(红对勾)2020届高考一轮数学(理数)课时作业本：40 含答案解析
2020年高考红对勾一轮复习理科数学人教版创新方案课件课时作业2
课时作业2 命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题“若a ＞b ,则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是( A ) A.若a ≤b ,则a ＋c ≤b ＋c B.若a ＋c ≤b ＋c ,则a ≤b C.若a ＋c ＞b ＋c ,则a ＞b D.若a ＞b ,则a ＋c ≤b ＋c【解析】:将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a ≤b ,则a ＋c ≤b ＋c ”.2.(2019·江西九江十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥－1，ln (－x )，x ＜－1，则“x ＝0”是“f (x )＝1”的( B )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】:若x ＝0,则f (0)＝e 0＝1；若f (x )＝1,则e x ＝1或ln(－x )＝1,解得x ＝0或x ＝－e.故“x ＝0”是“f (x )＝1”的充分不必要条件.3.在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下,则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( D )A.都真B.都假C.否命题真D.逆否命题真【解析】:对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下,则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”,这是一个真命题,所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅,则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题,因为当不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集非空时,可以有a ＞0,即抛物线的开口可以向上,因此否命题也是假命题,故选D.4.(2019·河南郑州一模)下列说法正确的是( D ) A.“若a ＞1,则a 2＞1”的否命题是“若a ＞1,则a 2≤1” B.“若am 2＜bm 2,则a ＜b ”的逆命题为真命题 C.存在x 0∈(0,＋∞),使3x 0＞4x 0成立D.“若sin α≠12,则α≠π6”是真命题【解析】:对于选项A,“若a ＞1,则a 2＞1”的否命题是“若a ≤1,则a 2≤1”,故选项A 错误；对于选项B,“若am 2＜bm 2,则a ＜b ”的逆命题为“若a ＜b ,则am 2＜bm 2”,因为当m ＝0时,am 2＝bm 2,所以逆命题为假命题,故选项B 错误；对于选项C,由指数函数的图象知,对任意的x ∈(0,＋∞),都有4x＞3x,故选项C 错误；对于选项D,“若sin α≠12,则α≠π6”的逆否命题为“若α＝π6,则sin α＝12”,该逆否命题为真命题,所以原命题为真命题,故选D.5.(2019·江西鹰谭中学月考)设f (x )＝x 2－4x (x ∈R ),则f (x )＞0的一个必要不充分条件是( C )A.x ＜0B.x ＜0或x ＞4C.|x －1|＞1D.|x －2|＞3【解析】:依题意,f (x )＞0⇔x 2－4x ＞0⇔x ＜0或x ＞4.又|x －1|＞1⇔x －1＜－1或x －1＞1,即x ＜0或x ＞2,而{x |x ＜0或x ＞x |x ＜0或x ＞2},因此选C.6.(2019·山东日照联考)“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( A )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】:当m ＜0时,由图象的平移变换可知,函数f (x )必有零点；当函数f (x )有零点时,m ≤0,所以“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的充分不必要条件,故选A.7.(2019·安徽两校阶段性测试)设a ∈R ,则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( D )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】:∵当a ≠0时,a 2＝8a ＝－8－a⇒直线l 1与直线l 2重合,∴无论a 取何值,直线l 1与直线l 2均不可能平行,当a ＝4时,l 1与l 2重合.故选D.8.(2019·山西太原模拟)已知a ,b 都是实数,那么“2a ＞2b ”是“a 2＞b 2”的( D )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】:充分性：若2a ＞2b , 则2a －b ＞1,∴a －b ＞0,∴a ＞b . 当a ＝－1,b ＝－2时,满足2a ＞2b , 但a 2＜b 2,故由2a ＞2b 不能得出a 2＞b 2, 因此充分性不成立. 必要性：若a 2＞b 2,则|a |＞|b |.当a ＝－2,b ＝1时,满足a 2＞b 2,但2－2＜21, 即2a ＜2b ,故必要性不成立.综上,“2a ＞2b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件,故选D. 9.(2017·天津卷)设θ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( A )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】:∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔－π12＜θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6,sin θ＜12⇔θ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6,k ∈Z , ⎝⎛⎭⎪⎫0，π6⎝⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6,k ∈Z ,∴“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件. 10.(2019·江西红色七校模拟)在△ABC 中,角A ,B 均为锐角,则“cos A ＞sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的( C )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】:因为cos A ＞sin B ,所以cos A ＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B , 因为角A ,B 均为锐角,所以π2－B 为锐角, 又因为余弦函数y ＝cos x 在(0,π)上单调递减, 所以A ＜π2－B ,所以A ＋B ＜π2, 在△ABC 中,A ＋B ＋C ＝π,所以C ＞π2, 所以△ABC 为钝角三角形；若△ABC 为钝角三角形,角A ,B 均为锐角, 则C ＞π2,所以A ＋B ＜π2,所以A ＜π2－B ,所以cos A ＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ,即cos A ＞sin B . 故“cos A ＞sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的充要条件. 11.设向量a ＝(sin2θ,cos θ),b ＝(cos θ,1),则“a ∥b ”是“tan θ＝12成立”的必要不充分__条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)【解析】:a ∥b ⇔sin2θ＝cos 2θ⇔cos θ＝0或2sin θ＝cos θ⇔cos θ＝0或tan θ＝12,所以“a ∥b ”是“tan θ＝12成立”的必要不充分条件.12.已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0,条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 . 【解析】:方法一 命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1,命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}.綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞1或x ＜12.綈q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件,∴⎩⎨⎧ a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎨⎧ a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12.方法二 命题p ：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1,命题q ：B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件, ∴p 是q 的充分不必要条件,即A B ,∴⎩⎨⎧a ＋1≥1，a ＜12或⎩⎨⎧a ＋1＞1，a ≤12，∴0≤a ≤12.13.已知p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞,－1)上是单调函数,q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0,且a ≠1)在(－1,＋∞)上是增函数,则綈p 是q 的( C )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】:易知p 成立⇔a ≤1,q 成立⇔a ＞1,所以綈p 成立⇔a ＞1,则綈p 是q 的充要条件,故选C.14.(2019·昆明诊断)下列选项中,说法正确的是( D ) A.若a ＞b ＞0,则ln a ＜ln bB.向量a ＝(1,m ),b ＝(m,2m －1)(m ∈R )垂直的充要条件是m ＝1C.命题“∀n ∈N *,3n ＞(n ＋2)·2n －1”的否定是“∀n ∈N *,3n ≥(n ＋2)·2n －1”D.已知函数f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的,则命题“若f (a )·f (b )＜0,则f (x )在区间(a ,b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题【解析】:∵函数y ＝ln x (x ＞0)是增函数,∴若a ＞b ＞0,则ln a ＞ln b ,故A 错误；若a ⊥b ,则m ＋m (2m －1)＝0,解得m ＝0,故B 错误；命题“∀n ∈N *,3n ＞(n ＋2)·2n －1”的否定是“∃n ∈N *,3n ≤(n ＋2)·2n －1”,故C 错误；命题“若f (a )·f (b )＜0,则f (x )在区间(a ,b )内至少有一个零点”的逆命题“若f (x )在区间(a ,b )内至少有一个零点,则f (a )·f (b )＜0”是假命题,如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,4]上的图象连续不断,且在区间(－2,4)内有两个零点,但f (－2)·f (4)＞0,D 正确.15.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R ,B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1,x ∈R },若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ,则实数m 的取值范围是(2,＋∞)__.【解析】:A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}, ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A , ∴AB ,∴m ＋1＞3,即m ＞2.16.(2019·石家庄模拟)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0),且綈p 是綈q 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是[9,＋∞)__.【解析】:法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,得－2≤x ≤10, ∴綈p 对应的集合为{x |x ＞10或x ＜－2}, 设A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}. 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0), 得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0),∴綈q 对应的集合为{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ,m ＞0}, 设B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ,m ＞0}. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件,∴B A ,∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，解得m ≥9,∴实数m 的取值范围为[9,＋∞). 法二：∵綈p 是綈q 的必要不充分条件, ∴q 是p 的必要不充分条件. 即p 是q 的充分不必要条件, 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0), 得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0).∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ,m ＞0}, 设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ,m ＞0},又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,得－2≤x ≤10, ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}, 设N ＝{x |－2≤x ≤10}. 由p 是q 的充分不必要条件知,N M ,∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9,＋∞).。
(红对勾)2020届高考一轮数学(理数)课时作业本：48 含答案解析
课时作业48 利用向量求空间角1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( B )A.12B.23C.33D.22解析：以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，D (0,1,0)，∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－12，设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )．则有⎩⎨⎧A 1D →·n 1＝0，A 1E →·n 1＝0，即⎩⎨⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2， ∴n 1＝(1,2,2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23，即所成的锐二面角的余弦值为23.2．(2019·大同模拟)设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD的距离是( D )A.32B.22C.223D.233解析：如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y轴，z 轴，建立坐标系，则D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B (2,2,0)，D 1A 1→＝(2,0,0)，DB →＝(2,2,0)，DA 1→＝(2,0,2)，设平面A 1BD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0， 令z ＝1，得n ＝(－1,1,1)．∴D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233.3．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( A )A.334 B.233 C.324 D.32解析：由正方体的性质及题意可得，正方体共顶点的三条棱所在直线与平面α所成的角均相等．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，易知棱AB ，AD ，AA 1所在直线与平面A 1BD 所成的角均相等，所以α∥平面A 1BD ，当平面α趋近点A 时，截面图形的面积趋近于0；当平面α经过正方体的中心O 时，截面图形为正六边形，其边长为22，截面图形的面积为6×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝334；当平面α趋近于C 1时，截面图形的面积趋近于0，所以截面图形面积的最大值为334，故选A.4．已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，AC 为球O 的直径．当三棱锥P -ABC 的体积最大时，二面角P -AB -C 的大小为θ，则sin θ等于( C )A.23B.53C.63D.73解析：如图，设球O 的半径为R ，由4πR 2＝16π，得R ＝2，设点P 到平面ABC 的距离为d ， 则0＜d ≤2，因为AC 为球的直径， 所以AB 2＋BC 2＝AC 2＝16，则V 三棱锥P -ABC ＝16AB ·BC ·d ≤16·AB 2＋BC 22·2＝83，当且仅当AB ＝BC ＝22，d ＝2时，V 三棱锥P -ABC 取得最大值， 此时平面P AC ⊥平面ABC ，连接PO ，因为PO ⊥AC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，PO ⊂平面P AC ， 所以PO ⊥平面ABC ，过点P 作PD ⊥AB 于D ， 连接OD ，因为AB ⊥PO ，AB ⊥PD ，PO ∩PD ＝P ， 所以AB ⊥平面POD ，则AB ⊥OD ， 所以∠PDO 为二面角P -AB -C 的平面角，因为OD ＝12BC ＝2，所以PD ＝PO 2＋OD 2＝6， 则sin θ＝sin ∠PDO ＝PO PD ＝63，故选C.5．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和正方形ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角的大小是 45° .解析：以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，DC →＝(0,1,0)，∴cos 〈EF →，DC →〉＝EF →·DC →|EF →||DC →|＝－22，∴〈EF →，DC →〉＝135°，∴异面直线EF 和CD 所成的角的大小是45°.6．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 25 .解析：建立空间直角坐标系如图所示．设AB ＝1，则AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫12，0，0. 设M (0，y,1)(0≤y ≤1)，则EM →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，y ，1.∵θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，∴cos θ＝|AF →·EM →||AF →||EM →| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋12y 1＋14·14＋y 2＋1＝2(1－y )5·4y 2＋5. 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2(1－y )4y 2＋52＝1－8y ＋14y 2＋5. 令8y ＋1＝t ，1≤t ≤9， 则8y ＋14y 2＋5＝16t ＋81t －2≥15， 当且仅当t ＝1时取等号．∴cos θ＝2(1－y )5·4y 2＋5≤15×25＝25，当且仅当y ＝0时取等号． 7．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D -AE -C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E -ACD 的体积． 解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .又因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直． 如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系A -xyz ，则D (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12.设B (m,0,0)(m ＞0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎨⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎨⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的法向量， 由题设得|cos 〈n 1，n 2〉|＝12， 即33＋4m 2＝12，解得m ＝32.因为E 为PD 的中点， 所以三棱锥E -ACD 的高为12.三棱锥E -ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.8．(2019·江西六校联考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ABD ＝90°，EB ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB ＝2，EB ＝3，EF ＝1，BC ＝13，且M 是BD 的中点．(1)求证：EM ∥平面ADF ；(2)求二面角A -FD -B 的余弦值的大小．解：(1)证法一：取AD 的中点N ，连接MN ，NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以MN ∥AB ，MN ＝12AB ， 又因为EF ∥AB ，EF ＝12AB ， 所以MN ∥EF 且MN ＝EF .所以四边形MNFE 为平行四边形，所以EM ∥FN ， 又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故EM ∥平面ADF .证法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB ⊥BD ，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B -xyz.由已知可得EM →＝⎝⎛⎭⎪⎫32，0，－3，AD →＝(3，－2,0)，AF →＝(0，－1，3)，设平面ADF 的法向量是n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·AF →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝0，－y ＋3z ＝0，令y ＝3，则n ＝(2,3，3)． 又因为EM →·n ＝0，所以EM →⊥n ， 又EM ⊄平面ADF ，故EM ∥平面ADF .(2)由(1)中证法二可知平面ADF 的一个法向量是n ＝(2,3，3)． 易得平面BFD 的一个法向量是m ＝(0，－3，1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－34， 又二面角A -FD -B 为锐角，故二面角A -FD -B 的余弦值大小为34.9．(2019·河南郑州一模)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△DAB ≌△DCB ，E 为线段BD 上的一点，且EB ＝ED ＝EC ＝BC ，连接CE 并延长交AD 于F .(1)若G 为PD 的中点，求证：平面P AD ⊥平面CGF ；(2)若BC ＝2，P A ＝3，求平面BCP 与平面DCP 所成锐二面角的余弦值． 解：(1)证明：在△BCD 中，EB ＝ED ＝EC ＝BC ， 故∠BCD ＝π2，∠CBE ＝∠CEB ＝π3， 连接AE ，∵△DAB ≌△DCB ，∴△EAB ≌△ECB ，从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，AE ＝CE ＝DE . ∴∠AEF ＝∠FED ＝π3. 故EF ⊥AD ，AF ＝FD . 又PG ＝GD ，∴FG ∥P A .又P A ⊥平面ABCD ，故GF ⊥平面ABCD ， ∴GF ⊥AD ，又GF ∩EF ＝F ，故AD ⊥平面CFG . 又AD ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面CGF .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (3，3，0)，D (0，23，0)，P (0,0,3)． 故BC →＝(1，3，0)，CP →＝(－3，－3，3)，CD →＝(－3，3，0)． 设平面BCP 的一个法向量为n 1＝(1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3y 1＝0，－3－3y 1＋3z 1＝0，解得⎩⎨⎧y 1＝－33，z 1＝23，即n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－33，23.设平面DCP 的一个法向量为n 2＝(1，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧－3＋3y 2＝0，－3－3y 2＋3z 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3，z 2＝2，即n 2＝(1，3，2)．从而平面BCP 与平面DCP 所成锐二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝43169×8＝24.10．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值．解：(1)取P A 的中点F ，连接EF ，BF . 因为E 是PD 的中点， 所以EF ∥AD ，EF ＝12AD .由∠BAD ＝∠ABC ＝90°得BC ∥AD ， 又BC ＝12AD ，所以EF 綊BC ， 四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ，又BF ⊂平面P AB ，CE ⊄平面P AB ，故CE ∥平面P AB .(2)由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,1，3)，PC →＝(1,0，－3)，AB →＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0＜x ＜1)，则BM →＝(x －1，y ，z )，PM →＝(x ，y －1，z －3)．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量， 所以|cos 〈BM →，n 〉|＝sin 45°， |z |(x －1)2＋y 2＋z 2＝22， 即(x －1)2＋y 2－z 2＝0.①又M 在棱PC 上，设PM →＝λPC →， 则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62.所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，62，从而AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，62.设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量，则⎩⎨⎧m ·AM →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧(2－2)x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝105.易知所求二面角为锐角．因此二面角M -AB -D 的余弦值为105.11．如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD＝12AD，E为棱AD的中点，异面直线P A与CD所成的角为90°.(1)在平面P AB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线P A与平面PCE所成角的正弦值．解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．如图，延长AB，DC，相交于点M(M∈平面P AB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED.所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)解法一：由已知，CD⊥P A，CD⊥AD，P A∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角．所以∠PDA＝45°.设BC＝1，则在Rt△P AD中，P A＝AD＝2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知P A ⊥平面ABCD ，又CE ⊂平面ABCD ，从而P A ⊥CE . 于是CE ⊥平面P AH . 所以平面PCE ⊥平面P AH .过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE . 所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角． 在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1， 所以AH ＝22.在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝322，所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.解法二：由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD . 设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)， 所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)．设平面PCE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0， 设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)． 设直线P A 与平面PCE 所成角为α， 则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13.所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.12．(2019·江西南昌二中月考)如图，在等腰梯形ABCD 中，∠ABC ＝60°，CD ＝2，AB ＝4，点E 为AB 的中点，现将该梯形中的三角形EBC 沿线段EC 折起，形成四棱锥B -AECD .(1)在四棱锥B -AECD 中，求证：AD ⊥BD ；(2)若平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角为120°，求直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值．解：(1)证明：由三角形BEC 沿线段EC 折起前，∠ABC ＝60°，CD ＝2，AB ＝4，点E 为AB 的中点，得三角形BEC 沿线段EC 折起后，四边形AECD 为菱形，边长为2，∠DAE ＝60°，如图，取EC 的中点F ，连接DF ，BF ，DE ，∵△BEC 和△DEC 均为正三角形， ∴EC ⊥BF ，EC ⊥DF , 又BF ∩DF ＝F ，∴EC ⊥平面BFD ，∵AD ∥EC ，∴AD ⊥平面BFD ， ∵BD ⊂平面BFD ，∴AD ⊥BD .(2)以F 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，由EC ⊥平面BFD ，知z 轴在平面BFD 内， ∵BF ⊥EC ，DF ⊥EC ，∴∠BFD 为平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角， ∴∠BFD ＝120°，∴∠BFz ＝30°，又∵BF ＝3，∴点B 的横坐标为－32，点B 的竖坐标为32. 因D (3，0,0)，E (0,1,0)，A (3，2,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－32，0，32，故AE →＝(－3，－1,0)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，0，－32，AD →＝(0，－2，0)．设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧BD →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，0，－32·(x ，y ，z )＝0，AD →·n ＝(0，－2，0)·(x ，y ，z )＝0，得⎩⎨⎧332x －32z ＝0，－2y ＝0，令x ＝1，得y ＝0，z ＝3，∴平面ABD 的一个法向量为n ＝(1,0，3)， ∴cos 〈AE →，n 〉＝AE →·n|AE →||n |＝(－3，－1，0)·(1，0，3)2×2＝－34，∵直线AE 与平面ABD 所成角为锐角， ∴直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值为34.。
人教版2020版高考数学理科一轮复习课时作业一(共7篇)
人教版2020版高考数学理科一轮复习课时作业一（共7篇）目录课时作业1集合 (3).................................................................. 错误！未定义书签。
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课时作业2命题及其关系、充分条件与必要条件 (10).................................................................. 错误！未定义书签。
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课时作业3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词. (16).................................................................. 错误！未定义书签。
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课时作业4函数及其表示. (22).................................................................. 错误！未定义书签。
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课时作业5函数的单调性与最值. (28).................................................................. 错误！未定义书签。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业3
课时作业12 函数模型及其应用1．已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( D )解析：依题意知当0≤x ≤4时，f (x )＝2x ；当4＜x ≤8时，f (x )＝8；当8＜x ≤12时，f (x )＝24－2x ，观察四个选项知D 项符合要求．2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( B )A.y ＝2x －2B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝log 12x解析：由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.3．我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( C )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }解析：如x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4,2([x ]＋1)＝4，排除A 、B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1，排除D ，故选C.4．(2019·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( C )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜11 000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.5．(2019·贵州遵义模拟)某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元．该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n (n ∈N *)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n 等于( B )A ．6B ．7C ．8D ．7或8解析：盈利总额为21n －9－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×n (n －1)×3＝－32n 2＋412n －9.因为其对应的函数的图象的对称轴方程为n ＝416.所以当n ＝7时取最大值，即盈利总额达到最大值，故选B.6．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，包装费用、销售价格如下表所示：①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．A．①③B．①④C．②③D．②④解析：买小包装时每克费用为3100元，买大包装时每克费用为8.4300＝2.8100元，而3100＞2.8100，所以买大包装实惠，卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)，而2.3＞2.1，所以卖1大包盈利多，故选D.7．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G 围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为(D)解析：由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x 2＝4－x ，所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D.8．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地．第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元．设f (n )表示前n 年的纯利润(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总费用支出－投资额)，则从第 5 年开始盈利．解析：由题知f (n )＝26n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤8n ＋n (n －1)2×2－60＝－n 2＋19n －60. 令f (n )＞0，即－n 2＋19n －60＞0，解得4＜n ＜15，所以从第5年开始盈利．9．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x (x ＞0)．则当年广告费投入 4 万元时，该公司的年利润最大．解析：由题意得L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x ≤512－2x 2·8x ＝21.5， 当且仅当x 2＝8x ，即x ＝4时等号成立．此时L 取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．10．某商品在近30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)之间的函数关系式为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N ，且该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)之间的函数关系式为Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N )，则这种商品日销售金额最大的一天是30天中的第 25 天．解析：设日销售金额为W (t )元，则W (t )＝P ·Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧(t ＋20)(－t ＋40)，0<t <25，t ∈N ，(－t ＋100)(－t ＋40)，25≤t ≤30，t ∈N . 令f (t )＝(t ＋20)(－t ＋40)＝－t 2＋20t ＋800(0<t <25，t ∈N )，易知f (t )max ＝f (10)＝900，令g (t )＝(－t ＋100)(－t ＋40)＝t 2－140t ＋4 000(25≤t ≤30，t ∈N )，易知g (t )max ＝g (25)＝1 125.综上，当t ＝25，即第25天时，日销售金额W (t )最大．11．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3，∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z .当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z .∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，－3x 2＋68x －115(6＜x ≤20，x ∈Z ). (2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，显然当x ＝6时，y max ＝185；对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．12．(2019·山东德州模拟)某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧x 225＋2，0＜x ≤5，x ＋192x －2，x ＞5.当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂的质量为m ＝5，试问自来水达到有效净化总共可持续几天？(2)如果投放的药剂质量为m ，为了使在9天(从投放药剂算起包括9天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．解：(1)当m ＝5时，y ＝⎩⎨⎧x 25＋10，0＜x ≤5，5x ＋952x －2，x ＞5.当0＜x ≤5时，x 25＋10＞10，显然符合题意；当x ＞5时，由5x ＋952x －2≥5，解得5＜x ≤21. 综上，0＜x ≤21，所以自来水达到有效净化总共可持续21天．(2)y ＝mf (x )＝⎩⎨⎧mx 225＋2m ，0＜x ≤5，m (x ＋19)2x －2，x ＞5.当0＜x ≤5时，y ＝mx 225＋2m 在区间(0,5]上单调递增，所以2m ＜y ≤3m ； 当x ＞5时，y ′＝－40m (2x －2)2＜0， 所以函数y ＝m (x ＋19)2x －2在(5,9]上单调递减， 所以7m 4≤y ＜3m .综上可知7m 4≤y ≤3m .为使5≤y ≤10恒成立，只要⎩⎨⎧ 7m 4≥5，3m ≤10，解得207≤m ≤103， 所以应该投放的药剂质量m 的最小值为207.13．(2019·嘉定模拟)某市环保研究所对市中心每天环境中放射性污染情况进行调查研究后发现，一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x 2＋1－a ＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.如果以每天f (x )的最大值为当天的环境综合放射性污染指数，并记为M (a )，若规定当M (a )≤2时为环境综合放射性污染指数不超标，则该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时，a 的取值范围为( B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，49 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 解析：设t ＝x x 2＋1，当x ≠0时，可得t ＝1x ＋1x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，当x ＝0时，t ＝0，因而f (x )＝g (t )＝|t －a |＋2a ＋23＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a ＜t ≤12，从而有g (0)＝3a ＋23，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a ＋76，g (0)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14， 因而M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0≤a ≤14，g (0)，14＜a ≤12， 即M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14＜a ≤12，当0≤a ≤14时，M (a )＜2，当14＜a ≤49时，M (a )≤2，当49＜a ≤12时，M (a )＞2，所以该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49. 14．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20 (x ∈N *) ，该工厂的年产量为 16 件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)解析：当x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100； 当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)． 当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，当x ＝16时，y max ＝156.当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润．15．(2019·潍坊模拟)某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是 120 ；(2)最低种植成本是 80 (元/100 kg)．解析：根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2＋bt ＋c ，且开口向上，对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120，代入数据⎩⎪⎨⎪⎧ 3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80(元/100 kg)．16．(2019·西安质检)我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品的关税与市场供应量P 的关系近似满足：y ＝P (x )＝2(1－kt )(x －b )2(其中t 为关税的税率，且t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，x 为市场价格，b ，k 为正常数)，当t ＝18时的市场供应量曲线如图：(1)根据图象求b ，k 的值；(2)若市场需求量为Q ，它近似满足Q (x )＝.当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t 的最小值．解：(1)由图象知函数图象过(5,1)，(7,2)．解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝6，b ＝5.Earlybird(2)当P ＝Q 时，2(1－6t )(x －5)2＝211－x 2，则(1－6t )(x －5)2＝11－x 2，所以1－6t ＝11－x 2(x －5)2＝12·22－x (x －5)2＝ 12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤17(x －5)2－1x －5. 令m ＝1x －5(x ≥9)，m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14. 设f (m )＝17m 2－m ，m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14， 对称轴为m ＝134，所以f (m )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1316， 所以，当m ＝14，即x ＝9时，1－6t 取得最大值为12×1316， 则1－6t ≤12×1316，解得t ≥19192，所以税率的最小值为19192.。
(红对勾)2020届高考一轮数学(理数)课时作业本：60 含答案解析
课时作业60随机抽样1．以下抽样方法是简单随机抽样的是(D)A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验解析：选项A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样．2．(2019·长春一模)完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是(B)A．①简单随机抽样，②系统抽样B．①分层抽样，②简单随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样解析：因为社会购买能力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以①用分层抽样法；从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样法．3．(2019·长沙一中测试)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(A)A．100B．150C．200D．250解析：法一：由题意可得70n －70＝3 5001 500，解得n ＝100. 法二：由题意，抽样比为703 500＝150，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n＝5 000×150＝100.4．(2019·湖南怀化模拟)某电视台为了调查“爸爸去哪儿”节目的收视率，现用分层抽样的方法从4 300人中抽取一个样本，这4 300人中青年人1 600人，且中年人人数是老年人人数的2倍，现根据年龄采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中青年人有320人，则抽取的样本中老年人的人数为( B )A ．90B ．180C ．270D ．360解析：设老年人有x 人，从中抽取y 人，则1 600＋3x ＝4 300，得x ＝900，即老年人有900人，则9001 600＝y 320，得y ＝180.故选B.5．去年“3·15”，某报社做了一次关于“虚假广告”的调查，在A ，B ，C ，D 四个单位回收的问卷数依次成公差为正数的等差数列，共回收1 000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B 单位抽取30份问卷，则在D 单位抽取的问卷份数是( C )A ．45B ．50C ．60D ．65解析：由于B 单位抽取的问卷是样本容量的15，所以B 单位回收问卷200份．由等差数列知识可得C 单位回收问卷300份，D 单位回收问卷400份，则D 单位抽取的问卷份数是B 单位的2倍，即为60份．6．(2019·泉州质检)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6人对户外运动持“喜欢”态度，有1人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有( A )A ．36人B ．30人C ．24人D ．18人解析：设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x ，x,3x ，由题意可得3x －x ＝12，x ＝6.∴持“喜欢”态度的有6x ＝36(人)．7．(2019·石家庄模拟)某校为了解1 000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1 000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( C )A ．16B ．17C ．18D ．19解析：因为从1 000名学生中抽取一个容量为40的样本，所以系统抽样的分段间隔为1 00040＝25，设第一组随机抽取的号码为x ，则抽取的第18组编号为x＋17×25＝443，所以x ＝18.8．采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1,2，…，1 000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A ，编号落入区间[401,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为( A )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调查的人的编号构成首项为8，公差d ＝1 00050＝20的等差数列{a n }，∴通项公式a n ＝8＋20(n －1)＝20n －12，令751≤20n －12≤1 000，得76320≤n ≤2535，又∵n ∈N *，∴39≤n ≤50，∴做问卷C的共有12人．9．(2019·江苏南京联合体学校调研)为检验某校高一年级学生的身高情况，现采用先分层抽样后简单随机抽样的方法，抽取一个容量为210的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.3，且男女生的比是4∶3，则该校高一年级女生的人数是 300 .解析：抽取的高一年级女生的人数为210×37＝90，则该校高一年级女生的人数为90÷0.3＝300，故答案为300.10．(2019·湖北重点中学适应模拟)某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为 3 .解析：系统抽样的抽取间隔为305＝6.设抽到的最小编号为x ，则x ＋(6＋x )＋(12＋x )＋(18＋x )＋(24＋x )＝75，所以x ＝3.11．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是 76 .解析：由题意知m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.12．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为 50 ；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为 1 015 小时．解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015.13．(2019·安徽安庆一中模拟)某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于 ( D )A ．12B ．18C ．24D ．36解析：根据分层抽样方法知n 960＋480＝24960，解得n ＝36. 14．(2019·安徽淮北模拟)某单位员工按年龄分为A ，B ，C 三组，其人数之比为5∶4∶1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是145，则该单位员工总数为( B )A ．110B ．100C ．900D ．800解析：∵员工按年龄分为A ，B ，C 三组，其人数之比为5∶4∶1，∴从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的C 组人数为11＋4＋5×20＝110×20＝2，设C 组员工总数为m ，则甲、乙二人均被抽到的概率为C 22C 2m＝2m (m －1)＝145，即m (m －1)＝90，解得m ＝10.设员工总数为x ，则由10x ＝15＋4＋1＝110，可得x ＝100，故选B.15．为了调研雄安新区的空气质量状况，某课题组对雄县、容城、安新三县空气质量进行调查，按地域特点在三县内设置空气质量观测点．已知三县内观测点的个数分别为6，y ，z ，依次构成等差数列，且6，y ，z ＋6成等比数列，若采用分层抽样的方法抽取12个观测点的数据，则应从容城抽取的观测点的数据个数为( C )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：∵6，y ，z 依次构成等差数列，且6，y ，z ＋6成等比数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 6＋z ＝2y ，y 2＝6(z ＋6)，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝18.若采用分层抽样的方法抽取12个观测点的数据，则应从容城抽取的观测点的数据个数为126＋12＋18×12＝4，故选C. 16．某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动．每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为 36 .解析：根据题意可知，样本中参与跑步的人数为200×35＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×32＋3＋5＝36.。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业1
课时作业10 函数的图象1．函数f (x )＝x2ln|x |的图象大致是( D )解析：由f (－x )＝－f (x )可得f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，C ，而x ∈(0,1)时，ln|x |＜0，f (x )＜0，排除B ，故选D.2．现有四个函数：①y ＝x sin x ；②y ＝x cos x ；③y ＝x |cos x |；④y ＝x ·2x .它们的图象(部分)如下，但顺序已被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是( D )A ．④①②③B ．①④③②C ．③④②①D ．①④②③解析：函数y ＝x sin x 是偶函数，由图象知，函数①对应第一个图象；函数y ＝x cos x 是奇函数，且当x ＝π时，y ＝－π＜0，故函数②对应第三个图象；函数y ＝x |cos x |为奇函数，且当x ＞0时，y ≥0，故函数③与第四个图象对应；函数y ＝x ·2x 为非奇非偶函数，与第二个图象对应．综上可知，选D.3．(2019·河南信阳模拟)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝8－f (4＋x )，函数g (x )＝4x ＋3x －2，若函数f (x )与g (x )的图象共有168个交点，记作P i (x i ，y i )(i ＝1,2，…，168)，则(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x 168＋y 168)的值为( D )A ．2 018B ．2 017C ．2 016D ．1 008解析：函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝8－f (4＋x )，可得f (－x )＋f (4＋x )＝8，即函数f (x )的图象关于点(2,4)对称，由函数g (x )＝4x ＋3x －2＝4(x －2)＋11x －2＝4＋11x －2，可知其图象关于点(2,4)对称，∵函数f (x )与g (x )的图象共有168个交点，∴两图象在点(2,4)两边各有84个交点，且两边的点分别关于点(2,4)对称，故得(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x 168＋y 168)＝(4＋8)×84＝1 008.故选D.4．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( A )A ．f (x )＝12x －1－x 3B ．f (x )＝12x －1＋x 3C ．f (x )＝12x ＋1－x 3D ．f (x )＝12x ＋1＋x 3解析：由图可知，函数图象的渐近线为x ＝12，排除C ，D ，又函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减．而函数y ＝12x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，y ＝－x 3在R 上单调递减，则f (x )＝12x －1－x 3在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，故选A. 5．如图所示，动点P 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点．设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( B )解析：设正方体的棱长为1，显然，当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，所以排除A 、C ；当P 在BE 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝263x ，是一次函数，所以排除D ，故选B.6．(2019·泰安模拟)已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则y ＝f ′(x )的图象大致是( A )解析：因为f (x )＝14x 2＋cos x ，所以f ′(x )＝12x －sin x ，f ′(x )为奇函数，排除B ，D ；当x ＝π6时，f ′(x )＝π12－12＜0，排除C ，∴A 满足．7．(2019·昆明检测)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( C )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．[－4，－2]∪[0，＋∞)C ．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞)解析：依题意，画出函数的大致图象如图所示．实线部分为g (x )的草图，则xg (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，g (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，g (x )≥0，由图可得xg (x )≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)． 8．已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋5，则方程f (x )＝g (x )的根的个数为( C )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：在平面直角坐标系内作出f (x )，g (x )的图象如图所示，由已知g (x )＝(x －2)2＋1，得其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点．9．(2019·江苏扬州模拟)不等式2－x ≤log 2(x ＋1)的解集是{x |x ≥1}__．解析：画出y ＝2－x ，y ＝log 2(x ＋1)的图象如图所示，由图可知，解集为{x |x ≥1}．10．给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b ＜a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为(4,5)__．解析：作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．11．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)令f (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出f (x )的图象如图所示.由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数f (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当0＜m ＜2时，函数f (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )＞H (0)＝0.因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0， 即所求m 的取值范围为(－∞，0]．12．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上， ∴2－y ＝－x ＋1－x＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x . (2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x ， 且g (x )＝x ＋a ＋1x ≥6，x ∈(0,2]．∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )，即a ≥－x 2＋6x －1. 令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]， q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴当x ∈(0,2]时，q (x )是增函数，q (x )max ＝q (2)＝7. 故实数a 的取值范围是[7，＋∞)．13．(2019·安徽江南十校联考)若函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( B )A ．f (x )＝e x －1x 2－1B ．f (x )＝e xx 2－1C ．f (x )＝x 3＋x ＋1x 2－1D ．f (x )＝x 4＋x ＋1x 2－1解析：由题中图象可知，函数的定义域为{x |x ≠a 且x ≠b }，f (x )在(－∞，a )上为增函数，在(a,0]上先增后减，在[0，b )上为减函数，在(b ，＋∞)上先减后增．A 项中f (x )的定义域为{x |x ≠－1且x ≠1}， 此时a ＝－1，b ＝1.f ′(x )＝e x (x 2－1)－2x (e x －1)(x 2－1)2，则f ′(－2)＝79e 2－49＜0，与f (x )在(－∞，－1)上递增不符． B 项中f (x )的定义域 为{x |x ≠±1}，f ′(x )＝e x (x 2－2x －1)(x 2－1)2＝e x [(x －1)2－2](x 2－1)2，若f ′(x )＞0，则x ＜－1或－1＜x ＜1－2或x ＞1＋2，此时f (x )在各对应区间上为增函数，符合题意．同理可检验C 、D 不符，故选B.14．(2019·福建厦门双十中学模拟)已知函数f (x )＝x 2＋e x－12(x ＜0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( B )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e B ．(－∞，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ D ．(e ，＋∞)解析：原命题等价于在x ＜0时，f (x )与g (－x )的图象有交点，即方程e x－12－ln(－x ＋a )＝0在(－∞，0)上有解，令m (x )＝e x－12－ln(－x ＋a )，显然m (x )在(－∞，0)上为增函数．当a ＞0时，只需m (0)＝e 0－12－ln a ＞0，解得0＜a ＜e ；当a ≤0时，x 趋于－∞，m (x )＜0，x 趋于a ，m (x )＞0，即m (x )＝0在(－∞，a )上有解．综上，实数a 的取值范围是(－∞，e)．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，0≤x ≤1，log 2 017x ，x ＞1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( D )A ．(1,2 017)B ．(1,2 018)C ．[2,2 018]D ．(2,2 018)解析：设f (a )＝f (b )＝f (c )＝m ，作出函数f (x )的图象与直线y ＝m ，如图所示，不妨设a ＜b ＜c ，当0≤x ≤1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 的交点分别为A ，B ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，令log 2 017x ＝1，解得x ＝2 017，结合图象可得1＜c ＜2 017， 因此可得2＜a ＋b ＋c ＜2 018， 即a ＋b ＋c ∈(2,2 018)．故选D.16．函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为6__.解析：作出函数y ＝ln|x －1|的图象，又y ＝－2cosπx 的最小正周期为T ＝2，如图所示，两图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.。
(红对勾)2020届高考一轮数学(理数)课时作业本：46 含答案解析
课时作业46 空间向量的运算及应用1．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( D ) A ．－2 B ．－143 C.145 D ．2解析：由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.2．若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( B )A ．不共面B ．共面C ．共线D ．不共线 解析：由已知可得OP →－OA →＝－14OA →＋18OB →＋18OC →， 即OP →－OA →＝－18OA →＋18OB →＋18OC →－18OA →，可得AP →＝－18(OA →－OB →)＋18(OC →－OA →)＝－18BA →＋18AC →＝18(AC →＋AB →)， 所以AP →，AC →，AB →共面但不共线，故P ，A ，B ，C 四点共面．3．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 的中点，则△AMD 是( C )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定 解析：∵M 为BC 的中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD → ＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0.∴AM ⊥AD ，即△AMD 为直角三角形．4．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的比为2，现用基向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →，设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别是( D )A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13 B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16 C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝13解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， ∵G 分MN 的所成比为2，∴MG →＝23MN →，∴OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23(ON →－OM →)＝12a ＋23⎝⎛⎭⎪⎫12b ＋12c －12a ＝12a ＋13b ＋13c －13a ＝16a ＋13b ＋13c ，即x ＝16，y ＝13，z ＝13.5．已知空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a ，b 的夹角为π3，O 为空间直角坐标系的原点，点A ，B 满足OA →＝2a ＋b ，OB →＝3a －b ，则△OAB 的面积为( B )A.52 3B.54 3C.74 3 D.114解析：|OA →|＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋|b |2＋4a ·b ＝7，同理|OB →|＝7，则cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝6|a |2－|b |2＋a ·b 7＝1114，从而有sin ∠AOB ＝5314，∴△OAB 的面积S ＝12×7×7×5314＝534，故选B.6．如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值为( A )A.3－225 B.2－26 C.12D.32解析：因为BC →＝AC →－AB →， 所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝－162＋24.所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.7．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为 60° .解析：由题意，得(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10， 即2a ·c ＋b ·c ＝－10. 又∵a ·c ＝4，∴b ·c ＝－18，∴cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |＝－1812×1＋4＋4＝－12，又∵〈b ，c 〉∈[0°，180°]，∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.8．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 . 解析：∵点Q 在直线OP 上，∴设点Q (λ，λ，2λ)， 则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23. 即当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23. 此时OQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫43，43，83.9．已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23VB →，VN →＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是 VA ∥平面PMN .解析：如图，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，则VD →＝a ＋c －b ， 由题意知PM →＝23b －13c ， PN →＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c . 因此VA →＝32PM →＋32PN →， ∴VA →，PM →，PN →共面．又∵VA ⊄平面PMN ，∴VA ∥平面PMN .10．如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F ，G 分别是A 1D 1，D 1D ，D 1C 1的中点．(1)试用向量AB →，AD →，AA 1→表示AG →； (2)用向量方法证明平面EFG ∥平面AB 1C . 解：(1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c .由图得AG →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1G →＝c ＋b ＋12DC →＝12a ＋b ＋c ＝12AB →＋AD →＋AA 1→.(2)证明：由题图，得AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b ， EG →＝ED 1→＋D 1G →＝12b ＋12a ＝12AC →， ∵EG 与AC 无公共点，∴EG ∥AC ， ∵EG ⊄平面AB 1C ，AC ⊂平面AB 1C ， ∴EG ∥平面AB 1C .又∵AB 1→＝AB →＋BB 1→＝a ＋c ， FG →＝FD 1→＋D 1G →＝12c ＋12a ＝12AB 1→， ∵FG 与AB 1无公共点，∴FG ∥AB 1， ∵FG ⊄平面AB 1C ，AB 1⊂平面AB 1C ， ∴FG ∥平面AB 1C ，又∵FG ∩EG ＝G ，FG ，EG ⊂平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面AB 1C.11．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上，且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( A )A.216aB.66aC.156aD.153a解析：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )，因为点M 在AC 1上，且AM →＝12MC 1→， 则(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，得x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3，所以|MN →|＝⎝⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 12．如图，已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点.(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .解：(1)如图，以点C 作为坐标原点O ，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．由题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，所以|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝ 3.(2)由题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，所以BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5， 所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.(3)证明：由题意得C 1(0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2， A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0， 所以A 1B →⊥C 1M →， 即A 1B ⊥C 1M .。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业2
课时作业11 函数与方程1．(2019·烟台模拟)函数f (x )＝ln(x ＋1)－1x 的一个零点所在的区间是( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝ln2－1＜0，f (2)＝ln3－12＞0，∴f (x )的零点所在区间为(1,2)，故选B.2．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( B ) A ．y ＝log 12x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 3解析：函数y ＝log 12x 在定义域上单调递减，y ＝x 2－12在(－1,1)上不是单调函数，y ＝－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y ＝2x －1，当x ＝0∈(－1,1)时，y ＝0且y ＝2x －1在R 上单调递增，故选B.3．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( C )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )＜0，解得0＜a ＜3，故选C.4．(2019·安庆模拟)函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( D )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103 解析：由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解， 即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103. ∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.5．(2019·安徽安庆模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋1)＝f (x －1)，若g (x )＝3－log 2x ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点个数为( B )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)，知f (x )的周期是2，画出函数f (x )和g (x )的部分图象，如图所示，由图象可知f (x )与g (x )的图象有2个交点，故f (x )有2个零点，故选B.6．(2019·安徽马鞍山一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3|x －1|，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0，若关于x 的方程[f (x )]2＋(a －1)f (x )－a ＝0有7个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( C )A ．[1,2]B ．(1,2)C ．(－2，－1)D ．[－2，－1]解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3|x －1|，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0的图象如图：关于x 的方程[f (x )]2＋(a －1)f (x )－a ＝0有7个不等的实数根，即[f (x )＋a ][f (x )－1]＝0有7个不等的实数根，易知f (x )＝1有3个不等的实数根，∴f (x )＝－a 必须有4个不相等的实数根，由函数f (x )的图象可知－a ∈(1,2)，∴a ∈(－2，－1)．故选C.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1(0≤x ≤1)，f (x －1)＋m (x ＞1)在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，则函数g (x )＝f (x )－x 在区间[0,2n ](n ∈N *)上的所有零点的和为( B )A.n (n ＋1)2 B ．22n －1＋2n －1 C.(1＋2n )22D ．2n －1解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1(0≤x ≤1)，f (x －1)＋m (x ＞1)在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，则f (x )是连续函数，可得m ＝1.画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象如图，图象交点的横坐标就是函数g (x )＝f (x )－x 的零点．由图知，函数g (x )在区间[0,2n ](n ∈N *)上的所有零点的和为1＋2＋3＋…＋(2n－1)＋2n＝22n－1＋2n－1，故选B.8．(2019·广东茂名一模)定义在R上的奇函数f(x)满足条件f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若函数g(x)＝|f(x)|－a e－|x|在区间[－2 018,2 018]上有4 032个零点，则实数a的取值范围是(B)A．(0,1) B．(e，e3)C．(e，e2) D．(1，e3)解析：f(x)满足条件f(1＋x)＝f(1－x)且为奇函数，则f(x)的图象关于x＝1对称，且f(x)＝f(2－x)，f(x)＝－f(－x)，∴－f(－x)＝f(2－x)，即－f(x)＝f(2＋x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4.令m(x)＝|f(x)|，n(x)＝a e－|x|，画出m(x)、n(x)的图象如图，可知m(x)与n(x)为偶函数，且要使m(x)与n(x)图象有交点，需a ＞0，由题意知要满足g(x)在区间[－2 018，2 018]上有4 032个零点，只需m (x )与n (x )的图象在[0,4]上有两个交点，则⎩⎪⎨⎪⎧m (1)＜n (1)，m (3)＞n (3)，可得e＜a ＜e 3，故选B.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是 (－∞，0)∪(1，＋∞) .解析：令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x ＞a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象(图略)可得a ＜0或φ(a )＞h (a )，即a ＜0或a 3＞a 2，解得a ＜0或a ＞1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．10．已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则f (a )，f (1)，f (b )的大小关系为 f (a )＜f (1)＜f (b ) .解析：由题意，知f ′(x )＝e x ＋1＞0恒成立， 所以函数f (x )在R 上是单调递增的， 而f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0， f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0， 所以函数f (x )的零点a ∈(0,1)； 由题意，知g ′(x )＝1x ＋1＞0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上是单调递增的，又g (1)＝ln1＋1－2＝－1＜0，g (2)＝ln2＋2－2＝ln2＞0， 所以函数g (x )的零点b ∈(1,2)． 综上，可得0＜a ＜1＜b ＜2. 因为f (x )在R 上是单调递增的， 所以f (a )＜f (1)＜f (b )．11．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎨⎧x ＋14x，x ＞0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得 g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t ＜1)的图象如图，由图象可知，当1≤a ＜54时，函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54.12．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数．解：(1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a ＞0. ∵f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，∴a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x ＞0)，∴g′(x)＝1＋3x2－4x＝(x－1)(x－3)x2.令g′(x)＝0，得x＝1或x＝3.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：当0＜x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4＜0.又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，故g(x)在(0，＋∞)上仅有1个零点．13．(2019·河南安阳模拟)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a·(x2－x)，若f(x)在区间(0，＋∞)上无零点，则实数a的取值范围是(A) A．[0,1] B．[－1,0]C．[0,2] D．[－1,1]解析：令f(x)＝0，可得ln(x＋1)＝－a(x2－x)，令g(x)＝ln(x＋1)，h(x)＝－a(x2－x)，∵f(x)在区间(0，＋∞)上无零点，∴g(x)＝ln(x＋1)与h(x)＝－a(x2－x)的图象在y轴右侧无交点．显然当a＝0时符合题意；当a＜0时，作出g(x)＝ln(x＋1)与h(x)＝－a(x2－x)的函数图象如图1所示，显然两函数图象在y轴右侧必有一交点，不符合题意；当a＞0时，作出g(x)＝ln(x＋1)与h(x)＝－a(x2－x)的函数图象如图2所示，若两函数图象在y轴右侧无交点，则h′(0)≤g′(0)，即a≤1.综上，0≤a ≤1，故选A.图1图214．(2019·福建宁德一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧kx ＋3，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0，若方程f (f (x ))－2＝0恰有三个实数根，则实数k 的取值范围是( C )A ．[0，＋∞)B ．[1,3] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 解析：∵f (f (x ))－2＝0，∴f (f (x ))＝2，∴f (x )＝－1或f (x )＝－1k (k ≠0)．(1)当k ＝0时，作出函数f (x )的图象如图①所示， 由图象可知f (x )＝－1无解， ∴k ＝0不符合题意；(2)当k ＞0时，作出函数f (x )的图象如图②所示， 由图象可知f (x )＝－1无解且f (x )＝－1k 无解， 即f (f (x ))－2＝0无解，不符合题意；(3)当k ＜0时，作出函数f (x )的图象如图③所示， 由图象可知f (x )＝－1有1个实根， ∵f (f (x ))－2＝0有3个实根， ∴f (x )＝－1k 有2个实根， ∴1＜－1k ≤3，解得－1＜k ≤－13.综上，k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－13，故选C.15．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b ＜1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是 [－2,1) .解析：解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3).函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点转化为函数f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同的交点．作出函数f (x )的图象如图所示，所以－1＜－k ≤2，故－2≤k ＜1.16．(2019·郑州模拟)若a ＞1，设函数f (x )＝a x ＋x －4的零点为m ，函数g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则1m ＋1n 的最小值为 1 .解析：设F (x )＝a x ，G (x )＝log a x ，h (x )＝4－x ，则h (x )与F (x )，G (x )的交点A ，B 横坐标分别为m ，n (m ＞0，n ＞0)．因为F (x )与G (x )关于直线y ＝x 对称， 所以A ，B 两点关于直线y ＝x 对称．又因为y ＝x 和h (x )＝4－x 交点的横坐标为2， 所以m ＋n ＝4.又m ＞0，n ＞0，所以1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·m ＋n 4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥14⎝⎛⎭⎪⎫2＋2n m ×m n ＝1. 当且仅当n m ＝mn ，即m ＝n ＝2时等号成立． 所以1m ＋1n 的最小值为1.。
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解：(1)依题意，若该盒A产品可出厂即任取的4件产品都为合格 品，
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(2)由已知得，小明这40位好友中，该天行走的步数超过10 000步
的人中男性有6人，女性有2人，现从中抽取3人，抽取的女性人数X服
从超几何分布，
X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝
C36 C38
＝
20 56
，P(X＝1)＝
C12C26 C38
＝
3506，P(X＝2)＝CC16C38 22＝566，
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2．(2019·南昌调研)微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动” 是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众号．手机用户可以通过 关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进 行运动量的PK或点赞．现从小明的微信好友中随机选取40人(男、女各20 人)，记录他们某一天行走的步数，并将数据整理如下表：
分满分为100分作为样本进行统计请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图回答下列问题系列丛书系列丛书第18页大一轮复习高三数学理科创新方案组别分组频数频率50606070708020040809090100系列丛书系列丛书第19页大一轮复习高三数学理科创新方案在抽取的样本中从竞赛成绩在80分以上含80分的职工中随机抽取2名职工在职工学习日进行宣讲求所抽取的2名职工来自同一组的概的条件下用表示所抽取的2名职工来自第5组的人数求的分布列及数学期望
(人教版)红对勾2020届高考一轮数学(理数) 高考解答题专项训练4 word版含答案
高考解答题专项训练(四) 空间向量与立体几何1．如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P -ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H .(1)求证：AB ∥FG ；(2)若P A ⊥底面ABCDE ，且P A ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．解：(1)证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE . 又因为AB ⊄平面PDE ， 所以AB ∥平面PDE .因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ， 所以AB ∥FG .(2)因为P A ⊥底面ABCDE ， 所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE .如图建立空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (2,1,0)，P (0,0,2)，F (0,1,1)，BC →＝(1,1,0)．设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，则y ＝－1.所以n ＝(0，－1,1)． 设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则 sin α＝|cos 〈n ，BC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC →|n ||BC →|＝12.因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6. 设点H 的坐标为(u ，v ，w )． 因为点H 在棱PC 上， 所以可设PH →＝λPC →(0<λ<1)， 即(u ，v ，w －2)＝λ(2,1，－2)． 所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ. 因为n 是平面ABF 的法向量， 所以n ·AH →＝0，即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0.解得λ＝23，所以点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，23.所以PH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝2. 2．如图，在三棱台DEF -ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF ＝DE ，∠BAC ＝45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小．解：(1)证法一：连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝O ，连接OH .在三棱台DEF -ABC 中， AB ＝2DE ，G 为AC 的中点， 可得DF ∥GC ，DF ＝GC ， 所以四边形DFCG 为平行四边形． 则O 为CD 的中点， 又H 为BC 的中点， 所以OH ∥BD ，又OH ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ， 所以BD ∥平面FGH .证法二：在三棱台DEF -ABC 中， 由BC ＝2EF ，H 为BC 的中点， 可得BH ∥EF ，BH ＝EF ， 所以四边形BHFE 为平行四边形， 可得BE ∥HF .在△ABC 中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点， 所以GH ∥AB . 又GH ∩HF ＝H ，所以平面FGH ∥平面ABED . 因为BD ⊂平面ABED ， 所以BD ∥平面FGH . (2)设AB ＝2，则CF ＝1.在三棱台DEF -ABC 中，G 为AC 的中点， 由DF ＝12AC ＝GC ，可得四边形DGCF 为平行四边形， 因此DG ∥FC .又FC ⊥平面ABC ，所以DG ⊥平面ABC .在△ABC 中，由AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，G 是AC 中点， 所以AB ＝BC ，GB ⊥GC ， 因此GB ，GC ，GD 两两垂直．以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz .所以G (0,0,0)，B (2，0,0)，C (0，2，0)，D (0,0,1)．可得H ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，F (0，2，1)． 故GH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，GF →＝(0，2，1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面FGH 的法向量，则由⎩⎨⎧n ·GH →＝0，n ·GF →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0.可得平面FGH 的一个法向量n ＝(1，－1，2)． 因为GB →是平面ACFD 的一个法向量，GB →＝(2，0,0)， 所以cos 〈GB →，n 〉＝GB →·n |GB →|·|n |＝222＝12.所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.3．(2019·湖北重点中学协作体联考)等边△ABC 的边长为3，点D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且满足AD DB ＝CE EA ＝12(如图①)，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使二面角A 1-DE -B 成直二面角，连接A 1B ，A 1C (如图②)．(1)求证：A 1D ⊥平面BCED ；(2)在线段BC 上是否存在点P ，使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：题图①中，由已知可得：AE＝2，AD＝1，A＝60°.从而DE＝12＋22－2×1×2×cos60°＝ 3.故得AD2＋DE2＝AE2，∴AD⊥DE，BD⊥DE.∴题图②中，A1D⊥DE，BD⊥DE，∴∠A1DB为二面角A1-DE-B的平面角，又二面角A1-DE-B为直二面角，∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥DB.∵DE∩DB＝D且DE，DB⊂平面BCED，∴A1D⊥平面BCED.(2)存在．由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED.以D为坐标原点，以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图，过P 作PH ∥DE 交BD 于点H ， 设PB ＝2a (0≤2a ≤3)，则BH ＝a ，PH ＝3a ，DH ＝2－a ，易知A 1(0,0,1)，P (2－a ，3a,0)，E (0，3，0)， 所以P A 1→＝(a －2，－3a,1)． 因为ED ⊥平面A 1BD ，所以平面A 1BD 的一个法向量为DE →＝(0，3，0)． 因为直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°，所以sin60°＝|P A 1→·DE →||P A 1→||DE →|＝3a 4a 2－4a ＋5×3＝32，解得a ＝54. ∴PB ＝2a ＝52，满足0≤2a ≤3，符合题意．所以在线段BC 上存在点P ，使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°，此时PB ＝52.4．(2019·河北衡水中学、河南顶级名校联考)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝AB ＝AA 1，过AA 1的平面分别交BC ，B 1C 1于点D ，D 1.(1)求证：四边形ADD 1A 1为平行四边形；(2)若AA 1⊥平面ABC ，D 为BC 的中点，E 为DD 1的中点，求二面角A -C 1E -C 的余弦值．解：(1)证明：因为AA 1∥BB 1，AA 1⊄平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AA 1∥平面BCC 1B 1.又因为AA 1⊂平面ADD 1A 1，平面ADD 1A 1∩平面BCC 1B 1＝DD 1， 所以AA 1∥DD 1.因为平面ABC ∥平面A 1B 1C 1，平面ABC ∩平面ADD 1A 1＝AD ，平面A 1B 1C 1∩平面ADD 1A 1＝A 1D 1，所以AD ∥A 1D 1.所以四边形ADD 1A 1为平行四边形． (2)因为D 为BC 的中点，AC ＝AB ， 所以AD ⊥BC .因为AA 1∥DD 1，AA 1⊥平面ABC ， 所以DD 1⊥平面ABC ，从而DD 1⊥AD . 又DD 1∩BC ＝D ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.分别以DA ，DB ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设AC ＝BC ＝AB ＝AA 1＝2，则A (3，0,0)，E (0,0,1)，C 1(0，－1,2)，AE →＝(－3，0,1)，C 1E →＝(0,1，－1)． 设平面AC 1E 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，由⎩⎨⎧AE →·n ＝0，C 1E →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＋c ＝0，b －c ＝0，取c ＝3，得n ＝(1，3，3)．由AD ⊥平面BCC 1B 1，得平面CC 1E 的一个法向量为DA →＝(3，0,0)， 所以cos 〈DA →，n 〉＝DA →·n |DA →|·|n |＝37×3＝77，又易知二面角A -C 1E -C 为锐二面角， 故二面角A -C 1E -C 的余弦值为77.5．(2019·天津十二校联考)如图，ABCD 是边长为3的正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，AD ⊥DE ，AF ＝26，DE ＝3 6.(1)求证：面ACE ⊥面BED ；(2)求直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值；(3)在线段AF 上是否存在点M ，使得二面角M -BE -D 的大小为60°？若存在，求出AMAF 的值；若不存在，说明理由．解：(1)证明：因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面ADEF ，DE ⊥AD ，所以DE ⊥平面ABCD .又因为AC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥AC . 因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，又因为DE ∩BD ＝D ，DE ⊂平面BED ，BD ⊂平面BED ， 所以AC ⊥平面BDE .又因为AC ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面BED .(2)因为DE ⊥DC ，DE ⊥AD ，AD ⊥DC ， 所以建立空间直角坐标系D -xyz 如图所示．则A (3,0,0)，F (3,0,26)，E (0,0,36)，B (3,3,0)，C (0,3,0)， 所以CA →＝(3，－3,0)，BE →＝(－3，－3,36)，EF →＝(3,0，－6)． 设平面BEF 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)．则⎩⎨⎧n ·BE →＝0，n ·EF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1－3y 1＋36z 1＝0，3x 1－6z 1＝0，令x 1＝6，则y 1＝26，z 1＝3， 则n ＝(6，26，3)．所以cos 〈CA →，n 〉＝CA →·n |CA →|·|n |＝－3632×39＝－1313.所以直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值为1313. (3)存在．点M 在线段AF 上，设M (3,0，t )，0≤t ≤2 6. 则BM →＝(0，－3，t )，BE →＝(－3，－3,36)， 设平面MBE 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧m ·BM →＝－3y 2＋tz 2＝0，m ·BE →＝－3x 2－3y 2＋36z 2＝0，令y 2＝t ，得m ＝(36－t ，t,3)，|cos 〈m ，CA →〉|＝|m ·CA →||m |·|CA →|＝|96－6t |32×(36－t )2＋t 2＋9＝12， 整理得：2t 2－66t ＋15＝0，解得t ＝62或t ＝562(舍)，故在线段AF 上存在点M ，使得二面角M -BE -D 的大小为60°，此时AM AF ＝14.6．(2019·广州模拟)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，G 为BD 的中点，点R 在线段BH 上，且BR RH ＝λ(λ>0)．现将△AED ，△CFD ，△DEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，C 重合于点B (该点记为P )，如图2所示．(1)若λ＝2，求证：GR ⊥平面PEF ；(2)是否存在正实数λ，使得直线FR 与平面DEF 所成角的正弦值为225？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由题意，可知PE ，PF ，PD 三条直线两两垂直．∴PD ⊥平面PEF .在图1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 为BD 的中点，则EF ∥AC ，GD ＝GB ＝2GH .在图2中，∵PR RH ＝BR RH ＝2，且DG GH ＝2，∴在△PDH 中，GR ∥PD .∴GR ⊥平面PEF .(2)存在．由题意，分别以PF ，PE ，PD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系P -xyz .设PD ＝4，则P (0,0,0)，F (2,0,0)，E (0,2,0)，D (0,0,4)，∴H (1,1,0)．∴BR RH ＝PR RH ＝λ，∴PR →＝λ1＋λPH →，∴R ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1＋λ，λ1＋λ，0. ∴RF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ1＋λ，－λ1＋λ，0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋λ1＋λ，－λ1＋λ，0.EF →＝(2，－2,0)，DE →＝(0,2，－4)，设平面DEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧EF →·m ＝0，DE →·m ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，2y －4z ＝0. 取z ＝1，则m ＝(2,2,1)．∵直线FR 与平面DEF 所成角的正弦值为225，∴|cos 〈m ，RF →〉|＝|m ·RF →||m ||RF →| ＝41＋λ3⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋λ1＋λ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ1＋λ2＝223λ2＋2λ＋2＝225，∴9λ2＋18λ－7＝0，解得λ＝13或λ＝－73(不合题意，舍去)．故存在正实数λ＝13，使得直线FR 与平面DEF 所成角的正弦值为225.。
(红对勾)2020届高考一轮数学(理数)课时作业本：53 含答案解析
课时作业53 椭圆1．已知三点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)，那么以F 1，F 2为焦点且经过点P 的椭圆的短轴长为( B )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：因为点P (5,2)在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝5，|PF 1|＝55，所以2a ＝65，即a ＝35，c ＝6，则b ＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.2．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( B )A.514 B ．513 C.49D ．59 解析：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2. 设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2， ∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2， ∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133， ∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.3．已知点P 是椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2成立，则λ的值为( D )A.32 B ．12 C.22D ．2解析：设内切圆的半径为r ，因为S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2， 所以S △MPF 1＋S △MPF 2＝λS △MF 1F 2； 由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ， 所以ar ＝λcr ，c ＝a 2－b 2， 所以λ＝aa 2－b2＝2.4．(2019·安徽宣城一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为( D )A.32 B ．2－12 C.3－12D ．5－12解析：由题意知，M (－a,0)，N (0，b )，F (c,0)， ∴NM →＝(－a ，－b )，NF →＝(c ，－b )． ∵NM →·NF →＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac . 又知b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac . ∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍)． ∴椭圆的离心率为5－12，故选D.5．(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( D )A.43 B ．1 C.45D ．34解析：法一：不妨设A 点在B 点上方，由题意知，F 2(1,0)，将F 2的横坐标代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中， 可得A 点纵坐标为32，故|AB |＝3，所以内切圆半径r ＝2S C ＝68＝34(其中S 为△ABF 1的面积，C 为△ABF 1的周长)，故选D.法二：由椭圆的通径公式得|AB |＝2b 2a ＝3，则S △ABF 1＝12×2×3＝3，又易得△ABF 1的周长C ＝4a ＝8，则由S △ABF 1＝12C ·r 可得r ＝34.故选D.6．(2019·豫南九校联考)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( A )A.55 B ．105 C.255D ．2105解析：不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，与直线l 的方程联立得⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a ≥5， 所以e ＝c a ＝1a ≤55， 所以e 的最大值为55.故选A.7．(2019·河北衡水中学模拟)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为 －5 .解析：由椭圆的方程可知F 2(3,0)， 由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|，∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ， 当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号， 又|MF 2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5,2a ＝10， ∴|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5， 即|PM |－|PF 1|的最小值为－5.8．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于22 .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，① x 22a 2＋y 22b2＝1.② ①、②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.结合已知条件得，－12＝－b 2a 2×22， ∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝ 3 .解析：由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2， 所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2， 所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2＝33，所以b ＝3. 10．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值范围是[2b 2,3b 2]，椭圆M 的离心率为e ，则e －1e 的最小值是 －22 .解析：由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， ∴2b 2≤a 2≤3b 2，即2a 2－2c 2≤a 2≤3a 2－3c 2， ∴12≤c 2a 2≤23，即22≤e ≤63. 令f (x )＝x －1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63上是增函数， ∴当e ＝22时，e －1e 取得最小值22－2＝－22.11．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1 得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即k 2＞34时， x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1， 所以△OPQ 的面积 S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2， 即k ＝±72时等号成立，且满足Δ＞0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y ＝72x －2或y ＝－72x －2.12．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B两点，求椭圆E 的方程．解：(1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2， 可得离心率c a ＝32. (2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2. ②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0. 所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝ 52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.13．设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是C 上的点，圆x 2＋y 2＝a 29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 是线段PF 的两个三等分点，则椭圆C 的离心率为( D )A.33 B ．53 C.104D ．175解析：如图所示，设线段AB 的中点为D ，连接OD ，OA ，设椭圆C 的左、右焦点分别为F ，F 1， 连接PF 1.设|OD |＝t ，因为点A ，B 是线段PF 的两个三等分点， 所以点D 为线段PF 的中点，所以OD ∥PF 1，且|PF 1|＝2t ，PF 1⊥PF . 因为|PF |＝3|AB |＝6|AD |＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2， 根据椭圆的定义，得|PF |＋|PF 1|＝2a ， ∴6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2＋2t ＝2a ， 解得t ＝a5或t ＝0(舍去)． 所以|PF |＝8a 5，|PF 1|＝2a5.在Rt △PFF 1中，|PF |2＋|PF 1|2＝|FF 1|2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 52＝(2c )2，得c 2a 2＝1725， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝175.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ，则该椭圆离心率的取值范围为( D )A ．(0，2－1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D ．(2－1,1)解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ， ∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝a c .①又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a 2a ＋c .显然|MF 2|＞|MF 1|， ∴a －c ＜|MF 2|＜a ＋c ， 即a －c ＜2a 2a ＋c＜a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2＞0，∴e 2＋2e －1＞0， 又0＜e ＜1，∴2－1＜e ＜1，故选D.15．过椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的动点M 作圆x 2＋y 2＝b22的两条切线，切点分别为P 和Q ，直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为E 和F ，则△EOF 面积的最小值是 b 34a .解析：设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线MP 和MQ 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝b 22，x 2x ＋y 2y ＝b 22.因为点M 在MP 和MQ 上，所以有x 1x 0＋y 1y 0＝b 22，x 2x 0＋y 2y 0＝b 22，则P ，Q 两点的坐标满足方程x 0x ＋y 0y ＝b 22，所以直线PQ 的方程为x 0x ＋y 0y ＝b 22， 可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22x 0，0和F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 22y 0，所以S △EOF ＝12·|OE ||OF |＝b 48|x 0y 0|， 因为b 2y 20＋a 2x 20＝a 2b 2，b 2y 20＋a 2x 20≥2ab |x 0y 0|，所以|x 0y 0|≤ab 2，所以S △EOF ＝b 48|x 0y 0|≥b 34a ， 当且仅当b 2y 20＝a 2x 20＝a 2b 22时取“＝”，故△EOF 面积的最小值为b 34a .16．(2019·山东济宁一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)，直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)与椭圆C 相交于A ，B 两点，点D 为AB 的中点．(1)若直线l 与直线OD (O 为坐标原点)的斜率之积为－12，求椭圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，y 轴上是否存在定点M ，使得当k 变化时，总有∠AMO ＝∠BMO (O 为坐标原点)？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由⎩⎨⎧x 2a 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1(k ≠0)得(4＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx －3a 2＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－2a 2k 4＋a 2k 2，x 1x 2＝－3a 24＋a 2k 2， ∴x 0＝－a 2k 4＋a 2k 2，y 0＝－a 2k 24＋a 2k 2＋1＝44＋a 2k 2， ∴k ·y 0x 0＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a 2k ＝－12， ∴a 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)假设存在定点M 符合题意，且设M (0，m )，由∠AMO ＝∠BMO 得k AM ＋k BM ＝0.∴y 1－m x 1＋y 2－m x 2＝0.即y 1x 2＋y 2x 1－m (x 1＋x 2)＝0，∴2kx 1x 2＋x 1＋x 2－m (x 1＋x 2)＝0.由(1)知x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2， ∴－12k 1＋2k 2－4k 1＋2k 2＋4mk 1＋2k 2＝0， ∴－16k ＋4mk 1＋2k 2＝0，即4k (－4＋m )1＋2k 2＝0， ∵k ≠0，∴－4＋m ＝0，∴m ＝4. ∴存在定点M (0,4)，使得∠AMO ＝∠BMO .。
(红对勾)2020届高考一轮数学(理数)课时作业本：23 含答案解析
课时作业23 简单的三角恒等变换1．已知270°＜α＜360°，则三角函数式 12＋12 12＋12cos2α的化简结果是( D )A ．sin α2B ．－sin α2 C ．cos α2 D ．－cos α2 解析：12＋1212＋12cos2α＝12＋12cos 2α＝ 12＋12cos α＝cos 2α2，由于135°＜α2＜180°，所以cos α2＜0，所以化简结果为－cos α2. 2.cos85°＋sin25°cos30°cos25°等于( C ) A ．－32 B ．22 C ．12D ．1解析：原式＝sin5°＋32sin25°cos25°＝sin (30°－25°)＋32sin25°cos25° ＝12cos25°cos25°＝12.3．(2019·广州模拟)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，若sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝( B )A ．－7210 B ．－210 C ．210D ．7210解析：因为sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π，所以cos α＝－45，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－210. 4．(2019·合肥质检)已知函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，若f (x 1)＜f (x 2)，则一定有( D )A ．x 1＜x 2B ．x 1＞x 2C ．x 21＜x 22D ．x 21＞x 22 解析：f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝14cos4x ＋34，4x ∈[－π，π]，所以函数f (x )是偶函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递减，根据f (x 1)＜f (x 2)，可得f (|x 1|)＜f (|x 2|)，所以|x 1|＞|x 2|，即x 21＞x 22.5．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan2α＝( C ) A ．43 B ．34 C ．－34D ．－43解析：因为sin α＋2cos α＝102，所以sin 2α＋4cos 2α＋4sin αcos α＝104(sin 2α＋cos 2α)， 整理得3sin 2α－3cos 2α－8sin αcos α＝0， 则－3cos2α＝4sin2α，所以tan2α＝－34.6．(2019·豫北名校联考)若函数f (x )＝5cos x ＋12sin x 在x ＝θ时取得最小值，则cos θ等于( B )A ．513B ．－513C ．1213D ．－1213 解析：f (x )＝5cos x ＋12sin x ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫513cos x ＋1213sin x ＝ 13sin(x ＋α)，其中sin α＝513，cos α＝1213， 由题意知θ＋α＝2k π－π2(k ∈Z )， 得θ＝2k π－π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－513. 7．(2019·湖南湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log5⎝ ⎛⎭⎪⎫tan αtan β2等于( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由sin(α＋β)＝12， 得sin αcos β＋cos αsin β＝12，① 由sin(α－β)＝13，得sin αcos β－cos αsin β＝13，②由①②可得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112. ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝512112＝5.∴log5⎝ ⎛⎭⎪⎫tan αtan β2＝log 525＝4，故选C ．8．(2019·武汉模拟)在△ABC 中，A ，B ，C 是△ABC 的内角，设函数f (A )＝2sin B ＋C 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－A 2＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π＋A 2－cos 2A2，则f (A )的最大值为 2.解析：f (A )＝2cos A 2sin A 2＋sin 2A 2－cos 2A 2＝sin A －cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4， 因为0＜A ＜π，所以－π4＜A －π4＜3π4.所以当A －π4＝π2，即A ＝3π4时，f (A )有最大值 2.9．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan(α＋β)＝9tan β，则tan α的最大值为43. 解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan α＞0，tan β＞0，∴tan α＝tan(α＋β－β)＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)·tan β＝8tan β1＋9tan 2β＝81tan β＋9tan β≤82×3＝43(当且仅当1tan β＝9tan β时等号成立)，∴tan α的最大值为43.10．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝－3π4. 解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－3a ，tan α·tan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－3a1－(3a ＋1)＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＜0，tan α·tan β＞0，∴tan α＜0且tan β＜0， ∴－π2＜α＜0且－π2＜β＜0，即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1， 得α＋β＝－3π4.11．(2019·泉州模拟)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域． 解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin2x －1－cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1， ∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6. ∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1， ∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]． 12．(2019·湛江一模)已知函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A ＞0，ω＞0)图象相邻两条对称轴的距离为π2，且f (0)＝1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－1013，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝65，求tan(2α－2β)的值．解：(1)∵函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A ＞0，ω＞0)图象相邻两条对称轴的距离为π2，∴T 2＝πω＝π2，∴ω＝2， 又f (0)＝1，∴12A ＝1，∴A ＝2， ∴f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3－π3＝2cos(2α－π)＝－2cos2α＝－1013， ∴cos2α＝513，sin2α＝1－cos 22α＝1213， 则tan2α＝sin2αcos2α＝125. ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6－π3＝2cos2β＝65，∴cos2β＝35，sin2β＝1－cos 22β＝45， 则tan2β＝sin2βcos2β＝43.∴tan(2α－2β)＝tan2α－tan2β1＋tan2α·tan2β＝125－431＋125×43＝1663.13．(2019·山西临汾模拟)已知函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ，当x ＝θ时函数y ＝f (x )取得最小值，则sin2θ＋2cos2θsin2θ－2cos2θ＝( C )A ．－3B ．3C ．－13D ．13解析：f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12，当x ＝θ时函数y ＝f (x )取得最小值，即2θ－π4＝2k π－π2，k ∈Z ， 那么2θ＝2k π－π4，k ∈Z ，则sin2θ＋2cos2θsin2θ－2cos2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－22＋2×22－22－2×22＝－13.故选C ． 14．(2019·江西赣中南五校模拟)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 019x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 019x －π3的最大值为A ，若存在实数x 1，x 2使得对任意实数x 总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则A |x 1－x 2|的最小值为( B )A ．π2 019 B ．2π2 019 C ．4π2 019D ．π4 038解析：∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 019x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 019x －π3＝sin2 019x cos π6＋cos2 019x sin π6＋cos2 019x cos π3＋sin2 019x sin π3＝32sin2 019x ＋12cos2 019x ＋12cos2 019x ＋32sin2 019x ＝3sin2 019x ＋cos2 019x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 019x ＋π6，∴f (x )的最大值为A ＝2；由题意，得|x 1－x 2|的最小值为T 2＝π2 019， ∴A |x 1－x 2|的最小值为2π2 019.故选B ．15．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cb d ＝ad －bC ．若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin αcos α sin βcos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β＝π3 .解析：由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314， 又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 又0＜β＜π2，故β＝π3.16．已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23sin ωx cos ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值．解：(1)f (x )＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴， 所以2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 解得ω＝32k ＋12(k ∈Z )，又0＜ω＜1，所以ω＝12，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z )．(2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6， 即g (x )＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故π6＜α＋π6＜2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝45×32－35×12＝43－310.。
2020年高考红对勾一轮复习理科数学人教版创新方案课件课时作业40
课时作业40 数学归纳法1.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22,则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( D )A.k 2＋1B.(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋4(k ＋1)22D.(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2【解析】:观察可知,等式的左端是n 2个连续自然数的和,当n ＝k 时为1＋2＋3＋…＋k 2,当n ＝k ＋1时为1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.2.如果命题P (n )(n ∈N *)对n ＝k (k ∈N *)成立,则它对n ＝k ＋1也成立,现已知P (n )对n ＝4不成立,则下列结论中正确的是( D )A.P (n )对任意n ∈N *成立B.P (n )对n ＞4成立C.P (n )对n ＜4成立D.P (n )对n ≤4不成立【解析】:由题意可知P (n )对n ＝3不成立(否则n ＝4也成立),同理可推得P (n )对n ＝2,n ＝1也不成立,故选D.3.(2019·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立,其初始值至少应取( B )A.7B.8C.9D.10【解析】:左边求和可得1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1,右边＝12764＝2－164,故2－12n －1＞2－164, 即12n －1＜164＝126,所以2n －1＞26,解得n ＞7. 所以初始值至少应取8.4.用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”,利用归纳法假设证明n ＝k ＋1时,只需展开( A )A.(k ＋3)3B.(k ＋2)3C.(k ＋1)3D.(k ＋1)3＋(k ＋2)3【解析】:假设n ＝k 时,原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除,当n ＝k ＋1时,(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设,只需将(k ＋3)3展开,让其出现k 3即可.5.设f (x )是定义在正整数集上的函数,且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时,总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”.那么,下列命题总成立的是( D )A.若f (1)＜1成立,则f (10)＜100成立B.若f (2)＜4成立,则f (1)≥1成立C.若f (3)≥9成立,则当k ≥1时,均有f (k )≥k 2成立D.若f (4)≥16成立,则当k ≥4时,均有f (k )≥k 2成立【解析】:由条件可知不等式的性质只对大于或等于号成立,所以A 错误；若f (1)≥1成立,则得到f (2)≥4,与f (2)＜4矛盾,所以B 错误；当f (3)≥9成立,无法推导出f (1),f (2),所以C 错误；若f (4)≥16成立,则当k ≥4时,均有f (k )≥k 2成立,正确.6.(2019·九江模拟)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *),经计算得f (4)＞2,f (8)＞52,f (16)＞3,f (32)＞72,则其一般结论为 f (2n )＞n ＋22(n ≥2,n∈N *) .【解析】:观察规律可知f (22)＞2＋22,f (23)＞3＋22,f (24)＞4＋22,f (25)＞5＋22,…,故得一般结论为f (2n )＞n ＋22(n ≥2,n ∈N *).7.设平面内有n 条直线(n ≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f (n )表示这n 条直线交点的个数,则f (4)＝5 ；当n ＞4时,f (n )＝ 12(n ＋1)(n －2) (用n 表示).【解析】:由题意知f (3)＝2,f (4)＝5,f (5)＝9,可以归纳出每增加一条直线,交点增加的个数为原有直线的条数,所以f (4)－f (3)＝3,f (5)－f (4)＝4,猜测得出f (n )－f (n －1)＝n －1(n ≥4).有f (n )－f (3)＝3＋4＋…＋(n －1),所以f (n )＝12(n ＋1)(n －2).8.已知f (m )＝1＋12＋13＋…＋1m (m ∈N *),用数学归纳法证明f (2n )＞n 2时,f (2k ＋1)－f (2k)＝ 12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 . 【解析】:当n ＝k 时,f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ,当n ＝k ＋1时,f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1, 所以f (2k ＋1)－f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12k ＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1. 9.用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n 4(n ＋1)(n ∈N *). 证明：(1)当n ＝1时,等式左边＝12×1×(2×1＋2)＝18, 等式右边＝14(1＋1)＝18,等式左边＝等式右边,所以等式成立.(2)假设n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时等式成立,即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＝k 4(k ＋1), 则当n ＝k ＋1时,12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2]＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14(k ＋2)＝k ＋14[(k ＋1)＋1]. 所以当n ＝k ＋1时,等式也成立,由(1)(2)可知,对于一切n ∈N *,等式都成立.10.已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3,g (n )＝32－12n 2,n ∈N *.(1)当n ＝1,2,3时,试比较f (n )与g (n )的大小；(2)猜想f (n )与g (n )的大小关系,并给出证明.解：(1)当n ＝1时,f (1)＝1,g (1)＝1,所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时,f (2)＝98,g (2)＝118,所以f (2)＜g (2)；当n ＝3时,f (3)＝251216,g (3)＝312216,所以f (3)＜g (3).(2)由(1)猜想f (n )≤g (n ),下面用数学归纳法给出证明.①当n ＝1,2,3时,不等式显然成立,②假设当n ＝k (k ≥3,k ∈N *)时不等式成立,即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3＜32－12k 2.那么,当n ＝k ＋1时,f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3＜32－12k 2＋1(k ＋1)3. 因为f (k ＋1)－g (k ＋1)＜32－12k 2＋1(k ＋1)3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－12(k ＋1)2＝12(k ＋1)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k 2－1(k ＋1)3＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2＜0, 所以f (k ＋1)＜g (k ＋1).由①②可知,对一切n ∈N *,都有f (n )≤g (n )成立.11.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝a n 2＋1a n－1且a n ＞0,n ∈N *. (1)求a 1,a 2,a 3,并猜想{a n }的通项公式；(2)证明通项公式的正确性.解：(1)当n ＝1时,由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1,a 21＋2a 1－2＝0. 所以a 1＝3－1(a 1＞0).当n ＝2时,由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1, 将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0.所以a 2＝5－3(a 2＞0).同理可得a 3＝7－ 5.猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *).(2)证明：①由(1)知,当n ＝1,2,3时,通项公式成立.②假设当n ＝k (k ≥3,k ∈N *)时,通项公式成立,即a k ＝2k ＋1－2k －1.由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k, 将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理,得a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0.解得a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1(负值舍去).即当n ＝k ＋1时,通项公式也成立.由①和②,可知对所有n ∈N *,a n ＝2n ＋1－2n －1都成立.12.已知函数f (x )＝a ln x ＋2x ＋1(a ∈R ). (1)当a ＝1时,求f (x )在[1,＋∞)上的最小值.(2)求证：ln(n ＋1)＞13＋15＋17＋…＋12n ＋1. 解：(1)当a ＝1时,f (x )＝ln x ＋2x ＋1,定义域为(0,＋∞). 因为f ′(x )＝1x －2(x ＋1)2＝x 2＋1x (x ＋1)2＞0, 所以f (x )在(0,＋∞)上是增函数,所以f (x )在x ∈[1,＋∞)内的最小值为f (1)＝1.(2)证明：当n ＝1时,ln(n ＋1)＝ln2,因为3ln2＝ln8＞1,所以ln2＞13,即当n ＝1时,不等式成立.假设当n ＝k (k ≥1,k ∈N *)时,ln(k ＋1)＞13＋15＋17＋…＋12k ＋1成立. 那么,当n ＝k ＋1时,ln(k ＋2)＝ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＞13＋15＋…＋12k ＋1＋ln k ＋2k ＋1.根据(1)的结论可知,当x ＞1时,ln x ＋2x ＋1＞1, 即ln x ＞x －1x ＋1. 令x ＝k ＋2k ＋1,所以ln k ＋2k ＋1＞12k ＋3, 则有ln(k ＋2)＞13＋15＋…＋12k ＋1＋12k ＋3, 即当n ＝k ＋1时,不等式也成立.综上可知不等式成立.13.设函数f (x )＝ln(1＋x ),g (x )＝xf ′(x ),x ≥0,其中f ′(x )是f (x )的导函数.(1)令g 1(x )＝g (x ),g n ＋1(x )＝g (g n (x )),n ∈N *,求g n (x )的表达式；(2)若f (x )≥ag (x )恒成立,求实数a 的取值范围.解：由题设得,g (x )＝x 1＋x(x ≥0). (1)由已知,g 1(x )＝x 1＋x, g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x , g 3(x )＝x 1＋3x ,…,可猜想g n (x )＝x 1＋nx. 下面用数学归纳法证明.①当n ＝1时,g 1(x )＝x 1＋x,结论成立. ②假设n ＝k 时结论成立,即g k (x )＝x 1＋kx. 那么,当n ＝k ＋1时,g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k (x )1＋g k (x )＝x1＋kx 1＋x 1＋kx＝x 1＋(k ＋1)x , 即结论成立.由①②可知,结论对n ∈N ＋成立.(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立,即ln(1＋x )≥ax 1＋x恒成立. 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax 1＋x(x ≥0), 则φ′(x )＝11＋x －a (1＋x )2＝x ＋1－a (1＋x )2, 当a ≤1时,φ′(x )≥0(仅当x ＝0,a ＝1时等号成立), ∴φ(x )在[0,＋∞)上单调递增.又φ(0)＝0,∴φ(x )≥0在[0,＋∞)上恒成立,∴a ≤1时,ln(1＋x )≥ax 1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立). 当a >1时,对x ∈(0,a －1]有φ′(x )≤0,∴φ(x )在(0,a －1]上单调递减,∴φ(a －1)<φ(0)＝0,即a >1时,存在x >0,使φ(x )<0,∴ln(1＋x )≥ax 1＋x不恒成立. 综上可知,实数a 的取值范围是(－∞,1].。
《精品》人教版红对勾2020届高考一轮数学(理)复习课时作业4
课时作业4 函数及其表示1．下列各组函数中，表示同一函数的是( D ) A ．f (x )＝e ln x ，g (x )＝x B ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x －2C ．f (x )＝sin2x2cos x ，g (x )＝sin x D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2解析：A ，B ，C 的定义域不同，所以答案为D.2．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( D )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 解析：∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3恒不为0.当m ＝0时，mx 2＋4mx ＋3＝3满足题意；当m ≠0时，Δ＝16m 2－12m <0，解得0<m <34.综上，m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.3．(2019·广东珠海模拟)已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝( A ) A.15lg2 B.12lg5 C.13lg2D.12lg3解析：解法一：由题意知x ＞0，令t ＝x 5，则t ＞0，x ＝t 15，∴f (t )＝lg t 15＝15lg t ，即f (x )＝15lg x (x ＞0)，∴f (2)＝15lg2，故选A. 解法二：令x 5＝2，则x ＝215， ∴f (2)＝lg215＝15lg2，故选A.4．已知函数f (x )＝1－log 2x 的定义域为[1,4]，则函数y ＝f (x )·f (x 2)的值域是( C )A ．[0,1]B ．[0,3]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3 解析：对于y ＝f (x )·f (x 2)，由函数f (x )的定义域是[1,4]，得1≤x ≤4，且1≤x 2≤4，解得1≤x ≤2，故函数y ＝f (x )·f (x 2)的定义域是[1,2]，易得y ＝f (x )·f (x 2)＝1－3log 2x ＋2log 22x ，令t ＝log 2x ，则t ∈[0,1]，y ＝1－3t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －342－18，故t ＝34时，y 取最小值－18；t ＝0时，y 取最大值1，故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1，故选C. 5．(2019·河南濮阳模拟)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－3，x ＞0，g (x )，x ＜0是奇函数，则f (g (－2))的值为( C )A.52 B ．－52 C ．1 D ．－1解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ＞0，g (x )，x ＜0是奇函数，∴x ＜0时，g (x )＝－12x ＋3， ∴g (－2)＝－12－2＋3＝－1，f (g (－2))＝f (－1)＝g (－1)＝－12－1＋3＝1，故选C.6．(2019·福建福州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x，x ＞0，则满足f (x 2－2)＞f (x )的x 的取值范围是( C )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：由题意，x ＞0时，f (x )递增，故f (x )＞f (0)＝0，又x ≤0时，x ＝0，故若f (x 2－2)＞f (x )，则x 2－2＞x ，且x 2－2＞0，解得x ＞2或x ＜－2，故选C.7．(2019·河北成安模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( C )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：由题意知，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2；当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又∵y ＝x －2，y ＝x 3－2在R 上都为增函数，且f (x )在x ＝1处连续，∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.8．(2019·江西南昌一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x ＞1，若f (1)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围为( C )A ．[－1,2)B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[1，＋∞)解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x ＞1，若x ＞1，则f (x )＝x ＋1＞2，易知y ＝2|x －a |在(a ，＋∞)上递增，在(－∞，a )上递减，若a ＜1，则f (x )在x ＝a 处取得最小值，不符合题意；若a ≥1，则要使f (x )在x ＝1处取得最小值， 只需2a －1≤2，解得a ≤2，∴1≤a ≤2. 综上可得a 的取值范围是[1,2]，故选C.9．(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f (x )＝4－4x ＋ln(x ＋4)的定义域为(－4,1]__．解析：要使函数f (x )有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4－4x≥0，x ＋4＞0，解得－4＜x ≤1，即函数f (x )的定义域为(－4,1]．10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，则使f (x )＝12的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 .解析：由题意知，若x ≤0，则2x＝12，解得x ＝－1；若x ＞0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22.11．记函数f (x )＝2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )](a ＜1)的定义域为B .若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 . 解析：由已知得A ＝{x |x ＜－1或x ≥1}， B ＝{x |(x －a －1)·(x －2a )＜0}，由a ＜1得a ＋1＞2a ，∴B ＝{x |2a ＜x ＜a ＋1}． ∵B ⊆A ，∴a ＋1≤－1或2a ≥1， ∴a ≤－2或12≤a ＜1.∴a 的取值范围为a ≤－2或12≤a ＜1.12．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18. (2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2； 当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]， f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2； 当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)， f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，x 2，x ∈[0，1]，－12(x －1)2，x ∈(1，2].13．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( A)A ．y ＝12x 3－12x 2－x B ．y ＝12x 3＋12x 2－3x C ．y ＝14x 3－x D ．y ＝14x 3＋12x 2－2x解析：设所求函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .14．(2019·江西南昌一模)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |，x ＜a ＋1，－|x ＋1|－a ，x ≥a ＋1，若f (x )的最大值不超过1，则实数a 的取值范围为( A )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－54 解析：当x ＜a ＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |在(－∞，a )上递增，在[a ，a＋1)上递减，可得此时f (x )在x ＝a 处取得最大值，且为1；当x ≥a ＋1时，f (x )＝－a －|x ＋1|，当a ＋1≥－1，即a ≥－2时，f (x )递减，由题意得－a －|a ＋2|≤1，解得a ≥－32；当a ＋1＜－1，即a ＜－2时，f (x )在x ＝－1处取得最大值，且为－a ，由题意得－a ≤1，则a ∈∅.综上可得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，故选A.。
《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版 课时作业40 Word版含解析
课时作业40平行关系一、选择题(每小题5分，共40分)1．过直线a外两点作与a平行的平面，这样的平面()A．不行作B．只能作一个C．可作很多个D．以上均可能解析：设过直线a外两点的直线为l.若l与a相交，则与a平行的平面不行作；若l与a异面，则与a平行的平面只能作一个；若l与a平行，则与a平行的平面可作很多个．答案：D2．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外的一点，过BC的平面与平面P AD 交于EF，则四边形EFBC是()A．空间四边形B．平行四边形C．梯形D．以上都有可能解析：∵BC綊AD，由线面平行性质定理知BC∥EF，又EF<AD，∴四边形BCEF为梯形．答案：C3．(2022·汕头质检)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()A．若m、n都平行于平面α，则m、n确定不是相交直线B．若m、n都垂直于平面α，则m、n确定是平行直线C．已知α、β相互平行，m、n相互平行，若m∥α，则n∥βD．若m、n在平面α内的射影相互平行，则m、n相互平行解析：A中，m、n可为相交直线；B正确；C中，n可以平行β，也可以在β内；D中，m、n也可能异面．故正确的命题是B.答案：B4．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或lα解析：l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；lα时，直线l上全部的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．答案：D5．(2022·成都四中模拟)以下命题中真命题的个数是()①若直线l平行于平面α内的很多条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，bα，则a∥α；④若直线a∥b，bα，则a平行于平面α内的很多条直线．A．1 B．2C．3 D．4解析：①中l可以在平面α内；②中直线a可以与平面α相交，故错误；③a 可以在平面α内；④正确．答案：A6.(2022·许昌联考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF ＝22，则下列结论中错误的是()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．直线AB与平面BEF所成的角为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值解析：∵AC⊥平面BDD1B1，故AC⊥BE，∵EF∥BD ，∴EF∥平面ABCD；直线AB与平面BEF所成的角即直线AB与平面BDD1B1所成的角，故为定值，故D错误．答案：D7．如图，在四周体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，PQ∥平面DAC.又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，PQ平面ABC，∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD.故选项A、B、D正确，C错误．答案：C8．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：①⎩⎪⎨⎪⎧a∥c，b∥c⇒a∥b；②⎩⎪⎨⎪⎧a∥γ，b∥γ⇒a∥b；③⎩⎪⎨⎪⎧α∥c，β∥c⇒α∥β；④⎩⎪⎨⎪⎧α∥γ，β∥γ⇒α∥β；⑤⎩⎪⎨⎪⎧α∥c，a∥c⇒α∥a；⑥⎩⎪⎨⎪⎧α∥γ，a∥γ⇒a∥α.。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)解答题名师讲练-高考解答题专项训练1(01)
高考解答题专项训练(一)函数与导数1.(2019·河南豫北名校联考)已知函数f(x)＝e x＋1－kx－2k(其中e 是自然对数的底数，k∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当函数f(x)有两个零点x1，x2 时，证明：x1＋x2＞－2.解：(1)易得f′(x)＝e x＋1－k，,当k＞0 时，令f′(x)＝0，得x＝ln k－1，可得当x∈(－∞，ln k－1)时，f′(x)＜0，当x∈(ln k－1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在区间(－∞，ln k－1)上单调递减，在区间(ln k－1，＋∞)上单调递增．当k≤0 时，f′(x)＝e x＋1－k＞0 恒成立，故此时函数f(x)在R 上单调递增．(2)证明：当k≤0 时，由(1)知函数f(x)在R 上单调递增，不存在两个零点，所以k＞0，由题意知e x1＋1＝k(x1＋2)，e x2＋1＝k(x2＋2)，x1＋2∴x1＋2＞0，x2＋2＞0，,可得x1－x2＝ln .x2＋2x1＋2不妨设x1＞x2，令＝t，则t＞1，,由Error!x2＋2t ln t ln t解得x1＋2＝，x2＋2＝，t－1 t－1t＋1ln t所以x1＋x2＋4＝，t－1t＋1ln t欲证x1＋x2＞－2，只需证明＞2，t－1即证(t＋1)ln t－2(t－1)＞0，设g(t)＝(t＋1)ln t－2(t－1)(t＞1)，1 1则g′(t)＝ln t＋(t＋1)－2＝ln t＋－1.t t1设h(t)＝ln t＋－1(t＞1)，t1 1则h′(t)＝－＞0，h(t)单调递增，t t2所以g′(t)＞g′(1)＝0.所以g(t)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以g(t)＞g(1)＝0，即(t＋1)ln t－2(t－1)＞0，原不等式得证．2．(2019·山西三区八校模拟)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx(其中a，b为常数且a≠0)在x＝1 处取得极值．(1)当a＝1 时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0，e]上的最大值为1，求a的值．解：(1)因为f(x)＝ln x＋ax2＋bx，1所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋b，x因为函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx在x＝1 处取得极值，所以f′(1)＝1＋2a＋b＝0，又a＝1，所以b＝－3，2x2－3x＋1 则f′(x)＝，xEarlybird1令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝1.2f′(x)，f(x)随x 的变化情况如下表：1 1 1x ( 1 (1，＋∞) 0，2) 2 (，1)2f′(x) ＋0 －0 ＋f(x ) 极大值极小值1所以f(x)的单调递增区间为( ，(1，＋∞)；单调递减区间为0，2)1.(，1)22ax2－2a＋1x＋1 2ax－1x－1(2)由(1)知f′(x)＝＝(x＞0)，x x1令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝，2a1因为f(x)在x＝1 处取得极值，所以x2＝≠x1＝1，2a1若＜0 时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，2a所以f(x)在区间(0，e]上的最大值为f(1)，令f(1)＝1，解得a＝－2，1当a＞0 时，x2＝＞0，2a1 1 1若＜1 时，f(x)在，[1，e]上单调递增，在上单调，1)0，2a ( 2a) [2a递减，1所以最大值可能在x＝或x＝e 处取得，2a1 1 1 1 1 1而f( ＝ln ＋a 2－(2a＋1) ＝ln －－1＜0，) 2a (2a )2a2a 2a 4a所以f(e)＝lne＋a e2－(2a＋1)e＝1，Earlybird1解得a＝，e－21 1 1若1＜＜e 时，f(x)在区间(0,1)，上单调递增，在，e][1，2a[2a)2a上单调递减，所以最大值可能在x＝1 或x＝e 处取得，而f(1)＝ln1＋a－(2a＋1)＜0，所以f(e)＝lne＋a e2－(2a＋1)e＝1，1 1解得a＝，与1＜x2＝＜e 矛盾，e－2 2a1当x2＝≥e 时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递2a减，所以最大值可能在x＝1 处取得，而f(1)＝ln1＋a－(2a＋1)＜0，矛盾；1综上所述，a＝或a＝－2.e－23．设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.(1)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；(2)若∀x＞0，f(x)≥0 成立，求a的取值范围．1 解：(1)由题意知函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝＋x＋1 2ax2＋ax－a＋1a(2x－1)＝.x＋1令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞)．①当a＝0 时，g(x)＝1，此时f′(x)＞0，函数f(x)在(－1，＋∞)单调递增，无极值点．②当a＞0 时，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8)．8a．当0＜a≤时，Δ≤0，g(x)≥0，9f′(x)≥0，函数f(x)在(－1，＋∞)单调递增，无极值点．Earlybird8b．当a＞时，Δ＞0，9设方程2ax2＋ax－a＋1＝0 的两根为x1，x2(x1＜x2)，1因为x1＋x2＝－，21 1所以x1＜－，x2＞－.4 41由g(－1)＝1＞0，可得－1＜x1＜－.4所以当x∈(－1，x1)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．因此函数有两个极值点．③当a＜0 时，Δ＞0，由g(－1)＝1＞0，可得x1＜－1.当x∈(－1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．所以函数有一个极值点．综上所述，当a＜0 时，函数f(x)有一个极值点；8当0≤a≤时，函数f(x)无极值点；98当a＞时，函数f(x)有两个极值点．9(2)由(1)知，8①当0≤a≤时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，9因为f(0)＝0，所以x∈(0，＋∞)时，f(x)＞0，符合题意．8②当＜a≤1 时，由g(0)≥0，得x2≤0，9所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(0)＝0，所以x∈(0，＋∞)时，f(x)＞0，符合题意．③当a＞1 时，由g(0)＜0，可得x2＞0.Earlybird所以x∈(0，x2)时，函数f(x)单调递减．因为f(0)＝0，所以x∈(0，x2)时，f(x)＜0，不合题意．④当a＜0 时，设h(x)＝x－ln(x＋1)．1 x因为x∈(0，＋∞)时，h′(x)＝1－＝＞0，x＋1 x＋1所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增．因此当x∈(0，＋∞)时，h(x)＞h(0)＝0，即ln(x＋1)＜x.可得f(x)＜x＋a(x2－x)＝ax2＋(1－a)x，1当x＞1－时，ax2＋(1－a)x＜0，a此时f(x)＜0，不合题意．综上所述，a 的取值范围是[0,1]．4．(2019·宝安桂城联考)已知函数f(x)＝ln x，h(x)＝ax(a∈R)．(1)若函数f(x)与h(x)的图象无公共点，试求实数a 的取值范围；1(2)是否存在实数m，使得对任意的x∈(，都有函数y＝f(x)，＋∞)2m e x＋的图象在g(x)＝的图象的下方？若存在，请求出最大整数m 的x x值；若不存在，请说明理由．参考数据：ln2≈0.693 1，ln3≈1.098 6，e≈1.648 7，3 e≈1.395 6.解：(1)函数f(x)与h(x)的图象无公共点，ln x等价于方程＝a 在(0，＋∞)上无解．xln x 1－ln x令t(x)＝(x＞0)，则t′(x)＝，x x2令t′(x)＝0，得x＝e.当x 变化时，t′(x)，t(x)的变化情况如下表：x (0，e) e (e，＋∞) t′(x) ＋0 －Earlybirdt(x ) 极大值由表可知x＝e 是函数t(x)的唯一极大值点，1故t max＝t(e)＝，eln x 1故要使方程＝a 在(0，＋∞)上无解，只需a＞，x e1故实数a 的取值范围为( .，＋∞)e(2)假设存在实数m 满足题意，m e x 1则不等式ln x＋＜对x∈恒成立，，＋∞)x 2x (1即m＜e x－x ln x 对x∈( 恒成立．，＋∞)2令r(x)＝e x－x ln x，则r′(x)＝e x－ln x－1，1令φ(x)＝e x－ln x－1，则φ′(x)＝e x－，x1 1因为φ′(x)在( 上单调递增，φ′＝e －2＜0，φ′(1)2 )，＋∞) (21＝e－1＞0，且φ′(x)的图象在( 上连续，，1)21所以存在x0∈( ，使得φ′(x0)＝0，，1)21x0即e －＝0，则x0＝－ln x0.x01所以当x∈( 时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减；，x0)2当x∈(x0，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增．1x0所以φ(x)的最小值为φ(x0)，且φ(x0)＝e －ln x0－1＝x0＋－1＞2x0 1－1＝1＞0，x0·x0Earlybird1所以r′(x)＞0，r(x)在区间(上单调递增．，＋∞)21 1 1 1所以m≤r(＝e －ln ＝e ＋ln2≈1.995 25，2 )2 2 2所以存在实数m满足题意，且最大整数m的值为1.5．(2019·广州调研)已知函数f(x)＝a ln x＋x b(a≠0)．(1)当b＝2 时，若函数f(x)恰有一个零点，求实数a的取值范围；1(2)当a＋b＝0，b＞0 时，对任意x1，x2∈[，有|f(x1)－f(x2)|≤e，e]e－2 成立，求实数b的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当b＝2 时，f(x)＝a ln x＋x2，a2x2＋a所以f′(x)＝＋2x＝(x＞0)．x x①当a＞0 时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，－－取x0＝e ，则f(x0)＝－1＋(e )2＜0，又f(1)＝1，所以f(x0)·f(1)＜0，故此时函数f(x)恰有一个零点．②当a＜0 时，a令f′(x)＝0，解得x＝－.2a当0＜x＜－时，f′(x)＜0，2a所以f(x)在上单调递减；0，－(2)a当x＞－时，f′(x)＞0，2a所以f(x)在上单调递增．－，＋∞)(2Earlybird要使函数f(x)恰有一个零点，a a a需f＝a ln －＝0，－－(2)2 2即a＝－2e.综上所述，若函数f(x)恰有一个零点，则a＝－2e 或a＞0.1(2)因为对任意x1，x2∈[，，e]e有|f(x1)－f(x2)|≤e－2 成立，且|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min，所以f(x)max－f(x)min≤e－2.因为a＋b＝0，所以a＝－b，所以f(x)＝－b ln x＋x b(x＞0)，b b x b－1所以f′(x)＝－＋bx b－1＝.x x当0＜x＜1 时，f′(x)＜0，当x＞1 时，f′(x)＞0，1所以函数f(x)在[上单调递减，在(1，e]上单调递增，f(x)min＝，1)ef(1)＝1，1因为f(＝b＋e－b与f(e)＝－b＋e b，e )1＝max{.所以f(x)maxe )1设g(b)＝f(e)－f(＝e b－e－b－2b，e )则当b＞0 时，g′(b)＝e b＋e－b－2＞2 e b·e－b－2＝0，所以g(b)在(0，＋∞)上单调递增，1 故g(b)＞g(0)＝0，所以f(e)＞f(.e )Earlybird从而f(x)max＝f(e)＝－b＋e B．所以－b＋e b－1≤e－2，即e b－b－e＋1≤0，设φ(t)＝e t－t－e＋1(t＞0)，则φ′(t)＝e t－1.当t＞0 时，φ′(t)＞0，所以φ(t)在(0，＋∞)上单调递增．又φ(1)＝0，所以e b－b－e＋1≤0，即φ(b)≤φ(1)，解得b≤1.因为b＞0，所以b的取值范围为(0,1]．6．(2019·福建质检)已知函数f(x)＝(ax2＋2ax＋1)e x－2.(1)讨论f(x)的单调区间；1(2)若a＜－，求证：当x≥0 时，f(x)＜0.7解：(1)因为f(x)＝(ax2＋2ax＋1)e x－2，所以f′(x)＝(ax2＋4ax＋2a＋1)e x，令u(x)＝ax2＋4ax＋2a＋1，①当a＝0 时，u(x)＞0，f′(x)＞0，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．②当a＞0 时，Δ＝(4a)2－4a(2a＋1)＝4a(2a－1)，1(ⅰ)当a＞时，Δ＞0，令u(x)＝0，2－2a－2a2－a得x 1＝，a－2a＋2a2－ax2＝，且x1＜x2，a所以当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，u(x)＞0，f′(x)＞0，当x∈(x 1，x2)时，u(x)＜0，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间为－2a－2a2－a－2a＋2a2－a，，单调递减区间－∞，，＋∞) (a)(aEarlybird－2a－2a2－a－2a＋2a2－a为(.，aa)1(ⅱ)当0＜a≤时，Δ≤0，2所以u(x)≥0，f′(x)≥0，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．③当a＜0 时，Δ＞0，令u(x)＝0，－2a－2a2－a得x1＝，a－2a＋2a2－ax2＝，且x2＜x1，a所以当x∈(x2，x1)时，u(x)＞0，f′(x)＞0，当x∈(－∞，x2)∪(x1，＋∞)时，u(x)＜0，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间为－2a＋2a2－a－2a－2a2－a，单调递减区间为，(a)a－2a＋2a2－a－2a－2a2－a，.－∞，，＋∞)(a)(a1 －2a－2a2－a综上，当a＞时，f(x)的单调递增区间为，－∞，2 (a)－2a＋2a2－a，单调递减区间为，＋∞)(a－2a－2a2－a－2a＋2a2－a；，(a)a1当0≤a≤时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；2当a＜0 时，f(x) 的单调递增区间为－2a＋2a2－a－2a－2a2－a，单调递减区间为，(a)a－2a＋2a2－a－2a－2a2－a，.－∞，，＋∞)(a)(a(2)证明：证法一由(1)得，Earlybird－2a － 2a 2－a－2a ＋ 2a 2－ax 1＝ ，x 2＝.aa1①当 a ≤－ 时，由(1)知 f (x )在(x 1，＋∞)上单调递减，2－2a － 2a 2－a 1因为 x 1＝ ＝－2＋ ≤0，所以 f (x )在(0，＋∞) 2－a a上单调递减，所以当 x ≥0 时，f (x )≤f (0)＝－1＜0.1 1②当－ ＜a ＜－ 时，由(1)知 f (x )在(x 2，x 1)上单调递增，在(x 1，＋2 7 ∞)上单调递减，－2a － 2a 2－a 1 因 为 x 1 ＝ ＝ － 2 ＋ ∈ (0,1) ， x 2 ＝ 2－a a－2a ＋ 2a 2－a 1＝－2－ ＜0， 2－a a所以 f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，＋∞)上单调递减，所以当 x ≥0 时，f (x )max ＝f (x 1)＝(ax ＋2ax 1＋1)e12x 1－2，因为 ax 21＋4ax 1＋2a ＋1＝0， 所以 ax 21＝－4ax 1－2a －1，1且 a ＝－ ，x 21＋4x 1＋2x 1 所 以 f (x 1) ＝ (ax ＋ 2ax 1 ＋ 1)e 12x 1 － 2 ＝ － 2a (x 1 ＋ 1)e－ 2 ＝2x 1＋1 ·e x 21＋4x 1＋2x 1 －2.2x 1＋1所以要证 f (x )＜0，只需证 ex 21＋4x 1＋2x 1－2＜0，即证(x 1＋1)e x 1－x 21－4x 1－2＜0. 设 g (x )＝(x ＋1)e x －x 2－4x －2，则 g ′(x )＝(x ＋2)e x －2x －4＝(x ＋2)(e x －2)，所以当 x ∈(0，ln2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(0，ln2)上单调递减，Earlybird当x∈(ln2,1)时，g′(x)＞0，g(x)在(ln2,1)上单调递增，因为g(0)＝－1＜0，g(1)＝2e－7＜0，所以当x∈(0,1)时，恒有g(x)＜0.又x1∈(0,1)，所以g(x1)＜0，即f(x1)＜0，从而当x≥0 时，f(x)≤f(x1)＜0.1综上，若a＜－，则当x≥0 时，f(x)＜0.7证法二f(x)＝(ax2＋2ax＋1)e x－2＝a e x(x2＋2x)＋e x－2.令φ(a)＝a e x(x2＋2x)＋e x－2，显然当x≥0 时，e x(x2＋2x)≥0，1 1所以当a＜－时，φ(a)＜φ＝－7 (7 )e x x2＋2x－＋e x－2.7所以要证当x≥0 时，f(x)＜0，e x x2＋2x只需证当x≥0 时，－＋e x－2≤0，7即证当x≥0 时，e x(x2＋2x－7)＋14≥0.令g(x)＝e x(x2＋2x－7)＋14，则g′(x)＝e x(x2＋4x－5)＝(x－1)(x＋5)e x，所以当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)在(0,1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以当x≥0 时，g(x)≥g(1)＝14－4e＞0，从而当x≥0 时，f(x)＜0.证法三由(1)得，－2a－2a2－a－2a＋2a2－ax1＝，x2＝.a a1①当a≤－时，由(1)知f(x)在(x1，＋∞)上单调递减，2－2a－2a2－a 1因为x1＝＝－2＋≤0，2－a aEarlybird所以 f (x )在[0，＋∞)上单调递减， 所以当 x ≥0 时，f (x )≤f (0)＝－1＜0.1 1②当－ ＜a ＜－ 时，由(1)知 f (x )在(x 2，x 1)上单调递增，在(x 1，＋2 7 ∞)上单调递减，－2a － 2a 2－a 1 因 为 x 1 ＝ ＝ － 2 ＋ ∈ (0,1) ， x 2 ＝ 2－a a－2a ＋ 2a 2－a 1＝－2－ ＜0， 2－a a所以 f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，＋∞)上单调递减，所以当 x ≥0 时，f (x )max ＝f (x 1)＝(ax ＋2ax 1＋1)e21x 1－2，因为 ax 21＋4ax 1＋2a ＋1＝0， 所以 ax 21＝－4ax 1－2a －1，1且 a ＝－ ，x 21＋4x 1＋2 所以 f (x 1)＝(ax ＋2ax 1＋1)e21x 1－2＝－2a (x 1＋1)e2x 1＋1x 1－2＝ex 21＋4x 1＋2x 1－2.2x 1＋1所以要证 f (x )＜0，只需证 ex 21＋4x 1＋2x 21＋4x 1＋2 即证 ＞ 1.x 1＋1 e x1x 2＋4x ＋2设 g (x )＝， x ＋1e x －x x ＋22x 1 －2＜0，则g′(x)＝，x＋12e x所以当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)在(0,1)上单调递减，7又x1∈(0,1)，所以g(x1)＞g(1)＝＞1，2e从而当x≥0 时，f(x)＜0.Earlybird1综上，若a＜－，则当x≥0 时，f(x)＜0.7证法四由(1)得，－2a－2a2－a －2a＋2a2－ax1＝，x2＝.a a1①当a≤－时，由(1)知f(x)在(x1，＋∞)上单调递减，2－2a－2a2－a 1因为x1＝＝－2＋≤0，2－a a所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以当x≥0 时，f(x)≤f(0)＝－1＜0.1 1②当－＜a＜－时，由(1)知f(x)在(x2，x1)上单调递增，在(x1，＋2 7∞)上单调递减，－2a－2a2－a 1因为x1 ＝＝－2 ＋∈(0,1) ，x2 ＝2－a a－2a＋2a2－a 1＝－2－＜0，2－a a所以f(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，＋∞)上单调递减，所以当x≥0 时，f(x)max＝f(x1)＝(ax21＋2ax1＋1)e x1－2，因为ax21＋4ax1＋2a＋1＝0，所以ax21＝－4ax1－2a－1，1且a＝－，x21＋4x1＋2所以f(x1)＝(ax ＋2ax1＋1)e12x1－2＝－2a (x 1＋1)e2x 1＋1 x 1－2＝·ex 21＋4x 1＋2x 1 －2.2x 1＋1所以要证 f (x )＜0，只需证 ex 21＋4x 1＋2x 1 －2＜0，即证 e x 21＋4x 1＋2 ＜ .x 1＋1x 1Earlybirdx2＋4x＋2设g(x)＝e x－，x＋11则g′(x)＝e x－－1，x＋121设φ(x)＝e x－－1，x＋122则φ′(x)＝e x＋＞0，x＋13所以φ(x)在(0,1)上单调递增，5又φ(0)＝－1＜0，φ(1)＝e－＞0，4所以φ(0)φ(1)＜0，所以φ(x)在(0,1)恰有一个零点x0，且当x∈(0，x0)时，φ(x)＜0，即g′(x)＜0，所以g(x)在(0，x0)上单调递减，当x∈(x0,1)时，φ(x)＞0，即g′(x)＞0，所以g(x)在(x0,1)上单调递增．7因为g(0)＝－1＜0，g(1)＝e－＜0，2所以当x∈(0,1)时，恒有g(x)＜0，又x1∈(0,1)，所以g(x1)＜0，即e x21＋4x1＋2x1＜，x1＋1从而当x≥0 时，f(x)＜0.1综上，若a＜－，则当x≥0 时，f(x)＜0.7。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)解答题名师讲练-高考解答题专项训练5(01)
高考解答题专项训练(五)直线与圆锥曲线1．(2019·湖南湘东五校联考)已知椭圆C的中心在原点，离心率1等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2＝8 3y的焦点．2(1)求椭圆C的方程；(2)如图，已知P(2,3)，Q(2，－3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．1①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；2②当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．x2 y2解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则b＝2 3.a2 b2c 1由＝，a2＝c2＋b2，得a＝4，a 2x2 y2∴椭圆C的方程为＋＝1.16 12(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．1①设直线AB的方程为y＝x＋t，2x2 y2代入＋＝1，得x2＋tx＋t2－12＝0，16 12由Δ＞0，解得－4＜t＜4，由一元二次方程根与系数的关系得x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－12，∴|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2＝t2－4t2－12＝48－3t2.1∴四边形APBQ的面积S＝×6×|x1－x2|＝3 48－3t2.2∴当t＝0 时，S取得最大值，且S max＝12 3.②若∠APQ＝∠BPQ，则直线PA，PB的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，直线PA的方程为y－3＝k(x－2)，由Error!得(3＋4k2)x2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)2－48＝0，82k－3k∴x1＋2＝，3＋4k2－8k－2k－38k2k＋3将k换成－k可得x2＋2＝＝，3＋4k2 3＋4k216k2－12 －48k∴x1＋x2＝，x1－x2＝，3＋4k2 3＋4k2y1－y2 k x1－2＋3＋k x2－2－3∴k AB＝＝x1－x2 x1－x2k x1＋x2－4k 1＝＝，x1－x2 21∴直线AB的斜率为定值.2x2 y22．(2019·石家庄摸底)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右a2 b23焦点分别为F1，F2，离心率为，点A是椭圆上任意一点，△AF1F22的周长为4＋2 3.Earlybird(1)求椭圆C的方程；→(2)过点Q(－4,0)任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记M Q→→→＝λQN，若在线段MN上取一点R，使得M＝－λ，则当直线l转R RN动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程．解：(1)因为△AF1F2 的周长为4＋2 3，所以2a＋2c＝4＋2 3，即a＋c＝2＋ 3.c 3又椭圆的离心率e＝＝，a 2所以a＝2, c＝3，所以b2＝a2－c2＝1.x2所以椭圆C的方程为＋y2＝1.4(2)由题意可知，直线l的斜率必存在．故可设直线l的方程为y＝k(x＋4)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由Error!消去y，得(1＋4k2)x2＋32k2x＋64k2－4＝0，－32k2 64k2－4 由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝，4k2＋1 4k2＋1→→由M Q＝λQ，得(－4－x1，－y1)＝λ(4＋x2，y2)，Nx1＋4所以－4－x1＝λ(x2＋4)，所以λ＝－.x2＋4 设点R的坐标为(x0，y0)，Earlybird→→由M R＝－λ，得(x0－x1，y0－y1)＝RN－λ(x2－x0，y2－y0)，所以x0－x1＝－λ(x2－x0)，x1＋4x1＋x2x1－λx2 x2＋4 2x1x2＋4x1＋x2解得x0＝＝＝.1－λx1＋4 x1＋x2＋81＋x2＋464k2－4 －32k2 8而2x1x2＋4(x1＋x2)＝2×＋4×＝－，4k2＋1 4k2＋1 4k2＋1－32k2 8(x1＋x2)＋8＝＋8＝，4k2＋1 4k2＋1所以x0＝－1.故点R在定直线x＝－1 上.3．(2019·广西柳州摸底)已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为5.(1)求该抛物线C的方程；(2)已知抛物线上一点M(t,4)，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是否过定点？并说明理由．解：(1)由题意设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，其准线方程为x＝－p，2∵P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，p∴4＋＝5，∴p＝2.2∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)由(1)可得点M(4,4)，可得直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为x＝my＋t，联立Error!得y2－4my－4t＝0，则Δ＝16m2＋16t＞0.(*)Earlybird设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t.→→∵M D·M＝(x1－4，y1－4)·(x2－4，y2－4)E＝x1x2－4(x1＋x2)＋16＋y1y2－4(y1＋y2)＋16y21y2 y21y2y1y22＝·－4 ＋16＋y1y2－4(y1＋y2)＋16＝－(y1＋y2)2＋＋4 4 164 (4)3y1y2－4(y1＋y2)＋32＝t2－16m2－12t＋32－16m＝0，即t2－12t＋32＝16m2＋16m，得(t－6)2＝4(2m＋1)2，∴t－6＝±2(2m＋1)，即t＝4m＋8 或t＝－4m＋4，代入(*)式检验知t＝4m＋8 满足Δ＞0，∴直线DE的方程为x＝my＋4m＋8＝m(y＋4)＋8.∴直线过定点(8，－4)．4．(2019·广州综合测试)已知圆(x＋3)2＋y2＝16 的圆心为M，点→P是圆M上的动点，点N( 3，0)，点G在线段MP上，且满足(G N＋→→→G P)⊥(G－G)．N P(1)求点G的轨迹C的方程；(2)过点T(4,0)作斜率不为0 的直线l与(1)中的轨迹C交于A，B 两点，点A关于x轴的对称点为D，连接BD交x轴于点Q，求△ABQ 面积的最大值．→→→→解：(1)因为(G N＋G)⊥(G－G)，P N P→→→→所以(G N＋G)·(G－G)＝0，P N P→→即GN2－＝0，所以|GP|＝|GN|，GP2所以|GM|＋|GN|＝|GM|＋|GP|＝|MP|＝4＞2 3＝|MN|，Earlybird所以点G在以M，N为焦点，长轴长为4 的椭圆上，x2 y2设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，a2 b2则2a＝4,2c＝2 3，即a＝2，c＝3，所以b2＝a2－c2＝1，x2所以点G的轨迹C的方程为＋y2＝1.4(2)解法一依题意可设直线l：x＝my＋4.由Error!得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0.设直线l与椭圆C的两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Δ＝64m2－4×12×(m2＋4)＝16(m2－12)＞0，得m2＞12.①8m12且y1＋y2＝－，y1y2＝.②m2＋4 m2＋4因为点A关于x轴的对称点为D，所以D(x1，－y1)，可设Q(x0,0)，y2＋y1 y2＋y1所以k BD＝＝，x2－x1 m y2－y1所以BD所在直线的方程为y2＋y1y－y2＝(x－my2－4)．m y2－y12my1y2＋4y1＋y2令y＝0，得x0＝.③y1＋y224m－32m将②代入③，得x0＝＝1，－8m所以点Q的坐标为(1,0)．因为S△ABQ＝|S△TBQ－S△TAQ|1＝|QT| |y2－y1|23 6 m2－12 ＝＝，y1＋y22－4y1y22 m2＋4Earlybird令t＝m2＋4，结合①得t＞16，1 1 1＝6 －16(.所以S△ABQ－2＋32)t643当且仅当t＝32，即m＝±27时，(S△ABQ)max＝.43所以△ABQ面积的最大值为.4(求△ABQ的面积的另解：因为点Q(1,0)到直线l的距离为d＝3，1＋m2|AB|＝1＋m2·y1＋y22－4y1y24 m2－12＝1＋m2·，m2＋41 6 m2－12所以S△ABQ＝d·|AB|＝)2 m2＋4解法二依题意直线l的斜率存在且不为0，设其方程为y＝k(x－4)，由Error!得(4k2＋1)y2＋8ky＋12k2＝0.设直线l与椭圆C的两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，1由Δ＝(8k)2－4×(4k2＋1)×12k2＞0，得k2＜，①128k12k2且y1＋y2＝－，y1y2＝.②4k2＋1 4k2＋1因为点A关于x轴的对称点为D，所以D(x1，－y1)，可设Q(x0,0)，y2＋y1 y2＋y1所以k BD＝＝k，x2－x1 y2－y1y2＋y1所以BD所在直线的方程为y－y2＝k(x－x2)．y2－y12y1y2＋4k y1＋y2令y＝0，得x0＝.③k y2＋y1Earlybird24k2－32k2将②代入③，得x0＝＝1，所以点Q的坐标为(1,0)．－8k21因为S△ABQ＝|S△TBQ－S△TAQ|＝|QT| |y2－y1|23 6 k2－12k4＝y1＋y22－4y1y2＝，2 4k2＋1t－1 4令t＝4k2＋1，则k2＝，结合①得1＜t＜，4 31 7 1＝3 －4(.所以S△ABQ－2＋8)t161 7 7 3当且仅当＝，即k＝±时，(S△ABQ)max＝.t8 14 43所以△ABQ面积的最大值为.43|k| (求△ABQ面积的另解：因为点Q(1,0)到直线l的距离为d＝，1＋k21 1＋k2 4 k2－12k4|AB|＝1＋·y1＋y22－4y1y2＝·，k2 |k| 4k2＋11 6 k2－12k4所以S△ABQ＝d·|AB|＝)．2 4k2＋1解法三依题意直线l的斜率存在，设其方程为y＝k(x－4)，由Error!得(4k2＋1)x2－32k2x＋64k2－4＝0.设直线l与椭圆C的两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，1 由Δ＝(－32k2)2－4×(4k2＋1)×(64k2－4)＞0，得k2＜，①1232k2 64k2－4且x1＋x2＝，x1x2＝.②4k2＋1 4k2＋1因为点A关于x轴的对称点为D，所以D(x1，－y1)，可设Q(x0,0)，y2 －y1则k BQ＝k DQ，即k BD＝＝，x2－x0 x1－x0Earlybirdk x2－4－k x1－4即＝，x2－x0 x1－x02x1x2－4x1＋x2整理得x0＝.③x1＋x2－8将②代入③，得x0＝1，所以点Q的坐标为(1,0)．3|k|因为点Q(1,0)到直线l的距离为d＝，k2＋1|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x24 1＋k2·1－12k2＝，4k2＋11 6 k2－12k4所以S△ABQ＝d·|AB|＝.2 4k2＋1t－1 4令t＝4k2＋1，则k2＝，结合①得1＜t＜，4 31 7 1＝3 －4(.所以S ABQ－2＋8)t161 7 7 3当且仅当＝，即k＝±时，(S△ABQ)max＝.t8 14 43所以△ABQ面积的最大值为.4y2 x2 5．(2019·武昌调研)如图，在直角坐标系xOy中，椭圆C：＋a2 b21＝1(a＞b＞0)的上焦点为F1 ，椭圆C的离心率为，且过点(1，22 6)．3Earlybird(1)求椭圆C的方程；(2)设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆C交于点B(B不在y轴→→上)，垂直于l的直线与l交于点M，与x轴交于点H，若F1B·＝0，F1H且|MO|＝|MA|，求直线l的方程．1 c 1解：(1)因为椭圆C的离心率为，所以＝，即a＝2c.2 a 23 y2又a2＝b2＋c2，所以b2＝3c2，即b2＝a2，所以椭圆C的方程为4 a2x2＋＝1.3a242 6把点(1，)代入椭圆C的方程中，解得a2＝4.3y2 x2所以椭圆C的方程为＋＝1.4 3(2)解法一由(1)知，A(0,2)，设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l 的方程为y＝kx＋2，由Error!得(3k2＋4)x2＋12kx＝0.－12k设B(x B，y B)，得x B＝，3k2＋4－6k2＋8 －12k－6k2＋8 所以y B＝，所以B( ，)．3k2＋4 3k2＋4 3k2＋4Earlybird设M(x M，y M)，因为|MO|＝|MA|，所以点M在线段OA的垂直平分线上，所以y M＝1，因为y M＝kx M＋2，1 1所以x M＝－，即M(－，1)．k k1 1设H(x H,0)，又直线HM垂直于直线l，所以k MH＝－，即k 1－－x Hk 1＝－.k1 1所以x H＝k－，即H(k－，0)．k k→－12k4－9k2 → 1 又F1(0,1)，所以F1B＝，＝(k－，－1)．，F1H(3k2＋4)3k2＋4 k→→－12k 1 4－9k2因为F1B·＝0，所以·(k－)－＝0，F1H3k2＋4 k3k2＋42 6解得k＝±.32 6所以直线l的方程为y＝±x＋2.3解法二由(1)知，A(0,2)，设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l 的方程为y＝kx＋2，由Error!得(3k2＋4)x2＋12kx＝0，－12k－6k2＋8设B(x B，y B)，得x B＝，所以y B＝.3k2＋4 3k2＋41)．→－12k→4－9k2又F1(0,1)，所以F1B＝，设H(x H,0)，则＝(x H，－，F1H(3k2＋4)3k2＋4→→－12k4－9k2 9k2－4 因为F1B·＝0，所以·x H－＝0，解得x H＝.F1H3k2＋4 3k2＋4 12k1 9k2－4所以直线MH的方程为y＝－(x－)．设M(x M，y M)，k12kEarlybird因为|MO |＝|MA |，所以 x M 2 ＋y M 2 ＝x M 2 ＋(y M －2)2，解得 y M ＝1. 9k 2＋20 联立Error!解得 y M ＝ .121＋k 2 9k 2＋20 2 6由 y M ＝ ＝1，解得 k ＝±.121＋k 232 6所以直线 l 的方程为 y ＝± x ＋2.3x 2 y 26．椭圆 C ： ＋ ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是 F 1，F 2，离a 2b 23心率为 ，过 F 1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1.2(1)求椭圆 C 的方程；(2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M (m,0)，求 m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点 P 作斜率为 k 的直线 l ，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，设直线 PF 1，PF 2 的斜率分别为 k 1，k 2，若1 1k 2≠0，证明 ＋ 为定值，并求出这个定值．kk 1 kk 2x 2 y 2解：(1)由于 c 2＝a 2－b 2，将 x ＝－c 代入椭圆方程 ＋ ＝1，得 y a2 b 2 b 2 ＝± . a2b 2由题意知 ＝1，即 a ＝2b 2.a c 3又 e ＝ ＝ ，所以 a ＝2，b ＝1. a 2x 2所以椭圆 C 的方程为 ＋y 2＝1.4(2)设 P (x 0，y 0)(y 0≠0)，又 F 1(－ 3，0)，F 2( 3，0)，所以直线PF1，PF2 的方程分别为lPF1：y0x－(x0＋3)y＋3y0＝0，lPF2：y0x－(x0－3)y－3y0＝0，Earlybird|my0＋3y0| |my0－3y0|由题意知＝.y20＋x0＋3 2 y20＋x0－32x20由于点P在椭圆上，所以＋y＝1.024|m＋3| |m－3|所以＝.3 3x0＋2)x0－2)2 2((2 2因为－3＜m＜3，－2＜x0＜2，m＋ 3 3－m可得＝，3 3x0＋2 2－x02 23 3 3所以m＝x0，因此－＜m＜.4 2 2(3)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．联立得Error!整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y20－2kx0y0＋k2x20－1)＝0.由题意Δ＝0，即(4－x20)k2＋2x0y0k＋1－y20＝0.x20又＋y＝1，204x0所以16y20k2＋8x0y0k＋x20＝0，故k＝－.4y01 1 x0＋ 3 x0－ 3 2x0由(2)知＋＝＋＝，k1 k2 y0 y0 y01 1 1 1 1 4y0 2x0所以＋＝＝·＝－8，＋－k(k2)(x0 )kk1 kk2 k1 y01 1因此＋为定值，这个定值为－8.kk1 kk2。
2020年高考红对勾一轮复习理科数学人教版创新方案课件课时作业3
课时作业3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”的否定可表示为(A)A.∃x0∈M,f(－x0)≠f(x0)B.∀x∈M,f(－x)≠f(x)C.∀x∈M,f(－x)＝f(x)D.∃x0∈M,f(－x0)＝f(x0)【解析】:命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”即“∀x∈M,f(－x)＝f(x)”,该命题是一个全称命题,其否定是一个特称命题,即“∃x0∈M,f(－x0)≠f(x0)”.2.(2019·清华大学自主招生能力测试)“∀x∈R,x2－πx≥0”的否定是(D)A.∀x∈R,x2－πx＜0B.∀x∈R,x2－πx≤0C.∃x0∈R,x20－πx0≤0D.∃x0∈R,x20－πx0＜0【解析】:全称命题的否定是特称命题,所以“∀x∈R,x2－πx≥0”的否定是“∃x0∈R,x20－πx0＜0”,故选D.3.(2019·衡水二调)已知命题p：∀x1,x2∈R,[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0,则綈p是(B)A.∃x1,x2∉R,[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0B.∃x1,x2∈R,[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0C.∀x1,x2∉R,[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0D.∀x1,x2∈R,[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0【解析】:根据全称命题与特称命题互为否定的关系可知綈p：∃x1,x2∈R,[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0.4.(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0,＋∞),x0＋1x0＞3；命题q ：∀x ∈(2,＋∞),x 2＞2x ,则下列命题为真的是( A )A.p ∧(綈q )B.(綈p )∧qC.p ∧qD.(綈p )∨q【解析】:对于命题p ,当x 0＝4时,x 0＋1x 0＝174＞3,故命题p 为真命题；对于命题q ,当x ＝4时,24＝42＝16,即∃x 0∈(2,＋∞),使得2x 0＝x 20成立,故命题q 为假命题,所以p ∧(綈q )为真命题,故选A.5.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A )A.綈p ∨綈qB.p ∨綈qC.綈p ∧綈qD.p ∨q【解析】:命题p 是“甲降落在指定范围”,则綈p 是“甲没降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则綈q 是“乙没降落在指定范围”,命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围,乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围,乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围,乙没降落在指定范围”.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为綈p ∨綈q .故选A.6.(2019·河南郑州外国语中学模拟)已知命题p ：若复数z 满足(z －i)·(－i)＝5,则z ＝6i ；命题q ：复数1＋i 1＋2i 的虚部为－15i,则下列命题中为真命题的是( C )A.(綈p )∧(綈q )B.(綈p )∧qC.p ∧(綈q )D.p ∧q【解析】:复数z 满足(z －i)·(－i)＝5, 则z ＝－5i ＋i ＝6i,故命题p 为真命题,则綈p 为假命题；复数1＋i 1＋2i ＝(1＋i )·(1－2i )(1＋2i )·(1－2i )＝35－15i,则z 的虚部为－15,故命题q 为假命题,则綈q 为真命题.由复合命题真假判断的真值表可知(綈p )∧(綈q )为假命题,(綈p )∧q 为假命题,p ∧(綈q )为真命题,p ∧q 为假命题.故选C.7.(2019·山东泰安联考)下列命题正确的是( D )A.命题“∃x ∈[0,1],使x 2－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1],都有x 2－1≤0”B.若命题p 为假命题,命题q 是真命题,则(綈p )∨(綈q )为假命题C.命题“若a 与b 的夹角为锐角,则a ·b ＞0”及它的逆命题均为真命题D.命题“若x 2＋x ＝0,则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1,则x 2＋x ≠0”【解析】:对于选项A,命题“∃x ∈[0,1],使x 2－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1],都有x 2－1＜0”,故A 项错误；对于选项B,p 为假命题,则綈p 为真命题；q 为真命题,则綈q 为假命题,所以(綈p )∨(綈q )为真命题,故B 项错误；对于选项C,原命题为真命题,若a ·b ＞0,则a 与b 的夹角可能为锐角或零角,所以原命题的逆命题为假命题,故C 项错误；对于选项D,命题“若x 2＋x ＝0,则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1,则x 2＋x ≠0”,故选项D 正确,因此选D.8.(2019·江西七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞,0),方程f (x )＝0有解,命题q ：若m ＝19,则f (f (－1))＝0,那么,下列命题为真命题的是( B )A.p ∧qB.(綈p )∧qC.p ∧(綈q )D.(綈p )∧(綈q )【解析】:因为3x ＞0,当m ＜0时,m －x 2＜0, 所以命题p 为假命题； 当m ＝19时,因为f (－1)＝3－1＝13,所以f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0,所以命题q 为真命题,逐项检验可知,只有(綈p )∧q 为真命题,故选B.9.已知命题p ：∀x ∈R ,ax 2＋ax ＋1＞0,命题q ：∃x 0∈R ,x 20－x 0＋a＝0.若p ∧q 为真命题,则实数a 的取值范围是( D )A.(－∞,4]B.[0,4)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 【解析】:当a ＝0时,命题p 为真；当a ≠0时,若命题p 为真,则a ＞0且Δ＝a 2－4a ＜0,即0＜a ＜4.故命题p 为真时,0≤a ＜4.命题q 为真时,Δ＝1－4a ≥0,即a ≤14.命题p ∧q 为真命题时,p ,q 均为真命题,则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14. 10.(2019·聊城模拟)已知函数f (x )在R 上单调递增,若∃x 0∈R ,f (|x 0＋1|)≤f (log 2a －|x 0＋2|),则实数a 的取值范围是( A )A.[2,＋∞)B.[4,＋∞)C.[8,＋∞)D.(0,2]【解析】:∵函数f (x )在R 上单调递增, ∴∃x 0∈R ,f (|x 0＋1|)≤f (log 2a －|x 0＋2|), 等价为∃x 0∈R ,|x 0＋1|≤log 2a －|x 0＋2|成立, 即|x ＋1|＋|x ＋2|≤log 2a 有解, ∵|x ＋1|＋|x ＋2|≥|x ＋2－x －1|＝1, ∴log 2a ≥1,即a ≥2.11.已知命题p ：若平面α⊥平面β,平面γ⊥平面β,则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中,对于三条不同的直线a ,b ,c ,若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ∥c .对以上两个命题,有以下命题：①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假. 其中,正确的是②__.(填序号)【解析】:命题p 是假命题,这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题,这两条直线也可能异面,相交.12.(2019·郑州质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ,g (x )＝2x ＋a ,若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1,∃x 2∈[2,3],使得f (x 1)≤g (x 2),则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ . 【解析】:依题意知f (x )max ≤g (x )max . ∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数,∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝172.又g (x )＝2x ＋a 在[2,3]上是增函数, ∴g (x )max ＝8＋a ,因此172≤8＋a ,则a ≥12.13.已知命题p ：∀x ∈R ,不等式ax 2＋22x ＋1＜0解集为空集,命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )＜0,若命题p ∧(綈q )是真命题,则实数a 的取值范围是( D )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，3 B.[3,＋∞) C.[2,3]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52∪[3,＋∞)【解析】:命题p ：∀x ∈R ,不等式ax 2＋22x ＋1＜0解集为空集,a ＝0时,不满足题意.当a ≠0时,必须满足：⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝(22)2－4a ≤0，解得a ≥2.命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )＜0, 可得函数f (x )在R 上单调递减, ∴0＜2a －5＜1,解得52＜a ＜3. ∵命题p ∧(綈q )是真命题, ∴p 为真命题,q 为假命题.∴⎩⎨⎧a ≥2，a ≤52或a ≥3，解得2≤a ≤52或a ≥3,则实数a 的取值范围是[3,＋∞)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52.故选D.14.(2019·河北衡水中学联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的部分图象如图所示,其中|MN |＝52,记命题p ：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6,命题q ：将f (x )的图象向右平移π6个单位,得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋2π3的图象,则以下判断正确的是( D )A.p ∧q 为真B.p ∨q 为假C.(綈p )∨q 为真D.p ∧(綈q )为真【解析】:由|MN |＝52,可得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω2＋22＝52,解得ω＝π3,因为f (0)＝1,所以sin φ＝12.又φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π,所以φ＝5π6,所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6.故p 为真命题.将f (x )图象上所有的点向右平移π6个单位,得到 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6－π218的图象, 故q 为假命题.所以p ∧q 为假,p ∨q 为真,(綈p )∨q 为假,p ∧(綈q )为真,故选D. 15.(2019·沈阳模拟)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x ),给出以下四个命题：①∀x ∈(－1,1),有f (－x )＝－f (x )；②∀x 1,x 2∈(－1,1)且x 1≠x 2,有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；③∀x 1,x 2∈(0,1),有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)2； ④∀x ∈(－1,1),|f (x )|≥2|x |. 其中所有真命题的序号是( D ) A.①② B.③④ C.①②③D.①②③④【解析】:对于①,∵f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x ),且其定义域为(－1,1),∴f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－[ln(1＋x )－ln(1－x )]＝－f (x ),即∀x ∈(－1,1),有f (－x )＝－f (x ),故①是真命题；对于②,∵x ∈(－1,1),由f ′(x )＝11＋x ＋11－x ＝21－x 2≥2＞0,可知f (x )在区间(－1,1)上单调递增,即∀x 1,x 2∈(－1,1)且x 1≠x 2,有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0,故②是真命题；对于③,∵f ′(x )＝21－x 2在(0,1)上单调递增,∴∀x 1,x 2∈(0,1),有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)2, 故③是真命题； 对于④,设g (x )＝f (x )－2x ,则当x ∈(0,1)时,g ′(x )＝f ′(x )－2≥0, ∴g (x )在(0,1)上单调递增,∴当x ∈(0,1)时,g (x )＞g (0),即f (x )＞2x ,由奇函数性质可知,∀x ∈(－1,1),|f (x )|≥2|x |,故④是真命题,故选D.16.已知命题p ：∃x 0∈R ,e x 0－mx 0＝0,命题q ：∀x ∈R ,x 2＋mx ＋1≥0,若p ∨(綈q )为假命题,则实数m 的取值范围是[0,2]__.【解析】:若p ∨(綈q )为假命题,则p 假q 真.由e x －mx ＝0,可得m ＝ex x ,x ≠0,设f (x )＝e xx ,x ≠0,则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2,当x ＞1时,f ′(x )＞0,函数f (x )＝e xx 在(1,＋∞)上是单调递增函数； 当0＜x ＜1或x ＜0时,f ′(x )＜0,函数f (x )＝e xx 在(0,1)和(－∞,0)上是单调递减函数,所以当x ＝1时,函数取得极小值f (1)＝e,所以函数f (x )＝e xx 的值域是(－∞,0)∪[e,＋∞),由p 是假命题,可得0≤m ＜e.当命题q 为真命题时,有Δ＝m 2－4≤0,即－2≤m ≤2. 所以当p ∨(綈q )为假命题时,m 的取值范围是0≤m ≤2.。
2020年高考红对勾一轮复习理科数学人教版创新方案课件课时作业44
课时作业44直线、平面平行的判定及其性质1.(2019·安徽黄山一模)下列说法中,错误的是(C)A.若平面α∥平面β,平面α∩平面γ＝l,平面β∩平面γ＝m,则l∥mB.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β＝l,m⊂α,m⊥l,则m⊥βC.若直线l⊥平面α,平面α⊥平面β,则l∥βD.若直线l∥平面α,平面α∩平面β＝m,直线l⊂平面β,则l∥m【解析】:对于A,由面面平行的性质定理可知为真命题,故A正确；对于B,由面面垂直的性质定理可知为真命题,故B正确；对于C,若l ⊥α,α⊥β,则l∥β或l⊂β,故C错误；对于D,由线面平行的性质定理可知为真命题,故D正确.综上,选C.2.(2019·广东省际名校联考)已知α,β为平面,a,b,c为直线,下列命题正确的是(D)A.a⊂α,若b∥a,则b∥αB.α⊥β,α∩β＝c,b⊥c,则b⊥βC.a⊥b,b⊥c,则a∥cD.a∩b＝A,a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥β【解析】:选项A中,b⊂α或b∥α,不正确.B中b与β可能斜交或b在β内,B错误.C中a∥c,a与c异面,或a与c相交,C错误.利用面面平行的判定定理,易知D正确.3.(2019·山东聊城模拟)下列四个正方体中,A,B,C为所在棱的中点,则能得出平面ABC∥平面DEF的是(B)【解析】:在B中,如图,连接MN,PN,∵A,B,C为正方体所在棱的中点,∴AB∥MN,AC∥PN,∵MN∥DE,PN∥EF,∴AB∥DE,AC∥EF,∵AB∩AC＝A,DE∩EF＝E,AB、AC⊂平面ABC,DE、EF⊂平面DEF, ∴平面ABC∥平面DEF,故选B.4.已知平面α∥平面β,P 是α,β外一点,过点P 的直线m 与α,β分别交于点A ,C ,过点P 的直线n 与α,β分别交于点B ,D ,且P A ＝6,AC ＝9,PD ＝8,则BD ＝( B )A.16B.24或245C.14D.20【解析】:设BD ＝x ,由α∥β⇒AB ∥CD ⇒△P AB ∽△PCD ⇒PB P A ＝PD PC .①当点P 在两平面之间时,如图(1),则有x －86＝89－6,∴x ＝24；②当点P 在两平面外侧时,如图(2),则有8－x 6＝89＋6,∴x ＝245,故选B.5.(2019·豫西五校联考)已知m ,n ,l 1,l 2表示不同直线,α、β表示不同平面,若m ⊂α,n ⊂α,l 1⊂β,l 2⊂β,l 1∩l 2＝M ,则α∥β的一个充分条件是( D )A.m ∥β且l 1∥αB.m ∥β且n ∥βC.m ∥β且n ∥l 2D.m ∥l 1且n ∥l 2【解析】:对于选项A,当m ∥β且l 1∥α时,α,β可能平行也可能相交,故A不是α∥β的充分条件；对于选项B,当m∥β且n∥β时,若m ∥n,则α,β可能平行也可能相交,故B不是α∥β的充分条件；对于选项C,当m∥β且n∥l2时,α,β可能平行也可能相交,故C不是α∥β的充分条件；对于选项D,当m∥l1,n∥l2时,由线面平行的判定定理可得l1∥α,l2∥α,又l1∩l2＝M,由面面平行的判定定理可以得到α∥β,但α∥β时,m∥l1且n∥l2不一定成立,故D是α∥β的一个充分条件,故选D.6.(2019·湖南长郡中学模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,BC∥AD,P A＝AD＝4,AB＝BC＝2,P A⊥平面ABCD,点E是线段AB 的中点,点F在线段P A上,且EF∥平面PCD,直线PD与平面CEF交于点H,则线段CH的长度为(C)A.2B.2C.22D.2 3【解析】:如图,∵PD与平面CEF交于点H,∴平面CEF∩平面PCD＝CH,∵EF∥平面PCD,∴EF∥CH,过点H作HM∥P A交AD于点M,连接CM ,∵EF ∩AF ＝F ,CH ∩HM ＝H ,∴平面AEF ∥平面CHM ,∵平面AEF ∩平面ABCD ＝AE ,平面CHM ∩平面ABCD ＝CM ,∴AE ∥CM ,又BC ∥AM ,∴四边形ABCM 为平行四边形,∴AM ＝2.又AD ＝4,∴M 是AD 的中点,则H 为PD 的中点,∴CH ＝CM 2＋MH 2＝22＋22＝22,故选C.7.如图所示,在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H 分别是棱CC 1,C 1D 1,D 1D ,DC 的中点,N 是BC 的中点,点M 在四边形EFGH 及其内部运动,则M 只需满足条件 点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合) 时,就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况)【解析】:连接HN ,FH ,FN ,则FH ∥DD 1,HN ∥BD ,∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1,只需M ∈FH ,则MN ⊂平面FHN ,∴MN ∥平面B 1BDD 1.8.(2019·河北唐山统一考试)在三棱锥P -ABC 中,PB ＝6,AC ＝3,G 为△P AC 的重心,过点G 作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB 和AC ,则截面的周长为 8 .【解析】:过点G 作EF ∥AC ,分别交P A 、PC 于点E 、F ,过E 、F 分别作EN ∥PB 、FM ∥PB ,分别交AB 、BC 于点N 、M ,连接MN ,则四边形EFMN 是平行四边形(面EFMN 为所求截面),且EF ＝MN ＝23AC ＝2,FM ＝EN ＝13PB ＝2,所以截面的周长为2×4＝8.9.如图所示,设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,点P 是棱AD 上一点,且AP ＝a 3,过B 1,D 1,P 的平面交平面ABCD 于PQ ,Q 在直线CD 上,则PQ ＝ 3a .【解析】:如图,∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ,而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ,平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1,∴B 1D 1∥PQ .又∵B 1D 1∥BD ,∴BD ∥PQ ,设PQ ∩AB ＝M ,∵AB ∥CD ,∴△APM ∽△DPQ .∴PQPM＝PDAP＝2,即PQ＝2PM.又知△APM∽△ADB,∴PMBD＝APAD＝13,∴PM＝13BD,又BD＝2a,∴PQ＝223a.10.(2019·吉林榆树模拟)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题正确的有③.(写出所有正确命题的序号)①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β；②若m∥n,m∥α,则n∥α；③若α∩β＝n,m∥α,m∥β,则m∥n；④若m⊥α,m⊥n,则n∥α.【解析】:对于①,若α⊥γ,β⊥γ,则α与β的位置关系是垂直或平行,故①错误；对于②,若m∥n,m∥α,则n可能在α内或平行于α,故②错误；对于③,若α∩β＝n,m∥α,m∥β,根据线面平行的性质定理和判定定理,可以判断m∥n,故③正确；对于④,若m⊥α,m⊥n,则n可能在α内或平行于α,故④错误.11.如图所示的一块木料中,棱BC平行于平面A′C′.(1)要经过平面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线？(2)所画的线与平面AC是什么位置关系？并证明你的结论.解：(1)过点P作B′C′的平行线,交A′B′,C′D′于点E,F,连接BE,CF,作图如下：(2)EF∥平面AC.理由如下：易知BE,CF与平面AC相交,因为BC∥平面A′C′,又因为平面B′C′CB∩平面A′C′＝B′C′,所以BC∥B′C′,因为EF∥B′C′,所以EF∥BC,又因为EF⊄平面AC,BC⊂平面AC,所以EF∥平面AC.12.(2019·豫北六校联考)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中, M,N分别是A1B1,A1D1的中点,E,F分别是B1C1,C1D1的中点.(1)求证：四边形BDFE为梯形；(2)求证：平面AMN∥平面EFDB.证明：(1)连接B1D1,∵在△B1D1C1中,E,F分别是B1C1,C1D1的中点,∴EF∥B1D1且EF＝12B1D1, 又知四边形BDD1B1为矩形,∴BD綊B1D1,∴EF∥BD且EF＝12BD.∴四边形BDFE为梯形.(2)连接FM,在△A1B1D1中,M,N分别为A1B1,A1D1的中点,∴MN∥B1D1.由(1)知,EF∥B1D1,∴MN∥EF.在正方形A1B1C1D1中,F为C1D1的中点,M为A1B1的中点,∴FM綊A1D1,又∵四边形ADD1A1为正方形,∴AD綊A1D1,∴FM綊AD,∴四边形ADFM为平行四边形.∴AM綊DF.又∵AM∩MN＝M,DF∩FE＝F,∴平面AMN∥平面EFDB.13.如图所示,侧棱与底面垂直,且底面为正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1＝2,AB＝1,M,N分别在AD1,BC上移动,始终保持MN∥平面DCC1D1,设BN＝x,MN＝y,则函数y＝f(x)的图象大致是(C)【解析】:如图,过M作MQ∥DD1,交AD于点Q,连接QN.∵MN∥平面DCC1D1,MQ∥平面DCC1D1,MN∩MQ＝M,∴平面MNQ∥平面DCC1D1.又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC, ∴NQ∥DC,可得QN＝CD＝AB＝1,AQ＝BN＝x,∵MQAQ＝DD1AD＝2,∴MQ＝2x.在Rt△MQN中,MN2＝MQ2＋QN2,即y2＝4x2＋1,∴y2－4x2＝1(x≥0,y≥1),∴函数y＝f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分,故选C.14.(2019·河南新乡一模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为B1C1,C1D1的中点,点P是底面A1B1C1D1内一点,且AP∥平面EFDB,则tan∠AP A1的最大值是(D)A.22B.1C. 2D.2 2 【解析】:如图,分别取A 1D 1的中点G ,A 1B 1的中点H ,连接GH ,AG ,AH ,连接A 1C 1,交GH ,EF 于点M ,N ,连接AM ,连接AC ,交BD 于点O ,连接ON .易证MN 綊OA ,所以四边形AMNO 是平行四边形,所以AM ∥ON ,因为AM ⊄平面BEFD ,ON ⊂平面BEFD ,所以AM ∥平面BEFD ,易证GH ∥EF ,因为GH ⊄平面BEFD ,EF ⊂平面BEFD ,所以GH ∥平面BEFD ,又AM ∩GH ＝M ,AM ,GH ⊂平面AGH ,所以平面AGH ∥平面BEFD ,所以点P 在GH 上,当点P 与点M 重合时,tan ∠AP A 1的值最大.设正方体的棱长为1,则A 1P ＝24,所以tan ∠AP A 1的最大值为124＝2 2. 15.(2019·山东烟台一模)如图是一张矩形白纸ABCD ,AB ＝10,AD ＝102,E ,F 分别为AD ,BC 的中点,现分别将△ABE ,△CDF 沿BE ,DF 折起,且A 、C 在平面BFDE 同侧,下列命题正确的是①④ .(写出所有正确命题的序号)①当平面ABE ∥平面CDF 时,AC ∥平面BFDE ；②当平面ABE ∥平面CDF 时,AE ∥CD ；③当A 、C 重合于点P 时,PG ⊥PD ；④当A 、C 重合于点P 时,三棱锥P -DEF 的外接球的表面积为150π.【解析】:在△ABE 中,tan ∠ABE ＝22,在△ACD 中,tan ∠CAD ＝22,所以∠ABE ＝∠DAC ,由题意,将△ABE ,△DCF 沿BE ,DF 折起,且A ,C 在平面BEDF 同侧, 此时A 、C 、G 、H 四点在同一平面内,平面ABE ∩平面AGHC ＝AG ,平面CDF ∩平面AGHC ＝CH ,当平面ABE ∥平面CDF 时,得到AG ∥CH ,显然AG ＝CH ,所以四边形AGHC 为平行四边形,所以AC ∥GH ,进而可得AC ∥平面BFDE ,故①正确；由于折叠后,直线AE 与直线CD 为异面直线,所以AE 与CD 不平行,故②不正确；当A 、C 重合于点P 时,可得PG ＝1033,PD ＝10,又GD ＝10,∴PG 2＋PD 2≠GD 2,所以PG 与PD 不垂直,故③不正确；当A ,C 重合于点P 时,在三棱锥P -DEF 中,△EFD 与△FCD 均为直角三角形,所以DF 为外接球的直径,即R ＝DF 2＝562,所以外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫5622＝150π,故④正确.综上,正确命题的序号为①④.16.如图,四棱锥P -ABCD 中,AB ∥CD ,AB ＝2CD ,E 为PB 的中点.(1)求证：CE ∥平面P AD ；(2)在线段AB 上是否存在一点F ,使得平面P AD ∥平面CEF ？若存在,证明你的结论,若不存在,请说明理由.解：(1)证明：取P A 的中点H ,连接EH ,DH ,如图所示,因为E 为PB 的中点,所以EH ∥AB ,EH ＝12AB ,又AB ∥CD ,CD ＝12AB ,所以EH ∥CD ,EH ＝CD ,因此四边形DCEH 是平行四边形,所以CE ∥DH ,又DH ⊂平面P AD ,CE ⊄平面P AD , 因此CE ∥平面P AD .(2)存在点F 为AB 的中点,使平面P AD ∥平面CEF , 证明如下：取AB 的中点F ,连接CF ,EF ,所以AF ＝12AB ,又CD ＝12AB ,所以AF ＝CD ,又AF ∥CD ,所以四边形AFCD 为平行四边形, 因此CF ∥AD ,又AD ⊂平面P AD ,CF ⊄平面P AD ,所以CF ∥平面P AD ,由(1)可知CE ∥平面P AD ,又CE ∩CF ＝C , 故平面CEF ∥平面P AD ,故存在AB 的中点F 满足要求.。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业34
课时作业40数学归纳法n4＋n21．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋12时左端应在n＝k的基础上加上(D)A．k2＋1B．(k＋1)2k＋14＋4k＋12C.2D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2解析：观察可知，等式的左端是n2 个连续自然数的和，当n＝k 时为1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1 时为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.2．如果命题P(n)(n∈N*)对n＝k(k∈N*)成立，则它对n＝k＋1 也成立，现已知P(n)对n＝4 不成立，则下列结论中正确的是(D) A．P(n)对任意n∈N*成立B．P(n)对n＞4 成立C．P(n)对n＜4 成立D．P(n)对n≤4 不成立解析：由题意可知P(n)对n＝3 不成立(否则n＝4 也成立)，同理可推得P(n)对n＝2，n＝1 也不成立，故选D.1 1 13．(2019·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋2 4 2n－1 127＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取(B)64A．7 B．8C．9 D．1011－1 1 1 2n 1解析：左边求和可得1＋＋＋…＋＝＝2－，2 4 2n－1 1 2n－11－2127 1 1 1右边＝＝2－，故2－＞2－，64 64 2n－1 641 1 1即＜＝，所以2n－1＞26，解得n＞7.2n－1 64 26所以初始值至少应取8.4．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9 整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1 时，只需展开(A)A．(k＋3)3 B．(k＋2)3C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析：假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3 能被9 整除，当n ＝k＋1 时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3 展开，让其出现k3 即可．5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2 成立”．那么，下列命题总成立的是(D)A．若f(1)＜1 成立，则f(10)＜100 成立B．若f(2)＜4 成立，则f(1)≥1 成立C．若f(3)≥9 成立，则当k≥1 时，均有f(k)≥k2 成立D．若f(4)≥16 成立，则当k≥4 时，均有f(k)≥k2 成立解析：由条件可知不等式的性质只对大于或等于号成立，所以A 错误；若f(1)≥1 成立，则得到f(2)≥4，与f(2)＜4 矛盾，所以B 错误；当f(3)≥9 成立，无法推导出f(1)，f(2)，所以C 错误；若f(4)≥16 成立，则当k≥4 时，均有f(k)≥k2 成立，正确．1 1 16．(2019·九江模拟)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得2 3 n5 7 n＋2f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，则其一般结论为f(2n)＞(n≥2，2 2 2Earlybirdn∈N*).2＋2 3＋2 4＋2 解析：观察规律可知f(22)＞，f(23)＞，f(24)＞，f(25)2 2 25＋2 n＋2＞，…，故得一般结论为f(2n)＞(n≥2，n∈N*)．2 27．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)1＝5；当n＞4 时，f(n)＝(n＋1)(n－2)(用n表示)．2解析：由题意知f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数，所以f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，猜测得出f(n)－f(n－1)＝n－1(n≥4)．有f(n)－f(3)＝3＋4＋…＋(n－1)，1所以f(n)＝(n＋1)(n－2)．21 1 18．已知f(m)＝1＋＋＋…＋(m∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)2 3 mn 1 1 1＞时，f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋.2 2k＋1 2k＋2 2k＋11 1 1解析：当n＝k时，f(2k)＝1＋＋＋…＋，2 3 2k1 1 1 1 1当n＝k＋1 时，f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋，2 3 2k2k＋1 2k＋11 1 1 1 1所以f(2k＋1) －f(2k) ＝1 ＋＋＋…＋＋＋…＋－2 3 2k2k＋1 2k＋11 1 1 1 1 1＝＋＋…＋.1＋＋＋…＋(2k)2 3 2k＋1 2k＋2 2k＋19．用数学归纳法证明：1 1 1 1 n＋＋＋…＋＝(n∈N*)．2 ×4 4 ×6 6 ×8 2n2n＋24n＋1证明：(1)当n＝1 时，Earlybird1 1等式左边＝＝，2 ×1 × 2 ×1＋281 1等式右边＝＝，41＋18等式左边＝等式右边，所以等式成立．1 1(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有＋＋2 ×4 4 ×61 1 k＋…＋＝，6 ×8 2k2k＋24k＋11 1 1 1则当n＝k＋1 时，＋＋＋…＋＋2 ×4 4 ×6 6 ×8 2k2k＋212k＋1[2k＋1＋2]k 1＝＋4k＋14k＋1k＋2k k＋2＋1＝4k＋1k＋2k＋1 2 k＋1＝＝4k＋1k＋24k＋2k＋1＝.4[k＋1＋1]所以当n＝k＋1 时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n∈N*，等式都成立．1 1 1 1 3 110．已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.23 33 43 n3 2 2n2(1)当n＝1,2,3 时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．解：(1)当n＝1 时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；9 11 当n＝2 时，f(2)＝，g(2)＝，8 8 所以f(2)＜g(2)；Earlybird251 312当n＝3 时，f(3)＝，g(3)＝，216 216所以f(3)＜g(3)．(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．①当n＝1,2,3 时，不等式显然成立，②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时不等式成立，1 1 1 1 3 1即1＋＋＋＋…＋＜－.23 33 43 k3 2 2k2那么，当n＝k＋1 时，1 3 1 1f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋.k＋1 3 2 2k2 k＋133 1 1 3 1 1因为f(k＋1)－g(k＋1)＜－＋－－＝k＋1 3 [2k＋12]2 2k2 2k＋1221 1 k＋3 1 －3k－1－[＝－＝＜0，－k＋13]2k2 2k＋1 3 2k＋13k22k2所以f(k＋1)＜g(k＋1)．由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．a n 111．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝＋－1 且a n＞0，n∈2 a nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想{a n}的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．解：(1)当n＝1 时，a1 1由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0.122 a1所以a1＝3－1(a1＞0)．a2 1当n＝2 时，由已知得a1＋a2＝＋－1，2 a2将a1＝3－1 代入并整理得a2＋2 3a2－2＝0.所以a2＝5－3(a2＞0)．Earlybird同理可得a3＝7－ 5.猜想a n＝2n＋1－2n－1(n∈N*)．(2)证明：①由(1)知，当n＝1,2,3 时，通项公式成立．②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，即a k＝2k＋1－2k－1.a k＋1 1 a k 1由a k＋1＝S k＋1－S k＝＋－－，2 a k＋1 2 a k将a k＝2k＋1－2k－1代入上式并整理，得a k＋2 1＋2 2k＋1a k＋1－2＝0.解得a k＋1＝2k＋3－2k＋1(负值舍去)．即当n＝k＋1 时，通项公式也成立．由①和②，可知对所有n∈N*，a n＝2n＋1－2n－1都成立．212．已知函数f(x)＝a ln x＋(a∈R)．x＋1(1)当a＝1 时，求f(x)在[1，＋∞)上的最小值．1 1 1 1(2)求证：ln(n＋1)＞＋＋＋…＋.3 5 7 2n＋12解：(1)当a＝1 时，f(x)＝ln x＋，定义域为(0，＋∞)．x＋11 2 x2＋1因为f′(x)＝－＝＞0，x x＋1 2 x x＋12所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在x∈[1，＋∞)内的最小值为f(1)＝1.(2)证明：当n＝1 时，ln(n＋1)＝ln2，因为3ln2＝ln8＞1，1所以ln2＞，即当n＝1 时，不等式成立．3假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，1 1 1 1ln(k＋1)＞＋＋＋…＋成立．3 5 7 2k＋1Earlybirdk＋2 1 1 那么，当n＝k＋1 时，ln(k＋2)＝ln(k＋1)＋ln ＞＋＋…＋k＋1 3 51 k＋2＋ln .2k＋1 k＋12根据(1)的结论可知，当x＞1 时，ln x＋＞1，x＋1x－1即ln x＞.x＋1k＋2 k＋2 1令x＝，所以ln ＞，k＋1 k＋1 2k＋31 1 1 1则有ln(k＋2)＞＋＋…＋＋，3 5 2k＋1 2k＋3即当n＝k＋1 时，不等式也成立．综上可知不等式成立．13．设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，g n＋1(x)＝g(g n(x))，n∈N*，求g n(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围．x解：由题设得，g(x)＝(x≥0)．1＋xx(1)由已知，g1(x)＝，1＋xx1＋x xg2(x)＝g(g1(x))＝＝，x1＋2x1＋1＋xx xg3(x)＝，…，可猜想g n(x)＝.1＋3x1＋nx 下面用数学归纳法证明．x①当n＝1 时，g1(x)＝，结论成立．1＋x②假设n＝k时结论成立，Earlybirdx即g k(x)＝.1＋kx那么，当n＝k＋1 时，xg k x1＋kx xg k＋1(x)＝g(g k(x))＝＝＝，1＋g k x x1＋k＋1x1＋1＋kx即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，ax即ln(1＋x)≥恒成立．1＋xax设φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，1＋x1 a x＋1－a则φ′(x)＝－＝，1＋x1＋x 2 1＋x2当a≤1 时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1 时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增．又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0 在[0，＋∞)上恒成立，ax∴a≤1 时，ln(1＋x)≥恒成立(仅当x＝0 时等号成立)．1＋x当a>1 时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)≤0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，∴φ(a－1)<φ(0)＝0，即a>1 时，存在x>0，使φ(x)<0，ax∴ln(1＋x)≥不恒成立．1＋x综上可知，实数a的取值范围是(－∞，1]．。
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课时作业40 数学归纳法1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( D )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋4(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2解析：观察可知，等式的左端是n 2个连续自然数的和，当n ＝k 时为1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时为1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.2．如果命题P (n )(n ∈N *)对n ＝k (k ∈N *)成立，则它对n ＝k ＋1也成立，现已知P (n )对n ＝4不成立，则下列结论中正确的是( D )A ．P (n )对任意n ∈N *成立B ．P (n )对n ＞4成立C ．P (n )对n ＜4成立D ．P (n )对n ≤4不成立解析：由题意可知P (n )对n ＝3不成立(否则n ＝4也成立)，同理可推得P (n )对n ＝2，n ＝1也不成立，故选D.3．(2019·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( B )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：左边求和可得1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1， 右边＝12764＝2－164，故2－12n －1＞2－164，即12n －1＜164＝126，所以2n －1＞26，解得n ＞7.所以初始值至少应取8.4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，利用归纳法假设证明n ＝k ＋1时，只需展开( A )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．5．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( D )A ．若f (1)＜1成立，则f (10)＜100成立B ．若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立C ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立D ．若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立解析：由条件可知不等式的性质只对大于或等于号成立，所以A 错误；若f (1)≥1成立，则得到f (2)≥4，与f (2)＜4矛盾，所以B 错误；当f (3)≥9成立，无法推导出f (1)，f (2)，所以C 错误；若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立，正确．6．(2019·九江模拟)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72，则其一般结论为 f (2n)＞n ＋22(n ≥2，n ∈N *) .解析：观察规律可知f (22)＞2＋22，f (23)＞3＋22，f (24)＞4＋22，f (25)＞5＋22，…，故得一般结论为f (2n)＞n ＋22(n ≥2，n ∈N *)．7．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝ 5 ；当n ＞4时，f (n )＝ 12(n ＋1)(n －2) (用n 表示)．解析：由题意知f (3)＝2，f (4)＝5，f (5)＝9，可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数，所以f (4)－f (3)＝3，f (5)－f (4)＝4， 猜测得出f (n )－f (n －1)＝n －1(n ≥4)． 有f (n )－f (3)＝3＋4＋…＋(n －1)， 所以f (n )＝12(n ＋1)(n －2)．8．已知f (m )＝1＋12＋13＋…＋1m (m ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n )＞n2时，f (2k＋1)－f (2k)＝ 12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 .解析：当n ＝k 时，f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12k ，当n ＝k ＋1时，f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1，所以f (2k ＋1)－f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12k ＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1. 9．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n4(n ＋1)(n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，等式左边＝12×1×(2×1＋2)＝18，等式右边＝14(1＋1)＝18，等式左边＝等式右边，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时等式成立，即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＝k4(k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2]＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14(k ＋2) ＝k ＋14[(k ＋1)＋1]. 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n ∈N *，等式都成立．10．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *. (1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明． 解：(1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1， 所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118， 所以f (2)＜g (2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216， 所以f (3)＜g (3)．(2)由(1)猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立， ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时不等式成立， 即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3＜32－12k 2. 那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3＜32－12k 2＋1(k ＋1)3. 因为f (k ＋1)－g (k ＋1)＜32－12k 2＋1(k ＋1)3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－12(k ＋1)2＝12(k ＋1)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k 2－1(k ＋1)3＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2＜0， 所以f (k ＋1)＜g (k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立．11．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝a n 2＋1a n －1且a n ＞0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性． 解：(1)当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 21＋2a 1－2＝0.所以a 1＝3－1(a 1＞0)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得 a 22＋23a 2－2＝0. 所以a 2＝5－3(a 2＞0)． 同理可得a 3＝7－ 5.猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)证明：①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立．②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，通项公式成立，即a k ＝2k ＋1－2k －1. 由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k ，将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理， 得a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0.解得a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1(负值舍去)． 即当n ＝k ＋1时，通项公式也成立．由①和②，可知对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．12．已知函数f (x )＝a ln x ＋2x ＋1(a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )在[1，＋∞)上的最小值． (2)求证：ln(n ＋1)＞13＋15＋17＋…＋12n ＋1.解：(1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋2x ＋1，定义域为(0，＋∞)．因为f ′(x )＝1x －2(x ＋1)2＝x 2＋1x (x ＋1)2＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )在x ∈[1，＋∞)内的最小值为f (1)＝1. (2)证明：当n ＝1时，ln(n ＋1)＝ln2， 因为3ln2＝ln8＞1，所以ln2＞13，即当n ＝1时，不等式成立． 假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时， ln(k ＋1)＞13＋15＋17＋…＋12k ＋1成立．那么，当n ＝k ＋1时，ln(k ＋2)＝ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＞13＋15＋…＋12k ＋1＋ln k ＋2k ＋1.根据(1)的结论可知，当x ＞1时，ln x ＋2x ＋1＞1，即ln x ＞x －1x ＋1.令x ＝k ＋2k ＋1，所以ln k ＋2k ＋1＞12k ＋3，则有ln(k ＋2)＞13＋15＋…＋12k ＋1＋12k ＋3，即当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 综上可知不等式成立．13．设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数． (1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N *，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围． 解：由题设得，g (x )＝x 1＋x (x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x＝x1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可猜想g n (x )＝x1＋nx .下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x，结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立， 即g k (x )＝x1＋kx .那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k (x )1＋g k (x )＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋(k ＋1)x ， 即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立． (2)已知f (x )≥ag (x )恒成立， 即ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a(1＋x )2＝x ＋1－a (1＋x )2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增． 又φ(0)＝0，∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )≤0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0，即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， ∴ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立．综上可知，实数a的取值范围是(－∞，1]．。