控制系统数学建模

tf Create or convert to transfer function model Syntax sys = tf(num,den) sys = tf(num,den,Ts) >>num=[1 -5 6] ;
>>den=[1 1 0]; >>H=tf(num, den)
s 5s 6 G( s) 2 s s
式中 x(t ) R n 为n 维的状态向量； u(t ) Rm 为m 维的控制向量；
y(t ) Rl 为l 维的输出向量
A为n×n维的状态矩阵，由控制对象的参数决定； B为n×m维的控制矩阵，C为l×n维的输出矩阵； D为l×m维的直接传输矩阵，如果该系统的传递函数为严格真 分式，则D=0
MATLAB与控制系统仿真
制作：陈俊风 河海大学 物联网工程学院
第10章
jfchen@
控制系统数学建模
10.1 传递函数模型
10.2 零极点函数模型 函数模型
10.3 状态空间函数模型
10.4 模型之间的转换
10.5 方框图模型的连接化简
0 多项式运算
jfchen@
jfchen@
num bm , bm1 ,..., b1 , b0 den 1, an1 ,..., a1 , a0
注意：它们都是按 s 的降幂进行排列的。 传统函数可表示为
num( s) G( s) den( s)
其中 ai, bi为常数，又称为线性时不变系统(LTI)； 系统的分母多项式称为系统的特征多项式。 对物理可实现系统来说，一定要满足m≤n。
1 传递函数模型
jfchen@
拉氏变换是求解微分方程的简洁方法。 2. 传递函数（transfer 可以将微分方程化为代数方程求解。 function model）Matlab tf 若系统的初始条件为零，对上式两边取拉氏变换后稍加整理：
s Y ( s) an 1s Y ( s) a1sY ( s) a0Y ( s)
3 状态空间函数模型
jfchen@
>> A=[-2 1 0; 0 -2 0; 0 0 3]; >> B=[0 ;1;1]; >> C=[-2 3 1]; >> D=0; >> sys=ss(A,B,C,D)
a= x1 x2 x1 -2 1 x2 0 -2 x3 0 0 c= x1 x2 x3 y1 -2 3 1 x3 0 0 3
Syntax
[A,B,C,D]=tf2ss(b,a)
B(s) b1s ... bn1s bn 1 H ( s) m1 C sI A B D A(s) a1s ... am1s bm
in controller canonical form
[A,B,C,D]=tf2ss(b,a) Returns the A, B, C, and D matrices of a state space representation for the single-input transfer function
SYS = tf(NUM, DEN,TS) 返回变量SYS为离散系统传递函数 模型。TS为采样周期，当TS＝－1 或者TS＝[ ]时，表示系统采样周期 未定义 S = tf('s') 定义Laplace变换算子 (Laplace variable)，以原形式输入传递函数
Z = tf('z',TS) 定义Z变换算子及采样时间TS，以 原形式输入传递函数
5*s+6)/(s*s+s)
s 5s 6 G( s) 2 s s
2
Transfer function: s^2 - 5 s + 6 ------------s^2 + s
1 传递函数模型
jfchen@
例：已知传递函数模型
10(2s 1) G(s) 2 2 s ( s 7 s 13)
1 传递函数模型
jfchen@
对于离散时间系统，其单输入单输出系统的LTI系统 差分方程为：
a1c(k n) a2c(k n 1) ... anc(k 1) an1c(k ) b1r (k m 1) b2 r (k m) ... bm r (k 1) bm1r (k )
n
n 1
bm s U ( s) bm1s
m
m 1
U ( s) b0U ( s)
Y (s) 设系统的传递函数为 G ( s ) U (s) bms m bm1s m1b1s b0 则有 G ( s) s n an1s n1a1s a0
1 传递函数模型
对应的脉冲传递函数为：
C ( z ) b1 zm b2 zm1 ... bm1 G( z ) R( z ) a1 zn a2 zn1 ... an1
1 传递函数模型
jfchen@
10.1.2 传递函数的 传递函数的MATLAB 相关函数 MATLAB相关函数 SYS = tf(NUM, DEN) 返回变量SYS为连续系统传递函数 模型
>>Zeros=[ ] ;
>>Poles=[-2 -1];
G(s)
s 2 s 1
5
>>Gains=[5]; >>H=zpk(Zeros, Poles, Gains) Zero/pole/gain: 5 ----------(s+2) (s+1)
2 零极点函数模型
jfchen@
系统的数学模型
jfchen@函数
差分方程
Z传递函数
状态空间
结构图表示
离散状态空间模型
权序列
系统的数学模型
jfchen@
1. 微分方程
设系统的输入为 程为：
d n y (t ) dt
n
u(t ) ，输出为 y(t ) ，表示成高阶微分方
b=
u1 x1 0 x2 1 x3 1
d= u1 y1 0 Continuous-time model.
4 数学模型的相互转换 (1)
jfchen@
模型的相互转换 1. tf2ss
Convert transfer function filter parameters to state-space form
（1）将其输入到MATLAB工作空间中。 （2）时间延迟常数为τ= 4，即系统模型为
G(s)e
4 s
在已有MATLAB模型基础上，设置时间延迟常数。
2 零极点函数模型
jfchen@
Matlab zpk zpk Create or convert to zero-pole-gain model Syntax sys = zpk(z,p,k)
an1
m
d n1 y ( t ) dt
n1

m1
a
dy (t ) 1 dt
a0 y(t ) b0u(t )
bm
d mu ( t ) dt
bm1
d m1u ( t ) dt
b
du (t ) 1 dt
ai (i o,1, , n 1), bj ( j 0,1, , m)
1 传递函数模型
jfchen@
printsys(NUM,DEN,'s') printsys(NUM,DEN,'z') get(sys) set(sys,'Property',Value,...)
将系统传递函数以分式的形式打印 出来，'s'表示传递函数变量 将系统传递函数以分式的形式打印 出来，'z'表示传递函数变量 可获得传递函数模型对象sys的所有 信息 为系统不同属性设定值
2
Transfer function: s^2 - 5 s + 6 ------------s^2 + s
1 传递函数模型
jfchen@
2. 传递函数（transfer function model）Matlab tf
tf Create or convert to transfer function model Syntax >>s=tf(‘s’); sys = tf(‘s’) ys = tf(num,den,ltisys) >>G=(s^2tfsys = tf(sys)
多项式数学表达式
p( x) c1x c2 x
n
系数矢量表示
n1

cn x cn1
P=[c1, c2, c3, …, cn, cn+1];
求值计算 >> polyval(c,x) 卷积计算 >> w=conv(u,v) % 返回多项式系数向量 重构操作 >> c=poly(v) % 返回多项式系数向量 微分操作 >> cdef=polyder(c)
x 4 x 3x 2
3 2
0
jfchen@
多项式运算
>> c = [3 2 1]; >> d=conv(c,[5 7 9]) % 卷积 ans = 15 31 46 25 9 >> dd=polyder(d) % 微分 dd = 60 93 92 25 >> poly(roots(dd)) %roots返回多项式的根 ans = 1.0000 1.5500 1.5333 0.4167
[NUM,DEN] = tfdata(SYS,'v') 以行向量的形式返回传递函数分子 分母多项式 C = conv(A, B) 多项式A, B以系数行向量表示，进 行相乘。结果C仍以系数行向量表 示