2017-2018学年四川省成都七中高一(下)期末数学试卷及答案

2017-2018学年四川省成都七中高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）数列﹣1，…的一个通项公式为（）A．B．C．D．2．（5分）已知＝（cos75°，sin15°），＝（cos15°，sin75°），则的值为（）A．0B．C．D．13．（5分）在△ABC中，AB＝4，BC＝3，CA＝2，则△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．（5分）以下不等式正确的是（）A．（x﹣3）2＜（x﹣2）（x﹣4）B．x2+y2＞2（x+y﹣1）C．2+＞4D．＞5．（5分）两平行直线3x+4y﹣1＝0与6x+ay+18＝0的距离为（）A．B．2C．D．16．（5分）若关于x的不等式﹣x2+2x＞mx的解集为（0，4），则实数m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．27．（5分）过点P（2，3），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（）A．x﹣y+1＝0或3x﹣2 y＝0B．x+y﹣5＝0C．x﹣y+1＝0D．x+y﹣5＝0或3x﹣2 y＝08．（5分）一个棱长为5cm的表面涂为红色的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小正方体，则两面涂色的小正方体的个数为（）A．12B．24C．36D．489．（5分）如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①AF与BM成60°角．②AF与CE是异面直线．③BN⊥DE．④平面ACN∥平面BEM．以上四个命题中，正确命题的个数是（）A．4B．3C．2D．110．（5分）已知数列{a n}的前n项，前2n项，前3n项的和分别为a，b，c，则下列说法错误的是（）A．若{a n}是等差数列，则3b﹣3a＝cB．若{a n}是等差数列，则a，b﹣a，c﹣b也为等差数列C．若{a n}是等比数列，则a2+b2＝ab+bcD．若{a n}是等比数列，则a，b﹣a，c﹣b也为等比数列11．（5分）已知直线l过点P（1，3），交x轴，y轴的正半轴分别为A，B两点，则⋅的最大值为（）A．6B．3C．﹣3D．﹣612．（5分）在锐角三角形ABC中，sin A＝k cos B cos C（k为常数），则tan B tan C的取值范围是（）A．（0，k]B．（0，1）C．（1，]D．（k，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷横线上）13．（5分）已知△ABC中，A（﹣5，0），B（3，﹣3），C（0，2），则BC边上的高所在直线的方程为；14．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n+2＝2a n，则a n＝；15．（5分）某几何体为长方体的一部分，其三视图如图，则此几何体的体积为；16．（5分）在平面四边形ABCD中，CD＝6，对角线BD＝8，∠BDC＝90°，sin A＝，则对角线AC的最大值为．三、解答题（17题10分，18～22每小题10分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}是等差数列，a1＝3，前三项和为15．数列{b n}是等比数列，公比为2，前五项和为62．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a cos A＝b cos B．（1）求cos A的值；（2）若a＝5，求△ABC的面积．19．（12分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向西行，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶10km后到达B处，测得此山顶在西偏北60°的方向上，仰角为30°．（注：山高CD⊥平面ABC）．（1）求直线DA与平面ABC所成角的正切值；（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值．20．（12分）如图，已知直线l1∥l2，A为l1，l2之间的定点，并且A到的l1，l2距离分别为2，3，点B，C分别是直线l1，l2上的动点，使得∠BAC＝α．过点A做直线DE⊥l1，交l1于点D，交l2于点E，设∠ACE＝θ．（1）当α＝90°时，求△ABC面积的最小值；（2）当α＝60°时，求△ABC面积的最小值．21．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，点E，F分别在AD，BC上，且AE ＝1，BF＝4，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF上的射影H在直线DE上．（1）求证：平面B′CD⊥平面B′HD；（2）求证：A′D∥平面B′FC；（3）求直线HC与平面A′ED所成角的正弦值．22．（12分）已知数列{a n}是正项数列，满足（a1+a2+…+a n）2＝++…．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{}的前n项和T n＜；（3）若0＜λ＜1，b n＝，求证：2017-2018学年四川省成都七中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【考点】82：数列的函数特性．【解答】解：设此数列的通项公式为a n，∵奇数项为负，偶数项为正数，∴符号为（﹣1）n．每一项的绝对值为，故其通项公式公式为a n＝．故选：A．【点评】本题考查了数列的通项公式的求法，属于基础题．2．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：＝（cos75°，sin15°），＝（cos15°，sin75°），则＝cos75°cos15°+sin15°sin75°＝cos（75°﹣15°）＝cos60°＝．故选：B．【点评】本题考查两角和与差的三角函数的三角函数，向量的数量积的应用，考查计算能力．3．【考点】GZ：三角形的形状判断．【解答】解：在△ABC中，由AB＝4，BC＝3，CA＝2，可知∠C为最大角，∵cos C＝＜0，∴△ABC为钝角三角形．故选：C．【点评】本题考查三角形形状的判断，考查余弦定理的应用，是基础题．4．【考点】71：不等关系与不等式．【解答】解：A．（x﹣3）2﹣（x﹣2）（x﹣4）＝1＞0，（x﹣3）2＞（x﹣2）（x﹣4），因此不正确；B．x2+y2﹣2（x+y﹣1）＝（x﹣1）2+（y﹣1）2≥0，因此不正确；C.﹣4＝﹣2＝﹣＜0，∴＜4，因此不正确；D．∵﹣＝7+10+2﹣（3+14+2）＝2（﹣）＞0，∴＞，可得：+＞+．因此正确．故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质、作差法比较大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．【考点】IU：两条平行直线间的距离．【解答】解：两平行直线3x+4y﹣1＝0与6x+ay+18＝0，可得a＝8，所以：两平行直线3x+4y﹣1＝0与3x+4y+9＝0的距离为：＝2．故选：B．【点评】本题考查平行线之间的距离公式个数的应用，考查计算能力．6．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【解答】解：关于x的不等式﹣x2+2x＞mx可化为﹣x2+（2﹣m）x＞0，即x[x﹣（4﹣2m）]＜0，不等式对应方程的两根为0和4﹣2m，令4﹣2m＝4，解得m＝0．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系与应用问题，是基础题．7．【考点】IE：直线的截距式方程．【解答】解：过点P（2，3），且在两坐标轴上的截距互为相反数，当横截距a＝0时，纵截距b＝0时，直线过点P（2，3），（0，0），∴直线方程为，即3x﹣2y＝0．当横截距a≠0时，纵截距b＝﹣a，直线方程为＝1，∵直线过点P（2，3），∴直线方程为＝1，解得a＝﹣1，∴直线方程为﹣x+y＝1，即x﹣y+1＝0．综上，所求直线方程为x﹣y+1＝0或3x﹣2y＝0．故选：A．【点评】本题考查直线方程的求法，考查两点式方程、截距式方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题；L2：棱柱的结构特征．【解答】解：根据题意，这个正方体的一共可以分成5×5×5＝125个棱长为1cm的小正方体，其中位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外，其它的小正方体有2面涂有红色，总共有3×12＝36个；故选：C．【点评】本题考查正方体的几何结构，关键是分析其中两面涂色的小正方体的位置．9．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：展开图复原的正方体ABCD﹣EFMN如图，由正方体ABCD﹣EFMN的结构特征，得：①由AN∥BM，可得AF与BM所成角即为∠NAF，在等边三角形NAF中，∠NAF＝60°，故①正确；②由异面直线的判定可得AF与CE是异面直线，故②正确；③由ED⊥AN，ED⊥AB可得ED⊥平面ABN，即有BN⊥DE，故③正确；④由AC∥EM，AN∥BM，以及面面平行的判定定理可得平面ACN∥平面BEM，故④正确．故选：A．【点评】本题考查异面直线的判定，异面直线及其所成的角，空间中直线与直线、平面与平面之间的位置关系，几何体的折叠与展开，考查空间想象能力，是基础题．10．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：由等差数列的前n项和公式的性质可得：a，b﹣a，c﹣b也成等差数列．∴2（b﹣a）＝a+c﹣b，则3b﹣3a＝c，故A，B正确；由等比数列的前n项和公式的性质可得：a，b﹣a，c﹣b也成等比数列，∴（b﹣a）2＝a（c﹣b），即a2+b2＝ab+ac，故C错误，D正确．∴说法错误的是C．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：设直线l方程为y＝k（x﹣1）+3＝kx﹣k+3，∴A（1﹣，0），B（0，3﹣k），∴＝（﹣，﹣3），＝（﹣1，﹣k），∴＝+3k，∵直线l与x轴，y轴的正半轴相交，∴k＜0，∴+3k≤﹣2＝﹣6，当且仅当﹣＝﹣3k即k＝﹣1时取等号．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．12．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【解答】解：由sin A＝k cos B cos C，得sin（B+C）＝k cos B cos C，即sin B cos C+cos B sin C＝k cos B cos C，两边同除以cos B cos C，得k＝tan B+tan C，∵tan B＞0，tan C＞0，∴k＝tan B十tan C≥，即tan A tan B≤，又B+C∈（，π），∴tan（B十C）＝＜0，即1﹣tan B tan C＜0，则tan B tan C＞1．∴tan B tan C∈（1，]，故选：C．【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷横线上）13．【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【解答】解：k BC＝＝﹣，可得BC边上的高所在直线的斜率为．∴BC边上的高所在直线的方程为：y﹣0＝（x+5），化为：3x﹣5y+15＝0．故答案为：3x﹣5y+15＝0．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：∵s n+2＝2a n，∴当n＝1时，a1＝2a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，a n＝s n﹣s n﹣1＝（2a n﹣2）﹣（2a n﹣1﹣2）＝2a n﹣2a n﹣1，∴a n＝2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n＝2•2n﹣1＝2n，当n＝1时，也成立，∴a n＝2n．故答案为：2n．【点评】本题考查了数列的递推公式和数列的通项公式的求法，属于中档题．15．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由题目所给的几何体的三视图可得该几何体的形状如下图所示：该几何体是底面边长为1的正方形，高为2的长方体切去如图所示的一角，∴剩余几何体的体积等于正方体的体积减去窃取的直三棱锥的体积，∴V＝2﹣××1×1×2＝．故答案为：．【点评】本题主要以有三视图得到几何体的直观图为载体，考查空间想象能力，要在学习中注意训练才行．16．【考点】HU：解三角形．【解答】解：根据题意，建立如图的坐标系，则D（0，0），C（6，0），B（0，8），BD中点为G，则G（0，4），设A、B、D三点都在圆E上，其半径为R，在Rt△ADB中，由正弦定理可得＝＝2R＝16，即R＝8，即EB＝8，BG＝4，则EG＝4，则E的坐标为（﹣4，4），∴点A在以点E（﹣4，4）为圆心，8为半径的圆上，当且仅当C、E、A三点共线时，AC取得最大值，此时AC＝8+EC＝8+＝8+2．故答案为：8+2．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了推理能力与运算能力，是中档题．三、解答题（17题10分，18～22每小题10分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：（1）∵数列{a n}是等差数列，a1＝3，前三项和为15．∴3a1+d＝15，解得d＝2，∴数列{a n}的通项公式a n＝3+（n﹣1）×2＝2n+1．∵数列{b n}是等比数列，公比为2，前五项和为62．∴＝62，解得b1＝2，∴数列{b n}的通项公式b n＝2×2n﹣1＝2n．（2）∵a n+b n＝2n+1+2n，∴数列{a n+b n}的前n项和：S n＝2（1+2+3+…+n）+（2+22+23+…+2n）+n＝2×++n＝1+n+2n+1﹣2+n＝2n+2n+1﹣1．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查等差数列、等比数列、分组求和法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：（1）由题意A，B，C成等差数列，可得2B＝A+C，∵A+B+C＝180°，∴B＝60°∵a cos A＝b cos B，由正弦定理：cos A sin A＝sin B cos B，即A＝B或A＝90°﹣B．①当A＝B时，可得A＝B＝C＝60．∴△ABC是等边三角形．cos A＝cos60°＝②当A＝90°﹣B．可得A＝30．∴cos A＝cos30°＝（2）根据（1）可知，当△ABC是等边三角形．a＝5，∴△ABC的面积S＝×5×5×sin60°＝．当△ABC是直角三角形．a＝5，可得b＝5；∴△ABC的面积S＝×5×5＝【点评】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．19．【考点】MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：（1）如图，由题意可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝120°，AB＝10，则∠ACB＝30°，BC＝AB＝10，由正弦定理可得：，得AC＝．由题意可得∠DBC＝30°，又BC＝10，则CD＝BC tan30°＝．在Rt△ACD中，得tan∠DAC＝，即直线DA与平面ABC所成角的正切值为；（2）过C作CG⊥AB，垂直为G，连接DG，则DG⊥AB，即∠DGC为二面角D﹣AB﹣C的平面角，在Rt△BGC中，由∠CBG＝60°，BC＝10，可得CG＝BC sin60°＝5，∴tan．即二面角D﹣AB﹣C的正切值为．【点评】本题考查线面角、面面角的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．20．【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系；IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【解答】解：（1）在RT△ACE中，sinθ＝，∴AC＝，同理可得AB＝，∴△ABC的面积S＝•AB•AC＝×＝，∵θ∈（0°，90°），∴2θ∈（0°，180°）．故当2θ＝90°，即θ＝45°时，S取得最小值6．（2）在RT△ACE中，sinθ＝，∴AC＝，同理可得AB＝，∴△ABC的面积S＝•AB•AC sin60°＝×＝，∵θ∈（0°，90°），∴2θ+30°∈（30°，210°）．故当2θ+30°＝90°，即θ＝30°时，S取得最小值12．【点评】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．【考点】LS：直线与平面平行；M1：空间向量及其线性运算．【解答】解：（1）证明：矩形ABCD中，CD⊥BE，点B′在平面CDEF上的射影为H，则B′H⊥平面CDEF，且CD⊂平面CDEF，∴B′H⊥CD，又B′H∩BE＝H，∴CD⊥平面B′HD，又CD⊂B′CD，∴平面B′CD⊥平面B′HD；（2）证明：∵A′E∥B′F，A′E⊄平面B′FC，B′F⊂平面B′FC．∴A′E∥平面B′FC，由DE∥FC，同理可得DE∥平面B′FC，又∵A′E∩DE＝E．∴平面A′ED∥平面B′FC，∴A′D∥平面B′FC；（3）如图所示，过E作ER∥DC，过E作ES⊥平面EFCD，分别以ER，ED，ES为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵B′在平面CDEF上的射影H在直线DE上，设B′（0，y，z）（y，z∈R+）；∵F（3，3，0），且B′E＝，B′F＝4；∴，解得；∴B′（0，2，）；∴＝（﹣3，﹣1，），∴＝＝（﹣，﹣，）；且＝（0，5，0），设平面A′DE的法向量为＝（a，b，c），，解得b＝0，令a＝1，得c＝，得到平面A′DE的法向量为＝（1，0，）；又C（3，5，0），H（0，2，0），∴＝（﹣3，﹣3，0），∴直线HC与平面A′ED所成角的正弦值为sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝．【点评】本题考查了空间中的线面、面面平行与垂直的判定和性质定理应用问题，也考查了建立空间直角坐标系求线面角的应用问题，是难题．22．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：（1）数列{a n}是正项数列，满足（a1+a2+…+a n）2＝++…，可得a12＝a13，解得a1＝1；n＝2时，（a1+a2）2＝+，解得a2＝2；n≥2时，（a1+a2+…+a n﹣1）2＝++…+，又（a1+a2+…+a n）2＝++…，相减可得a n2+2a n（a1+a2+…+a n﹣1）＝，即有2（a1+a2+…+a n﹣1）＝a n2﹣a n，将n换为n﹣1可得，2（a1+a2+…+a n﹣2）＝a n﹣12﹣a n﹣1，相减可得2a n﹣1＝a n2﹣a n﹣a n﹣12+a n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）＝0，则a n﹣a n﹣1＝1，则a n＝2+n﹣2＝n，对n＝1，2均成立，故a n＝n，n∈N*；（2）证明：＝＝（﹣），则前n项和T n＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝﹣（+）＜；（3）证明：0＜λ＜1，b n＝＝，＝＜（）2•＝（﹣），则++…+＜（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＜．【点评】本题考查数列递推式的运用：求通项，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于综合题．。