文科数学第6讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

判断正误(正确的打“√” ，错误的打“×”)
(1)“x2＋2x－3＜0”是命题．( ) (2)命题“若 p，则 q”的否命题是“若 p，则﹁q” ．( ) (3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为 真．( ) (4)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件．( ) / q”成立．( ) (5)q 不是 p 的必要条件时， “p⇒ 答案：(1)× (2)× (3)√ (பைடு நூலகம்)√ (5)√ 下列命题为真命题的是( ) 1 1 A．若 ＝ ，则 x＝y x y C．若 x＝y，则 x＝ y 答案：A 命题“若 a＞b，则 a＋c＞b＋c”的否命题是( ) A．若 a≤b，则 a＋c≤b＋c C．若 a＋c＞b＋c，则 a＞b B．若 a＋c≤b＋c，则 a≤b D．若 a＞b，则 a＋c≤b＋c
其中真命题为________(填写所有真命题的序号)． 【解析】 (1)“若 a2＋b2＝0，则 a＝0 且 b＝0”的逆否命题是“若 a≠0 或 b≠0，则 a2＋b2≠0” ，故选 D. (2)①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题是“若 x，y 互为倒数，则 xy＝1” ，显 然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形 不全等” ，显然是真命题，故②正确；③若 x2－2x＋m＝0 有实数解，则 Δ＝4－4m≥0，解 得 m≤1，所以“若 m≤1，则 x2－2x＋m＝0 有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命 题，故③正确；④若 A∩B＝B，则 B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错 误． 【答案】 (1)D (2)①②③
(1)写一个命题的其他三种命题时需关注 2 点 ①对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写． ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提． [注意] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它 的“逆命题”“否命题”“逆否命题” ． (2)判断命题真假的 2 种方法 ①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命 题，只需举出一个反例即可． ②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假． [通关练习] 1．已知命题 p：若 a＜1，则 a2＜1，下列说法正确的是( ) A．命题 p 是真命题 B．命题 p 的逆命题是真命题 C．命题 p 的否命题是若 a＜1，则 a2≥1
解析：选 B．因为 x2－2x－3>0，所以该不等式的解集为{x|x<－1 或 x>3}， 所以 x>4⇒x2－2x－3>0. / x>4， 但 x2－2x－3>0⇒ 所以“x>4”是“x2－2x－3>0”的充分而不必要条件．
(教材习题改编)命题：若 m>0，则方程 x2＋x－m＝0 有实数根的逆否命题是 ________． 答案：若方程 x2＋x－m＝0 无实数根，则 m≤0 (教材习题改编)命题 p：x2＝3x＋4，命题 q：x＝ 3x＋4，则 p 是 q 的________条 件． 解析：当 x2＝3x＋4 时，x＝－1 或 4，当 x＝－1 时，x＝ 3x＋4不成立，即 p/⇒q. 当 x＝ 3x＋4时，x≥0，3x＋4≥0，则 x2＝3x＋4，即 q⇒p， 所以 p 是 q 的必要不充分条件． 答案：必要不充分
四种命题的相互关系及真假判断 [典例引领] (1)命题“若 a2＋b2＝0，则 a＝0 且 b＝0”的逆否命题是 ( ) A．若 a2＋b2≠0，则 a≠0 且 b≠0 B．若 a2＋b2≠0，则 a≠0 或 b≠0 C．若 a＝0 且 b＝0，则 a2＋b2≠0 D．若 a≠0 或 b≠0，则 a2＋b2≠0 (2)有下列四个命题： ①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题； ③“若 m≤1，则 x2－2x＋m＝0 有实数解”的逆否命题； ④“若 A∩B＝B，则 A⊆B”的逆否命题．
B．若 x2＝1，则 x＝1 D．若 x＜y，则 x2＜y2
解析：选 A．命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题 为“若 a≤b，则 a＋c≤b＋c” ，故选 A． (教材习题改编)“x>4”是“x2－2x－3>0”的( ) A．充要条件 C．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件
第 2 讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句 叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 p 是 q 的必要不充分条件 p 是 q 的充要条件 p 是 q 的既不充分也不必要条件 /p p⇒q 且 q⇒ / q 且 q⇒p p⇒ p⇔q / q 且 q⇒ /p p⇒
D．命题 p 的逆否命题是若 a2≥1，则 a＜1 解析：选 B．已知命题 p：若 a＜1，则 a2＜1，如 a＝－2，则(－2)2＞1，命题 p 为假 命题，所以 A 不正确； 命题 p 的逆命题是若 a2＜1，则 a＜1，为真命题，所以 B 正确； 命题 p 的否命题是若 a≥1，则 a2≥1，所以 C 不正确； 命题 p 的逆否命题是若 a2≥1，则 a≥1，所以 D 不正确．故选 B． 2．下列命题： ①“若 a≤b，则 a＜b”的否命题； ②“若 a＝1，则 ax2－x＋3≥0 的解集为 R”的逆否命题； ③“周长相同的圆面积相等”的逆命题； ④“若 2x 为有理数，则 x 为无理数”的逆否命题． 其中真命题的序号为( ) A．②④ C．②③④ B．①②③ D．①③④