第15届中环杯9年级选拔赛试题
2015第十五届中环杯三年级初赛详解
第十五届“中环杯”小学生思维能力训练活动三年级选拔赛1.计算：3?95＋4?96＋5?97＋6?98＋7?99－4985?＝__________【答案】9980【解析】考点：巧算方法一：3?95+4?96+5?97+6?98+7?99-4985?=（3+4+5+6+7）?97-3?-4?+6?+7?-5?97?=25?97-6-4+6+14-15?97=(25-15)?97+10=9970+10=9980方法二：3譢ul0（1000－5）＋4譢ul0（1000－4）＋5譢ul0（1000－3）＋6譢ul0（1000－2）＋7譢ul0（1000－1）－（5000－15）?＝3000－15＋4000－16＋5000－15＋6000－12＋7000－7－15000＋45 ＝25000－15000－30－28－7＋45＝10000＋15－35＝10000－20＝99802. 一个数除以 20的商是 10，余数是 10，这个数为__________【答案】210【解析】考点：除法运算被除数?0=10 (10)则：被除数=20?0+10=2103. 如图是一个美术馆的俯视图，每个“譢u8221?表示 A、B、C、D四人中的一个人，在美术馆中央是一根大石柱。
已知 A看不到任何人，B只能看到 C，C既可以看到 B也可以看到 D，D只能看到 C。
那么，__________在 P点（填 A、B、C或 D）A A A ADB C B C B如图 1 如图 2 如图 3 如图 4 【答案】C【解析】考点：逻辑推理由A看不到任何人，则A应该在最上面（如图1）由 B只能看到 C，则 B应该在右下方（如图 2）由 C既可以看到 B也可以看到 D，则 C应该在左下方（如图 3）由D只能看到 C，则 D在左边（如图 4）则：P点为 C4.甲、乙两人相约去餐厅吃饭，由于这家餐厅生意火爆，所以甲到了之后就先去拿了一个等位号码，顺便等乙。
第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛9年级B卷附答案
---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得一份试卷。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。
3. 请将答案写在本卷上。
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4. 若计算结果是分数，请化至最简。
九年级地方晋级赛复赛B 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．将4.31×10-5写成小数的形式，则其小数点后第四位数字是（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．42．如图，在方格纸中选择标有序号①②③④的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成 的新图形为中心对称图形，该小正方形的序号是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④3．如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（－1，0）．以点C 为位 似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2 倍．设点A ′的对应点A 的纵坐标是1.5，则点A ′的纵坐标是（ ） A ．3 B ．－3 C ．－4 D ．4第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 4．如图，已知∠MON =60°，OP 是∠MON 的角平分线，点A 是OP 上一点，过点A 作ON 的 平行线交OM 于点B ，AB =4．则直线AB 与ON 之间的距离是（ ）A ．3B ．2C ．32D ．45．如图，圆O 为△ABC 的外接圆，其中点D 在弧AC 上，且OD ⊥AC ，若∠A =36°，∠C = 60°，则∠BOD 的度数为（ ）A ．132°B ．144°C ．156°D ．162° 6．已知122432+--=--+x Bx A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（ ）A ．7B ．9C ．13D ．57．如图，直线y 1=kx +b 过点A （0，2），且与直线y 2=mx 交于点P （1，m ），则不等式组 mx ＞kx +b ＞mx －2的解集是（ ）A ．x ＞1B ．0＜x ＜2C ．0＜x ＜1D ．1＜x ＜2 8．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC =2，O 为AC 中点，若点D 在直线BC 上运动，连接OE ，则在点D 运动过程中，线段OE 的最小值是为（ ） A ．21 B ．22C ．1D ．2第7题图 第8题图 第9题图---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------9．如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥AD ，点E 、F 分别在射线AD 、BC 上，若点E 与点B 关于AC 对称，点E 与点F 关于BD 对称，AB =1，则cos ∠AGB 等于（ ）A ．213+ B ．222- C ．422- D ．46 10．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，点A 是函数y =x1（x ＜0）图象上一点，AO 的延长线交函数y =x k 2（x ＞0，k 是不等于0的常数）的图象于点C ，点A 关于y 轴的对称点为A ′，点C 关于x 轴的对称点为C ′，CC ′交x 轴于点B ，连接AB 、AA ′、 A ′C ′．若△ABC 的面积等于6，则由线段AC ，CC ′，C ′A ′，A ′A 所 围成的图形的面积等于（ ）A ．8B ．10C ．310D ．46二、填空题（每小题5分，共30分）11．若2m =3，4n =8，则2m -2n 的值是____________．12．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿直线l 按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正 方形的中心O 所经过的路径长为____________．第12题图 第13题图13．如图，抛物线y =ax 2－4和y =－ax 2+4都经过x 轴上的A 、B 两点，两条抛物线的顶点分别 为C 、D ．当四边形ACBD 的面积为40时，a 的值为_____________．14．m 、n 是两个连续自然数，且q =mn ，p =m q n q -++，则p 的值是 ．（填 “奇数”、“偶数”或“奇偶都可以”）15．甲、乙、丙三个箱子原本各装有相同数量的小球，已知甲箱内的红球占甲箱内小球总数的41，乙箱内没有红球，丙箱内的红球占丙箱内小球总数的127．小荣将乙、丙两箱内的球 全部倒入甲箱后，要从甲箱内取出一球，若甲箱内每个球被取出的机会相等，则小荣取出 的球是红球的概率为_____________．---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------16．如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接OH ，FH ，EG 与FH 交于点M ， 对于下面三个结论：①GH ⊥BE ；②S 正方形ABCD ：S 正方形ECGF =1：2；③EM ：MG =1：（1+2），其中正确结论的序号为 ．三、解答题（共5小题，共50分）17．请分别用配方法和因式分解法解方程：6x 2+7x －3=0．（8分） 配方法： 因式分解法：18．已知a ，b ，c ，d 四个数成比例，且a ，d 为外项．试说明点（a ，b ），（c ，d ）和坐标原点 O （0，0）在同一条直线上．（9分）19．如果有理数m 可以表示成2x 2－6xy +5y 2（其中x 、y 是任意有理数）的形式，我们就称m 为 “世博数”．证明：两个“世博数”a 、b （b ≠0）之商也是“世博数”．（10分）20．如图，△ABC 中，BD 为AC 边上的中线，BE 平分∠CBD ，AF ⊥BE ，分别交BC 、BE 、BD 于F 、G 、H ．（1）求证：CF =2DH ；（4分）（2）若AB =BC ，cos ∠BCA =53，DE =4，求HD 的长．（6分）---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------21．在平面直角坐标系中，以D （－4，7）为圆心的⊙D 与y 轴相切于点Q ，与x 轴交于A 、 B 两点，其中点B 坐标为（－1，0）．以CD 为对称轴的抛物线与⊙D 交于A 、B 两点，点 C 坐标为（－4，9），CD 与x 轴交于点H ． （1）求抛物线和直线AC 的解析式；（3分） （2）P 为直线AC 上方抛物线上一点，当S △APC =92S △AHC 时，求点P 坐标；（4分） （3）PM ⊥AC 于点M ，PE ⊥x 轴于点E 且与AC 交于点N ，△PMN 的周长为l ，求l 的最大 值．（6分）九年级B 卷答案四、选择题（每小题4分，共40分）1.A2.B3.B4.C5.C6.C7.D8.B9.B 10.B 7.由于直线y 1=kx +b 过点A （0，2），P （1，m ），则有⎩⎨⎧==+,2,b m b k ，解得⎩⎨⎧=-=.2,2b m k∴y 1=（m －2）x +2．故所求不等式组可化为：mx ＞（m －2）x +2＞mx －2，不等号两边同时减去mx 得，0＞－2x +2＞－2，解得：1＜x ＜2． 8.设Q 是AB 的中点，连接DQ ，∵∠BAC =∠DAE =90°， ∴∠BAC －∠DAC =∠DAE －∠DAC ， 即∠BAD =∠CAE ，∵AB =AC =2，O 为AC 中点，∴AQ =AO ，∴△AQD ≌△AOE （SAS ）， ∴QD =OE ，∵点D 在直线BC 上运动，∴当QD ⊥BC 时，QD 最小，∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B =45°，∵QD ⊥BC ，∴△QBD 是等腰直角三角形， ∴QD =22QB ，∵QB =21AB =1，∴QD =22，∴线段OE 的最小值是为22．9.如图，连接CE ，设EF 与BD 相交于点O ，由对称性可得，AB =AE =1，则BE =2，∵点E 与点F 关于BD 对称，∴DE =BF =BE =2，∴AD =1+2，∵AD ∥BC ，AB ⊥AD ，---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------AB =AE ，∴四边形ABCE 是正方形，∴BC =AB =1，∴tan ∠ADB =12211-=+=AD AB ， 在Rt △OED 中，可设OD =x ，OE = x )12(- ，∴（2）2=x 2+[x )12(-]2，解得x =2224+，∴OE =2224-，∵∠EBG +∠AGB =90°， ∠EBG +∠BEF =90°，∴∠AGB =∠BEF ，又∵∠BEF =∠DEF ，∴cos ∠AGB =DE OE =222-． 10.过A 作AD ⊥x 轴于D ，连接OA ′，∵点A 是函数y =x1（x ＜0）图象上一点，∴设A （a ，a1），∵点C 在函数y =x k 2（x ＞0，k 是不等于0的常数）的图象上，∴设C （b ，b k 2），∵AD ⊥BD ，BC ⊥BD ，∴△OAD ∽△OCB ，∴222△△)(ba OB OD S S BCO ADO ==，∵S △ADO =21，S △BOC =22k ，∴k 2=2)(ab ，∴k =－a b ，∵S △ABC =S △AOB +S △BOC =21×（－a 1）•b +22k =6，∴k 2－ab =12，∴k 2+k －12=0，解得：k =3，k =－4（不合题意舍去），∵点A 关于y 轴的对称点为A ′，点C 关于x 轴的对称点为C ′， ∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°，∴OA ′，OC ′在同一条直线上，∴S △OBC ′=S △OBC =22k =29， ∵S △OAA ′=2S △OAD =1，∴由线段AC ，CC ′，C ′A ′，A ′A 所围成的图形的面积=S △OBC +S △OBC ′+S △OAA ′=10．五、填空题（每小题5分，共30分） 11.83 12.22π 13.0.16 14.奇数 15.185 16.①③ 13.∵抛物线y =ax 2－4和y =－ax 2+4都经过x 轴上的A 、B 两点，∴点A 、B 两点的坐标分别是（－a a 2，0）、（aa 2，0）；又∵抛物线y =ax 2－4和y =－ax 2+4的顶点分别为C 、 D ．∴点C 、D 的坐标分别是（0，－4）、（0，4）；∴CD =8，AB =aa4，∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △ABC =21AB •OD +21AB •OC =21AB •CD =21×8×aa4=40，即21×8×aa 4=40，解得a =0.16．14.因为m 、n 是两个连续自然数，设m ＜n ，则n =m +1，且q =mn ，代入得： p =m m m m m m -+++++)1()1()1(=22)1(m m ++=m +1+m =2m +1； 因为m 为自然数，所以2m 为偶数，即2m +1为奇数． 15.设甲、乙、丙三箱子内原本都装有x 个小球，则甲有x 41个红球，丙有x 127个红球，则一---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------共有x 41+x 127=x 65（个）红球，甲箱内最后共有3x 个小球，因此取出红球的概率为 185365=x x ．16.∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =DC ，∠BCE =90°，同理可得CE =CG ，∠DCG =90°， ∴△BCE ≌△DCG ，∴∠BEC =∠DGC ，∵∠EDH =∠CDG ，∠DGC +∠CDG =90°， ∴∠EDH +∠BEC =90°，∴∠EHD =90°，∴HG ⊥BE ，故①正确； 易证得△BGH ≌△EGH ，∴BH =EH ，又∵O 是EG 的中点，∴HO21BG ， 设EC 和OH 相交于点N ．设HN =a ，则BC =2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC =b ，CD =2a ，∵OH ∥BC ，∴△DHN ∽△DGC ，∴CG HN DC DN =，即ba a ab 222=-，即a 2+2ab －b 2=0，解得：a =2222+-b =（－1+2）b ，或a =（－1－2）b （舍去），则ba =2－1；则S 正方形ABCD ：S 正方形ECGF =（2－1）2=3－22，故②错误；∵EF ∥OH ，∴△EFM ∽△OMH ，∴b a b OH EF OM EM +==2，∴ba bOE EM 32+=， b a bEG EM 3+=，∴1212121212+=+-=+=+=b a b a b MG EM ，故③正确． 因此正确的结论是①③．六、解答题（共5小题，共50分）17.解：配方法：6x 2+7x －3=0，x 2+67x =21，（x +127）2=21+14449=144121，故x +127=±1211，解得：x 1=－23，x 2=31．因式分解法：6x 2+7x －3=0，6x 2+9x －2x －3=0，3x （2x +3）－（2x +3）=0，(2x +3)(3x －1)=0， 解得x 1=－23，x 2=31．（只写了一种正确方法的得4分） 18.解：设经过（0，0）和（a ，b ）的直线是y =kx ，则b =ak ，则k =ab，设经过（0，0）和（c ， d ）的直线的解析式是：y =mx ，则d =cm ，解得：m =cd，∵a ，b ，c ，d 四个数成比例， ∴a b =cd，∴k =m ，则直线y =kx 和直线y =mx 是同一直线，即点（a ，b ），（c ，d ）和坐 标原点O （0，0）在同一条直线上．19.证明：∵m =2x 2－6xy +5y 2=（x －2y ）2+（x －y ）2，其中x 、y 是有理数，∴“世博数”m =p 2+q 2（其中p 、q 是任意有理数），只须p =x －2y ，q =x －y 即可．∴对于任意的两个“世博数”a 、b ，不妨设a =j 2+k 2，b =r 2+s 2，其中j 、k 、r 、s 为任意给定的有理数，因此有：22222222222)())((s r s r k j s r k j b a +++=++==22222)()()(s r kr js ks jr +-++=222)(s r ks jr +++222)(s r kr js +-也是 “世博数”．20.（1）证明：取AF 的中点M ，连接MD ，∵AD =DC ，∴CF =2MD ，且MD ∥BC ， ∴∠DMH =∠BFH ，又∵∠BGH =∠BGF =90°，∠HBG =∠FBG ， ∴∠BHG =∠BFH ，而∠DMH =∠BFH ，∠DHM =∠BHG ，∴∠DMH =∠DHM ，∴DH =DM ． 而CF =2MD ，∴CF =2DH ；---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------（2）解：过E 作EN ⊥BC 于N ，∵AB =BC ，AD =DC ，∴BD ⊥AC ，而BE 平分∠CBD ，EN ⊥BC ，∴EN =DE =4，在Rt △CEN 中，cos ∠BCA =53=CE CN ，∴设CN =3k ，则CE =5k ， 得EN =4k =4．∴k =1，CE =5，CD =9，在Rt △BCD 中， cos ∠BCA =53=BC CD ，∴BC =15，BD =12， 又∵∠BHG =∠BFH ，∴BH =BF ，设DH =x ，则FC =2x ，BH =12－x ，BF =15－2x ．由12－x =15－2x ，得x =3，∴HD =3．21.解：（1）设抛物线的解析式为y =a （x +4）2+9．∵将B （－1，0）代入得：9a +9=0，解得；a =－1，∴解析式为y =－（x +4）2+9，即y =－x 2－8x －7．∵点A 与点B 关于x =－4对称， B （－1，0）∴A （－7，0）．设直线AC 的解析式为y =kx +b ．∵将A （－7，0）、C （－4，9）代入得：⎩⎨⎧=+-=+-,94,07b k b k 解得：k =3，b =21，∴直线AC 的解析式为y =3x +21．（2）∵AH =3，CH =9，∴S △AHC =2279321=⨯⨯．∵S △APC =92S △AHC ，∴S △APC =22792⨯=3．设p （a ，－a 2－8a －7），N （a ，3a +21）．则PN =－a 2－8a －7－（3a +21）=－a 2－11a －28．连P A 、PC ，则S △APC =21PN •AE+21PN •EH=21PN •AH =3，∴21×（－a 2－11a －28） ×3=3，解得a 1=－5，a 2=－6．∴点P （－5，8）或（－6，5）． （3）∵由（2）可知PN =－a 2－11a －28=－（a +211）2+49．∴PN 的最大值为49．∵EN ∥CH ，∴∠ACH =∠ANE ．∵∠PNM =∠ENA ，∴∠PNM =∠ACH ．又∵∠PMN = ∠AHC =90°，∴△PMN ∽△AHC ．∴PM ：MN ：PN =HA ：CH ：CA =1：3：10． ∴l =PN ×204510181010449101031+=+⨯=++．。
第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛附答案
P 1 B ． C ．P 3 D ．P 4
第2题图 第3题图 第4题图
．如图，圆上有A 、B 、C 三点，直线l 与圆相切于点CD 平分∠ACB ，且与=80°，=60°ADC 的度数为（ ⌒
BC 80° B ．D ．95°
．如图，△OAB 与△OCD 为位似中心的位似图形，相似比为1：4，∠AD ＜tan α＜334
3
3，与直
第13题图 第14题图 第16题图
．如图，将半径为5的半圆的直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，直到半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度为 ．．正数m ，n 满足m +的值为
42016
8
23
≈1.414，≈1.732）
备用图
、AB 、AD 三次反弹后整理得：x 2－2x +2=0，5，过D 作DE ⊥x 轴，∴无论k 取何
-=-=.1,
1y x 的图象的示意图如图，
轴的交点为B （+-n n =90°，=AD － 圆的周长，则圆心O 运动路径的长度为：
n
）－3=0，。
第15届中环杯九年级决赛
PM 4a 。容易证明 PQ 为 ABC 的中位线，所以 PQ 1 AB 5a 。结合
2
PM PQ
4a 5a
MQ
a
。容易证明
DQM
∽EAD
，所以
QM AD
DM ED
1 ，所以
2
AD 2QM 2a 。而 AQ 1 AB 5a ，所以 QD 3a 。 DBF 被 QMP 所截，由梅涅劳斯
ab
cd
2
1 2
ab
1 2
cd
2 SABD
SCBD
2S ABCD
，分母为
ad
bc
2 sin 60
1 2
ad
sin 60
1 bc sin 60 2
2 sin 60
SADC
SABC
2 sin 60
S ABCD
，所以
ab cd 2SABCD sin 60 3
ad bc
2 sin 60
S ABCD
p 2m1 1
p 2m2 2
p 2mo o
，则
g n n2
p 2m2 2
p 2mo o
22k 1
p 2m1 1
p 2m2 2
p 2mo o
2
，
22k 1 2
p 2m1 1
2
p 2mo 2 o
22k 1
p 2m1 1
p 2mo o
g
22k 1
第 15 届中环杯决赛试题解析（九年级） 一、填空题（本大题共 10 小题，每题 6 分，共 60 分）：
1. 计算：
6 33 6
________.
3 9 3 4 2 3 3 1 3 2 1
第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛九年级A卷复赛(有答案)
第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得一份试卷。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。
3. 请将答案写在本卷上。
考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
九年级地方晋级赛复赛A 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分） 1．252用科学记数法可以表示为（ ） A ．8×10-1B ．8×10-2C ．2.3×10-1D ．2.3×10-22．如图，O 为线段AB 的中点，AB =4cm ，P 1、P 2、P 3、P 4到点O 的距离分别是1cm 、2cm 、 2.8cm 、1.7cm ，下列四点中能与A 、B 构成直角三角形的顶点是（ ） A ．P 1 B ．P 2 C ．P 3 D ．P 4第2题图 第3题图 第4题图3．如图，圆上有A 、B 、C 三点，直线l 与圆相切于点A ，CD 平分∠ACB ，且与l 交于点D ，若⌒AB =80°，⌒BC =60°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．80°B ．85°C ．90°D ．95°4．如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1：4，∠OCD =90°， CO =CD ．若点B 的坐标为（1，0），则点C 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（2，4）C ．（22，22）D ．（4，2）5．方程组⎩⎨⎧=+=+6||,12||y x y x 的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．若等式23)3)(2(1-+-=---x bx a x x x （a 、b 为常数）成立，则a 、b 的值为（ ）A ．a =4，b =－3B ．a =2，b =－1C ．a =－1，b =1D ．a =－1，b =27．小梦每周有100元零用钱，一小块巧克力3元，一根棒棒糖2元．小梦的幸福值可以用公 式“幸福值=巧克力块数×棒棒糖根数”来表示，则小梦一个月可达到的幸福值最高为（ ） A ．300 B ．405 C ．416 D ．450 8．如图，矩形台球桌ABCD ，其中A 、B 、C 、D 处有球洞，已知DE =4， CE =2，BC =36，球从E 点出发，与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD 三次反弹后回到E 点，则关于tan α的说法下列正确的是（ ）A ．3≤tan α＜323 B ．343＜tan α＜323 C ．tan α=3 D ．343＜tan α＜33 9．如图，已知反比例函数y =xk的图象过Rt △ABO 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于C ，连结AD 、OC ，若△ABO 的周长为4+25，AD =2，则△ACO 的面积为（ ） A ．41 B ．21C ．1D ．210．将直线l 1：y =x 和直线l 2：y =2x +1及x 轴围成的三角形面积记为S 1，直线l 2：y =2x +1和直线l 3：y =3x +2及x 轴围成的三角形面积记为S 2，…，以此类推，直线l n ：y =nx +n －1 和直线l n +1：y =（n +1）x +n 及x 轴围成的三角形面积记为S n ，记W =S 1+S 2+…+S n ，当n 越来越大时，你猜想W 最接近的常数是（ ） A ．32 B ．21 C ．31 D ．41二、填空题（每小题5分，共30分）11．已知a 2－5a －1=0，则5（1+2a ）－2a 2=___________．12．宜君手上有24张卡片，其中12张卡片作上“O ”记号，另外12张卡片作上“X ”记号．右图表示宜君从手上拿出6张卡片放在桌面的情形，且她打算从手上剩下的卡片中抽出一 张卡片，若她手上剩下的每张卡片被抽到的概率相等，则她抽出记号为“O ” 的卡片的概率是___________． 13．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，AD 是经过A 点的一条直线，且B 、C 在AD的两侧，BD ⊥AD 于D ，CE ⊥AD 于E ，交AB 于点F ，CE =10，BD =4，则DE 的长为_________．第13题图 第14题图 第16题图14．如图，将半径为5的半圆的直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动 滚动，直到半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度为 ． 15．正数m ，n 满足m +n m mn 424--+4n =3，则2016282++-+n m n m 的值为 ．16．已知正方形ABCD 的边长为5，点E 在BC 边上运动，点G 是DE 的中点，EG 绕点E 顺 时针旋转90°得到EF ，当CE = 时，点A 、C 、F 在一条直线上．三、解答题（共5小题，共50分） 17．解不等式：)1)(221()1)(31(22+--++y y y y ＞（8分）18．如果有理数m 可以表示成2x 2－6xy +5y 2（其中x 、y 是任意有理数）的形式，我们就称m 为“世博数”．那么两个“世博数”之积也是“世博数”吗？请证明．（9分）19．如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm ，宽30cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的51，上、下边衬等宽，左、右边 衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度．（结果精确到0.1cm ，参考数据5≈2.236）（10分）20．如图①是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图②所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO 与键盘所在面的侧边BO 长均为24cm ，点P 为眼睛所在位置，D 为AO 的中点，连接PD ，当PD ⊥AO 时，称点P 为“最佳视角点”，作PC ⊥BC ，垂足C 在OB 的延长线上，且BC =12cm ．（1）当P A =45cm 时，求PC 的长；（5分）（2）若∠AOC =120°时，“最佳视角点”P 在直线PC 上的位置会发生什么变化？此时PC 的 长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732） （5分）图① 图②21．已知二次函数图象的顶点坐标为A （2，0），且与y 轴交于点（0，1），B 点坐标为（2，2），点C 为抛物线上一动点，以C 为圆心，CB 为半径的圆交x 轴于M ，N 两点（M 在N 的左 侧）．（1）求此二次函数的表达式；（3分）（2）当点C 在抛物线上运动时，弦MN 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发 生变化，求出弦MN 的长；（4分）（3）当△ABM 与△ABN 相似时，求出M 点的坐标．（6分）备用图九年级A 卷答案三、选择题（每小题4分，共40分）1.B2.B3.C4.A5.A6.B7.C8.C9.A 10.B5.当x ≥0，y ≤0时，原方程组可化为：⎩⎨⎧=-=+,6,12y x y x 解得⎩⎨⎧==;3,9y x 由于y ≤0，所以此种情况不成立；当x ≤0，y ≥0时，原方程组可化为：⎩⎨⎧=+=-,6,12y x x y 解得⎩⎨⎧=-=;9,3y x 当x ≥0，y ≥0时，⎩⎨⎧=+=+,6,12y x y x 无解；当x ≤0，y ≤0时，⎩⎨⎧=-=-,6,12y x x y 无解；因此只有一组解． 7.设巧克力和棒棒糖的数量分别为x ，y ，幸福值为W ，根据题意得：3x +2y ≤100，W =xy ，∴y =xW ， ∴3x +2x W ≤100，∴W ≤50x －23x 2=－23（x －350）2+31250，∵x ，y 为整数，∴x =16，y =26 时，W 最大=xy =416．8.如图，∵DE =4，CE =2，球从E 点出发，与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD 三次反弹后 回到E 点，∴四个三角形相似，并且相对的两个三角形全等， ∴CF =211+BC =23，∴在Rt △CEF 中，tan α=CECF =3． 9.在Rt △AOB 中，AD =2，AD 为斜边OB 的中线，∴OB =2AD =4， 由周长为4+25，得到AB +AO =25，设AB =x ，则AO =25－x ，根据勾股定理得：AB 2+OA 2=OB 2，即x 2+（25－x ）2=42， 整理得：x 2－25x +2=0， 解得x 1=5+3，x 2=5－3，∴AB =5+3，OA =5－3，过D 作DE ⊥x 轴， 交x 轴于点E ，可得E 为AO 中点，∴OE =21OA =21（5－3）（若OA =5+3， 求出结果相同），在Rt △DEO 中，利用勾股定理得：DE =21（5+3），∴k =－DE •OE =－21（5+3）× 21（5－3）=－21，∴S △AOC =21|k |=41． 10.将y =nx +n －1和y =（n +1）x +n 联立得：⎩⎨⎧++=-+=,)1(,1n x n y n nx y 解得：⎩⎨⎧-=-=.1,1y x ∴无论k 取何值，直线l n 和直线l n +1均交于定点（－1，－1），k ≠1时，l n 与l n+1的图象的示意图如图，∵y =nx +n －1与x 轴的交点为A （n n -1，0），y =（n +1）x +n 与x 轴的交点为B （1+-n n， 0），∴S n =S △ABC =21×|AB |×|－1|=21×|11|++-n nn n ×1=)1(21+n n ， 当n =1时，结论同样成立．∴W =S 1+S 2+S 3+…+S n =]11321211[21）（+++⨯+⨯⨯n n =21（1－21+21－31+…+111+-n n ）=21（1－11+n ）=121+⨯n n ．当n 越来越大时，1+n n 越来越接近与1． ∴121+⨯n n越来越接近于21，∴W 越来越接近于21．四、填空题（每小题5分，共30分）11.3 12.94 13.6 14.5π 15.20195- 16.3513.∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴∠BAD +∠CAD =90°，∵CE ⊥AD 于E ，∴∠ACE +∠CAE =90°，∴∠BAD =∠ACE ，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴AE =BD =4，AD =CE =10，∴DE =AD － AE =6．14.由图形可知，圆心先向前走OO 1的长度，圆心从O 到O 1的运动轨迹是一条直线，长度为41圆的周长，然后沿着弧O 1O 2旋转41圆的周长，则圆心O 运动路径的长度为：41×2π×5+ 41×2π×5=5π．15.∵m +4n m mn 42--+4n =3，∴m +4mn +4n －2（m +2n ）－3=0，∴（m +2n ）2－2（m +2n ）－3=0，∴（m +2n －3）（m +2n +1）=0，∴m +2n =3，m +2n ）=－1（不合题意，舍去），∴原式=2016383+-=20195-．16.过F 作FN ⊥BC ，交BC 延长线于N 点，连接AC ，∵∠DCE =∠ENF =90°，∠DEC +∠NEF =90°，∠NEF +∠EFN =90°， ∴∠DEC =∠EFN ，∴Rt △FNE ∽Rt △ECD ， ∵DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，∴DE :EF =2:1， ∴CE :FN =DE :EF =DC :NE =2:1，∴CE =2NF ，NE =21CD =25． ∵∠ACB =45°，∴当∠NCF =45°时，A 、C 、F 在一条直线上．则△CNF 是等腰直角三角形，∴CN =NF ，∴CE =2CN ， ∴CE =32NE =32×25=35．∴CE =35时，A 、C 、F 在一条直线上．五、解答题（共5小题，共50分）17.解：∵y 2+1＞0，则原不等式可化为1+3y ＞1－22-y ，解得y ＞1.2． 18.解：是的．证明如下：∵m =2x 2－6xy +5y 2=（x －2y ）2+（x －y ）2，其中x 、y 是有理数，∴“世博数”m =p 2+q 2（其中p 、q 是任意有理数），只需p =x －2y ，q =x －y 即可．∴对于任意两个“世博数”，不妨设一个为a =j 2+k 2，另一个为b =r 2+s 2，其中j 、k 、r 、 s 为任意给定的有理数，则ab =（j 2+k 2）（r 2+s 2）=（jr +ks ）2+（js －kr ）2是“世博数”．19.解一：设上、下边衬宽均为4x cm ，左、右边衬宽均为3x cm ，则（40－8x ）（30－6x ）=54×40×30．整理，得x 2－10x +5=0，解之得x =5±25，∴x 1≈0.53，x 2≈9.47（舍去），答：上、下边衬宽均为2.1cm ，左、右边衬宽均为1.6cm ． 解二：设中央矩形的长为4x cm ，宽为3x cm ，则4x ×3x =54×40×30，解得x 1=45，x 2= －45（舍去），∴上、下边衬宽为20－85≈2.1，左、右边衬宽均为15－65≈1.6，答：上、下边衬宽均为2.1cm ，左、右边衬宽均为1.6cm ．20.解：（1）如图，当P A =45cm 时，连接PO ．∵D 为AO 的中点，PD ⊥AO ，∴PO =P A =45cm ． ∵BO =24cm ，BC =12cm ，∠C =90°，∴OC =OB +BC =36cm ，PC =223645-=27（cm ）； （2）当∠AOC =120°，如图，过D 作DE ⊥OC 交BO 延长线于E ，过D 作DF ⊥PC 于F ， 则四边形DECF 是矩形．在Rt △DOE 中，∵∠DOE =60°，DO =21AO =12， ∴DE =DO •sin60°=63，EO =21DO =6，∴FC =DE =63，DF =EC =EO +OB +BC = 6+24+12=42．在Rt △PDF 中，易求得∠PDF =30°，∴PF =DF •tan30°=42×33=143， ∴PC =PF +FC =143+63=203≈34.64＞27，∴点P 在直线PC 上的位置上升了．21.解：（1）设抛物线的表达式为y =a （x －2）2．∵将（0，1）代入得：4a =1，解得a =41， ∴抛物线的解析式为y =41（x －2）2． （2）MN 的长不发生变化．理由如下：如图1所示，过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H ，连接BC 、CN ．设点C 的坐标为（a ，2)2(41-a ）．∵CH ⊥MN ，∴MH =HN ． ∵HN 2=CN 2－CH 2=CB 2－CH 2，∴HN 2=[2－2)2(41-a ]2+（a －2）2－[2)2(41-a ]2=4．∴HN =2．∴MN =4．∴MN 不发生变化．（3）①如图2所示，当点C 与点A 重合时．∵MN 经过点C ，∴MN 为圆C 的直径．∴MC =2． ∵点C （2，0），∴M （0，0）． ②如图3所示，∵△ABM ∽△ANB ，∴ABANAM AB =，即AB 2=AM •AN ． 设AM =a ，则4=a （a +4），解得：a 1=－2+22，a 2=－2－22（舍去）， 又∵点A （2，0），∴2+（－2+22）=22．∴点M 的坐标为（22，0）．③如图4所示，∵△ABN ∽△AMB ，∴AB 2=AN •AM ．设AM =a ，则4=a （a －4），解得：a 1=2+22，a 2=2－22（舍去）．又∵点A （2，0），∴2－（2+22）=－22．∴点M 的坐标为（－22，0）．。
二年级上册数学试题-第十五届中环杯初赛详解 全国通用版(含答案)PDF版
第十五届“1.计算：302928--答案：0考点：巧算（分组法）解析：按符号“＋－－＋为0。
2.两个奥特曼一起打怪兽可以攻击12次，另一个每那么_________分钟后可答案：5考点：加减乘除应用解析：两个奥特曼一起，100÷20＝5（分钟）3.观察前两个天平，衡。
A. B.答案：D考点：等量代换解析：1圆＝2五角星，个五角星。
4.小胖、小丁丁、小亚游乐场玩。
游乐场门票元；10人及以上可以买答案：800考点：付钱策略解析：若家长全买成人票（元）；若所有人全买团体票每位少付了30元，儿童每“中环杯”小学生思维能力训练活动二年级选拔赛272625242322212019++--++--+=－＋”四个为一组进行分组，每组结果为0，打怪兽，怪兽可以承受100次攻击。
其中一个奥一个每分钟可以攻击8次。
如果两个奥特曼一起钟后可以将怪兽打倒。
，每分钟可攻击12＋8＝20（次）。
那么，第3个天平的“？”处应放上_________，才能C. D.，所以1菱形＝6－2＝4五角星，答案中的小亚、小巧四个家庭共8个家长和4个小朋友场门票的收费标准是：成人票每人100元；儿童可以买团体票，每人70。
他们最少要花______人票，小朋友全买儿童票，则需：100×8＋团体票，则需70×（8＋4）＝840（元），此时儿童每位多付了20元。
要使花的钱最少，则成练活动，所以最后结果一个奥特曼每分钟曼一起开始攻击，，一共需要攻击才能使得天平平中的D 相当于4朋友，他们结伴去儿童票每人50____元购买门票。
50×4＝1000此时相当于成人则成人尽可能买团体票，儿童尽可能买儿童人（8个成人＋2个儿童）＋50×2＝800（元）5.到了冰雪宫殿开放的日梯，爱丽丝走20级台阶180秒，正好走完所有阶答案：30级考点：乘除法应用解析：20级台阶用了秒可以走：180÷6＝30（6.右图中的每个小正方形米。
第15届WMO全国复赛9年级试卷
姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。
3. 请将答案写在答题卡上。
考试完毕时，试卷、答题卡及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
九年级全国总决赛复赛（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．若a 是200.4的算术平方根，则下列关系正确的是（ ）A ．40000＜a ＜40401B ．200＜a ＜201C ．20.0＜a ＜20.1D ．14＜a ＜152．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、点D 在⊙O 上，连接AC 、BC 、AD 、CD ，若∠BAC =50°， 则∠ADC 的度数为（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°3．坐标平面内有两点P （x ，y ），Q （m ，n ），若x +m =0，y －n =0，则点P 与点Q （ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．无对称关系 4．一组数据6，6，6，6，6，添加一个数0后，方差将会（ ）A ．变大B ．变小C ．不变D ．无法确定 5．适合于（y －2）x 2+yx +2=0的非负整数对（x ，y ）的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．做自然数带余除法，有算式A ÷B =C ……27，如果B ＜100，且A －80B +21C +524=0，则A 的值为（ ）A ．2003B ．3004C ．4005D ．4359 7．如图，△AOB 和△ACD 均为正三角形，且顶点B 、D 均在双曲线xy 4=（x ＞0）上，则图 中S △OBP 等于（ ）A ．32B ．33C ．34D ．4第2题图 第7题图 第8题图8．如图，在矩形ABCD 中，AD =1，AB ＞1，AG 平分∠BAD ，分别过点B 、C 作BE ⊥AG 于点E ，CF ⊥AG 于点F ，则AE －GF 的值为（ ） A ．1 B ．22 C ．23 D ．29．如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO 的O 点是坐标原点，A 的坐标 是（－4，0），直角顶点B 在第二象限，等腰直角△BCD 的C 点在y 轴 上移动，我们发现直角顶点D 点随之在一条直线上移动，这条直线的解析 式是（ ） A ．y =－2x +1B ．y =－21x +2 C ．y =－3x －2 D ．y =－x +210．在平面直角坐标系中，直线l 平行x 轴，交y 轴于点A ，第一象限内的点B 在l 上，连接OB ，动点P 在直线OB 上运动且满足∠APQ =90°，PQ 交x 轴于点C ．点D 是直线OB 与 直线CA 的交点，点E 是直线CP 与y 轴的交点，若∠ACE =∠AEC ，PD =2OD ，则P A :PC 等于（ ）A ．515或513B ．315 C ．515或315 D ．513二、填空题（每小题5分，共30分）11．一个扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则此扇形的半径为____________．12．坐标平面内，一点光源位于A （0，5）处，线段CD ⊥x 轴，D 为垂足，C （3，1），则CD 的影长为 ．13．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB ，调整为坡度i =1：3的新传送带AC （如图所示）．已知原传送带AB 的长是24米．那么新传送带AC的长是 米．14．a ，b ，c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则计算2a +999b +1017c 的值 是_____________．15．研究表明，一种培育后能繁殖的细胞在一定的环境下有以下规律：若有n 个细胞，经过第一周期后，在第1个周期内要死去1个，会新繁殖（n －1）个；经过第二周期后，在第2 个周期内要死去2个，又会新繁殖（n －2）个；以此类推．例如，细胞经过第x 个周期后 时，在第x 个周期内要死去x 个，又会新繁殖（n －x ）个．其规律如下表：周期序号 在第x 周期后细胞总数1 n －1+（n －1）=2（n －1）2 2（n －1）－2+（n －2）=3（n －2）3 3（n －2）－3+（n －3）=4（n －3） … …当n =21时，细胞在第10周期后时细胞的总个数最多．最多是 个．姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、 ------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2， 点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，…， 重复操作依次得到点P 1，P 2，…，则点P 2010的坐标是_______________．WMO 世 界 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 （ 中 国 区 ） 选 拔 赛------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- 三、解答题（共5小题，共50分）17．利用分解因式说明256－510能被120整除．（8分）18．如图①，⊙O 的半径为r （r ＞0），若点P ′在射线OP 上，满足OP ′•OP =r 2，则称点P ′是点P 关于⊙O 的“美好点”．如图2，⊙O 的半径为2，点B 在⊙O 上，∠BOA =60°，OA =4， 若点A ′、B ′分别是点A ，B 关于⊙O 的美好点，求A ′B ′的长．（10分）图① 图②19．已知关于x 的方程x 2+bx +1=0的两实根为α、β，若α＞β，且以α2+β2、3α－3β、αβ为三边的三角形是等腰三角形，求b 的值．（10分）20．在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡的三角仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下， 它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下． （1）试问小球通过第二层A 位置的概率是多少？（5分）（2）请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B 位置和第四层C 位置 处的概率各是多少？（5分）21．如图①所示，已知y =x6（x ＞0）图象上一点P ，P A ⊥x 轴于点A （a ，0），点B （0，b ） （b ＞0），动点M 是y 轴正半轴点B 上方的点，动点N 在射线AP 上，过点B 作AB 的垂 线，交射线AP 于点D ，交直线MN 于点Q ，连接AQ ，取AQ 中点为C ． （1）如图②，连接BP ，求△P AB 的面积；（3分）（2）当Q 在线段BD 上时，若四边形BQNC 是菱形，面积为23，①求此时Q 、P 点的 坐标；（5分）②并求出此时在y 轴上找到点E 点，使|EQ －QP |值最大时的点E 的坐标．（4分）图① 图②。
第15届地方初赛9年级A卷
第15届世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得一份试卷．考试期间，不得使用计算工具或手机．2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分． 3. 请将答案写在试卷上．考试完毕时，试卷及草稿纸会被收回． 4. 若计算结果是分数，请化至最简．九年级地方晋级赛初赛A 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分） 1.若代数式11+-x x有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≠0 B ．x ≥－1 C ．x ＞－1 D ．x ≥－1且x ≠02.点（m ，n ）是反比例函数xky =上的一点，且m ，n 是方程x 2+ax －4=0的根，则反比例函数的解析式为（ ） A ．x y 1=B ．x y 1-=C ．xy 4= D ．x y 4-=3.如图，△ABC 为直角三角形，以各边为一直角边作三个等腰直角三角形，若AD =7，AF =5，则△ABC 的面积是（ ）A ．225B ．625C ．1025D ．54.如图，延长Rt △ABC 的斜边到点D ，使BD =AB ，连接CD ，若tan ∠BCD =31， 则tan ∠A 等于（ ） A ．23 B ．1 C ．31 D ．32 5.在图中的方格内填入2-4，2-3，2-1，1，4，8这六个数，使其与方格内已有的数在每行、每列以及对角线上的数字乘积都相同，则A 处应填入的数字是（ ） A ．2-4 B ．4 C ．1 D ．2-16.分式221012622++++x x x x 可取的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．不存在7.如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成．如果 两个直角三角形的两条斜边长分别为3m 和6m ，则草皮的总面积为（ ） A ．6m 2 B ．9m 2 C ．10.8m 2 D ．18m 28.如图，两弦AB 、CD 相交于点M ，且AC =CM =DM ，MB =21AM =1，则圆的直径为（ ） A ．5 B ．5 C ．10 D ．10 9.如图所示，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴负半轴相交于A 、B 两点，Q （n ，21）是二 次函数y =ax 2+bx +c 图象上一点，且AQ ⊥BQ ，则a 的值为（ ） A ．－31 B ．－21C ．－1D ．－2 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 10.如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =3．点E 从D 向C 以每秒1个单位的速度运动，以AE 为一边在AE 的右下方作正方形AEFG ．同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒2 个单位的速度运动，当经过多少秒时，直线MN 和正方形AEFG 开始有公共点？（ ） A ．35 B ．21 C ．34 D ．32二、填空题（每小题5分，共30分）11.已知A （2，0）、B （0，4），则线段AB 的对称中心为_____________． 12.若一组数据a 1，a 2，…，a n 的方差是5，则另一组数据2a 1，2a 2，…，2a n 的方差是____________． 13.有一圆柱形水池，已知水池的底面直径为4米，水面离池口2米，水池内有一小青蛙，它 每天晚上都会浮在水面上赏月，则它能观察到的最大视角为____________°． 14.如图，在四边形AECF 中，点B 在线段AF 上，点D 在线段CE 上，∠E =∠F =90°，AB =5x －4，CF =2x －3，CD =3x －2，AE =2x +3，若四边形ABCD 的面积为48，则x 的值为___________．第13题图 第14题图 第15题图15.如图（左），A 、B 、C 、D 是⊙O 的四等分点，动点P 沿O －C －D －O 的路线作匀速运动， 设运动时间为x 秒，∠APB =y °，右图表示y 与x 之间的函数关系，则点M 的横坐标 为 ． 16.如图，已知点A 是双曲线y =x1在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分 支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线y =xk（k ＜0）上运动，则k 的值是 ．三、解答题（共5小题，共50分） 17.若实数x 、y 满足012314)31(2=++++y x ，且012314)31(2=+-+-y x ，试求x 、 y 的值．（8分）18.小萍与小惠共批了200件衣服到夜市卖，两人所批的衣服数量不同，售价也不同，但全部卖 完后，两人的收入是一样的．小萍跟小惠说：“若我卖你批的衣服，则我的收入可达到36000 元．”小惠跟小萍说：“若我卖你批的衣服，则我的收入只能达到16000元．”已知小萍与 小惠所卖的衣服均为单一价，且小萍批了x 件衣服，请问两人各批了多少件衣服？（8分）19.小萍养了4只鸽子，并帮它们各做了4个笼子，且每只鸽子都有属于自己的笼子，每个笼子 只够飞进一只鸽子．傍晚时，这4只鸽子飞回笼子，若它们都不飞进属于自己的笼子里面， 请说明共有几种不同的飞法？（10分）20.如图，AD 是△ABC 的角平分线，以点C 为圆心，CD 为半径作圆交BC 的延长线于点E ，交 AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B =∠CAE ，EF :FD =4:3． （1）求证：点F 是AD 的中点；（3分） （2）求cos ∠AED 的值；（4分）（3）如果BD =10，求半径CD 的长．（5分）21.如图，抛物线的顶点是原点，抛物线经过A 点（8，－8），F 点坐标为（0，－2），直线l 为y =2，直线l 平行于x 轴．P 点是抛物线上任意一点，过P 点作PM ⊥l ，垂足为M 点． （1）求证：∠PFM =∠PMF ；（6分）（2）当三角形MPF 是等腰直角三角形时，求P 点的坐标．（6分）。
第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛含答案
---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- 第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛 --------------------------------------------------------------------------------- 考生须知： 1. 每位考生将获得一份试卷。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。
3. 请将答案写在本卷上。
考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
九年级地方晋级赛复赛A 卷 （本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．252用科学记数法可以表示为（ ） A ．8×10-1 B ．8×10-2 C ．2.3×10-1 D ．2.3×10-2 2．如图，O 为线段AB 的中点，AB =4cm ，P 1、P 2、P 3、P 4到点O 的距离分别是1cm 、2cm 、 2.8cm 、1.7cm ，下列四点中能与A 、B 构成直角三角形的顶点是（ ） A ．P 1 B ．P 2 C ．P 3 D ．P 4 第2题图 第3题图 第4题图 3．如图，圆上有A 、B 、C 三点，直线l 与圆相切于点A ，CD 平分∠ACB ，且与l 交于点D ， 若⌒AB =80°，⌒BC =60°，则∠ADC 的度数为（ ） A ．80° B ．85° C ．90° D ．95° 4．如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1：4，∠OCD =90°， CO =CD ．若点B 的坐标为（1，0），则点C 的坐标为（ ） A ．（2，2） B ．（2，4） C ．（22，22） D ．（4，2） 5．方程组⎩⎨⎧=+=+6||,12||y x y x 的解的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．若等式23)3)(2(1-+-=---x b x a x x x （a 、b 为常数）成立，则a 、b 的值为（ ） A ．a =4，b =－3 B ．a =2，b =－1 C ．a =－1，b =1 D ．a =－1，b =2 7．小梦每周有100元零用钱，一小块巧克力3元，一根棒棒糖2元．小梦的幸福值可以用公 式“幸福值=巧克力块数×棒棒糖根数”来表示，则小梦一个月可达到的幸福值最高为（ ）A ．300B ．405C ．416D ．4508．如图，矩形台球桌ABCD ，其中A 、B 、C 、D 处有球洞，已知DE =4，CE =2，BC =36，球从E 点出发，与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD三次反弹后回到E 点，则关于tan α的说法下列正确的是（ ）---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- A ．3≤tan α＜323 B ．343＜tan α＜323 C ．tan α=3 D ．343＜tan α＜33 9．如图，已知反比例函数y =x k 的图象过Rt △ABO 斜边OB 的中点D ，与直 角边AB 相交于C ，连结AD 、OC ，若△ABO 的周长为4+25，AD =2， 则△ACO 的面积为（ ） A ．41 B ．21 C ．1 D ．2 10．将直线l 1：y =x 和直线l 2：y =2x +1及x 轴围成的三角形面积记为S 1，直线l 2：y =2x +1和 直线l 3：y =3x +2及x 轴围成的三角形面积记为S 2，…，以此类推，直线l n ：y =nx +n －1 和直线l n +1：y =（n +1）x +n 及x 轴围成的三角形面积记为S n ，记W =S 1+S 2+…+S n ，当n 越来越大时，你猜想W 最接近的常数是（ ） A ．32 B ．21 C ．31 D ．41 二、填空题（每小题5分，共30分） 11．已知a 2－5a －1=0，则5（1+2a ）－2a 2=___________． 12．宜君手上有24张卡片，其中12张卡片作上“O ”记号，另外12张卡片作上“X ”记号． 右图表示宜君从手上拿出6张卡片放在桌面的情形，且她打算从手上剩下的卡片中抽出一 张卡片，若她手上剩下的每张卡片被抽到的概率相等，则她抽出记号为“O ” 的卡片的概率是___________． 13．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，AD 是经过A 点的一条直线，且B 、C 在AD 的两侧，BD ⊥AD 于D ，CE ⊥AD 于E ，交AB 于点F ，CE =10，BD =4，则DE 的长为_________． 第13题图 第14题图 第16题图 14．如图，将半径为5的半圆的直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动 滚动，直到半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度为 ． 15．正数m ，n 满足m +n m mn 424--+4n =3，则2016282++-+n m n m 的值为 ． 16．已知正方形ABCD 的边长为5，点E 在BC 边上运动，点G 是DE 的中点，EG 绕点E 顺 时针旋转90°得到EF ，当CE = 时，点A 、C 、F 在一条直线上．---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- 三、解答题（共5小题，共50分） 17．解不等式：)1)(221()1)(31(22+--++y y y y ＞（8分） 18．如果有理数m 可以表示成2x 2－6xy +5y 2（其中x 、y 是任意有理数）的形式，我们就称m 为“世博数”．那么两个“世博数”之积也是“世博数”吗？请证明．（9分） 19．如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm ，宽30cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例 相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的51，上、下边衬等宽，左、右边 衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度．（结果精确到0.1cm ，参考数据5≈2.236）（10分） 20．如图①是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图②所示的几何图形，若 显示屏所在面的侧边AO 与键盘所在面的侧边BO 长均为24cm ，点P 为眼睛所在位置，D 为AO 的中点，连接PD ，当PD ⊥AO 时，称点P 为“最佳视角点”，作PC ⊥BC ，垂足C 在OB 的延长线上，且BC =12cm ． （1）当P A =45cm 时，求PC 的长；（5分） （2）若∠AOC =120°时，“最佳视角点”P 在直线PC 上的位置会发生什么变化？此时PC 的 长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）（5分）图① 图②---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- 21．已知二次函数图象的顶点坐标为A （2，0），且与y 轴交于点（0，1），B 点坐标为（2，2）， 点C 为抛物线上一动点，以C 为圆心，CB 为半径的圆交x 轴于M ，N 两点（M 在N 的左 侧）． （1）求此二次函数的表达式；（3分） （2）当点C 在抛物线上运动时，弦MN 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发 生变化，求出弦MN 的长；（4分） （3）当△ABM 与△ABN 相似时，求出M 点的坐标．（6分） 备用图 九年级A 卷答案 三、选择题（每小题4分，共40分） 1.B 2.B 3.C 4.A 5.A 6.B 7.C 8.C 9.A 10.B 5.当x ≥0，y ≤0时，原方程组可化为：⎩⎨⎧=-=+,6,12y x y x 解得⎩⎨⎧==;3,9y x 由于y ≤0，所以此种情况不成 立；当x ≤0，y ≥0时，原方程组可化为：⎩⎨⎧=+=-,6,12y x x y 解得⎩⎨⎧=-=;9,3y x 当x ≥0，y ≥0时， ⎩⎨⎧=+=+,6,12y x y x 无解；当x ≤0，y ≤0时，⎩⎨⎧=-=-,6,12y x x y 无解；因此只有一组解． 7.设巧克力和棒棒糖的数量分别为x ，y ，幸福值为W ，根据题意得：3x +2y ≤100，W =xy ，∴y =x W ， ∴3x +2x W ≤100，∴W ≤50x －23x 2=－23（x －350）2+31250，∵x ，y 为整数，∴x =16，y =26---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- 时，W 最大=xy =416． 8.如图，∵DE =4，CE =2，球从E 点出发，与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD 三次反弹后 回到E 点，∴四个三角形相似，并且相对的两个三角形全等， ∴CF =211+BC =23，∴在Rt △CEF 中，tan α=CE CF =3． 9.在Rt △AOB 中，AD =2，AD 为斜边OB 的中线，∴OB =2AD =4， 由周长为4+25，得到AB +AO =25，设AB =x ，则AO =25－x ， 根据勾股定理得：AB 2+OA 2=OB 2，即x 2+（25－x ）2=42， 整理得：x 2－25x +2=0， 解得x 1=5+3，x 2=5－3，∴AB =5+3，OA =5－3，过D 作DE ⊥x 轴， 交x 轴于点E ，可得E 为AO 中点，∴OE =21OA =21（5－3）（若OA =5+3， 求出结果相同），在Rt △DEO 中，利用勾股定理得： DE =21（5+3），∴k =－DE •OE =－21（5+3）× 21（5－3）=－21，∴S △AOC =21|k |=41． 10.将y =nx +n －1和y =（n +1）x +n 联立得：⎩⎨⎧++=-+=,)1(,1n x n y n nx y 解得：⎩⎨⎧-=-=.1,1y x ∴无论k 取何 值，直线l n 和直线l n +1均交于定点（－1，－1），k ≠1时，l n 与l n+1的图象的示意图如图， ∵y =nx +n －1与x 轴的交点为A （n n -1，0），y =（n +1）x +n 与x 轴的交点为B （1+-n n ， 0），∴S n =S △ABC =21×|AB |×|－1|=21×|11|++-n n n n ×1=)1(21+n n ， 当n =1时，结论同样成立．∴W =S 1+S 2+S 3+…+S n = ]11321211[21）（+++⨯+⨯⨯n n =21（1－21+21－31+…+111+-n n ）= 21（1－11+n ）=121+⨯n n ．当n 越来越大时，1+n n 越来越接近与1． ∴121+⨯n n 越来越接近于21，∴W 越来越接近于21． 四、填空题（每小题5分，共30分） 11.3 12.94 13.6 14.5π 15.20195- 16.35 13.∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴∠BAD +∠CAD =90°，∵CE ⊥AD 于E ，∴∠ACE +∠CAE =90°， ∴∠BAD =∠ACE ，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴AE =BD =4，AD =CE =10，∴DE =AD － AE =6． 14.由图形可知，圆心先向前走OO 1的长度，圆心从O 到O 1的运动轨迹是一条直线，长度为41圆的周长，然后沿着弧O 1O 2旋转41圆的周长，则圆心O 运动路径的长度为：41×2π×5+ 41×2π×5=5π． 15.∵m +4n m mn 42--+4n =3，∴m +4mn +4n －2（m +2n ）－3=0，---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- ∴（m +2n ）2－2（m +2n ）－3=0，∴（m +2n －3）（m +2n +1）=0， ∴m +2n =3，m +2n ）=－1（不合题意，舍去），∴原式=2016383+-=20195-． 16.过F 作FN ⊥BC ，交BC 延长线于N 点，连接AC ， ∵∠DCE =∠ENF =90°，∠DEC +∠NEF =90°，∠NEF +∠EFN =90°， ∴∠DEC =∠EFN ，∴Rt △FNE ∽Rt △ECD ， ∵DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，∴DE :EF =2:1， ∴CE :FN =DE :EF =DC :NE =2:1，∴CE =2NF ，NE =21CD =25． ∵∠ACB =45°，∴当∠NCF =45°时，A 、C 、F 在一条直线上． 则△CNF 是等腰直角三角形，∴CN =NF ，∴CE =2CN ， ∴CE =32NE =32×25=35．∴CE =35时，A 、C 、F 在一条直线上． 五、解答题（共5小题，共50分） 17.解：∵y 2+1＞0，则原不等式可化为1+3y ＞1－22-y ，解得y ＞1.2． 18.解：是的．证明如下：∵m =2x 2－6xy +5y 2=（x －2y ）2+（x －y ）2，其中x 、y 是有理数， ∴“世博数”m =p 2+q 2（其中p 、q 是任意有理数），只需p =x －2y ，q =x －y 即可． ∴对于任意两个“世博数”，不妨设一个为a =j 2+k 2，另一个为b =r 2+s 2，其中j 、k 、r 、 s 为任意给定的有理数，则ab =（j 2+k 2）（r 2+s 2）=（jr +ks ）2+（js －kr ）2是“世博数”． 19.解一：设上、下边衬宽均为4x cm ，左、右边衬宽均为3x cm ，则（40－8x ）（30－6x ）=54×40×30． 整理，得x 2－10x +5=0，解之得x =5±25，∴x 1≈0.53，x 2≈9.47（舍去）， 答：上、下边衬宽均为2.1cm ，左、右边衬宽均为1.6cm ． 解二：设中央矩形的长为4x cm ，宽为3x cm ，则4x ×3x =54×40×30，解得x 1=45，x 2= －45（舍去），∴上、下边衬宽为20－85≈2.1，左、右边衬宽均为15－65≈1.6， 答：上、下边衬宽均为2.1cm ，左、右边衬宽均为1.6cm ． 20.解：（1）如图，当P A =45cm 时，连接PO ．∵D 为AO 的中点，PD ⊥AO ，∴PO =P A =45cm ． ∵BO =24cm ，BC =12cm ，∠C =90°，∴OC =OB +BC =36cm ，PC =223645-=27（cm ）； （2）当∠AOC =120°，如图，过D 作DE ⊥OC 交BO 延长线于E ，过D 作DF ⊥PC 于F ， 则四边形DECF 是矩形．在Rt △DOE 中，∵∠DOE =60°，DO =21AO =12， ∴DE =DO •sin60°=63，EO =21DO =6，∴FC =DE =63，DF =EC =EO +OB +BC = 6+24+12=42．在Rt △PDF 中，易求得∠PDF =30°， ∴PF =DF •tan30°=42×33=143， ∴PC =PF +FC =143+63=203≈34.64＞27， ∴点P 在直线PC 上的位置上升了．21.解：（1）设抛物线的表达式为y =a （x －2）2．∵将（0，1）代入得：4a =1，解得a =41，---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- ∴抛物线的解析式为y =41（x －2）2． （2）MN 的长不发生变化．理由如下： 如图1所示，过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H ，连接BC 、CN ． 设点C 的坐标为（a ，2)2(41-a ）．∵CH ⊥MN ，∴MH =HN ． ∵HN 2=CN 2－CH 2=CB 2－CH 2，∴HN 2=[2－2)2(41-a ]2+（a －2）2－[2)2(41-a ]2=4． ∴HN =2．∴MN =4．∴MN 不发生变化． （3）①如图2所示，当点C 与点A 重合时．∵MN 经过点C ，∴MN 为圆C 的直径．∴MC =2． ∵点C （2，0），∴M （0，0）． ②如图3所示，∵△ABM ∽△ANB ，∴AB AN AM AB =，即AB 2=AM •AN ． 设AM =a ，则4=a （a +4），解得：a 1=－2+22，a 2=－2－22（舍去）， 又∵点A （2，0），∴2+（－2+22）=22．∴点M 的坐标为（22，0）． ③如图4所示，∵△ABN ∽△AMB ，∴AB 2=AN •AM ． 设AM =a ，则4=a （a －4），解得：a 1=2+22，a 2=2－22（舍去）． 又∵点A （2，0），∴2－（2+22）=－22．∴点M 的坐标为（－22，0）．。
第十五届“中环杯”初赛五年级 试题解析
第十五届“中环杯”小学生思维能力训练活动五年级选拔赛1、已知2468135713572468m n++++++-=++++++，其中 m,，n 是两个互质的正整数，则10______m n +=。
【考点】分数计算【答案】110 分析：2016910920110162020=-=⨯+=原式。
2、D 老师家里有五个烟囱，这五个烟囱正好从矮到高排成一排，相邻两个烟囱之间的高度差为 2 厘米，其中最高的烟囱又正好等于最矮的两个烟囱的高度之和，则五个烟囱的高度之和是________厘米。
【考点】等差数列，方程【答案】50分析：设这五个烟囱分别为 x-4，x-2，x ，x+2，x+4，则 x+4=x-2+x-4，x=10， 和为 5x=50。
3、已知()()22332014a b c d =+⨯-，其中 a 、b 、c 、d 是四个正整数，请你写出满足条件的一个乘法算式：___________。
【考点】数的拆分，分解质因数【答案】答案不唯一 分析：2014=1×2014=2×1007=19×106=38×53()()22335932+⨯-4、一个长方体的长、宽分别为 20 厘米、15 厘米，其体积的数值与表面积的数值相等，则它的高为______厘米（答案写为假分数）。
【考点】立体几何，方程 【答案】6023分析：设高为 h ，则 ()60201520152015223h h h h ⨯⨯=⨯++⨯=，则。
5、一次中环杯比赛，满分为 100 分，参赛学生中，最高分为 83 分，最低分为 30 分（所有的分数都是整数），一共有 8000 个学生参加，那么至少有_____个学生的分数相同。
【考点】抽屉原理【答案】149分析：833015480005414881481149-+=÷=+=，…,。
6、对 35个蛋黄月饼进行打包，一共有两种打包规格：大包袋里每包有9 个月饼，小包装里每包有 4个月饼。
2015年世界少年奥林匹克数学九年级竞赛选拔赛地方海选赛试题答案及评分
九年级A一、填空题（每题5分，共计50分）1、75°2、1 3, 22014=4056196 4、116 5、6、, ）7、258、310 9、20 10、75° 二、计算题(每题6分，共计12分)11、解: ∵f (2015) = =f () = =∴f (2015) +f ()=1同理f (2014) +f () = 1……f (2) +f () = 1 f (1)= ∴原式 =1×2014 += 201412、解: ∵= －2∴= － 即 + = － －－－－ ①同理 + = 5 －－－ ②++ =－ －－－ ③由① + ② 得 ++=29 －－－ ④由④ － ③ 得= 314∴ + = 629 ∴== －296 三、解答题（第13题至15题，每题8分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分）13、解: 由 (+) = 3(+5)..................1分化简得a －2 －15b = 0; .............................1分因式分解得(－5)(+) = 0 ，......................1分 由于+≠ 0.................................1分 ∴－5= 0....................................1分∴a = 25b .......................................1分原式 == 2............................2分14、解：由=－两边平方得a = m +n －2.......................2分∵a ,m ,n 为自然数...............................1分 ∴..................................1分又∵=－>0.....................1分∴m > n ........................................1分 ∴ 或523===a n m ...........................2分15、解：原方程整理为：x 2 －2(2m －3)x +3m 2 －2m +4k =0..........................1分∴△=b 2－4ac = 4(2m －3)2 － 4(3m 2 －2m +4k ).........2分=4(m 2 －6m +4 －4k )..............................1分∵原方程的根为有理数..........................1分∴△应为关于m 的完全平方式.....................1分∴二次三项式 m 2 －6m +4 －4k 的△必定为零即36－4(4 －4k ) = 0 ∴k = － ....................2分16、①若∠MAN = 60° 可证△ABM ≌△ACN ,得△ANM 为等边三角形 ....................................................4分②若∠AMN = 60°,过m 做AC 平行线交AB 于P ，.........1分 可得△BPM 为等边三角形 B P = BM .....................1分又 BA =BC 得 P A = MC ................................1分可证∠P AM = ∠NMC ,可证△APM ≌△MCN .................2分AM = MN 可得△AMN 为等边三角形......................1分17、解：设整数a ≥b ≥c c ≥2.............................1分若c ≥5 ，则≤≤≤...............................1分由abc =2(a －1)(b －1) (c －1)，可得....................1分=(1－)(1－) (1－) ≥3矛盾...................1分故c 只可能取2，3，4.................................1分当c =2时，ab =(a －1)(b －1)有a +b =1，又a ≥b ≥2，故无解。
2015中环杯9年级答案
OB 2 BC
2 R 2 r 2 3r r 2 8 r 2 ， 12 个半圆的面积之和为 12 6 r ，所以阴 2 2
1 Rr
2
影部分面积为 8 r 2 6 r 2 2 r 2 ，面积的比值为
2 r 2 1 8 r 2 4
A
B
D
F
C
E
【答案】 75 【解答】利用勾股定理容易推出
AB 16 AC 20 ，要求 ACF 的面积，我们只要 BC 12
FH AH 。容 CE AC
求 AC 边上的高即可。作 FH AC ，利用平行线分线段成比例我们有 易证明
AC CD 4 AEC ∽ CAD FAC FCA H 为 AC 的中点，所以 CE DA 3
3 3
9 3 4 2
3 3 3
3 1
3
2 1
1 3 3 3 3 2 1
3
3
9 3 4 2
3 3 3
3
6 3 3 3 2 1
3
3 2
3 3 3 3 3 2 3
1 3 3 3 3 2 1
3
9 3 4 1 3 6 3 3 3 2
A
O
【答案】
1 4 Rr ，所以下 2
【解答】设大圆的半径为 R ，小圆的半径为 r ， 12 个半圆的半径就是 图中 BC
Rr Rr Rr r 、 OB 。考虑到 BOC 30 ，所以 2 2 2 Rr Rr 2 R 3r 。所以圆环的面积为 2 2
2 Cn
n n 1 2
第十五届中环杯选拔赛(四年级)
5．中环杯的某个考场中一共有45个学生，其中英语好的有35人，语文好的有31人，两门功课都好的有24人，那么两门功课都不好的学生有()人。
小钱说：“它是一个完全平方数，而且比5小。”
小陆说：“它比7小，而且是个两位数。”
小戴说：“小钱的前半句是对的，但后半句是错的。”
如果这3个人中有1人两句都是真话，有1人两句都是假话，有1人两句话一真一假。那么，这个数是多少？(说明：完全平方数是指能表示为某个整数平方的数，比如4等于2的平方，81等于9的平方，则我们就称4、81为完全平方数)。
19．在一个神奇的国家，里面只住着两种人，A种人只说真话，B种人只说假话。一天，这个国家里的2014个国民排成一列，每个人都说：“在我后面的B种人比在我前面的A种人多。”那么，这2014个国民里一共有()个A种人。
20．将字母ABC填入图中的小方格内，要求：
1)每个小方格要么填一个字母，要么不填作为空格；
13．如图，编号1~5的五个相同的小正方形安置在等腰直角三角形ABC内部，这五个小正方形的面积之和为2014，设阴影部分四边形BDEF的面积为S，则S=()
14．已知一个四位数 是4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的倍数，则满足条件的 的最大值是？
15．一条长纸条上依次写着：1、2、3、……、n。将长纸条切成五段，每段中包含着一些连续的自然数(原先一个数中的数字不会被切在不同段中)。我们算了一下这五段的平均数，为1234、345、128、19和9.5(这五个数的顺序是打乱的)。那么n=_____
2015第十五届中环杯五年级初赛详解
8第十五届“中环杯”小学生思维能力训练活动五年级选拔赛得分：__________填空题：1、已知 2 4 6 8 1 3 5 7【考点】分数计算 【答案】110 201 35 7 m，其中 m, n 是两个互质的正整数，则10m n ____ 2 4 6 8 n16 9分析： 原 式 = 16= ，10m n 10?+20=11020 202、D 老师家里有五个烟囱，这五个烟囱正好从矮到高排成一排 ，相邻两个烟囱之间的高度 差为 2 厘米 ，其中最高的烟囱又正好等于最矮的两个烟囱的高度之和，则五个烟囱的高度 之和是________厘米【考点】等差数列，方程 【答案】50分析：设这五个烟囱分别为 x-4，x-2，x ，x+2，x+4，则 x+4=x-2+x-4，x=10，和为 5x=50 223、已知 2014 a b 33c d ，其中 a 、b 、c 、d 是四个正整数，请你写出满足条件的 一个乘法算式：___________【考点】数的拆分，分解质因数 【答案】答案不唯一分析：2014=1?014=2?007=19?06=38?3 2233其中一解为 2014= 59324、一个长方体的长、宽分别为 20 厘米、15 厘米，其体积的数值与表面积的数值相等，则 它的高为______厘米（答案写为假分数） 【考点】立体几何，方程 【答案】 6023分析：设高为 h ，则 20?5議=（20?5+20h+15h ）?，则 h= 60235、一次中环杯比赛，满分为 100 分，参赛学生中，最高分为 83 分，最低分为 30 分（所有 的分数都是整数），一共有 8000 个学生参加，那么至少有_____个学生的分数相同 【考点】抽屉原理 【答案】149分析：83-30+1=54， 8000 54=148 ，148+1=149 个 6、对 35 个蛋黄月饼进行打包，一共有两种打包规格：大包袋里每包有 9 个月饼，小包装 里每包有 4 个月饼。
第十五届“中环杯”初赛各年级试题
遥
20 个 2
7. 一个物体从高空落下袁已知第一秒下落距离是 5 米袁以后每秒落下的距离都比前一
秒多 10 米袁10 秒末物体落地遥 则物体最初距离地面的高度为
米遥
8. 小明父亲每天上班需要先骑 10 分钟山地自行车袁然后乘坐 40 分钟的地铁遥有一天袁
地铁坏了袁所以他直接骑车上班袁一共花了 3 个半小时遥 那么袁地铁的速度是山地自行车的
这个人有一个头两条腿袁普通狼有一个头四条腿袁变异狼有两个头三条腿遥 所有的人和
狼加起来有 21 个头 57 条腿袁则所有的狼渊包括变异狼冤有
头遥
11. 如图袁从 A 走到 B袁每次走一格袁只能向下或者
向右走遥将一路上的数字全部相加渊如果走到黑格袁就直
接加 5冤袁最后的总和为 51遥 不同的走法有
种遥
每人 70 元遥 他们最少要花
元购买门票遥
5. 到了冰雪宫殿开放的日子袁小朋友们相约一同前往避暑遥 冰雪宫殿
前有个阶梯袁爱丽丝走 20 级台阶用了 120 秒遥用同样的速度走台阶袁爱丽丝
共走了 180 秒袁正好走完所有阶梯遥 到达冰雪宫殿的台阶一共有
级遥
6. 右图中的每个小正方形边长为 5 厘米袁 那么这个图形的周长是 厘米遥
3
7 9 12
16 18 21 噎
246
11 13 15
20 噎
1
5 8 10
14 17 19 噎
第 13 题
A
B
棒中 7
+1杯环中
1中杯环
第 14 题
D
C
第 15 题
影部分面积为
平方厘米遥
16. 将 1~6 填入右图的三个算式中袁每个数恰好使
第15届中环杯八年级决赛
解，则
a a
b b
同奇偶。由于
a
b
a
b
为偶数，所以
a a
b b
必须都是偶数。设
a a
b b
2m 2n
，则
mn
26
32
5
7
。由于
26
32
5
7
一共有
6 1 2 1 11 11 84 个约数，所以可以分成 42 组，每组中大的数分给 m ，
小的那个数分给 n ，从而满足要求，所以当 a b 时，这样的点 P 有 42 个；根据对称
2k
3k
1
1
S ABCD
6m 3
33m 1
S ABCD
2m 1 3m 1 SABCD
。容易验证，此时 2m 1与 3m 1互
质，为了使得 SADE 为整数，则 3m 1| SABCD 。由于 SABCD 2014 2 19 53 ，其中
2 2mod 3
19
1mod 3
，而 3m 1 2mod3 ，所以 3m 1 2 或 53 或 219 或19 53 。这样的 m 有
1 1
8
2 2
2 1 ，
2 1
化简一下得
x2
xy
2y2
t2
1
2 2
2 2
1 1
8
2 2
2 1 4 2 1
2 2t2 8 9 4
7
7
2 ，随着 t 的增
大而增大，接下来只要求出 t2 的最大值即可
x
考虑到
2y t
2 t2 8 ，所以 x 与
2y 为方33
3 2 3 13 3 3 3 3 2 1
初中奥数中环杯竞赛试题
初中奥数中环杯竞赛试题第1篇：初中奥数中环杯竞赛试题【1】1.四个球，编号为1，2，3，4，将他们分放到编号为1，2，3，4的四只箱子里，每箱一个，则至少有一箱恰使球号与箱号相同的放法有几种?2.用数码1，2，3，4.....9各恰好两次，构成不同的质数，使它们的和尽可能小，则该和最小是几?【2】一班,二班,三班各有二人作为数学竞赛优胜者,6人站一排照相,要求同班同学不站在一起,有()种不同的站法?【3】一版邮票有20行20列,共400张邮票,称由3张同一行或同一列相连的邮票组成的纸块为"三联".小亮想剪出尽可能多的三联,他最多能得到几块三联?(五年级）【4】第一次在1，2两数之间写上3；第二次在1，3之间和3，2之间分别写上4，5；以后每一次都在已写上的两个相邻数之间，再写上这两个相邻数之和。
这样的过程共重复8次，那么所以数的和是多少？【5】一次测验共有5道试题，测试后统计如下：有81%的同学做对第1题，有85%的同学做对第2题，有91%的同学做对第3题，有74%的同学做对第4题，有79%的同学做对第5题。
如果做对3道或3道以上试题的同学为考试合格。
请问：这次考试的合格率最多达百分之几？最少达百分之几？【6】把156支铅笔分成n堆（n>等于2)，要求每堆一样多且为偶数支。
有（）种分法。
【7】七个相同的羽毛球,放在四个不同的盒未完，继续阅读 >第2篇：初中华杯赛决赛奥数练习题导语：近代的数学竞赛，仍然是解题的竞赛，但主要在学生（尤其是高中生）之间进行。
目的是为了发现与培育人才。
下面就由小编为大家带来初中华杯赛决赛奥数练习题，大家一起去看看怎么做吧！试题一计算：1234+2341+3412+4123=?*：11110.详解：1234+2341+3412+4123=(1000+200+30+4)+(2000+300+40+1)+(3000+400+10+2) +(4000+100+20+3)=(1000+2000+3000+4000)+(100+200+300+400)+(10+30+ 30+40)+(1+2+3+4)=10000+1000+100+10=11110试题二*仓存粮128吨，乙仓存粮52吨，*仓每天运出12吨，乙仓每天运进7吨。
第二周 平面几何模型(上海五年级强化版)
A
D
IE H
杯初赛第 20 题】 长方形 ABCD 被 CE、DF 分成四块，已知其中三块的面积分别为 5,16,20 平方厘 米，那么四边形 ADOE 的面积是多少平方厘米？
2
10.17-10.23
解析： 1.【考点】三角形等积变换 【解析】 有 AE = ED ，可以得到 S △ ABE = S △BED ， S △AEF = S △DEF ， 这样可以把阴影部分的面积转化成规则图形 △BDF 或 △ABF 的面积。 又 BD = 2DC ，那么 S △BDF = 2S △CDF 。 所以如果设 S △ CDF 是 1 份，那么 S △BDF 和 S △ABF 都是 2 份，S △ABC 是 5 份，面积是 5，得到 1 份的面积是 1，那么阴影部分面积就是 2。
3
10.17-10.23
5.【考点】梯形蝴蝶模型 如下图，连接 DE、CF，在梯形 CDEF 中有 5×20=10×10 所以S△COF = S△DOE = 10， S△CDE = 10+20=30 由等高模型知 S长方形ABCD =2 S△CDE = 60 所以S四边形ADOE = S长方形ABCD - S△OEF- S△OCD- S四边形COFB
= 60 - 5 -16 - 20 = 19
4
3. 【13 届中环杯初赛第 18 题】 如图是由边长分别为 5 厘米和 4 厘米的两个正方形拼成，图中阴影部分的 面积是多少平方厘米？
1
10.17-10.23
4. 【15 届中环杯初赛第 11 题】 .如图，正方形 ABCD 和正方形 EFGH，他们的四对边互相平行。联结 CG 并
延长交 BD 于点 I。已知 BD=10， S△BFC =3，S△CHD=5，则 BI 的长度为？
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第10
题
C
第十五届“中环杯”中学生思维能力训练活动
九年级选拔赛
得分:
填空题:1.已知α、β是方程x 2-3x +1=0的两个根,则α7+β7的值
为。
2.如图,二次函数的解析式为y =k 2-x 2(k >0),A 、D 是二次
函数与x 轴的交点,ABCD 为矩形,二次函数的顶点V 在线段BC 上。
若ABCD 的周长为48,则k =。
3.一个三位数abc ,其中的三个数码a 、b 、c 是不同的质
数,而且abc 也是一个质数。
满足这些条件的abc 最大为。
4.如图,正六边形ABCDEF 中,GH //AB ,阴影部分面积
是整个正六边形面积的16。
AB =2厘米,则GH =
厘
米。
5.已知f (x )=1x -4x √+3,其定义域为116
≤x ≤1。
则
f (x )的最大值与最小值之和为。
6.如图,两个同心圆的半径分别为1和2。
阴影部分是
一个八边形,这个八边形的八条边都相等。
那么这个八边形的周长为。
7.小明需要将一封信送到大明湖畔27145号大楼内,他
记住了这五个数字,但是没有记住它们的顺序。
他将这五个数字随意组合,构成一个五位数。
这个五位数中有且仅有两个数字所在的位置与原数相同(比如27451中的2和7所在的位置与原数相同,符合我们的要求)。
符合要求的五位数有
个。
8.一枚标准立方体骰子的任两个相对面上点数之和都
为7。
若将27枚相同的标准骰子在桌面上堆叠成3×3×3的立方体,那么,从某个位置望过去最多可以看到
个点。
9.已知Rt △ABC 中,∠C 为直角,且sinA 与sinB 是方
程(5n +8)x 2
-(7n -20)x +120=0的两个根,则整数n =。
10.如图,在梯形ABCD 中,AD //BC ,并且∠ABC +∠CDA =270°,AB ·tan ∠BCD =20,
CD =13,则AB 2
=。
11.我们用S =24+34+54+74+…+174974表示前2014个质数的四次方之和,那么S 除以
240的余数为。
12.已知,方程x 3-3x 2-6x -4=0的一个实数根可以写为a 3
√+
b 3
√+c 3
√,其中a 、b 、c 是互不相同的正整数,则a +b +c=。
13.三个正整数a 、b 、c 满足[a ,b ,c ]=a +b +c
1000≤c ≤2015
{
(其中[a ,b ,c ]表示
a 、
b 、
c 的最小公倍数)。
满足要求的有序数组(a ,b ,c )有
组。
14.如图,ABCD 为矩形,点X 为线段AB 上最靠近点B 的2015
等分点(也就是说XB =12015
AB )。
在线段AX 上取一点H (不与A 、X
重合),使得A H BH 的值为有理数。
作HF //AD ,与线段CD 交于点F 。
在
线段BC 上取一点G (不与B 、C 重合),分别联结GH 、GF 并延长,与直线A D 交于点I 、E 。
若△GIE 面积是矩形ABCD 面积的整数倍,这样的点H 有
个。
15.方程组
2+6y =x y -x -2y
√x +x -2y √√=x +3y -2
⎧⎩
⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐的解为。
16.对于一个正整数n ,如果我们能找到正整数m ,使得
n 3
<5mn <n 3
+100成立,那么我们就称正整数n 是好数。
所有的
好数有
个。
17.已知点X 是凸四边形ABCD 内一点,满足∠AXB +∠CXD =
180°。
如果AX =14、BX =11、CX =5、DX =10,并且AB =CD ,则△AXB 与△CXD 的面积之和为。
18.18个学生参加中国国家队的选拔考试,考试一共三道题目,每题满分为7分(得分为自然
数)。
考试结束后,小明将考试成绩做成了表格形式贴在走廊上。
这个表格一共有3列:第一列写着学生的姓名,第二列写着学生的分数,第三列写着学生的排名(排名可以并列,比如七个学生的成绩分别为0、0、7、8、8、14、21分,那么他们的排名分别为6、6、5、3、3、2、1)。
小王是一个粗心鬼,他去看成绩的时候,把成绩列与排名列看反了。
凑巧的是,看反后,这两列的数据仍然是有意义的。
将所有学生的成绩从低到高写为x 1≤x 2≤x 3…≤x 18,构成一个数组:(x 1,x 2,…,
x 18)。
那么不同的数组有
个。
19.已知△ABC 的三条边长都是整数,这三个整数的最大公约数为1,∠B =2∠C ,并且AB <600,
则所有满足条件的A B 长度之和为。
20.将图中7×7的方格表划分为一些中心对称的图形,要
求每个中心对称的图形都包含整数块1×1的小方块,而且包含一个黑圆点(不能包含超过一个),这个黑圆点就是其对称
中心。
如果第二行的7个方块分别属于A 个中心对称图形的一部分,第四行的7个方块分别属于B 个中心对称图形的一部分,第五行的7个方块分别属于C 个中心对称图形的一部分,则ABC =。
第2题
第4题
第6题
A
C
G C
B
第17
题
第20题
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