数项级数的审敛法
∞
∞
定理 6.3（比较审敛法的极限形式）设 un 和 vn 都是正项级数，如果
n 1
n1
lim un l,(0＜l＜ ∞) ，
（3）当＝1时，级数可能收敛也可能发散。
【例
11】判断级数
∞ n1
n 2n
1
n
的敛散性。
解
lim
n∞
n
un
lim n n∞ 2n 1
1＜1 ，所以级数收敛。 2
26
第二节常数项级数的审敛法
二、交错级数及其审敛法
定义 6.5 设 un＞0 (n 1,2, ) ，形如
u1 u2 u3 u4 (1)n1un 或 u1+u2 u3 +u4 (1)n un 的级数称为交错级数。

微积分05无穷级数与微分方程

项目四无穷级数与微分方程实验1 无穷级数（基础实验）实验目的观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的逼近. 掌握用Mathematica 求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法.基本命令1. 求无穷和的命令Sum该命令可用来求无穷和. 例如,输入 Sum[1/n^2,{n,l,Infinity}]则输出无穷级数的和为.6/2π 命令Sum 与数学中的求和号∑相当. 2. 将函数展开为幂级数的命令Series 该命令的基本格式为Series[f[x],{x,x0,n}]它将)(x f 展开成关于0x x -的幂级数. 幂级数的最高次幂为,)(0n x x -余项用10)(+-n x x 表示. 例如,输入Series[y[x],{x,0,5}] 则输出带皮亚诺余项的麦克劳林级数[][][]()[]()[]()[][]654433201201024106102100x O x y x y x y x y x y y ++++''+'+ 3. 去掉余项的命令Normal在将)(x f 展开成幂级数后, 有时为了近似计算或作图, 需要把余项去掉. 只要使用 Normal 命令. 例如,输入Series[Exp[x],{x,0,6}] Normal[%] 则输出765432]x [O !6x !5x !4x !3x !2x x 1+++++++!6x 5x 4x !3x !2x x 165432++++++ 4. 强制求值的命令Evaluate如果函数是用Normal 命令定义的, 则当对它进行作图或数值计算时, 可能会出现问题. 例如,输入fx=Normal[Series[Exp[x],{x,0,3}]] Plot[fx,{x,-3,3}]则只能输出去掉余项后的展开式6x 2x x 132+++ 而得不到函数的图形. 这时要使用强制求值命令Evaluate, 改成输入 Plot[Evaluate[fx],{x,-3,3}] 则输出上述函数的图形.5. 作散点图的命令ListPlotListPlot [ ]为平面内作散点图的命令, 其对象是数集,例如,输入ListPlot[Table[j^2,{j,16}],PlotStyle->PointSize[0,012]]则输出坐标为}16,16{,},3,3{},2,2{},1,1{2222 的散点图(图1.1).图1.1.6. 符号“/；”用于定义某种规则,“/；”后面是条件. 例如,输入Clear[g,gf];g[x_]:=x/;0<=x<1 g[x_]:=-x/;-1<=x<0 g[x_]:=g[x –2]/;x>=1则得到分段的周期函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<≤--=1x ),2x (g 1x 0,x 0x 1,x )x (g再输入gf=Plot[g[x],{x,-1,6}] 则输出函数)(x g 的图形1.2.图1.2注:用Which 命令也可以定义分段函数, 从这个例子中看到用“…(表达式)/; …(条件)”来定义周期性分段函数更方便些. 用Plot 命令可以作出分段函数的图形, 但用Mathematica 命令求分段函数的导数或积分时往往会有问题. 用Which 定义的分段函数可以求导但不能积分. Mathematica 内部函数中有一些也是分段函数. 如:Mod[x,1],Abs[x],Floor[x]和UnitStep[x]. 其中只有单位阶跃函数UnitStep[x]可以用Mathematica 命令来求导和求定积分. 因此在求分段函数的傅里叶系数时, 对分段函数的积分往往要分区来积. 在被积函数可以用单位阶跃函数UnitStep 的四则运算和复合运算表达时, 计算傅里叶系数就比较方便了.实验举例数项级数例1.1 (教材例1.1)(1) 观察级数∑∞=121n n的部分和序列的变化趋势.(2) 观察级数∑∞=11n n 的部分和序列的变化趋势.输入s[n_]=Sum[1/k^2,{k,n}];data=Table[s[n],{n,100}]; ListPlot[data];N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}]] N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}],40]则输出(1)级数的近似值为1.64493.输入s[n_]=Sum[1/k,{k,n}];data=Table[s[n],{n,50}]; ListPlot[data,PlotStyle->PointSize[0.02]];则输出(2)例1.2 画出级数∑∞=--111)1(n n n的部分和分布图. 输入命令Clear[sn,g];sn=0;n=1;g={};m=3;While[1/n>10^-m,sn=sn+(-1)^(n-1)/n;g=Append[g,Graphics[{RGBColor[Abs[Sin[n]],0,1/n],Line[{{sn,0},{sn,1}}]}]];n++];Show[g,PlotRange->{-0.2,1.3},Axes->True];则输出所给级数部分和的图形,从图中可观察到它收敛于0.693附近的一个数.例1.3 设,!10n a nn = 求∑∞=1n na.输入Clear[a];a[n_]=10^n/(n!);vals=Table[a[n],{n,1,25}];ListPlot[vals,PlotStyle->PointSize[0.012]]则输出n a 的散点图,从图中可观察n a 的变化趋势. 输入 Sum[a[n],{n,l,Infinity}] 则输出所求级数的和.求幂级数的收敛域例1.4 求∑∞=+-021)3(4n nn n x 的收敛域与和函数.输入Clear[a];a[n_]=4^(2n)*(x-3)^n/(n+1); stepone=a[n+1]/a[n]//Simplify则输出n2)x 3)(n 1(16++-+再输入steptwo=Limit[stepone,n->Infinity] 则输出)x 3(16+-这里对a[n+1]和a[n]都没有加绝对值. 因此上式的绝对值小于1时, 幂级数收敛; 大于1 时发散. 为了求出收敛区间的端点, 输入ydd=Solve[steptwo==1,x] zdd=Solve[steptwo==-1,x]则输出⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧→1647x 1649x 与由此可知,当16491647<<x 时,级数收敛,当1647<x 或1649>x 时,级数发散.为了判断端点的敛散性, 输入 Simplify[a[n]/.x->(49/16)] 则输出右端点处幂级数的一般项为1n 1+ 因此,在端点1649=x 处,级数发散. 再输入Simplify[a[n]/.x->(47/16)] 则输出左端点处幂级数的一般项为1n )1(n+- 因此,在端点1647=x 处, 级数收敛.也可以在收敛域内求得这个级数的和函数. 输入 Sum[4^(2n)*(x-3)^n/(n+1),{n,0,Infinity}] 则输出)x 3(16)]x 3(161[Log +-+---函数的幂级数展开例1.5 求x cos 的6阶麦克劳林展开式. 输入Series[Cos[x],{x,0,6}] 则输出7642]x [o 720x 24x 2x 1+-+- 注:这是带皮亚诺余项的麦克劳林展开式. 例1.6 求x ln 在1=x 处的6阶泰勒展开式.输入Series[Log[x],{x,1,6}] 则输出.]x [o 6)1x (5)1x (4)1x (3)1x (2)1x ()1x (765432+---+---+--- 例1.7 求x arctan 的5阶泰勒展开式. 输入serl=Series[ArcTan[x],{x,0,5}]; Poly=Normal[serl]则输出x arctan 的近似多项式5x 3x x 53+- 通过作图把x arctan 和它的近似多项式进行比较. 输入Plot[Evaluate[{ArcTan[x],Poly}],{x,-3/2,3/2},PlotStyle->{Dashing[{0.01}],GrayLevel[0]},AspectRatio->l]则输出所作图形, 图中虚线为函数x arctan ,实线为它的近似多项式.实验习题1.求下列级数的和:(1);21∑∞=k kk(2);)12(112∑∞=-k k (3);)2(112∑∞=k k (4).)1(11∑∞=--k k k2. 求幂级数∑∞=+--012)5()1(n nn x 的收敛域与和函数.3. 求函数)1ln()1(x x ++的6阶麦克劳林多项式.4. 求x arcsin 的6阶麦克劳林多项式.5. 设1)(2+=x xx f ,求)(x f 的5阶和10阶麦克劳林多项式,把两个近似多项式和函数的图形作在一个坐标系内.实验2 微分方程（基础实验）实验目的理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用 Mathematica 求微分方程及方程组解的常用命令和方法.基本命令1. 求微分方程的解的命令DSolve对于可以用积分方法求解的微分方程和微分方程组,可用Dsolve 命令来求其通解或特解. 例如,求方程023=+'+''y y y 的通解, 输入DSolve[y ''[x]+3y '[x]+2y[x]==0,y[x],x]则输出含有两个任意常数C[1]和C[2]的通解:{}{}]2[C e ]1[C e ]x [y x x 2--+→注:在上述命令中,一阶导数符号 ' 是通过键盘上的单引号 ' 输入的,二阶导数符号 '' 要输入两个单引号,而不能输入一个双引号.又如,求解微分方程的初值问题:,10,6,03400='==+'+''==x x y y y y y输入Dsolve[{y''[x]+4 y'[x]+3y[x]==0,y[0]==6, y'[0]==10},y[x],x](*大括号把方程和初始条件放在一起*) 则输出{}{}x 2x 3e 148(e ]x [y +-→-2. 求微分方程的数值解的命令NDSolve对于不可以用积分方法求解的微分方程初值问题,可以用NDSolve 命令来求其特解.例如要求方程5.0,032=+='=x y x y y 的近似解)5.10(≤≤x , 输入NDSolve[{y'[x]==y[x]^2+x^3,y[0]==0.5},y[x],{x,0,1.5}] (*命令中的{x,0,1.5}表示相应的区间*) 则输出{{y->InterpolatingFunction[{{0.,1.5}},< >]}}注:因为NDSolve 命令得到的输出是解)(x y y =的近似值. 首先在区间[0,1.5]内插入一系列点n x x x ,,,21 , 计算出在这些点上函数的近似值n y y y ,,,21 , 再通过插值方法得到)(x y y =在区间上的近似解.3. 一阶微分方程的方向场一般地,我们可把一阶微分方程写为),(y x f y ='的形式,其中),(y x f 是已知函数. 上述微分方程表明:未知函数y 在点x 处的斜率等于函数 f 在点),(y x 处的函数值. 因此,可在Oxy 平面上的每一点, 作出过该点的以),(y x f 为斜率的一条很短的直线(即是未知函数y 的切线). 这样得到的一个图形就是微分方程),(y x f y ='的方向场. 为了便于观察, 实际上只要在Oxy 平面上取适当多的点,作出在这些点的函数的切线. 顺着斜率的走向画出符合初始条件的解,就可以得到方程),(y x f y ='的近似的积分曲线.例如,画出0)0(,12=-=y y dxdy的方向场. 输入<<Graphics`PlotField`g1=PlotVectorField[{1,1-y^2},{x,-3,3},{y,-2,2}, Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.16, HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25}];则输出方向场的图形,从图中可以观察到, 当初始条件为2/10=y 时, 这个微分方程的解介于1-和1之间, 且当x 趋向于-∞或∞时, )(x y 分别趋向于1-与1.下面求解这个微分方程, 并在同一坐标系中画出方程的解与方向场的图解. 输入sol=DSolve[{y'[x]==1-y[x]^2,y[0]==0},y[x],x];g2=Plot[sol[[1,1,2]],{x,-3,3},PlotStyle->{Hue[0.1],Thickness[0.005]}]; Show[g2,g1,Axes->None,Frame->True];则输出微分方程的解xxe e x y 2211)(++-=,以及解曲线与方向场的图形. 从中可以看到, 微分方程的解与方向场的箭头方向相吻合.实验内容用Dsolve 命令求解微分方程例2.1 求微分方程 22x xe xy y -=+'的通解. 输入Clear[x,y];DSolve[y '[x]+2x*y[x]==x*Exp[-x^2],y[x],x]或DSolve[D[y[x],x]+2x*y[x]==x*Exp[-x^2],y[x],x] 则输出微分方程的通解:⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+→--]1[C e x e 21]x [y 22x 2x其中C[1]是任意常数.例2.2 求微分方程0=-+'x e y y x 在初始条件e y x 21==下的特解.输入Clear[x,y];DSolve[{x*y ' [x]+y[x]-Exp[x]==0,y[1]==2 E},y[x],x]则输出所求特解:⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+→x e e ]x [y x 例2.3 求微分方程x e y y y x 2cos 52=+'-''的通解.输入DSolve[y ''[x]-2y '[x]+5y[x]==Exp[x]*Cos[2 x],y[x],x]//Simplify则输出所求通解:⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++→])x 2[Sin ])1[c 4x (2]x 2[Cos ])2[c 81((e 81]x [y x例2.4 求解微分方程x e x y +=''2, 并作出其积分曲线. 输入g1=Table[Plot[E^x+x^3/3+c1+x*c2,{x,-5,5},DisplayFunction->Identity],{c1,-10,10,5},{c2,-5,5,5}];Show[g1,DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出积分曲线的图形.例2.5 求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++02y x dtdy e y x dt dx t 在初始条件0,100====t t y x 下的特解.输入Clear[x,y,t];DSolve[{x' [t]+x[t]+2 y[t]==Exp[t], y'[t] -x[t]- y[t]==0,x[0]==1,y[0]==0},{x[t],y[t]},t]则输出所求特解:⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-→→])t [Sin ]t [Cos e (21]t [y ],t [Cos ]t [x t例2.6 求解微分方程,)1(122/5+=+-x x y dx dy 并作出积分曲线. 输入<<Graphics`PlotField`DSolve[y' [x]-2y[x]/(x+1)==(x+1)^(5/2),y[x],x]则输出所给积分方程的解为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++→]1[C )x 1()x 1(32]x [y 22/7下面在同一坐标系中作出这个微分方程的方向场和积分曲线(设),3,2,1,0,1,2,3---=C 输入t=Table[2(1+x)^(7/2)/3+(1+x)^2c,{c,-1,1}];g1=Plot[Evaluate[t],{x,-1,1},PlotRange->{{-1,1},{-2,2}},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction->Identity];g2=PlotVectorField[{1,-2y/(x+1)+(x+1)^(5/2)},{x,-0.999,1},{y,-4,4},Frame->True,ScaleFunction->(1&), ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01, PlotPoints->{20,25},DisplayFunction->Identity];Show[g1,g2,Axes->None,Frame->True,DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出积分曲线的图形.用NDSolve 命令求微积分方程的近似解例2.7 求初值问题:1,0)1()1(2.1=='-++=x y y xy y xy 在区间[1.2,4]上的近似解并作图. 输入fl=NDSolve[{(1+x*y[x])*y[x]+(1-x*y[x])*y'[x]==0,y[1.2]==1},y,{x,1.2,4}]则输出为数值近似解(插值函数)的形式:{{y->InterpolatingFunction[{{1.2,4.}},< >]}}用Plot 命令可以把它的图形画出来.不过还需要先使用强制求值命令Evalu-ate, 输入 Plot[Evaluate[y[x]/.fl],{x,1.2,4}] 则输出近似解的图形.如果要求区间[1.2,4]内某一点的函数的近似值, 例如8.1=x y ,只要输入y[1.8]/.fl则输出所求结果{3.8341}例2.8 求范德波尔(Van der Pel)方程5.0,0,0)1(02-='==+'-+''==x x y yy y y y在区间[0,20]上的近似解. 输入Clear[x,y];NDSolve[{y''[x]+(y[x]^2-1)*y'[x]+y[x]==0,y[0]==0,y'[0]==-0.5},y,{x,0,20}]; Plot[Evaluate[y[x]/.%],{x,0,20}]可以观察到近似解的图形.例2.9 求出初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='==+'+''0)0(,1)0(cos sin 22y y xy x y y 的数值解, 并作出数值解的图形.输入NDSolve[{y''[x]+Sin[x]^2*y'[x]+y[x]==Cos[x]^2,y[0]==1,y'[0]==0},y[x],{x,0,10}]Plot[Evaluate[y[x]/.%],{x,0,10}];则输出所求微分方程的数值解及数值解的图形例2.10 洛伦兹(Lorenz)方程组是由三个一阶微分方程组成的方程组.这三个方程看似简单, 也没有包含复杂的函数, 但它的解却很有趣和耐人寻味. 试求解洛伦兹方程组,0)0(,4)0(,12)0()(4)()()()()(45)()()()(16)(16)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-='-+-='-='z y x t z t y t x t z t y t x t z t x t y t x t y t x 并画出解曲线的图形.输入Clear[eq,x,y,z]eq=Sequence[x'[t]==16*y[t]-16*x[t],y'[t]==-x[t]*z[t]-y[t]+45x[t],z'[t]==x[t]*y[t]-4z[t]];sol1=NDSolve[{eq,x[0]==12,y[0]==4,z[0]==0},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,16},MaxSteps->10000];g1=ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t],y[t],z[t]}/.sol1],{t,0,16},PlotPoints->14400,Boxed->False,Axes->None];则输出所求数值解的图形. 从图中可以看出洛伦兹微分方程组具有一个奇异吸引子, 这个吸引子紧紧地把解的图形“吸”在一起. 有趣的是, 无论把解的曲线画得多长, 这些曲线也不相交.改变初值为,10)0(,10)0(,6)0(=-==z y x 输入sol2=NDSolve[{eq,x[0]==6,y[0]==-10,z[0]==10},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,24},MaxSteps->10000];g2=ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t],y[t],z[t]}/.sol2],{t,0,24},PlotPoints->14400,Boxed->False,Axes->None];Show[GraphicsArray[{g1,g2}]];则输出所求数值解的图形. 从图中可以看出奇异吸引子又出现了, 它把解“吸”在某个区域内, 使得所有的解好象是有规则地依某种模式缠绕.实验习题1. 求下列微分方程的通解:(1) ;0136=+'+''y y y (2) ();024=+''+y y y (3) ;2sin 52x e y y y x =+'-''(4) .)1(963x e x y y y +=+'-'' 2. 求下列微分方程的特解:(1) ;15,0,029400='==+'+''==x x y y y y y (2) .1,1,02sin ='==++''==ππx x y y x y y3. 求微分方程0cos 2)1(2=-+'-x xy y x 在初始条件10==x y下的特解.分别求精确解和数值解)10(≤≤x 并作图.4. 求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++t te y x dt dye y x dt dx235的通解.5. 求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎨⎧==+-==-+==4,081,0300t t y y x dt dyx y x dt dx的特解.6. 求欧拉方程组324x y y x y x =-'+''的通解.7. 求方程5,0,011='==+'+''==x x y y y y x y 在区间[0,4]上的近似解.实验3 抛射体的运动（综合实验）实验目的通过微分方程建模和Mathematica 软件,在项目一实验5的基础上,进一步研究在考虑空气阻力的情况下抛射体的运动.问题根据侦察,发现离我军大炮阵地水平距离10km 的前方有一敌军的坦克群正以每小时50km 向我军阵地驶来,现欲发射炮弹摧毁敌军坦克群. 为在最短时间内有效摧毁敌军坦克,要求每门大炮都能进行精射击,这样问题就可简化为单门大炮对移动坦克的精确射击问题. 假设炮弹发射速度可控制在0.2km/s 至0.5km/s 之间,问应选择怎样的炮弹发射速度和怎样的发射角度可以最有效摧毁敌军坦克.说明本节我们研究受到重力和空气阻力约束的抛射体的射程. 用))(),((t y t x 记抛射体的位置, 其中x 轴是运动的水平方向, y 轴是垂直方向. 通过在0=y 的约束下最大化x , 可以计算出使抛射体的射程最大的发射角. 假设0=t 时抛射体(炮弹)在原点(0,0)以与水平线夹角为,α初始速度为0v 发射出去. 它受到的空气阻力为.,⎪⎭⎫⎝⎛-=-=dt dy dt dx k kv F r (3.1)重力为).,0(mg F g -= (3.2) 在推导)(t x 和)(t y 所满足的微分方程之前, 补充一点说明:虽然我们将位置变量),(t x )(t y 仅写作t 的函数,但实际上位置变量还依赖于几个其它的变量或参数. 特别是,x 和y 也依赖于发射角α、阻力系数k 、质量m 及重力加速度g 等.为了推导x 和y 的方程, 按照牛顿定律,ma F =并结合重力的公式(3.2)和空气阻力的公式(3.1), 得到微分方程0)()(='+''t x k t x m (3.3)0)()(=+'+''mg t y k t y m (3.4)根据前面所述假设知, ),(t x )(t y 满足下列初始条件0)0(,0)0(==y x ,.sin )0(,cos )0(00ααv y v x ='=' (3.5)先求解)(t x ,由方程(3.3),令,x v '=可将其化为一阶微分方程.0=+'kv v m易求出其通解 .)(t m k Ce t v -=由,cos )0()0(0αv x v ='= 得αcos 0v C =,所以 .cos )(0t m k e v t v -=α从,x v '=通过积分得到x , 即 .cos )(0D e v k m t x t m k+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-α 由,0)0(=x 得,cos 0αv k m D ⎪⎭⎫ ⎝⎛= 所以 )1(cos )(0t m ke v k m t x --⎪⎭⎫ ⎝⎛=α (3.6) 类似地,可从方程(3.4)解出y . 令,y v '= 方程化为一阶微分方程, 两端除以m ,得.g v m k v -=+' 再在上述方程两端乘以积分因子.t m k e 得,t m k t m k t m k ge v e mk v e -=+' 即 ,)(t m k t m k ge ve dtd -= 两端积分得 .Ce kgm ve t m k t m k +-= 所以 .t m k Ce kgm v -+-= 利用初始条件αsin )0()0(0v v y =='确定其中的常数C 后, 积分v 得到y ,再次利用初始条件0)0(=y 确定任意常数后,则得到.sin )1(0αt m kt m k e v k m e k m t k m k gm y ---+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= (3.7) 下面我们利用公式(3.6)与(3.7)来描绘炮弹运行的典型图形. 假定炮弹发射的初速度为0.25km/s, 发射角为 55, 输入Clear[a,t,x,y,g,m,k]x[v_,a_,t_]:=(m/k)*v*Cos[a Pi/180]*(1-Exp[-(k/m)*t])y[v_,a_,t_]:=(g*m/k)((m/k)-t-(m/k)*Exp[-(k/m)*t])+(m/k)*v*Sin[a Pi/180]*(1-Exp[-(k/m)*t])g=9.8;m=5.0;k=0.01;炮弹飞行的时间由炮弹落地时的条件0y所确定. 输入=FindRoot[y[350,55,t]==0,{t,50}]则输出炮弹飞行的时间{t->57.4124}α时, 输入当发射角=65x[350,55, 57.4124]//N则输出炮弹的最大射程为10888.5现在我们可以画出炮弹运行的典型轨迹了. 输入ParametricPlot[{x[350,55,t],y[350,55,t]},{t,0,57.4124},PlotRange->{0,11000},AxesLabel->{x,y}]图3-1实验报告在上述假设下,进一步研究下列问题:(1) 选择一个初始速度和发射角,利用Mathematica画出炮弹运行的典型轨迹.(2) 假定坦克在大炮前方10km处静止不动,炮弹发射的初速度为0.32km/s,应选择什么样的发射角才能击中坦克?画出炮弹运行的几个轨迹图,通过实验数据和图形来说明你的结论的合理性.(3) 假定坦克在大炮前方10km处静止不动,探索降低或调高炮弹发射的初速度的情况下,应如何选择炮弹的发射角?从上述讨论中总结出最合理有效的发射速度和发射角.(4) 在上题结论的基础上,继续探索,假定坦克在大炮前方10km处以每小时50km向大炮方向前进,此时应如何制定迅速摧毁敌军坦克的方案?注:在研究过程中,还要包括适当改变阻力系数k与炮弹的质量m所带来的变化.实验4 蹦极跳运动（综合实验）实验目的利用Mathematica软件,通过微分方程建模,研究蹦极跳运动.问题在不考虑空气阻力和考虑空气阻力等多种情况下,研究蹦极跳运动中,蹦极者与蹦极绳设计之间的各种关系.说明蹦极绳相当于一根粗橡皮筋或有弹性的绳子. 当受到张力使之超过其自然长度,绳子会产生一个线性回复力, 即绳子会产生一个力使它恢复到自然长度, 而这个力的大小与它被拉伸的长度成正比. 在一次完美的蹦极跳过程中, 蹦极者爬上一座高桥或高的建筑物, 把绳的一头系在自己身上, 另一头系在一个固定物体如桥栏杆上, 当他跳离桥时, 激动人心的时刻就到来了. 这里要分析的是蹦极者从跳出那一瞬间起他的运动规律.首先要建立坐标系. 假设蹦极者的运动轨迹是垂直的, 因此我们只要用一个坐标来确定他在时刻t 的位置. 设y 是垂直坐标轴, 单位为英尺, 正向朝下, 选择0=y 为桥平面, 时间 t 的单位为秒, 蹦极者跳出的瞬间为,0=t 则)(t y 表示t 时刻蹦极者的位置. 下面我们要求出 )(t y 的表达式.由牛顿第二定律, 物体的质量乘以加速度等于物体所受的力. 我们假设蹦极者所受的力只有重力、空气阻力和蹦极绳产生的回复力. 当然, 直到蹦极者降落的距离大于蹦极绳的自然长度时, 蹦极绳才会产生回复力. 为简单起见, 假设空气阻力的大小与速度成正比, 比例系数为1, 蹦极绳回复力的比例系数为0.4. 这些假设是合理的, 所得到的数学结果与研究所做的蹦极实验非常吻合. 重力加速度./322s ft g =现在我们来考虑一次具体的蹦极跳. 假设绳的自然长度为,200ft L = 蹦极者的体重为 160lb ①,则他的质量为532/160==m 斯②. 在他到达绳的自然长度(即)200-=-=L y 前, 蹦极者的坠落满足下列初值问题:,1v mg dt dy --= .0)0(=v 利用Mathematica 求解上述问题. 输入g=32; m=5; L=200;{{v1[t_],y1[t_]}}={v[t],y[t]}/.DSolve[{v'[t]==-g-v[t]/m,y'[t]==v[t],v[0]==0,y[0]==0},{v,y},t]则输出)}}t e e 55(e 160),e 1(e 160{{5/t 5/t 5/t 5/t 5/t +--+----蹦极者坠落L 英尺所用的时间为t1=t/.FindRoot[y1[t]==-L,{t,2}]4.00609现在我们需要找到当蹦极绳产生回复力后的运动初始条件. 当1t t >时, 蹦极者的坠落满足方程)(4.01y L mv m g dt dv +---= 初始条件为).1(1)1(,)1(t v t v L t y =-=解初值问题:{{v2[t_],y2[t_]}}={v[t],y[t]}/.DSolve[{v'[t]==-g-v[t]/m-0.4*(L+y[t])/m,y'[t]==v[t],v[t1]==v1[t1],y[t1]==-L},{v,y},t]则输出所求解, 这个解是用复指数函数来表示的.现在蹦极者的位置由命令bungeey[t_]=If[t<t1,y1[t],y2[t]]给出, 输入命令Plot[bungeey[t],{t,0,40},PlotRange->All]则输出位置-时间图形(图4-1)图4-1从上图可以看出, 蹦极者在大约13s内由桥面坠落770ft, 然后弹回到桥面下550ft, 上下振动几次, 最终降落到桥面下大约600ft处.实验报告1.在上述问题中(),=wL求出需要多长时间蹦极者才能到达他运动轨迹上的,200=160最低点, 他能下降到桥面下多少英尺?2.用图描述一个体重为195lb, 用200ft长绳子的蹦极者的坠落. 在绳子对他产生力之前, 他能做多长时间的“自由”降落?3.假设你有一根300ft长的蹦极索, 在一组坐标轴上画出你所在实验组的全体成员的运动轨迹草图.4.一个55岁, 体重185lb的蹦极者, 用一根250ft长的蹦极索. 在降落过程中, 他达到的最大速度是多少? 当他最终停止运动时, 他被挂在桥面下多少英尺?5.用不同的空气阻力系数和蹦极索常数做实验, 确定一组合理的参数, 使得在这组参数下, 一个160lb的蹦极者可以回弹到蹦极索的自然长度以上.6.科罗拉多的皇家乔治桥(它跨越皇家乔治峡谷)距谷底1053ft, 一个175lb的蹦极者希望能正好碰到谷底, 则他应使用多长的绳子?7.假如上题中的蹦极者体重增加10lb, 再用同样长的绳子从皇家乔治桥上跳下, 则当他撞到乔治峡谷谷底时, 他的坠落速度是多少?参考文献[1] 吴赣昌等. 高等数学多媒体学习系统, 海南出版社, 2005[2] 吴赣昌等. 线性代数多媒体学习系统, 海南出版社, 2005[3] 吴赣昌等. 概率论与数理统计多媒体学习系统, 海南出版社, 2005[4] A.D.Andrew, G.L.Cain, S.Crum, T.D.Morley. 用Mathematica 做微积分实验. 俞正光, 章纪民译. 清华大学出版社, 2003[5] 章栋恩,许晓革. 高等数学实验, 高等教育出版社, 2004[6] 上海市教育委员会组编. 高等数学. 科学出版社, 1998[7] 赵静等. 工科数学实验. 高等教育出版社, 1999[8] 乐经良, 向隆万, 李世栋. 数学实验. 高等教育出版社, 1999[9] 李尚志, 陈发来等. 数学实验. 高等教育出版社, 1999[10] 梁浩云. Mathematica 软件与数学实验. 华南理工大学出版社. 2001[11] 张韵华. 符号计算系统Mathematica 教程. 科学出版社. 2001[12] 邓建松. Mathematica 使用指南. 彭冉冉译. 麦格劳－希尔出版社. 2002。

院校资料无穷级数.pptx

sn
,
这时级数发散.
若q 1,这时sn na (n ),因此级数发散. 若q 1,这时级数成为a a a a 此级数发散。
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综上所述,几何级数
aqn a aq aq2 aqn
当|q|<1时级数收敛,且收敛于 n0，当|q|≥1时级a数发散.
1 q
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对于无穷级数 un u1 u2 un
n1
记Ｓ１ｕ１，
Ｓ２ｕ，１ｕ２，
Ｓｎ u1 u2 un ,
称Sｎ为级数的部分和，称 { Ｓｎ} 为级数的部分和数列.
考察下列级数的部分和： 1
1 2
1 22
1 23
1 2n1
1 23 n
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对于 1 1 1 1 1
p 1 时, p 1 时,
收敛发散
注意
几何级数
n1
1 pn
当当
p p
1 时, 1 时,
收敛发散
1 收敛 3
n1 n 2
1 发散
n1 n
1 收敛
n1 n n
1 收敛
n1 2n
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例5 判别级数
解
因为
的敛1散性.
n1 n 1 n
1
1
1
1
n 1
n2
n1 2
2n 2
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定理1 正项级数它的部分和数列{sn}有上界.
u 收敛的充要条件是： n n1
证必要性:
若
{Sn} 有界
un 收敛
n1
lim
n
Sn
存在
{Sn} 有上界.

无穷级数及应用

无穷级数及应用无穷级数是指由无穷多个数相加或相乘得到的数列的和或积。

在数学中，无穷级数是一个非常重要的概念，在各个分支领域都有广泛的应用。

首先，我们来介绍一下常见的无穷级数。

最简单的无穷级数就是等差数列的求和。

例如，等差数列1，2，3，4，5，…可以表示为∑(n=1 to ∞) n。

这个级数的和可以通过使用等差数列求和公式得到，即S = (n/2)(a1 + an)，其中n是项数，a1是首项，an是末项。

对于这个等差数列，n趋近于无穷大时，即n→∞，项数趋近于无穷，我们可以求得其和为S = ∞。

除了等差数列的求和，无穷级数还有其他的形式。

例如，等比数列的求和。

一个等比数列是指每个数都是前一个数乘以一个固定的比例。

例如，等比数列1，2，4，8，16，…可以表示为∑(n=1 to ∞) 2^(n-1)。

这个级数也可以求和，方法是将其拆分为首项和剩余项两部分，然后应用等比数列求和公式。

对于这个等比数列，当n→∞时，项数趋近于无穷，我们可以求得其和为S = 1/(1-r)，其中r是比例。

接下来，我们来介绍一些无穷级数的应用。

无穷级数在数学中的应用非常广泛，以下是一些常见的应用领域。

1. 数值逼近：通过计算无穷级数的部分和，我们可以逼近某些数值。

例如，π可以表示为莱布尼茨级数∑(n=0 to ∞) ((-1)^n) / (2n + 1)的部分和。

通过计算级数的前几项，我们可以得到一个越来越接近π的数值逼近。

2. 函数展开：通过使用泰勒级数，我们可以将某些函数展开为无穷级数形式。

泰勒级数是一种函数在某个点附近的近似表达式，它可以用无穷项的多项式进行逼近。

例如，e^x可以展开为泰勒级数∑(n=0 to ∞) (x^n) / n!。

通过不断增加此级数的项数，我们可以得到e^x的不断逼近结果。

3. 物理应用：无穷级数在物理学中的应用非常广泛。

例如，万有引力定律可以使用无穷级数进行展开，从而得到距离非常近或非常远的物体之间的引力。

无穷级数重要知识点总结

无穷级数重要知识点总结一、无穷级数的定义1.1 无穷级数的概念无穷级数是一种特殊的数列求和形式。

它由一个无穷数列的项之和构成，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中a1, a2, a3, ...是数列的项。

无穷级数的和是用极限的概念来定义的，即当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和趋于一个确定的数。

1.2 无穷级数的收敛和发散无穷级数有两种基本的收敛性质：收敛和发散。

当无穷级数的和存在时，我们称这个级数是收敛的；当无穷级数的和不存在时，我们称这个级数是发散的。

1.3 无穷级数的通项无穷级数的通项是指级数中每一项的公式表示。

通项的形式多种多样，可以是一个简单的代数式，也可以是一个复杂的函数表达式。

通项的形式对于判断无穷级数的收敛性有着重要的作用。

二、无穷级数的性质2.1 无穷级数的加法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的和也存在，并且等于这两个级数的和的和。

即∑(ai + bi) = ∑ai + ∑bi。

2.2 无穷级数的乘法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的乘积也存在，并且等于这两个级数的乘积的和。

即(∑ai) * (∑bi) = ∑(ai * bi)。

2.3 无穷级数的极限性质当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和会趋于一个确定的数。

这个极限的存在性和确定性是无穷级数的一个重要性质。

2.4 无穷级数的收敛性质对于一个给定的无穷级数，我们需要研究它的收敛性质，即它是否收敛、以及收敛到哪个数。

无穷级数的收敛性质对于很多数学问题有着深远的影响。

2.5 无穷级数的发散性质发散是无穷级数的另一个重要性质，它表示无穷级数的和不存在。

级数实验

大学数学实验报告
无穷级数与函数逼近
班级＿＿＿＿＿＿＿
姓名＿＿＿＿＿＿＿
学号＿＿＿＿＿＿＿
指导教师＿＿＿＿＿＿＿
实验时间＿＿＿＿＿＿＿
实验所用软件及版本： 4.1
实验目的：
（1）掌握用软件进行级数运算、求傅立叶级数的语句和方法。
（2）用软件显示级数的部分和的变化趋势。
（3）学会如何利用幂级数的部分和对函数的逼近以及进行函数值的近似计算。
（2）将在点处展开到的4次幂。
3.利用幂级数展开式计算
4.设周期为的周期函数在一个周期内的表达式为
试生成的傅里叶级数，并从图上观察该级数的部分和逼近的情况。
实验步骤与实验结论
选作实验：
设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，将分解成简谐振动的叠加形式。
实验步骤与实验结论
创新实验：
试在同一屏幕上作出及它的阶傅里叶多项式的图形，观察逼近的情况。
实验步骤与实验结论
教师评：
（4）展示傅里叶级数对周期函数的逼近情况。
实验涉及的语句：
语句一：
－求级数的和（和函数），其中为级数的通项，为的起始值，为终止值，当从1开始时，可以省略。
语句二：
－把函数在点处展开到 - 的次幂。
语句三：
语句四：
必作实验：
1.观察的部分和序列的变化趋势，并求和。
2.（1）分别将，，在点处展开到的5次幂。

阿基里斯“悖论”里收敛的无穷级数

阿基里斯“悖论”里收敛的无穷级数阿基里斯“悖论”里收敛的无穷级数在数学和逻辑哲学中，阿基里斯“悖论”是一种经典的思维实验，旨在探讨无穷级数和收敛性的概念。

通过这个故事，我们可以更深入地理解无穷级数的收敛性，以及其中蕴含的哲学意义。

1. 阿基里斯和乌龟的故事让我们回顾一下阿基里斯和乌龟的故事。

故事中阿基里斯和乌龟进行了一场赛跑，阿基里斯一直在追赶乌龟。

然而，根据悖论的设定，无论阿基里斯跑得多快，乌龟总是能保持领先。

这个故事挑战了人们对无穷序列和收敛性的直觉，引发了无数的思考和讨论。

2. 无穷级数的概念接下来，让我们深入探讨无穷级数的概念。

无穷级数是由无穷多个项相加而得到的总和，例如1+1/2+1/4+1/8+…。

我们希望知道在这个序列中，项的和是否趋向于一个有限的值，即收敛。

这涉及到数学分析中的极限和收敛性的讨论。

3. 阿基里斯“悖论”中的收敛性将阿基里斯“悖论”和无穷级数联系起来，我们可以发现一个有趣的现象。

在故事中，乌龟的领先始终保持，这就好像无穷级数的和始终保持在某个特定的值上。

这引发了对无穷级数收敛性的深入思考，以及对极限概念在现实场景中的应用。

4. 个人观点和理解在我看来，阿基里斯“悖论”中的收敛性启示我们在面对复杂问题时，应该审慎对待直觉。

数学和逻辑世界中的一些悖论可能会挑战我们的认知，但这正是推动我们思维进步的动力。

对于无穷级数的收敛性，我们需要通过严谨的数学证明和逻辑推理来理解，而不是依靠直觉和直观。

5. 总结阿基里斯“悖论”里收敛的无穷级数是一个复杂而有深度的主题。

通过故事和数学概念的结合，我们不仅可以深入理解收敛性的概念，还可以对无穷序列和极限有更清晰的认识。

在思考这个问题的过程中，我们也应该不断挑战自己的认知，以更开放的心态去探索数学和哲学的奥秘。

让我们回顾一下阿基里斯“悖论”，并对无穷级数的收敛性进行更深入的思考。

愿我们在求知的道路上能够不断前行，超越直觉，探索数学和逻辑的奥秘。

无穷级数实验报告

一、实验目的1. 理解无穷级数的概念及其在数学和工程中的应用。

2. 掌握MATLAB软件在求解无穷级数中的应用。

3. 通过实际操作，加深对无穷级数收敛性、收敛域的理解。

二、实验原理无穷级数是数学中一种重要的数学工具，它将无限多个数按照一定的规律排列起来，形成一种表达形式。

在数学分析、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

无穷级数分为收敛级数和发散级数，其中收敛级数是指当项数无限增加时，级数的和趋于某一固定值。

傅里叶级数是无穷级数的一种，它将周期函数表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。

通过傅里叶级数，我们可以了解周期函数的频谱特性以及各个频率分量对函数形状的贡献程度。

三、实验内容1. 实验一：求解e的近似值（1）原理：利用e的泰勒级数展开式 e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...，通过计算前n项的和来逼近e的值。

（2）操作步骤：a. 定义一个函数，计算n项泰勒级数的和；b. 在MATLAB中，对不同的n值进行计算，观察逼近程度；c. 分析n与逼近程度的关系。

2. 实验二：求解π的近似值（1）原理：利用π的莱布尼茨级数展开式π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...，通过计算前n项的和来逼近π的值。

（2）操作步骤：a. 定义一个函数，计算n项莱布尼茨级数的和；b. 在MATLAB中，对不同的n值进行计算，观察逼近程度；c. 分析n与逼近程度的关系。

3. 实验三：求解无穷级数收敛性（1）原理：判断无穷级数的收敛性，可以通过比值法则、根值法则等方法。

（2）操作步骤：a. 定义一个函数，计算级数的通项；b. 利用比值法则或根值法则，判断级数的收敛性；c. 分析级数的收敛域。

四、实验结果与分析1. 实验一：计算e的近似值通过MATLAB计算，当n=10时，e的近似值为2.71828，与实际值相差很小。

随着n的增加，近似值越来越接近实际值。

2. 实验二：计算π的近似值通过MATLAB计算，当n=10时，π的近似值为3.14159，与实际值相差很小。

无穷级数教学实践(3篇)

第1篇一、引言无穷级数是数学分析中的一个重要分支，它研究的是无穷多个数相加的结果。

在高等数学教学中，无穷级数的教学对于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力具有重要意义。

本文将结合教学实践，探讨无穷级数的教学方法、教学策略以及存在的问题和改进措施。

二、教学目标1. 理解无穷级数的基本概念和性质。

2. 掌握常见的无穷级数收敛与发散的判别方法。

3. 能够运用无穷级数解决实际问题。

4. 培养学生的逻辑思维能力和严谨的数学素养。

三、教学方法1. 讲授法：教师通过讲解无穷级数的基本概念、性质和判别方法，引导学生逐步理解无穷级数的内涵。

2. 例题分析法：通过典型例题的讲解，让学生掌握无穷级数的计算方法和应用技巧。

3. 启发式教学：教师提出问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣和求知欲。

4. 小组讨论法：将学生分成小组，讨论无穷级数的相关问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

5. 实践教学：利用计算机软件（如MATLAB、Mathematica等）进行无穷级数的计算和分析，提高学生的实践操作能力。

四、教学策略1. 注重基础知识：在教学中，教师应注重对无穷级数基本概念和性质的讲解，为学生后续学习打下坚实的基础。

2. 循序渐进：从简单的无穷级数开始，逐步过渡到复杂的无穷级数，让学生在逐步掌握知识的过程中提高数学思维能力。

3. 强化练习：通过大量的练习题，让学生熟练掌握无穷级数的计算方法和应用技巧。

4. 注重实际应用：结合实际应用案例，让学生了解无穷级数在各个领域的应用，提高学生的学习兴趣。

5. 关注学生个体差异：针对不同学生的学习水平和兴趣，教师应采取不同的教学策略，使每个学生都能在教学中得到提高。

五、教学实践案例分析案例一：讲解无穷级数收敛与发散的判别方法。

教学过程：1. 教师讲解无穷级数收敛与发散的概念。

2. 通过典型例题，让学生掌握判别无穷级数收敛与发散的方法。

3. 学生分组讨论，分析不同类型无穷级数的收敛与发散情况。

无穷级数获奖课件

与前者矛盾. 故调和级数发散. 但 lim 1 0.
n n
15
法二: 能够用定积分旳定义来证明调和级数旳发散性.
1
k1
lim
n n n1
k n1
k k 1
lim n k n1 k
lim k 1 1
k k
n1
n k
11
1
0
dx ln x
x
0
16
法三: 也可用拉格朗日中值定理证明.
unk
则 vk的部分和是Sk* v1 v2 vk Snk n1
而由nk k知,
若k ,
必有nk , 即
lim
nk
Snk
s
故
lim
k
Sk
*
lim
nk
Snk
s
12
注5 此定理表白收敛级数适合结合律.即收敛级数加括号仍为收敛级数. 注6 其逆否命题为 “若加括号后所成旳级数发散,则原级数也发散.” 注7 发散级数加括号后级数有可能收敛,即 “加括号后所成旳级数收敛, 原级数不一定收敛.” 例级数 a a a a (1)n1 a 是发散级数. 但将相邻旳两项加括号后所得级数
)
且
11 Sn 1 2 2 3
1 n (n 1)
所以
(1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 1
2 23
n n1
n1
1
lim
n
Sn
lim(1
n
n
) 1
1
故级数收敛, 其和为1. 5
例3 讨论几何级数(或等比级数)
aqn1 a aq aq2
n1
aqn1
第9章无穷级数

无穷级数(数项级数幂级数)15页word文档

无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 ++++=∑∞=n 211n n a a a an a 称为一般项或通项 n 21n u u u S +++= 称为前n 项部分和例1、++++==n210310310330.31 +++++n 321+-++-+--1n 1)(11112、定义 ∑==n1K K n u Sn 1n n S S a -=+如{}n S 收敛，则∑∞=1n n a 收敛3、几个重要级数等比级数（几何） ∑∞=0n n aq ，当1q < 收敛，1q ≥ 发散；P 级数 1P n11n P>∑∞= 收敛，1P ≤ 发散；当1P =，∑∞=1n n1又称调和级数。

4、级数性质性质5是级数收敛的必要条件即 ∑∞=1n n a 收敛 0a l i m n n =→∞→例1、∑∞=+1n 12n 1-n 发散，∵ 02112n 1n lima lim n n n ≠=+-=∞→∞→ 例2、∑∞=-1n n n3n 3 发散，∵ 013n 3lim n nn ≠-=-∞→例3、∑∞=1n n 1发散，但0n 1lim n =∞→ 20正项级数判别法0u u n 1n n≥∑∞=正项级数部分和数列{}n S 单调递增∴ 正项级数收敛部分和数列有上界1、比较判别法设n n u V ≥，如∑∞=1n n V 收敛，则∑∞=1n n u 收敛如∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n V 发散例、判别下列级数敛散性（1）∑∞=+1n 2n4n 1 （2）∑∞=π1n 22n 3n sin解（1）由于n151n 4n 1n4n 1222⋅=+≥+ ∵∑∞=1n n1发散，∴原级数发散（2）由于222n1n 3n sin ≤π，而∑∞=1n 2n 1收敛，∴原级数收敛比较判别法的极限形式如A V u limnnn =∞→ 则有+∞<<A 0时 ∑∞=1n n u ，∑∞=1n n V ，同时收敛，同时发散A=0如∑∞=1n n V 收敛，则∑∞=1n n u 收敛A=+∞ 如∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n V 收敛判别下列级数敛散性例、∑∞=+1n n1n ln1n1n 1n ln limn =+∞→ 又∑∞=1n n 1发散，∴原级数发散例、（1）∑∞=++1n 2n1n 1（2）∑∞=-1n )n 1cos (1（3）∑∞=2n n lnn解：（1）由1nn n n lim n1n n n 1lim2n 2n =++=++∞→∞→（2）21n 12n 1lim n 1n 1cos 1lim 22n 2n ==-∞→∞→∵ ∑∞=1n 2n1收敛 ∴原级数收敛（3）∵ 3)(n n1n lnn ≥> ∵ ∑∞=1n n1发散， ∴∑∞=1n nlnn发散2、比值判别法设正项级数∑∞=1n n u 的一般项满足ρ=+∞→n 1n n u u lim则当1<ρ时，级数收敛，1>ρ时发散，1=ρ不定3、根值法设∑∞=1n n u 为正项级数，如ρ=∞→n n n u lim则当1<ρ时，级数收敛，1>ρ时发散，1=ρ不定正项级数判别其敛散性的步骤：首先考察⎩⎨⎧=≠∞→00u lim n n①如n u 中含!n 或n 的乘积通常选用比值法；②如n u 是以n 为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法； ③如n u 含形如αn （α可以不是整数）因子，通常用比较法； ④利用级数性质判别其敛散性；⑤据定义判别级数敛散性，考察n n S lim ∞→是否存在，实际上考察{}n S 是否有上界。

(整理)实验1无穷级数(基础实验).

高等数学数学实验报告无穷级数

高等数学数学实验报告实验人员：院（系） _电子科学与工程学院_ 学号_06211623_ 姓名_吴晓锋_ 实验地点：计算机中心机房实验一一、实验题目观察∑∞=1!n n n n 的部分和序列的变化趋势，并求和二、实验目的和意义学会如何利用幂级数的部分和对函数进行逼近以及函数值的近似计算。

三、计算公式∑∞=1!n n n n四、程序设计（1）逼近（2）求和五、程序运行结果N[Sum[n!/n n,{n,Infinity}],50]Output= 1.87985386217525853349六、结果的讨论和分析通过利用mathematics可以直观的看出逼近图像，利用Table命令可以生成部分和的序列的数据点，同时控制点的疏密程度以利于观测。

利于软件求部分和十分快速，精确，不失为一种求和的好方法。

实验二一、实验题目观察函数,0()1,0x xf xxππ--≤<⎧=⎨≤<⎩展成的Fourier级数的部分和逼近()f x的情况。

二、实验目的和意义本实验的目的是用Mathematica显示级数部分和的变化趋势；学会如何利用幂级数的部分和对函数进行逼近以及函数值的近似计算；展示Fourier级数对周期函数的逼近情况。

三、计算公式⎰=ππ-f(x )dx π1a ⎰=ππ-nx dx x )cos (f π1n a ⎰=ππ-nx dx x )sin (f π1n b四、程序设计五、程序运行结果六、结果的讨论和分析如初值对结果的影响；不同方法的比较；该方法的特点和改进；整个实验过程中（包括程序编写，上机调试等）出现的问题及其处理等广泛的问题，以此扩大知识面和对实验环节的认识。

无穷级数实验报告总结

一、实验目的本次实验旨在通过实际操作，加深对无穷级数概念的理解，掌握判断无穷级数敛散性的方法，并学会利用无穷级数解决实际问题。

二、实验内容1. 几何级数的敛散性首先，我们研究了几何级数的敛散性。

实验中，我们选取了不同的公比q，观察级数的前几项，发现当q的绝对值大于1时，级数发散；当q的绝对值小于1时，级数收敛；当q等于-1时，级数呈现周期性变化，但整体上仍然是收敛的。

此外，我们还讨论了当q等于1时，级数发散的情况。

2. 判断级数敛散性的方法接着，我们学习了利用定义判断级数敛散性的方法。

首先，写出级数的部分和数列，然后求出部分和数列的通项。

最后，求出部分和数列的极限。

如果极限存在且为常数，则级数收敛；否则，级数发散。

3. 无穷级数在实际问题中的应用为了更好地理解无穷级数，我们探讨了无穷级数在实际问题中的应用。

例如，利用无穷级数求解积分、求解微分方程等。

通过实际操作，我们发现无穷级数在解决实际问题中具有很高的实用价值。

三、实验结果与分析1. 几何级数的敛散性实验结果表明，几何级数的敛散性与其公比q的绝对值有密切关系。

当q的绝对值大于1时，级数发散；当q的绝对值小于1时，级数收敛；当q等于-1时，级数收敛，但呈现周期性变化。

2. 判断级数敛散性的方法实验结果表明，通过定义判断级数敛散性的方法简单易行。

只需求出部分和数列的极限，即可判断级数的敛散性。

3. 无穷级数在实际问题中的应用实验结果表明，无穷级数在解决实际问题中具有很高的实用价值。

通过无穷级数，我们可以求解一些难以直接求解的积分和微分方程。

四、实验结论1. 几何级数的敛散性与其公比q的绝对值有密切关系，掌握了这一规律，我们可以快速判断几何级数的敛散性。

2. 利用定义判断级数敛散性的方法简单易行，对于一般级数，我们可以通过求部分和数列的极限来判断其敛散性。

3. 无穷级数在解决实际问题中具有很高的实用价值，掌握无穷级数的相关知识，有助于我们解决一些实际问题。

实验数列与级数

实验3 数列与级数级数是微积分乃至整个数学分析最重要的基本内容之一。

远在公元前三世纪，古希腊人Archimedes 就采用了数列极限的思想来计算曲边三角形的面积。

本实验的目的是通过计算机发现数列的规律、极限状态的性质。

所谓一个无穷数列是指按一定顺序排列的一串数字1a ,2a ,... ,n a , (1)而一个无穷级数则是用无穷项数字构成的和式∑∞=1n n a= 1a +2a + (2)数列与级数有密不可分的关系。

给定一个无穷级数（2），它唯一地确定了一个无穷数列 1S , 2S ,…其中n S = 1a +2a +…+n a , n = 1,2 ,… .反过来，给定一个无穷数列（1），它也唯一地确定了一个无穷级数∑∞=1n n b这里1b = 1a ,1--=n n n a a b ,n = 2 ,3 ,… 。

并且，无穷级数的和就是相应的无穷数列的极限。

因此，无穷数列与无穷级数是可以相互转化的。

给定的数列{n a } ,人们最关心的问题是：1．数列n a 有什么规律与性质？2．当n →∞时，数列n a 的极限是什么？3．极限是否是一个有限的数字？还是无穷大？抑或根本不存在？4．如果极限是无穷大，那么它趋于无穷大的阶是什么？5．如果数列的极限根本不存在，那么在无穷大的极限状态又怎么样？对于给定的一个无穷级数，也可以提出上述类似的问题。

本实验将通过计算机图示的方法来帮助我们发现数列的规律及其极限行为。

我们以Fibonacci 数列为例来探讨上述问题。

3.1 Fibonacci 数列给定如下的数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……其递推关系式由n n n F F F +=++12, 1=n ，2，…， 11=F ,12=F (3)给出，该数列被称为Fibonacci 数列。

Fibonacci 数列经常以著名的养兔问题提出来。

某人养了一对兔子（公母各一只）。

一月后，这对兔子生了一对小兔。

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实验1无穷级数(基础实验)项目四无穷级数与微分方程实验1 无穷级数（基础实验）实验目的观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的逼近. 掌握用Mathematica求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法.基本命令1. 求无穷和的命令Sum该命令可用来求无穷和. 例如,输入Sum[1/n^2,{n,l,Infinity}]则输出无穷级数的和为«Skip Record If...»命令Sum与数学中的求和号«Skip Record If...»相当.2. 将函数展开为幂级数的命令Series该命令的基本格式为Series[f[x],{x,x0,n}]它将«Skip Record If...»展开成关于«Skip Record If...»的幂级数. 幂级数的最高次幂为«Skip Record If...»余项用«Skip Record If...»表示. 例如,输入Series[y[x],{x,0,5}]则输出带皮亚诺余项的麦克劳林级数«Skip Record If...»3. 去掉余项的命令Normal在将«Skip Record If...»展开成幂级数后, 有时为了近似计算或作图, 需要把余项去掉. 只要使用Normal命令. 例如,输入Series[Exp[x],{x,0,6}]Normal[%]则输出«Skip Record If...»«Skip Record If...»4. 强制求值的命令Evaluate如果函数是用Normal命令定义的, 则当对它进行作图或数值计算时, 可能会出现问题. 例如,输入fx=Normal[Series[Exp[x],{x,0,3}]]Plot[fx,{x,-3,3}]则只能输出去掉余项后的展开式«Skip Record If...»而得不到函数的图形. 这时要使用强制求值命令Evaluate, 改成输入Plot[Evaluate[fx],{x,-3,3}]则输出上述函数的图形.5. 作散点图的命令ListPlotListPlot [ ]为平面内作散点图的命令, 其对象是数集,例如,输入仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127ListPlot[Table[j^2,{j,16}],PlotStyle->PointSize[0,012]]则输出坐标为«Skip Record If...»的散点图(图1.1).图1.16. 符号“/；”用于定义某种规则,“/；”后面是条件. 例如,输入Clear[g,gf];g[x_]:=x/;0<=x<1g[x_]:=-x/;-1<=x<0g[x_]:=g[x –2]/;x>=1则得到分段的周期函数«Skip Record If...»再输入gf=Plot[g[x],{x,-1,6}]则输出函数«Skip Record If...»的图形1.2.图1.2注:用Which 命令也可以定义分段函数, 从这个例子中看到用“…(表达式)/; …(条件)”来定义周期性分段函数更方便些. 用Plot 命令可以作出分段函数的图形, 但用Mathematica 命令求分段函数的导数或积分时往往会有问题. 用Which 定义的分段函数可以求导但不能积分. Mathematica 内部函数中有一些也是分段函数. 如:Mod[x,1],Abs[x],Floor[x]和UnitStep[x]. 其中只有单位阶跃函数UnitStep[x]可以用Mathematica 命令来求导和求定积分. 因此在求分段函数的傅里叶系数时, 对分段函数的积分往往要分区来积. 在被积函数可以用单位阶跃函数UnitStep的四则运算和复合运算表达时, 计算傅里叶系数就比较方便了.实验举例数项级数例1.1 (教材例1.1)(1)观察级数«Skip Record If...»的部分和序列的变化趋势.(2) 观察级数«Skip Record If...»的部分和序列的变化趋势.输入s[n_]=Sum[1/k^2,{k,n}];data=Table[s[n],{n,100}];ListPlot[data];N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}]]N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}],40]则输出(1)级数的近似值为1.64493.输入s[n_]=Sum[1/k,{k,n}];data=Table[s[n],{n,50}];ListPlot[data,PlotStyle->PointSize[0.02]];则输出(2)例1.2 (教材例1.2) 画出级数«Skip Record If...»的部分和分布图.输入命令Clear[sn,g];sn=0;n=1;g={};m=3;While[1/n>10^-m,sn=sn+(-1)^(n-1)/n;g=Append[g,Graphics[{RGBColor[Abs[Sin[n]],0,1/n],仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127Line[{{sn,0},{sn,1}}]}]];n++];Show[g,PlotRange->{-0.2,1.3},Axes->True];则输出所给级数部分和的图形（图1.5）,从图中可观察到它收敛于0.693附近的一个数.例1.3 求«Skip Record If...»的值.输入Sum[x^(3k),{k,1,Infinity}]得到和函数«Skip Record If...»例1.4 (教材例1.3)设«Skip Record If...»求«Skip Record If...».输入Clear[a];a[n_]=10^n/(n!);vals=Table[a[n],{n,1,25}];ListPlot[vals,PlotStyle->PointSize[0.012]]则输出«Skip Record If...»的散点图（1.6）,从图中可观察«Skip Record If...»的变化趋势. 输入 Sum[a[n],{n,l,Infinity}]图1.6求幂级数的收敛域例1.5 (教材例1.4)求«Skip Record If...»的收敛域与和函数.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127输入Clear[a];a[n_]=4^(2n)*(x-3)^n/(n+1);stepone=a[n+1]/a[n]//Simplify则输出«Skip Record If...»再输入steptwo=Limit[stepone,n->Infinity]则输出«Skip Record If...»这里对a[n+1]和a[n]都没有加绝对值. 因此上式的绝对值小于1时, 幂级数收敛; 大于1 时发散. 为了求出收敛区间的端点, 输入ydd=Solve[steptwo==1,x]zdd=Solve[steptwo==-1,x]则输出«Skip Record If...»由此可知,当«Skip Record If...»时,级数收敛,当«Skip Record If...»或«Skip Record If...»时,级数发散.为了判断端点的敛散性, 输入Simplify[a[n]/.x->(49/16)]则输出右端点处幂级数的一般项为«Skip Record If...»因此,在端点«Skip Record If...»处,级数发散. 再输入Simplify[a[n]/.x->(47/16)]则输出左端点处幂级数的一般项为«Skip Record If...»因此,在端点«Skip Record If...»处, 级数收敛.也可以在收敛域内求得这个级数的和函数. 输入Sum[4^(2n)*(x-3)^n/(n+1),{n,0,Infinity}]则输出«Skip Record If...»函数的幂级数展开例1.6 (教材例1.5)求«Skip Record If...»的6阶麦克劳林展开式.输入Series[Cos[x],{x,0,6}]则输出«Skip Record If...»注:这是带皮亚诺余项的麦克劳林展开式.例1.6 (教材例1.6)求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的6阶泰勒展开式.输入Series[Log[x],{x,1,6}]则输出«Skip Record If...»例1.7 (教材例1.7) 求«Skip Record If...»的5阶泰勒展开式.输入仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127serl=Series[ArcTan[x],{x,0,5}];Poly=Normal[serl]则输出«Skip Record If...»的近似多项式«Skip Record If...»通过作图把«Skip Record If...»和它的近似多项式进行比较. 输入Plot[Evaluate[{ArcTan[x],Poly}],{x,-3/2,3/2},PlotStyle->{Dashing[{0.01}],GrayLevel[0]},AspectRatio->l]则输出所作图形（图1.7.例1.9 求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的8阶泰勒展开, 并通过作图比较函数和它的近似多项式.输入Clear[f];f[x_]=Exp[-(x-1)^2*(x+1)^2];poly2=Normal[Series[f[x],{x,1,8}]]Plot[Evaluate[{f[x],poly2}],{x,-1.75,1.75},PlotRange->{-2,3/2},PlotStyle->{Dashing[{0.01}],GrayLevel[0]}]则得到近似多项式和它们的图1.8.«Skip Record If...»«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127图1.8例1.10 求函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的«Skip Record If...»阶泰勒展开, 通过作图比较函数和它的近似多项式, 并形成动画进一步观察.因为«Skip Record If...»所以输入Do[Plot[{Sum[(-1)^j*x^(2j+1)/(2j+1)!,{j,0,k}],Sin[x]},{x,-40,40},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}],{k,1,45}]则输出为«Skip Record If...»的3阶和91阶泰勒展开的图形. 选中其中一幅图形,双击后形成动画. 图1.9是最后一幅图.例1.11 利用幂级数展开式计算«Skip Record If...»(精确到«Skip Record If...»).因为«Skip Record If...»根据«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的展开式有«Skip Record If...»故前«Skip Record If...»项部分和为«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127输入命令s[n_]=3(1-1/(5*3^4)-Sum[Product[5i-1,{i,1,k-1}]/(5^k k!3^(4k)),{k,2,n-1}]);r[n_]=Product[5i-1,{i,1,n-1}]/5^n/n!3^(4n-5)/80;delta=10^(-10);n0=100;Do[Print["n=",n,",","s[n]=",N[s[n],20]];If[r[n]<delta,Break[]];If[n==n0,Print["failed"]],{n,n0}]则输出结果为«Skip Record If...»傅里叶级数例1.12 (教材例1.8) 设«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为周期的周期函数,它在«Skip Record If...»的表达式是«Skip Record If...»将«Skip Record If...»展开成傅里叶级数.输入Clear[g];g[x_]:=-1/;-Pi<=x<0g[x_]:=1/;0<=x<Pig[x_]:=g[x-2Pi]/;Pi<=xPlot[g[x],{x,-Pi,5 Pi},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0]}];则输出«Skip Record If...»的图形 (图1.10).因为«Skip Record If...»是奇函数, 所以它的傅里叶展开式中只含正弦项. 输入b2[n_]:=b2[n]=2 Integrate[1*Sin[n*x],{x,0,Pi}]/Pi;fourier2[n_,x_]:=Sum[b2[k]*Sin[k*x],{k,1,n}];tu[n_]:=Plot[{g[x],Evaluate[fourier2[n,x]]}, {x,-Pi,5 Pi},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0],RGBColor[1,0.3,0.5]},DisplayFunction->Identity];(*tu[n]是以n为参数的作图命令*)tu2=Table[tu[n],{n,1,30,5}];(*tu2是用Table命令作出的6个图形的集合*)toshow=Partition[tu2,2];(*Partition是对集合tu2作分割, 2为分割的参数*)Show[GraphicsArray[toshow]](*GraphicsArray是把图形排列的命令*)则输出6个排列着的图形（图1.11）,每两个图形排成一行. 可以看到«Skip Record If...»越大, «Skip Record If...»的傅里叶级数的前«Skip Record If...»项和与«Skip Record If...»越接近.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127实验习题1.求下列级数的和:(1)«Skip Record If...» (2)«Skip Record If...» (3)«Skip Record If...» (4)«SkipRecord If...»2. 求幂级数«Skip Record If...»的收敛域与和函数.3. 求函数«Skip Record If...»的6阶麦克劳林多项式.4. 求«Skip Record If...»的6阶麦克劳林多项式.5. 设«Skip Record If...»,求«Skip Record If...»的5阶和10阶麦克劳林多项式,把两个近似多项式和函数的图形作在一个坐标系内.6. 设«Skip Record If...»在一个周期内的表达式为«Skip Record If...», 将它展开为傅里叶级数(取6项), 并作图.7. 设«Skip Record If...»在一个周期内的表达式为«Skip Record If...», 将它展开为傅里叶级数(取8项), 并作图.8. 求级数«Skip Record If...»的和的近似值.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127。