直线平面简单多面体

F D C B A E D 1C 1B 1A 1九、直线、平面、简单多面体1、三个公理和三条推论：（1）在空间四点中，三点共线是四点共面的_____条件（答：充分非必要）；（2）给出命题：①若A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α，则 l ⊂α；②若A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β，则α∩β＝AB ；③若l ⊄α ，A ∈l ，则A ∉α ④若A 、B 、C ∈α，A 、B 、C ∈β，且A 、B 、C 不共线，则α与β重合。

上述命题中，真命题是_____（答：①②④）；（3）长方体中ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=8，BC=6，在线段BD ，A 1C 1上各有一点P 、Q ，在PQ 上有一点M ，且PM=MQ ，则M 点的轨迹图形的面积为_______（答：24）2、直观图的画法（斜二侧画法规则）：（1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（ ）（答：A）（2）已知正ABC ∆的边长为a ，那么ABC ∆的平面直观图A B C '''∆的面积为_____2） 3、空间直线的位置关系：（1）空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的中点，则直线EG 和FH 的位置关系_____（答：相交）；（2）给出下列四个命题：①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；②两异面直线b a ,，如果a 平行于平面α，那么b 不平行平面α；③两异面直线b a ,，如果⊥a 平面α，那么b 不垂直于平面α；④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。

其中正确的命题是_____（答：①③）4、异面直线的判定：（1）“ａ、ｂ为异面直线”是指：①ａ∩ｂ＝Φ，但ａ不平行于ｂ；②ａ⊂面α，ｂ⊂面β且a ∩b ＝Φ；③ａ⊂面α，ｂ⊂面β且α∩β＝Φ；④ａ⊂面α，b ⊄面α ；⑤不存在平面α，能使ａ⊂面α且ｂ⊂面α成立。

上述结论中，正确的是_____（答：①⑤）；（2）在空间四边形ABCD 中，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，设BC+AD=2a ，则MN 与a 的大小关系是_____（答：MN<a ）；（3）若E 、F 、G 、H 顺次为空间四边形ABCD 四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且EG=3，FH=4，则AC 2+BD 2= _____（答：50）；（4）如果ａ、ｂ是异面直线，P 是不在ａ、ｂ上的任意一点，下列四个结论：①过点P 一定可以作直线l 与ａ、ｂ都相交； ②过点P 一定可以作直线l 与ａ、ｂ都垂直；③过点P 一定可以作平面α与ａ、ｂ都平行； ④过点P 一定可以作直线l 与ａ、ｂ都平行。

其中正确的结论是_____（答：②）；（5）如果两条异面直线称作一对，那么正方体的十二条棱中异面直线的对数为_____（答：24）；（6）已知平面,//,,,a c c A a b b a 且平面βαβα⊂=⋂⊂=⋂求证：b 、c 是异面直线．5、异面直线所成角θ的求法：（1）正四棱锥ABCD P -的所有棱长相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于____（答：33）；（2）在正方体AC 1中，M 是侧棱DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上的一点，则OP 与AM 所成的角的大小为____（答：90°）；（3）已知异面直线a 、b 所成的角为50°，P 为空间一点，则过P 且与a 、b 所成的角都是30°的直线有且仅有____条（答：2）；（4）若异面直线,a b 所成的角为3π，且直线c a ⊥，则异面直线,b c 所成角的范围是____（答：[,]62ππ）； 6、异面直线的距离的概念：（1）ABCD 是矩形，沿对角线AC 把ΔADC 折起，使AD ⊥BC ，求证：BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线；（2）如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是异面直线AC 与A 1D 的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与EF 平行的直线有____条（答：1）； 7直线与平面的位置关系：（1）下列命题中，正确的是 Ａ、若直线a 平行于平面α内的一条直线b , 则 a // α Ｂ、若直线a 垂直于平面α的斜线b 在平面α内的射影，则a ⊥b Ｃ、若直线a 垂直于平面α,直线b 是平面α的斜线，则a 与b 是异面直线 Ｄ、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥（答：D ）；（2）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是___________（答：线段B 1C ）。

10、直线与平面平行的判定和性质：（1）α、β表示平面，a 、b 表示直线，则a ∥α的一个充分不必要条件是 A 、α⊥β，a ⊥β B 、α∩β＝b ，且a ∥b C 、a ∥b 且b ∥α D 、α∥β且a ⊂β（答：D ）；（2）正方体ABCD-A １B １C １D １中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM=DN ，求证：MN ∥面AA 1B 1B 。

11、直线和平面垂直的判定和性质：（1）如果命题“若y y x ,⊥∥z ，则z x ⊥”不成立，那么字母x 、y 、z 在空间所表示的几何图形一定是_____（答：x 、y 是直线，z 是平面）；（2）已知a ，b ，c 是直线，α、β是平面，下列条件中能得出直线a ⊥平面α的是 A 、a ⊥b ，ａ⊥ｃ其中ｂ⊂α，ｃ⊂α B 、a ⊥b ，ｂ∥α C 、α⊥β，ａ∥β D 、ａ∥ｂ，ｂ⊥α（答：D ）；（3）AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上的一点，AD ⊥面ABC ，AE ⊥BD 于E ，AF ⊥CD 于F ，求证：BD ⊥平面AEF 。

难点3 运用向量法解题平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题.●难点磁场(★★★★★)三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求：(1)BC 边上的中线 AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ABC 的值.●案例探究［例1］如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD .(1)求证：C 1C ⊥BD .(2)当1CC CD 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力.知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单.错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.技巧与方法：利用a ⊥b ⇔a ·b =0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可.(1)证明：设=a , =b ,1CC =c ,依题意，|a |=|b |，、、 1CC 中两两所成夹角为θ，于是-==a －b ，CC ⋅1=c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD .(2)解：若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1， 由)()(1111CC AA C -⋅+=⋅=(a +b +c )·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c |2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c |·cos θ=0,得 当|a |=|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c |时，A 1C ⊥BD ，∴1CC CD =1时，A 1C ⊥平面C 1BD .［例2］如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.(1)求的长；(2)求cos<11,CB BA >的值；(3)求证：A 1B ⊥C 1M .命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.属 ★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O －xyz ,进而找到点的坐标和求出向量的坐标.错解分析：本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标.技巧与方法：可以先找到底面坐标面xOy 内的A 、B 、C 点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标.(1)解：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .依题意得：B (0，1，0)，N (1，0，1)∴||=3)01()10()01(222=-+-+-.(2)解：依题意得：A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2). ∴1BA =1),2,1,1(CB -=(0，1，2)11CB BA ⋅=1×0+(－1)×1+2×2=3 |1BA |=6)02()10()01(222=-+-+-5)02()01()00(||2221=-+-+-=CB.1030563||||,cos 111111=⋅=⋅>=<∴CB BC CB BA (3)证明：依题意得：C 1(0，0，2)，M (2,21,21) )2,1,1(),0,21,21(11--==A C ∴,,00)2(21121)1(1111C A C A ⊥∴=⨯-+⨯+⨯-=⋅ ∴A 1B ⊥C 1M .●锦囊妙计1.解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD 为( )A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形2.(★★★★)已知△ABC 中， =a ，=b ，a ·b <0，S △ABC =415,|a |=3,|b |=5,则a 与b 的夹角是( )A.30°B.－150°C.150°D.30°或150°二、填空题3.(★★★★★)将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y =2x －5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a =_________.4.(★★★★)等腰△ABC 和等腰Rt △ABD 有公共的底边AB ，它们所在的平面成60°角，若AB =16 cm,AC =17 cm,则CD =_________.三、解答题5.(★★★★★)如图，在△ABC 中，设=a ， =b ， =c ,=λa ,(0<λ<1), =μb (0<μ<1),试用向量a ，b 表示c .6.(★★★★)正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为2a .(1)建立适当的坐标系，并写出A 、B 、A 1、C 1的坐标；(2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.7.(★★★★★)已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列.(1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 坐标为(x 0,y 0),Q 为与的夹角，求tan θ.8.(★★★★★)已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的 中点.(1)用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面；(2)用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有)(41+++=.参考答案难点磁场解：(1)点M 的坐标为x M =)29,0(,29227;0211M y M ∴=+==+- .2221)291()05(||22=--+-=∴ 5)21()15(||,10)71()15(||)2(2222=--+-==--++=AC ABD 点分的比为2.∴x D =31121227,3121121=+⨯+==+⨯+-D y .2314)3111()315(||22=--+-= (3)∠ABC 是与的夹角，而=(6，8），=(2，－5）.1452629291052)5(2)8(6)5()8(26||||cos 2222==-+⋅-+-⨯-+⨯=⋅=∴BC BA ABC 歼灭难点训练一、1.解析： =(1，2）， =(1，2），∴=，∴∥，又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB |=|DC |，∴ABCD 是平行四边形，又||=5， =(5，3），||=34，∴||≠|},∴ ABCD 不是菱形，更不是正方形；又=(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴不垂直于，∴ABCD 也不是矩形，故选D.答案：D2.解析：∵21415=·3·5sin α得sin α=21,则α=30°或α=150°. 又∵a ·b ＜0,∴α=150°.答案：C二、3.(2,0) 4.13 cm三、5.解：∵与共线，∴=m =m (－)=m (μb －a ), ∴=+=a +m (μb －a )=(1－m )a +m μb ① 又与共线，∴=n =n (－)=n (λa －b ), ∴=+=b +n (λa －b )=n λa +(1－n )b②由①②，得(1－m ）a +μm b =λn a +(1－n )b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧=-+=-+⎩⎨⎧-==-010111m n m n n m a m μλμλ即 ③ 解方程组③得：m =λμμλμλ--=--11,11n 代入①式得c =(1－m )a +m μb =πμ-11［λ(1－μ)a +μ(1－λ)b ］.6.解：(1)以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系.由已知，得A (0，0，0），B (0，a ,0）,A 1(0,0,2a ),C 1(－,2,23a a 2a ).(2)取A 1B 1的中点M ，于是有M (0，2,2a a ），连AM ，MC 1，有1MC =(－23a ,0,0）, 且=(0，a ,0）,1AA =(0,02a ) 由于1MC ·=0，1MC ·1AA =0，所以M C 1⊥面ABB 1A 1，∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角. ∵1AC =),2,2,0(),2,2,23(a a a a a =- a a a AC 49240221=++=⋅∴ a a a a a a a AC 2324||,324143||22221=+==++=而 2323349,cos 21=⨯>=<∴a a a AC 所以AC 与1所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.7.解：(1)设P (x ,y ）,由M (－1，0），N (1，0）得， =－=(－1－x ,－y ）,-= =(1－x ,－y ), =－=(2,0),∴·=2(1+x ), ·=x 2+y 2－1,⋅ =2(1－x ).于是，⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆.(2)点P 的坐标为(x 0,y 0),30,1cos 21,3041||cos 42)24)(24()1()1(||||,21020200020202022020πθθθ<≤≤<∴≤<-=⋅=∴-=-+=+-⋅++=⋅=-+=⋅x x PN PM x x x y x y x y x||3cos sin tan ,411cos 1sin 020202y x x =-==∴--=-=∴θθθθθ 8.证明：(1）连结BG ，则+=++=++=+=)(21 由共面向量定理的推论知：E 、F 、G 、H 四点共面，(其中21=） (2）因为21)(212121=-=-=-=. 所以EH ∥BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH所以BD ∥平面EFGH .(3）连OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG由(2）知21=，同理21=，所以=，EH FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分，所以).(41)](21[21)](21[212121)(21+++=+++=+=+=.。