频率样条插值密度估计
样条插值
作业
• 教材第146页习题：20、22、25、26
数值分析
数值分析
三次样条插值
数值分析
余下的n+3个条件的确定：
（1）n+1个插值节点条件，即s3(xk)=f(xk)=yk; （2）两个边界条件！
数值分析
三次样条插值的边界
数值分析
构造三次样条插值函数S ( x )的基本方法
(1)三弯矩插值法
（2）三转角方 （3）基于B样条的三次样条插值函数
数值分析
f (1.25) ≈ S (1.25) = S1 (1.25) = 1.0336,Q 1.25 ∈[1.2,1.4].
数值分析
数值分析
B（皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier））样条
数值分析
样条函数插值
定义：记
k ⎧ x , x≥0 k x+ = ⎨ ⎩ 0, x < 0
k x+ (k = 1, 2,L ) 称为 k 次半截单项式，并规定
• • • • • 一元函数插值（一元Lagrange插值） 二元函数插值（二元Lagrange插值） Hermite插值 分段低次插值 样条插值
数值分析
样条插值
• 分段低次插值，收敛性好，但光滑性不够理想。为了得到光 滑度更高的插值函数，引入样条插值函数。 • “样条”名词来源于工程中船体和汽车等的外形设计：给出 外形曲线上的一组离散点(样点),(xi , yi),i = 0, 1, 2, …, n, 将有弹性的细长木条或钢条(样条)在样点上固定,使其在 其它地方自由弯曲,这种样条所表示的曲线,称为样条曲线(函 数). • 这样，整个曲线不仅通过样点，并且在整个区间上其一阶 导数，二阶导数是连续的。
三次样条插值知识讲解
（1）差商定义
定义
称 f[xi,xj]f(xxi)i xfj(xj), ij 为 f ( x ) 在 x i , x j
两点处的一阶差商.
f[x0,x1,x2]f[x0,xx10 ] xf2[x1,x2]
二阶差商
f[x 0 ,x 1 ,L x n ]f[x 0 ,x 1 L x n x 1 0 ] x fn [x 1 ,x 2 ,L x n ]n 阶差商
n
P n(x)
i0
yi (xxn i)1(n 'x)1(xi)
（2）插值误差估计
定理2 设 f (n) (x) 在[a, b] 上连续，f (n1) (x)在 (a, b) 内存在,
节点 a x 0 x 1 x n b ，Pn ( x) 是拉格朗日插值多项 式，则对任意 x[a,b] , 插值余项
1 (x4)(x6)(x8)(x10) 3(x2)(x6)(x8)(x10)
384
96
5(x2)(x4)(x8)(x10) 4(x2)(x4)(x6)(x10)
64
96
1 (x2)(x4)(x6)(x8) 384
缺点: 当增加或减少插值节点时,基函数需要重新 构造,不便于实际的计算使用
四、 Newton插值法
为 Det(A) (xi xj) ,由定理中条件,插值结点为彼此互异的, 那么行 0jin
列式不为零.故由Cramer法则知线性代数方程组 Aa b 存在唯一解.
三、Lagrange插值法
（1）Lagrange插值多项式可以表示为
n
Pn (x) yili (x) i0
l i( x ) ( x ( i x x x 0 0 ) ) L L ( ( x x i x x i i 1 1 ) ) ( ( x x i x x i i 1 1 ) ) L L ( ( x x i x n x ) n ) ,i 0 ,1 ,L n
数值分析(15)样条插值
数值分析
于是,在[xi , xi 1 ]上
( x xi 1 )2 (hi 2( x xi )) ( x xi )2 (hi 2( xi 1 x )) Si ( x ) yi yi 1 3 3 hi hi ( x xi 1 ) 2 ( x x i ) ( x xi ) 2 ( x xi 1 ) mi mi 1 2 2 hi hi
故构造S ( x )需要4n个条件 由（1）已知节点上函数值 yi , i 0,1, 2, ..., n。 这是n+1个条件
由（2）S ( x ) C 2 [a , b], 隐含着在内节点上应有 Si 1 ( xi ) Si ( xi ), Si'1 ( xi ) Si' ( xi ), Si''1 ( xi ) Si'' ( xi ), i 1, 2, ..., n 1
数值分析
数值分析
(3)如何求mi？ 利用在节点上二阶导数连续的条件 由 Si''1 ( xi ) Si'' ( xi ), i 1, 2, ..., n 1 导出三转角方程（n 1个方程要解n 1个未知数）
（4）再由三转角方程 边界条件（补充两个方程） 封闭的方程组，可求出mi ,( i 0,1, 2, ..., n)
（2）构造三弯矩方程
利用S ( x )在内节点上一阶导数连续的条件， 在区间[ x i , x i 1 ]上 ' ( x ) 3a ( x- x ) 2 2b ( x- x ) c Si i i i i i
数值分析
数值分析
三、三弯矩方程求解法
三弯矩法的基本思想 （1）yi'' f '' ( xi )未知，但可设S '' ( xi ) M i , ( M i yi'' , 只是M i yi'' ) （2）如能求出M i，则可由M i 和yi 构造S ( x ).
样条插值方法-空间分析-空间统计
空间统计方法-样条插值1. 样条插值拉格朗日插值和牛顿插值的结果中，插值函数的为n-1次多项式函数（n 是已知点的个数）。
当样本点很多时，多项式的次数会很高。
这会导致插值结果对已知点的取值非常敏感。
样条插值可以解决上述问题。
样条插值的基础是样条函数。
样条函数是一种特殊的函数，由多项式分段定义, 通常是指分段定义的多项式参数曲线。
在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。
用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果，分段插值具有良好的稳定性和收敛性，可以避免被称为龙格现象的数值不稳定的出现。
并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。
样条插值一般包括线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值，其中三次样条插值最为实用，本节主要介绍三次样条插值。
样条函数插值采用两种不同的计算方法：规则样条(Regularized Spline)和张力样条(Tension Spline)。
设在区间[a,b]上取n+1个节点01a x x x n b =<<<=L ，函数f(x)y =在各个节点处的函数值为f(x )(i 0,1,,1)i i y n ==-L ,若S(x)满足S(x )y ,(i 0,1,,1)i i n ==-L ；S (x )在区间[a ,b ]上具有连续的二阶导数；在每个小区间1[x ,x ](i 0,1,,1)i i n +=-L 上S(x)是三次多项式。
则称S(x)是函数y f(x)=在区间[a,b]上的三次样条插值函数。
从定义可知，要求出S(x)在每个小区间1[x ,x ](i 0,1,,1)i i n +=-L 上要确定4个待定系数，共有n 个小区间，根据上述条件(2)有S(x 0)S(x 0)i i -=+S (x 0)S (x 0),i 1,2,,1i i n ''-=+=-LS (x 0)S (x 0)i i ''''-=+共有3n-3个条件，再加上条件(1),共有4n-2个条件，因此还需2个条件才能确定S(x)，通常在区间[a,b]的端点0a x ,b x n ==上各加一个条件(称为边界条件)，可根据实际问题的要求给定。
样条插值
M j 1
j 1
, j 1, , n 1,
jM
其中
j
2M
jM
d j, ,d
j
j 1, , n 1, 6 f [ x j 1 , x j , x j 1 ].
h j 1 h j 1 h j
, j
hj h j 1 h j
解：这里 n 2，区间 [ 1,1]分为 [ 1，]， ，]两个子区间 0 [0 1 S (x) a x 3 b x 2 c x d , x [ 1, 0 ] 0 0 0 0 0 并设： S ( x ) 3 2 S 1 ( x ) a 1 x b1 x c 1 x d 1 , x [ 0 ,1] S 0 ( 1 ) 1, S 0 ( 0 ) 0 ： S 1 ( 0 ) 0 , S 1 (1) 1 a 0 b0 c 0 1 d 0 0 可得： d1 0 a b c 1 1 1 1
hj 6
M j
hj 3
M j 1
y j 1 y j hj
,
h j 1 6
M j 1 M j
j
h j 1 3 hj 6
M j
y j y j 1 h j 1 y j y j 1 h j 1
. y j 1 y j hj
h j 1 h j 3
j 1
S ( xi 0) S ( xi 0) S ( x i 0 ) S ( x i 0 ) S ( x 0 ) S ( x 0 ) i i
i 1, 2 , , n 1
共有3(n1)个条件。因此，要确定一个三次样条函数，还需要另 增加4n3(n1) = n+3 个条件。 利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条 插值。例如 分段线性插值是一次样条插值。 已知函数y = f (x)在区间[a, b]上的n +1个节点a = x0<x1<… < xn = b上的值yj=f (xj)(j=0,1,…,n)，求插值函数S (x)使其满足：
样条函数及三次样条插值PPT课件
(x)
lim
x xk
Sk 1( x)
lim
x
x
k
Sk (x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
k 1,2,,n 1
------(4)
lim
x
x
k
Sk( x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
共4n 2个条件
5
Sk (x)是[xk , xk 1 ]上的三次样条插值多项式,应有4个待定的系数 即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件:
例. 使用不同的插值方法于函数
y
1
1 x2
x [5,5]
最后，介绍一个有用的结论
定理 . 设f (x) C 2[a,b], S(x)是以xk (k 0,1,, n)
为节点, 满足任意边界条件的三次样条插值函数，
设hi
xi 1
xi
,
h
max
0in1
hi
,
min
0in1
hi
,
则当 h
c 时
S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x)和f (x)
------(6)
13
由(11)式,可知
S0( x0
)
6( x0
x1 h03
2 x0
) ( y1
y0 )
6 x0
2 x0 h02
4 x1
m0
6 x0
4 x0 h02
2 x1
m1
6 h02
(
matlab插值例题
matlab插值例题插值是一种数值计算方法，用于根据已知数据点的信息推算出未知数据点的值。
在Matlab中，有多种插值方法可以用于实现数据的插值，常用的方法包括线性插值、多项式插值、样条插值等。
下面是一个关于Matlab插值的例子，以线性插值和样条插值为例，说明其原理和使用方法。
假设有一组离散的数据点，我们想要通过插值方法计算出一些在这些数据点之间的未知数据点的值。
首先，我们需要在Matlab中定义这些已知数据点。
可以使用两个向量x和y来表示已知数据点的横坐标和纵坐标的值。
例如：```matlabx = [1, 2, 3, 4, 5];y = [3, 5, 6, 8, 10];```接下来，我们可以使用线性插值方法来计算在这些数据点之间的未知数据点的值。
Matlab中提供了`interp1`函数来实现线性插值。
代码如下：```matlabxi = 1:0.1:5; % 定义未知数据点的横坐标的范围，以0.1为步长yi = interp1(x, y, xi, 'linear'); % 进行线性插值plot(x, y, 'o', xi, yi); % 绘制已知数据点和插值结果```上述代码中，`interp1`函数的第一个参数是已知数据点的横坐标，第二个参数是已知数据点的纵坐标，第三个参数是未知数据点的横坐标范围，第四个参数是插值的方法（这里选择线性插值）。
另一种常用的插值方法是样条插值。
样条插值可以通过一系列插值点上的局部样条函数来近似地重构整个曲线。
在Matlab 中，可以使用`interp1`函数进行样条插值。
代码如下：```matlabxi = 1:0.1:5; % 定义未知数据点的横坐标的范围yi = interp1(x, y, xi, 'spline'); % 进行样条插值plot(x, y, 'o', xi, yi); % 绘制已知数据点和插值结果```上述代码中，`interp1`函数的第四个参数选择了`spline`，即样条插值方法。
样条插值法公式
样条插值法公式样条插值法是一种在数学和计算机科学中非常有用的数值分析方法。
咱们今天就来好好聊聊这个听起来有点高大上的“样条插值法公式”。
想象一下，你正在做一个科学实验，测量了一些数据点，但是这些点之间的空白区域你不知道具体数值是多少。
这时候，样条插值法就派上用场啦！先来说说什么是样条插值法。
简单来说，就是通过一系列的分段多项式来连接给定的数据点，使得曲线不仅经过这些点，而且还很光滑。
样条插值法公式有很多种，比如三次样条插值公式。
咱们就以三次样条插值为例来深入了解一下。
假设我们有 n + 1 个数据点 (x₀, y₀), (x₁, y₁),..., (xₙ, yₙ) ，并且x₀ < x₁ <... < xₙ 。
对于每个区间 [xᵢ, xᵢ₊₁] ，我们定义一个三次多项式 Sᵢ(x) = aᵢ(x - xᵢ)³+ bᵢ(x - xᵢ)² + cᵢ(x - xᵢ) + dᵢ。
为了确定这些系数 aᵢ、bᵢ、cᵢ、dᵢ，我们需要满足一些条件。
首先，Sᵢ(xᵢ) = yᵢ，Sᵢ(xᵢ₊₁) = yᵢ₊₁，这保证了曲线经过给定的数据点。
然后，还需要满足在每个节点处一阶导数和二阶导数连续。
这一堆条件看起来很复杂，但其实就是为了让我们得到的曲线既经过点，又光滑自然。
我记得有一次，我在帮一个学生解决物理实验中的数据处理问题。
实验是测量一个物体自由下落的高度和时间的关系。
但是由于测量设备的精度问题，得到的数据点并不是很连续。
我们就用样条插值法来填补这些空缺。
通过计算那些复杂的公式，一点点地确定系数，最终得到了一条非常漂亮的曲线，准确地反映了物体下落的规律。
那个学生当时眼睛都亮了，直说：“老师，这太神奇了！”在实际应用中，样条插值法可广泛用于图像处理、工程设计、金融分析等领域。
比如说，在图像处理中，对图像进行缩放或者变形时，就可以用样条插值来保持图像的质量。
总之，样条插值法公式虽然看起来有点吓人，但只要我们掌握了它的原理和方法，就能在很多情况下发挥大作用，解决那些让我们头疼的数据空缺问题。
关于三次样条插值函数的学习报告
关于三次样条插值函数的学习报告三次样条插值函数是一种广泛应用于数值分析领域的插值方法，用于逼近一组已知数据点构成的函数。
在这篇学习报告中，我将介绍三次样条插值函数的定义、原理、应用及其优缺点，并通过实际例子说明其如何在实际问题中使用。
一、三次样条插值函数的定义三次样条插值函数是指用分段三次多项式对一组已知数据点进行插值的方法。
具体来说，对于已知数据点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$，三次样条插值函数会在每相邻两个数据点之间构造一个三次多项式，使得这些多项式在相应的数据点上满足插值条件，并且在相邻两个多项式之间满足一定的连续性条件。
二、三次样条插值函数的原理三次样条插值函数的原理是利用三次多项式在每个数据点上的取值和导数值来确定三次多项式的系数，从而构造出满足插值条件和连续性条件的插值函数。
具体来说，对于每个相邻的数据点$(x_i,y_i),(x_{i+1},y_{i+1})$，我们可以构造一个三次多项式$S_i(x)$，满足以下条件：1.$S_i(x_i)=y_i$，$S_i(x_{i+1})=y_{i+1}$，即在数据点上满足插值条件；2.$S_i'(x_{i+1})=S_{i+1}'(x_{i+1})$，$S_i''(x_{i+1})=S_{i+1}''(x_{i+1})$，即在数据点上满足连续性条件。
通过求解上述条件，可以得到每个相邻数据点之间的三次多项式$S_i(x)$，从而得到整个插值函数。
三、三次样条插值函数的应用三次样条插值函数在数值分析领域有广泛的应用，尤其在曲线拟合、数据逼近等问题中起到重要作用。
例如，当我们需要根据已知的离散数据点绘制平滑的曲线图形时，可以使用三次样条插值函数来进行插值，从而得到更加连续和光滑的曲线。
另外，在信号处理、图像处理等领域也常常会用到三次样条插值函数。
例如，在数字图像处理中，我们需要对像素点进行插值以得到更高分辨率的图像，三次样条插值函数可以很好地满足这个需求，使图像更加清晰和真实。
三次样条插值算法详解
三次样条插值算法要求数据点数量较多，且在某些情况下可能存在数值不稳定性，如数据 点过多或数据点分布不均等情况。此外，该算法对于离散数据点的拟合效果可能不如其他 插值方法。
对未来研究的展望
01
02
03
改进算法稳定性
针对数值不稳定性问题， 未来研究可以探索改进算 法的数值稳定性，提高算 法的鲁棒性。
3
数据转换
对数据进行必要的转换，如标准化、归一化等， 以适应算法需求。
构建插值函数
确定插值节点
根据数据点确定插值节点，确保插值函数在节点处连续且光滑。
构造插值多项式
根据节点和数据点，构造三次多项式作为插值函数。
确定边界条件
根据实际情况确定插值函数的边界条件，如周期性、对称性等。
求解插值函数
求解线性方程组
06
结论
三次样条插值算法总结
适用性
三次样条插值算法适用于各种连续、光滑、可微的分段函数插值问题，尤其在处理具有复 杂变化趋势的数据时表现出色。
优点
该算法能够保证插值函数在分段连接处连续且具有二阶导数，从而在插值过程中保持数据 的平滑性和连续性。此外，三次样条插值算法具有简单、易实现的特点，且计算效率较高 。
根据数据点的数量和分布，合理分段，确保 拟合的精度和连续性。
求解线性方程组
使用高效的方法求解线性方程组，如高斯消 元法或迭代法。
结果输出
输出拟合得到的插值函数，以及相关的误差 分析和图表。
03
三次样条插值算法步骤
数据准备
1 2
数据收集
收集需要插值的原始数据点，确保数据准确可靠。
数据清洗
对数据进行预处理，如去除异常值、缺失值处理 等。
样条插值方法
样条插值方法
样条插值方法是一种通过拟合数据点之间的曲线来推断数据点之间的数值的方法。
它基于一组已知数据点，利用滑动平滑的曲线来建立模型，并通过这些曲线来预测未知数据点的数值。
具体来说，样条插值方法可以通过以下步骤进行：
1. 确定插值函数的类型：常见的插值函数类型有线性插值、二次插值和三次样条插值等。
根据问题的特点选择适合的插值函数类型。
2. 确定插值节点：选择一组已知数据点来进行插值。
这些数据点可以是问题中已知的实际观测值，或通过其他方法得到的估计值。
3. 构建插值模型：利用已知数据点和插值函数类型，建立插值模型。
具体的建模方法根据插值函数类型而定，可以是线性方程组的求解、Lagrange插值、Newton插值或三次样条插值等。
4. 拟合曲线：通过插值模型，得到一组曲线函数，将这些函数与已知数据点进行拟合。
通过拟合数据点，可以调整曲线的参数，使它们尽可能地接近已知数据点。
5. 预测未知数据点的数值：利用拟合的曲线函数，对未知数据点进行数值推断。
通过将未知数据点代入插值模型中的曲线函数，可以得到对应的数值。
需要注意的是，样条插值方法在一些情况下可能会出现过度拟合的问题，即拟合曲线过于复杂，对已知数据点过度敏感。
为了解决这个问题，可以采用不同的插值函数类型，或者通过降低插值函数的阶数来减小拟合误差。
插值方法的选择：根据数据特点优化插值方法
插值方法的选择：根据数据特点优化插值方法根据数据特点选择合适的插值方法是一个需要考虑多个因素的过程。
以下是一些常用的方法：1.线性插值：如果数据变化较为平缓，可以选择线性插值。
线性插值计算简单，但对于数据变化复杂的情况，估计精度较低。
2.样条插值：如果数据变化较为复杂，需要更高的精度，可以选择样条插值。
样条插值在数据点之间生成一系列虚拟数据点，并使用样条函数来连接这些点。
这种方法精度较高，但计算量较大，需要更多的计算机资源。
3.三角插值：三角插值是一种基于三角函数的插值方法，适用于数据变化较为复杂的情况。
三角插值在数据点之间生成一系列虚拟数据点，并使用三角函数来连接这些点。
4.反距离权重法：这种方法假设每个采样点都具有一定的局部影响能力，这种影响随着距离的增大而减弱。
适用于那种面积大并且密度大的点数集，并且采样点范围大于研究范围的情况。
5.自然领域法：自然领域法是根据插值点附近样本点的值和距离来计算预估表面值，也称为Sibson或区域占用插值(area-stealing)插值。
该方法的基本属性是其具有局部性，仅使用查询点周围的样本子集，且保证插值高度在所使用的样本范围之内。
不会推断表面趋势且不能生成输入样中未表示出的山峰、凹地、山脊、山谷等地形。
生成的表面将通过样本点且在除样本点位置之外的其他所有位置均是平滑的。
6.克里金方法：这种方法假设样本点之间的距离和方向反映了一种空间上的关系，以此来解释空间上的变异。
克里格方法利用一定数量的点或者一定半径范围内所有的点，代入一个数学函数，得到每个位置的输出值。
在实际应用中，可以根据具体的数据情况和计算资源来选择合适的插值方法。
如果对精度要求较高，可以选择样条插值、三角插值等精度较高的方法；如果对计算资源有限制，可以选择线性插值、反距离权重法等计算量较小的方法。
同时，也可以通过实验比较不同方法的优缺点，选择最适合的方法来拟合数据。
样条插值函数及应用
样条插值函数及应用摘要样条函数具有广泛的应用，是现代函数论的一个十分活跃的分支，是计算方法的主要基础和工具之一，由于生产和科学技术向前发展的推动以及电子计算机广泛应用的需要，人们便更多地应用这个工具，也更深刻的认识了它的本质。
在实际问题中所遇到许多函数往往很复杂，有些甚至是很难找到解析表达式的。
根据函数已有的数据来计算函数在一些新的点处的函数值，就是插值法所需要解决的问题。
插值法是数值逼近的重要方法之一，它是根据给定的自变量值和函数值,求取未知函数的近似值。
早在一千多年前,我国科学家就在研究历法时就用到了线性插值和二次插值。
而在实际问题中,有许多插值函数的曲线要求具有较高的光滑性,在整个曲线中,曲线不但不能有拐点,而且曲率也不能有突变。
因此，对于插值函数必须二次连续可微且不变号 ,这就需要用到三次样条插值。
关键词三次样条函数；插值法目录引言 (1)第一章三次样条插值 (2)1.1 样条插值函数简介 (2)1.2 三次样条函数应用 (3)第二章AMCM91A 估计水塔水流量 (5)2.1 理论分析及计算 (6)2.2运用MATLAB软件计算 (9)参考文献 (14)引言样条函数具有广泛的应用，是现代函数论的一个十分活跃的分支，是计算方法的主要基础和工具之一，由于生产和科学技术向前发展的推动以及电子计算机广泛应用的需要，人们便更多地应用这个工具，也更深刻的认识了它的本质。
上世纪四十年代，在研究数据处理的问题中引出了样条函数，例如，在1946年Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数，直到五十年代，还多应用于统计数据的处理方面，从六十年代起，在航空、造船、汽车等行业中，开始大量采用样条函数。
在我国，从六十年代末开始，从船体数学放样到飞机外形设计，逐渐出现了一个使用样，逐渐出现了一个使用样条函数的热潮，并推广到数据处理的许多问题中。
在实际生活中有许多计算问题对插值函数的光滑性有较高的要求，例如飞机机翼外形、发动机进、排气口都要求有连续的二阶导数，用三次样条绘制的曲线不仅有很好的光滑度，而且当节点逐渐加密时其函数值整体上能很好地逼近被插函数，相应的导数值也收敛于被插函数的导数值，不会发生“龙格现象”。
详细讲解三次样条插值法及其实现方法
k 2,3,,n 2
m n1 n2 2mn1 gn1 n1 fn
化为矩阵形式
17
2 1
2
2
2
m1 g1 1m0
m2
g2
3 2 3 4 2
m3
g3
n2 2 n2 mn2
gn2
n1 2 mn1 gn1 n1mn
这是一个严格对角占优的三对角方程组， 用追赶法可以求解！
x xi i i 1 hi
) mi1hi
( ) xi1x
1 hi
hi xi1 xi , i 0,1,, n 1
H3 (x) HH33((10))((xx))
x0 x x1 x1 x x2
H
( 3
n1)
(
x)
xn1 x xn
12
我们采用待定一阶导数的方法即设
S(x j ) m j , j 0,1,, n
)
y1
( ) x1x
0 h0
m h ( xx0 0 0 1 h0
)
m1h01
(
x1 h0
x
)
0
(x
1)
30
(2
x)
17 8
1
(
x
1)
7 4
1
(2
x)
1 x3 3 x2 7 x 1 88 4
1 x 2
S1(x)
y10
(
x x1 h1
)
y20
(
x2 h1
x
)
m1h11
(
x x1 h1
19
稍加整理得
2m0
m1
3
y1 y0 h0
h0 2
M0
科学计算方法12(样条插值)
证明: 由插值条件知
R( x0 ) R( x0 ) 0 R( x1 ) R( x1 ) 0
如果x 等于 x0 或 x1 有f(x0)=H(x0)和f(x1)=H(x1) 。
如果x 不等于 x0 或 x1,考虑构造辅助函数
F(t)
f
(t
)
H
(t
)
[
f
(
x)
H(
x)]
(t (x
x0 x0
)2 )2
47假如我们既知道数据点集上的函数值知道一阶导数值那么三次hermite插值就能重新生成这些数据
一般认为Pn(x)的次数n越高逼近f(x)的精度越好？
Runge反例 (rungeinterp)
f(x)=1/(x^2+1), (-5<=x<=5)
x=-5:5; y=1./(x.^2+1); u=-5:.01:5; v=polyinterp(x,y,u); plot(x,y,'o',u,v,'-')
k(
xk
)
[
4 h2
(x
xk1 ) ( x
2 xk ) h2 ]x xk
4 h
S( xk )
Sk( xk )
6 h2
yk 1
6 h2
yk
2 h
mk
1
4 h mk
13:42
23/41
当 xk ≤x ≤ xk+ 1时, Sk+1 (x)由如下基函数组成
k
(
x)
(1
2
x
xk h
)(
x
xk1 h
13:42
15/41
The given data points in the figure are (1,2), (2,1), (4,4), and (5,3), and the cubic spline is given by
[转载]插值算法（一）：各种插值方法比较
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[转载]插值算法（⼀）：各种插值⽅法⽐较原⽂地址：插值算法（⼀）：各种插值⽅法⽐较作者：稻草⼈确定性随机性确定性随机性趋势⾯（⾮精确）回归（⾮精确）泰森（精确）克⾥⾦（精确）密度估算（⾮精确）反距离权重（精确）薄板样条（精确）整体拟合利⽤现有的所有已知点来估算未知点的值。
局部插值使⽤已知点的样本来估算位置点的值。
确定性插值⽅法不提供预测值的误差检验。
随机性插值⽅法则⽤估计变异提供预测误差的评价。
对于某个数据已知的点，精确插值法在该点位置的估算值与该点已知值相同。
也就是，精确插值所⽣成的⾯通过所有控制点，⽽⾮精确插值或叫做近似插值，估算的点值与该点已知值不同。
1、反距离加权法（Inverse Distance Weighted）反距离加权法是⼀种常⽤⽽简单的空间插值⽅法，IDW是基于“地理第⼀定律”的基本假设:即两个物体相似性随他们见的距离增⼤⽽减少。
它以插值点与样本点间的距离为权重进⾏加权平均，离插值点越近的样本赋予的权重越⼤，此种⽅法简单易⾏，直观并且效率⾼，在已知点分布均匀的情况下插值效果好，插值结果在⽤于插值数据的最⼤值和最⼩值之间，但缺点是易受极值的影响。
2、样条插值法（Spline）样条插值是使⽤⼀种数学函数，对⼀些限定的点值，通过控制估计⽅差，利⽤⼀些特征节点，⽤多项式拟合的⽅法来产⽣平滑的插值曲线。
这种⽅法适⽤于逐渐变化的曲⾯，如温度、⾼程、地下⽔位⾼度或污染浓度等。
该⽅法优点是易操作，计算量不⼤，缺点是难以对误差进⾏估计，采样点稀少时效果不好。
样条插值法⼜分为张⼒样条插值法（Spline with Tension）规则样条插值法（Regularized Spline）薄板样条插值法 (Thin-Plate Splin)3、克⾥⾦法（Kriging）克⾥⾦⽅法最早是由法国地理学家Matheron和南⾮矿⼭⼯程师Krige提出的，⽤于矿⼭勘探。
这种⽅法认为在空间连续变化的属性是⾮常不规则的，⽤简单的平滑函数进⾏模拟将出现误差，⽤随机表⾯函数给予描述会⽐较恰当。
频率样条插值密度估计
频率样条插值密度估计吴果林;张德全【摘要】频率多边形是一种制作简单、收敛速度较快的总体分布密度估计,文章从插值的角度改进了这种估计,得到一种具有二阶光滑度的密度估计--频率样条插值估计.数据模拟实验表明:频率样条估计具有与核密度估计同阶的收敛速度,且减轻了核密度估计的边界偏倚问题.【期刊名称】《桂林航天工业学院学报》【年(卷),期】2010(015)002【总页数】3页(P256-258)【关键词】频率多边形;样条插值;密度估计【作者】吴果林;张德全【作者单位】广西师范大学,数学科学学院,广西,桂林,541004;桂林航天工业高等专科学校,计算机系,广西,桂林,541004;桂林航天工业高等专科学校,计算机系,广西,桂林,541004【正文语种】中文【中图分类】O212.70 引言在非参数统计领域,研究样本对应总体分布密度一直处于非常重要的地位。
在各种各样的密度估计技术中,通过连接直方图组距的中点构造而成的频率多边形一直受到很少的关注,Fisher在1932年出版的《Statistical Methods for Research Workers》书中撰文甚至批评频率多边形这种密度估计技术[1]。
然而,Scott[2]在重新讨论基于单变量和双变量的频率多边形的理论性质时发现:与直方图技术相比,频率多边形在很多方面有了较大的提高,其主要体现在:(1)从图形的效果来看,频率多边形函数在估计区间内是一个连续函数,这显然改进了直方图估计在每组的分界点上间断的缺点,也弥补了直方图估计在每组区间内为一个常数的不足。
(2)从收敛速度来看,假定密度函数f″(x)绝对连续及通过最小化积分均方误差(MISE),Scott得出最优组距h*=,渐近积分均方误差(AMISE)的收敛速度为O,与核密度估计的收敛速度同阶,且不存在收敛速度快于O的估计了[3],而直方图的收敛速度仅为O(n-32)[4]。
易见,频率多边形函数是分段一次线性函数,具有一致收敛性,但光滑性较差,而大多数连续型随机变量的分布密度函数(如正态、指数、对数正态分布等)都具有较高的光滑度,显然这与实际情形不相符。
第三章 插值法 三次样条插值
问题
分段低次插值
在处理实际问题时，总是希望将所得到的数据点用得越多越好。
最简单的方法是用直线将函数值点直接连接。
分段低次插值
基本思想：用分段低次多项式来代替单个多项式。
具体作法：(1) 把整个插值区间分割成多个小区间；
(2) 在每个小区间上作低次插值多项式；
(3) 将所有插值多项式拼接整一个多项式。
优点：公式简单、运算量小、稳定性好、收敛性…
缺点：节点处的导数不连续，失去原函数的光滑性。
三次样条函数
样条函数
由一些按照某种光滑条件分段拼接起来的多项式组成的函数。
最常用的样条函数为三次样条函数，即由三次多项式组成，满足处处有二阶连续导数。
定义设节点a =x 0< x 1 < …< x n -1 < x n =b ，若函数
在每个小区间[x i , x i +1 ]上是三次多项式，则称其为三次样条函数。
如果同时满足s (x i ) = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，则称s (x ) 为f (x ) 在[a , b ]上的三次样条函数。
],[)(2b a C x s ∈
利用线性插值公式，即可得的表达式：
求导得：
即：
：第一类边界条件（缺省边界条件）。
应用三次样条函数快速计算插值FFT算法
应用三次样条函数快速计算插值FFT算法孙同明;许珉;杨育霞【期刊名称】《电力自动化设备》【年(卷),期】2007(27)6【摘要】加汉宁窗插值快速傅里叶变换(FFT)算法可以克服频谱泄漏的影响,消除用异步采样值测量电量时产生的误差,但其计算量较大,实时性较差.为了减小插值FFT 算法的计算量,采用三次样条函数逼近加汉宁窗插值FFT算法函数,提出了应用三次样条函数的有效形式计算插值FFT算法,将插值FFT算法的谐波幅值修正系数曲线分为10段,给定11个等间距插值点,构造出计算插值FFT算法的三次样条函数的快速计算公式.该公式简单,程序实现方便,计算量小,在分段处连续,且为精确值,可以大幅度提高插值FFT算法的计算速度和实时性.仿真计算结果表明,应用三次样条函数的有效形式计算电量谐波幅值和频率,幅值误差小于0.1%,频率误差小于0.01 Hz.【总页数】3页(P60-62)【作者】孙同明;许珉;杨育霞【作者单位】河南工业大学,国际学院,河南,郑州,450052;郑州大学,电气工程学院,河南,郑州,450002;郑州大学,电气工程学院,河南,郑州,450002【正文语种】中文【中图分类】TM930.1【相关文献】1.基于汉宁窗的插值FFT算法在11号数据链测频中的应用 [J], 李晓龙;陈建青;刘波2.三次样条函数插值法在AAS工作曲线拟合中的应用 [J], 周晓芬;刘晓莉3.基于三次样条函数的加Blackman-harris窗插值FFT算法 [J], 许珉;刘凌波4.Hanning窗插值FFT算法在涡街信号处理中应用的可行性分析 [J], 曹毅杰;陈洁;郑晓杰;费琼;曹云5.基于三次样条函数的加Rife-vincent自卷积窗插值FFT算法的电力系统谐波检测 [J], 张莹莹因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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则 称 ｓｚ 为 关 于 剖 分 △ 的 一 个 三 次 样 条 函 数 。 如 果 （）
在 给 定 某 个 函数 在 剖 分 △ 的 节 点 上 的 函 数 值 ｆ 一 ， ） 』 （ ，
Ｊ ，， ， 并 满足 ： —Ｏ １ … ，
ｓｘ ） （ ｊ 一 ， 一 ０， ， ， Ｊ １… ｎ （．） １ １
方 图 的收 敛 速 度 仅 为 Ｏ（ 亍 ）４。 ｎ ［ ］
（） （ 在每个 子区间［ ， ＋］ 一０ １ … ， ２５ ） 』１ （ ， ， 一１ 上 ）
是三次多项式 。
易 见 ， 率 多边 形 函数 是 分 段 一 次 线 性 函数 ， 有 一 致 频 具 收 敛 性 ， 光 滑性 较差 ， 大 多 数 连 续 型 随 机 变 量 的 分 布 密 但 而 度函数（ 如正 态 、 数 、 数 正 态 分 布 等 ） 具 有 较 高 的 光 滑 指 对 都
ｓｚ 为 ［ ，］ 满 足 下 面条 件 的 函数 ： （ ） ｎ ６上 （ ）（ ∈Ｃ ，］ １ｓ ） ａ ６ ；
（ ＡＭＩＥ Ｓ ）的 收敛 速度 为 Ｏ（Ｙ ） 与 核 密 度 估 计 的 收 敛 速 ｎ ，
度 同 阶 ， 不存 在 收 敛 速 度 快 于 ｏ（￣ ）的估 计 了 ， 直 且 ｎ － 而
很 少 的关 注 ， ｉ ｅ Ｆ ｓ ｒ在 １ ３ ｈ ９２年 出版 的《 ｔｔ ｔ ａ ｔｏ ｓ 值 模 拟 实 验 进 一 步 表 明 ： Ｓａｉ ｉ ｌ ｓ ｃ Ｍｅｈ ｄ 当 一 。 时 ， 。 由样 本 构 建 的 频 率 样
，ｒＲ ｓ ｒｈ Ｗｏｋｒ 》 中撰 文 甚 至 收敛 于 总 体 分 布 的概 率 密 度 ， 收 敛 速 度 与 频 ０ ｅｅ ｃ ｒ ｅｓ 书 ａ 且
度 ， 然 这 与 实 际情 形 不 相 符 。从 插 值 的 观 点 来 看 ， 率 多 显 频 边 形 函数 可 以 看 成 以直 方 图 的 中点 作 为 插 值 节 点 所 作 的 分
中 图分类 号 ： ２２７ Ｏ １．
文献 标 志码 ： Ａ
文章 编号 ：０ ９１３（０００ —２６０ １０—０３２１）２０５—３
频 率 直 方 图 的 中点 作 为 插 值 节 点 ， 过 这 些 节 点 构 建 一 个 通
０ 引 言
作 在 非 参 数 统 计 领 域 ， 究 样 本 对 应 总 体 分 布 密 度 一 直 三 次 自然 样 条 函 数 ， 为 总 体 分 布 密 度 的 估 计 。 由 样 条 函 研
频率 样 条 插值 密 度估计
吴 果 林 ， 张 德 全 。 １ ２
， 广 西师范大学 １ 数学科学学院， 西 广 桂 林 ，４ ０ ４ ５ １０ 、 ＼ 桂 林 航 天 工 业 高 等 专 科 学校 ｚ 计 算机 系 ， 西 广 桂 林 ，４ ０ ４ ５ １０ ，
摘 要
频率多边形是一种制作简单 、 收敛速度 较快的总体分布密度估计 ， 文章从插值 的角度改进 了这种 估计 ， 得到一
种 具 有 二 阶光 滑 度 的密 度 估 计 — — 频 率 样 条 插 值 估 计 。数 据 模 拟 实验 表 明 ： 率 样条 估 计 具 有 与 核 密 度 估 计 频 同 阶 的收 敛 速 度 ， 且减 轻 了 核 密 度 估 计 的边 界 偏 倚 问题 。
关 键 词 频率 多边形 ； 样条插值 ； 估计 密度
密 度 估 计 技 术 。然 而 ， ｃ ｔ 在 重 新 讨 论 基 于 单 变 量 和 Ｓｏｔ Ｅ
率 多边 形 一 样 ， 是 Ｏ（ － 。 也 ｎｇ）
双 变 量 的频 率 多 边 形 的理 论 性 质 时 发 现 ： 直 方 图 技 术 相 与
比 ， 率 多边 形 在 很 多 方 面 有 了 较 大 的 提 高 ， 主 要 体 现 频 其
上 处 于 非 常 重 要 的地 位 。在 各 种 各 样 的 密 度 估 计 技 术 中 ， 通 数 的性 质 可 知 ， 述 方 法 构 建 的 频 率 样 条 插 值 函 数 具 有 二
过 连 接 直 方 图组 距 的 中点 构 造 而 成 的频 率 多 边 形 一 直 受 到 阶光 滑 度 ， 补 了频 率 多 边 形 函 数 光 滑 性 较 差 的 缺 点 。数 弥
２１ ０ ０年 第 ２期
（ 第５ 总 ８期 ）
桂 林航 天 工业 高等 专科 学校 学报
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｕ ＬＮ Ｃ Ｌ Ｅ ＥＯ Ｅ Ｏ Ｐ Ｃ Ｅ Ｈ Ｏ Ｏ Ｙ 数 学研 究与应 用 Ｏ Ｒ Ａ ＦＧ ＩＩ Ｏ Ｌ Ｇ ＦＡ Ｒ Ｓ Ａ ＥＴ Ｃ Ｎ Ｌ Ｇ
逼 近 、 分 方 程 数 值 解 、 参 数 统计 以及 科 学 和 工 程 的 计 算 微 非
中 起 到 重 要 作 用 。下 面先 简 单 介 绍 文 章 所 应 用 的 三 次 样 条 插值 函数 。
（ ） 收敛速度来看 ， ２从 假定密度 函数 厂 （ 绝对连续及 ｚ）
ｒ 。 ＋ 。
在：
１ 频 率样 条 插 值 密 度 估 计
１ １ 三 次 样 条 插 值 函数 ．
（ ） 图形 的效 果 来 看 ， 率 多 边 形 函 数 １从 频
（ 在 估 ）
样 条 函数 可 以 给 出 光 滑 的 插 值 曲 线 （ ） 因 此 在 数 值 面 ，
计 区 间 内 是 一 个 连 续 函 数 ， 显 然 改 进 了 直 方 图估 计 在 每 这 组 的 分 界 点 上 间 断 的 缺 点 ， 弥 补 了直 方 图估 计 在 每 组 区 也 间内为一个常数的不足。
设 区 间 ［ ， 上 给 定 一 个 剖 分 口胡
△： ａ— ｘｏ ｌ … ＜ 一 ｂ， ＜ ＜
Ｉ 厂 （ ）ｘ＜ 。 ， 过最 小 化 积 分 均 方 误 差 （ Ｓ ， ｘｄ 。通 ＭＩＥ） Ｊ 一∞
Ｓ ｏ ｔ 出 最 优 组 距 ｈ 一 Ｏ（ 亍） 渐 近 积 分 均 方 误 差 ｃ ｔ得 ，