高中数学1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象学案新人教A版必修4

第一章三角函数三角函数1．5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象1．了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义，理解φ，ω，A对函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响．2．会用“五点法”作出函数y＝A sin(ωx＋φ)及函数y＝A cos(ωx＋φ)的图象．3．理解并掌握通过对函数y＝sin x的图象进行平移变换及伸缩变换得到函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的方法．基础梳理一、ω、φ、A对y＝A sin(ωx＋φ)的图象的作用1．y＝sin(x＋φ)的图象与y＝sin x图象的关系．y＝sin(x＋φ)的图象可以看作是把y＝sin x的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个长度单位而得到．2．y＝sin(ωx＋φ)的图象与y＝sin(x＋φ)图象的关系．y＝sin(ωx＋φ)的图象可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的1ω倍，纵坐标不变而得到．3．y＝A sin(ωx＋φ)的图象与y＝sin(ωx＋φ)图象的关系．y＝A sin(ωx＋φ)的图象可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍，横坐标不变而得到．4．y＝sin x的图象与y＝A sin(ωx＋φ)图象的关系．一般地，函数y＝A sin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的图象，可以看作是用下面的方法得到的：先画出y＝sin x的图象，再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个长度单位，得到函数y＝sin(x ＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变，这时的曲线就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．思考应用1．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)图象，有几种途径？这几种途径有何不同？解析：由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋φ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换．途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍，便得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍，再沿x 轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|ω个单位，便得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．两者最大的区别就是平移单位的不同． 二、“五点法”作图用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象． (1)确定函数的最小正周期T ＝2πω；(2)令ωx ＋φ分别等于0，π2，π，3π2，2π确定这五个关键点，列表如下： x－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ0 π2π 3π2 2π yA－A这五个点为：P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0，P 2π2－φω，A ，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π－φω，0，P 43π2－φω，－A ，P 5⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－φω，0.其中，P 1，P 3，P 5均为零点(图象与x 轴的交点)，P 2是最大值点，P 4是最小值点，这五个点分别称为第一、二、三、四、五个关键点．(3)描点，画出函数在一个周期内的图象，再向左、右无限扩展，就得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象．思考应用2．研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质及其利用五点法作函数的图象的主要数学思想方法是什么？解析：整体代换的数学思想方法，即把ωx ＋φ看成一个整体．把函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质问题转化为y ＝sin x 的性质和图象问题去处理．三、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质1．y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调递增区间由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z)求得，单调减区间由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z)求得．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)求得，即x ＝k π＋π2－φω(k ∈Z)；对称中心横坐标由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)求得，即x ＝k π－φω(k ∈Z)，得对称中心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k π－φω，0(k ∈Z)．3．当φ＝k π＋π2(k ∈Z)时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是偶函数；当φ＝k π(k ∈Z)时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数；当φ≠k π＋π2且φ≠k π(k∈Z)时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是非奇非偶函数；4．在物理学中，y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示简谐运动的运动方程，这时参数A ，ω，φ有如下物理意义：(1)A 称为简谐运动的振幅，它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离． (2)T ＝2πω称为简谐运动的周期，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需的时间[即函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最小正周期]．(3)f ＝1T ＝ω2π称为简谐运动的频率，它表示单位时间内做简谐运动的物体往复运动的次数．(4)ωx ＋φ叫做相位，当x ＝0时的相位φ称为初相． 思考应用3．y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[1，＋∞)中，A <0，ω<0时，物理意义变化了吗？ 解析：振幅应为－A ，周期为T ＝2π－ω，φ不是初相，应先用诱导公式化为正数后，再确定初相φ.如y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的初相φ≠－π3，因为A ＝－1<0，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，初相为φ＝2π3.自测自评1．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是(B )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 解析：由周期公式T ＝2πω，又w ＝2，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的周期T ＝2π2＝π.故选B.2．把函数y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移π4个单位，则所得图象表示的函数的解析式为(B ) A ．y ＝2sin 2x B ．y ＝－2sin 2x C ．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 D ．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4 解析：把函数y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，所得图象表示的函数的解析式为y ＝cos 2x ，再把纵坐标扩大到原来的两倍，所得图象表示的函数的解析式为y ＝2cos 2x ，然后把图象向左平移π4个单位，所得图象表示的函数的解析式为y ＝2cos2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4⇒y ＝－2sin 2x .故选B.3．把y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的图象．解析：向左平移π3个单位，即以x ＋π3代x ，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以12x 代x ，得到函数：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.4．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ≤π)的图象如图所示，则φ＝9π10．解析：由图可知，T 2＝2π－3π4＝5π4，∴T ＝5π2，∴ω＝45，得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＋φ()－π≤φ<π，把点(2π，1)代入上式，有1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫45×2π＋φ，且－π≤φ<π，∴φ＝9π10.基础提升1．函数y ＝3sin(2x ＋π4)的最小正周期为________．答案：π2．(2015·新课标全国高考Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z解析：由五点作图知，⎩⎪⎨⎪⎧14ω＋φ＝π254ω＋φ＝3π2，解得ω＝π，φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4，令2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，解得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，故单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D.3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的一个对称中心是(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－1C.⎝⎛⎭⎪⎫π12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，04．用“五点法”作y ＝2sin 12x 的图象时，描出的五点的横坐标应该是(C )A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析：y ＝2sin 12x 五个关键点的横坐标由12x ＝0，π2，π，3π2，2π，即x ＝0，π，2π，3π，4π.5．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的振幅、相位、初相分别是________________________．答案：3，12x －π4，－π46．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2)的部分图象如图所示．则函数f (x )的解析式为(D )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6 C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 解析：显然有A ＝2，且周期有T 4＝5π12－π6＝π4⇒T ＝π，由T ＝2πω＝π，得ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由图象得2×π6＋φ＝π2，|φ|<π2，得φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故选D.巩固提高7．将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数(B )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 解析：将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3，令－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，则可知B 正确。