高中数学20分钟专题突破13

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高中数学专题突破练习《函数的极值》含详细答案解析

5.3.2　函数的极值与最大(小)值第1课时　函数的极值基础过关练题组一　函数极值的概念及其求解1.已知函数f(x)的导函数为f'(x),则“f'(x0)=0”是“x=x0是函数f(x)的一个极值点”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)　( )A.无极大值点,有四个极小值点B.有三个极大值点,两个极小值点C.有两个极大值点,两个极小值点D.有四个极大值点,无极小值点x2,则f(x)( )3.(2019天津高二上期末)已知函数f(x)=ln x-12A.有极小值,无极大值B.无极小值,有极大值C.既有极小值,又有极大值D.既无极小值,又无极大值4.函数f(x)=x+2cos x在0,( )A.0B.π6C.π3D.π25.求下列函数的极值.(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;(2)f(x)=2xx2+1-2;(3)f(x)=x2-2ln x.题组二　含参函数的极值问题6.(2019海南海口高二上期末)已知f(x)=ln x+ax(a≠0),则( )A.当a<0时,f(x)存在极小值f(a)B.当a<0时,f(x)存在极大值f(a)C.当a>0时,f(x)存在极小值f(a)D.当a>0时,f(x)存在极大值f(a)7.(2020浙江湖州高二上期末)若函数y=e x-2mx有小于零的极值点,则实数m的取值范围是( )A.m<12B.0<m<12C.m>12D.0<m<18.(2020浙江杭州七校高二下联考)若函数f(x)=x3+ax2+ax(x∈R)不存在极值点,则a的取值范围是 .9.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1处取得极值0,则m= ,n= .10.(2020山西吕梁高二上期末)已知函数f(x)=ln x-12ax2+x,a∈R.(1)当a=0时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的极值.题组三　函数极值的综合应用11.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( )A.2B.3C.6D.912.(2019云南昆明高三月考)已知函数f(x)=(x2-m)·e x,若函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为3e,则f(x)的极大值是( )A.4e-2B.4e2C.e-2D.e213.(2019辽宁省实验中学高二上期末)已知等差数列{a n}的前n项和为S n=n2+k+12(n∈N*),则f(x)=x3-kx2-2x+1的极大值为( )A.52B.3C.72D.214.已知三次函数f(x)=mx3+nx2+px+2q的图象如图所示,则f'(1)f'(0)= .15.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在点x0处取得极小值-5,其导函数y=f'(x)的图象经过点(0,0),(2,0).(1)求a,b的值;(2)求x0及函数f(x)的表达式.16.(2020山西吕梁高二上期末)已知函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+c在x=1及x=2处取得极值.(1)求a,b的值;(2)若方程f(x)=0有三个不同的实根,求c的取值范围.深度解析17.已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求出f(x)的极大值.能力提升练题组一　函数极值的求解及其应用1.(2020湖南长沙麓山国际学校高二上检测,)函数f(x)的定义域为(a,b),其导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图,则函数f(x)在区间(a,b)内的极小值点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.()已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴相切于(1,0)点,则f(x)的极小值为( )A.0B.-427C.-527D.13.(多选)()如图是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象,则下面判断正确的是( )A.f(x)在(-3,1)上是增函数B.f(x)在(1,3)上是减函数C.f(x)在(1,2)上是增函数D.当x=4时,f(x)取得极小值4.(2019北京大兴高三上期末,)已知函数f(x)=x-aln x.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+1=0,求a的值;(2)求函数y=f(x)在区间[1,4]上的极值.题组二　含参函数的极值问题5.(2019福建泉州高三月考,)已知函数f(x)=ax3-bx+2的极大值和极小值分别为M,m,则M+m=( )A.0B.1C.2D.46.(2020浙江杭州高三检测,)已知a>0且a≠1,则函数f(x)=(x-a)2ln x( )A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值,又有极小值D.既无极大值,又无极小值7.(2019湖南湘潭高三一模,)若函数f(x)=x 2-(3m+1)x+3,x≤0,mx2+xln x,x>0恰有三个极值点,则m的取值范围是( )A.-12,-B.-12,0C.-1,-D.-1,-8.(2020河北保定高二上期末,)已知x=1是函数f(x)=ax+x2的极值点,则实数a的值为 .易错9.(2020北京海淀高三上期末,)已知函数f(x)=e x(ax2+1)(a>0).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若函数f(x)有极小值,求证:f(x)的极小值小于1.10.(2020江西高安中学高二上期末,)已知函数f(x)=1x2-ax+ln2x(a∈R).(1)若f(x)在定义域上不单调,求a的取值范围;(2)设a<e+1,m,n分别是f(x)的极大值和极小值,且S=m-n,求S的取值e范围.题组三　函数极值的综合应用11.(2020福建三明高二上期末质量检测,)函数y=1-x2的图象大致是x( )12.(2020河北邯郸高三上期末,)已知函数f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x>0时,f(x)=(x-2e)ln x.若函数g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点,则m的取值范围是(深度解析)A.(-e,e)B.[-e,e]C.(-1,1)D.[-1,1]13.(2020山东济宁高二上期末质量检测,)已知点A,B为曲线y=1上xax2-ax-ln x的两个极值两个不同的点,A,B的横坐标x1,x2是函数f(x)=12+y2=1的位置关系是( )点,则直线AB与椭圆x24A.相离B.相切C.相交D.不确定14.(多选)()已知函数f(x)=xln x+x2,x是函数f(x)的极值点,则下列结论正确的是( )A.0<x0<1e B.x0>1eC.f(x0)+2x0<0D.f(x0)+2x0>015.(多选)()已知函数f(x)=ax-ln x(a∈R),则下列说法正确的是( )A.若a≤0,则函数f(x)没有极值B.若a>0,则函数f(x)有极值C.若函数f(x)有且只有两个零点,则实数a的取值范围是-∞,D.若函数f(x)有且只有一个零点,则实数a的取值范围是(-∞,0]16.(2020山东青岛高三上期末,)已知函数f(x)=ln x-x+2sin x,f'(x)为f(x)的导函数.求证:(1)f'(x)在(0,π)上存在唯一零点;(2)f(x)有且仅有两个不同的零点.答案全解全析基础过关练1.B 由极值点的定义可以得出,可导函数f(x)的极值点为x 0,则f'(x 0)=0,必要性成立;反过来不成立.故选B.2.C 设y=f'(x)的图象与x 轴的交点从左到右的横坐标依次为x 1,x 2,x 3,x 4,则f(x)在x=x 1,x=x 3处取得极大值,在x=x 2,x=x 4处取得极小值,故选C.3.B 由题可得, f'(x)=1x -x=1―x 2x (x>0),当x>1时, f'(x)<0,当0<x<1时, f'(x)>0,所以f(x)在x=1处取得极大值,无极小值.故选B.4.B 由题意得, f'(x)=1-2sin x,令f'(x)=0,得x=π6,当0<x<π6时, f'(x)>0;当π6<x<π2时, f'(x)<0.∴当x=π6时, f(x)取得极大值.5.解析　(1)由题意得, f'(x)=3x 2-6x-9,令f'(x)=0,即3x 2-6x-9=0,解得x=-1或x=3.当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x (-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f'(x)+-+f(x)↗极大值↘极小值↗∴当x=-1时,函数f(x)有极大值,且f(-1)=10;当x=3时,函数f(x)有极小值,且f(3)=-22.(2)由题意得,函数f(x)的定义域为R,f'(x)=2(x 2+1)―4x 2(x 2+1)2=-2(x -1)(x +1)(x 2+1)2.令f'(x)=0,得x=-1或x=1.当x 变化时, f'(x),f(x)的变化情况如下表:x (-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘∴当x=-1时,函数有极小值,且极小值为f(-1)=-3;当x=1时,函数有极大值,且极大值为f(1)=-1.(3)由题意得, f'(x)=2x-2x ,且函数f(x)的定义域为(0,+∞),令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍去),当x ∈(0,1)时, f'(x)<0,当x ∈(1,+∞)时, f'(x)>0,∴当x=1时,函数有极小值,极小值为f(1)=1,无极大值.6.C 由题意得, f'(x)=1x -a x 2=x -ax 2,且函数f(x)的定义域是(0,+∞).当a>0时,令f'(x)>0,解得x>a,令f'(x)<0,解得0<x<a,∴f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,故f(x)的极小值为f(a),无极大值,当a<0时, f'(x)>0, f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.故选C.7.B 由y=e x -2mx,得y'=e x -2m.由题意知e x -2m=0有小于零的实根,即e x =2m,得m=12e x .∵x<0,∴0<12e x <12,∴0<m<12.8.答案　[0,3]解析　由f(x)=x 3+ax 2+ax(x ∈R),得f'(x)=3x 2+2ax+a.∵函数f(x)=x 3+ax 2+ax(x ∈R)不存在极值点,且f'(x)的图象开口向上,∴f'(x)≥0对x ∈R 恒成立,∴Δ=4a 2-12a ≤0,解得0≤a ≤3,∴a 的取值范围是[0,3].9.答案　2;9解析　由题可得, f'(x)=3x 2+6mx+n,∴f '(-1)=3-6m +n =0,f (-1)=-1+3m -n +m 2=0,解得m =1,n =3或m =2,n =9.当m =1,n =3时,f'(x)=3x 2+6x+3=3(x+1)2≥0恒成立,不满足题意.故m=2,n=9.10.解析　(1)当a=0时, f(x)=ln x+x,所以f'(x)=1x +1,则切线斜率k=f'(1)=2,又f(1)=1,所以切点坐标为(1,1),所以切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.(2)由题知,g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x-12ax 2+(1-a)x+1(x>0),所以g'(x)=1x-ax+(1-a)=-ax2+(1―a)x+1x(x>0),当a≤0时,因为x>0,所以g'(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,无极值.当a>0时令g'(x)=0,得x=1a或x=-1(舍去),所以当x∈0,,g'(x)>0;当x,+∞时,g'(x)<0,所以当a>0时,函数g(x)的单调递增区间是0,单调递减区间是,+∞,所以当x=1a 时,g(x)有极大值=12a-ln a,综上,当a≤0时,函数g(x)无极值;当a>0时,函数g(x)有极大值12a-ln a,无极小值.11.D　f'(x)=12x2-2ax-2b,∵f(x)在x=1处有极值,∴f'(1)=12-2a-2b=0,∴a+b=6.又a>0,b>0,∴a+b≥2ab,∴2ab≤6,∴ab≤9,当且仅当a=b=3时等号成立,∴ab的最大值为9.12.A　因为函数f(x)=(x2-m)e x,所以f'(x)=e x(x2-m+2x),由函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为3e,得f'(1)=e(1-m+2)=e(3-m)=3e,所以m=0.则f'(x)=e x(x2+2x)=e x(x+2)x,因为e x>0,所以函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的极大值为f(-2)=4e -2.故选A.13.A 由于等差数列前n 项和公式中,常数项为0,所以k+12=0,所以k=-12,所以f(x)=x 3+12x 2-2x+1,所以f'(x)=3x 2+x-2=(3x-2)(x+1),故函数f(x)在(-∞,-1),+∞上单调递增,在-1,,故当x=-1时,f(x)取得极大值,为f(-1)=52.故选A.14.答案　1解析　由题意得,m ≠0,且f'(x)=3mx 2+2nx+p,由题图可知,x=2是函数的极大值点,x=-1是极小值点,即2,-1是f'(x)=0的两个根,由f '(-1)=3m -2n +p =0,f '(2)=12m +4n +p =0,解得p =―6m ,2n =―3m ,∵f'(0)=p=-6m, f'(1)=p=-6m,∴f '(1)f '(0)=1.15.解析　(1)由题意可得f'(x)=3x 2+2ax+b.∵f'(x)的图象过点(0,0),(2,0),∴b =0,12+4a +b =0,解得a =―3,b =0.(2)由(1)知f'(x)=3x 2-6x,令f'(x)>0,得x>2或x<0,令f'(x)<0,得0<x<2.∴f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减,∴f(x)在x=2处取得极小值.∴x 0=2.由f(2)=-5,得c=-1,∴f(x)=x3-3x2-1.16.解析　(1)由题意得,f'(x)=6x2+6ax+3b,由函数f(x)在x=1及x=2处取得极值,得f'(1)=6+6a+3b=0,f'(2)=24+12a+3b=0,解得a=―3,b=4,经检验a,b均符合题意.(2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+c,f'(x)=6x2-18x+12=6(x-2)(x-1),令f'(x)=0,得x=1或x=2,当x<1或x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当1<x<2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴f(x)在x=1处取得极大值,在x=2处取得极小值.又f(x)=0有三个不同的实根,∴f(1)=5+c>0,f(2)=4+c<0,解得-5<c<-4.方法技巧　解决一元三次方程的实数根问题,常常要考虑两个方面:一是导数为零时一元二次方程实根的个数;二是一元二次方程有两个不等实根时,三次函数有极大值点和极小值点,判断极大值、极小值与0的大小关系.17.解析　(1)由题可得,f'(x)=e x(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=b=4,f'(0)=a+b-4=4,解得a=4, b=4.(2)由(1)知,f(x)=4e x(x+1)-x2-4x, f'(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2)e x-令f'(x)=0,得x=-ln2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-2,-ln2)时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).能力提升练1.A　设y=f'(x)的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,x4.由题图知,当a<x<x1时,f'(x)>0,当x1<x<x2时,f'(x)<0,所以x1是极大值点;同理,x2是极小值点,x4是极大值点.又当x2<x<x3时,f'(x)>0,当x3<x<x4时,f'(x)>0,所以x3不是极值点,所以f(x)在(a,b)内有1个极小值点.故选A.2.A　由题知f'(x)=3x2-2px-q,f'(1)=3-2p-q=0,f(1)=1-p-q=0,联立3―2p-q=0,1―p-q=0,解得p=2,q=―1.∴f(x)=x3-2x2+x,f'(x)=3x2-4x+1.令f'(x)=3x2-4x+1=0,解得x=1或x=13,经检验知x=1是函数f(x)的极小值点,∴f(x)极小值=f(1)=0.3.CD　f'(x)的图象在(-3,1)上先小于0,后大于0,故f(x)在(-3,1)上先减后增,因此A错误;f'(x)的图象在(1,3)上先大于0,后小于0,故f(x)在(1,3)上先增后减,因此B错误;由题图可知,当x∈(1,2)时,f'(x)>0,所以f(x)在(1,2)上单调递增,因此C 正确;当x ∈(2,4)时, f'(x)<0,当x ∈(4,5)时, f'(x)>0,所以当x=4时, f(x)取得极小值,因此D 正确.故选CD.4.解析　(1)因为f(x)=x -aln x,所以f'(x)=12x -ax (x>0),所以f'(1)=12-a.因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+1=0,所以12-a=12,解得a=0.(2)f'(x)=12x -a x =x -2a2x .①当2a ≤1,即a ≤12时, f'(x)≥0在[1,4]上恒成立,所以y=f(x)在[1,4]上单调递增,所以y=f(x)在[1,4]上无极值;②当2a ≥2,即a ≥1时, f'(x)≤0在[1,4]上恒成立,所以y=f(x)在[1,4]上单调递减,所以y=f(x)在[1,4]上无极值;③当1<2a<2,即12<a<1时,令f'(x)=0,得x=4a 2.当x 变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:x (1,4a 2)4a 2(4a 2,4)f'(x)-0+f(x)↘极小值↗因此, f(x)的单调递减区间为(1,4a 2),单调递增区间为(4a 2,4),所以当x=4a 2时, f(x)在[1,4]上取得极小值,且极小值为f(4a 2)=2a-2aln 2a,无极大值.5.D 由题意得, f'(x)=3ax 2-b,设方程3ax 2-b=0的两个根分别为x 1,x 2,则f(x)在x 1,x 2处取到极值,则M+m=4-b(x 1+x 2)+a(x 1+x 2)[(x 1+x 2)2-3x 1x 2],又x 1+x 2=0,x 1x 2=-b3a ,所以M+m=4,故选D.6.C 由题意得, f'(x)=2(x-a)ln x+(x -a )2x =(x-a)2ln x +1―令f'(x)=0,得x=a 或2ln x+1-ax =0.作出g(x)=2ln x+1和h(x)=ax 的图象(图略),易知g(x)=2ln x+1和h(x)=a x 的图象有交点,所以方程2ln x+1-ax =0有解,所以根据函数的单调性和极值的关系可得,函数f(x)=(x-a)2ln x 既有极大值又有极小值,故选C.7.A 由题可知f'(x)=2x -(3m +1),x ≤0,2mx +ln x +1,x >0,当x>0时,令f'(x)=0,得-2m=ln x +1x,令g(x)=ln x +1x,则g'(x)=-ln xx 2,则函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,g(x)的图象如图所示,所以当0<-2m<1,即-12<m<0时, f'(x)=0有两个不同的根.当x ≤0时,令f'(x)=0,得x=3m +12<0,解得m<-13.综上,m ∈-12,-13.8.答案　2解析　由f(x)=ax +x 2,得f'(x)=-ax 2+2x.因为x=1是f(x)的极值点,所以f'(1)=0,即-a+2=0,所以a=2.此时f'(x)=2(x3-1)x2,当x<1时,f'(x)<0;当x=1时,f'(x)=0;当x>1时,f'(x)>0.因此x=1是极小值点,即a=2符合题意.易错警示　已知极值点求参数的值,先计算f'(x)=0,求得x的值,再验证极值点.由于导数为0的点不一定是极值点,因此解题时要防止遗漏验证导致错误.9.解析　(1)由已知得f'(x)=e x(ax2+2ax+1),因为f(0)=1,f'(0)=1,所以所求切线的方程为y=x+1.(2)证明:f'(x)=e x(ax2+2ax+1),令g(x)=ax2+2ax+1,则Δ=4a2-4a.(i)当Δ≤0,即0<a≤1时,∀x∈R,f'(x)≥0,所以函数f(x)在R上是单调递增函数,此时函数f(x)在R上无极小值. (ii)当Δ>0,即a>1时,记x1,x2是方程ax2+2ax+1=0的两个根,不妨设x1<x2,则x1+x2=―2<0,x1x2=1a>0,所以x1<x2<0.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞) f'(x)+0-0+ f(x)↗极大值↘极小值↗所以函数y=f(x)的极小值为f(x2),又因为函数y=f(x)在[x2,0]上单调递增,所以f(x2)<f(0)=1.所以函数y=f(x)的极小值小于1.10.解析　(1)由已知得f'(x)=x+1x-a(x>0,a∈R).①若f(x)在定义域上单调递增,则f'(x)≥0,即a ≤x+1x 在(0,+∞)上恒成立,又x+1x ∈[2,+∞),所以a ≤2.②若f(x)在定义域上单调递减,则f'(x)≤0,即a ≥x+1x 在(0,+∞)上恒成立,又x+1x ∈[2,+∞),所以a ∈⌀.因为f(x)在定义域上不单调,所以a>2,所以a ∈(2,+∞).(2)由(1)知,要使f(x)在(0,+∞)上有极大值和极小值,必须满足a>2.又a<e+1e ,所以2<a<e+1e .设f'(x)=x+1x -a=x 2-ax +1x=0的两根分别为x 1,x 2,即x 2-ax+1=0的两根分别为x 1,x 2,于是x 1+x 2=a,x 1x 2=1.不妨设0<x 1<1<x 2,则f(x)在(0,x 1)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减,在(x 2,+∞)上单调递增,所以m=f(x 1),n=f(x 2),所以S=m-n=f(x 1)-f(x 2)21-a x 1+ln x 122-a x 2+ln x 2=12(x 21-x 22)-a(x 1-x 2)+(ln x 1-ln x 2)=-12(x 21-x 22)+ln x 1x 2-+ln x 1x 2.令t=x 1x 2,t ∈(0,1),则-t.又t+1t =x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2=a 2-2∈2,e 2+所以1e 2<t<1.所以++1t-12<0,所以-t ,1上为减函数.所以S ∈0,11.D 令y=1x -x 2=0,得x 3=1,解得x=1.因此选项A 、C 中的图象不正确;y'=-1x 2-2x,令y'=0,得2x 3+1=0,解得x=-312,因此,x=-312是函数y=1x -x 2的唯一的极大值点,因此,当x<-312时,y'>0,当-312<x<0时,y'<0,故B 错误,D 正确.故选D.12.A 当x>0时, f'(x)=ln x+1-2e x , f″(x)=1x +2ex 2>0,故f'(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f'(e)=0,所以f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.f(x)的大致图象如图所示.由g(x)=f(x)-m 存在四个不同的零点知,直线y=m 与y=f(x)的图象有四个不同的交点,故m ∈(-e,e),故选A.解题模板　利用导数解决函数的极值问题,常见的解题步骤是:求导、求驻点(令导数为0时方程的解)、列表、回答问题,由表可得出函数的大致图象,借助数形结合可解决函数的极值问题.13.C 由f(x)=12ax 2-ax-ln x,得f'(x)=ax-a-1x =ax 2-ax -1x,因为A,B 的横坐标x 1、x 2是函数f(x)=12ax 2-ax-ln x 的两个极值点,所以x 1、x 2是方程ax 2-ax-1=0的两根,因此x 1+x 2=1,x 1x 2=―1a ,a ≠0,又点A,B 为曲线y=1x 上两个不同的点,所以k AB =1x 1-1x2x 1-x 2=-1x 1x 2=a,因此直线AB 的方程为y-1x 1=a(x-x 1),即y=ax-ax 1+1x 1=ax-ax 1-ax 2=ax-a(x 1+x 2)=ax-a=a(x-1),即直线AB 恒过定点(1,0),显然点(1,0)在椭圆x 24+y 2=1内,因此直线AB与椭圆x 24+y 2=1必相交.故选C.14.AD ∵函数f(x)=xln x+x 2(x>0),∴f'(x)=ln x+1+2x,易得f'(x)=ln x+1+2x 在(0,+∞)上单调递增=2e >0,∵当x →0时, f'(x)→-∞,∴0<x 0<1e ,∴A 正确,B 错误.∵f'(x 0)=ln x 0+1+2x 0=0,∴f(x 0)+2x 0=x 0ln x 0+x 20+2x 0=x 0(ln x 0+x 0+2)=x 0(1-x 0)>0,∴C 错误,D 正确.故选AD.15.ABD 由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=a-1x =ax -1x,当a ≤0时, f'(x)<0恒成立,此时f(x)单调递减,没有极值.又当x 趋近于0时, f(x)趋近于+∞,当x 趋近于+∞时, f(x)趋近于-∞,∴f(x)有且只有一个零点.当a>0时,在0,f'(x)<0, f(x)单调递减,,+∞上f'(x)>0, f(x)单调递增,当x=1a 时, f(x)取得极小值,同时也是最小值,∴f(x)min =1+ln a,当x 趋近于0时,ln x 趋近于-∞, f(x)趋近于+∞,当x 趋近于+∞时, f(x)趋近于+∞,当1+ln a=0,即a=1e 时, f(x)有且只有一个零点;当1+ln a<0,即0<a<1e 时, f(x)有且仅有两个零点,综上可知ABD 正确,C 错误.故选ABD.16.证明　(1)设g(x)=f'(x)=1x -1+2cos x,当x ∈(0,π)时,g'(x)=-2sin x-1x 2<0,所以g(x)在(0,π)上单调递减,又因为=3π-1+1>0,g=2π-1<0,所以g(x),α,即f'(x)在(0,π)上存在唯一零点α.(2)①由(1)知,当x ∈(0,α)时, f'(x)>0,f(x)在(0,α)上单调递增;当x ∈(α,π)时, f'(x)<0, f(x)在(α,π)上单调递减,所以f(x)在(0,π)上存在唯一的极大值点<α<所以=ln π2-π2+2>2-π2>0,又因为=-2-1e 2+2sin 1e 2<-2-1e 2+2<0,所以f(x)在(0,α)上恰有一个零点,又因为f(π)=ln π-π<2-π<0,所以f(x)在(α,π)上也恰有一个零点,②当x ∈[π,2π)时,sin x ≤0, f(x)≤ln x-x,设h(x)=ln x-x,则h'(x)=1x -1<0,所以h(x)在[π,2π)上单调递减,所以h(x)≤h(π)<0,所以当x ∈[π,2π)时, f(x)≤h(x)≤h(π)<0恒成立,所以f(x)在[π,2π)上没有零点.③当x∈[2π,+∞)时,f(x)≤ln x-x+2,-1<0,设φ(x)=ln x-x+2,φ'(x)=1x所以φ(x)在[2π,+∞)上单调递减,所以φ(x)≤φ(2π)<0,所以当x∈[2π,+∞)时,f(x)≤φ(x)≤φ(2π)<0恒成立,所以f(x)在[2π,+∞)上没有零点.综上,f(x)有且仅有两个零点.。

斐波拉契数列(教师版)--高中数学

专题突破之--斐波那契数列意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1，1，2，3、5，8，13，21，34，55，‧‧‧‧‧‧，这个数列称为斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在．比如大多数植物的花瓣数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数；松果、蜂巢、菠萝、蜻蜓翅膀、蜻蜓眼睛的构造与斐波那契数列紧密相连．数学中黄金分割、黄金矩形、杨辉三角、等角螺旋、斐波拉契弧线、质数数量、十二平均律、尾数循环等问题也都与斐波那契数列紧密相关.【数列表示】1.逐项罗列：1，1，2，3、5，8，13，21，34，55，‧‧‧‧‧‧2.递推公式：a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2(n ≥3)3.通项公式：a n =151+52n-1-52n【常考性质】性质1.前n 项和：S n =a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n =a n +2-1性质2.奇数项和：a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 2n -1=a 2n偶数项和：a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n =a 2n +1-1性质3.平方性质：a n 2=a n a n +1-a n a n -1平方和性质：a 12+a 22+⋅⋅⋅+a n 2=a n a n +1性质4.中项性质：a n a n +2-a 2n +1=(-1)n +1；3a n =a n -2+a n +2性质5.余数列周期性：被2除的余数列周期为3：1,1,0,‧‧‧‧‧‧被3除的余数列周期为8：1,1,2,0,2,2,1,0,‧‧‧‧‧‧被4除的余数列周期为6：1,1,2,3,1,0,‧‧‧‧‧‧性质6.斐波那契不等式：n n -1<log a na n +1<n -1n -2性质7.质数数量：每3个连续的数中有且只有1个能被2整除；每4个连续的数中有且只有1个能被3整除；每5个连续的数中有且只有1个能被5整除；每6个连续的数中有且只有1个能被8整除；每7个连续的数中有且只有1个能被13整除；‧‧‧‧‧‧性质8.两倍数关系：a2n a n=a n -1+a n +1性质9.下标为3的倍数的项之和：a3+a6+⋅⋅⋅+a3n=12(a3n+2-1)性质10.a n+1+5-1 2a n是等比数列【两个重要关联】1.杨辉三角将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得1,1,2,3,5,8,‧‧‧‧‧‧，则a n=C0n-1+C1n-2+C2n-3+⋅⋅⋅+C m n-1-m(n-1≥m)，表示如下：a1=C00=1a2=C01=1a3=C02+C11=1+1=2a4=C03+C12=1+2=3a5=C04+C13+C22=1+3+1=5a6=C05+C14+C23=1+4+3=8a7=C06+C15+C24+C33=1+5+6+1=13‧‧‧‧‧‧a n=C0n-1+C1n-2+C2n-3+⋅⋅⋅+C m n-1-m(n-1≥m)2.计数问题问题：有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要等上第10级台阶有几种走法？分析：设第n级台阶有a n种走法，则a1=a2=1,a n=a n-1+a n-2(n≥3)，数列a n就是斐波那契数列，故有a10=89种走法.【训练题组】一、单选题1.(2023·上海市市辖区·单元测试)著名的波那契列{a n}：1，1，2，3，5，8，⋯，满足a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n(n∈N*)，那么1+a3+a5+a7+a9+⋯+a2021是斐波那契数列中的()A.第2020项B.第2021项C.第2022项D.第2023项【答案】C【解析】因为a1=a2=1，所以1+a3+a5+a7+a9+⋯+a2021=a2+a3+a5+a7+a9+⋯+a2021=a4+a5+a7+a9+⋯+a2021=a6+a7+a9+⋯+a2021=⋯=a2020+a2021=a2022，故选：C．2.(2023·北京市市辖区·期末考试)斐波那契数列{F n}(n∈N*)在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：F1=F2=1，当n>2时，F n=F n-1+F n-2.若F100=F21+F22+F23+⋯+F2mF m，则m=()A.98B.99C.100D.101【答案】B【解析】由已知得F21=F2⋅F1，且F n-1=F n-F n-2，所以F22=F2⋅(F3-F1)=F2⋅F3-F2⋅F1，F23=F3⋅(F4-F2)=F4⋅F3-F3⋅F2，........F2m=F m⋅(F m+1-F m-1)=F m⋅F m+1-F3⋅F m-1，累加整理可得F21+F22+.....+F2m=F m⋅F m+1；又因为F100=F21+F22+F23+⋯+F2mF m=F m+1．即F m+1是该数列的第100项，所以m=99，所以B选项正确．故选：B．利用累加法即可求解．本题主要考查递推式求通项公式以及累加法的应用，属于中档题．3.(2023·河南省鹤壁市·单元测试)意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N*)，其中a1=1，a2=1.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为()A.13B.6732021C.12D.6742021【答案】B【解析】从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144⋯可得每三个数中有一个偶数(并且是最后一个)，∴2021=673×3+2，∴该数列的前2021项中有673个偶数，∴从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为P=6732021．故选：B．4.(2022·湖北省黄冈市·月考试卷)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1,1,2,3,5,8,⋯，该数列从第三项起，每一项都等于前两项的和，即递推关系式为a n+2=a n+1+a n,n∈N*，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列a n的通项公式为a n=A⋅1+52n+B⋅1-52n，其中A,B的值可由a1和a2得到，比如兔子数列中a1=1,a2=1代入解得A=15,B=-15.利用以上信息计算5+125= .(x 表示不超过x的最大整数)()A. 10B.11C.12D.13【答案】B【解析】由题意可令A=B=1，所以将数列a n逐个列举可得：a1=1，a2=3，a3=a1+a2=4，a4=a3+a2=7，a5=a4+a3=11，故a5=1+525+1-525=11，因为1-525∈-1,0，所以1+525∈11,12，故1+525=11．故选：B5.(2023·湖北省恩施土家族苗族自治州·单元测试)斐波那契数列{F n}，因数学家莱昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列{F n}满足F1=F2=1，且F n+2=F n+1+F n(n∈N*).卢卡斯数列{L n}是以数学家爱德华⋅卢卡斯命名，与斐波那契数列联系紧密，即L1=1，且L n+1=F n+F n+2(n∈N* )，则F2023=()A.13L2022+16L2024 B.13L2022+17L2024C.15L2022+15L2024 D.-15L2022+25L2024【答案】C【解析】因为F n+2=F n+1+F n(n∈N*)，L n+1=F n+F n+2(n∈N*)，所以可得L2022=F2021+F2023=2F2023-F2022L2024=F2023+F2025=2F2023+F2024=3F2023+F2022，解得F2023=15L2022+15L2024．6.(2022·广东省河源市·单元测试)斐波拉契数列a n满足：a1=1，a2=1，a n+2=a n+1+a n n∈N*.该数列与如图美丽曲线有深刻联系，设S n=a1+a2+⋯+a n，T n=a21+a22+⋯+a2n，给出以下三个命题：①a2n+2-a2n+1=a n+3⋅a n；②S n=a n+2-1；③T n+1=a2n+1+a n+1⋅a n．其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】a n+2=a n+1+a n⇒a n+2-a n+1=a n，a n+3=a n+2+a n+1，所以(a n+2+a n+1)(a n+2-a n+1)=a n+3⋅a n，即a2n+2-a2n+1=a n+3⋅a n，故①正确；a n+2=a n+1+a n，a n+1=a n+a n-1，a n=a n-1+a n-2，⋯⋯a3=a2+a1，相加可得：a n+2=a2+S n即S n=a n+2-1，故②正确；因为a n+1⋅a n=(a n+a n-1)⋅a n=a2n+a n⋅a n-1⇒a2n=a n+1⋅a n-a n⋅a n-1(n≥2)，所以T n+1=a21+a22+⋯+a2n+1=a21+a3⋅a2-a2⋅a1+a4⋅a3-a3⋅a2+⋅⋅⋅+a n+1⋅a n-a n⋅a n-1+a2n+1，又a1=1,a2=1，可得T n+1=a2n+1+a n+1⋅a n，故③正确．7.(2022·湖北省·期中考试)若数列{F n}满足F1=1，F2=1，F n=F n-1+ F n-2(n≥3)，则{F n}称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现．它有很多美妙的特征，如当n≥2时，前n项之和等于第n+2项减去第2项；随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618等等．若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近(备注：0.6182≈0.38，1.6182≈2.61)A.31万B.51万C.217万D.317万【答案】C【解析】∵当n≥2时S n=F n+2-F2，则S28=F30-1，因为随着n的增大，相邻两项之比接近0.618，则F29=0.618F30，由S30=S28+F29+F30=F30-1+0.618F30+F30=2.618F30-1≈217万.故选C．8.(2023·山东省济南市·期末考试)1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》.他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题，发现数列：1，1，2，3，5，8，13，⋯，该数列的特点是：前两项均为1，从第三项起，每一项等于前两项的和，人们把这个数列F n称为斐波那契数列，则下列结论正确的是 ()A.F2+F4+F6+⋯+F2020=F2021B.F21+F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022C.F1+F2+F3+⋯+F2021=F2023D.F1+F3+F5+⋯+F2021=F2022-1【答案】B【解析】根据题意可知，F n+2=F n+1+F n，对于A，因为F2+F4+F6+⋯+F2020=F1+F2+F4+F6+⋯+F2020-1=F3+F4+F6+⋯+F2020-1=F5+F6+⋯+F2020-1=⋯=F2021-1，故A错误;对于D，因为F1+F3+F5+⋯+F2021=F2+F3+F5+⋯+F2021=F4+F5+⋯+F2021=⋯=F2022，故D错误;对于C，由F2+F4+F6+⋯+F2020=F2021-1，F1+F3+F5+⋯+F2021=F2022，可知F1+F2+F3+⋯+F2021=F2021-1+F2022=F2023-1，故C错误;对于B，因为F n+1=F n+2-F n，所以F2n+1=F n+1·F n+2-F n=F n+1F n+2-F n F n+1，即F22=F2F3-F1F2，F23=F3F4-F2F3，⋯，F22021=F2021F2022-F2020F2021，累加得F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022-F1F2，因为F1F2=F21，即F21+F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022得证，故B正确．故选：B．9.(2022·江苏省南通市·月考试卷) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，⋯，其中a1=a2=1，且从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即a n+2=a n+1+a n，后来人们把这样的一列数组成的数列a n中，a n a n+2+a n+2a n+4称为“斐波那契数列”.则斐波那契数列a n=()A.a n a n+5B.a2n+3C.a n+2a n+3D.3a2n+2【答案】D【解析】因为a n+2=a n+1+a n，则a n+4=a n+2+a n+3=a n+2+a n+2+a n+1=2a n+2+a n+1，则a n a n+2+a n+2a n+4==a n a n+2+a n+2(2a n+2+a n+1)=a n+2(a n+a n+1)+2a2n+2=a n+2·a n+2+2a2n+2=3a2n+2．10.(2022·全国·月考试卷)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋯，即F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)n≥3,n∈N*，此数列在现代物理“准晶体结构”､化学等领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列a n，则数列a n的前2021项的和为()A.2020B.1348C.1347D.672【答案】B【解析】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...各项除以2的余数，可得a n为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,...，所以a n是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为1+1+0=2，因为2021=673×3+2，所以数列a n的前2021项的和为673×2+2=1348．故选B．11.(2022·安徽省六安市·单元测试)历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，⋯⋯即F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{b n}，则b1 +b2+b3⋯+b52的值为()A.71B.72C.73D.74【答案】A【解析】由题意知：数列{b n}为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，........故该数列的周期为6，所以b1+b2+b3⋯+b52=8×(1+1+2+3+1)+1+1+2+3=71．故选：A．12.(2023·单元测试)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，⋯，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即a n+2=a n+1+a n(n∈N*)，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”.设数列{a n}的前n项和为S n，记a2023=m，a2024=n，则S2023=()A.m+n-2B.m+nC.m+n-1D.m+n+1【答案】C【解析】因为a n+2=a n+1+a n，所以a2023=a2022+a2021=a2022+a2020+a2019=⋯=a2022+a2020+a2018+⋯+a2+a1 ①，a2024=a2023+a2022=a2023+a2021+a2020=⋯=a2023+a2021+a2019+⋯+a5+a3+a2 ②，由 ①+ ②，得a2023+a2024=S2023+a2，又a2023=m，a2024=n，a2=1，即m+n=S2023+1，所以S2023=m+n-1.故选C．13.(2022·河南省·月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯.该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，记S n是数列{a n}的前n项和，则(a3 -S1)+(a4-S2)+(a5-S3)+⋯+(a100-S98)=()A.0B.1C.98D.100【答案】C【解析】解：∵a1+a2=a3，a2+a3=a4，⋯，a n+a n-1=a n+1，a n+1+a n=a n+2，∴a2+S n=a n+2，∴a n+2-S n=a2=1，∴(a3-S1)+(a4-S2)+(a5-S3)+⋯+(a100-S98)=1×98=98，故选：C．由斐波那契数列可得：a1+a2=a3，a2+a3=a4，⋯，a n+a n-1=a n+1，a n+1+a n=a n+2，相加可得a2+S n=a n+2，进而得出结论．本题考查了斐波那契数列的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.(2022·重庆市·月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21⋯.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则(a1a3-a22)(a2a4-a33)(a3a5-a34)⋯(a2015a2017-a22016)=()A.1B.2017C.-1D.-2017【答案】C【解析】解：根据“斐波那契数列”特点可得到数列的规律，即当n为偶数时，a n a n+2-a2n+1=-1；当n为奇数时，a n a n+2-a2n+1=1，所求式子最末项n=2015，从而可得结果．由题意得：a1a3-a22=1，a2a4-a23=-1，a3a5-a24=1，⋯，∴当n为偶数时，a n a n+2-a2n+1=-1；当n为奇数时，a n a n+2-a2n+1=1∴(a1a3-a22)(a2a4-a33)(a3a3-a34)⋅⋅⋅(a2015a2017-a22016)=-1．故选：C．根据a n+a n+1=a n+2，当n为偶数时，a n a n+2-a2n+1=-1，当n为奇数时，a n a n+2-a2n+1=1，从而可以求出结果．本题考查根据数列的性质求值的问题，关键是能够总结归纳出数列中的规律，属中档题．15.已知55<84,134<85，设a=log53,b=log85c=log138，则A.a<b<cB.b<a<cC.b<a<cD.c<a<b【答案】A【解析】由斐波那契不等式：nn-1<log ana n+1<n-1n-2知答案为A.二、多选题1.(2023·山东省青岛市·期末考试)若数列{a n}满足a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N+)，则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是()A.a7=13B.a1+a3+a5+⋯+a2019=a2020C.3a n=a n-2+a n+2(n≥3)D.a2+a4+a6+⋯+a2020=a2021【答案】ABC【解析】解：因为a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N+)，所以a3=a2+a1=2，a4=a3+a2=3，a5=a4+a3=5，a6=a5+a4=8，a7=a6+a5=13，所以A正确；a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N+)，可得a n+2=a n+1+a n=2a n+a n-1=3a n-a n-2，即有3a n=a n-2+a n+2(n≥3)，故C正确；设数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3+a5+...+a2019=a1+(a2+a1)+(a4+a3)+⋯+(a2018+a2017)=a1+S2018=1+S2018，又a n+2=a n+1+a n=a n+a n-1+a n-1+a n-2=a n+a n-1+a n-2+a n-3+a n-3+a n-4=⋯=S n+1，所以a2020=S2018+1=a1+a3+a5+⋯+a2019，所以B正确；a2+a4+a6+⋯⋯+a2020=a2+a3+a2+a5+a4+⋯+a2019+a2018=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a2019=S2019，但S2019+1=a2021，所以a2+a4+a6+⋯+a2020≠a2021，所以D不正确．故选：ABC．根据斐波那契数列的定义求出前7项，从而可判定选项A，由数列的递推式可判断C；然后根据递推关系求出a n+2=S n+1，从而可判断选项B和D．本题考查数列递推式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．2.(2022·湖北省荆门市·期末考试)2022年11月23日是斐波那契纪念日，其提出过著名的“斐波那契”数列，其著名的爬楼梯问题和斐波那契数列相似，若小明爬楼梯时一次上1或2个台阶，若爬上第n个台阶的方法数为b n，则()A.b7=21B.b1+b2+b3+b5+b7=51C.b21+b22+⋯+b2n=b n⋅b n+1-1D.b n-2+b n+2=3b n【答案】ACD【解析】∵b1=1，b2=2，b3=3，b4=5，b5=8，∴当n≥3时，b n=b n-1+b n-2，∴b6=13，b7=21，A正确;b1+b2+b3+b5+b7=1+2+3+8+21=35，B错误;∵b21=1，b22=b2(b3-b1)=b2b3-b2b1，∴有b2n=b n(b n+1-b n-1)=b n b n+1-b n b n-1，∴b21+b22+⋯+b2n=1-b1b2+b n⋅b n+1=b n⋅b n+1-1，C正确;∵b n-2=b n-b n-1，b n+2=b n+b n+1，∴b n-2+b n+2=2b n+b n+1-b n-1=3b n，D正确．故选ACD．3. (2022·安徽省阜阳市·单元测试)意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契提出的“兔子数列”:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233⋯，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n +2=a n +1+a n (n ∈N +).若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列{b n }，记{b n }的前n 项和为S n ，则以下结论正确的是( )A.b n +9-b n +1=0 B.S n +10=S n +2+9C.b 2022=2 D.S 2022=2696【答案】ABC【解析】由题意，可知新数列{b n }：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，⋯，故新数列{b n }是以8为最小正周期的周期数列，∴b n +9=b n +1，故A 正确；∵2022÷8=252⋯6，且1+1+2+0+2+2+1+0=9，∴S n +10=S n +2+9，B 正确，b 2022=b 6=2，故C 正确∴{b n }的前2022项和为9×252+1+1+2+0+2+2=2276，故D 错误；故选：ABC ．4.(2022·全国·单元测试)意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契提出的斐波那契数列被誉为最美的数列，斐波那契数列{a n }满足：a 1=1，a 2=1，a n =a n -1+a n -2(n ≥3,n ∈N *).若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格的边长为1，记每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为b n ，则下列结论正确的是( )A.4(b 2020-b 2019)=πa 2021⋅a 2018B.a 1+a 2+a 3+⋯+a 2019=a 2021-1C.a 21+a 22+a 23+⋯+a 22020=2a 2019⋅a 2021D.a 2019⋅a 2021-a 22020+a 2018⋅a 2020-a 22019=0【答案】ABD 【解析】由题意得b n =π4a 2n ，则4(b 2020-b 2019)=4π4a 22020-π4a 22019=π(a 2020+a 2019)(a 2020-a 2019)=πa 2021⋅a 2018，故选项A 正确;因为数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n =a n -1+a n -2(n ≥3)，所以a n -2=a n -a n -1(n ≥3)，a 1+a 2+a 3+⋯+a 2019=(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+(a 5-a 4)+⋯+(a 2021-a 2020)=a 2021-a 2=a 2021-1，故选项B 正确;数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n =a n -1+a n -2(n ≥3)，即a n -1=a n -a n -2(n ≥3)，两边同乘a n -1，可得a 2n -1=a n -1a n -a n -1a n -2，则a 21+a 22+a 23+⋯+a 22000=a 21+(a 3a 2-a 2a 1)+(a 3a 4-a 3a 2)+⋯+(a 2020a 2021-a 2020a 2019)=a 21+a 2020a 2021-a 2a 1=a 2020a 2021，故选项C 错误;由题意a n -1=a n -a n -2(n ≥3)，则a 2019⋅a 2021-a 22020+a 2018⋅a 2020-a 22019=a 2019⋅(a 2021-a 2019)+a 2020⋅(a 2018-a 2000)=a 2019⋅a 2020+a 2000⋅(-a 2019)=0，故选项D 正确.故选ABD ．5.(2023·浙江省·其他类型)意大利著名数学家莱昂纳多⋅斐波那契( Leonardo Fibonacci )在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13,21,34,⋯，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”.同时，随着n 趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割5-12≈0.618，因此又称“黄金分割数列”，其通项公式为a n=151+52n-1-52n，它是用无理数表示有理数数列的一个范例.记斐波那契数列为a n，其前n项和为S n，则下列结论正确的有()A.1010k=1a2k=a2021 B.S13=29a8C.2020k=1a k+2a k-a2k+1=0 D.S n=a n+2-1【答案】BCD【解析】通过给出数列的前9项，发现a2+a4=a5-1，a2+a4+a6=a7-1，⋯，因此我们归纳、猜想1010k=1a2k=a2021-1，事实上，1010k=1a2k=a2+a4+a6+a8+⋯+a2020=(a3-1)+a4+a6+a8+⋯+a2020=-1+a5+a6+a8+⋯+a2020=-1+a7+a8+⋯+a2020=⋯=-1+a2021，故选项A错误;可以运算得到S13=609=21×29=29a8，故选项B正确;可以发现，a3a1-a22=1，a4a2-a23=-1，a5a3-a24=1，a6a4-a25=-1，⋯，归纳得到2020k=1(a k+2a k-a2k+1)=0，故选项C正确;可以发现，S1=a3-1，S2=a4-1，S3=a5-1，⋯，归纳得到S n=a n+2-1，事实上，S n=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a n=(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)+⋯+(a n+2-a n+1)=a n+2-a2=a n+2-1，故选项D正确．6.(2022·江苏省苏州市·期中考试)意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列a n满足：a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2 n≥3,n∈N*.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为S n，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为c n，则下列结论正确的是( )A.S n+1=a2n+1+a n+1⋅a nB.a1+a2+a3+⋯+a n=a n+2-1C.a1+a3+a5+⋯+a2n-1=a2n-1D.4c n-c n-1=πa n-2⋅a n+1【答案】ABD【解析】对于A选项，因为斐波那契数列总满足a n=a n-1+a n-2n≥3,n∈N*，所以a21=a2a1，a22=a2a2=a2a3-a1=a2a3-a2a1，a23=a3a3=a3a4-a2=a3a4-a3a2，类似的有，a2n=a n a n=a n a n+1-a n-1=a n a n+1-a n a n-1，累加得a21+a22+a23+⋯+a2n=a n⋅a n+1，由题知S n+1=a21+a22+a23+⋯+a2n+a2n+1=a n+1⋅a n+2=a2n+1+a n+1⋅a n，故选项A正确，对于B选项，因为a1=a1，a2=a3-a1，a3=a4-a2，类似的有a n=a n+1-a n-1，累加得a1+a2+a3+⋯+a n=a n+a n+1-a2=a n+2-1，故选项B正确，对于C选项，因为a1=a1，a3=a4-a2，a5=a6-a4，类似的有a2n-1=a2n-a2n-2，累加得a1+a3+⋯+a2n-1=a1+a2n-a2=a2n，故选项C错误，对于D选项，可知扇形面积c n=π⋅a2n4，故4c n-c n-1=4π⋅a2n4-π⋅a2n-14=πa2n-a2n-1=πa n-2⋅a n+1，故选项D正确，故选ABD．7.(2022·湖南省娄底市·月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，⋯.该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列{F n}称为斐波那契数列，现将{F n}中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{M n}，则下列结论中正确的是A.M 2022=1B.M6n-2=M6n-4+2M6n-5(n≥1，n∈N *)C.F21+F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022D.F 1+F 2+F 3+⋯+F 2021=F 2022-1【答案】BC【解析】M1=1,M2=1,M3=2,M4=3,M5=1,M6=0,M7=1,M8=1,M9=2,M10=3,M11=1,M12=0，所以数列{M n}是以6为最小正周期的数列，又2022=6×337，所以M2022=0，故A选项错误；n≥1，n∈N*，则M6n-2=M4=3，M6n-4=M2=1，2M6n-5=2M1=2，故M6n-2=M6n-4+2M6n-5(n≥1,n∈N*)成立，B选项正确；对于n≥2，n∈N*，总有F2n=F n F n+1-F n-1=F n F n+1-F n F n-1，故F21+F22+F23+⋯+F22021=F21+F2F3-F1F2+F3F4-F2F3+⋯+F2021F2022-F2020F2021=F21-F1F2+F2021F2022=F2021F2022，故C选项正确；对于n≥1，n∈N*，总有F n=F n+2-F n+1，故F1+F2+F3+⋯+F2021=F3-F2+F4-F3+⋯+F2023-F2022=F2023-F2=F2023-1，故D选项错误．8.(2022·云南省·单元测试)斐波那契，公元13世纪意大利数学家.他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．斐波那契数列与代数和几何都有着不可分割的联系．现有一段长为a米的铁丝，需要截成n(n>2)段，每段的长度不小于1m，且其中任意三段都不能构成三角形，若n的最大值为10，则a的值可能是()A.100B.143C.200D.256【答案】BC【解析】由题意，一段长为a米的铁丝，截成n段，且其中任意三段都不能构成三角形，当n取最大值时，每段长度从小到大排列正好为斐波那契数列，而数列的前10项和为：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143，前11项和为：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=232，所以只需143≤a<232，BC均符合要求．故选：BC．三、填空题1.(2023·江西省赣州市·期末考试)斐波那契，意大利数学家，其中斐波那契数列是其代表作之一，即数列a n为斐波那契数列，数满足a1=a2=1，且a n+2=a n+1+a n，则称数列a n为斐波那契数列.已知数列a n 列b n的前12项和为86，则b1+b2=．满足b n+3+(-1)a n b n=n，若数列b n【答案】8【解析】斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯⋯.(特征：每三项中前两项为奇数后一项为偶数)由b n+3+(-1)a n b n=n得：b4-b1=1，b5-b2=2，b6+b3=3，则b1+b2+b4+b5=3+2(b1+b2)，同理：b7-b4=4，b8-b5=5，b10-b7=7，b11-b8=8，b12+b9=9，得：b7=5+b1，b8=7+b2，b10=12+b1，b11=15+b2，则b7+b8+b10+b11=39+2(b1+b2)，b3+b6+b9+b12=12，则s12=b1+b2+⋯+b12=54+4(b1+b2)=86，则b1+b2=8．2.(2023·湖北省黄冈市·单元测试)1202年意大利数学家列昂那多-斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,⋯该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列a n的前2022，则数列a n 项的和为．【答案】2276【解析】由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋯各项除以3的余数，可得数列{a n}为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1...，∴数列{a n}是周期为8的数列，一个周期中八项和为1+1+2+0+2+2+1+0=9，又2022=252×8+6，∴数列{a n}的前2022项的和S2022=252×9+8=2276．故答案为：2276．3.(2022·海南省·期末考试)斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列{a n}满足a1=0，a2=1，a n+2=a n+1+a n(n∈N*)，若记a1+a3+a5+⋯+a2019=M，a2+a4 +a6+⋯+a2020=N，则a2022=.(用M，N表示)【答案】M+N+1【解析】因为a1+a3+a5+⋯+a2019=M，a2+a4+a6+⋯+a2020=N，所以S2020=M+N，所以a1+(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+⋯+(a2017+a2018)=a1+S2018=M，所以S2018=M-a1=M，因为a2+a4+a6+⋯+a2020=N，所以a2+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+(a2018+a2019)=-a1+S2019+a2=S2019+1=N，所以S2019=N-1，所以a2020=S2020-S2019=(M+N)-(N-1)=M+1，a2019=S2019-S2018=(N-1)-M=N-M-1，所以a2021=a2019+a2020=N，a2022=a2020+a2021=M+N+1，故答案为：M+N+1．由已知两式相加得S2020=M+N，由a1+a3+a5+⋯+a2019=M得S2018=M-a1=M，由a2+a4+a6+⋯+a2020=N得S2019=N-1，从而得到a2020=S2020-S2019，a2019=S2019-S2018，利用a n+2=a n+1+a n(n∈N*)可得答案．本题考查数列的递推关系式及前n项和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．4.(2022·陕西省咸阳市·模拟题)意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、⋯⋯，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示．大多数植物的花瓣数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用．设斐波那契数列为{a n}，其中a1=a2=1，有以下几个命题：①a n+a n+1=a n+2(n∈N+)；②a21+a22+a23+a24=a4⋅a5；③a1+a3+a5+⋯+a2021=a2022；④a22n+1=a2n⋅a2n+2-1(n∈N+)．其中正确命题的序号是．【答案】①②③【解析】斐波那契数列从第3项起，每一项都是前2项的和，所以a n+a n+1=a n+2(n∈N+)，①正确；a21+a22+a23+a24=1+1+4+9=15，a4⋅a5=3×5=15，②正确；a2022=a2021+a2020=a2021+a2019+a2018=⋯=a2021+a2019+a2017+a2016=⋯=a2021+a2019+a2017+a2015+⋯+a3+a2= a2021+a2019+a2017+a2015+⋯+a3+a1，所以③正确．当n=1时，a22n+1=a23=4，a2n⋅a2n+2-1=a2⋅a4-1=1×3-1=2，所以④错误．故答案为：①②③．根据斐波那契数列的知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案．本题属新概念题，考查了数列的递推式，理解斐波那契数列的定义是关键点，属于基础题．5.(2022·江苏省苏州市·单元测试)数列a n：1，1，2，3，5，8，⋯，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”.数学上，该数列可表述为a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n n∈N*.对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式a n=151+52n-1-52n等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到a2n+1=a n+1a n+2-a n=a n+2a n+1-a n+1a n，从而易得a21+a22+a23+⋯+a2126值的个位数为．【答案】4【解析】因为a2n+1=a n+1(a n+2-a n)=a n+2a n+1-a n+1a n，所以a21+(a2a3-a2a1)+(a3a4-a3a2)+⋯+(a126a127-a126a125)=1-a2a1+a126a127=a126a127．又该数列项的个位数是以60为周期变化，所以a126，a6的个位数字相同，a127，a7的个位数字相同，易知a6=8，a7=a6+a5=13，则8×3=24，所以a126a127的个位数字为4．故答案为：4．6.(2022·全国·期末考试)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为F n.利用下图所揭示的F n的性质，则在等式F22022 -F21+F22+⋅⋅⋅+F22021=F2022⋅F m中，m=．【答案】2020【解析】由题意，F n+2=F n+1+F n，所以F2022⋅F2021=F2021+F2020⋅F2021=F22021+F2021⋅F2020，F2021⋅F2020=F22020+F2020⋅F2019，F2020⋅F2019=F22019+F2019⋅F2018，⋯F3⋅F2=F22+F2⋅F1=F22+F21，所以F2022⋅F2021=F22021+F22020+F22019+⋯+F22+F21，所以F22022-F21+F22+⋅⋅⋅+F22021=F22022-F2022⋅F2021=F2022F2022-F2021=F2022⋅F m，所以F2022-F2021=F m，所以F2022=F2021+F m，由F2022=F2021+F2020，所以F m=F2020，所以m=2020，故答案为 2020．。

【高中数学名师精华荟萃总结】《解析几何大题》专题突破

专题突破解析几何（学生版）•一、轨迹问题•二、求值•三、最值（范围）问题•四、定点、定位、定值问题•五、存在性问题恒成立与有解问题一、轨迹问题问题一: 利用直接法求轨迹方程直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化, 列出等式化简即得动点轨迹方程.具体步骤为通过建立适当的坐标系, 设点、列式、化简从而得出轨迹方程.线段与互相垂直平分于点, , , 动点满足, 求动点的轨迹方程．问题二: 利用定义法求轨迹方程当动点的轨迹满足某种曲线的定义时, 就可由曲线的定义直接写出轨迹方程.2. , 为动点, 、为定点, , , 且满足条件,求动点A的轨迹方程.3.已知动圆与两定圆和都外切, 求动圆圆心的轨迹方程.问题三: 利用转移法求轨迹方程动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的, 这时我们可以用动点坐标来表示相关点坐标, 根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程, 这种求轨迹的方法叫相关点法。

转移法(也称代入法,相关点法): 转移法求轨迹方程的步骤:（1）设两个动点坐标为, 其中动点在已知曲线上, 动点为所求轨迹上的点；（2）寻找两个动点之间的关系, 把用表示；将用表示的代入已知曲线方程, 整理即得所求.4.已知点为圆上的一个动点, 点的坐标为, 试求线段中点的轨迹方程．问题四: 利用待定系数法求轨迹方程待定系数法求轨迹方程的步骤: (1)设出所求的曲线方程；(2)求出字母参数；(3)代入所设. 5.在面积为的中, ．建立适当坐标系, 求以为焦点且过的椭圆方程．问题五: 参数法求轨迹方程6.设椭圆方程为 ,过点的直线交椭圆于两点, 是坐标原点,点满足 .当绕点旋转时, 求: 动点的轨迹方程.7、（2011安徽理）设 , 点的坐标为 , 点在抛物线上运动, 点满足 , 经过点与轴垂直的直线交抛物线于点 , 点满足 , 求点的轨迹方程．8. (2013四川) 已知椭圆 : 的两个焦点分别为 , 且椭圆经过点 . （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于、两点, 点是线段上的点, 且 , 求点的轨迹方程. 9、如图, 动点到两定点、构成 , 且 , 设动点的轨迹为。

高中数学专题微专题13 极值点偏移问题

由 f′(x)＝1－1x＋ln x－2x＋a＝0 得
a＝2x＋1x－ln x－1，
所以直线 y＝a 与函数 g(x)＝2x＋1x－ln x－1 的图象有两个交点，
由
g(x)
＝
2x
＋
1 x
－
பைடு நூலகம்
ln
x－1
得
g′(x)
＝
2
－
1 x2
－
1 x
＝
2x2－x－1 x2
＝
2x＋1x－1
x2
，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，因此g(x)min＝g(1)＝2，当x→0时，g(x)→＋∞，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，作出y＝g(x)的大致图象，如图所示. 所以若有两个交点，只需a>2，即a的取值范围为 (2，＋∞).
(2)设x1，x2是函数f(x)的两个极值点，证明：x1＋x2>2.
因为x1，x2是函数f(x)的两个极值点，所以f′(x1)＝f′(x2)＝0，由(1)可知g(x1)＝g(x2)＝a，不妨设0<x1<1<x2，要证明x1＋x2>2，只需证明x2>2－x1，显然2－x1>1，由(1)可知，当x∈(1，＋∞)时，g(x)单调递增，所以只需证明g(x2)>g(2 －x1)，而g(x1)＝g(x2)＝a，所以证明g(x1)>g(2－x1)即可，即证明函数h(x)＝g(x)－g(2－x)>0在x∈(0,1)时恒成立，
123
(2)若f′(x0)＝0(f′(x)为f(x)的导函数)，方程f(x)＝m有两个不相等的实数根x1，x2，求证：x1＋x2>2x0.

2010届高中数学高考专题训练练习：20分钟专题突破(13)旧人教版

数学20分钟专题突破13圆锥曲线与方程一.选择题1.双曲线2212x y -=的焦距为（）2.设椭圆C 1的离心率为135，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（）（A ）1342222=-y x (B)15132222=-y x (C)1432222=-y x (D)112132222=-y x3.在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为A.0.5B.1C. 2D. 44.(福建省厦门市2008学年高三质量检查)若抛物线1262222=+=y x px y 的焦点与椭圆的右焦点重合，则p 的值为（）A ．－2B ．2C ．－4D ．4二.填空题1.已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点为F,右准线为l ,离心率e =5 过顶点A (0,b )作AM ⊥l ,垂足为M ，则直线FM 的斜率等于 _______ .2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．3.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b +=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．三.解答题（2008安徽文）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B 两点，求证：22AB COS θ=-; （Ⅲ）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求AB DE + 的最小值.答案：一.选择题1.选D2.选A3.选C4.选D二.选择题1. 122. 223144x y -= 3.三.解答题解：（1）由题意得： 2222222844c a a cb a bc =⎧⎪⎧=⎪⎪=⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=+⎩∴ ∴椭圆C 的方程为22184x y +=(2)方法一：由（1）知1(2,0)F -是椭圆C 的左焦点，离心率22e =设l 为椭圆的左准线。

高中数学《导数的四则运算法则》专题突破含解析

5.2.2 导数的四则运算法则课标要求素养要求能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数.在利用导数的运算法则求函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.新知探究已知f (x )＝x ，g (x )＝1x . Q (x )＝f (x )＋g (x )，H (x )＝f (x )－g (x ) 问题1 f (x )，g (x )的导数分别是什么？提示 f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x 2.问题2 试求y ＝Q (x )，y ＝H (x )的导数.并观察Q ′(x )，H ′(x )与f ′(x )，g ′(x )的关系. 提示 ∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x （x ＋Δx ），∴Δy Δx ＝1－1x （x ＋Δx ）.∴Q ′(x )＝错误!未指定书签。

0lim x ∆→Δy Δx ＝错误!未指定书签。

0lim x ∆→⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x （x ＋Δx ）＝1－1x 2.同理，H ′(x )＝1＋1x 2.显然Q (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的和.H (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的差.导数运算法则注意两函数商的导数中分式的分子上是“－”法则语言叙述[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)[微判断]1.函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1).(√)2.当g (x )≠0时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g （x ）′＝－g ′（x ）g 2（x ）.(√)3.函数f (x )＝x ln x 的导数是f ′(x )＝x .(×) 提示 f ′(x )＝(x )′ln x ＋x (ln x )′＝ln x ＋1. [微训练]1.(多选题)下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B.(sin x ＋cos x )′＝cos x －sin x C.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝1－ln x x 2 D.(x 2cos x )′＝－2x sin x解析 A 中⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x 2，A 不正确；D 中，(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 不正确；BC 正确. 答案 BC2.设f (x )＝x 3＋ax 2－2x ＋b ，若f ′(1)＝4，则a 的值是( ) A.94 B.32 C.－1D.－52解析f′(x)＝3x2＋2ax－2，故f′(1)＝3＋2a－2＝4，解得a＝3 2.答案 B3.设f(x)＝xe x，则f′(0)＝________.解析f′(x)＝e x－x e x（e x）2＝1－xe x，故f′(0)＝1.答案 1[微思考]1.设f(x)＝tan x，如何求f′(x)?提示f(x)＝tan x＝sin xcos x，所以f′(x)＝cos2x＋sin2xcos2x＝1cos2x.2.设f(x)＝x4＋2x3－3x2＋1x2，如何求f′(x)?提示f(x)＝x4＋2x3－3x2＋1x2＝x2＋2x－3＋x－2，故f′(x)＝2x＋2－2x－3.题型一利用运算法则求函数的导数【例1】求下列函数的导数. (1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；(2)y＝x2－x＋1 x2＋x＋1；(3)y＝3x e x－2x＋e；(4)y＝ln x x2＋1.解(1)法一可以先展开后再求导：y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.法二可以利用乘法的求导法则进行求导：y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x 2＋4x －3.(2)把函数的解析式整理变形可得： y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝x 2＋x ＋1－2x x 2＋x ＋1＝1－2x x 2＋x ＋1， ∴y ′＝－2（x 2＋x ＋1）－2x （2x ＋1）（x 2＋x ＋1）2＝2x 2－2（x 2＋x ＋1）2.(3)根据求导法则进行求导可得： y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x ln 3·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(3e)x ln 3e －2x ln 2. (4)利用除法的求导法则进行求导可得： y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x ·（x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－ln x ·2x （x 2＋1）2＝x 2（1－2ln x ）＋1x （x 2＋1）2.规律方法利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式.(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导. 【训练1】求下列函数的导数. (1)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (2)y ＝3x ＋lg x ； (3)y ＝x 2＋tan x ； (4)y ＝e xx ＋1.解 (1)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝3x 2－2x ＋1.(2)y ′＝(3x )′＋(lg x )′＝3x ln 3＋1x ln 10.(3)因为y ＝x 2＋sin xcos x ，所以y ′＝(x 2)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝2x ＋cos 2x －sin x （－sin x ）cos 2x ＝2x ＋1cos 2x . (4)y ′＝（e x ）′（x ＋1）－（x ＋1）′e x（x ＋1）2＝e x （x ＋1）－e x （x ＋1）2＝x e x （x ＋1）2.题型二求导法则的应用角度1 求导法则的逆向应用【例2－1】已知f ′(x )是一次函数，x 2·f ′(x )－(2x －1)·f (x )＝1对一切x ∈R 恒成立，求f (x )的解析式.解由f ′(x )为一次函数可知，f (x )为二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )，f ′(x )代入关于x 的方程得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)·(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0，又该方程对一切x ∈R 恒成立，所以⎩⎨⎧a －b ＝0，b －2c ＝0，c －1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.规律方法待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数.【训练2】设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋1.求y ＝f (x )的函数表达式. 解 ∵f ′(x )＝2x ＋1， ∴f (x )＝x 2＋x ＋c (c 为常数)，又∵方程f (x )＝0有两个相等的实根，即x 2＋x ＋c ＝0有两个相等的实根，Δ＝12－4c ＝0，即c ＝14，∴f (x )＝x 2＋x ＋14.角度2 求导法则在导数几何意义中的应用【例2－2】已知函数f (x )＝ax 3－x 2－x ＋b (a ，b ∈R ，a ≠0)，g (x )＝3e4e x ，f (x )的图象在x ＝－12处的切线方程为y ＝34x ＋98. (1)求a ，b 的值.(2)直线y ＝34x ＋98是否与函数g (x )的图象相切？若相切，求出切点的坐标；若不相切，请说明理由. 解 (1)f ′(x )＝3ax 2－2x －1.∵f (x )的图象在x ＝－12处的切线方程为y ＝34x ＋98，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1－1＝34，解得a ＝1，又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，34， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－123－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋b ＝34，解得b ＝58. 综上，a ＝1，b ＝58.(2)设直线y ＝34x ＋98与函数g (x )的图象相切于点A (x 0，y 0). ∵g ′(x )＝3e 4e x ，∴g ′(x 0)＝3e 4e x 0＝34，解得x 0＝－12，将x 0＝－12代入g (x )＝3e 4e x ，得点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，34，∴切线方程为y －34＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，化简得y ＝34x ＋98，故直线y ＝34x ＋98与函数g (x )的图象相切，切点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，34. 规律方法 (1)此类问题主要涉及切点，切点处的导数、切线方程三个主要元素，解题方法为把其它题设条件转化为这三个要素间的关系，构建方程(组)求解.(2)准确利用求导法则求出函数的导数是解此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.【训练3】 (1)已知函数f (x )＝axx 2＋b，且f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若P (x 0，y 0)为f (x )图象上的任意一点，直线l 与f (x )的图象切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围.解 (1)由题意得f ′(x )＝（ax ）′（x 2＋b ）－ax （x 2＋b ）′（x 2＋b ）2＝a （x 2＋b ）－2ax 2（x 2＋b ）2＝－ax 2＋ab （x 2＋b ）2，因为f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝－a ＋ab （1＋b ）2＝0，f （1）＝a 1＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝1，则f (x )＝4xx 2＋1； (2)由(1)可得，f ′(x )＝－4x 2＋4（x 2＋1）2，所以直线l 的斜率 k ＝f ′(x 0)＝－4x 20＋4（x 20＋1）2＝－4（x 20＋1）＋8（x 20＋1）2＝－4·1x 20＋1＋8（x 20＋1）2设t ＝1x 20＋1，则t ∈(0，1]，所以k ＝4(2t 2－t )＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－12，则在对称轴t ＝14处取到最小值－12，在t ＝1处取到最大值4，所以直线l 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4.一、素养落地1.通过利用导数的运算法则求导数提升数学运算素养.2.导数的求法对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数. 3.和与差的运算法则可以推广[f (x 1)±f (x 2)±…±f (x n )]′＝f ′(x 1)±f ′(x 2)±…±f ′(x n ). 4.积、商的求导法则(1)若c 为常数，则[cf (x )]′＝cf ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)； (3)当f (x )＝1时，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g （x ）′＝－g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).二、素养训练1.函数y ＝(x ＋1)(x －1)的导数等于( ) A.1 B.－12xC.12xD.－14x解析因为y ＝(x ＋1)(x －1)＝x －1，所以y ′＝x ′－1′＝1. 答案 A2.已知函数f (x )＝x e x ＋ax ，若f ′(0)＝2，则实数a 的值为( ) A.－1 B.0 C.1D.2 解析 f ′(x )＝e x (x ＋1)＋a ，故f ′(0)＝1＋a ＝2，所以a ＝1.答案 C 3.函数y ＝cos x1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x（1－x ）2B.x sin x －sin x －cos x（1－x ）2C.cos x －sin x ＋x sin x（1－x ）2D.cos x －sin x ＋x sin x1－x解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝（－sin x ）（1－x ）－cos x ·（－1）（1－x ）2＝cos x －sin x ＋x sin x（1－x ）2.答案 C4.曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的方程为________.解析 f ′(x )＝1＋ln x ，则在点(1，f (1))处切线的斜率k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，故所求的切线方程为y －0＝1×(x －1)，即x －y －1＝0. 答案 x －y －1＝05.已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 解析由于f ′(0)是常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 答案 1基础达标一、选择题1.曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.3π4 C.π4D.π3解析因为f ′(x )＝x 2－2x ，k ＝f ′(1)＝－1，所以在x ＝1处的切线的倾斜角为3π4. 答案 B2.函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x （x ＋3）2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x （x ＋3）2D.3x 2＋6x （x ＋3）2解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝（x 2）′（x ＋3）－x 2（x ＋3）′（x ＋3）2＝2x （x ＋3）－x 2（x ＋3）2＝x 2＋6x（x ＋3）2.答案 A3.下列运算中正确的是( ) A.(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′＋(c )′ B.(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝（sin x ）′－（x 2）′x 2D.(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x解析 A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′＋(c )′正确； B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′错误；C 项中，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝（sin x ）′x 2－sin x （x 2）′（x 2）2错误；D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′错误. 答案 A4.若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A.－1 B.－2 C.2D.0解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(x )是奇函数，故f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案 B5.已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的大致图象是( )解析 ∵f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x .易知f ′(x )＝12x －sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D.由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π12－12<0，排除C ，故选A. 答案 A 二、填空题6.函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处切线的倾斜角为________.解析由题意得，f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＝e x (sin x ＋cos x )，∴函数f (x )的图象在点(0，f (0))处切线的斜率k ＝f ′(0)＝1，则所求的倾斜角为π4. 答案 π47.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－4x ，x <0，－1x －ln x ，0<x <1，若f ′(a )＝12，则实数a 的值为________.解析 f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x <0，1x 2－1x ，0<x <1，若f ′(a )＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，1a 2－1a ＝12或⎩⎨⎧a <0，a 2－4＝12，解得a＝14或a ＝－4. 答案 14或－48.设f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，若h (x )＝f （x ）＋2g （x ），则h ′(5)＝________.解析由题意知f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1， ∵h ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－[f （x ）＋2]g ′（x ）[g （x ）]2，∴h ′(5)＝f ′（5）g （5）－[f （5）＋2]g ′（5）[g （5）]2＝3×4－（5＋2）×142＝516.答案 516 三、解答题9.求下列函数的导数： (1)f (x )＝(x 2＋9)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x(2)f (x )＝sin xx n .解 (1)f (x )＝x 3＋6x －27x ，f ′(x )＝3x 2＋27x 2＋6. (2)f ′(x )＝（sin x ）′x n －sin x ·（x n ）′（x n ）2＝x n cos x －nx n －1sin x x 2n＝x cos x －n sin xx n ＋1.10.已知抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7经过点(1，1)，且在点(1，1)处的切线方程为4x －y －3＝0，求a ，b 的值.解由抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7经过点(1，1)，得1＝a ＋b －7，即a ＋b －8＝0.因为f ′(x )＝2ax ＋b ，且抛物线在点(1，1)处的切线方程为4x －y －3＝0，所以f ′(1)＝4，即2a ＋b －4＝0.由⎩⎨⎧a ＋b －8＝0，2a ＋b －4＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝12.能力提升11.若曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝e xa (a >0)存在公共切线，则实数a 的取值范围为( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，e 24 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤e 24，2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞解析 y ＝x 2在点(m ，m 2)处的切线斜率为2m ，y ＝e x a (a >0)在点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，1a e n 处的切线斜率为1a e n ，如果两个曲线存在公共切线，那么2m ＝1a e n.又由斜率公式可得2m ＝m 2－1a e nm －n，由此得到m ＝2n －2，则4n －4＝1a e n 有解，所以函数y ＝4x －4与y ＝1a e x的图象有交点即可.当直线y ＝4x －4与函数y ＝1a e x 的图象相切时，设切点为(s ，t )，则1a e s ＝4，且t ＝4s －4＝1a e s ，即有切点(2，4)，a ＝e 24，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞.故选D. 答案 D12.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.(1)解由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋bx 2， ∴f ′(2)＝74，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0). 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.创新猜想13.(多选题)过点P (2，－6)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线，则切线方程为( ) A.3x ＋y ＝0 B.24x －y －54＝0 C.3x －y ＝0D.24x －y ＋54＝0解析设切点为(m ，m 3－3m )， f (x )＝x 3－3x 的导数为f ′(x )＝3x 2－3，则切线斜率k ＝3m 2－3，由点斜式方程可得切线方程为 y －m 3＋3m ＝(3m 2－3)(x －m )，将点P (2，－6)代入可得－6－m 3＋3m ＝(3m 2－3)(2－m )，解得m ＝0或m ＝3.当m ＝0时，切线方程为3x ＋y ＝0；当m ＝3时，切线方程为24x －y －54＝0. 答案 AB14.(多空题)如图所示的图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则这个图象的序号是________，f (－1)＝________.解析∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，排除图象②④；又a≠0，∴f′(x)不是偶函数，其图象不关于y轴对称，故f′(x)的图象的序号为③.由图象特征可知，f′(0)＝0，∴a2－1＝0，且对称轴x＝－a>0，∴a＝－1，∴f(x)＝13x3－x2＋1，则f(－1)＝－1 3.答案③－1 3。

高中数学《等比数列的前n项和公式第一课时》专题突破含解析

4.3.2 等比数列的前n 项和公式第一课时等比数列的前n 项和公式课标要求素养要求1.探索并掌握等比数列的前n 项和公式.2.理解等比数列的通项公式与前n 项和公式的关系.在探索等比数列的前n 项和公式的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.新知探究在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息.在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任.你知道这其中的缘由吗？如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给3个不同的好友(称为第1轮传播)，每个好友收到信息后，又都传给了3个不同的好友(称为第2轮传播)……，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列问题如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？提示 1＋3＋9＋…＋320＝1－3211－3＝12(321－1).1.等比数列的前n 项和公式应用公式求和，首先要判断公比是否为1，再选择公式已知量首项、公比和项数首项、末项和公比公式S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1a 1－a n q 1－q ，q ≠12.当公比q ≠1时，设A ＝a 1q －1，等比数列的前n 项和公式是S n ＝A (q n －1).即S n 是n 的指数型函数.当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，S n 是n 的正比例函数. 3.错位相减法(1)推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法；(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和，即若{b n }是公差d ≠0的等差数列，{c n }是公比q ≠1的等比数列，求数列{b n ·c n }的前n 项和S n 时，可以用这种方法.拓展深化[微判断]1.求等比数列的前n 项和可以直接套用公式S n ＝a 1（1－q n ）1－q .(×)提示当q ＝1时，S n ＝na 1.2.等比数列的前n 项和不可以为0.(×)提示可以为0，比如1，－1，1，－1，1，－1的和.3.数列{a n }的前n 项和为S n ＝a n ＋b (a ≠0，a ≠1)，则数列{a n }一定是等比数列.(×) 提示由于等比数列的前n 项和为S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－q q n.可以发现b ＝－1时，数列{a n }才为等比数列.4.求数列{n ·2n }的前n 项和可用错位相减法.(√)[微训练]1.在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和S 10＝( ) A.2－128 B.2－129 C.2－1210D.2－1211解析易知公比q ＝12，则S 10＝1－12101－12＝2－129. 答案 B2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则公比q ＝( ) A.1或－1 B.1 C.－1D.12解析由S 3＋S 6＝S 9得S 3＝S 9－S 6，即a 1＋a 2＋a 3＝a 7＋a 8＋a 9＝q 6(a 1＋a 2＋a 3)，则q 6＝1，q ＝±1. 答案 A [微思考]1.若等比数列{a n }的公比q 不为1，其前n 项和为S n ＝Aq n ＋B ，则A 与B 有什么关系？提示 A ＝－B .2.等比数列{a n }的前n 项和公式中涉及a 1，a n ，n ，S n ，q 五个量，已知几个量方可以求其它量？提示三个.题型一等比数列前n 项和公式的直接应用【例1】求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1281－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8. 又由q <0，可得q ＝－13，所以S 8＝a 1－a 8q 1－q ＝a 1－a 91－q ＝27－12431－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1 64081. 规律方法求等比数列的前n 项和，要确定首项，公比或首项、末项、公比，应注意公比q ＝1是否成立.【训练1】 (1)求数列{(－1)n ＋2}的前100项的和；(2)在14与78之间插入n 个数，组成所有项的和为778的等比数列，求此数列的项数. 解 (1)法一 a 1＝(－1)3＝－1，q ＝－1. ∴S 100＝－1[1－（－1）100]1－（－1）＝0.法二数列{(－1)n ＋2}为－1，1，－1，1，…， ∴S 100＝50×(－1＋1)＝0.(2)设此数列的公比为q (易知q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧78＝14q n ＋1，778＝14－78q 1－q，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－12，n ＝3，故此数列共有5项. 题型二等比数列前n 项和公式的综合应用【例2】已知一个等比数列{a n }，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4和S 5. 解设等比数列的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q 2）＝10， ①a 1q 3（1＋q 2）＝54. ② ∵a 1≠0，1＋q 2≠0，②÷①得q 3＝18， ∴q ＝12，∴a 1＝8，∴a 4＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1，∴S 5＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝312.【迁移1】设数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，且S 3＝3a 3，求此数列的公比q .解当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3，符合题目条件. 当q ≠1时，a 1（1－q 3）1－q＝3a 1q 2.因为a 1≠0，所以1＋q ＋q 2＝3q 2，2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12.所以此数列的公比q ＝1或－12.【迁移2】在等比数列{a n }中，S 2＝30，S 3＝155，求S n . 解若q ＝1，则S 3∶S 2＝3∶2，而事实上，S 3∶S 2＝31∶6，故q ≠1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 2）1－q ＝30， ①a 1（1－q 3）1－q ＝155， ②两式作比，得1＋q 1＋q ＋q 2＝631，解得⎩⎨⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56，从而S n ＝5（1－5n ）1－5＝54(5n－1)或S n ＝180⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＝1 080⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11.规律方法等比数列前n 项和公式的运算(1)应用等比数列的前n 项和公式时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.(2)当q ＝1时，等比数列是常数列，所以S n ＝na 1；当q ≠1时，等比数列的前n 项和S n 有两个公式.当已知a 1，q 与n 时，用S n ＝a 1（1－q n ）1－q 比较方便；当已知a 1，q 与a n 时，用S n ＝a 1－a n q1－q比较方便.【训练2】 (1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ≠1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋2＋a n ＋1＝2a n ，则S 5＝( ) A.12 B.20 C.11D.21(2)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( ) A.－2 B.2 C.－3D.3解析 (1)a n ＋2＋a n ＋1＝2a n 等价于a n q 2＋a n q ＝2a n . 因a n ≠0，故q 2＋q －2＝0，即(q ＋2)(q －1)＝0.因为q ≠1，所以q ＝－2，故S 5＝1×[1－（－2）5]1－（－2）＝11，故选C.(2)设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1. ∵S 2mS m＝a 1（1－q 2m ）1－q a 1（1－q m）1－q＝q m ＋1＝9，∴q m ＝8. ∵a 2m a m＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.答案 (1)C (2)B题型三等比数列前n 项和公式的函数特征应用【例3】数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2.求{a n }的通项公式，并判断{a n }是否是等比数列.解当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －2)－(3n －1－2)＝2·3n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1不适合上式. ∴a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2×3n －1，n ≥2. 法一由于a 1＝1，a 2＝6，a 3＝18，显然a 1，a 2，a 3，不是等比数列，即{a n }不是等比数列.法二由等比数列{b n }的公比q ≠1时的前n 项和S n ＝A ·q n ＋B 满足的条件为A ＝－B ，对比可知S n ＝3n －2，－2≠－1，故{a n }不是等比数列.规律方法已知S n ，通过a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项a n ，应特别注意n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n －1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列.【训练3】若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________. 解析显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)，又S n ＝13×3n ＋t ，∴t ＝－13. 答案－13题型四利用错位相减法求数列的前n 项和【例4】求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0). 解当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2；当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x （1－x n ）1－x －nx n ＋1，∴S n ＝x （1－x n ）（1－x ）2－nx n ＋11－x.综上可得，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＋1）2，x ＝1，x （1－x n ）（1－x ）2－nx n ＋11－x ，x ≠1且x ≠0.规律方法一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是公比不为1的等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法. 【训练4】求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和.解设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1，即12S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n－n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n (n ∈N *).一、素养落地1.通过学习等比数列前n 项和公式及其应用，提升数学运算和逻辑推理素养.2.在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”.3.前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况.二、素养训练1.数列1，5，52，53，54，…的前10项和为( ) A.15()510－1 B.14()510－1 C.14()59－1D.14()511－1解析 S 10＝1－5101－5＝14(510－1).答案 B2.设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A.2B.4C.152D.172解析由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152.答案 C3.等比数列{a n }中，a 3＝8，a 6＝64，则{a n }的前5项的和是________.解析 ∵q 3＝a 6a 3＝8，∴q ＝2，从而a 1＝2.∴S 5＝2（1－25）1－2＝62.答案 624.已知等比数列{a n }中，a 1＝2，q ＝2，前n 项和S n ＝126，则n ＝________. 解析 S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，即2n ＋1＝128，故n ＋1＝7，n ＝6.答案 65.在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求a 3和q . 解由题意，得若q ＝1，则S 3＝3a 1＝6，符合题意. 此时，q ＝1，a 3＝a 1＝2.若q ≠1，则由等比数列的前n 项和公式，得S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝2（1－q 3）1－q＝6，解得q ＝－2.此时，a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q ＝1，a 3＝2或q ＝－2，a 3＝8.基础达标一、选择题1.设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [（－1）n －1]2B.（－1）n ＋1＋12C.（－1）n ＋12D.（－1）n －12解析 S n ＝（－1）[1－（－1）n ]1－（－1）＝（－1）n －12.答案 D2.在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A.33 B.72 C.84D.189解析由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q 2＋q －6＝0.∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3＝22×21＝84. 答案 C3.等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝1，a 4＝4，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝( ) A.2n －1 B.4n －13 C.1－（－4）n3D.1－（－2）n 3解析由a 1a 2a 3＝1得a 2＝1，又a 4＝4，故q 2＝4，a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝4n －13. 答案 B4.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4－a 1＝78，S 3＝39，设b n ＝log 3a n ，那么数列{b n }的前10项和为( )A.log 371B.692C.50D.55解析由a 4－a 1＝78得a 1(q 3－1)＝78，又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝39，解得a 1＝q ＝3，故a n ＝3n ，b n ＝n ，所以数列{b n }的前10项和为55.答案 D5.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和等于( )A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158解析设数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由已知得9（1－q 3）1－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，前5项和为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案 C二、填空题6.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析由题意设数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案 327.已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0.∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n .又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴S n ＝2（1－3n ）1－3＝3n －1. 答案 3n －18.若等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝m ·4n －1＋t (其中m ，t 是常数)，则m t ＝________.解析法一 a 1＝S 1＝m ＋t ，a 2＝S 2－S 1＝3m ，a 3＝S 3－S 2＝12m ，则a 22＝a 1a 3，所以9m 2＝12m (m ＋t )，即m ＝－4t ，故m t ＝－4.法二 S n ＝m ·4n －1＋t ＝14m ·4n ＋t ，因为{a n }是等比数列，故14m ＝－t ，则m t ＝－4.答案－4三、解答题9.在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和.解设数列{a n }的公比为q (q ≠0).由已知可得⎩⎨⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎨⎧a 1（q －1）＝2， ①q 2－4q ＋3＝0， ② 解②得q ＝3或q ＝1.由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去.故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－3n ）1－3＝3n －12(n ∈N *). 10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列，且a 2＝3，a 3＝5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列，∴S n n ＝a 1＋n －1，可得S n ＝n (a 1＋n －1)，∴a 1＋a 2＝2(a 1＋1)，a 1＋a 2＋a 3＝3(a 1＋2)，且a 2＝3，a 3＝5.解得a 1＝1.∴S n ＝n 2.∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n ＝1时也成立).∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝a n ·3n ＝(2n －1)·3n ，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)×3n ，∴3T n ＝32＋3×33＋…＋(2n －3)×3n ＋(2n －1)×3n ＋1，∴－2T n ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)×3n ＋1＝3＋2×9（3n －1－1）3－1－(2n －1)×3n ＋1，可得T n ＝3＋(n －1)×3n ＋1.能力提升11.数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎨⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n －a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1(n ∈N *).答案 2n －112.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上.(1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列？(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 4a n ＋1，c n ＝a n ＋b n ，T n 是数列{c n }的前n 项和，求T n . 解 (1)因为点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，所以a n ＋1＝3S n ＋1，当n ≥2时，a n ＝3S n －1＋1.于是a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)⇒a n ＋1－a n ＝3a n ⇒a n ＋1＝4a n . 又当n ＝1时，a 2＝3S 1＋1⇒a 2＝3a 1＋1＝3t ＋1，所以当t ＝1时，a 2＝4a 1，此时，数列{a n }是等比数列.(2)由(1)，可得a n ＝4n －1，a n ＋1＝4n ，所以b n ＝log 4a n ＋1＝n ，c n ＝4n －1＋n ，那么T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n －1＋n )＝(40＋41＋…＋4n －1)＋(1＋2＋…＋n ) ＝4n －13＋n （n ＋1）2.创新猜想13.(多选题)已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，则下列说法一定成立的是() A.若a 3>0，则a 2 021>0B.若a 4>0，则a 2 020>0C.若a 3>0，则S 2 021>0D.若a 3>0，则S 2 021<0解析设数列{a n }的公比为q ，当a 3>0时，a 2 021＝a 3q 2 018>0，A 正确；当a 4>0时，a 2 020＝a 4·q 2 016>0，B 正确.又当q ≠1时，S 2 021＝a 1（1－q 2 021）1－q ，当q <0时，1－q >0，1－q 2 021>0，∴S 2 021>0，当0<q <1时，1－q >0，1－q 2 021>0，∴S 2 021>0，当q >1时，1－q <0，1－q 2 021<0，∴S 2 021>0. 当q ＝1时，S 2 021＝2 021a 1>0，故C 正确，D 不正确. 答案 ABC14.(多空题)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且公比q >1，若a 2＝2，S 3＝7.则数列{a n }的通项公式a n ＝________，a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.解析 ∵a 2＝2，S 3＝7，由S 3＝2q ＋2＋2q ＝7，解得q ＝2或q ＝12，又∵q >1，∴q ＝2，故a 1＝1，所以a n ＝2n －1∴a 2n ＝4n －1， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1（1－4n ）1－4＝4n －13. 答案 2n －1 4n －13。

【高中数学专项突破】专题13 分段函数问题专题突破(含答案)

【高中数学专项突破】专题13 分段函数问题题组4 分段函数1.函数f（x）＝的值域是（）A.RB.（0,2）∪（2，＋∞）C.（0，＋∞）D.[0,2]∪[3，＋∞）2.设函数g（x）＝x2－2（x∈R），f（x）＝则f（x）的值域是（）A.[0，＋∞）B.[－，＋∞）C.[－，0]∪（1，＋∞）D.[－，0]∪（2，＋∞）3.已知f（x）＝则f（f（f（－2）））等于（）A.πB.0C.2D.π＋14.设f（x）＝则f（f（0））等于（）A.1B.0C.2D.－15.设函数f（x）＝若f＝4，则b等于（）A.1B.C.D.6.已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地前往B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t（小时）的函数表达式是（）A.x＝60tB.x＝60t＋50C.x＝D.x＝7.已知函数f（x）＝则f（x）－f（－x）>－1的解集为（）A.（－∞，－1）∪（1，＋∞）B.[－1，－）∪（0,1]C.（－∞，0）∪（1，＋∞）D.[－1，－]∪（0,1）8.已知符号函数sgn x＝则不等式（x＋1）sgn x>2的解集是（）A.（－3,1）B.（－∞，－3）∪（1，＋∞）C.（1，＋∞）D.（－∞，－3）9.设函数f（x）＝若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为（）A.1B.2C.3D.410.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为（）A.13立方米B.14立方米C.18立方米D.26立方米11.已知g（x）＝ax＋a，f（x）＝对任意x1∈[－2,2]，存在x2∈[－2,2]，使g（x1）＝f（x2）成立，则a的取值范围是（）A.[－1，＋∞）B.[－，1]C.（0,1]D.（－∞，1]12.定义在R上的函数f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且x≥1时，f（x）＝＋1，则f（x）的解析式为________.13.已知函数f（x）＝（1）求f（f（f（5）））的值；（2）画出函数f（x）的图象.14.已知函数f（x）＝（1）求f，f，f（4.5），f；（2）若f（a）＝6，求a的值.15.已知实数a≠0，函数f（x）＝（1）若a＝－3，求f（10），f（f（10））的值；（2）若f（1－a）＝f（1＋a），求a的值.16.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图所示.则：（1）月通话为50分钟时，应交话费多少元；（2）求y与x之间的函数关系式.17.已知f（x）＝（1）画出f（x）的图象；（2）若f（x）＝，求x的值；（3）若f（x）≥，求x的取值范围.18.某种商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系式近似满足P＝商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式近似满足Q＝－t＋40（1≤t≤30，t∈N）.求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天.19.某工厂生产一批产品，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，产品的市场售价与上市时间的关系用如图（1）所示的一条折线表示；生产成本与上市时间的关系用如图（2）所示的抛物线表示.（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t），写出图（2）表示的生产成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；（2）认定市场售价减去生产成本为纯利益，则何时上市产品的纯收益最大？（注：市场售价和生产成本的单位：元/件，时间单位：天）20.已知函数f（x）＝（1）试比较f（f（－3））与f（f（3））的大小；（2）画出函数的图象；（3）若f（x）＝1，求x的值.专题13 分段函数问题题组4 分段函数1.函数f（x）＝的值域是（）A.RB.（0，2）∪（2，＋∞）C.（0，＋∞）D.[0，2]∪[3，＋∞）【答案】D【解析】画出函数f（x）的图象如图所示，由图可知f（x）的值域为[0，2]∪[3，＋∞）.2.设函数g（x）＝x2－2（x∈R），f（x）＝则f（x）的值域是（）A.[0，＋∞）B.[－，＋∞）C.[－，0]∪（1，＋∞）D.[－，0]∪（2，＋∞）【答案】D【解析】由题意，可知f（x）＝因此问题就等价于求二次函数在给定区间上的取值范围，∴若x∈（－∞，－1）∪（2，＋∞），则f（x）∈（2，＋∞），若x∈[－1，2]，则f（x）∈[－，0]，∴f（x）的值域为[－，0]∪（2，＋∞）.3.已知f（x）＝则f（f（f（－2）））等于（）A.πB.0C.2D.π＋1【答案】D【解析】f（－2）＝0，f（0）＝π，f（π）＝π＋1.4.设f（x）＝则f（f（0））等于（）A.1B.0C.2D.－1【答案】C【解析】5.设函数f（x）＝若f＝4，则b等于（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】∵<1，∴f＝3×－b＝－b.若－b<1，即b>，则f＝3－b＝－4b<－≠4.若－b≥1，即b≤，则f＝2＝5－2b＝4，b＝.故选D.6.已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地前往B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t（小时）的函数表达式是（）A.x＝60tB.x＝60t＋50C.x＝D.x＝【答案】D【解析】由于在B地停留1小时期间，距离x不变，始终为150千米，故选D.7.已知函数f（x）＝则f（x）－f（－x）>－1的解集为（）A.（－∞，－1）∪（1，＋∞）B.[－1，－）∪（0，1]C.（－∞，0）∪（1，＋∞）D.[－1，－]∪（0，1）【答案】B【解析】①当－1≤x<0时，0<－x≤1，此时f（x）＝－x－1，f（－x）＝－（－x）＋1＝x＋1，∴f（x）－f（－x）>－1化为－2x－2>－1，解得x<－，则－1≤x<－.②当0<x≤1时，－1≤－x<0，此时f（x）＝－x＋1，f（－x）＝－（－x）－1＝x－1，∴f（x）－f（－x）>－1化为－2x＋2>－1，解得x<，则0<x≤1.故所求不等式的解集为[－1，－）∪（0，1].8.已知符号函数sgn x＝则不等式（x＋1）sgn x>2的解集是（）A.（－3，1）B.（－∞，－3）∪（1，＋∞）C.（1，＋∞）D.（－∞，－3）【答案】B【解析】原不等式可化为或或（不成立，舍去），解得x>1或x<－3. 9.设函数f（x）＝若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2可得⇒当x≤0时，f（x）＝x⇔x2＋3x＋2＝0⇔x1＝－1，x2＝－2，有两个解，当x>0时，f（x）＝x显然有一个解x＝2，故选C.10.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为（）A.13立方米B.14立方米C.18立方米D.26立方米【答案】A【解析】该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13（立方米）.11.已知g（x）＝ax＋a，f（x）＝对任意x1∈[－2，2]，存在x2∈[－2，2]，使g（x1）＝f（x2）成立，则a的取值范围是（）A.[－1，＋∞）B.[－，1]C.（0，1]D.（－∞，1]【答案】B【解析】由题意知函数g（x）在区间[－2，2]上的值域是函数f（x）在区间[－2，2]上的值域的子集；因为当x∈[0，2]时，－1≤x2－1≤3，当x∈[－2，0）时，－4≤－x2<0，所以函数f（x）的值域是[－1，3]∪[－4，0）＝[－4，3]，所以解得－≤a≤1.12.定义在R上的函数f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且x≥1时，f（x）＝＋1，则f（x）的解析式为________.【答案】f（x）＝【解析】设x<1，则2－x>1，且f（x）＝f＝f（1－（x－1））＝f（2－x）＝＋1.∴f（x）＝13.已知函数f（x）＝（1）求f（f（f（5）））的值；（2）画出函数f（x）的图象.【答案】（1）因为5>4，所以f（5）＝－5＋2＝－3.因为－3<0，所以f（f（5））＝f（－3）＝－3＋4＝1.因为0<1<4，所以f（f（f（5）））＝f（1）＝12－2×1＝－1.（2）f（x）的图象如下：14.已知函数f（x）＝（1）求f，f，f（4.5），f；（2）若f（a）＝6，求a的值.【答案】（1）∵－∈（－∞，－1），∴f＝－2×＝3.∵∈[－1，1]，∴f＝2.又2∈（1，＋∞），∴f＝f（2）＝2×2＝4.∵4.5∈（1，＋∞），∴f（4.5）＝2×4.5＝9.（2）经观察可知a∉[－1，1]，否则f（a）＝2.若a∈（－∞，－1），令－2a＝6，得a＝－3，符合题意；若a∈（1，＋∞），令2a＝6，得a＝3，符合题意.∴a的值为－3或3.15.已知实数a≠0，函数f（x）＝（1）若a＝－3，求f（10），f（f（10））的值；（2）若f（1－a）＝f（1＋a），求a的值.【答案】（1）若a＝－3，则f（x）＝所以f（10）＝－4，f（f（10））＝f（－4）＝－11.（2）当a>0时，1－a<1，1＋a>1，所以2（1－a）＋a＝－（1＋a）－2a，解得a＝－，不符合，舍去；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，所以－（1－a）－2a＝2（1＋a）＋a，解得a＝－，符合.综上可知，a＝－.16.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图所示.则：（1）月通话为50分钟时，应交话费多少元；（2）求y与x之间的函数关系式.【答案】（1）由题意可知当0＜x≤100时，设函数的解析式y＝kx，又因过点（100，40），得解析式为y ＝x，当月通话为50分钟时，0＜50＜100，所以应交话费y＝×50＝20元.（2）当x＞100时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由图知x＝100时，y＝40；x＝200时，y＝60. 则有解得所以解析式为y＝x＋20，故所求函数关系式为y＝17.已知f（x）＝（1）画出f（x）的图象；（2）若f（x）＝，求x的值；（3）若f（x）≥，求x的取值范围.【答案】（1）利用描点法，作出f（x）的图象，如图所示.（2）f（x）＝等价于①或②解①得x＝±，②解集为∅.∴当f（x）＝时，x＝±.（3）由于f＝，结合此函数图象可知，使f（x）≥的x的取值范围是∪.18.某种商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系式近似满足P＝商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式近似满足Q＝－t＋40（1≤t≤30，t∈N）.求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天.【答案】设日销售金额为y元，则y＝P·Q，所以y＝即y＝当1≤t≤24，t∈N时，t＝10，y max＝900；当25≤t≤30，t∈N时，t＝25，y max＝1 125.所以该商品日销售金额的最大值为1 125元，且在30天中的第25天销售金额最大.19.某工厂生产一批产品，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，产品的市场售价与上市时间的关系用如图（1）所示的一条折线表示；生产成本与上市时间的关系用如图（2）所示的抛物线表示.（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t），写出图（2）表示的生产成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；（2）认定市场售价减去生产成本为纯利益，则何时上市产品的纯收益最大？（注：市场售价和生产成本的单位：元/件，时间单位：天）【答案】（1）由图（1）可得f（t）＝g（t）＝（t－150）2＋100（0≤t≤300）.（2）设从2月1日起的第t天的纯收益为h（t），则h（t）＝f（t）－g（t）＝＝故h（x）在区间[0，200]上的最大值为h（50）＝100，在区间（200，300]上的最大值为h（300）＝87.5，由100>87.5可知，h（t）在[0，300]上的最大值为h（50）＝100，这时t＝50，即从2月1日起的第50天上市，产品的纯收益最大.20.已知函数f（x）＝（1）试比较f（f（－3））与f（f（3））的大小；（2）画出函数的图象；（3）若f（x）＝1，求x的值.【答案】（1）∵－3<1，∴f（－3）＝－2×（－3）＋1＝7，∵7>1，∴f（f（－3））＝f（7）＝72－2×7＝35，∵3>1，∴f（3）＝32－2×3＝3，∴f（f（3））＝3，∴f（f（－3））>f（f（3））.（2）函数图象如图所示：（3）由f（x）＝1的函数图象综合判断可知，当x∈（－∞，1）时，得f（x）＝－2x＋1＝1，解得x＝0；当x∈[1，＋∞）时，得f（x）＝x2－2x＝1，解得x＝1＋或x＝1－（舍去）.综上可知x的值为0或1＋.。

高中数学专题突破练习《等差数列前n项和及其性质》含详细答案解析

4.2.2等差数列的前n项和公式第1课时等差数列前n项和及其性质基础过关练题组一求等差数列的前n项和1.已知等差数列{a n}满足a1=1,a m=99,d=2,则其前m项和S m等于()A.2300B.2400C.2600D.25002.在-20与40之间插入8个数,使这10个数成等差数列,则这10个数的和为()A.200B.100C.90D.703.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.634.(2020安徽合肥高三第一次教学质量检测)已知等差数列{a n}的前n 项和为S n,a1=-3,2a4+3a7=9,则S7等于()A.21B.1C.-42D.05.若数列{a n}为等差数列,S n为其前n项和,且a1=2a5-1,则S17等于()A.-17B.-172C.172D.176.(2019湖南师大附中高二上期中)在等差数列{a n}中,若a5,a7是方程x2-2x-6=0的两个根,则数列{a n}的前11项的和为()A.22B.-33C.-11D.117.已知等差数列{a n}.(1)若a6=10,a8=16,求S5;(2)若a2+a4=48,求S5.5题组二等差数列前n项和的性质8.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于()A.63B.45C.36D.279.在等差数列{a n}中,S n是其前n项和,且S2011=S2018,S k=S2008,则正整数k为()A.2019B.2020C.2021D.202210.含2n+1项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为()A.2n+1n B.n+1nC.n-1n D.n+12n11.已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,若S nT n =3n2n+5,则a8b8=()A.87B.4837C.97D.1213题组三等差数列前n项和的应用12.数列{a n}为等差数列,它的前n项和为S n,若S n=(n+1)2+λ,则λ的值是()A.-2B.-1C.0D.113.(2020山东济南一中高二上期中)已知等差数列{a n}的前9项和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.9714.(2020山东青岛高二上期末)已知数列{a n}的前n项和为S n,若a n+1=a n+2,S5=25,n∈N*,则a5=()A.7B.5C.9D.315.(2020天津一中高二上期中)已知等差数列前3项的和为34,后3项的和为146,所有项的和为390,则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.1016.若数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n(n∈N*),则a1+a7等于()A.11B.15C.17D.2217.(2019湖南怀化三中高二上期中)已知{a n}是首项为a1,公差为d的等差数列,S n是其前n项和,且S5=5,S6=-3.求数列{a n}的通项公式及S n.能力提升练题组一求等差数列的前n项和1.(2020湖南郴州高二上期中,)已知数列{a n}是等差数列且a n>0,设其前n项和为S n.若a1+a9=a52,则S9=()A.36B.18C.27D.92.(2020江西九江一中高二上期中,)等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a7+a12=30,则S13等于()A.130B.65C.70D.753.(2019湖北黄冈高一下期末,)如图,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n≥2,n∈N*)个点,相应的图案中点的总数记为a n,则a2+a3+a4+…+a n等于()A.3n 22B.n(n+1)2C.3n(n-1)2D.n(n-1)24.(2020安徽阜阳高二上期末,)已知数列{a n}中,a1=1,a2=2,对任意正整数n,a n+2-a n=2+cos nπ,S n为{a n}的前n项和,则S100=.题组二等差数列前n项和的性质5.()已知数列{a n},{b n}均为等差数列,其前n项和分别记为A n,B n,满足A nB n =4n+12n+3,则a5b7的值为(深度解析)A.2117B.3729C.5329D.41316.()设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S m=-2,S m+1=0,S m+2=3,则m=.7.(2019河北沧州一中高二期中,)在等差数列{a n}中,前m(m为奇数)项的和为135,其中偶数项之和为63,且a m-a1=14,则a100=.题组三等差数列前n项和的应用8.(2020河北正定中学高二期末,)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a5a3=59,则S9S5等于()A.1B.-1C.2D.129.(2019陕西西安一中高二上月考,)设S n(S n≠0,n∈N*)是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n·S n+1,则S n等于()A.nB.-nC.1n D.-1n10.()若数列{a n}的前n项和S n=n2-4n+2(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a10|等于()A.15B.35C.66D.10011.(2020天津耀华中学高二上期中,)数列{a n}满足a n=1+2+3+…+nn (n∈N*),则数列{1a n a n+1}的前n项和为()A.nn+2B.2nn+2C.nn+1D.2nn+112.()已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n-1(n∈N*),则a1+a3+a5+…+a25=.13.()已知等差数列的前三项依次为a,3,5a,前n项和为S n,且S k=121.(1)求a及k的值;(2)设数列{b n}的通项公式为b n=S nn,求{b n}的前n项和T n.14.()在数列{a n}中,a1=8,a4=2,且满足a n+2-2a n+1+a n=0(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设T n=|a1|+|a2|+…+|a n|,求T n.深度解析答案全解全析基础过关练1.D 解法一:由a m =a 1+(m-1)d,得99=1+(m-1)×2,解得m=50, 所以S m =S 50=50×1+50×492×2=2 500.解法二:同解法一,得m=50, 所以S m =S 50=50(a 1+a 50)2=50×(1+99)2=2 500.故选D.2.B 设该等差数列为{a n },其前n 项和为S n ,则由题意可知,a 1=-20,a 10=40,所以S 10=10×(-20+40)2=100.3.C 由题意得,S 7=7(a 1+a 7)2=7(a 2+a 6)2=7×(3+11)2=49. 4.D 设等差数列{a n }的公差为d,则2a 4+3a 7=2(-3+3d)+3(-3+6d)=9,解得d=1,∴S 7=7a 1+7×62×d=7×(-3)+7×3×1=0,故选D.5.D 设等差数列{a n }的公差为d,∵a 1=2a 5-1,∴a 1=2(a 1+4d)-1,∴a 1+8d=1,即a 9=1,∴S 17=17×(a 1+a 17)2=17a 9=17.故选D.6.D 在等差数列{a n }中,若a 5,a 7是方程x 2-2x-6=0的两个根,则a 5+a 7=2, ∴a 6=12(a 5+a 7)=1,∴数列{a n }的前11项的和为11×(a 1+a 11)2=11a 6=11×1=11.故选D.7.解析设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d. (1)∵a 6=10,a 8=16,∴{a 1+5d =10,a 1+7d =16,解得{a 1=-5,d =3. ∴S 5=5a 1+5×42d=5.(2)解法一:∵a 2+a 4=a 1+d+a 1+3d=485,∴a 1+2d=245.∴S 5=5a 1+5×42d=5a 1+10d=5(a 1+2d)=5×245=24.解法二:∵a 2+a 4=a 1+a 5,∴a 1+a 5=485, ∴S 5=5(a 1+a 5)2=52×485=24.8.B 由等差数列前n 项和的性质可知,S 3,S 6-S 3,S 9-S 6构成等差数列,所以S 3+(S 9-S 6)=2(S 6-S 3),即S 9=3S 6-3S 3,又S 3=9,S 6=36,所以S 9=3×36-3×9=81,所以a 7+a 8+a 9=S 9-S 6=81-36=45.9.C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数,所以由二次函数图象的对称性及S 2 011=S 2 018,S k =S 2 008,可得2 011+2 0182=2 008+k2,解得k=2 021,故选C.10.B 设该等差数列为{a n },其首项为a 1,前n 项和为S n ,则S 奇=(n+1)(a 1+a 2n+1)2,S 偶=n(a 2+a 2n )2,∵a 1+a 2n+1=a 2+a 2n ,∴S 奇S 偶=n+1n.11.C 由等差数列的性质知a 8b 8=15(a 1+a 15)215(b 1+b 15)2=S 15T 15=3×152×15+5=4535=97.故选C.12.B ∵等差数列前n 项和S n 的形式为S n =An 2+Bn(A,B 为常数),且S n =(n+1)2+λ=n 2+2n+1+λ,∴λ=-1.13.C 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由等差数列{a n }的前9项和为27,a 10=8,得{9a 1+9×82d =9a 1+36d =27,a 1+(10-1)d =a 1+9d =8,解得{a 1=-1,d =1.故a 100=a 1+99d=98.故选C.14.C ∵a n+1=a n +2,即a n+1-a n =2,∴{a n }是公差为2的等差数列,设其首项为a 1, 则S 5=5a 1+5×42×2=25,解得a 1=1,∴a 5=1+(5-1)×2=9.15.A 设该等差数列为{a n },其前n 项和为S n .由题意得,a 1+a 2+a 3=34,a n-2+a n-1+a n =146,∴(a 1+a 2+a 3)+(a n-2+a n-1+a n )=(a 1+a n )+(a 2+a n-1)+(a 3+a n-2)=3(a 1+a n )=34+146,∴a 1+a n =60. 又S n =n(a 1+a n )2,∴390=n×602,解得n=13,故选A.16.D 由S n =2n 2-3n(n ∈N *)可知,数列{a n }为等差数列,所以S 7=7×(a 1+a 7)2=2×72-3×7,解得a 1+a 7=22,故选D.17.解析由S 5=5,S 6=-3,得{5a 1+5×42d =5,6a 1+6×52d =-3,解得{a 1=7,d =-3, ∴a n =7+(n-1)×(-3)=-3n+10(n ∈N *),S n =n[7+(-3n+10)]2=-32n 2+172n(n ∈N *).能力提升练1.B 由a 1+a 9=a 52得,2a 5=a 52,又a n >0,∴a 5=2,∴S 9=9(a 1+a 9)2=9×2a 52=18,故选B.2.A 解法一:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,则a 2+a 7+a 12=(a 1+d)+(a 1+6d)+(a 1+11d)=3a 1+18d=30,∴a 1+6d=10. ∴S 13=13a 1+13×122d=13(a 1+6d)=13×10=130,故选A.解法二:设等差数列{a n }的首项为a 1,∵a 2+a 7+a 12=30,∴3a 7 =30,即a 7 =10,∴S 13=13(a 1+a 13)2=13×2a 72=13a 7=130.故选A.3.C 由题图可知,a 2=3,a 3=6,a 4=9,a 5=12,依此类推,n 每增加1,图案中的点数增加3,所以相应图案中的点数构成首项为a 2=3,公差为3的等差数列,所以a n =3+(n-2)×3=3n-3,n ≥2,n ∈N *, 所以a 2+a 3+a 4+…+a n =(n -1)(3+3n -3)2=3n(n -1)2.故选C.4.答案 5 050解析当n 为奇数时,a n+2-a n =1,即数列{a n }的奇数项是以1为首项,1为公差的等差数列;当n 为偶数时,a n+2-a n =3,即数列{a n }的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列,所以S 100=(a 1+a 3+…+a 99)+(a 2+a 4+…+a 100)=(50×1+50×492)+50×2+50×492×3=5 050.5.B 由等差数列前n 项和的特征及An B n =4n+12n+3,可设A n =kn(4n+1),B n =kn(2n+3). ∴a 5=A 5-A 4=5×(4×5+1)k-4×(4×4+1)k=37k,b 7=B 7-B 6=7×(2×7+3)k-6×(2×6+3)k=29k. ∴a5b 7=37k 29k =3729.故选B.解题模板易错警示等差数列{a n }的前n 项和的表示形式为S n =an 2+bn(a,b 为常数),解题时可采用这种形式简化运算.本题要注意A n B n中有比例系数k,防止遗漏导致错误. 6.答案 4解析因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和,所以数列{Sn n }是等差数列,所以Sm m +S m+2m+2=2S m+1m+1,即-2m +3m+2=0,解得m=4.7.答案 101解析设等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为S n ,由题意可知,S m =135,前m 项中偶数项之和S 偶=63,∴S 奇=135-63=72,∴S 奇-S 偶=a 1+(m -1)d 2=2a 1+(m -1)d 2=a 1+a m2=72-63=9.∵S m =m(a 1+a m )2=135,∴m=15,又∵a m -a 1=14,a m =a 1+(m-1)d, ∴a 1=2,d=a m -a 1m -1=14m -1=1,∴a 100=a 1+99d=101. 8.AS 9S 5=92(a 1+a 9)52(a 1+a 5)=92×2a 552×2a 3=9a 55a 3=95·a 5a 3=1.故选A.9.D ∵a n+1=S n+1-S n ,∴S n+1-S n =S n+1·S n , 又∵S n ≠0,∴1S n+1-1S n=-1.又S 1=a 1=-1,∴1S 1=-1,∴数列{1Sn}是以-1为首项,-1为公差的等差数列,∴1S n=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴S n =-1n.故选D.10.C 由S n =n 2-4n+2①得,当n=1时,a 1=S 1=1-4+2=-1,当n ≥2时,S n-1=(n-1)2-4(n-1)+2②,①-②得,a n =2n-5(n ≥2,n ∈N *),经检验,当n=1时,不符合a n =2n-5,∴a n ={-1,n =1,2n -5,n ≥2,n ∈N *.∴|a 1|=1,|a 2|=1,a 3=1,令a n >0,则2n-5>0, ∴n ≥3.∴|a 1|+|a 2|+…+|a 10|=1+1+a 3+…+a 10=2+(S 10-S 2)=2+[(102-4×10+2)-(22-4×2+2)]=66.故选C. 11.B 依题意得,a n =n(1+n)2n=n+12, ∴1a n a n+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1-1n+2).∴1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n+1=4(12-13)+(13-14)+…+1n+1-1n+2=4(12-1n+2)=2nn+2,故选B. 12.答案 350解析当n=1时,a 1=S 1=12+2×1-1=2; 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n+1, 经检验,当n=1时,不符合上式, ∴a n ={2,n =1,2n +1,n ≥2,n ∈N *,因此{a n }除第1项外,其余项构成以a 2=5为首项,2为公差的等差数列,从而a 3,a 5,…,a 25是以a 3=7为首项,4为公差的等差数列, ∴a 1+a 3+a 5+…+a 25 =a 1+(12a 3+12×112×4)=350.13.解析 (1)设该等差数列为{a n },首项为a 1,公差为d,则a 1=a,a 2=3,a 3=5a. 由已知得a+5a=6,得a=1, ∴a 1=1,a 2=3,a 3=5, ∴d=2,∴S k=ka1+k(k-1)2·d=k+k(k-1)2×2=k2.由S k=k2=121,得k=11(负值舍去).∴a=1,k=11.(2)由(1)得S n=n2,则b n=S nn=n,∴b n+1-b n=1,又b1=S11=1,∴数列{b n}是首项为1,公差为1的等差数列,∴T n=n 2+n 2.14.解析(1)∵a n+2-2a n+1+a n=0,∴a n+2-a n+1=a n+1-a n,∴数列{a n}是等差数列,设其公差为d,∵a1=8,a4=2,∴d=a4-a14-1=-2,∴a n=a1+(n-1)d=10-2n,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n,则由(1)可得,S n=8n+n(n-1)2×(-2)=9n-n2,n∈N*.由(1)知a n=10-2n,令a n=0,得n=5.∴当n>5时,a n<0,则T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+a n)=S5-(S n-S5)=2S5-S n=2×(9×5-25)-(9n-n2)=n2-9n+40;当n ≤5时,a n ≥0, 则T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n | =a 1+a 2+…+a n =9n-n 2.∴T n ={9n -n 2,n ≤5,n ∈N *,n 2-9n +40,n ≥6,n ∈N *.解题反思求数列{|a n |}的前n 项和,关键在于分清哪些项为非负的,哪些项为负的,最终应化为去掉绝对值符号后的数列进行求和. 如果数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |,那么有: (1)若a 1>0,d<0,则存在k ∈N *,使得a k ≥0,a k+1<0, 从而有T n ={S n (n ≤k),2S k -S n (n >k);(2)若a 1<0,d>0,则存在k ∈N *,使得a k ≤0,a k+1>0, 从而有T n ={-S n (n ≤k),S n -2S k (n >k).。

高中数学《求数列的通项习题课一》专题突破含解析

习题课一　求数列的通项题型一　利用累加、累乘法求数列的通项公式【例1】　(1)数列{a n }满足a 1＝1，对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，求数列{a n }的通项公式；(2)已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1a n ，求a n .解　(1)∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，即a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2).等式两边同时相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n (n ≥2)，即a n ＝a 1＋2＋3＋4＋…＋n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2，n ≥2.又a 1＝1也适合上式，∴a n ＝n （n ＋1）2，n ∈N *.(2)由条件知a n ＋1a n ＝nn ＋1，分别令n ＝1，2，3，…，n －1，代入上式得(n －1)个等式，累乘，即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…·n －1n (n ≥2).∴a na 1＝1n ，又∵a 1＝23，∴a n ＝23n ，n ≥2.又a 1＝23也适合上式，∴a n ＝23n ，n ∈N *.规律方法　(1)求形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的通项公式.将原来的递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1).(2)求形如a n ＋1＝f (n )a n 的通项公式.将原递推公式转化为a n ＋1a n＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a2＝f (2)，…，a na n －1＝f (n －1)，累乘可得a na1＝f (1)f (2)…f (n －1).【训练1】　数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ，求{a n }的通项公式.解　因为a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ，所以a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，a 4－a 3＝23，…，a n －a n －1＝2n －1，n ≥2，以上各式累加得，a n －a 1＝2＋22＋23＋…＋2n －1，故a n＝2（1－2n－1）1－2＋2＝2n，当n＝1时，a1也符合上式，所以a n＝2n.题型二　构造等差(比)数列求通项公式【例2】　(1)在数列{a n}中，a1＝13，6a n a n－1＋a n－a n－1＝0(n≥2，n∈N*).①证明：数列{1a n}是等差数列；②求数列{a n}的通项公式.(2)已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝2a n－3，求a n.(1)①证明　由6a n a n－1＋a n－a n＋1＝0，整理得1a n－1a n－1＝6(n≥2)，故数列{1a n}是以3为首项，6为公差的等差数列.②解　由①可得1a n＝3＋(n－1)×6＝6n－3，所以a n＝16n－3，n∈N*.(2)解　由a n＋1＝2a n－3得a n＋1－3＝2(a n－3)，所以数列{a n－3}是首项为a1－3＝－1，公比为2的等比数列，则a n－3＝(－1)·2n－1，即a n＝－2n－1＋3.规律方法　(1)课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造好等差(比)数列让学生证明，再在此基础上求出通项公式，故同学们不必在此处挖掘过深. (2)形如a n＋1＝pa n＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步　假设递推公式可改写为a n＋1＋t＝p(a n＋t)；第二步　由待定系数法，解得t＝qp－1；第三步　写出数列{a n＋q p－1}的通项公式；第四步　写出数列{a n}的通项公式.【训练2】　已知各项均为正数的数列{b n}的首项为1，且前n项和S n满足S n－S n－1＝S n＋S n－1(n≥2).试求数列{b n}的通项公式.解　∵S n－S n－1＝S n＋S n－1(n≥2)，∴(S n＋S n－1)(S n－S n－1)＝S n＋S n－1(n≥2).又S n >0，∴S n －S n －1＝1.又S 1＝1，∴数列{S n }是首项为1，公差为1 的等差数列，∴S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，故S n ＝n 2.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1.当n ＝1时，b 1＝1符合上式.∴b n ＝2n －1.题型三　利用前n 项和S n 与a n 的关系求通项公式【例3】　(1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4，n ∈N *，则a n 等于( )A.2n ＋1 B.2n C.2n －1D.2n －2(2)已知数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋23·a n ，则a n a n －1的最大值为( )A.－3B.－1C.3D.1解析　(1)因为S n ＝2a n －4，所以n ≥2时，S n －1＝2a n －1－4，两式相减可得S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，所以a n a n －1＝2.因为S 1＝a 1＝2a 1－4，即a 1＝4，所以数列{a n }是首项为4，公比为2的等比数列，则a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，故选A.(2)由S n ＝n ＋23a n 得，当n ≥2时，S n －1＝n ＋13a n －1，两式作差可得：a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n a n －1＝n ＋1n －1＝1＋2n －1，由此可得，当n ＝2时，a n a n －1取得最大值，其最大值为3.答案　(1)A (2)C规律方法　已知S n ＝f (a n )或S n ＝f (n )的解题步骤：第一步　利用S n 满足条件p ，写出当n ≥2时，S n －1的表达式；第二步　利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求出a n 或者转化为a n 的递推公式的形式；第三步　若求出n ≥2时的{a n }的通项公式，则根据a 1＝S 1求出a 1，并代入n ≥2时的{a n }的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是{a n }的递推公式，则问题化归为例2形式的问题.【训练3】　在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式a n .解　由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，得当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，两式作差得na n ＝n ＋12a n ＋1－n 2a n ，得(n ＋1)a n ＋1＝3na n (n ≥2)，即数列{na n }从第二项起是公比为3的等比数列，且a 1＝1，a 2＝1，于是2a 2＝2，故当n ≥2时，na n ＝2×3n －2.于是a n ＝{1，n ＝1，2×3n －2n，n ≥2，n ∈N *.一、素养落地1.通过学习数列通项公式的求法，提升数学运算与逻辑推理素养.2.求数列通项的方法有：(1)公式法，(2)累加、累乘法，(3)构造法等，但总的思想是转化为特殊的数列(一般是等差或等比数列)求解.二、素养训练1.数列1，3，6，10，15，…的递推公式可能是( )A.a n ＝{1（n ＝1）a n ＋1＋n －1（n ∈N *，n ≥2）B.a n＝{1（n ＝1）a n －1＋n （n ∈N *，n ≥2）C.a n＝{1（n ＝1）a n －1＋n －1（n ∈N *，n ≥2）D.a n＝{1（n ＝1）a n －1＋n ＋1（n ∈N *，n ≥2）解析　由题意可得，a 1＝1，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，……∴a n －a n －1＝n (n ≥2)，故数列的递推公式为a n ＝{1（n ＝1）a n －1＋n （n ∈N *，n ≥2）故选B.答案　B2.数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 9＝( )A.1 024B.1 023C.510D.511解析　由题意可得a n ＋1－a n ＝2n ，则a 9＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 9－a 8)＝1＋21＋22＋…＋28＝29－1＝511.故选D.答案　D3.已知数列{a n }的各项均为正数，且a 2n －a n －n 2－n ＝0，则a n＝________.解析　由a 2n －a n －n (n ＋1)＝0，得[a n －(n ＋1)](a n ＋n )＝0.又a n >0，所以a n＝n ＋1.答案　n ＋14.已知数列{a n }中，a 1＝1，对于任意的n ≥2，n ∈N *，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 10＝________.解析　由a 1a 2a 3…a n ＝n 2，得a 1a 2a 3…a n －1＝(n －1)2(n ≥2)，所以a n ＝n 2（n －1）2(n ≥2)，所以a 10＝10081.答案　100815.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.解　由a n ＋1＝a n a n ＋2，得1a n ＋1＝2an ＋1，所以1an ＋1＋1＝2(1a n＋1).又a 1＝1，所以1a 1＋1＝2，所以数列{1a n＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝12n －1.基础达标一、选择题1.已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，则a 100的值是( )A.9 900 B.9 902 C.9 904D.11 000解析　a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2＝2×99×（99＋1）2＋2＝9 902.答案　B2.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋2a n，则这个数列的第n 项为( )A.2n －1B.2n ＋1C.12n －1D.12n ＋1解析　∵a n ＋1＝a n 1＋2an，a 1＝1，∴1a n ＋1－1a n ＝2.∴{1a n}为等差数列，公差为2，首项1a1＝1.∴1a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∴a n ＝12n －1.答案　C3.若数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋a n －1＝4(n ≥2)，则a 2 021的值为( )A.1 B.2 C.3D.4解析　∵a 1＝3，a n ＋a n －1＝4(n ≥2)，∴a n ＋1＋a n ＝4，∴a n ＋1＝a n －1，∴a n ＝a n ＋2，即奇数项、偶数项构成的数列均为常数列，又∵a 1＝3，∴a 2 021＝3.答案　C4.已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的通项公式a n 等于( )A.2nB.n (n ＋1)C.n2n －1D.n （n ＋1）2n解析　∵a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋2，即2n ＋1a n ＋1－2n a n ＝2.又21a 1＝2，∴数列{2n a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，∴2n a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴a n ＝n 2n －1.答案　C5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，S n ＋1＝4a n ＋2，则a 12＝( )A.20 480B.49 152C.60 152D.89 150解析　由题意得S 2＝4a 1＋2，所以a 1＋a 2＝4a 1＋2，解得a 2＝8，故a 2－2a 1＝4，又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n ，于是a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，因此数列{a n ＋1－2a n }是以a 2－2a 1＝4为首项，2为公比的等比数列，即a n ＋1－2a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，于是a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，因此数列{a n2n}是以1为首项，1为公差的等差数列，得a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，即a n ＝n ·2n .所以a 12＝12×212＝49 152，故选B.答案　B 二、填空题6.在等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818则数列{a n }的通项公式为________.解析　当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意；当a 1＝10时，不合题意.因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，所以公比q ＝3，故a n ＝2×3n －1.答案　a n ＝2×3n －17.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1na n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析　当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝nn －1·n －1n －2·…·32·21＝n ，当n ＝1时，a 1＝1也符合此式，∴a n ＝n .答案　n8.已知数列{a n }满足ln a 13·ln a 26·ln a 39·…·ln a n 3n ＝3n 2(n ∈N *)，则a 10＝________.解析　∵ln a 13·ln a 26·ln a 39·…·ln a n 3n ＝3n2(n ∈N *)，∴ln a 13·ln a 26·ln a 39·…·ln a n －13（n －1）＝3（n －1）2(n ≥2)，∴ln a n ＝3n 2n －1(n ≥2)，∴a n ＝e 3n 2n －1(n ≥2)，∴a 10＝e 1003.答案　e1003三、解答题9.设f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，数列{a n }的通项a n 满足f (2a n )＝2n ，求数列{a n }的通项公式.解　∵f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，f (2an )＝2n ，∴log 22an －log 2an 4＝2n ，由换底公式得log 22an －log 24log 22an ＝2n ，即a n －2a n ＝2n ，∴a 2n －2na n －2＝0，解得a n ＝n ±n 2＋2.又0<x <1，∴0<2an <1，∴a n <0，∴a n ＝n －n 2＋2，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝n －n 2＋2.10.设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式.解　(1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1，因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1.(2)当n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2，则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2(S n －S n －1)－2n ＋1＝2a n －2n ＋1，因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式，所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，①当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1，②①－②，得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2·(a n －1＋2)，因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋2＝3×2n －1，所以a n ＝3×2n －1－2.能力提升11.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝13，若a n (a n －1＋2a n ＋1)＝3a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析　由题意知a n a n －1＋2a n a n ＋1＝3a n －1a n ＋1，∴1a n ＋1＋2a n －1＝3a n ，∴1a n ＋1－1a n ＝2(1a n －1a n －1)，即1a n ＋1－1a n1a n －1a n －1＝2，∴数列{1an ＋1－1a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴1a n ＋1－1a n ＝2×2n －1＝2n .利用累加法，得1a 1＋(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)＝1＋2＋22＋…＋2n －1，即1a n ＝2n －12－1＝2n －1，∴a n ＝12n －1.答案　12n －112.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n （n ＋1）2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式.(2)是否存在正整数k ，使a k ，S 2k ，a 4k 成等比数列？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.解　(1)法一　由nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n （n ＋1）2，得S n ＋1n ＋1－S nn ＝12，∴数列{S nn}是首项为S 11＝1，公差为12的等差数列，∴S nn ＝1＋12(n －1)＝12(n ＋1)，∴S n ＝n （n ＋1）2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n （n ＋1）2－（n －1）n2＝n .而a 1＝1适合上式，∴a n ＝n .法二　由nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n （n ＋1）2，得n (S n ＋1－S n )－S n ＝n （n ＋1）2，∴na n ＋1－S n ＝n （n ＋1）2.①当n ≥2时，(n －1)a n －S n －1＝n （n －1）2，②①－②，得na n ＋1－(n －1)a n －a n ＝n （n ＋1）2－n （n －1）2，∴na n ＋1－na n ＝n ，∴a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是从第2项起的等差数列，且首项为a 2＝2，公差为1，∴a n ＝2＋(n －2)×1＝n (n ≥2).而a 1＝1适合上式，∴a n ＝n .(2)由(1)，知a n ＝n ，S n ＝n （n ＋1）2.假设存在正整数k ，使a k ，S 2k ，a 4k 成等比数列，则S 22k ＝a k ·a 4k ，即[2k （2k ＋1）2]2＝k ·4k .∵k 为正整数，∴(2k ＋1)2＝4.得2k ＋1＝2或2k ＋1＝－2，解得k ＝12或k ＝－32，与k 为正整数矛盾.∴不存在正整数k ，使a k ，S 2k ，a 4k 成等比数列.创新猜想13.(多选题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A.a 9＝17 B.a 10＝18C.S 9＝81D.S 10＝91解析　∵对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，∴S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，∴a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }在n ≥2时是等差数列，公差为2.又a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝2＋7×2＝16，a 10＝2＋8×2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选BD.答案　BD14.(多空题)设S n是数列{a n}的前n项和，且满足a2n＋1＝2a n S n，且a n>0，则S n＝________，a100＝________.解析　由S n是数列{a n}的前n项和，且满足a2n＋1＝2a n S n，则当n＝1时，a21＋1＝2a1S1，即S21＝1；当n≥2时，(S n－S n－1)2＋1＝2(S n－S n－1)S n，整理得S 2n－S2n－1＝1.所以数列{S2n}是以1为首项，1为公差的等差数列，则S2n＝n.由于a n>0，所以S n＝n，故a100＝S100－S99＝100－99＝10－311.答案　n　10－311。

四川省高三数学理一轮复习专题突破训练：统计与概率(含答案解析)

四川省 2017 届高三数学理一轮复习专题打破训练统计与概率一、选择、填空题1、（ 2016 年四川省高考）同时投掷两枚质地均匀的硬币，当起码有一枚硬币正面向上时，就说此次试验成功，则在 2 次试验中成功次数X 的均值是.2、（成都市 2016 届高三第二次诊疗）某校高三(1) 班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128] 内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，104），[104，108），[108,112), [112,116), [116,120), [120,124),[124 ， 128] ．绘制出频次散布直方图以下图，已知分数低于112 分的有 18 人，则分数不低于120分的人数为(A)10(B)12(C)20(D)403、（成都市都江堰2016 届高三 11 月调研）设会合A{1,2} ，B {1,2,3} ，分别从会合A和B 中随机取一个数 a 和b，确立平面上的一个点P(a, b) ，记“点 P(a, b) 落在直线x y n 上”为事件C n (2 n 5,n N ) ，若事件 C n的概率最大，则最大值为；4 、（成都市都江堰2016 届高三11 月调研）已知随机变量X 听从正态散布N (3,1) ，且P(2 X 4) 0.6826 ，则 P( X 4)（）A ． 0.1588B． 0.1587C． 0.1586D． 0.15855、（绵阳中学 2017 届高三上学期入学考试）把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件 A ，“第二次出现正面”为事件 B ，则P B | A（）1111 A．B．C．D．24686、（内江市 2016 届高三第四次（ 3 月）模拟）以下图的茎叶图表示甲、乙两人在5 次综合测评中的成绩，此中一个数字被污损，则甲的均匀成绩超出乙的均匀成绩的概率为（C ）27 4A ．B ．C ．5105D ．9107、（成都市双流中学 2016 届高三 5 月月考）某单位为了认识用电量 y 度与气温 x C 之间的关系，随机统计了某4 天的用电量与当日气温，并制作了比较表气温（ C ）1813 10 1用电量（度）24343864由表中数据得回归直线方程? ? ? 2bx ?中 b，展望当气温为4 C 时，用电量的度数y a是．8、（成都市双流中学 2017 届高三 9 月月考）在 6 道题中有 4 道理科题和 2 道文科题，假如不放回的挨次抽取2 道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率 .9、（资阳市资阳中学 2017 届高三上学期入学考试）现有5 人参加抽奖活动，每人挨次从装有 5 张奖票（此中3 张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到 3 张中奖票都被抽．．．出时活动结束，则活动恰幸亏第 4 人抽完后结束的概率为（）．A ．1B ．1105C ．3D ．210510[ 1,1]上随机的取一个数k，则事件“直线y = kx与圆 ( x － 5) + y = 9订交”发、在－22生的概率为二、解答题1、（ 2016 年四川省高考）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓舞居民节俭用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确立一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超出x 的部分按平价收费，高出x 的部分按议价收费.为了认识居民用水状况，通过抽样，获取了某年100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据依据[0,0.5)，[0.5,1)，，[4,4.5) 分红 9 组，制成了以下图的频次散布直方图.（ I ）求直方图中 a 的值；（ II ）设该市有30 万居民，预计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明原因；（ III ）若该市政府希望使85%的居民每个月的用水量不超出标准x （吨），预计 x 的值，并说明原因 .2、（ 2015 年四川省高考）某市A,B 两所中学的学生组队参加争辩赛， A 中学介绍 3 名男生，2 名女生， B 中学介绍了 3 名男生， 4 名女生，两校介绍的学生一同参加集训，因为集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人构成代表队（ 1）求 A 中学起码有 1 名学生当选代表队的概率.（ 2）某场比赛前。

2024年高考数学的备考方法总结（2篇）

2024年高考数学的备考方法总结____年高考数学备考方法总结一、总体规划1. 制定明确的目标：确定目标分数和所需的高校录取线。

2. 制定备考计划：合理安排备考时间，按模块划分备考内容。

3. 设定阶段性目标：每个备考阶段都设定阶段性目标，逐步提高能力。

二、知识点掌握1. 全面复习基础知识：系统地复习数学基础知识，包括代数、几何、概率等。

2. 突破薄弱环节：针对个人薄弱的知识点进行有针对性的复习和强化练习，找出问题并解决。

三、题型训练1. 强化题型训练：对各类题型进行分类整理，进行针对性的训练。

2. 模拟考试：模拟考试可以提供真实考试环境，检测自己的备考情况，同时可以锻炼答题速度和心理素质。

四、解题技巧1. 重视答题技巧：了解考试常用的解题方法和技巧，熟悉题目的解题思路，提高解题的效率。

2. 多做题目：通过大量做题可以提高自己的解题能力和思维逻辑，同时培养对不同题型的敏感度。

五、考前备战1. 复习要点：针对重点和难点进行有针对性的复习，确保基础知识掌握全面。

2. 真题演练：进行历年真题的演练，熟悉考试形式和题目类型。

3. 积极备考心态：保持积极的备考心态，相信自己的能力，不给自己过多的压力。

六、备考建议1. 合理安排时间：合理分配时间，保证每个知识点都得到足够的复习。

2. 建立错题本：将错题及其解析记录下来，重点整理，多次复习，避免犯同样的错误。

3. 阅读相关学术书籍和资料：扩大数学视野，增强数学的学科性。

4. 注重基础知识的掌握：高中数学基础知识是数学复习的基础，需要通过大量的习题来练习。

七、备考注意事项1. 提前规划备考内容和时间，避免临时抱佛脚。

2. 注意保持良好的作息时间，保障充足的睡眠。

3. 合理分配复习时间，不要进行过多的复习，也不要过于单一地复习某一知识点。

4. 面对压力时，保持积极乐观的心态，克服困难。

八、备考结束后1. 自我总结：总结备考经验，找出备考中的问题和不足。

2. 分析成绩：对考试分数进行分析，找出低分的原因并进行思考和改进。

2020版数学高考专题突破试题附解析

第 4 节二次函数性质的再研究与幂函数最新考纲 1 . 理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题； 2 . 了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2 ，y ＝x 3 ，y ＝x ，y ＝的图像，了解它们的变化情况.知识梳理1. 二次函数(1) 二次函数解析式的三种形式：一般式： f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a ≠ 0) .顶点式： f ( x ) ＝ a ( x －m ) 2 ＋n ( a ≠ 0) ，顶点坐标为( m ，n ) .零点式： f ( x ) ＝ a ( x －x 1 )( x －x 2 )( a ≠ 0) ，x 1 ，x 2 为 f ( x )的零点.(2) 二次函数的图像和性质函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a >0) y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a <0) 图像( 抛物线)定义域R值域对称轴x ＝－顶点坐标奇偶性当 b ＝0 时是偶函数，当 b≠ 0 时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数在上是增函数；在上是减函数2. 幂函数(1) 幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常量α ，即y ＝x α ，这样的函数称为幂函数.(2) 常见的 5 种幂函数的图像(3) 幂函数的性质① 幂函数在(0 ，＋∞ ) 上都有定义；② 当α >0 时，幂函数的图像都过点(1 ，1) 和(0 ，0) ，且在(0 ，＋∞ ) 上单调递增；③ 当α <0 时，幂函数的图像都过点(1 ，1) ，且在(0 ，＋∞ ) 上单调递减.[ 微点提醒]1 . 二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2 . 若 f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a ≠ 0) ，则当时恒有 f ( x )>0 ，当时，恒有 f ( x )<0.基础自测1 . 判断下列结论正误( 在括号内打“√” 或“×” )(1) 函数y ＝ 2 x 是幂函数. ( )(2) 当n >0 时，幂函数y ＝x n 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数. ( )(3) 二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( x ∈ R ) 不可能是偶函数. ( )(4) 二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( x ∈ [ a ， b ]) 的最值一定是.( )解析(1) 由于幂函数的解析式为 f ( x ) ＝x α ，故y ＝ 2 x 不是幂函数，(1) 错.(3) 由于当 b ＝0 时，y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ＝ax 2 ＋ c 为偶函数，故(3) 错.(4) 对称轴x ＝－，当－小于 a 或大于 b 时，最值不是，故(4) 错.答案(1) × (2) √ (3) × (4) ×2 . ( 必修1P 4 9 定义改编) 已知幂函数 f ( x ) ＝k · x α 的图像过点，则k ＋α ＝( )A. B . 1 C. D . 2解析因为 f ( x ) ＝k · x α 是幂函数，所以k ＝ 1. 又 f ( x ) 的图像过点，所以＝，所以α ＝，所以k ＋α ＝ 1 ＋＝.答案 C3 . ( 必修1P 58C1 改编) 若函数 f ( x ) ＝4 x 2 －kx －8 在[ － 1 ，2] 上是单调函数，则实数k 的取值范围是________ .解析由于函数 f ( x ) 的图像开口向上，对称轴是x ＝，所以要使 f ( x ) 在[ － 1 ，2] 上是单调函数，则有≤ － 1 或≥ 2 ，即k ≤ －8 或k ≥ 16.答案( －∞ ，－8] ∪ [16 ，＋∞ )4 . (2016·全国Ⅲ卷) 已知 a ＝ 2 ， b ＝ 3 ， c ＝25 ，则( )A . b < a < cB . a < b < cC . b < c < aD . c < a < b解析因为 a ＝ 2 ＝ 4 ， b ＝ 3 ， c ＝ 5 又y ＝x 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数，所以 c > a > b .答案 A5 . (2019·衡水中学月考) 若存在非零的实数 a ，使得 f ( x ) ＝ f ( a －x ) 对定义域上任意的x 恒成立，则函数 f ( x ) 可能是( )A . f ( x ) ＝x 2 － 2 x ＋ 1B . f ( x ) ＝x 2 － 1C . f ( x ) ＝ 2 xD . f ( x ) ＝ 2 x ＋ 1解析由存在非零的实数 a ，使得 f ( x ) ＝ f ( a －x ) 对定义域上任意的x 恒成立，可得函数图像的对称轴为x ＝≠ 0. 只有选项 A 中， f ( x ) ＝x 2 － 2 x ＋ 1 关于x ＝ 1 对称.答案 A6 . (2018·渭南月考) 幂函数 f ( x ) ＝( m 2 － 4 m ＋4)· x m 2 － 6 m ＋8 在(0 ，＋∞ ) 上为增函数，则m 的值为________ .解析由题意知解得m ＝ 1.答案 1考点一幂函数的图像和性质【例 1 】(1) 幂函数y ＝ f ( x ) 的图像过点(4 ，2) ，则幂函数y ＝ f ( x ) 的大致图像是( )(2) 若 a ＝， b ＝， c ＝，则 a ， b ， c 的大小关系是( )A . a < b < cB . c < a < bC . b < c < aD . b < a < c解析(1) 设幂函数的解析式为y ＝x α ，因为幂函数y ＝ f ( x ) 的图像过点(4 ，2) ，所以 2 ＝ 4 α ，解得α ＝.所以y ＝，其定义域为[0 ，＋∞ ) ，且是增函数，当0< x <1 时，其图像在直线y ＝x 的上方，对照选项， C 正确.(2) 因为y ＝x 在第一象限内是增函数，所以 a ＝> b ＝，因为y ＝是减函数，所以 a ＝< c ＝，所以 b < a < c .答案(1)C (2)D规律方法 1. 对于幂函数图像的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝ 1 ，y ＝ 1 ，y ＝x 所分区域. 根据α <0 ，0< α <1 ，α ＝ 1 ，α >1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2 . 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.【训练 1 】(1) (2018·洛阳二模) 已知点在幂函数 f ( x ) ＝( a －1) x b 的图像上，则函数 f ( x ) 是( )A . 奇函数B . 偶函数C . 定义域内的减函数D . 定义域内的增函数(2) (2018·上海卷) 已知α ∈ ，. 若幂函数 f ( x ) ＝x α 为奇函数，且在(0 ，＋∞ ) 上递减，则α ＝______ .解析(1) 由题意得 a － 1 ＝ 1 ，且＝ a b ，因此 a ＝ 2 且 b ＝－ 1. 故 f ( x ) ＝x － 1 是奇函数，但在定义域( －∞ ，0) ∪ (0 ，＋∞ ) 不是单调函数.(2) 由题意知α 可取－ 1 ， 1 ， 3. 又y ＝x α 在(0 ，＋∞ ) 上是减函数，∴ α <0 ，取α ＝－ 1.答案(1)A (2) － 1考点二二次函数的解析式【例 2 】( 一题多解) 已知二次函数 f ( x ) 满足 f (2) ＝－ 1 ， f ( －1) ＝－ 1 ，且 f ( x ) 的最大值是8 ，试确定该二次函数的解析式.解法一( 利用“ 一般式” 解题)设 f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a ≠ 0) .由题意得解得∴ 所求二次函数的解析式为 f ( x ) ＝－ 4 x 2 ＋ 4 x ＋7.法二( 利用“ 顶点式” 解题)设 f ( x ) ＝ a ( x －m ) 2 ＋n ( a ≠ 0) .因为 f (2) ＝ f ( －1) ，所以抛物线的对称轴为x ＝＝，所以m ＝.又根据题意，函数有最大值8 ，所以n ＝8 ，所以y ＝ f ( x ) ＝ a ＋8.因为 f (2) ＝－ 1 ，所以 a ＋8 ＝－ 1 ，解得 a ＝－ 4 ，所以 f ( x ) ＝－ 4 ＋8 ＝－ 4 x 2 ＋ 4 x ＋7.法三( 利用“ 零点式” 解题)由已知 f ( x ) ＋ 1 ＝0 的两根为x 1 ＝ 2 ，x 2 ＝－ 1 ，故可设 f ( x ) ＋ 1 ＝ a ( x －2)( x ＋1)( a ≠ 0) ，即 f ( x ) ＝ax 2 －ax － 2 a － 1.又函数有最大值8 ，即＝8.解得 a ＝－ 4 或 a ＝0( 舍) .故所求函数的解析式为 f ( x ) ＝－ 4 x 2 ＋ 4 x ＋7.规律方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【训练 2 】已知二次函数 f ( x ) 的图像经过点(4 ，3) ，它在x 轴上截得的线段长为 2 ，并且对任意x ∈ R ，都有 f (2 －x ) ＝ f (2 ＋x ) ，则 f ( x ) ＝________ .解析因为 f (2 －x ) ＝ f (2 ＋x ) 对x ∈ R 恒成立，所以y ＝ f ( x ) 的图像关于x ＝ 2 对称.又y ＝ f ( x ) 的图像在x 轴上截得的线段长为 2 ，所以 f ( x ) ＝0 的两根为 2 －＝ 1 或 2 ＋＝ 3.所以二次函数 f ( x ) 与x 轴的两交点坐标为(1 ，0) 和(3 ，0) .因此设 f ( x ) ＝ a ( x －1)( x －3) .又点(4 ，3) 在y ＝ f ( x ) 的图像上，所以 3 a ＝ 3 ，则 a ＝ 1.故 f ( x ) ＝( x －1)( x －3) ＝x 2 － 4 x ＋ 3.答案x 2 － 4 x ＋ 3考点三二次函数的图像及应用【例 3 】(1) 对数函数y ＝log a x ( a >0 且 a ≠ 1) 与二次函数y ＝( a －1) x 2 －x 在同一坐标系内的图像可能是( )(2) 设函数 f ( x ) ＝x 2 ＋x ＋ a ( a >0) ，已知 f ( m )<0 ，则( )A . f ( m ＋1) ≥ 0B . f ( m ＋1) ≤ 0C . f ( m ＋1)>0D . f ( m ＋1)<0解析(1) 若0< a <1 ，则y ＝log a x 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，y ＝( a －1) x 2 －x 开口向下，其图像的对称轴在y 轴左侧，排除C ， D.若 a >1 ，则y ＝log a x 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数，y ＝( a －1) x 2 －x 图像开口向上，且对称轴在y 轴右侧，因此 B 项不正确，只有选项 A 满足.(2) 因为 f ( x ) 的对称轴为x ＝－， f (0) ＝ a >0 ，所以 f ( x ) 的大致图像如图所示.由 f ( m )<0 ，得－1< m <0 ，所以m ＋1>0 ，所以 f ( m ＋1)> f (0)>0.答案(1)A (2)C规律方法 1. 研究二次函数图像应从“ 三点一线一开口” 进行分析，“ 三点” 中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“ 一线” 是指对称轴这条直线；“ 一开口” 是指抛物线的开口方向.2 . 求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图像特征，分析不等关系成立的条件.【训练 3 】一次函数y ＝ax ＋ b 与二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 在同一坐标系中的图像大致是( )解析 A 中，由一次函数y ＝ax ＋ b 的图像可得 a >0 ，此时二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 的图像应该开口向上， A 错误；B 中，由一次函数y ＝ax ＋ b 的图像可得 a >0 ， b >0 ，此时二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 的图像应该开口向上，对称轴x ＝－<0 ，B 错误；C 中，由一次函数y ＝ax ＋ b 的图像可得 a <0 ， b <0 ，此时二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 的图像应该开口向下，对称轴x ＝－<0 ， C 正确；D 中，由一次函数y ＝ax ＋ b 的图像可得 a <0 ， b <0 ，此时二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 的图像应该开口向下， D 错误.答案 C考点四二次函数的性质多维探究角度 1 二次函数的单调性与最值【例 4 － 1 】已知函数 f ( x ) ＝x 2 ＋ 2 ax ＋ 3 ，x ∈ [ － 4 ，6] .(1) 当 a ＝－ 2 时，求 f ( x ) 的最值；(2) 求实数 a 的取值范围，使y ＝ f ( x ) 在区间[ － 4 ，6] 上是单调函数.解(1) 当 a ＝－ 2 时， f ( x ) ＝x 2 － 4 x ＋ 3 ＝( x －2) 2 －1 ，由于x ∈ [ － 4 ，6] ，∴ f ( x ) 在[ － 4 ，2] 上单调递减，在[2 ，6] 上单调递增，∴ f ( x ) 的最小值是 f (2) ＝－ 1 ，又 f ( －4) ＝35 ， f (6) ＝15 ，故 f ( x ) 的最大值是35.(2) 由于函数 f ( x ) 的图像开口向上，对称轴是x ＝－ a ，所以要使 f ( x ) 在[ － 4 ，6] 上是单调函数，应有－ a ≤ － 4 或－ a ≥ 6 ，即 a ≤ － 6 或 a ≥ 4 ，故 a 的取值范围是( －∞ ，－6] ∪ [4 ，＋∞ ) .角度 2 二次函数的恒成立问题【例 4 － 2 】(2019·浙江“ 超级全能生” 模拟) 已知在( －∞ ，1] 上递减的函数 f ( x ) ＝x 2 － 2 tx ＋ 1 ，且对任意的x 1 ，x 2 ∈[0 ，t ＋1] ，总有| f ( x 1 ) － f ( x 2 )| ≤ 2 ，则实数t 的取值范围是( )A . [ －，]B . [1 ，]C . [2 ，3]D . [1 ，2]解析由于 f ( x ) ＝x 2 － 2 tx ＋ 1 的图像的对称轴为x ＝t ，又y ＝ f ( x ) 在( －∞ ，1] 上是减函数，所以，t ≥ 1.则在区间[0 ，t ＋1] 上， f ( x ) max ＝ f (0) ＝ 1 ，f ( x ) min ＝ f ( t ) ＝t 2 － 2 t 2 ＋ 1 ＝－t 2 ＋ 1 ，要使对任意的x 1 ，x 2 ∈ [0 ，t ＋1] ，都有| f ( x 1 ) － f ( x 2 )| ≤ 2 ，只需 1 －( －t 2 ＋1) ≤ 2 ，解得－≤ t ≤ .又t ≥ 1 ，∴ 1 ≤ t ≤ .答案 B规律方法 1. 二次函数最值问题的解法：抓住“ 三点一轴” 数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.2 . 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1) 一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2) 两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离. 这两个思路的依据是： a ≥ f ( x ) 恒成立⇔ a ≥ f ( x ) max ， a ≤ f ( x ) 恒成立⇔ a ≤ f ( x ) min .【训练 4 】已知二次函数 f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋1( a ， b ∈ R 且 a ≠0) ，x ∈ R .(1) 若函数 f ( x ) 的最小值为 f ( －1) ＝0 ，求 f ( x ) 的解析式，并写出单调区间；(2) 在(1) 的条件下， f ( x )> x ＋k 在区间[ － 3 ，－1] 上恒成立，试求k 的取值范围.解(1) 由题意知解得所以 f ( x ) ＝x 2 ＋ 2 x ＋ 1 ，由 f ( x ) ＝( x ＋1) 2 知，函数 f ( x ) 的单调递增区间为[ － 1 ，＋∞ ) ，单调递减区间为( －∞ ，－1] .(2) 由题意知，x 2 ＋ 2 x ＋1> x ＋k 在区间[ － 3 ，－1] 上恒成立，即k < x 2 ＋x ＋ 1 在区间[ － 3 ，－1] 上恒成立，令g ( x ) ＝x 2 ＋x ＋ 1 ，x ∈ [ － 3 ，－1] ，由g ( x ) ＝＋知g ( x ) 在区间[ － 3 ，－1] 上是减函数，则g ( x ) min ＝g ( －1) ＝ 1 ，所以k <1 ，故k 的取值范围是( －∞ ，1) .[ 思维升华]1 . 幂函数y ＝x α 的性质和图像，由于α 的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查：(1) α 的正负：α >0 时图像经过(0 ，0) 点和(1 ，1) 点，在第一象限的部分“ 上升” ；α <0 时图像不过(0 ，0) 点，经过(1 ，1) 点，在第一象限的部分“ 下降” ；(2) 曲线在第一象限的凹凸性：α >1 时曲线下凹，0< α <1 时曲线上凸，α <0 时曲线下凹；(3) 函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.2 . 求二次函数的解析式就是确定函数式 f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a ≠ 0) 中a ，b ，c 的值. 应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.3 . 二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图像和性质，可直观地解决与不等式有关的问题.4 . 二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图像以及所给区间与对称轴的关系确定.[ 易错防范]1 . 幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.2 . 对于函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ，要认为它是二次函数，就必须满足 a ≠ 0 ，当题目条件中未说明 a ≠ 0 时，就要讨论 a ＝0 和 a ≠ 0 两种情况.基础巩固题组( 建议用时：40 分钟)一、选择题1 . (2019·济宁联考) 下列命题正确的是( )A . y ＝x 0 的图像是一条直线B . 幂函数的图像都经过点(0 ，0) ，(1 ，1)C . 若幂函数y ＝x α 是奇函数，则y ＝x α 是增函数D . 幂函数的图像不可能出现在第四象限解析 A 中，点(0 ，1) 不在直线上， A 错； B 中，y ＝x α ，当α <0 时，图像不过原点， B 错； C 中，当α <0 时，y ＝x α 在( －∞ ，0) ，(0 ，＋∞ ) 上为减函数， C 错. 幂函数图像一定过第一象限，一定不过第四象限， D 正确.答案 D2 . 若函数 f ( x ) ＝x 2 ＋ax ＋ b 的图像与x 轴的交点为(1 ，0) 和(3 ，0) ，则函数 f ( x )( )A . 在( －∞ ，2] 上递减，在[2 ，＋∞ ) 上递增B . 在( －∞ ，3) 上递增C . 在[1 ，3] 上递增D . 单调性不能确定解析由已知可得该函数图像的对称轴为x ＝ 2 ，又二次项系数为1>0 ，所以 f ( x ) 在( －∞ ，2] 上是递减的，在[2 ，＋∞ ) 上是递增的.答案 A3 . (2019·安阳模拟) 已知函数 f ( x ) ＝－x 2 ＋4 x ＋ a ，x ∈ [0 ，1] ，若 f ( x ) 有最小值－ 2 ，则 f ( x ) 的最大值为( )A . 1B . 0C . － 1D . 2解析 f ( x ) ＝－x 2 ＋ 4 x ＋ a ＝－( x －2) 2 ＋ a ＋ 4 ，∴ 函数 f ( x ) ＝－x 2 ＋ 4 x ＋ a 在[0 ，1] 上单调递增，∴ 当x ＝0 时， f ( x ) 取得最小值，当x ＝ 1 时， f ( x ) 取得最大值，∴ f (0) ＝ a ＝－ 2 ， f (1) ＝ 3 ＋ a ＝ 3 － 2 ＝ 1.答案 A4 . (2018·岳阳一中质检) 已知函数y ＝ax 2 ＋bx － 1 在( －∞ ，0] 是单调函数，则y ＝ 2 ax ＋ b 的图像不可能是( )解析① 当 a ＝0 ， b ≠ 0 时，y ＝ 2 ax ＋ b 的图像可能是A ；② 当 a >0 时，－≥ 0 ⇒ b ≤ 0 ，y ＝ 2 ax ＋ b 的图像可能是 C ；③ 当 a <0 时，－≥ 0 ⇒ b ≥ 0 ，y ＝ 2 ax ＋ b 的图像可能是 D.答案 B5 . (2019·巢湖月考) 已知p ：| m ＋1|<1 ，q ：幂函数y ＝( m 2 －m －1) x m 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，则p 是q 的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件解析p ：由| m ＋1|<1 得－2< m <0 ，∵ 幂函数y ＝( m 2 －m －1) x m 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，∴ m 2 －m － 1 ＝ 1 ，且m <0 ，解得m ＝－ 1.∴ p 是q 的必要不充分条件.答案 B二、填空题6 . 已知函数 f ( x ) 为幂函数，且 f (4) ＝，则当 f ( a ) ＝ 4 f ( a ＋3) 时，实数 a 等于________ .解析设 f ( x ) ＝x α ，则 4 α ＝，所以α ＝－.因此 f ( x ) ＝x －，从而 a －＝4( a ＋3) －，解得 a ＝.答案7 . (2019·南昌质检) 若二次函数 f ( x ) ＝ax 2 －x ＋ b ( a ≠ 0) 的最小值为0 ，则 a ＋ 4 b 的取值范围是________ .解析依题意，知 a >0 ，且Δ ＝ 1 － 4 ab ＝0 ，∴ 4 ab ＝ 1 ，且b >0.故 a ＋ 4 b ≥ 2 ＝ 2 ，当且仅当 a ＝ 4 b ，即 a ＝ 1 ， b ＝时等号成立.所以 a ＋ 4 b 的取值范围是[2 ，＋∞ ) .答案[2 ，＋∞ )8 . 已知二次函数 f ( x ) 满足 f (2 ＋x ) ＝ f (2 －x ) ，且 f ( x ) 在[0 ，2] 上是增函数，若 f ( a ) ≥ f (0) ，则实数 a 的取值范围是________ .解析由题意可知函数 f ( x ) 的图像开口向下，对称轴为x ＝2( 如图) ，若 f ( a ) ≥ f (0) ，从图像观察可知0 ≤ a ≤ 4.答案[0 ，4]三、解答题9 . 已知奇函数y ＝ f ( x ) 定义域是R ，当x ≥ 0 时， f ( x ) ＝x (1 －x ) .(1) 求出函数y ＝ f ( x ) 的解析式；(2) 写出函数y ＝ f ( x ) 的单调递增区间. ( 不用证明，只需直接写出递增区间即可)解(1) 当x <0 时，－x >0 ，所以 f ( －x ) ＝－x (1 ＋x ) .又因为y ＝ f ( x ) 是奇函数，所以 f ( x ) ＝－ f ( －x ) ＝x (1 ＋x ) .综上 f ( x ) ＝(2) 函数y ＝ f ( x ) 的单调递增区间是.10 . 已知幂函数 f ( x ) ＝( m －1) 2 xm 2 － 4 m ＋ 2 在(0 ，＋∞ ) 上单调递增，函数g ( x ) ＝ 2 x －k .(1) 求m 的值；(2) 当x ∈ [1 ，2) 时，记 f ( x ) ，g ( x ) 的值域分别为集合 A ， B ，设p ：x ∈ A ，q ：x ∈ B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围.解(1) 依题意得：( m －1) 2 ＝ 1 ⇒ m ＝0 或m ＝ 2 ，当m ＝ 2 时， f ( x ) ＝x － 2 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴ m ＝0.(2) 由(1) 得， f ( x ) ＝x 2 ，当x ∈ [1 ，2) 时， f ( x ) ∈ [1 ，4) ，即 A ＝[1 ，4) ，当x ∈ [1 ，2) 时，g ( x ) ∈ [2 －k ， 4 －k ) ，即 B ＝[2 －k ， 4 －k ) ，因p 是q 成立的必要条件，则 B ⊆ A ，则即得0 ≤ k ≤ 1.故实数k 的取值范围是[0 ，1] .能力提升题组( 建议用时：20 分钟)11. (2019·武汉模拟) 幂函数y ＝x α ，当α 取不同的正数时，在区间[0 ，1] 上它们的图像是一组美丽的曲线( 如图) ，设点 A (1 ，0) ，B (0 ，1) ，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y＝x b 的图像三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么 a －＝( )A . 0B . 1 C. D . 2解析BM ＝MN ＝NA ，点 A (1 ，0) ， B (0 ，1) ，所以M ，N ，将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得 a ＝log ， b ＝log，∴ a －＝log －＝0.答案 A12 . (2017·浙江卷) 若函数 f ( x ) ＝x 2 ＋ax ＋ b 在区间[0 ，1] 上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A . 与 a 有关，且与 b 有关B . 与 a 有关，但与 b 无关C . 与 a 无关，且与 b 无关D . 与 a 无关，但与 b 有关解析设x 1 ，x 2 分别是函数 f ( x ) 在[0 ，1] 上的最小值点与最大值点，则m ＝x ＋ax 1 ＋ b ，M ＝x ＋ax 2 ＋ b .∴ M －m ＝x －x ＋ a ( x 2 －x 1 ) ，显然此值与 a 有关，与 b 无关.答案 B13 . 已知函数 f ( x ) ＝mx 2 ＋(2 －m ) x ＋n ( m >0) ，当－ 1 ≤ x ≤ 1 时，| f ( x )| ≤ 1 恒成立，则 f ＝________ .解析当x ∈ [ － 1 ，1] 时，| f ( x )| ≤ 1 恒成立.∴因此n ＝－ 1 ，∴ f (0) ＝－ 1 ， f (1) ＝ 1.由 f ( x ) 的图像可知：要满足题意，则图像的对称轴为直线x ＝0 ，∴ 2 －m ＝0 ，m ＝ 2 ，∴ f ( x ) ＝ 2 x 2 － 1 ，∴ f ＝－.答案－14 . 已知二次函数 f ( x ) 满足 f ( x ＋1) － f ( x ) ＝ 2 x ，且 f (0) ＝ 1.(1) 求 f ( x ) 的解析式；(2) 当x ∈ [ － 1 ，1] 时，函数y ＝ f ( x ) 的图像恒在函数y ＝ 2 x ＋m 的图像的上方，求实数m 的取值范围.解(1) 设 f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋1( a ≠ 0) ，则 f ( x ＋1) － f ( x ) ＝ 2 x ，得 2 ax ＋ a ＋ b ＝ 2 x .所以， 2 a ＝ 2 且 a ＋ b ＝0 ，解得 a ＝ 1 ， b ＝－ 1 ，又 f (0) ＝ 1 ，所以 c ＝ 1.因此 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ＝x 2 －x ＋ 1.(2) 因为当x ∈ [ － 1 ，1] 时，y ＝ f ( x ) 的图像恒在y ＝ 2 x ＋m 的图像上方，所以在[ － 1 ，1] 上，x 2 －x ＋1>2 x ＋m 恒成立；即x 2 － 3 x ＋1> m 在区间[ － 1 ，1] 上恒成立.所以令g ( x ) ＝x 2 － 3 x ＋ 1 ＝－，因为g ( x ) 在[ － 1 ，1] 上的最小值为g (1) ＝－ 1 ，所以m < － 1. 故实数m 的取值范围为( －∞ ，－1) .。

2022届高考数学专题训练 20分钟专题突破(8)旧人教版

数学20分钟专题突破08解三角形一.选择题1.△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假设sin A =31，b =3sin B ，那么a 等于〔〕 A.33 B.3 C.23 D.332.在△ABC 中,A=120，b=1，那么sin sin sin a b c A B C++++=〔〕A ．3B ．3C ．D ． 3.在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010．假设最长边为1，那么最短边的长为〔〕 A ．455 B ．355 C ．255 D ．554．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a,b,c ，假设a =b =45B =︒，那么角A=〔〕A ．30°B ．30°或105°C ．60°D ．60°或120°二.填空题1.a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量1)=-m ，(cos sin )A A =，n ．假设⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，那么角B = ．2.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 12sin ,5cos ==A b B a ，那么=a ．三.解答题〔2021年高考全国二17〕．在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．〔Ⅰ〕求sin A 的值；〔Ⅱ〕设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．答案：一.选择题1.〖解析〗由sin sin a b A B=得a = 〖答案〗D ．2. 〖解析〗在△ABC1sin1202c =︒，4c =；又22214214cos12021a =+-⨯⨯︒=，sin sin sin a b c A B C ++==++ 〖答案〗C ．3. 〖解析〗由条件知A 、B 都是小于4π，所以角C最大，又tan 10B =，B 最小，由sin sin c b C B =得，1sin13510=︒，所以最短边长为55． 4.〖解析〗sin sin 45A =︒，即sin 2A =，又a b >，所以60A =︒或120A =︒．〖答案〗D ．二.填空题1. 〖解析〗⊥mn sin 0A A -=⇒3A π⇒=，由正弦定理得：sin cos sin cos sin sin A B B A C C +=， 6B π=∴．〖答案〗6π． 2. 〖解析〗由sin 12b A =及正弦定理得：sin 12a B =，又cos 5a B =，两式平方相加得：13a =．〖答案〗13．三.解答题〖解析〗〔Ⅰ〕由5cos 13B =-，得12sin 13B =，由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=．〔Ⅱ〕由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=，由〔Ⅰ〕知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=，又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==，故2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==．。

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