1983-1988年高考数学试题
1983-1988年高考数学试题全国卷
1983年试题(理工农医类)一、本题共5个小题,每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的.把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)两条异面直线,指的是(A)在空间内不相交的两条直线.(B)分别位于两个不同平面内的两条直线.(C)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线.(D)不在同一平面内的两条直线.【】(A)两条相交直线. (B)两条平行直线.(C)两条重合直线. (D)一个点.【】(3)三个数a,b,c不完全为零的充要条件是(A)a,b,c都不是零. (B)a,b,c中最多有一个是零.(C)a,b,c中只有一个是零. (D)a,b,c中至少有一个不是零.【】【】【】(2)在极坐标系内,方程ρ=5cosθ表示什么曲线?画出它的图形.(2)一个小组共有10名同学,其中4名是女同学,6名是男同学.要从小组内选出3名代表,其中至少有1名女同学,求一共有多少种选法.四、计算行列式(要求结果最简):六、如图,在三棱锥SˉABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点,使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC.求证SC垂直于截面MAB.八、已知数列{a n}的首项a1=b(b≠0),它的前n项的和S n=a1+a2+…+a n(n≥1),并且S1,S2,…,S n,…是一个等比数列,其公比为p(p≠0且│p│<1).(1)证明a2,a3,…,a n…,(即{a n}从第2项起)是一个等比数列.九、(1)已知a,b为实数,并且e<a<b,其中e是自然对数的底,证明ab>b a.(2)如果正实数a,b满足ab=b a,且a<1,证明a=b.1983年试题(理工农医类)答案一、本题考查对一些基本概念和常用的词语的理解.(1)D; (2)A; (3)D; (4)C; (5)C.二、本题考查在直角坐标系内和极坐标系内画出图形的能力.解:(1)图形如右所示.交点坐标是:O(0,0),P(1,-1).(2)曲线名称是:圆.图形如下所示.三、本题考查求初等函数微分的方法和解决简单的排列组合应用题的能力.所以3名代表中至少有1名女同学的选法有所以3名代表中至少有1名女同学的选法有四、本题考查行列式的性质(或定义,或按一列展开)和三角公式的运用.解法一:把第1列乘以sinϕ加到第2列上,再把第3列乘以(-cosϕ)加到第2列上,得解法二:把行列式的第2列用三角公式展开,然后运用行列式的性质,得解法三:把行列式按第2列展开,得解法四:把行列式按定义展开,并运用三角公式,得五、本题考查复数、不等式和三角函数的基础知识以及运用它们解题的能力.显然r=│z│≠0.因为这就是所求的实数t的取值范围.以下同解法一的后半部分.六、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证法一:因为SN是底面的垂线,NC是斜线SC在底面上的射影,AB⊥NC,所以AB ⊥SC(据三垂线定理).连结DM.因为AB⊥DC,AB⊥SC,所以AB垂直于DC和SC所决定的平面.又因DM在这平面内,所以AB⊥DM.∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC.在△MDC和△NSC中,因为∠MDC=∠NSC,∠DCS是公共角,所以∠DMC=∠SNC=90°从而DM⊥SC.从AB⊥SC,DM⊥SC,可知SC⊥截面MAB.证法二:连结DS,DM(参见证法一中的图).因为SN是底面的垂线,AB⊥DN,所以AB⊥DS(据三垂线定理).从而AB⊥平面SDC.因SC,DM都在平面SDC内,故AB⊥SC,AB⊥DM.由AB⊥DM,AB⊥DC,可知∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC.以下同证法一,故SC⊥截面MAB.证法三:连结DM,DS.因为M,N分别在△SDC的两边上,所以SN和DM都在平面内,且相交于一点P.又因PN是底面的垂线,AB⊥DN,所以AB⊥DM(据三垂线定理).∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC.又∠MDC=∠NSC,∠DCS是△DCM和△SCN的公共角,故∠DMC=∠SNC=90°.从而DM⊥SC.从AB⊥DM,AB⊥DC,可知AB⊥平面MDC.因为SC是平面MDC内的直线,所以AB⊥SC.从AB⊥SC,DM⊥SC,可知SC⊥截面MAB.七、本题考查合理选择坐标系和灵活运用直线、椭圆性质解决问题的能力以及简单三角方程的解法.解法一:以椭圆焦点F1为极点,以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系.解法二:以椭圆中心为原点,F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系(如图).解方程组以下同解法一.解法三:以椭圆中心为原点,F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系(如图).解方程组解得以下同解法一.解法四:同理,设│F1N│=y,则│F2N│=6-y.以下同解法一.八、本题考查数列的基础知识和极限的计算方法.(1)证明:由已知条件得S1=a1=b.S n=S1p n-1=bp n-1>(n≥1).因为当n≥2时,S n=a1+a2+…+a n-1+a n=S n-1+a n,所以a n=S n-S n-1 =bp n-1-bp n-2=bP n-2(p-1)(n≥2).因此a2,a3…,a n,…是一个公比为p的等比数列.(2)解法一:当n≥2时,且由已知条件可知P2<1,因此数列于是因此九、本题考查对函数概念的理解,对幂函数、指数函数和对数函数性质的运用及利用导数判断函数增减性从而比较函数值大小的方法.在[a,b]上对f(x)运用中值定理,得因为在(0,1)内f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)内是增函数.同证法一,证得b<1.因此a=b.因此a=b.1984年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)数集X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k±1)π,k是整数}之间的关系是(C)X=Y(D)X≠Y【】(2)如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么(A)F=0,G≠0,E≠0(B)E=0,F=0,G≠0(C)G=0,F=0,E≠0(D)G=0,E=0,F≠0【】(A)一定是零(B)一定是偶数(C)是整数但不一定是偶数(D)不一定是整数【】(4)arccos(-x)大于arccosx的充要条件是(A)x∈(0,1](B)x∈(-1,0)【】(A)是第一象限角(B)是第三象限角(C)可能是第一象限角,也可能是第三象限角(D)是第二象限角【】二、只要求直接写出结果.(1)已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积.(2)函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数?(6)要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算).三、本题只要求画出图形.四、已知三个平面两两相交,有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.六、(1)设p≠0,实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是z1,z2.求以z1,z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.九、附加题,不计入总分.如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P自切点A沿直线l向右移动时,取弧的长为,直线PC与直线1984年试题(理工农医类)答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)C;(3)B;(4)A;(5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(2)x<-2;(4)-20;(5)0;三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.解:四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.∵α∩β=c,α∩γ=b,从而c与b或交于一点或互相平行.(1)若c与b交于一点,设c∩b=P.由P∈c,且cβ,有P∈β;又由P∈b,且bγ,有P∈γ.于是P∈β∩γ=a.所以a,b,c交于一点(即P点).(2)若c∥b,则由bγ,有c∥γ.又由cβ,且β∩γ=a,可知c∥a.所以a,b,c互相平行.五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.解法一:由原对数方程得cx2+d=1.这个不等式仅在以下两种情形下成立:①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.解法二:原对数方程有解的充要条件是:(1)x>0,cx2+d=1.因此,条件组(1)(4)可简化为以下的等价条件组:(5)x≠1,这个不等式仅在以下两种情形下成立:①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.再由条件(1),(5)及(6),可知c≠1-d.六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.(1)解法一:因为p,q为实数,p≠0,z1,z2为虚数,所以(-2p)2-4q<0,q>p2>0.由z1,z2为共轭虚数,知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,可得椭圆的短轴长=2b=│z1+z2│=│2p│=2│p│,解法二:同解法一,得q>p2>0.根据实系数一元二次方程的求根公式,得可知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.根据椭圆的性质和复数的几何意义,可得椭圆的注:也可利用椭圆长半轴的长等于短轴上的顶点到焦点的距离,直接得出(2)解:因为椭圆经过点M(1,2),且以y轴为准线,所以椭圆在y轴右侧,长轴平行即这就是所求的轨迹方程.七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.a=6,b=8.如图,设△ABC的内切圆圆心为O′,切点分别为D,E,F,则如图建立坐标系,则内切圆方程为(x-2)2+(y-2)2=4.设圆上动点P的坐标为(x,y),则因为P点在内切圆上,所以0≤x≤4.于是S最大值=88-0=88,S最小值=88-16=72.解法二:同解法一,得△ABC是直角三角形,且r=2.内切圆的参数方程为所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα).从而因为0≤α≤2π,所以S最大值=80+8=88,S最小值=80-8=72.八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.(1)证明:先证明x n>2(n=1,2,…).用数学归纳法.由条件α>2及x1=α知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,因为由条件及归纳假设知再由归纳假设知不等式(x k-2)2>0成立,所以不等式x k+1>2也成立.从而不等式x n>2对于所有的正整数n成立.数学归纳法的第二个步骤也可以这样证:所以不等式x n>2(n=1,2,…)成立.也可以这样证:对所有正整数n有还可以这样证:由于对所有正整数n有(2)证法一:用数学归纳法.由条件x1=α≤3知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,由条件及x k>2知证法二:用数学归纳法.证不等式当n=k+1时成立用以下证法.由条件知再由x k>2及归纳假设可得x1>x2>…>x n>x n+1≥3.因此,由上面证明的结论及x1=α可得若x n≤3,则由第(1)小题可知x n+1<x n,从而有x n+1<3.若x n>3,则由第(1)小题可知x1>x2>…>x n>3.由此式及上面证明的结论,可得九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.解得1985年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)如果正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,那么四面体A′-ABD的体积是【】(A)必要条件(B)充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要的条件【】(A)y=x2(x∈R)(B)y=│sinx│(x∈R)(C)y=cos2x(x∈R)(D)y=e sin2x(x∈R)【】(4)极坐标方程ρ=asinθ(a>0)的图象是【】(5)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有(A)96个(B)78个(C)72个(D)64个【】二、只要求直接写出结果.(2)设│a│≤1,求arccosa+arccos(-a)的值.(3)求曲线y2=-16x+64的焦点.(5)设函数f(x)的定义域是[0,1],求函数f(x2)的定义域.三、(1)解方程log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).四、如图,设平面AC和BD相交于BC,它们所成的一个二面角为45°,P为面AC内的一点,Q为面BD内的一点.已知直线MQ是直线PQ在平面BD 内的射影,并且M在BC上.又设PQ与平面BD所成的角为β,∠CMQ=θ(0°<θ<90°)线段PM的长为a.求线段PQ的长.五、设O为复平面的原点,Z1和Z2为复平面内的两个动点,并且满足:(2)△OZ1Z2的面积为定值S.求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值.(1)证明不等式对所有的正整数n都成立.八、设a,b是两个实数,A={(x,y)│x=n,y=na+b,n是整数},B={(x,y)│x=,m,y=3m2+15,m是整数},C={(x,y)│x2+y2≤144}是平面XOY内的点集合.讨论是否存在a和b使得(2)(a,b)∈C同时成立.九、(附加题,不计入总分)已知曲线y=x3-6x2+11x-6.在它对应于x∈[0,2]的弧段上求一点P,使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小,并求出这个最小值.1985年试题(理工农医类)答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D;(2)A;(3)B;(4)C;(5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(2)π;(3)(0,0);(4)64(或26);(5)[-1,1](或{x│-1≤x≤1},或-1≤x≤1).三、本题考查对数方程、无理不等式的解法和分析问题的能力.(1)解法一:由原对数方程得因为log0.25a=-log4a,上式变成由此得到解这个方程,得到x1=0,x2=7.检验:把x=0代入原方程,左右两边都等于0;故x=0是原方程的根.但当x=7时,由于3-x<0,1-x<0,它们的对数无意义;故x=7不是原方程的根,应舍去.因此,原对数方程的根是x=0.对原方程变形,同解法一,得x1=0,x2=7.2x+5>x2+2x+1,x2<4,即-2<x<2.但由条件x≥-1,因此-1≤x<2也是原不等式的解.综合(i),(ii),得出原不等式的解集是四、本题考查三垂线定理、二面角、斜线与平面所成的角、解三角形、空间想象能力和综合运用知识的能力.解法一:自点P作平面BD的垂线,垂足为R,由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,所以R在MQ上,过R作BC的垂线,设垂足为N,则PN⊥BC.(三垂线定理)因此∠PNR是所给二面角的平面角,所以∠PNR=45°.由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,所以∠PQR=β.在Rt△PNR中,NR=PRctg45°,所以NR=PR.又已知0°<θ<90°,所以解法二:同解法一,得∠PQR=β.设:∠PMR=α则在Rt△PMR中,MR=acosα,PR=asinα,在Rt△MNR中,NR=MRsinθ=acosα²sinθ.又在Rt△PNR中,由于∠PNR=45°,所以PR=NR.于是asinα=acosα²sinθ,tgα=sinθ,在△PMQ中,应用正弦定理得五、本题考查复数的概念、复数运算的几何意义、三角恒等式、不等式以及灵活运用知识的能力.解法一:设Z1、Z2和Z对应的复数分别为z1、z2和z,其中z1=r1(cosθ+isinθ),z2=r2(cosθ-isinθ).由于Z是△OZ1Z2的重心,根据复数加法的几何意义,则有3z=z1+z2=(r1+r2)cosθ+(r1-r2)isinθ.于是│3z│2=(r1+r2)2cos2θ+(r1-r2)2sin2θ=(r1-r2)2cos2θ+4r1r2cos2θ+(r1-r2)2sin2θ=(r1-r2)2+4r1r2cos2θ.解法二:同解法一,得3z=(r1+r2)cosθ+(r1-r2)isinθ.于是│3z│2=(r1+r2)2cos2θ+(r1-r2)2sin2θ.又已知△OZ1Z2的面积为S,且r1为三角形边长,r1>0,以及sin2>θ(因六、本题考查直线方程、两点间的距离公式、参数方程以及轨迹方程的求法.2.当a≠0时,直线PA与QB相交,设交点为M(x,y),由(2)式得将上述两式代入(1)式,得整理得x2-y2+2x-2y+8=0,(*)当a=-2或a=-1时,直线PA和QB仍然相交,并且交点坐标也满足(*)式.所以(*)式即为所求动点的轨迹方程.解法二:设直线PA和QB的交点为M(x,y).当点M与点P及点Q都不重合时,直线PM的方程是(x+2)(Y-2)=(y-2)(X+2),直线QM的方程是x(Y-2)=(y-2)X.由方程组解得直线PM和直线l的交点A的坐标为由方程组解得直线QM和直线l的交点B的坐标为根据题意,线段AB两端点A,B的横坐标有如下关系:从而得x2-y2+2x-2y+8=0,(*)即又因点M与点P或点Q重合时,M点的坐标也满足(*)式.所以(*)式即为所求动点M的轨迹方程.七、本题考查数列和极限的基础知识,证明不等式的基本方法.(1)证法一:用数学归纳法.假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即当n=k+1时,可得即也成立.从而不等式对所有的正整数n都成立.证法二:直接证明.由于不等式对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,得到又因以及因此不等式对所有的正整数n都成立.(2)由(1)及b n的定义知于是八、本题考查集合的基本知识,不等式的证明以及分析问题的能力.解法一:如果实数a和b使得(1)成立,于是存在整数m和n使得(n,na+b)=(m,3m2+15),即由此得出,存在整数n使得na+b=3n2+15,或写成na+b-(3n2+15)=0.这个等式表明点P(a,b)在直线l:nx+y-(3n2+15)=0上,记从原点到直线l的距离为d,于是当且仅当时上式中等号才成立.由于n是整数,因此n2≠3,所以上式中等号不可能成立.即d>12.所以,不存在实数a和b使得(1),(2)同时成立.解法二:如果实数a和b使得(1),(2)同时成立.同解法一,由于(1)成立,知存在整数n 使得na+b=3n2+15,即b=3n2+15-an.(*)由(2)成立,得a2+b2≤144.把(*)式代入上式,得关于a的不等式(1+n2)a2-2n(3n2+15)a+(3n2+15)2-144≤0.(**)它的判别式Δ=4n2(3n2+15)2-4(1+n)2[(3n2+15)2-144]=-36(n2-3)2.但n是整数,n2-3≠0,因而Δ<0.又因1+n2>0,故(**)式不可能有实数解a,这就表明,不存在实数a和b使得(1)、(2)同时成立.解法三:如果实数a和b使(1)、(2)同时成立.同解法一,由(1)成立知,必存在整数n 使得3n2-an-(b-15)=0.(*)于是,它的判别式非负,即Δ=a2+12b-180≥0,(**)由(**)得12b-180≥-a2.由(2)成立知a2+b2≤144,(***)即-a2≥b2-144.因此,12b-180≥b2-144,即(b-6)2≤0,由此得出b=6.把b=6代入判别式(**),得出a2≥108,但把b=6代入(***),得出a2≤108,因而必有a2=108.此时,从(*)式可解出所以,不存在实数a和b使得(1),(2)同时成立.九、(本题分数不计入总分)本题考查导数的几何意义,利用导数解决函数的最大值、最小值问题的能力.解:已知曲线方程是y=x3-6x2+11x-6,因此y′=3x2-12x+11.在曲线上任取一点P(x0,y0),则点P处切线的斜率是点P处切线方程是设这切线与y轴的截距为r,则根据题意,要求r(它是以x0为自变量的函数)在区间[0,2]上的最小值.因为当0<x0<2时r′>0,因此r是增函数,故r在区间[0,2]的左端点x0=0处取到最小值.即在点P(0,-6)处切线在y轴上的截距最小.这个最小值是r最小值=-6.1986年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)在下列各数中,已表示成三角形式的复数是【】(2)函数y=(0.2)-x+1的反函数是(A)y=log5x+1(B)y=log x5+1(C)y=log5(x-1)(D)y=log5x-1【】(A)一条平行于x轴的直线(B)一条垂直于x轴的直线(C)一个圆(D)一条抛物线【】【】(5)给出20个数8791948893918987928690928890918689929588它们的和是(A)1789(B)1799(C)1879(D)1899【】(6)设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,那么丁是甲的(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件【】(7)如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有(A)D=E(B)D=F(C)E=F(D)D=E=F【】(8)在正方形SG1G2G3中E、F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S-EFG中必有(A)SG⊥△EFG所在平面(B)SD⊥△EFG所在平面(C)GF⊥△SEF所在平面(D)GD⊥△SEF所在平面【】(9)在下列各图中,y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是【】(10)当x∈[-1,0]时,在下面关系式中正确的是【】二、只要求直接写出结果.(3)在xoy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)及(0,3),求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.三、如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的求证:平面PAC垂直于平面PBC.四、当sin2x>0时,求不等式log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)的解集.五、如图,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B.试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值.六、已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:七、过点M(-1,0)的直线l1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点.记:线段P1P2的中点为P;过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l2;l1的斜率为k.试把直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数,并指出这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.九、(附加题不计入总分)(1)求y=xarctgx2的导数.1986年试题(理工农医类)答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)B;(2)C;(3)B;(4)A;(5)B;(6)D;(7)A;(9)D;(10)C.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.三、本题考查空间直线和平面的位置关系及推证能力.证明:设圆O所在平面为α.由已知条件,PA⊥平面α,又BC在平面α内,因此PA⊥BC.因此∠BCA是直角,因此BC⊥AC.而PA与AC是△PAC所在平面内的相交直线,因此BC⊥△PAC所在平面.从而证得△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直.四、本题主要考查对数和不等式知识及运算推导能力.解:满足sin2x>0的x取值范围是而由log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)以及对数函数的定义域及性质得到x2-2x-15<x+13,②x2-2x-15>0,③x+13>0,④解不等式②得:-4<x<7,⑤解不等式③及④得-13<x<-3或x>5.⑥综合①、⑤及⑥,可知所求的解集为(-π,-3)∪(2π,7).五、本题主要考查三角函数、函数最大(小)值知识及分析问题的能力.解:设点A的坐标为(0,a)、点B的坐标为(0,b),0<b<a,又设所求点C的坐标为(x,0),x>0.记∠BCA=α,∠OCB=β,则∠OCA=α+β.六、本题考查排列组合、集合等知识与分析问题的能力.解法一:因为A、B各含12个元素,A∩B含4个元素,因此, A∪B元素的个数是12+12-4=20.解法二:由题目条件可知,属于B而不属于A的元素个数是12-4=8.七、本题考查直线、抛物线和函数的基本知识及综合推导能力.解:由已知条件可知,直线l1的方程是y=k(x+1),①把①代入抛物线方程y2=4x,整理后得到k2x2+(2k2-4)x+k2=0,②因此,直线l1与该抛物线有两个交点的充要条件是:(2k2-4)2-4k2²k2>0,③及k≠0.④解出③与④得到k∈(-1,0)∪(0,1).今记l1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2,由韦达定理及②得定义域是(-1,0)∪(0,1).注:可先解出k的取值范围作为定义域,后给出函数f(k)的表达式,也可先给出函数表达式,后解出k的取值范围作为定义域.八、本题主要考查数列的概念及运用数学归纳法解题的能力.证明:首先,由于x1>0,由数列{x n}的定义可知x n>0,(n=1,2…)那么当n=k+1时从而对一切自然数n都有x n+1>x n.(ii)若x1>1,同理可证,对一切自然数n都有x n+1<x n.九、(附加题,不计入总分)本题主要考查导数的运算及几何意义.1987年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.(A)X(B)T(C)φ(D)S【】【】(3)设a,b是满足ab<0的实数,那么(A)│a+b│>│a-b│(B)│a+b│<│a-b│(C)│a-b│<││a│-│b│ (D)│a-b│<│a│+│b│【】(4)已知E,F,G,H为空间中的四个点,设命题甲:点E,F,G,H不共面.命题乙:直线EF和GH不相交.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件.(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件.(C)甲是乙的充要条件.(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.【】(5)在区间(-∞,0)上为增函数的是【】【】(7)极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是(A)直线 (B)圆(C)双曲线(D)抛物线【】【】二、只要求写出结果.(3)若(1+x)n的展开式中,x3的系数等于x的系数的7倍,求n.(5)在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离为最短.(6)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数.求这种五位数的个数.(7)一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm,而侧面积等于两底面积之差,求斜高.三、求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.四、如图,三棱锥P-ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h.五、设对所有实数x,不等式恒成立,求a的取值范围.六、设复数z1和z2满足关系式其中A为不等于0的复数.证明:(1)│z1+A││z2+A│=│A│2;七、设数列a1,a2,…,a n,…的前n项的和S n与a n的关系是其中是b与n无关的常数,且b≠-1.(1)求a n和a n-1的关系式;(2)写出用n和b表示a n的表达式;八、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,记线段AB的中点为M.求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.九、(附加题,不计入总分)(2)设y=xln(1+x2),求y′.1987年试题(理工农医类)答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D(2)C(3)B(4)A(5)B(6)D(7)B(8)A二、本题考查基础知识和基本运算,只需写出结果.三、本题考查三角的恒等变形知识和运算能力.解法一:sin10°sin50°sin70°∴sin10°sin30°sin50°sin70°解法二:∵sin10°sin50°sin70°,.解法三:sin10°sin30°sin50°sin70°==四、本题考查直线和平面的位置关系、体积计算等知识和推理能力.证明:连结AD和PD.∵BC⊥PA，BC⊥ED，PA与ED相交，∴BC⊥平面PAD,三棱锥B-PAD体积同理,三棱锥C-PAD的体积∴三棱锥P-ABC体积∵V=V1+V2,若E,D不是分别在线段AP,BC上,结论仍成立.五、本题考查对数、不等式等知识和运算能力.解:由题意得化简为z(6-z)<0,解得z>6,或z<0. ④①式变形为log28-z>0,∴z<3, ⑤综合④,⑤得z<0,解①，⑥得a的取值范围：0<a<1.六、本题考查复数知识和运算以及推理能力.解法一:(1)由已知的关系式得∵│z1+A││z2+A│由①证得│z1+A││z2+A│=││A│2│=│A│2. ②(2)∵A≠0,由①得z1+A≠0,由此得由②得解法二:(1)由题设所以证得(2)以(1)中的结果代入得解法三:(1)由已知的关系式得令z1+A=r(cosα+isinα),z2+A=s(cosβ+isinβ), 由于A≠0,我们有r≠0,s≠0.由①得rs[cos(α-β)+isin(α-β)]=│A│2,于是rscos(α-β)=│A│2,sin(α-β)=0,∴cos(α-β)=1,rs=│A│2,而│z1+A││z2+A│=rs,所以证得│z1+A││z2+A│=│A│2.。
1988年试题全国高考数学试题及参考答案
1988年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.(A)1 (B)－1 (C)I (D)－i【】[Key]一、本题考查基本概念和基本运算.(1)B(2)设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2,直线L的方程为x＋y－3＝0,点P的坐标为(2,1),那么(A)点P在直线L上,但不在圆M上(B)点P在圆M上,但不在直线L上(C)点P既在圆M上,又在直线L上(D)点P既不在圆M上,也不在直线L上【】[Key] (2)C(3)集合{1,2,3}的子集总共有(A)7个 (B)8个(C)6个 (D)5个【】[Key] (3)B(A)10 (B)5【】[Key] (4)A(5)在的展开式中,x6的系数是【】(6)函数y＝cos4x－sin4x的最小正周期是(A)π(B)2π【】[Key] (6)A(7)方程的解集是【】[Key] (7)C(A)圆(B)双曲线右支(C)抛物线(D)椭圆【】[Key] (8)D(9)如图,正四棱台中,A＇D＇所在的直线与BB＇所在的直线是(A)相交直线(B)平行直线(C)不互相垂直的异面直线(D)互相垂直的异面直线【】【】[Key] (10)D(11)设命题甲:△ABC的一个内角为60°.命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件(C)甲是乙的充要条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【】[Key] (11)C(12)复平面内,若复数z满足│z＋1│＝│z－i│,则z所对应的点Z的集合构成的图形是(A)圆(B)直线(C)椭圆(D)双曲线【】[Key] (12)B(13)如果曲线x2－y2－2x－2y－1＝0经过平移坐标轴后的新方程为那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为(A)(1,1) (B)(－1,－1)(C)(－1,1) (D)(1,－1)【】[Key] (13)D(14)假设在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有【】[Key] (14)B上),点D是点C在面β上的射影,点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点,那么(A)∠CEB>∠DEB(B)∠CEB＝∠DEB(C)∠CEB＜∠DEB(D)∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定【】[Key] (15)A二、只要求直接写出结果.(5)已知等比数列{a n}的公比q>1,并且a1＝b(b≠0),求[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需要写出结果.[Key] 三、本题主要考查三角公式和进行三角式的恒等变形的能力.解法一:解法二:解法三:解法四:四、如图,正三棱锥S－ABC的侧面是边长为a的正三角形,D是SA的中点,E是BC的中点,求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积.[Key] 四、本题主要考查空间想象能力、体积计算等知识和推理能力.解法一:连接AE,因为△SBC和△ABC都是边长为a的正三角形,并且SE和AE分别是它们的中线,所以SE＝AE,从而△SEA为等腰三角形,由于D是SA的中点,所以ED⊥SA.作DF⊥SE,交SE于点F.考虑直角△SDE的面积,得到所求的旋转体的体积是以DF为底面半径,分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和,即解法二:连结BD.因为BD是正三角形SBA的中线,所以BD⊥SA.连结CD,同理CD⊥SA.于是SA⊥平面BDC,所以SA⊥DE.作DF⊥SE,交SE于点F.在直角△SDE中,SD2＝SF·SE,所求的旋转体的体积为[Key] 五、本题主要考查对数函数的性质,以及运用重要不等式解决问题的能力.解法一:情形1∶0＜a＜1.情形2∶a>1.解法二:当t>0时,由重要不等式可得当且仅当t＝1时取“＝”号.当0＜a＜1时,y＝log a x是减函数,当a>1时,y＝log a x是增函数,解法三:因为t>0,又有当且仅当t＝1时取“＝”号,当且仅当t＝1时取“＝”号.以下同解法二.六、给定实数a,a≠0,且a≠1设函数证明(1)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴;(2)这个函数的图象关于直线y＝x成轴对称图形.[Key] 六、本题主要考查考生在正确理解数学概念(函数的图象的概念,轴对称图形的概念等)的基础上进行推理的能力,以及灵活运用学过的代数和解析几何的知识(互为反函数的图象之间的关系,两条直线平行的条件等)解决问题的能力.证法一:(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数图象上任意两个不同的点,∵a≠1,且x1≠x2,∴y2－y1≠0.因此,M1M2不平行于x轴.即,由此得a＝1,与已知矛盾,于是由②式得证法二:(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数的图象上任意两个不同的点,则x1≠x2.假如直线M1M2平行于x轴,那么y1＝y2,即亦即(x1－1)(ax2－1)＝(x2－1)(ax1－1),整理得a(x1－x2)＝x1－x2,因为x1≠x2,所以a＝1,这与已知矛盾.因此M1M2不平行于x轴.(2)先求所给函数的反函数:由得y(ax－1)＝x－1,即(ay－1)x＝y－1.即ax－a＝ax－1,由此得a＝1,与已知矛盾,所以ay－1≠0.因此得到由于函数y＝f(x)的图象和它的反函数y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对证法三:(1)任取一条与x轴平行的直线L,则l的方程为y＝c(c为常数).考虑L与所给函数的图象是否相交以及交点数目的情况.将②代入①得c(ax－1)＝x－1,即(ca－1)x＝c－1. ③从而直线L与所给函数的图象无交点.这说明原方程组恰有一个解,从而直线L与所给函数的图象恰有一个交点.综上述,平行于x轴的直线与所给函数的图象或者不相交,或者恰有一个交点.因此,经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.(2)同证法一或证法二.[Key] 七、本题主要考查考生利用方程研究曲线性质的能力,以及综合运用学过的代数知识(一元二次方程的判别式,根与系数的关系,解二元二次方程组,解不等式等)去解题的能力.解法一:假定椭圆上有符合题意的四个点,则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程:又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y2＝2px,从而它们都是下面的方程组的解:将②式代入①式,得由于上述方程组有4个不同的实数解,所以方程③的判别式应大于零,整理得 3p2－4p＋1>0,由已知,椭圆上的点的横坐标都大于零,所以方程③的两个根应都为正数,于是得 7p－4＜0,解此不等式得由④、⑤以及已知条件得一次项系数7p－4＜0,所以x1,x2都为正数.把x1及x2分别代入②中,可解得显然y1,y2,y3,y4两两不相等.由于(x1,y1)适合②式和③式,从而也适合①式,因此点M1(x1,y1)是符合题意的点.同理M2(x1,y2),M3(x2,y3),M4(x2,y4)都是符合题意的点,并且它们是互不相同的.解法二:椭圆上有四个点符合题意的充要条件是方程组有四个不同的实数解.所以原方程组有四个不同的实数解,当且仅当方程③有两个不相等的正根.而这又等介于在p>0的条件下,解此不等式组,得到解法三:易求出所给椭圆的方程为假定这个椭圆上有符合题意的四个点,则这些点的坐标应是下述方程组的解:把②式化简得y2＝2px.以下同解法一.。
1983年高考理科数学试题
1983年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共九道大题，满分120分）一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分1．两条异面直线，指的是 （ D ） （A ）在空间内不相交的两条直线（B ）分别位于两个不同平面内的两条直线（C ）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线（D ）不在同一平面内的两条直线2．方程x 2-y 2=0表示的图形是 （ A ） （A ）两条相交直线 （B ）两条平行直线 （C ）两条重合直线 （D ）一个点3．三个数a ,b ,c 不全为零的充要条件是 （ D ） （A ）a ,b ,c 都不是零 （B ）a ,b ,c 中最多有一个是零 （C ）a ,b ,c 中只有一个是零（D ）a ,b ,c 中至少有一个不是零4．设,34π=α则)arccos(cos α的值是 （ C ） （A ）34π （B ）32π- （C ）32π （D ）3π5．3.0222,3.0log ,3.0这三个数之间的大小顺序是 （ C ） （A ）3.0log 23.023.02<< （B ）3.02223.0log 3.0<< （C ）3.02223.03.0log << （D ）23.023.023.0log <<二．（本题满分12分）1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程,x y -=y x -=的图形，并写出它们交点的坐标2．在极坐标系内，方程θ=ρcos 5表示什么曲线？画出它的图形解：1.图形如左图所示 交点坐标是：O （0，0），P （1，-1） 2．曲线名称是：圆图形如右所示三．（本题满分12分） 1．已知x e y x 2sin -=，求微分dy2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法解：1.dx x e x e dx x e dy x x x ]2sin )()2(sin [)2sin ('+'='=---.)2sin 2cos 2()2sin 2cos 2(dx x x e dx x e x e x x x -=-=---2．)(1003416242614种=+⋅+⋅C C C C C 或：)(1002012036310种=-=-C C四．（本题满分12分） 计算行列式（要求结果最简）：YXβϕ-ββαϕ+ααsin )sin(cos cos )cos(sin解：把第一列乘以ϕsin 加到第2列上，再把第三列乘以)cos (ϕ-加到第2列上，得0cos 0sin sin 0cos cos 0sin cos 2cos 2cos sin sin )sin()sin(cos cos )cos()cos(sin =ϕϕββαα=ϕϕ-ϕϕβϕ-β-ϕ-ββαϕ+α-ϕ+αα=原式五．（本题满分15分）1．证明：对于任意实数t ，复数i t t z |sin ||cos |+=的模||z r = 适合≤r 2．当实数t 取什么值时，复数i t t z |sin ||cos |+=的幅角主值θ适合40π≤θ≤？ 1．证：复数i t t z |sin ||cos |+=（其中t 是实数）的模||z r =为.|sin ||cos |)|sin |()|cos |(22t t t t r +=+=要证对任意实数t ，有42≤r ，只要证对任意实数t ，2|sin ||cos |≤+t t 成立对任意实数t ，因为1|sin ||cos |22=+t t ，所以可令|,sin |sin |,cos |cos t t =ϕ=ϕ且)2,0(π∈ϕ，于是.2)4sin(2sin cos |sin ||cos |≤π+ϕ=ϕ+ϕ=+t t2．因为复数i t t z |sin ||cos |+=的实部与虚部都是非负数，所以z 的幅角主值θ一定适合20≤θ≤从而.1040≤θ≤⇔π≤θ≤tg 显然||≠=z r 因为.111||010,|||cos ||sin |≤≤-⇔≤θ≤⇔≤θ≤==θtgt tg tg tgt t t tg 所以由于).(4411,,22为任意整数的解是因此并且它的周期是内是增函数在k k t k tgt t tgt y π+π≤≤π-π≤≤-ππ<<π-=这就是所求的实数t 的取值范围六．（本题满分15分）如图，在三棱锥S-ABC 中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上;M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成的角等 于∠NSC ，求证SC 垂直于截面MAB证：因为SN 是底面的垂线，NC 是斜线SC 在底面上的射影，AB ⊥NC ，所以AB ⊥SC （三垂线定理） 连结DM 因为AB ⊥DC ，AB ⊥SC ，所以AB 垂直于DC 和SC 所决定的平面又因DM 在这个平面内，所以AB ⊥DM∴∠MDC 是截面与底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC在△MDC 和△NSC 中，因为∠MDC=∠NSC ，∠DCS 是公共角， 所以∠DMC=∠SNC=900从而DM ⊥SC 从AB ⊥SC ，DM ⊥SC ，可知SC ⊥截面MAB七．（本题满分16分）如图，已知椭圆长轴|A 1A 2|=6，焦距|F 1F 2|=24，过椭圆焦点F 1作一直线，交椭圆于两点M ，N 设∠F 2F 1M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？SM P C A N D B解一：以椭圆焦点F 1为极点，以F 1为起点并过F 2的射线为极轴建立极坐标系由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦距c=22，短半轴b=1，离心率e=322，中心到准线距离=429, 焦点到准线距离p=42.椭圆的极坐标方程为 θ-=θ-=ρcos 2231cos 1e ep.2cos 896||,cos 2231||.cos 2231||2212211=α-=ρ+ρ=α+=ρ=α-=ρ=∴MN N F M F解得.656.22cos π=απ=α∴±=α或 以上解方程过程中的每一步都是可逆的， 所以当6π=α或65π=α时，|MN|等于短轴的长解二：以椭圆的中心为原点，F 1F 2所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为.1922=+y xMN 所在直线方程为)()22(α=+=tg k x k y 其中解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+)22(1922x k y y x消去y 得0)18(9236)91(2222=-+++k x k x k .Y Xα+α+=++=++++=-+-=22222222222122191669166)91()1(36)1(36)()(||tg tg k k k k k k y y x x MN下同解法一解三：建立坐标系得椭圆如解二， MN 所在直线的参数方程为)(sin cos 22是参数t t y t x ⎩⎨⎧α=α+-=代入椭圆方程得 .01)cos 24()sin 9(cos 222=-α-α+αt t设t 1,t 2是方程两根，则由韦达定理，.sin 9cos 64)(||||.sin 9cos 1,sin 9cos cos 2422212212122212221α+α=-+=-=α+α-=α+αα=+t t t t t t MN t t t t下同解一解四：设|F 1M|=x ,则|F 2M|=6-x |F 1F 2|=24，∠F 2F 1M=α在△MF 1F 2中由余弦定理得13cos 22,cos 28)24()6(222=+-αα-+=-x x x x xα-=cos 2231x同理，设|F 1N|=y ，则|F 2N|=6-y 在△F 1F 2N 中，由余弦定理得.cos 896cos 2231cos 2231||,cos 2231,1cos 223).cos(28)24()6(2222α-=α++α-=α+==α+α-π-+=-MN y y y y y y下同解一已知数列{a n }的首项a 1=b(b ≠0），它的前n 项的和S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),并且S 1，S 2，S n ，…是一个等比数列，其公比为p （p ≠0且|p|＜1）1．证明：a 2,a 3,a 3,…a n ,…(即{a n }从第二项起）是一个等比数列2．设W n =a 1S 1+a 2S 2+a 3S 3+…+a n S n (n ≥1),求n n W ∞→lim（用b,p 表示）1．证：由已知条件得S 1=a 1=b.S n =S 1p n-1=bp n-1(n ≥1）因为当n ≥2时，S n =a 1+a 2+…+a n-1+a n =S n-1+a n ,所以 a n =S n -S n-1=bp n-2(p-1)(n ≥2)从而),2()1()1(211≥=--=--+n p p bp p bp a a n n n n 因此a 2,a 3,a 3,…a n ,…是一个公比为p 的等比数列2．解：当n ≥2时，,)1()1(212111p bpp bp bp p bp S a S a n n n n n n n n =--=---++ 且由已知条件可知p 2<1，因此数列a 1S 1，a 2S 2，a 3S 3，…a n S n …是公比为p 2<1的无穷等比数列于是.11)1(1)(lim 2222223322p p b pp p b p S a S a S a S a n n n +-=--=-=+++∞→ 从而)(lim lim )(lim lim 332211332211n n n n n n n n n S a S a S a S a S a S a S a S a W ++++=++++=∞→∞→∞→∞→.11222pb p p b b +=+-=1．已知a,b 为实数，并且e<a<b ，其中e 是自然对数的底，证明a b >b a . 2.如果正实数a,b 满足a b =b a .且a<1，证明a=b1．证：当e<a<b 时， 要证a b >b a ， 只要证blna>alnb,即只要证b ba a ln ln > 考虑函数0(ln +∞<<=x xxy 因为但e x >时， ,0ln 12<-='x x y 所以函数),(ln +∞=e x x y 在内是减函数因为e<a<b ，所以bba a ln ln >，即得ab >b a 2．证一：由a b =b a ，得blna=alnb ，从而ba a ln = 考虑函数)0(ln +∞<<=x xxy ，它的导数是 .ln 12x x y -='因为在（0，1）内0)(>'x f ，所以f(x)在（0，1）内是增函数由于0<a<1,b>0,所以a b <1,从而b a =a b <1.由b a <1及a>0,可推出b<1.由0<a<1,0<b<1,假如b a ≠，则根据f(x)在（0，1）内是增函数，得)()(b f a f ≠，即bba a ln ln ≠，从而ab b a ≠这与a b =b a 矛盾 所以a=b证二：因为0<a<1，a b =b a ，所以,log log b a a b a a =即aba log =假如a<b ，则1>ab，但因a<1，根据对数函数的性质，得b abb a b a b a a a a log ,log ,1log log =>=<这与从而矛盾所以a 不能小于b假如a>b ，则1<a b ，而1log >b a ，这也与b ab a log =矛盾所以a 不能大于b 因此a=b证三：假如a<b ，则可设ε+=a b ，其中ε>0由于0<a<1,ε>0,根据幂函数或指数函数的性质，得1<εa 和1)1(>ε+a a， 所以 ,)(,)1(,)1(a a a a a a a a aa a a a a ε+<ε+<ε+<ε+εε 即ab <b a .这与a b =b a 矛盾所以a 不能小于b假如b<a ，则b<a<1，可设a=b+ε,其中ε>0,同上可证得a b <b a .这于a b =b a 矛盾a 不能大于b因此a=b。
1988年全国高考数学(理科)试题
1988年普通高等学校招生全国统一考试理科数学说明：共七道大题，满分120分.一、选择题：（本题满分45分）本题共15个小题，每一个小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.每小题选对得3分，不选或选错一律得0分. 1.21()1i i -+的值等于 A.1 B.-1C. iD.i -2.设圆M 的方程为22(3)(2)2x y -+-=,直线l 的方程为30x y +-=,点P 的坐标为(2,1),那么A.点P 在直线l 上,但不在圆M 上B.点P 在圆M 上,但不在直线l 上C.点P 既在圆M 上,又在直线l 上D.点P 既不在圆M 上,也不在直线l 上 3.集合{}1,2,3的子集总共有A.7个B.8个C.6个D.5个4.已知双曲线221205x y -=，那么它的焦距是A.105.在10(x 的展开式中, 6x 的系数是A. 61027C -B. 41027CC. 6109C -D. 4109C6.函数cos 4sin 4y x x =-的最小正周期是 A. π B. 2π C.2πD. 4π7.方程224cos 30x x -+=的解集是A. (1),6k x x k k z ππ⎧⎫=+-⋅∈⎨⎬⎩⎭B. (1),3k x x k k z ππ⎧⎫=+-⋅∈⎨⎬⎩⎭C. 2,6x x k k z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭D. 2,3x x k k z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭8.极坐标方程432cos ρθ=-所表示的曲线是A. 圆B.双曲线右支C.抛物线D.椭圆9.如图,正四棱台中, 11A D 所在的直线与1BB 所在的直线是 A.相交直线 B.平行直线C.不互相垂直的异面直线D.互相垂直的异面直线10.1tan(arctan arctan 3)5+的值等于A. 4B. 14C. 18 D. 811.设命题甲: ABC ∆的一个内角为60°.命题乙: ABC ∆的三个内角的度数成等差数列.那么A.甲是乙的充分条件,但不是必要条件B.甲是乙的必要条件,但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.3甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件12.复平面内,若复数z 满足1z z i +=-,则z 所对应的点z 的集合构成的图形是 A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线13.如果曲线222210x y x y ----=经过平移坐标轴后的新方程为221x y ''-=那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为A. 1,1()B. (1,1)--C. (1,1)-D. (1,1)-14.假设在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有A.233197C C 种B.233231973197C C C C +种C.55200197C C -种D.5142003197C C C - 种 15.如图,二面角AB αβ--的平面角是锐角, C 是面α内的一点(它不在棱AB 上),点D 是点C 在面β上的射影,点E 是棱AB 上 满足CEB ∠为锐角的任意一点,那么A. CEB DEB ∠>∠B. CEB DEB ∠=∠B A CDA 1C 1 B 1D 1 A B CD E αβC. CEB DEB ∠<∠D. CEB DEB ∠∠，的大小关系不能确定二、（本题满分20分）本题共5个小题，每个小题满分4分，只要求直接写出结果.1.i 的模与辐角的主值. 2.解方程：192327x x ---⋅=.3.已知3sin 5θ=-，732ππθ<<，求tan 2θ的值.4.如图，已知四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB =用α表示ASD ∠,求sin α的值. 5.已知等比数列{}n a 的公比1q >,并且1(0)a b b =≠,123678lim nn n a a a a a a a a →∞++++=++++ 三、（本小题满分10分） 已知tan x a =，求3sin sin 33cos cos3x xx x ++的值.四、（本小题满分10分）如图,正三棱锥S ABC -的侧面是边长为a 的正三角形D 是SA 的中点,E 是BC 的中点,求SDE ∆绕直线SE 旋转一周所得到的旋转体的体积.五、（本小题满分11分）设0a >，1a ≠，比较1log 2a t 与1log 2a t +的大小，并证明你的结论.六、（本小题满分12分）给定实数a ，0a ≠,且1a ≠设函数11x y ax -=-，1(,)x R x a∈≠证明(1)(2)这个函数的图象关于直线y x =成轴对称图形. 七、（本小题满分12分） 如图，直线l 的方程为2p x =-，其中0p >；椭圆的中心为(2,0)2pD +，焦点在x 轴上，长轴长为2，短轴长为1，它的一个顶点为(,0)2pA ，问p 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线的距离.ABCDSC D。
1988年(高考数学试题文理科)
一九八八年（理科）一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。
每一个小题选对得3分;不选或选错一律得0分。
（1）2i 1i 1⎪⎭⎫⎝⎛+-的值等于 （ B ）（A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么 （ C ） （A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上。
（B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上。
（C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上。
（D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上。
（3）集合{1，2，3}的子集共有 （ B ） （A ）7个 （B ）8个 （C ）6个 （D ）5个（4）已知双曲线方程15y 20x 22=-，那么它的焦距是 （ A ）（A ）10 （B ）5 （C ）15 （D ）152（5）在10)3x (-的展开式中，x 6的系数是 （ D ）（A ）610C 27- （B ）410C 27 （C ）610C 9- （D ）410C 9 （6）函数x sin x cos y 44-=的最小正周期是 （ A ） （A ）π （B ）π2 （C ）2π （D ）π4（7）方程03x cos 34x cos 42=+-的解集是 （ C ） （A ）}Z k ,6)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （B ）}Z k ,3)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （C ）}Z k ,6k 2x |x {∈π±π= （D ）}Z k ,3k 2x |x {∈π±π= （8）极坐标方程θ-=ρcos 234所表示的曲线是 （ D ）（A ）圆 （B ）双曲线右支 （C ）抛物线 （D ）椭圆（9）如图，正四棱台中，D A ''所在的直线与B B '所在的直线是（A ）相交直线 （ C ）（B ）平行直线（C ）不互相垂直的异面直线 （D ）互相垂直的异面直线（10）)3arctg 51arctg (tg +的值等于 ( D ） （A ）4 （B ）21 （C ）81 （D ）8（11）设命题甲：△ABC 的一个内角为600。
1988年全国高考数学理科
1988年全国高考数学（文科 ）试题及其解析一、（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分;不选或选错一律得0分（1）的值等于 --------------------------------------------------（ ）2i 1i 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-（A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i （2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么 --------------------------------------------------------------（ ）（A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上（B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上（C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上（D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上（3）集合{1，2，3}的子集共有 -------------------------------------------（ ）（A ）7个 （B ）5个 （C ）6个 （D ）8个（4）函数的图象是 ---------------------------------------（ )1a 0(a y x <<=）（5）已知椭圆方程，那么它的焦距是 ---------------------------（ 111y 20x 22=+）（A ）6 （B ）3 （C ） （D ）31231（6）在复平面内，与复数z=-1-i 的共轭复数对应的点位于 -------------------（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（7）在的展开式中，x 6的系数是 ---------------------------------（ 10)3x (-）（A ） （B ） （C ） （D ）610C 27-410C 27610C 9-410C 9（8）函数的最小正周期是 -----------------------------（ )6x 52cos(3y π-=（A ）（B ） （C ） （D ）π52π25π2π5（9）的值等于 ------------------------------------------------（ )619sin(π-）（A ） （B ） （C ） （D ）2121-2323-（10）直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合）的充要条件是 ------------------（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 21a =21a -=1a =1a -=（11）函数的反函数是 -----------------------（ 21x ,R x (1x 22x y ≠∈--=且）（A ） （B ）)21x ,R x (1x 22x y ≠∈--=且)2x ,R x (2x 1x 2y ≠∈--=且(C ） （D ）)21x ,R x (1x 22x y ≠∈-+=且)2x ,R x (2x 1x 2y -≠∈+-=且（12）如图，正四棱台中，所在的直线与所在的直线是 --（ ）D A ''B B '（A ）相交直线 （B ）平行直线（C ）不互相垂直的异面直线 （D ）互相垂直的异面直线（13）函数在闭区间 ----------------------------------------（ 4x sin(y π+=）（A ）上是增函数 （B ）上是增函数 ]2,2[ππ-]4,43[ππ-（C ）上是增函数 （D ）上是增函数]0,[π-43,4[ππ-（14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 -------------------------------------------------------------（ ）（A ）种 （B ）种219733319723C C C C +319723C C （C ）种 （D ）种51975200C C -4197135200C C C -（15）已知二面角的平面角是锐角，内一点C 到的距离为3，点C 到棱β--αAB θαβAB 的距离为4，那么的值等于 --------------------------------------（θtg（A ）（B ） （C ） （D ）4353773731二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果（1）求复数的模和辐角的主值i 3-（2）解方程.27329x 1x =⋅---（3）已知的值2tg ,273,53sin θπ<θ<π-=θ求（4）一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm 和4cm ，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积（5）求.1n 3n n 2n 3lim 22n -++∞→三．（本题满分10分）证明α-α=αcos 3cos 43cos 3四．（本题满分10分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB=，3用表示∠ASD，求的值ααsin五．（本题满分11分）在双曲线x 2-y 2=1的右支上求点P （a,b ），使该点到直线y=x 六．（本题满分12分）解不等式.0)x 1x lg(<-七．（本题满分12分）一个数列：当n 为奇数时，当n 为偶数时，求这个数列的}a {n ;1n 5a n +=.2a 2n n =前2m 项的和（m 是正整数）参考答案及其解析 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)B (2)C (3)D (4)B (5)A (6)B (7)D (8)D (9)A (10)C (11)A (12)C (13)B (14)A (15)C 二、本题考查基础知识和基本运算,只需要写出结果.（1）[答]模：2;复角主值：（只答对一个值的给2分）π611（2）[答]x=-2（直接答-2也算对） （3）[答]-3 （4）[答]（未写单位，只给3分） （5）[答]33cm 548π三、本题主要考查三角公式和进行三角式的恒等变形的能力.四、本题主要考查空间想象能力、体积计算等知识和推理能力.解：因为SB 垂直于底面ABCD ，所以斜线段SA 在底面上的射影为AB ，由于DA⊥AB 所以 DA⊥SA 从而.SD 1SD AD sin ==α连结BD ，易知BD=由于SB⊥BD，所以25)2()3(BD SB SD 2222=+=+=因此，.55151sin ==α五、解：由题意，点P （a,b ）是下述方程组的解：并且a>0.由（1）式得因为a>0，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-)2(,22|b a |)1(,1b a 22,b 1a 22+=所以，从而a>b ，于是由（2）式得|b |b b 1a 22=>+=a-b=2 （3）把（3）式代入得,1b )2b (22=-+解得.45a )3(,43b =-=得代入∴所求的点P 的坐标为).43,45(-六、解：原不等式等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-.1x 1x ,0x 1x 22情形1 当x>0时，上述不等式组变成⎩⎨⎧+<>.1x x ,1x 22解得：.251x 1+<<情形2 当x<0时，上述不等式组变成⎩⎨⎧+><.1x x ,1x 22解得.251x 1-<<-所以原不等式解集为}251x 1|x {}251x 1{|+<<⋃-<<-七、解：因为,10]1)1k 2(5[]1)1k 2(5[a a 1k 21k 2=+--++=--+所以是公差为10的等差数列1m 2531a ,a ,a ,a - 因为,2)2()2(a a 2k 222k 2k 22k 2=÷=÷++所以是公比为2的等比数列m 2642a ,a ,a ,a 从而数列的前2m 项和为：}a {n .22m m 521)21(22m ]1)1m 2(56[)a ,a ,a ,a ()a ,a ,a ,a (S 1m 2m m 26421m 2531m 2-++=--++-+=+=+-。
1983年全国高考数学试题及答案
1983年全国高考数学试题(理工农医类)一、本题共5个小题,每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的.把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)两条异面直线,指的是(A)在空间内不相交的两条直线.(B)分别位于两个不同平面内的两条直线.(C)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线.(D)不在同一平面内的两条直线.【】一、本题考查对一些基本概念和常用的词语的理解.(1)D;(A)两条相交直线. (B)两条平行直线.(C)两条重合直线. (D)一个点.【】[Key] (2)A;(3)三个数a,b,c不完全为零的充要条件是(A)a,b,c都不是零. (B)a,b,c中最多有一个是零.(C)a,b,c中只有一个是零. (D)a,b,c中至少有一个不是零.【】[Key] (3)D;【】[Key] (4)C;【】[Key] (5)C.(2)在极坐标系内,方程ρ=5cosθ表示什么曲线?画出它的图形.[Key] 二、本题考查在直角坐标系内和极坐标系内画出图形的能力.解:(1)图形如右所示.交点坐标是:O(0,0),P(1,-1).(2)曲线名称是:圆.图形如下所示.(2)一个小组共有10名同学,其中4名是女同学,6名是男同学.要从小组内选出3名代表,其中至少有1名女同学,求一共有多少种选法.[Key] 三、本题考查求初等函数微分的方法和解决简单的排列组合应用题的能力.所以3名代表中至少有1名女同学的选法有所以3名代表中至少有1名女同学的选法有四、计算行列式(要求结果最简):[Key] 四、本题考查行列式的性质(或定义,或按一列展开)和三角公式的运用.解法一:把第1列乘以sinϕ加到第2列上,再把第3列乘以(-cosϕ)加到第2列上,得解法二:把行列式的第2列用三角公式展开,然后运用行列式的性质,得解法三:把行列式按第2列展开,得解法四:把行列式按定义展开,并运用三角公式,得[Key] 五、本题考查复数、不等式和三角函数的基础知识以及运用它们解题的能力.显然r=│z│≠0.因为这就是所求的实数t的取值范围.以下同解法一的后半部分.六、如图,在三棱锥SˉABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点,使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC.求证SC垂直于截面MAB.[Key] 六、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证法一:因为SN是底面的垂线,NC是斜线SC在底面上的射影,AB⊥NC,所以AB⊥SC(据三垂线定理).连结DM.因为AB⊥DC,AB⊥SC,所以AB垂直于DC和SC所决定的平面.又因DM在这平面内,所以AB⊥DM.∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC.在△MDC和△NSC中,因为∠MDC=∠NSC,∠DCS是公共角,所以∠DMC=∠SNC=90°从而DM⊥SC.从AB⊥SC,DM⊥SC,可知SC⊥截面MAB.证法二:连结DS,DM(参见证法一中的图).因为SN是底面的垂线,AB⊥DN,所以AB⊥DS(据三垂线定理).从而AB⊥平面SDC.因SC,DM都在平面SDC内,故AB⊥SC,AB⊥DM.由AB⊥DM,AB⊥DC,可知∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC.以下同证法一,故SC⊥截面MAB.证法三:连结DM,DS.因为M,N分别在△SDC的两边上,所以SN和DM都在平面内,且相交于一点P.又因PN是底面的垂线,AB⊥DN,所以AB⊥DM(据三垂线定理).∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC.又∠MDC=∠NSC,∠DCS是△DCM和△SCN的公共角,故∠DMC=∠SNC=90°.从而DM⊥SC.从AB⊥DM,AB⊥DC,可知AB⊥平面MDC.因为SC是平面MDC内的直线,所以AB⊥SC.从AB⊥SC,DM⊥SC,可知SC⊥截面MAB.[Key] 七、本题考查合理选择坐标系和灵活运用直线、椭圆性质解决问题的能力以及简单三角方程的解法.解法一:以椭圆焦点F1为极点,以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系.解法二:以椭圆中心为原点,F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系(如图).解方程组以下同解法一.解法三:以椭圆中心为原点,F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系(如图).解方程组解得以下同解法一.解法四:同理,设│F1N│=y,则│F2N│=6-y.以下同解法一.八、已知数列{a n}的首项a1=b(b≠0),它的前n项的和S n=a1+a2+…+a n(n≥1),并且S1,S2,…,S n,…是一个等比数列,其公比为p(p≠0且│p│<1).(1)证明a2,a3,…,a n…,(即{a n}从第2项起)是一个等比数列.[Key] 八、本题考查数列的基础知识和极限的计算方法.(1)证明:由已知条件得S1=a1=b.S n=S1p n-1=bp n-1>(n≥1).因为当n≥2时,S n=a1+a2+…+a n-1+a n=S n-1+a n,所以a n=S n-S n-1=bp n-1-bp n-2=bP n-2(p-1)(n≥2).因此a2,a3…,a n,…是一个公比为p的等比数列.(2)解法一:当n≥2时,且由已知条件可知P2<1,因此数列于是因此九、(1)已知a,b为实数,并且e<a<b,其中e是自然对数的底,证明ab>b a.(2)如果正实数a,b满足ab=b a,且a<1,证明a=b.[Key] 九、本题考查对函数概念的理解,对幂函数、指数函数和对数函数性质的运用及利用导数判断函数增减性从而比较函数值大小的方法.在[a,b]上对f(x)运用中值定理,得因为在(0,1)内f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)内是增函数.同证法一,证得b<1.因此a=b.因此a=b.九、(1)已知a,b为实数,并且e<a<b,其中e是自然对数的底,证明ab>b a.(2)如果正实数a,b满足ab=b a,且a<1,证明a=b.[Key] 九、本题考查对函数概念的理解,对幂函数、指数函数和对数函数性质的运用及利用导数判断函数增减性从而比较函数值大小的方法.在[a,b]上对f(x)运用中值定理,得因为在(0,1)内f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)内是增函数.同证法一,证得b<1.因此a=b.因此a=b.。
20世纪的高考——1983年数学高考试卷
1983年数学高考试卷理工农医类一、本题公5个小题，每一个小题都给出代号为A ，B ，C ，D 四个结论，其中只有一个是正确结论。
把正确结论的代号写在题后的括号内。
（1）两条异面直线，指的是（ ）A 、在空间内不相交的两条直线B 、分别位于两个不同平面内的两条直线C 、在某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D 、不在同一平面内的两条直线（2）方程220x y -=表示的图形是（ ）A 、两条相交直线B 、两条平行直线C 、两条重合直线D 、一个点（3）三个数a ，b ，c 不全为零的充要条件是（ ）A 、a ，b ，c 都不是零B 、a ，b ，c 中最多有一个是零C 、a ，b ，c 中只有一个是零D 、a ，b ，c 中至少有一个不是零（4）设43πα=，则arccos(cos )α的值是（ ） A 、43π B 、23π- C 、23π D 、3π（5）20.3，2log 0.3，0.32三个数直线的大小关系是（ ）A 、20.320.32log 0.3<<B 、20.320.3log 0.32<<C 、20.32log 0.30.32<<D 、0.322log 0.320.3<<二、（1）在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程y =x =的图形，并写出它们的交点坐标（2）在极坐标系内，方程5cos ρθ=表示什么曲线？画出它的图形三、（1）已知sin 2xy e x -=，求微分d y（2）一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学，要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法四、计算行列式（要求结果最简） sin cos()cos cos sin()sin sin cos 2cos ααϕαββϕβϕϕϕ+-五、 （1）证明：对于任意实数t，复数z =的模r z =适合r ≤； （2）当时数t取什么值时，复数z =的辐角主值θ适合04πθ≤≤六、如图：，在三棱锥S ABC -中，S 在底面ABC 的射影N 位于底面的高CD 上，M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成的角等于NSC ∠，求证：SC 垂直于截面MAB七、如图，已知椭圆长轴126A A =，焦距12F F =过椭圆焦点1F 作一直线，交椭圆于两点M ，N ，设21(0)F F M ααπ∠=≤<，当α取什么值时，MN 等于椭圆短轴的长？八、已知数列{}n a 的首项1(0)a b b =≠，它的前n 项和12(1)n n S a a a n =+++≥ ，并且12,,,,n S S S 是一个等比数列，其公比为(0,1)p p p ≠<（1）证明：23,,,n a a a （即{}n a 从第二项起）是一个等比数列；（2）设112233(1)n n n W a S a S a S a S n =++++≥ ，求lim n n W →∞（用b ，p 表示）九、（1）已知a ，b 为实数，并且e a b <<，其中e 是自然对数的底，证明：b a a b >；（2）如果正实数a ，b 满足b a a b =，且1a <，证明a b =答案：一、（1）D ；（2）A ；（3）D ；（4）C ；（5）C二、（1）图略，交点坐标是(0,0)和(1,1)-；（2）图略，曲线是圆三、（1）d (2cos 2sin 2)d x y e x x x -=-；（2）100种四、0五、（1）证明略；（2）44k t k ππππ-≤≤+（k 为任意整数） 六、证明略 七、6πα=或56πα= 八、（1）证明略；（2）21b p+ 九、（1）证明略；（2）证明略文史类一、本题公5个小题，每一个小题都给出代号为A ，B ，C ，D 四个结论，其中只有一个是正确结论。
1988年高考数学 理工农医类、全国卷 真题
1988年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）一、本题每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.（）(A)1(B)-1(C)I(D)-i(2)设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么（）(A)点P在直线L上,但不在圆M上(B)点P在圆M上,但不在直线L上(C)点P既在圆M上,又在直线L上(D)点P既不在圆M上,也不在直线L上(3)集合{1,2,3}的子集总共有（）(A)7个(B)8个(C)6个(D)5个（）(A)10(B)5(5)在的展开式中,x6的系数是（）(6)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是（）(A)π(B)2π(7)方程的解集是（）（）(A)圆(B)双曲线右支(C)抛物线(D)椭圆(9)如图,正四棱台中,A＇D＇所在的直线与BB＇所在的直线是（）(A)相交直线(B)平行直线(C)不互相垂直的异面直线(D)互相垂直的异面直线（）【】(11)设命题甲:△ABC的一个内角为60°.命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么（）(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件(C)甲是乙的充要条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件(12)复平面内,若复数z满足│z+1│=│z-i│,则z所对应的点Z的集合构成的图形是（）(A)圆(B)直线(C)椭圆(D)双曲线(13)如果曲线x2-y2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（）(A)(1,1)(B)(-1,-1)(C)(-1,1)(D)(1,-1)(14)假设在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有（）(15)如图,二面角αˉABˉβ的平面角是锐角,C是面α内的一点(它不在棱AB上),点D是点C在面β上的射影,点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点,那么（）(A)∠CEB>∠DEB(B)∠CEB=∠DEB(C)∠CEB<∠DEB(D)∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定二、只要求直接写出结果.(5)已知等比数列{an}的公比q>1,并且a1=b(b≠0),求四、如图,正三棱锥S-ABC的侧面是边长为a的正三角形,D是SA的中点,E是BC的中点,求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积.六、给定实数a,a≠0,且a≠1设函数证明(1)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴;(2)这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形.1988年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）参考答案一、选择题.(1)B(2)C(3)B(4)A(5)D(6)A(7)C(8)D(9)C(10)D(11)C(12)B(13)D(14)B(15)A二、填空题.三、本题主要考查三角公式和进行三角式的恒等变形的能力.解法一:解法二:解法三:解法四:四、本题主要考查空间想象能力、体积计算等知识和推理能力.解法一:连接AE,因为△SBC和△ABC都是边长为a的正三角形,并且SE和AE分别是它们的中线,所以SE=AE,从而△SEA为等腰三角形,由于D是SA的中点,所以ED⊥SA.作DF⊥SE,交SE于点F.考虑直角△SDE的面积,得到所求的旋转体的体积是以DF为底面半径,分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和,即解法二:连结BD.因为BD是正三角形SBA的中线,所以BD⊥SA.连结CD,同理CD⊥SA.于是SA⊥平面BDC,所以SA⊥DE.作DF⊥SE,交SE于点F.在直角△SDE中,SD2=SF·SE,所求的旋转体的体积为五、本题主要考查对数函数的性质,以及运用重要不等式解决问题的能力.解法一:情形1∶0<a<1.情形2∶a>1.解法二:当t>0时,由重要不等式可得当且仅当t=1时取“=”号.当0<a<1时,y=logax是减函数,当a>1时,y=logax是增函数,解法三:因为t>0,又有当且仅当t=1时取“=”号,当且仅当t=1时取“=”号.以下同解法二.六、本题主要考查考生在正确理解数学概念(函数的图象的概念,轴对称图形的概念等)的基础上进行推理的能力,以及灵活运用学过的代数和解析几何的知识(互为反函数的图象之间的关系,两条直线平行的条件等)解决问题的能力.证法一:(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数图象上任意两个不同的点,∵a≠1,且x1≠x2,∴y2-y1≠0.因此,M1M2不平行于x轴.即,由此得a=1,与已知矛盾,于是由②式得证法二:(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数的图象上任意两个不同的点,则x1≠x2.假如直线M1M2平行于x轴,那么y1=y2,即亦即(x1-1)(ax2-1)=(x2-1)(ax1-1),整理得a(x1-x2)=x1-x2,因为x1≠x2,所以a=1,这与已知矛盾.因此M1M2不平行于x轴.(2)先求所给函数的反函数:由得y(ax-1)=x-1,即(ay-1)x=y-1.即ax-a=ax-1,由此得a=1,与已知矛盾,所以ay-1≠0.因此得到由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对证法三:(1)任取一条与x轴平行的直线L,则l的方程为y=c(c为常数).考虑L与所给函数的图象是否相交以及交点数目的情况.将②代入①得c(ax-1)=x-1,即(ca-1)x=c-1.③从而直线L与所给函数的图象无交点.这说明原方程组恰有一个解,从而直线L与所给函数的图象恰有一个交点.综上述,平行于x轴的直线与所给函数的图象或者不相交,或者恰有一个交点.因此,经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.(2)同证法一或证法二.七、本题主要考查考生利用方程研究曲线性质的能力,以及综合运用学过的代数知识(一元二次方程的判别式,根与系数的关系,解二元二次方程组,解不等式等)去解题的能力.解法一:假定椭圆上有符合题意的四个点,则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程:又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y2=2px,从而它们都是下面的方程组的解:将②式代入①式,得由于上述方程组有4个不同的实数解,所以方程③的判别式应大于零,整理得3p2-4p+1>0,由已知,椭圆上的点的横坐标都大于零,所以方程③的两个根应都为正数,于是得7p-4<0,解此不等式得由④、⑤以及已知条件得一次项系数7p-4<0,所以x1,x2都为正数.把x1及x2分别代入②中,可解得显然y1,y2,y3,y4两两不相等.由于(x1,y1)适合②式和③式,从而也适合①式,因此点M1(x1,y1)是符合题意的点.同理M2(x1,y2),M3(x2,y3),M4(x2,y4)都是符合题意的点,并且它们是互不相同的.解法二:椭圆上有四个点符合题意的充要条件是方程组有四个不同的实数解.所以原方程组有四个不同的实数解,当且仅当方程③有两个不相等的正根.而这又等介于在p>0的条件下,解此不等式组,得到解法三:易求出所给椭圆的方程为假定这个椭圆上有符合题意的四个点,则这些点的坐标应是下述方程组的解:把②式化简得y2=2px.。
1988年全国高考数学理科
1988年全国高考数学（理科 ）试题及其解析一、（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分;不选或选错一律得0分（1）2i 1i 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-的值等于 --------------------------------------------------（ ） （A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么 --------------------------------------------------------------（ ）（A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上（B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上（C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上（D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上（3）集合{1，2，3}的子集共有 -------------------------------------------（ ）（A ）7个 （B ）8个 （C ）6个 （D ）5个 （4）已知双曲线方程15y 20x 22=-，那么它的焦距是 -------------------------（ ） （A ）10 （B ）5 （C ）15 （D ）152（5）在10)3x (-的展开式中，x 6的系数是 ---------------------------------（ ） （A ）610C 27- （B ）410C 27 （C ）610C 9- （D ）410C 9（6）函数x sin x cos y 44-=的最小正周期是 -------------------------------（ ）（A ）π （B ）π2 （C ）2π （D ）π4 （7）方程03x cos 34x cos 42=+-的解集是 -----------------------------（ ）（A ）}Z k ,6)1(k x |x {k∈π⋅-+π= （B ）}Z k ,3)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （C ）}Z k ,6k 2x |x {∈π±π= （D ）}Z k ,3k 2x |x {∈π±π= （8）极坐标方程θ-=ρcos 234所表示的曲线是 ----------------------------（ ）（A ）圆 （B ）双曲线右支 （C ）抛物线 （D ）椭圆（9）如图，正四棱台中，D A ''所在的直线与B B '所在的直线是 -------------（ ）（A ）相交直线 （B ）平行直线（C ）不互相垂直的异面直线 （D ）互相垂直的异面直线（10）)3arctg 51arctg (tg +的值等于 --------------------------------------- ( ）（A ）4 （B ）21 （C ）81 （D ）8 （11）设命题甲：△ABC 的一个内角为600命题乙：△ABC 的三内角的度数成等差数列数列那么 ----------------- （ ）（A ）甲是乙的充分条件，但不是必要条件（B ）甲是乙的必要条件，但不是充分条件（C ）甲是乙的充要条件（D ）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件（12）在复平面内，若复数z 满足|i z ||1z |-=+，则z 所对应点Z 的集合构成的图形是（ ）（A ）圆 （B ）直线 （C ）椭圆 （D ）双曲线（13）如果曲线x 2-y 2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为1y x 22='-'，那么新坐标 系的原点在原坐标系中的坐标为 --------------------------------------（ ）（A ）（1，1） （B ）（-1，-1） （C ）（-1，1） （D ）（1，-1）（14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 --------------------------------------------------------------（ ）（A ）319723C C 种 （B ）219733319723C C C C +种（C ）51975200C C -种 （D ）4197135200C C C -种（15）已知二面角β--αAB 的平面角是锐角，C 是平面α内一点（它不在棱AB 上），点D是点C 在面β上的射影，点E 是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任一点，那么 ---（ ）（A ）∠CEB>∠DEB （B ）∠CEB=∠DEB（C ）∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定 （D ）∠CEB<∠DEB二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果（1）求复数i 3-的模和辐角的主值（2）解方程.27329x 1x =⋅---（3）已知2tg ,273,53sin θπ<θ<π-=θ求的值 （4）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB=3，用α表示∠ASD ，求αsin 的值（5）已知等比数列}a {n 的公比q>1，并且a 1=b(b ≠0）求.a a a a a a a a limn876n 321n ++++++∞→三．（本题满分10分）已知,a tgx =求x3cos x cos 3x 3sin x sin 3++的值四．（本题满分10分）如图，正三棱锥S-ABC 的侧面是边长为a 的正三角形，D 是SA 的中点，E 是BC 的中点，求△SDE 绕直线SE 旋转一周所得的旋转体的体积五．（本题满分11分）设21t log t log 21,0t ,1a ,0a a a +>≠>与比较的大小，并证明你的结论六．（本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分.给定实数).a1x ,R x (1ax 1x y ,1a ,0a ,a ≠∈--=≠≠且设函数且 证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴;（2）这个函数的图象关于直线y=x 成轴对称图形七．（本题满分12分）如图，直线L 的方程为2p x -=，其中p ＞0;椭圆的中心为D )0,2p 2(+，焦点在x 轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的一个顶点为A )0,2p (问p 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离参考答案及其解析一、本题考查基本概念和基本运算.(1)B (2)C (3)B (4)A (5)D(6)A (7)C (8)D (9)C (10)D(11)C (12)B (13)D (14)B (15)A二、本题考查基础知识和基本运算,只需要写出结果.（1）[答]模：2;复角主值：π611（只答对一个值的给2分） （2）[答]x=-2（直接答-2也算对） （3）[答]-3 （4）[答]55 （5）[答]1 三、本题主要考查三角公式和进行三角式的恒等变形的能力. 解：xcos x 2cos 2x cos 2x cos x 2sin 2x sin 2x 3cos x cos x cos 2x 3sin x sin x sin 2x 3cos x cos 3x 3sin x sin 3++=++++=++ )3a (2a )3x tg (2tgx )2x (sec 2tgx x cos 2)x cos 21(tgx )x 2cos 1(x cos 2x cos x sin 4x sin 2222222+=+=+=+=++= 四、本题主要考查空间想象能力、体积计算等知识和推理能力.解：连结AE ，因为△SDE 和△ABC 都是边长为a 的正三角形，并且SE 和AE 分别是它们的中线，所以SE=AE ，从而△SDE 为等腰三角形，由于D 是SA 的中点，所以ED ⊥SA 作DF ⊥SE ，交SE 于点F 考虑直角△SDE 的面积，得到,DE SD 21DF SE 21⋅=⋅所以， .a 66a 23a 222a DF ,,a 22)2a (a 43SD SE DE ,a 23)2a (a BE SB SE ,.SE DE a 21SE DE SD DF 22222222=⋅==-=-==-=-=⋅=⋅=所以易知 所求的旋转体的体积是以DF 为底面半径，分别以SF 和EF 为高的两个圆锥的体积的和，即.a 363a 236a 31SE )a 66(31EF )a 66(31SF )a 66(3132222π=⋅⋅π=⋅⋅π=⋅⋅π+⋅⋅π 五、本题主要考查对数函数的性质,以及运用重要不等式解决问题的能力.解：当t>0时，由重要不等式可得t 21t ≥+，当且仅当t=1时取“=”号.t log 2121t log ,t log 21t log ,1t a a a a =+=+=∴即时t log 2121t log ,t log 21t log ,x log y ,1a .t log 2121t log ,t log 21t log x log y ,1a 0.t 21t ,1t a a a a a a a a aa >+>+=><+<+=<<>=≠即所以是增函数时当即所以是减函数时当 六、本题主要考查考生在正确理解数学概念(函数的图象的概念,轴对称图形的概念等)的基础上进行推理的能力,以及灵活运用学过的代数和解析几何的知识(互为反函数的图象之间的关系,两条直线平行的条件等)解决问题的能力.证明：（1）设M 1（x 1,y 1),M 2(x 2,y 2)是这个函数图象上任意两个不同的点，则x 1≠x 2，且.0y y ,x x ,1a ,)1ax )(1ax ()1a )(x x ()1ax )(1ax ()x x ()x x (a )1ax )(1ax ()1ax x x ax (1ax x x ax 1ax 1x 1ax 1x y y 122112121212121211211221112212≠-∴≠≠----=-----=--+---+--=-----=-且 从而直线M 1M 2的斜率,0x x y y k 1212≠--=因此，直线M 1M 2不平行于x 轴 （2）设点P )y ,x (''是这个函数图象上任意一点，则,111)1(,1,01)2(,1)1(,1)1()1(),(),()1(11,1-'-'=='=-'-'=-''-'=-'''''=''-'-'='≠'x a x a a y y a y y a x x x a y x y P x y y x P x a x y a x 得代入则假如即式得由的坐标为的对称点关于直线易知点且,,1,1与已知矛盾由此得即=-'=-'a x a a x a成轴对称图形线这个函数的图象关于直因此在已知函数的图象上这说明点式得于是由x y x y P y a y x y a ='''-'-'='≠-'∴,,),(.11)2(.01（注：对（1）也可用反证法或考察平行x 轴的直线y=c 与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况由其无交点或恰有一交点，从而得证 对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关于y=x 对称七、本题主要考查考生利用方程研究曲线性质的能力,以及综合运用学过的代数知识(一元二次方程的判别式,根与系数的关系,解二元二次方程组,解不等式等)去解题的能力. 解：假定椭圆上有符合题意的四点，则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程：,1y 4)]2p 2(x [22=++- 又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y 2=2px,从而椭圆上有四点符合题意的充要条件是下面的方程组有四个不同的实数解： ⎪⎩⎪⎨⎧==++-)2(.px 2y )1(,1y 4)]2p 2(x [222 将（2）式代入（1）式，得)3(.0p 24p x )4p 7(x ,4px 8)]2p 2(x [222=++-+=++-即 所以原方程组有4个不同的实数解，当且仅当方程（3）有两个不相等的正根而这又等价于 310,,0.047,024,0)24(4)47(222<<>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<->+>+--=∆p p p p p p p p 得到解此不等式组的条件下在 所以，所求的p 的取值范围为.31p 0<<本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D 的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.。
1983年高考数学试题
1983年高考数学试题1983年高考数学试题是中国高中毕业生参加的一场非常重要的考试。
这场考试对于考生的学术发展和未来的职业选择都有着重要的意义。
本文将回顾1983年高考数学试题，并对其中一些题目进行分析和解答。
一、选择题1. 设函数f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，则f(x) = 0的两个根之和等于几？A. -aB. -bC. -cD. -1解析：根据韦达定理，根之和等于系数a的相反数，因此答案选项为A. -a。
2. 已知函数y = sin(x)在区间[0, π]上是增函数，则π/6是函数y =sin(x)的哪个值的唯一真正数解？A. -1/2B. -√3/2C. √3/2D. 1/2解析：函数y = sin(x)在区间[0, π/2]上是增函数，因此答案选项为D. 1/2。
3. 若a, b为实数，且方程x^2 - (a + b)x + ab = 0的两个根之差等于1，则a, b满足下列哪个条件？A. a + b = 1B. a - b = 1C. a + b = -1D. a - b = -1解析：根据韦达定理，根之差等于系数a + b的相反数。
因此答案选项为C. a + b = -1。
二、填空题1. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，若f(x) + f(1/x) = 3log2a，则a的值为多少？解析：根据对数的性质，f(1/x) = -f(x)。
将此关系代入给定的等式中，得到2f(x) = 3log2a，即f(x) = 3/2log2a。
由于f(x) = log2(x + 1)，则可得3/2log2a = log2(x + 1)。
根据等式两边底数相同，可得到a = (x +1)^(3/2)。
三、解答题1. 已知一扇形的弧长为10cm，半径为r cm。
若弧长所对圆心角为60°，求r的值。
解析：圆心角60°对应的弧长为1/6πr。
根据题意，1/6πr = 10cm。
1988数学试题及答案
1988数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项是偶数？A. 3B. 5C. 7D. 2答案：D2. 以下哪个表达式的结果大于10？A. 3x + 4B. 2x - 1C. 5x + 3D. 4x - 2答案：C3. 圆的面积公式是：A. πr²B. 2πrC. πrD. πr³答案：A4. 直线的斜率公式是：A. (y2 - y1) / (x2 - x1)B. (x2 - x1) / (y2 - y1)C. (x1 + x2) / (y1 + y2)D. (x1 - x2) / (y1 - y2)答案：A5. 以下哪个选项是质数？A. 4B. 9C. 15D. 17答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个数的平方根是4，那么这个数是______。
答案：162. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，那么第三边的长度范围是______。
答案：1 < 第三边 < 73. 函数y = 2x + 3的斜率是______。
答案：24. 一个圆的周长是2π，那么这个圆的半径是______。
答案：15. 如果一个数的立方是-8，那么这个数是______。
答案：-2三、解答题（每题10分，共30分）1. 解方程：x² - 5x + 6 = 0。
答案：x = 2 或 x = 32. 证明：对于任意实数a和b，(a + b)² = a² + 2ab + b²。
答案：证明过程略。
3. 计算：(3x² - 2x + 1)(2x² + 3x - 4)。
答案：6x⁴ + 7x³ - 5x² - 5x + 4四、应用题（每题15分，共30分）1. 一个工厂生产某种产品，每件产品的成本是50元，售价是80元。
如果工厂希望获得的利润至少为10000元，那么至少需要销售多少件产品？答案：至少需要销售250件产品。
1988年(高考数学试题文理科)
一九八八年（理科）一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。
每一个小题选对得3分;不选或选错一律得0分。
（1）2i 1i 1⎪⎭⎫⎝⎛+-的值等于 （ B ）（A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么 （ C ） （A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上。
（B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上。
（C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上。
（D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上。
（3）集合{1，2，3}的子集共有 （ B ） （A ）7个 （B ）8个 （C ）6个 （D ）5个（4）已知双曲线方程15y 20x 22=-，那么它的焦距是 （ A ）（A ）10 （B ）5 （C ）15 （D ）152（5）在10)3x (-的展开式中，x 6的系数是 （ D ）（A ）610C 27- （B ）410C 27 （C ）610C 9- （D ）410C 9 （6）函数x sin x cos y 44-=的最小正周期是 （ A ） （A ）π （B ）π2 （C ）2π （D ）π4（7）方程03x cos 34x cos 42=+-的解集是 （ C ） （A ）}Z k ,6)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （B ）}Z k ,3)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （C ）}Z k ,6k 2x |x {∈π±π= （D ）}Z k ,3k 2x |x {∈π±π= （8）极坐标方程θ-=ρcos 234所表示的曲线是 （ D ）（A ）圆 （B ）双曲线右支 （C ）抛物线 （D ）椭圆（9）如图，正四棱台中，D A ''所在的直线与B B '所在的直线是（A ）相交直线 （ C ） （B ）平行直线（C ）不互相垂直的异面直线 （D ）互相垂直的异面直线（10）)3arctg 51arctg (tg +的值等于 ( D ） （A ）4 （B ）21 （C ）81 （D ）8（11）设命题甲：△ABC 的一个内角为600。
1983年全国高考数学试题及其解析
1983年全国高考数学试题及其解析理工农医类试题一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分1．两条异面直线，指的是 （ ） （A ）在空间内不相交的两条直线（B ）分别位于两个不同平面内的两条直线（C ）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线（D ）不在同一平面内的两条直线2．方程x 2-y 2=0表示的图形是 （ ） （A ）两条相交直线 （B ）两条平行直线 （C ）两条重合直线 （D ）一个点3．三个数a ,b ,c 不全为零的充要条件是 （ ） （A ）a ,b ,c 都不是零 （B ）a ,b ,c 中最多有一个是零 （C ）a ,b ,c 中只有一个是零（D ）a ,b ,c 中至少有一个不是零4．设,34π=α则)arccos(cos α的值是 （ ） （A ）34π （B ）32π- （C ）32π （D ）3π5．3.0222,3.0log ,3.0这三个数之间的大小顺序是 （ ） （A ）3.0log 23.023.02<< （B ）3.02223.0log 3.0<< （C ）3.02223.03.0log << （D ）23.023.023.0log << 二．（本题满分12分）1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程,x y -=y x -=的图形，并写出它们交点的坐标2．在极坐标系内，方程θ=ρcos 5表示什么曲线？画出它的图形三．（本题满分12分） 1．已知x e y x 2sin -=，求微分dy2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法。
四．（本题满分12分） 计算行列式（要求结果最简）： 五．（本题满分15分）1．证明：对于任意实数t ，复数i t t z |sin ||cos |+=的模||z r = 适合≤r 2．当实数t 取什么值时，复数i t t z |sin ||cos |+=的幅角主值θ适合40π≤θ≤？ 六．（本题满分15分）如图，在三棱锥S-ABC 中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上;M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成的角等于∠NSC ，求证SC 垂直于截面MAB七．（本题满分16分）如图，已知椭圆长轴|A 1A 2|=6，焦距|F 1F 2|=24，过椭圆焦点F 1作一直线，交椭圆于两点M ，N 设∠F 2F 1M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？八．（本题满分16分）已知数列{a n }的首项a 1=b(b ≠0），它的前n 项的和S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),并且S 1，S 2，S n ，…是一个等比数列，其公比为p （p ≠0且|p|＜1）1．证明：a 2,a 3,a 3,…a n ,…(即{a n }从第二项起）是一个等比数列2．设W n =a 1S 1+a 2S 2+a 3S 3+…+a n S n (n ≥1),求n n W ∞→lim （用b,p 表示）九．（本题满分12分）1．已知a,b 为实数，并且e<a<b ，其中e 是自然对数的底，证明a b >b a . 2.如果正实数a,b 满足a b =b a .且a<1，证明a=b文史类试题一．（本题满分10分）1．在直角坐标系内，函数y=|x|的图象 （ ） （A ）关于原点对称 （B ）关于坐标轴、原点都不对称 （C ）关于x 轴对称 （D ）关于y 轴对称2．抛物线x 2+y=0的焦点位于 （ ） （A ）y 轴的负半轴上 （B ）y 轴的正半轴上 （C ）x 轴的负半轴上 （D ）x 轴的正半轴上3．两条异面直线，指的是 （ ） （A ）在空间内不相交的两条直线（B ）分别位于两个不同平面内的两条直线（C ）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线（D ）不在同一平面内的两条直线4．对任何2cos ,360180α︒<α<︒的值等于 （ ） （A ）.2cos 1α+（B ）.2cos 1α-（C ）.2cos 1α+-（D ）.2cos 1α-- 5．3.0222,3.0log ,3.0这三个数之间的大小顺序是 （ ） （A ）3.0log 23.023.02<< （B ）3.02223.0log 3.0<< （C ）3.02223.03.0log << （D ）23.023.023.0log <<二．（本题满分10分）三．（本题满分10分）1求函数)36(log 522x x y -+=的定义域2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法四．（本题满分12分） 已知复数=+α+α=3cos 21:,sin cos 33z z i z 求证 五．（本题满分14分）在圆心为O 、半径为常数R 的半圆板内画内接矩形（如图）当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积六．（本题满分14分）如图，地平面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上选一基线AB ，AB=20米，在A 点处测得P 点的仰角∠OAP=300，在B 点处测得P 点的仰角∠OBP=450，又测得∠AOB=600，求旗杆的高度h （结果可以保留根号）七．（本题满分16分）如图，已知一块直角三角形板ABC 的BC 边在平面α内，∠ABC=600，∠ACB=300，BC=24cm ，A 点在平面α内的射影为N ，AN=9cm 求以A 为顶点的三棱锥A-NBC 的体积（结果可以保留根号）八．（本题满分17分）一个等比数列有三项如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列;如果再把这等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列九．（本题满分17分）如图，已知两条直线L 1:2x-3y+2=0,L 2:3x-2y+3=0.有一动圆（圆心和半径都在变动）与L 1，L 2都相交，并且L 1，L 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24求圆心M 的轨迹方程，并说出轨迹的名称理工农医类参考答案一、本题考查对一些基本概念和常用的词语的理解. (1)D; (2)A; (3)D; (4)C; (5)C.二、解：1.图形如左图所示交点坐标是：O （0，0），P （1，-1）2．曲线名称是：圆图形如右所示三、解：1.dx x e x e dx x e dy x x x ]2sin )()2(sin [)2sin ('+'='=---2．)(1003416242614种=+⋅+⋅C C C C C 或：)(1002012036310种=-=-C C 四、解法一:把第1列乘以sin ϕ加到第2列上,再把第3列乘以(-cos ϕ)加到第2列上,得解法二:把行列式的第2列用三角公式展开,然后运用行列式的性质,得解法三:把行列式按第2列展开,得解法四:把行列式按定义展开,并运用三角公式,得五、1．证：复数i t t z |sin ||cos |+=（其中t 是实数）的模||z r =为 要证对任意实数t ，有42≤r ，只要证对任意实数t ，2|sin ||cos |≤+t t 成立对任意实数t ，因为1|sin ||cos |22=+t t ，所以可令|,sin |sin |,cos |cos t t =ϕ=ϕ且)2,0(π∈ϕ，于是2．因为复数i t t z |sin ||cos |+=的实部与虚部都是非负数，所以z 的幅角主值θ一定适合20≤θ≤从而.1040≤θ≤⇔π≤θ≤tg 显然||≠=z r 因为由于).(4411,,22为任意整数的解是因此并且它的周期是内是增函数在k k t k tgt t tgt y π+π≤≤π-π≤≤-ππ<<π-=这就是所求的实数t 的取值范围六、证：因为SN 是底面的垂线，NC 是斜线SC 在底面上的射影， AB ⊥NC ，所以AB ⊥SC （三垂线定理） 连结DM 因为AB ⊥DC ，AB ⊥SC ，所以AB 垂直于DC 和SC 所决定的平面又因DM 在这个平面内，所以AB ⊥DM∴∠MDC 是截面与底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC在△MDC 和△NSC 中，因为∠MDC=∠NSC ，∠DCS 是公共角， 所以∠DMC=∠SNC=900从而DM ⊥SC 从AB ⊥SC ，DM ⊥SC ，可知SC ⊥截面MAB七、解一：以椭圆焦点F 1为极点，以F 1为起点并过F 2的射线为极轴建立极坐标系由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦距c=22，短半轴b=1，离心率e=322，中心到准线距离=429, 焦点到准线距离p=42.椭圆的极坐标方程为 解得.656.22cos π=απ=α∴±=α或 以上解方程过程中的每一步都是可逆的， 所以当6π=α或65π=α时，|MN|等于短轴的长 解二：以椭圆的中心为原点，F 1F 2所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为.1922=+y xMN 所在直线方程为)()22(α=+=tg k x k y 其中解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+)22(1922x k y y x消去y 得0)18(9236)91(2222=-+++k x k x k . 下同解法一解三：建立坐标系得椭圆如解二， MN 所在直线的参数方程为)(sin cos 22是参数t t y t x ⎩⎨⎧α=α+-=代入椭圆方程得 设t 1,t 2是方程两根，则由韦达定理， 下同解一解四：设|F 1M|=x ,则|F 2M|=6-x |F 1F 2|=24，∠F 2F 1M=α在△MF 1F 2中由余弦定理得同理，设|F 1N|=y ，则|F 2N|=6-y 在△F 1F 2N 中，由余弦定理得 下同解一八、1．证：由已知条件得S 1=a 1=b.S n =S 1p n-1=bp n-1(n ≥1）因为当n ≥2时，S n =a 1+a 2+…+a n-1+a n =S n-1+a n ,所以 a n =S n -S n-1=bp n-2(p-1)(n ≥2)从而因此a 2,a 3,a 3,…a n ,…是一个公比为p 的等比数列2．解：当n ≥2时，且由已知条件可知p 2<1，因此数列a 1S 1，a 2S 2，a 3S 3，…a n S n …是公比为p 2<1的无穷等比数列于是从而九、1．证：当e<a<b 时， 要证a b >b a ， 只要证blna>alnb,即只要证b ba a ln ln >考虑函数0(ln +∞<<=x xxy 因为但e x >时，,0ln 12<-='xx y 所以函数),(ln +∞=e x xy 在内是减函数 因为e<a<b ，所以bba a ln ln >，即得a b >b a 2．证一：由a b =b a ，得blna=alnb ，从而ba a ln =考虑函数)0(ln +∞<<=x xxy ，它的导数是因为在（0，1）内0)(>'x f ，所以f(x)在（0，1）内是增函数由于0<a<1,b>0,所以a b <1,从而b a =a b <1.由b a <1及a>0,可推出b<1.由0<a<1,0<b<1,假如b a ≠，则根据f(x)在（0，1）内是增函数，得)()(b f a f ≠，即bba a ln ln ≠，从而ab b a ≠这与a b =b a 矛盾 所以a=b证二：因为0<a<1，a b =b a ，所以,log log b a a b a a =即b aba log =假如a<b ，则1>ab ，但因a<1，根据对数函数的性质，得b abb a b a b a a a a log ,log ,1log log =>=<这与从而矛盾所以a 不能小于b假如a>b ，则1<a b ，而1log >b a ，这也与b ab a log =矛盾所以a 不能大于b 因此a=b证三：假如a<b ，则可设ε+=a b ，其中ε>0由于0<a<1,ε>0,根据幂函数或指数函数的性质，得1<εa 和1)1(>ε+a a， 所以 ,)(,)1(,)1(a a a a a a a a aa a a a a ε+<ε+<ε+<ε+εε 即ab <b a .这与a b =b a 矛盾所以a 不能小于b假如b<a ，则b<a<1，可设a=b+ε,其中ε>0,同上可证得a b <b a .这于a b =b a 矛盾所以a 不能大于b因此a=b 文史类参考答案一、本题考查对一些基本概念和常用的词语的理解. (1)D; (2)A; (3)D; (4)C; (5)C.二、在平面直角坐标系内，表中的方程表示什么图形？画出这些图形三、解：1.根据题意，得解得 )6,5(.65-∴<≤-函数的定义域是x2．)(1003416242614种=+⋅+⋅C C C C C 或：)(1002012036310种=-=-C C 四、证：333333)sin (cos )sin (cos 1--α+α+α+α=+=+i i z z zz五、解：设矩形在半圆板直径上的一边长为2x ，α角如图所示，则x=Rcos α,另一边的长为Rsin α矩形面积S 为S=2R 2sin αcos α. =R 2sin2α当2α=2π即α=4π时，也即长为R R 24cos 2=π，宽为R R 224sin =π时，矩形面积最大最大面积是R 2六、解：在直角三角形AOP 中，得OA=OPctg300=h 3. 在直角三角形BOP 中，得OB=OPctg450=h在三角形AOB 中，由余弦定理得 答：略七、解：自N 作NE ⊥BC ，E 为垂足连结AE ，由三垂线定理可知 AE ⊥BC 在直角三角形ABC 中， 在直角三角形ANE 中，三棱锥A-NBC 的体积)(3108312cm AN S V =⋅⋅= 答：略八、解：设所求等比数列为a ,a q,a q 2,由已知条件得由a =2,q=3,得所求等比数列是2，6，18; 由5,92-==q a ，得所求等比数列是.950,910,92- 经检验均正确九、解：设圆心M 的坐标为(x,y)，圆的半径为r ，点M到L1，L2的距离分别为d1,d2根据弦、弦心距、半径三者之间的关系，有根据点到直线的距离公式，得轨迹是双曲线。
1988年高考数学试卷及详解【独家收藏,绝对珍品!】
1988年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.(A)1 (B)-1 (C)I (D)-i【】[Key]一、本题考查基本概念和基本运算.(1)B(2)设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么(A)点P在直线L上,但不在圆M上(B)点P在圆M上,但不在直线L上(C)点P既在圆M上,又在直线L上(D)点P既不在圆M上,也不在直线L上【】[Key] (2)C(3)集合{1,2,3}的子集总共有(A)7个 (B)8个(C)6个 (D)5个【】[Key] (3)B(A)10 (B)5【】[Key] (4)A(5)在的展开式中,x6的系数是【】[Key] (5)D(6)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是(A)π(B)2π【】[Key] (6)A(7)方程的解集是【】[Key] (7)C(A)圆(B)双曲线右支(C)抛物线(D)椭圆【】[Key] (8)D(9)如图,正四棱台中,A＇D＇所在的直线与BB＇所在的直线是(A)相交直线(B)平行直线(C)不互相垂直的异面直线(D)互相垂直的异面直线【】[Key] (9)C【】[Key] (10)D(11)设命题甲:△ABC的一个内角为60°.命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件(C)甲是乙的充要条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【】[Key] (11)C(12)复平面内,若复数z满足│z+1│=│z-i│,则z所对应的点Z的集合构成的图形是(A)圆(B)直线(C)椭圆(D)双曲线【】[Key] (12)B(13)如果曲线x2-y2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为(A)(1,1) (B)(-1,-1)(C)(-1,1) (D)(1,-1)【】[Key] (13)D(14)假设在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有【】[Key] (14)B(15)如图,二面角αˉABˉβ的平面角是锐角,C是面α内的一点(它不在棱AB 上),点D是点C在面β上的射影,点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点,那么(A)∠CEB>∠DEB(B)∠CEB=∠DEB(C)∠CEB<∠DEB(D)∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定【】[Key] (15)A二、只要求直接写出结果.(5)已知等比数列{a n}的公比q>1,并且a1=b(b≠0),求[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需要写出结果.[Key] 三、本题主要考查三角公式和进行三角式的恒等变形的能力.解法一:解法二:解法三:解法四:四、如图,正三棱锥S-ABC的侧面是边长为a的正三角形,D是SA的中点,E是BC的中点,求△SDE 绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积.[Key] 四、本题主要考查空间想象能力、体积计算等知识和推理能力.解法一:连接AE,因为△SBC和△ABC都是边长为a的正三角形,并且SE和AE分别是它们的中线,所以SE=AE,从而△SEA为等腰三角形,由于D是SA的中点,所以ED⊥SA.作DF⊥SE,交SE于点F.考虑直角△SDE的面积,得到所求的旋转体的体积是以DF为底面半径,分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和,即解法二:连结BD.因为BD是正三角形SBA的中线,所以BD⊥SA.连结CD,同理CD⊥SA.于是SA⊥平面BDC,所以SA⊥DE.作DF⊥SE,交SE于点F.在直角△SDE中,SD2=SF·SE,所求的旋转体的体积为[Key] 五、本题主要考查对数函数的性质,以及运用重要不等式解决问题的能力.解法一:情形1∶0<a<1.情形2∶a>1.解法二:当t>0时,由重要不等式可得当且仅当t=1时取“=”号.当0<a<1时,y=log a x是减函数,当a>1时,y=log a x是增函数,解法三:因为t>0,又有当且仅当t=1时取“=”号,当且仅当t=1时取“=”号.以下同解法二.六、给定实数a,a≠0,且a≠1设函数证明(1)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴;(2)这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形.[Key] 六、本题主要考查考生在正确理解数学概念(函数的图象的概念,轴对称图形的概念等)的基础上进行推理的能力,以及灵活运用学过的代数和解析几何的知识(互为反函数的图象之间的关系,两条直线平行的条件等)解决问题的能力.证法一:(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数图象上任意两个不同的点,∵a≠1,且x1≠x2,∴y2-y1≠0.因此,M1M2不平行于x轴.即,由此得a=1,与已知矛盾,于是由②式得证法二:(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数的图象上任意两个不同的点,则x1≠x2.假如直线M1M2平行于x轴,那么y1=y2,即亦即(x1-1)(ax2-1)=(x2-1)(ax1-1),整理得a(x1-x2)=x1-x2,因为x1≠x2,所以a=1,这与已知矛盾.因此M1M2不平行于x轴.(2)先求所给函数的反函数:由得y(ax-1)=x-1,即(ay-1)x=y-1.即ax-a=ax-1,由此得a=1,与已知矛盾,所以ay-1≠0.因此得到由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对证法三:(1)任取一条与x轴平行的直线L,则l的方程为y=c(c为常数).考虑L与所给函数的图象是否相交以及交点数目的情况.将②代入①得c(ax-1)=x-1,即(ca-1)x=c-1. ③从而直线L与所给函数的图象无交点.这说明原方程组恰有一个解,从而直线L与所给函数的图象恰有一个交点.综上述,平行于x轴的直线与所给函数的图象或者不相交,或者恰有一个交点.因此,经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.(2)同证法一或证法二.[Key] 七、本题主要考查考生利用方程研究曲线性质的能力,以及综合运用学过的代数知识(一元二次方程的判别式,根与系数的关系,解二元二次方程组,解不等式等)去解题的能力.解法一:假定椭圆上有符合题意的四个点,则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程:又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y2=2px,从而它们都是下面的方程组的解:将②式代入①式,得由于上述方程组有4个不同的实数解,所以方程③的判别式应大于零,整理得 3p2-4p+1>0,由已知,椭圆上的点的横坐标都大于零,所以方程③的两个根应都为正数,于是得 7p-4<0, 解此不等式得由④、⑤以及已知条件得一次项系数7p-4<0,所以x1,x2都为正数.把x1及x2分别代入②中,可解得显然y1,y2,y3,y4两两不相等.由于(x1,y1)适合②式和③式,从而也适合①式,因此点M1(x1,y1)是符合题意的点.同理M2(x1,y2),M3(x2,y3),M4(x2,y4)都是符合题意的点,并且它们是互不相同的.解法二:椭圆上有四个点符合题意的充要条件是方程组有四个不同的实数解.所以原方程组有四个不同的实数解,当且仅当方程③有两个不相等的正根.而这又等介于在p>0的条件下,解此不等式组,得到解法三:易求出所给椭圆的方程为假定这个椭圆上有符合题意的四个点,则这些点的坐标应是下述方程组的解:把②式化简得y2=2px.以下同解法一．。
1988高考数学试卷理科[1]
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1988年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分;不选或选错一律得0分（1）2i 1i 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-的值等于 （ B ）（A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么 （ C ） （A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上（B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上（C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上（D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上（3）集合{1，2，3}的子集共有 （ B ） （A ）7个 （B ）8个 （C ）6个 （D ）5个（4）已知双曲线方程15y 20x 22=-，那么它的焦距是 （ A ）（A ）10 （B ）5 （C ）15 （D ）152（5）在10)3x (-的展开式中，x 6的系数是 （ D ）（A ）610C 27- （B ）410C 27 （C ）610C 9- （D ）410C 9（6）函数x sin x cos y 44-=的最小正周期是 （ A ） （A ）π （B ）π2 （C ）2π（D ）π4（7）方程03x cos 34x cos 42=+-的解集是 （ C ） （A ）}Z k ,6)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （B ）}Z k ,3)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （C ）}Z k ,6k 2x |x {∈π±π= （D ）}Z k ,3k 2x |x {∈π±π= （8）极坐标方程θ-=ρcos 234所表示的曲线是 （ D ）（A ）圆 （B ）双曲线右支 （C ）抛物线 （D ）椭圆 （9）如图，正四棱台中，D A ''所在的直线与B B '所在的直线是 （A ）相交直线 （ C ） （B ）平行直线（C ）不互相垂直的异面直线 （D ）互相垂直的异面直线（10）)3arctg 51arctg (tg +的值等于 ( D ） （A ）4 （B ）21 （C ）81 （D ）8 （11）设命题甲：△ABC 的一个内角为600命题乙：△ABC 的三内角的度数成等差数列数列那么（ C ）（A ）甲是乙的充分条件，但不是必要条件（B ）甲是乙的必要条件，但不是充分条件（C ）甲是乙的充要条件（D ）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件（12）在复平面内，若复数z 满足|i z ||1z |-=+，则z 所对应的点Z 的集合构成的图形是 （ B ） （A ）圆 （B ）直线 （C ）椭圆 （D ）双曲线'C（13）如果曲线x 2-y 2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为1y x 22='-'，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为 （ D ）（A ）（1，1） （B ）（-1，-1） （C ）（-1，1） （D ）（1，-1） （14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ B ）（A ）319723C C 种 （B ）219733319723C C C C +种 （C ）51975200C C -种 （D ）4197135200C C C -种（15）已知二面角β--αAB 的平面角是锐角，C 是平面α内一点（它不在棱AB 上），点D 是点C 在面β上的射影，点E 是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任一点，那么 （ A ） （A ）∠CEB>∠DEB （B ）∠CEB=∠DEB （C ）∠CEB<∠DEB （D ）∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果（1）求复数i 3-的模和辐角的主值α C A E D β B[答]模：2;复角主值：π611（只答对一个值的给2分） （2）解方程.27329x 1x =⋅---[答]x=-2（直接答-2也算对） （3）已知2tg ,273,53sin θπ<θ<π-=θ求的值[答]-3（4）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB=3，用α表示∠ASD ，求αsin 的值[答]55 （5）已知等比数列}a {n 的公比q>1，并且a 1=b(b ≠0）求.a a a a a a a a limn 876n321n ++++++∞→[答]1三．（本题满分10分）已知,a tgx =求x3cos x cos 3x3sin x sin 3++的值解：xcos x 2cos 2x cos 2xcos x 2sin 2x sin 2x 3cos x cos x cos 2x 3sin x sin x sin 2x 3cos x cos 3x 3sin x sin 3++=++++=++)3a (2a)3x tg (2tgx )2x (sec 2tgx x cos 2)x cos 21(tgx )x 2cos 1(x cos 2x cos x sin 4x sin 2222222+=+=+=+=++=四．（本题满分10分）S α B A C D如图，正三棱锥S-ABC 的侧面是边长为a 的正三角形，D 是SA 的中点，E 是BC 的中点，求△SDE 绕直线SE 旋转一周所得的旋转体的体积解：连结AE ，因为△SDE 和△ABC 都是边长为a 的正三角形，并且SE 和AE 分别是它们的中线，所以SE=AE ，从而△SDE 为等腰三角形，由于D 是SA 的中点，所以ED ⊥SA 作DF ⊥SE ，交SE 于点F 考虑直角△SDE 的面积，得到,DE SD 21DF SE 21⋅=⋅所以，.a 66a 23a222a DF ,,a 22)2a (a 43SD SE DE ,a 23)2a (a BE SB SE ,.SE DEa 21SE DE SD DF 22222222=⋅==-=-==-=-=⋅=⋅=所以易知 所求的旋转体的体积是以DF 为底面半径，分别以SF 和EF 为高的两个圆锥的体积的和，即.a 363a 236a 31SE )a 66(31EF )a 66(31SF )a 66(3132222π=⋅⋅π=⋅⋅π=⋅⋅π+⋅⋅π五．（本题满分11分）设21t log t log 21,0t ,1a ,0a aa +>≠>与比较的大小，并证明你的结论 解：当t>0时，由重要不等式可得t 21t ≥+，当且仅当t=1时取“=”号.t l o g 2121t l o g,t l o g 21t l o g,1t a aaa=+=+=∴即时 SD F A CE Bt log 2121t log ,t log 21t log ,x log y ,1a .t log 2121t log ,t log 21t log x log y ,1a 0.t 21t ,1t a a a aa a a a a a >+>+=><+<+=<<>=≠即所以是增函数时当即所以是减函数时当 六．（本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题满分4分， 第（2）小题满分8分.给定实数).a1x ,R x (1ax 1x y ,1a ,0a ,a ≠∈--=≠≠且设函数且 证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴;（2）这个函数的图象关于直线y=x 成轴对称图形解：（1）设M 1（x 1,y 1),M 2(x 2,y 2)是这个函数图象上任意两个不同的点，则x 1≠x 2，且.0y y ,x x ,1a ,)1ax )(1ax ()1a )(x x ()1ax )(1ax ()x x ()x x (a )1ax )(1ax ()1ax x x ax (1ax x x ax 1ax 1x 1ax 1x y y 122112121212121211211221112212≠-∴≠≠----=-----=--+---+--=-----=-且从而直线M 1M 2的斜率,0x x y y k 1212≠--=因此，直线M 1M 2不平行于x 轴 （2）设点P )y ,x (''是这个函数图象上任意一点，则,111)1(,1,01)2(,1)1(,1)1()1(),(),()1(11,1-'-'=='=-'-'=-''-'=-'''''=''-'-'='≠'x a x a a y y a y y a x x x a y x y P x y y x P x a x y a x 得代入则假如即式得由的坐标为的对称点关于直线易知点且,,1,1与已知矛盾由此得即=-'=-'a x a a x a成轴对称图形线这个函数的图象关于直因此在已知函数的图象上这说明点式得于是由x y x y P y a y x y a ='''-'-'='≠-'∴,,),(.11)2(.01（注：对（1）也可用反证法x 轴的直线y=c 与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况由其无交点或恰有一交点，从而得证对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关于y=x 对称）七．（本题满分12分）如图，直线L 的方程为2px -=，其中p ＞0;椭圆的中心为 D )0,2p 2(+，焦点在x 轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的 一个顶点为A 0,2p (问p 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离解：假定椭圆上有符合题意的四点，则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程：,1y 4)]2p2(x [22=++- 又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y 2=2px,从而椭圆上有四点符合题意的充要条件是下面的方程组有四个不同的实数解：⎪⎩⎪⎨⎧==++-)2(.px 2y )1(,1y 42p 2(x [222 YL将（2）式代入（1）式，得)3(.0p 24p x )4p 7(x ,4px 8)]2p2(x [222=++-+=++-即所以原方程组有4个不同的实数解，当且仅当方程（3）有两个不相等的正根而这又等价于310,,0.047,024,0)24(4)47(222<<>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<->+>+--=∆p p p p pp p p 得到解此不等式组的条件下在所以，所求的p 的取值范围为.31p 0<<。
1988年全国统一高考数学试卷
1988年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分） 1．（3分）（2008•海淀区一模）的值等于（ ） A ． 1 B ． ﹣1 C ． i D ． ﹣i 2．（3分）设圆M 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2=2，直线L 的方程为x+y ﹣3=0，点P 的坐标为（2，1），那么（ ） A ． 点P 在直线L 上，但不在圆M 上 B ．点P 在圆M 上，但不在直线L 上 C ． 点P 既在圆M 上，又在直线L 上 D ．点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上 3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（ ） A ． 7个 B ． 8个 C ． 6个 D ． 5个 4．（3分）已知双曲线方程，那么双曲线的焦距是（ ） A ． 10 B ． 5 C ． D ． 5．（3分）在的展开式中，x 6的系数是（ ） A ． ﹣27C 106 B ． 27C 104 C ． ﹣9C 106 D ． 9C 104 6．（3分）（2012•北京模拟）函数y=cos 4x ﹣sin 4x 的最小正周期是（ ） A ． B ． π C ． 2π D ． 4π 7．（3分）方程的解集是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．（3分）极坐标方程所表示的曲线是（ ） A ． 圆 B ． 双曲线右支 C ． 抛物线 D ． 椭圆 9．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（ ） A ． 相交直线 B ． 平行直线 C ． 不互相垂直的异面直线 D ． 互相垂直的异面直线 10．（3分）的值等于（ ） A ． 4 B ． C ． D ． 8 11．（3分）设命题甲：△ABC 的一个内角为60°，命题乙：△ABC 的三内角的度数成等差数列．那么（ ） A ． 甲是乙的充分条件，但不是必要条件 B ． 甲是乙的必要条件，但不是充分条件 C ． 甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件12．（3分）在复平面内，若复数z满足|z+1|=|z﹣i|，则z所对应的点Z的集合构成的图形是（）A．圆B．直线C．椭圆D．双曲线13．（3分）如果曲线x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0经过平移坐标轴后的新方程为x'2﹣y'2=1，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）14．（3分）（2007•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A．C32C1973种B．C32C1973+C33C1972种C．C2005﹣C1975种D．C2005﹣C31C1974种15．（3分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角，C是平面α内一点（它不在棱AB上），点D是点C在面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么（）A．∠CEB＞∠DEB B．∠CEB=∠DEBC．∠CEB＜∠DEB D．∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定二、解答题（共5小题，满分0分）16．（20分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值．17．（10分）已知tgx=a，求的值．18．（10分）如图，正三棱锥S﹣ABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积．19．（12分）给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y=（x∈R，且x≠）．证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴；（2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．20．（12分）某中学在一次健康知道竞赛活动中，抽取了一部分同学测试的成绩，绘制的成绩统计图如图所示，请结合统计图回答下列问题：（1）本次测试中，抽取了的学生有多少人（2）若这次测试成绩80分以上（含80分）为优秀，则请你估计这次测试成绩的优秀率不低于百分之几．21．（11分）21、设的大小，并证明你的结论．1988年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分） 1．（3分）（2008•海淀区一模）的值等于（ ） A ． 1 B ． ﹣1 C ． i D ． ﹣i考点： 复数代数形式的混合运算． 专题： 计算题． 分析： 根据复数的计算方法，可得的值，进而可得=（﹣i ）2，可得答案． 解答： 解：根据复数的计算方法，可得==﹣i ，则=（﹣i ）2=﹣1， 故选B ．点评： 本题考查复数的混合运算，解本题时，注意先计算括号内，再来计算复数平方． 2．（3分）设圆M 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2=2，直线L 的方程为x+y ﹣3=0，点P 的坐标为（2，1），那么（ ） A ． 点P 在直线L 上，但不在圆M 上 B ． 点P 在圆M 上，但不在直线L 上 C ． 点P 既在圆M 上，又在直线L 上 D ． 点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上考点： 点与圆的位置关系． 分析： 点P 代入直线方程和圆的方程验证即可． 解答： 解：点P 坐标代入直线方程和圆的方程验证，点P 的坐标为（2，1），适合L 的方程，即2+1﹣3=0；点P 的坐标为（2，1），满足圆M 的方程，即（2﹣3）2+（1﹣2）2=2．显然A 、B 、D 不正确． 选项C 正确． 故选C ．点评： 本题是基础题，考查点的坐标适合方程． 3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（ ） A ． 7个 B ． 8个 C ． 6个 D ． 5个考点： 子集与真子集． 分析： 集合{1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集． 解答： 解：集合{1，2，3}的子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}…{1，2，3}共8个． 故选B ．点评： 本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的子集共有2n 个．4．（3分）已知双曲线方程，那么双曲线的焦距是（ ） A ． 10 B ． 5 C ． D ．考点： 双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据题设条件求出c2，然后求出c，就能得到双曲线的焦距2c．解答：解：c2=25，c=5，∴双曲线的焦距2c=10．故选A．点评：本题比较简单，解题时注意不要和椭圆弄混了．5．（3分）在的展开式中，x6的系数是（）A．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C104考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．解答：解：展开式的通项为令10﹣r=6得r=4∴展开式中x6的系数是9C104故选项为D点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（3分）（2012•北京模拟）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：观察题目条件，思路是降幂，先用平方差公式，再逆用二倍角公式，式子变为能判断周期等性质的形式，即y=Asin（ωx+φ）的形式．解答：解：∵y=cos4x﹣sin4x=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴T=π，故选B点评：对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，本题就是逆用余弦的二倍角公式．另外还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法．7．（3分）方程的解集是（）A．B．C．D．考点：正弦函数的图象．分析：令t=cosx代入后转化为一元二次方程后即可解．解答：解：令t=cosx则可转化为：4t2﹣4t+3=0∴t=∴cosx=∴x=±故选C．点评：本题主要考查解关于三角函数的二次方程问题．一般通过换元法转化为一元二次方程的问题后再处理．8．（3分）极坐标方程所表示的曲线是（）A．圆B．双曲线右支C．抛物线D．椭圆考点：简单曲线的极坐标方程．分析：圆锥曲线的统一的极坐标方程是，其中e表示曲线的离心率，欲判断极坐标方程所表示的曲线，只须将它化成统一的形式后看其离心率即可．解答：解：∵，∴，∴其离心率e=，是椭圆．故选D．点评：本题主要考查了圆锥曲线的统一的极坐标方程，属于基础题．9．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（）A．相交直线B．平行直线D．互相垂直的异面直线C．不互相垂直的异面直线考点：空间中直线与直线之间的位置关系．分析：首先由“直线平行于平面，则该直线与平面内任一直线异面”判定A'D'与BB′异面；然后通过A'D'与BB′的夹角是等腰梯形的内角，确定A'D'与BB′不垂直．解答：解：在正四棱台中，A'D'∥B′C′，又A'D'⊄平面BCC′B′，所以A'D'∥平面BCC′B′，又BB′⊂平面BCC′B′，所以A'D'与BB′异面；又因为四边形BCC′B′是等腰梯形，所以BB′与B′C′不垂直，即BB′与A'D'不垂直．故选C．点评：本题考查异面直线的定义及其夹角．10．（3分）的值等于（）A．4B．C．D．8考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：应用两角和的正切公式直接化简，以及公式tg（arctgx）=x直接求解即可．解答：解：=故选D．点评：本题考查反三角函数的运算，两角和的正切公式，是基础题．11．（3分）设命题甲：△ABC的一个内角为60°，命题乙：△ABC的三内角的度数成等差数列．那么（）A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件考点：等差关系的确定．分析：根据三角形内角和180°，△ABC的一个内角为60°，另外两个角的和是120°，满足等差中项的特点，△ABC的三内角的度数成等差数列，等差中项是60°．解答：解：∵△ABC的一个内角为60°，∴另外两个角的和是120°，∴三个角满足等差数列；∵△ABC的三内角的度数成等差数列，∴等差中项是60°，故选C点评：本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质．以便利于区分等差和等比．12．（3分）在复平面内，若复数z满足|z+1|=|z﹣i|，则z所对应的点Z的集合构成的图形是（）A．圆B．直线C．椭圆D．双曲线考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：本题考查的是复数的模的几何意义．|z1﹣z2|表示点Z1到Z2距离．先明确几何意义，再数形结合就可以给出解答．解答：解：|z+1|，|z﹣i|的几何意义分别是点Z到﹣1所对应的点A（﹣1，0）和点Z到i所对应的点B（0，1）的距离．由|ZA|=|ZB|，则点Z的轨迹是线段AB的垂直平分线．点评：本题考查的是复数的模的几何意义．注意掌握|z1﹣z2|表示点Z1到Z2距离．13．（3分）如果曲线x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0经过平移坐标轴后的新方程为x'2﹣y'2=1，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）考点：函数的图象与图象变化．分析：先将方程x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0配方，再看此方程可由什么样的平移方式得到新方程为x'2﹣y'2=1，从而新坐标系的原点在原坐标系中的坐标．解答：解：将方程x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0配方得：（x﹣1）2﹣（y+1）2=1，其中心在（1，﹣1），故新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（1，﹣1），故选D．点评：本题主要考查了函数的图象的图象变化，属于基础题．14．（3分）（2007•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A．C32C1973种B．C32C1973+C33C1972种C．C2005﹣C1975种D．C2005﹣C31C1974种考点：组合及组合数公式．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．解答：解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，故选B．点评：本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类讨论．15．（3分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角，C是平面α内一点（它不在棱AB上），点D是点C在面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么（）A．∠CEB＞∠DEB B．∠CEB=∠DEBC．∠CEB＜∠DEB D．∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定考点：三垂线定理．专题：作图题；综合题；压轴题．分析：作出图形，利用三垂线定理和直角三角形，推出∠CEB、∠DEB的正切值的大小，推出结论．解答：解：过C向AB做垂线交AB于F，连接DF，因为CD⊥AB又CF⊥AB，所以AB⊥面CDF，所以CF垂直于AB在直角三角形CDF中，CF为斜边DF为直角边，所以CF＞DF易知tan∠CEF=tan∠DEB=由CF＞DF知，∠CEB＞∠DEB故选A．点评：本题考查三垂线定理，考查学生逻辑思维能力，是基础题．二、解答题（共5小题，满分0分）16．（20分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值．考点：三垂线定理．专题：作图题；证明题．分析：利用三垂线定理说明DA⊥SA，求出SD，解三角形SAD，即可得到sinα的值．解答：解：因为SB垂直于底面ABCD，所以斜线段SA在底面上的射影为AB，由于DA⊥AB 所以DA⊥SA从而连接BD，易知BD=由于SB⊥BD，所以因此，点评：本题考查三垂线定理，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．17．（10分）已知tgx=a，求的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：先用和差化积公式再根据二倍角公式即可化简求值．解答：解：==点评：本题主要考查三角函数的和差化积公式和二倍角公式．三角函数中公式比较多，一定要熟练记忆，能够灵活运用．18．（10分）如图，正三棱锥S﹣ABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱锥的结构特征．专题： 计算题．分析： 连接AE ，说明ED⊥SA，作DF⊥SE，交SE 于点F ．所求的旋转体的体积是以DF 为底面半径，分别以SF 和EF 为高的两个圆锥的体积的和，求出DF ，然后求出几何体的体积． 解答：解：连接AE ，因为△SDE 和△ABC 都是边长为a 的正三角形，并且SE 和AE 分别是它们的中线，所以SE=AE ，从而△SEA 为等腰三角形，由于D 是SA 的中点，所以ED⊥SA．作DF⊥SE，交SE 于点F ．考虑直角△SDE 的面积，得到，所以，， ．所求的旋转体的体积是以DF 为底面半径，分别以SF 和EF 为高的两个圆锥的体积的和，即．点评：本题是基础题，考查空间想象能力，圆锥的体积的求法，考查计算能力以及发现问题解决问题的能力．19．（12分）给定实数a ，a≠0，且a≠1，设函数y=（x∈R，且x≠）． 证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行 于x 轴；（2）这个函数的图象关于直线y=x 成轴对称图形．考点： 反函数． 专题： 证明题． 分析： （1）欲证经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴，设M 1（x 1，y 1），M 2（x 2，y 2）是这个函数图象上任意两个不同的点，可通过证明任意两个不同的点的直线的斜率恒不为0得到；（2）要证这个函数的图象关于直线y=x 成轴对称图形，设点P （x'，y'）是这个函数图象上任意一点，证明其对称点（y'，x'）也在此函数的图象上即可．解答： 解：（1）设M 1（x 1，y 1），M 2（x 2，y 2）是这个函数图象上任意两个不同的点，则x 1≠x 2，且=，∵a≠1，且x 1≠x 2，∴y 2﹣y 1≠0．从而直线M 1M 2的斜率，因此，直线M 1M 2不平行于x 轴．（2）设点P （x'，y'）是这个函数图象上任意一点，则x'≠，且y'=（1）易知点P （x'，y'）关于直线y=x 的对称点P'的坐标为（y'，x'）由（1）式得y'（ax'﹣1）=x'﹣1，即x'（ay'﹣1）=y'﹣1，（2），即ax'﹣a=ax'﹣1，由此得a=1，与已知矛盾，∴ 这说明点P'（y'，x'）在已知函数的图象上，因此，这个函数的图象关于直线y=x 成轴对称图形．点评： 本题主要考查了等价转化能力和数式的运算能力，属于中档题．对（1）也可用反证法或考查平行x 轴的直线y=c 与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况．由其无交点或恰有一交点，从而得证．对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关于y=x 对称）．20．（12分）某中学在一次健康知道竞赛活动中，抽取了一部分同学测试的成绩，绘制的成绩统计图如图所示，请结合统计图回答下列问题： （1）本次测试中，抽取了的学生有多少人（2）若这次测试成绩80分以上（含80分）为优秀，则请你估计这次测试成绩的优秀率不低于百分之几．考点： 频率分布直方图． 专题： 压轴题；图表型． 分析： （1）由频数直方图的意义，将各组人数相加可得共抽取的学生人数，即答案；（2）读直方图可得：这次测试成绩80分以上的人数，除以总人数即可得优秀率，即答案．解答： 解：（1）由频数直方图可知：本次测试中，抽取了的学生有2+3+41+4=50人；（2）这次测试成绩80分以上（含80分）的人数为41+4=45，则优秀率为=90%．故答案为：（1）50人；（2）90%．点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21．（11分）21、设的大小，并证明你的结论．考点：对数的运算性质；对数值大小的比较．专题：压轴题．分析：先判断与的大小，再由对数函数的单调性可得到答案．解答：解：当t＞0时，由基本不等式可得，当且仅当t=1时取“=”号∴t≠1时，当0＜a＜1时，y=logx是单调减函数，∴，即ax是单调增函数，∴＞，即＞当a＞1时，y=loga点评：本题主要考查对数函数的单调性，即当底数大于1时函数单调递增，当底数大于0小于1时函数单调递减．。
数学试卷83年普通高等国统一考试.理科数学试题及答案
1983年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共九道大题，满分120分）一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分1．两条异面直线，指的是 （ D ） （A ）在空间内不相交的两条直线（B ）分别位于两个不同平面内的两条直线（C ）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线（D ）不在同一平面内的两条直线2．方程x 2-y 2=0表示的图形是 （ A ） （A ）两条相交直线 （B ）两条平行直线 （C ）两条重合直线 （D ）一个点3．三个数a ,b ,c 不全为零的充要条件是 （ D ） （A ）a ,b ,c 都不是零 （B ）a ,b ,c 中最多有一个是零 （C ）a ,b ,c 中只有一个是零（D ）a ,b ,c 中至少有一个不是零4．设,34π=α则)arccos(cosα的值是 （ C ） （A ）34π （B ）32π- （C ）32π （D ）3π5．3.0222,3.0log ,3.0这三个数之间的大小顺序是 （ C ） （A ）3.0log 23.023.02<< （B ）3.02223.0log 3.0<< （C ）3.02223.03.0log << （D ）23.023.023.0log <<二．（本题满分12分）1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程,x y -=y x -=的图形，并写出它们交点的坐标2．在极坐标系内，方程θ=ρcos 5表示什么曲线？画出它的图形解：1.图形如左图所示 交点坐标是：O （0，0），P （1，-1） 2．曲线名称是：圆图形如右所示三．（本题满分12分） 1．已知x e y x 2sin -=，求微分dy2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法解：1.dx x e x e dx x e dy x x x ]2sin )()2(sin [)2sin ('+'='=---.)2sin 2cos 2()2sin 2cos 2(dx x x e dx x e x e x x x -=-=---2．)(1003416242614种=+⋅+⋅C C C C C 或：)(1002012036310种=-=-C C 四．（本题满分12分） 计算行列式（要求结果最简）：YXϕϕϕβϕ-ββαϕ+ααcos 2cos sin sin )sin(cos cos )cos(sin解：把第一列乘以ϕsin 加到第2列上，再把第三列乘以)cos (ϕ-加到第2列上，得0cos 0sin sin 0cos cos 0sin cos 2cos 2cos sin sin )sin()sin(cos cos )cos()cos(sin =ϕϕββαα=ϕϕ-ϕϕβϕ-β-ϕ-ββαϕ+α-ϕ+αα=原式五．（本题满分15分）1．证明：对于任意实数t ，复数i t t z |sin ||cos |+=的模||z r = 适合≤r 2．当实数t 取什么值时，复数i t t z |sin ||cos |+=的幅角主值θ适合40π≤θ≤？ 1．证：复数i t t z |sin ||cos |+=（其中t 是实数）的模||z r =为.|sin ||cos |)|sin |()|cos |(22t t t t r +=+=要证对任意实数t ，有42≤r ，只要证对任意实数t ，2|sin ||cos |≤+t t 成立对任意实数t ，因为1|sin ||cos |22=+t t ，所以可令|,sin |sin |,cos |cos t t =ϕ=ϕ且)2,0(π∈ϕ，于是.2)4sin(2sin cos |sin ||cos |≤π+ϕ=ϕ+ϕ=+t t2．因为复数i t t z |sin ||cos |+=的实部与虚部都是非负数，所以z 的幅角主值θ一定适合20≤θ≤从而.1040≤θ≤⇔π≤θ≤tg 显然||≠=z r 因为.111||010,|||cos ||sin |≤≤-⇔≤θ≤⇔≤θ≤==θtgt tg tg tgt t t tg 所以由于).(4411,,22为任意整数的解是因此并且它的周期是在k k t k tgt t tgt y π+π≤≤π-π≤≤-ππ<<π-=这就是所求的实数t 的取值范围六．（本题满分15分）如图，在三棱锥S-ABC 中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上;M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成的角等 于∠NSC ，求证SC 垂直于截面MAB证：因为SN 是底面的垂线，NC 是斜线SC 在底面上的射影，AB ⊥NC ，所以AB ⊥SC （三垂线定理） 连结DM 因为AB ⊥DC ，AB ⊥SC ，所以AB 垂直于DC 和SC 所决定的平面又因DM 在这个平面内，所以AB ⊥DM∴∠MDC 是截面与底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC在△MDC 和△NSC 中，因为∠MDC=∠NSC ，∠DCS 是公共角， 所以∠DMC=∠SNC=900从而DM ⊥SC 从AB ⊥SC ，DM ⊥SC ，可知SC ⊥截面MAB七．（本题满分16分）如图，已知椭圆长轴|A 1A 2|=6，焦距|F 1F 2|=24，过椭圆焦点F 1作一直线，交椭圆于两点M ，N 设∠F 2F 1M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？SM P C A N D B解一：以椭圆焦点F 1为极点，以F 1为起点并过F 2的射线为极轴建立极坐标系由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦距c=22，短半轴b=1，离心率e=322，中心到准线距离=429, 焦点到准线距离p=42.椭圆的极坐标方程为 θ-=θ-=ρcos 2231cos 1e ep.2cos 896||,cos 2231||.cos 2231||2212211=α-=ρ+ρ=α+=ρ=α-=ρ=∴MN N F M F解得.656.22cos π=απ=α∴±=α或 以上解方程过程中的每一步都是可逆的， 所以当6π=α或65π=α时，|MN|等于短轴的长解二：以椭圆的中心为原点，F 1F 2所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为.1922=+y xMN 所在直线方程为)()22(α=+=tg k x k y 其中解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+)22(1922x k y y x消去y 得0)18(9236)91(2222=-+++k x k x k .Y Xα+α+=++=++++=-+-=22222222222122191669166)91()1(36)1(36)()(||tg tg k k k k k k y y x x MN下同解法一解三：建立坐标系得椭圆如解二， MN 所在直线的参数方程为)(sin cos 22是参数t t y t x ⎩⎨⎧α=α+-=代入椭圆方程得 .01)cos 24()sin 9(cos 222=-α-α+αt t设t 1,t 2是方程两根，则由韦达定理，.sin 9cos 64)(||||.sin 9cos 1,sin 9cos cos 2422212212122212221α+α=-+=-=α+α-=α+αα=+t t t t t t MN t t t t下同解一解四：设|F 1M|=x ,则|F 2M|=6-x |F 1F 2|=24，∠F 2F 1M=α在△MF 1F 2中由余弦定理得13cos 22,cos 28)24()6(222=+-αα-+=-x x x x xα-=cos 2231x同理，设|F 1N|=y ，则|F 2N|=6-y 在△F 1F 2N 中，由余弦定理得.cos 896cos 2231cos 2231||,cos 2231,1cos 223).cos(28)24()6(2222α-=α++α-=α+==α+α-π-+=-MN y y y y y y下同解一已知数列{a n }的首项a 1=b(b ≠0），它的前n 项的和S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),并且S 1，S 2，S n ，…是一个等比数列，其公比为p （p ≠0且|p|＜1）1．证明：a 2,a 3,a 3,…a n ,…(即{a n }从第二项起）是一个等比数列2．设W n =a 1S 1+a 2S 2+a 3S 3+…+a n S n (n ≥1),求n n W ∞→lim （用b,p 表示）1．证：由已知条件得S 1=a 1=b.S n =S 1p n-1=bp n-1(n ≥1）因为当n ≥2时，S n =a 1+a 2+…+a n-1+a n =S n-1+a n ,所以 a n =S n -S n-1=bp n-2(p-1)(n ≥2)从而),2()1()1(211≥=--=--+n p p bp p bp a a n n n n 因此a 2,a 3,a 3,…a n ,…是一个公比为p 的等比数列2．解：当n ≥2时，,)1()1(212111p bpp bp bp p bp S a S a n n n n n n n n =--=---++ 且由已知条件可知p 2<1，因此数列a 1S 1，a 2S 2，a 3S 3，…a n S n …是公比为p 2<1的无穷等比数列于是.11)1(1)(lim 2222223322p p b pp p b p S a S a S a S a n n n +-=--=-=+++∞→ 从而)(lim lim )(lim lim 332211332211n n n n n n n n n S a S a S a S a S a S a S a S a W ++++=++++=∞→∞→∞→∞→.11222pb p p b b +=+-=1．已知a,b 为实数，并且e<a<b ，其中e 是自然对数的底，证明a b >b a . 2.如果正实数a,b 满足a b =b a .且a<1，证明a=b1．证：当e<a<b 时， 要证a b >b a ， 只要证blna>alnb,即只要证b ba a ln ln >考虑函数)0(ln +∞<<=x xxy 因为但e x >时，,0ln 12<-='x x y 所以函数),(ln +∞=e x xy 在内是减函数因为e<a<b ，所以bba a ln ln >，即得a b >b a 2．证一：由a b =b a ，得blna=alnb ，从而ba a ln =考虑函数)0(ln +∞<<=x xxy ，它的导数是.ln 12x x y -='因为在（0，1）内0)(>'x f ，所以f(x)在（0，1）内是增函数由于0<a<1,b>0,所以a b <1,从而b a =a b <1.由b a <1及a>0,可推出b<1.由0<a<1,0<b<1,假如b a ≠，则根据f(x)在（0，1）内是增函数，得)()(b f a f ≠，即bba a ln ln ≠，从而a b b a ≠这与a b =b a 矛盾 所以a=b证二：因为0<a<1，a b =b a ，所以,log log b a a b a a =即aba log =假如a<b ，则1>ab，但因a<1，根据对数函数的性质，得b abb a b a b a a a a log ,log ,1log log =>=<这与从而矛盾所以a 不能小于b假如a>b ，则1<a b ，而1log >b a ，这也与b ab a log =矛盾所以a 不能大于b 因此a=b证三：假如a<b ，则可设ε+=a b ，其中ε>0由于0<a<1,ε>0,根据幂函数或指数函数的性质，得1<εa 和1)1(>ε+a a， 所以 ,)(,)1(,)1(a a a a a a a a aa a a a a ε+<ε+<ε+<ε+εε 即ab <b a .这与a b =b a 矛盾所以a 不能小于b假如b<a ，则b<a<1，可设a=b+ε,其中ε>0,同上可证得a b <b a .这于a b =b a 矛盾a 不能大于b因此a=b古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。
1988年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
1988年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分;不选或选错一律得0分（1）2i 1i 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-的值等于 （ B ）（A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么 （ C ） （A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上 （B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上 （C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上 （D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上（3）集合{1，2，3}的子集共有 （ B ） （A ）7个 （B ）8个 （C ）6个 （D ）5个（4）已知双曲线方程15y 20x 22=-，那么它的焦距是 （ A ） （A ）10 （B ）5 （C ）15 （D ）152（5）在10)3x (-的展开式中，x 6的系数是 （ D ）（A ）610C 27- （B ）410C 27 （C ）610C 9- （D ）410C 9（6）函数x sin x cos y 44-=的最小正周期是 （ A ） （A ）π （B ）π2 （C ）2π（D ）π4 （7）方程03x cos 34x cos 42=+-的解集是 （ C ）（A ）}Z k ,6)1(k x |x {k∈π⋅-+π= （B ）}Z k ,3)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （C ）}Z k ,6k 2x |x {∈π±π= （D ）}Z k ,3k 2x |x {∈π±π=（8）极坐标方程θ-=ρcos 234所表示的曲线是 （ D ）（A ）圆 （B ）双曲线右支 （C ）抛物线 （D ）椭圆（9）如图，正四棱台中，D A ''所在的直线与B B '所在的直线是 （A ）相交直线 （ C ）（B ）平行直线（C ）不互相垂直的异面直线 （D ）互相垂直的异面直线（10）)3arctg 51arctg(tg +的值等于 ( D ）（A ）4 （B ）21 （C ）81（D ）8（11）设命题甲：△ABC 的一个内角为600命题乙：△ABC 的三内角的度数成等差数列数列那么（ C ）（A ）甲是乙的充分条件，但不是必要条件 （B ）甲是乙的必要条件，但不是充分条件 （C ）甲是乙的充要条件（D ）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件（12）在复平面内，若复数z 满足|i z ||1z |-=+，则z 所对应的点Z 的集合构成的图形是 （ B ）（A ）圆 （B ）直线 （C ）椭圆 （D ）双曲线（13）如果曲线x 2-y 2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为1y x 22='-'，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为 （ D ）（A ）（1，1） （B ）（-1，-1） （C ）（-1，1） （D ）（1，-1）（14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ B ）（A ）319723C C 种 （B ）219733319723C C C C +种 （C ）51975200C C -种 （D ）4197135200C C C -种（15）已知二面角β--αAB 的平面角是锐角，C 是平面α内一点（它不在棱AB 上），点D 是点C 在面β上的射影，点E 是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任一点，那么 （ A ）（A ）∠CEB>∠DEB （B ）∠CEB=∠DEB （C ）∠CEB<∠DEB（D ）∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果（1）求复数i 3-的模和辐角的主值'Cα C A E D β B[答]模：2;复角主值：π611（只答对一个值的给2分） （2）解方程.27329x 1x=⋅---[答]x=-2（直接答-2也算对）（3）已知2tg ,273,53sin θπ<θ<π-=θ求的值 [答]-3（4）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB=3，用α表示∠ASD ，求αsin 的值[答]55 （5）已知等比数列}a {n 的公比q>1，并且a 1=b(b ≠0）求.a a a a a a a a limn 876n321n ++++++∞→[答]1三．（本题满分10分）已知,a tgx =求x3cos x cos 3x3sin x sin 3++的值解：xcos x 2cos 2x cos 2xcos x 2sin 2x sin 2x 3cos x cos x cos 2x 3sin x sin x sin 2x 3cos x cos 3x 3sin x sin 3++=++++=++)3a (2a)3x tg (2tgx )2x (sec 2tgx xcos 2)x cos 21(tgx )x 2cos 1(x cos 2x cos x sin 4x sin 2222222+=+=+=+=++=四．（本题满分10分）S-ABC 的侧面是边长为a 的正三角形，D 是SA 的中点，E 是BC 的中点，求△SDE 绕直线SE 旋转一周所得的旋转体的体积解：连结AE ，因为△SDE 和△ABC 都是边长为a 的正三角形，并且SE 和AE 分别是它们的中线，所以SE=AE ，从而△SDE 为等腰三角形，由于D 是SA 的中点，所以ED ⊥SA DF ⊥SE ，交SE 于点F 考虑直角△SDE 的面积，得到,DE SD 21DF SE 21⋅=⋅所以，S α B AC DSD FA C E B.a 66a 23a222a DF ,,a 22)2a (a 43SD SE DE ,a 23)2a (a BE SB SE ,.SE DEa 21SE DE SD DF 22222222=⋅==-=-==-=-=⋅=⋅=所以易知 所求的旋转体的体积是以DF 为底面半径，分别以SF 和EF 为高的两个圆锥的体积的和，即.a 363a 236a 31SE )a 66(31EF )a 66(31SF )a 66(3132222π=⋅⋅π=⋅⋅π=⋅⋅π+⋅⋅π五．（本题满分11分）设21t log t log 21,0t ,1a ,0a a a +>≠>与比较的大小，并证明你的结论 解：当t>0时，由重要不等式可得t 21t ≥+，当且仅当t=1时取“=”号.t l o g 2121t l o g ,t l o g 21t l o g ,1t a a a a =+=+=∴即时t log 2121t log ,t log 21t log ,x log y ,1a .t log 2121t log ,t log 21t log x log y ,1a 0.t 21t ,1t a a a aa a a a a a >+>+=><+<+=<<>=≠即所以是增函数时当即所以是减函数时当 六．（本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分.给定实数).a1x ,R x (1ax 1x y ,1a ,0a ,a ≠∈--=≠≠且设函数且 证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴;（2）这个函数的图象关于直线y=x 成轴对称图形解：（1）设M 1（x 1,y 1),M 2(x 2,y 2)是这个函数图象上任意两个不同的点，则x 1≠x 2，且.0y y ,x x ,1a ,)1ax )(1ax ()1a )(x x ()1ax )(1ax ()x x ()x x (a )1ax )(1ax ()1ax x x ax (1ax x x ax 1ax 1x 1ax 1x y y 122112121212121211211221112212≠-∴≠≠----=-----=--+---+--=-----=-且从而直线M 1M 2的斜率,0x x y y k 1212≠--=因此，直线M 1M 2不平行于x 轴（2）设点P )y ,x (''是这个函数图象上任意一点，则,111)1(,1,01)2(,1)1(,1)1()1(),(),()1(11,1-'-'=='=-'-'=-''-'=-'''''=''-'-'='≠'x a x a a y y a y y a x x x a y x y P x y y x P x a x y a x 得代入则假如即式得由的坐标为的对称点关于直线易知点且,,1,1与已知矛盾由此得即=-'=-'a x a a x a成轴对称图形线这个函数的图象关于直因此在已知函数的图象上这说明点式得于是由x y x y P y a y x y a ='''-'-'='≠-'∴,,),(.11)2(.01（注：对（1）也可用反证法或考察平行x 轴的直线y=c 与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况由其无交点或恰有一交点，从而得证对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关于y=x 对称 七．（本题满分12分）如图，直线L 的方程为2px -=，其中p ＞0;椭圆的中心为 D )0,2p2(+，焦点在x 轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的 一个顶点为A 0,2p(问p 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离解：假定椭圆上有符合题意的四点，则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程：,1y 4)]2p2(x [22=++- 又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y 2=2px,从而椭圆上有四点符合题意的充要条件是下面的方程组有四个不同的实数解：⎪⎩⎪⎨⎧==++-)2(.px 2y )1(,1y 42p 2(x [222 将（2）式代入（1）式，得)3(.0p 24p x )4p 7(x ,4px 82p2(x [222=++-+=++-即Y L所以原方程组有4个不同的实数解，当且仅当方程（3）有两个不相等的正根而这又等价于310,,0.047,024,0)24(4)47(222<<>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<->+>+--=∆p p p p pp p p 得到解此不等式组的条件下在所以，所求的p 的取值范围为.31p 0<<。
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1983-1988 年高考数学试题全国卷
l向右移动时,取弧的长为
, 直 线 PC 与 直 线
1984年试题(理工农医类)答案 一、本题考查基本概念和基本运算. (1)C; (2)C; (3)B; (4)A; (5)B. 二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.
(2)一个小组共有10名同学,其中4名是女同学,6名是男同学.要从小组内选出3 名代表,其中至少有1名女同学,求一共有多少种选法. 四、计算行列式(要求结果最简):
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六、如图,在三棱锥SˉABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧 棱SC上的一点,使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC.求证SC垂直于截面 MAB.
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(2)若c∥b,则由bγ,有c∥γ.又由cβ,且β∩γ=a,可知c∥a. 所以a,b,c互相平行. 五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力. 解法一:由原对数方程得
cx2+d=1.
这个不等式仅在以下两种情形下成立: ①c>0,1-d>0,即c>0,d<1; ②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.
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七、本题考查合理选择坐标系和灵活运用直线、椭圆性质解决问题的能力以及 简单三角方程的解法. 解法一:以椭圆焦点F1为极点,以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系.
解法二:以椭圆中心为原点,F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系(如图). 解方程组
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(6)要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目 不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算). 三、本题只要求画出图形.
四、已知三个平面两两相交,有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平 行. 六、(1)设p≠0,实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在 复平面内的对应点是z1,z2.求以z1,z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.
1983年试题(理工农医类)答案 一、本题考查对一些基本概念和常用的词语的理解.
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(1)D; (2)A; (3)D; (4)C; (5)C. 二、本题考查在直角坐标系内和极坐标系内画出图形的能力. 解:(1)图形如右所示. 交点坐标是: O(0,0), P(1,-1).
Sn=S1pn-1=bpn-1>(n≥1).
因为当n≥2时,Sn=a1+a2+…+an-1+an=Sn-1+an,所以an=Sn-Sn-1
=bpn-1-bpn-2=bP n-2(p-1)(n≥2).
因此a2,a3…,an,…是一个公比为p的等比数列. (2)解法一:当n≥2时,
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解法二:同解法一,得q>p2>0. 根据实系数一元二次方程的求根公式,得 可知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为 椭圆短轴的一个端点. 根据椭圆的性质和复数的几何意义,可得椭圆的
注:也可利用椭圆长半轴的长等于短轴上的顶点到焦点的距离,直接得出 (2)解:因为椭圆经过点M(1,2),且以y轴为准线,所以椭圆在y轴右侧,长轴平行 于x轴.
(C)X=Y (D)X≠Y 【】 (2)如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么 (A)F=0,G≠0,E≠0 (B)E=0,F=0,G≠0 (C)G=0,F=0,E≠0 (D)G=0,E=0,F≠0 【】
(A)一定是零 (B)一定是偶数 (C)是整数但不一定是偶数 (D)不一定是整数 【】 (4)arccos(-x)大于arccosx的充要条件是 (A)x∈(0,1] (B)x∈(-1,0)
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解法二:把行列式的第2列用三角公式展开,然后运用行列式的性质,得 解法三:把行列式按第2列展开,得 解法四:把行列式按定义展开,并运用三角公式,得
五、本题考查复数、不等式和三角函数的基础知识以及运用它们解题的能力.
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(2)曲线名称是:圆. 图形如下所示.
三、本题考查求初等函数微分的方法和解决简单的排列组合应用题的能力.
所以3名代表中至少有1名女同学的选法有
所以3名代表中至少有1名女同学的选法有 四、本题考查行列式的性质(或定义,或按一列展开)和三角公式的运用. 解法一:把第1列乘以sinϕ加到第2列上,再把第3列乘以(-cosϕ)加到第2列上,得
即 这就是所求的轨迹方程. 七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.
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a=6,b=8. 如图,设△ABC的内切圆圆心为O′,切点分别为D,E,F,则
如图建立坐标系,则内切圆方程为 (x-2)2+(y-2)2=4. 设圆上动点P的坐标为(x,y),则
因为P点在内切圆上,所以0≤x≤4.于是 S最大值=88-0=88, S最小值=88-16=72. 解法二:同解法一,得△ABC是直角三角形,且r=2. 内切圆的参数方程为
且由已知条件可知P2<1,因此数列
于是 因此
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九、本题考查对函数概念的理解,对幂函数、指数函数和对数函数性质的运用 及利用导数判断函数增减性从而比较函数值大小的方法.
在[a,b]上对f(x)运用中值定理,得
因为在(0,1)内f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)内是增函数.
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所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα).从而
因为0≤α≤2π,所以 S最大值=80+8=88, S最小值=80-8=72. 八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用. (1)证明:先证明xn>2(n=1,2,…).用数学归纳法.由条件α>2及x1=α知不等式当 n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,因为由条件及归纳假 设知 再由归 纳假 设知 不等 式 (xk-2)2>0 成立 , 所以不 等式 xk+1>2 也成立 . 从而不 等式 xn>2对于所有的正整数n成立. 数学归纳法的第二个步骤也可以这样证:
六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的 求法. (1)解法一:因为p,q为实数,p≠0,z1,z2为虚数,所以 (-2p)2-4q<0,q>p2>0. 由z1,z2为共轭虚数,知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过 原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点. 根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系 ,可 得椭圆的 短轴长=2b=│z1+z2│=│2p│=2│p│,
解法二:原对数方程有解的充要条件是: (1)x>0,
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cx2+d=1.
因此,条件组(1)(4)可简化为以下的等价条件组: (1)x>0, (5)x≠1,
这个不等式仅在以下两种情形下成立: ①c>0,1-d>0,即c>0,d<1; ②c<0,1-d<0,即c<0,d>1. 再由条件(1),(5)及(6),可知c≠1-d.
显然r=│z│≠0.因为 这就是所求 年高考数学试题全国卷
以下同解法一的后半部分. 六、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力. 证法一:因为SN是底面的垂线,NC是斜线SC在底面上的射影,AB⊥NC,所以AB ⊥SC(据三垂线定理). 连结 DM. 因为 AB ⊥ DC,AB ⊥ SC, 所以 AB 垂直 于 DC 和 SC 所决 定 的 平 面 . 又因 DM在这平面内,所以AB⊥DM. ∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC. 在△MDC和△NSC中,因为∠MDC=∠NSC,∠DCS是公共角,所以∠DMC=∠ SNC=90°从而DM⊥SC. 从AB⊥SC,DM⊥SC,可知SC⊥截面MAB.
(2)x<-2;
(4)-20; (5)0; 三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.
解: 四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力. 证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a. ∵ α∩β=c, α∩γ=b,
从而c与b或交于一点或互相平行. (1)若c与b交于一点,设c∩b=P.由P∈c,且cβ,有P∈β;又由P∈b,且bγ,有P∈γ. 于是P∈β∩γ=a. 所以a,b,c交于一点(即P点).
1983年试题 (理工农医类) 一、本题共5个小题,每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一 个结论是正确的.把正确结论的代号写在题后的括号内. (1)两条异面直线,指的是 (A)在空间内不相交的两条直线. (B)分别位于两个不同平面内的两条直线. (C)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线. (D)不在同一平面内的两条直线. 【】
证法二:连结DS,DM(参见证法一中的图). 因为SN是底面的垂线,AB⊥DN,所以AB⊥DS(据三垂线定理).从而AB⊥平面 SDC. 因SC,DM都在平面SDC内,故AB⊥SC,AB⊥DM. 由AB⊥DM,AB⊥DC,可知∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角, ∠MDC=∠NSC. 以下同证法一,故SC⊥截面MAB. 证法三:连结DM,DS. 因为M,N分别在△SDC的两边上,所以SN和DM都在平面内,且相交于一点P. 又因PN是底面的垂线,AB⊥DN,所以AB⊥DM(据三垂线定理). ∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC. 又∠MDC=∠NSC,∠DCS是△DCM和△SCN的公共角,故∠DMC=∠SNC=90 °.从而DM⊥SC. 从AB⊥DM,AB⊥DC,可知AB⊥平面MDC.因为SC是平面MDC内的直线,所以 AB⊥SC. 从AB⊥SC,DM⊥SC,可知SC⊥截面MAB.