概率统计4.2

2 n
n! k n k E[ X ( X 1)] k (k 1) p (1 p) k !(n k )! k 0
n
E( X 2 ) np n(n 1) p
2
n(n 1) p 2 Cnk22 p k 2 (1 p)nk n(n 1) p 2
引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发 子弹击中的环数分别为： 甲 10, 7, 9, 8, 10, 6,
乙
8, 7, 10, 9, 8, 8,
问哪一个射手的技术较好？
解 首先比较平均环数 甲 = 8.3, 乙 = 8.3
再比较稳定程度 甲：2 (10 8.3) (9 8.3) (8 8.3)
2c1c2 E ( X EX )(Y EY )
2 2
c D( X ) c D(Y ) 2c1c2 [ E ( XY ) EX EY ]
2 1
特别地，若X ,Y 相互独立，则 2 2 D(C1 X C2Y ) C1 D( X ) C2 D(Y )
若 X1 ,, X n 相互独立， a1 , a2 ,, an , b 为常数

甲炮射击结果
乙较好
乙炮射击结果
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .
为此需要引进另一个数字特征,用它来度 量随机变量取值在其平均值的离散程度. 那么如何来描述随机变量取值与其平均值的 离散程度？ 我们知道，若 a b 越小，则a与b越接近 ， 我们考虑用 X EX 来描述X与EX的离散程度。 但是由于绝对值讨论的不方便，考虑 用 X EX 2 2 X EX 而 为X的二次函数，仍是随机变量. 考虑用 EX EX 2 把它称为X的方差
EX (a b) / 2
2 b x 1 2 1 2 2 dx (a ab b ) f ( x) I (a x b) EX a ba 3 ba
2 ( b a ) DX EX 2 ( EX )2 . 12
4.指数分布Exp()：
f ( x) e x I ( x 0)
§4.2 方差
上一讲我们介绍了随机变量的数学期望， 它体现了随机变量取值的平均水平，是随机 变量的一个重要的数字特征.
但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.
例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙 两台仪器各测量10次，将测量结果X 用坐标上的 点表示如图：

测量结 果的均 值都是
t2 2
t2 2
dt

2


1 e 2
t2 2
dt
常见随机变量的方差
分布
参数为p 的 0-1分布 B(n,p) P()
概率分布
P ( X 1) p P ( X 0) 1 p
方差
p(1-p)
nk
P( X k ) C p (1 p)
E (Y ) 0, D(Y ) 0.2
例6 在 [0, 1] 中随机地取两个数 X , Y , 求 D (min{ X ,Y }) 解 f ( x, y ) 1, 0 x 1,0 y 1
0, 其它
E(min{X , Y }) min{x, y}dxdy
2 D ai X i b ai D( X i ) i1 i1 若X ,Y 相互独立 D( X Y ) D( X ) D(Y )
则
n n
E ( XY ) E ( X ) E (Y )
对任意常数C, D (X ) E(X – C)2 , 当且仅当C = E(X )时等号成立
P (X = EX)=1 D (X ) = 0 称为X 依概率 1 等于常数 E(X)
则
X i ~ N (i , i2 ), i 1, 2,, n独立，ci为常数，
2 2 c X ~ N ( c , c i i i i i i ) i 1 i 1 i 1 n n n
2)
e , x 0, f ( x) 其它 0,
x

2
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
2
三、方差的性质
D (c ) = 0
D (cX ) = c2D(X)
D(c1X+c2 ) = c12D(X)
2 D(c1 X c2Y ) c12 D( X ) c2 D (Y )
a


甲仪器测量结果

a
a
乙仪器测量结果
较好
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优 劣，你认为哪台仪器好一些呢？
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹， 其落点距目标的位置如图：

k 1
4
k
EX pk
2
定义 若E [(X – EX)2]存在, 则称其为随机 变量 X 的方差, 记为D X 或 Var (X ) 即 D X = E {(X – EX)2}
DX 称为 X 的均方差或标准差.
两者量纲相同 DX —— 描述 r.v. X 的取值偏离平均值
的平均偏离程度 —— 数（非负）

为 X 的标准化随机变量. 显然，
E ( X ) 0, D( X ) 1


仅知 r.v.的期望与方差 并不能确定其分布
例如
X
-1
0.1
0
0.8
1
与
0.1 有相同的 期望方差 E ( X ) 0, D( X ) 0.2
Y
P
-2
0
2
但是分布 却不相同
P
0.025 0.95 0.025
2
n
X Xi
i 1
n
DX DX i p(1 p) np(1 p)
i 1
n
i 1
2. 泊松分布P()：
k 1 e EX k e k! k 0 k 1 ( k 1)!
k

E( X ) E X ( X 1) EX
解 (1)
f ( x)dx 0 ( Ax
1

1
2
Bx)dx 1
1 xf ( x)dx 0 x( Ax Bx)dx 2 A B 1 A 6, 3 2 A B 1 B6 4 3 2
2 2 2
(7 8.3) (6 8.3) 13.34
2 2
乙： (10 8.3) (9 8.3) 3 (8 8.3)
2 2
2
(7 8.3) 5.34
2
乙比甲技术稳定，故乙技术较好.
1 2 2 2 甲 6 [2 (10 8.3) (9 8.3) (8 8.3) 2 2 (7 8.3) (6 8.3) ]
1 fY ( y ) e 2 6
( y 2.4) 2 24
, y
例5 已知X ,Y 相互独立, 且都服从 N (0,0.5), 求 E( | X – Y | ). 解
X ~ N (0,0.5), Y ~ N (0,0.5) E ( X Y ) 0, D( X Y ) 1
k n k
k 0,1,2,, n
np(1-p)
k e P( X k ) k! k 0,1,2,

分布
概率密度
方差
1 2 , a x b, (b a) 区间(a,b)上 f ( x) b a 的均匀分布 12 0 , 其它
Exp() N(,
正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，
n n n n 2 2 E ci X i ci i , D ci X i ci i i 1 i 1 i 1 i 1
c X
i 1 i
n
i
~ N ( ci i , c )

故 X Y ~ N (0,1)
E (| X Y |) 1 |z| e 2
z2 2
dz
2 2
0

ze
z2 2
dz
2

标准化随机变量
设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X ) 都存在, 且D(X ) 0, 则称
X E( X ) X D( X )
k 2
n
DX EX ( EX ) np n(n 1) p n p
2 2 2 2
2
np(1 p)
解法二: 设
则
1 第i次试验事件A发生 Xi 0 第i次试验事件A不发生
DX i E ( X ) EX i
2 i 2
p p p(1 p)
EX 1 DX
2
5. 正态分布N(, )
2
D ( X ) ( x )
x 令 t

2
1 e 2
( x )2 2 2
dx

t

源自文库

2 2
1 2 td e 2
2
1 e 2
进一步比较平均偏离平均值的程度
13.34 / 6 2.22
x
k 1
5
k
EX pk
2
1 2 2 乙 [(10 8.3) (9 8.3) 6 E [X - EX]2 2 2 3 (8 8.3) (7 8.3) ]
5.34 / 6 0.89
x
0
1
xdydx ydxdy
1 1 1 x 0 y
0 x 1 0 y 1
1
0 1
1 / 3.
E (min { X , Y }) 0
1 1 2 x
2
x dydx y dxdy
1 1 2 0 y
1/ 6.
E min { X , Y } E min{ X , Y }
i 1 i 1 2 i 2 i
n
n
在已知某些分布类型时,若知道其期望 和方差,便常能确定分布.
例4 已知 X 服从正态分布, E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y =1 – 2 X , 求Y 的密度函数.
解
E (Y ) 1 2 1.7 2.4, D(Y ) 4 3 12
2

k e E X ( X 1) k (k 1) k! k 0
E( X )
2 2
2 e k 2 ( k 2)!
2 k 2
2
DX E ( X ) EX
2
3. 均匀分布U(a, b)：
方差的求法
（ａ）（利用定理４.１）
若 X 为离散型 R.v.，分布律为 P( X xk ) pk , (k 1,2,)
DX xk E ( X ) pk
2 k 1
若 X 为连续型R.v. ，概率密度为 f (x)
DX x EX
2
二、几个重要r.v.的方差
1. 二项分布B(n, p)：
EX np
k 0.1,...n
k k P{X k} Cn p (1 p)nk
E( X 2 ) E[ X ( X 1)] EX
(n 2)! k 2 nk n(n 1) p p (1 p) k 2 (k 2)!( n k )!
2 2
D(min{ X , Y })
1 / 18.
例7 已知 X 的 d.f.为
Ax Bx, 0 x 1, f ( x) 其它 0,
2
其中 A ,B 是常数，且 E (X ) = 0.5.
(1) 求 A ,B.
(1) 设 Y = X 2, 求 E (Y ),D (Y )
f ( x )dx
（ｂ）计算方差的常用公式
D( X ) E ( X ) EX
2
2
证明:
DX E( X EX ) E{X 2 X EX [EX ] }
2 2 2
E ( X ) 2 EX EX EX
2
2
E ( X ) EX
2
2