现代控制理论8_状态观测器

x& ⎤ x&% ⎥⎦
=
⎡ ⎢⎣
A
− bk 0
A
bk − HC
⎤ ⎥⎦
⎡x⎤ ⎢⎣ x% ⎥⎦
+
⎡b⎤ ⎢⎣0⎥⎦
v
带状态观测器的状态反馈系统
特征方程：
sI
−
A
=
⎡sI1
⎢ ⎣
0
0 sI2
⎤ ⎥ ⎦
−
⎡ ⎢ ⎣
A
− bk 0
bk ⎤
A
−
HC
⎥ ⎦
=
0
= sI1 − ( A − bk)
−bk
0
sI − ( A − HC)
（1） （2）
若要(1)等于零，要求 x%(t0 ) = x(t0 ) − xˆ(t0 ) = 0
即要求： x(t0 ) = xˆ(t0 )
¾ 这说明这种观测器只有当观测器的初态与系统初态完 全相同时，观测器的输出才严格等于系统的实际状态x; 否则，二者差别很大。实际情况是肯定存在差别。
¾ 只要系统是稳定的，即A的特征值具有负实部，则：xˆ 与 x 是稳态等价，但是衰减快慢由A的特征值决定。
u(t)
y(t) = [1 0] x(t)
X 不可测量，设计状态反馈，期望极点为
λ1=-7.07+j7.07 λ2=-7.07-j7.07
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yˆ = cxˆ
xˆ 是状态观测器的状态变量，x的估计值 yˆ 是状态观测器的输出， H 是状态观测器的输出误差反馈矩阵。
[ A − HC] 闭环系数阵。
xˆ& = [ A − H C ] xˆ + bu + H y
两个输入： 控制作用 u 待观测系统的输出：y 一个输出： 状态估计值：xˆ
根据： x% = x − xˆ 有： x&% = x& − x&ˆ
¾ 计算 sI − (A − HC) = 0
¾ 两式系数对应相等，求出H
例
x& (t)
=
⎡0 ⎢⎣−2
1⎤ −3⎥⎦
x(t)
+ [2 0] x(t)
设计状态观测器使其极点为λ1,2 = −10 求H
六、带状态观测器的状态反馈系统
-
原系统
状态观测器
xˆ 反馈是否与 x 反馈一样？
特征值的配置。
只要A,b,C 可观，可以任意配置H 因此，必须A,b,C 可观，才能存在状态观测器。
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（3）状态观测器设计
¾ 判别可观性 ¾ 建立希望闭环特征式
(s − λ1)(s − λ2 )L(s − λn ) = sn + an−1sn−1 + L + a1s + a0 = 0
xˆ x 入量，能产生一组输出量 渐近于 ，即 lim x − xˆ = 0
t→∞
则称 Σˆ 为Σ0的一个状态观测器。
当重构状态向量的维数等于被控对象状态向量的 维数时，称为全维状态观测器。
全维状态观测器
系统Σ0=(A,b,C)
x& = Ax + bu y = Cx
（1）开环状态观测器
仿照系统Σ0=(A,b,C)的结构，设计一个相同的 系统来观测状态x。
xˆ 是否与 x 一样？
设 x − xˆ = x% －－偏差量
x&% = x& − x&ˆ = A x + b u − ( A xˆ + b u )
= A ( x − xˆ ) = A x%
解方程：
x% (t ) = e A (t − t0 ) x% (t0 )
其中：
x%(t0 ) = x(t0 ) − xˆ(t0 )
（3） sI − ( A − HC) 与k无关，状态观测器设计与K 无关，仅与H有关；
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分离定理
如果系统(A,B,C)可控可观，则系统的状态反馈 矩阵K和观测器反馈矩阵H可分别进行设计。这个 性质成为闭环极点设计的分离性。
例：x& (t )
=
⎡0 ⎢⎣0
1⎤ −5⎥⎦
x(t)
+
⎡0⎤ ⎢⎣100⎥⎦
H与K阵的求法？
1 用 xˆ 反馈与X反馈是否一样？
（1）X反馈
反馈控制律： u = v − kx
x& = (A − bK)x + bv y = Cx
（2） xˆ 反馈
反馈控制律： u = v − kxˆ xˆ 反馈： x& = Ax + bu
= Ax + bv − bkxˆ = Ax + bv − bkxˆ + bkx − bkx = ( A − bk)x + bv + bk(x − xˆ) = ( A − bk)x + bv + bkx%
= sI1 − ( A − bk) sI − ( A − HC)
【说明】 （1）闭环系统的极点由两组极点组成：直接状态 反 馈 系 统 (A-bk,b,C) 的 极 点 ， 观 测 器 (A-HC,b,C) 的 极点。二者独立，相互分离。
（2）在引入状态观测器后，闭环极点与直接状态反 馈相同；而且与H无关，可以按照期望的极点λi设计 状态反馈。
lim [ x (t ) − xˆ (t )] = 0
t→ ∞
¾开环状态观测器无实用意义。
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（2）闭环状态观测器
如果利用输出对状态误差进行校正，构成 闭环状态观测器。
x − xˆ = x% y& = cx yˆ = cxˆ
∆ y = y − yˆ = cx − cxˆ = c ( x − xˆ )
反馈矩阵：
⎡ H1 ⎤
H
=
⎢ ⎢
M
⎥ ⎥
⎢⎣Hn ⎥⎦
状态观测器：
xˆ& = A xˆ + b u + H ( y − yˆ )
= A xˆ + b u + H y − H C xˆ
= [ A − H C ] xˆ + bu + H y
yˆ = cxˆ
xˆ& = [ A − H C ] xˆ + bu + H y
= ( A − bk)x + bv + bkx%
x&% = ( A − H C ) x%
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【说明】
xˆ (1) X反馈与 反馈传递矩阵不变
G(s) = Y (s) = C[sI − ( A − BK )]−1 B V (s)
(2) A,b,c,k 不变，即特征方程一样，特征值相同。
(3) 不一样是多了 b kx% 项 ，把 x% 当成扰动量是
x% (t ) = e[ A − H C ](t − t0 ) x% (t0 )
x%(t0 ) = 0 初值相等，则 t ≥ t0 时，xˆ = x
x%(t0 ) ≠ 0
初值不相等，但 [ A−HC ]的特征值具有负实部，
则 x%将逐渐衰减到零，观测器的状态 xˆ 将渐 近逼近实际状态 x
x%(t) → 0 的快慢，取决于反馈阵H的选择和[A-HC]
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五、状态观测器设计
状态变量
可测量的
不可测量的
用状态观测 器重构
状态观测器：
利用系统已知量y,u，构造一个模型，将系统状 态变量进行估计。实现状态变量估计的物理装置。
状态观测器定义：
设线性定常系统Σ0=(A,B,C)的状态变量X不能直
接检测。如果动态系统 Σˆ 以Σ0的输入u和输出y作为输
= A x + b u − [ A − H C ] xˆ − bu − H y = A x − [ A − H C ] xˆ − H C x = [ A − H C ]( x − xˆ ) = [ A − H C ] x%
解方程：
x% (t ) = e[ A − H C ](t − t0 ) x% (t0 )
误差的微分：
x&% = x& − xˆ& = Ax + bv − bkxˆ − [ Axˆ + bv − bkxˆ + H ( y − yˆ)] = Ax − Axˆ − HCx + HCxˆ = ( A − HC)(x − xˆ)
即：
x&% = ( A − H C ) x%
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xˆ 反馈： x& = ( A − bk)x + bv + bk(x − xˆ)
暂时的，人为的使它衰减，影响小。
(4) x% 扰动量，产生是由于直接反馈与状态观测
器反馈的初值不等引起的。
2 分离定理
xˆ 反馈：
x& = ( A − bk)x + bv + bk(x − xˆ) = ( A − bk)x + bv + bkx%
误差的微分：
x&% = ( A − H C ) x%
⎡ ⎢⎣