双曲线几何性质学案学生版
学案5:2.2.2 双曲线的简单几何性质
2.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标：1．掌握直线与双曲线的位置关系．2．掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．学习重点：直线与双曲线的位置关系．学习难点：直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．课内探究案新课导学：探究点一直线与双曲线的位置关系研究直线与双曲线的位置关系,一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组{y=kx+m,①x2a2-y2b2=1②的解的个数进行判断.①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.当b2-a2k2=0,即k=±ba,直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线交于一点.当b2-a2k2≠0,即k≠±ba时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交;Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切;Δ<0⇔直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离.注意:直线与双曲线相切时,它们只有一个公共点,但当直线与双曲线只有一个公共点时,它们不一定相切,这时它们还可以相交.例1 若直线y=2x+m与双曲线x2-y2=4相切,则实数m的值为.探究点二根据双曲线标准方程研究几何性质由双曲线的方程,求双曲线的相关性质的步骤为:先将双曲线方程化为标准形式x 2a2−y2b2=1(或y2 a2-x2b2=1),再根据它确定a,b的值(注意分母分别为a2,b2,而不是a,b),进而求出c;再对照双曲线的几何性质得到相应的答案.画近似图形,要先画双曲线的两条渐近线(即以2a,2b为两条邻边的矩形的对角线所在直线)和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势,就可画出双曲线的近似图形.例2 求双曲线144x2-25y2=-3 600的实轴长和虚轴长,焦点坐标,顶点坐标,离心率,渐近线方程.探究点三根据双曲线的几何性质求标准方程1.根据双曲线几何性质求标准方程时,常用方法是先定型(焦点在哪个轴上),再定量(确定a2,b2的值).要特别注意a2+b2=c2的应用,并注意不要与椭圆中的关系相混淆.2.如果已知双曲线的方程为标准形式,但不知焦点所处的位置,也可把双曲线方程设为mx2-ny2=1(m,n同号),然后由条件求m,n.3.与双曲线x2a2−y2b2=1具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为x2a2−y2b2=λ(λ≠0),然后再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程.例3 根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)与双曲线x2-2y2=2有共同渐近线,且过点M(2,-2);(2)过点P(3,-√2),离心率为√52.当堂检测1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是 ( )A ．2B ．2 2C ．4D ．422．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1D.x 28－y 24＝13．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( ) A.31414 B.324 C.32 D.434．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________．四、课后反思课后训练案1．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程应是()A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1C ．－x 212＋y 24＝1D ．－x 24＋y 212＝12．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1C.y 224－x 212＝1 D.x224－y 212＝13．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线4．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54x B ．y ＝±45xC ．y ＝±43x D ．y ＝±34x5．双曲线x 24＋y 2b＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________． 6．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.7．已知动圆与⊙C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9外切，且与⊙C 2：(x －3)2＋y 2＝1内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点A (14，5)，且点A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43.求此双曲线方程．答 案新课导学探究点一 直线与双曲线的位置关系例1 【解析】联立方程组{y =2x +m ,x 2-y 2=4,则3x 2+4mx+m 2+4=0,由题意知Δ=(4m )2-12(m 2+4)=0,解得m=±2√3.【答案】±2√3探究点二 根据双曲线标准方程研究几何性质例2 【答案】 解:把双曲线方程化成标准方程为y 2144−x 225=1,则a 2=144,b 2=25,∴c 2=a 2+b 2=169. ∴a=12,b=5,c=13.由此可知,该双曲线的实轴长2a=24,虚轴长2b=10,焦点坐标为(0,-13),(0,13),顶点坐标为(0,-12),(0,12),离心率e=1312,渐近线方程为y=±125x.探究点三 根据双曲线的几何性质求标准方程例3 【答案】 解:(1)设与双曲线x 22-y 2=1有公共渐近线的双曲线方程为x 22-y 2=k (k ≠0), 将点(2,-2)代入,得k=222-(-2)2=-2,故双曲线的标准方程为y 22−x 24=1.当堂检测1．【解析】双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.故选C. 【答案】C2．【解析】2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又a ＝2，且a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝2，b ＝2.【答案】B3．【解析】根据离心率的定义求解．由双曲线中a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2，得32＝a 2＋5，∴a 2＝4，∴e ＝c a ＝32. 【答案】C4．【解析】∵a >0，∴焦点在x 轴上，∴4－a ＝a ＋2，∴a ＝1.【答案】1课后训练案1．【答案】 C【解析】 ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45， ∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1. 2．【答案】 B【解析】 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)， 又因为双曲线的焦点在y 轴上，∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1. 又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.∴双曲线方程为y 212－x 224＝1. 3．【答案】 C【解析】 ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.4．【答案】 D【解析】 ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169， ∴b a ＝43，∴a b ＝34. 又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a bx ， ∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 5．【答案】 －12<b <0【解析】 ∵b <0，∴离心率e ＝4－b 2∈(1,2)， ∴－12<b <0.6．【答案】 62 【解析】 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 7．【答案】解：设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ， 则|MC 1|＝r ＋3，|MC 2|＝r －1，∴|MC 1|－|MC 2|＝r ＋3－r ＋1＝4<|C 1C 2|＝6，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支，且2a ＝4，a ＝2，双曲线的方程为：x 24－y 25＝1(x ≥2)． 8．【答案】解：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两渐近线的方程为bx ±ay ＝0. 点A 到两渐近线的距离分别为d 1＝|14b ＋5a |a 2＋b 2，d 2＝|14b －5a |a 2＋b 2已知d 1d 2＝43，故|14b 2－5a 2|a 2＋b 2＝43(ⅰ) 又A 在双曲线上，则14b 2－5a 2＝a 2b 2(ⅱ)(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a 2b 2＝4a 2＋4b 2(ⅲ)联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b 2＝2，a 2＝4.故所求双曲线方程为x 24－y 22＝1.。
双曲线的简单几何性质(学案)
学案2.3.2双曲线的简单几何性质（第一课时）一、教学目标1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。
2、理解双曲线的渐近线。
二、教学重点难点双曲线的渐近线既是重点也是难点。
三、 教学过程 （一）复习1、椭圆标准方程及其几何性质：2、双曲线及其标准方程方程：参数关系：请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。
（二）双曲线的性质1、范围：推导：把双曲线方程12222=-by a x 变形为：结论 范围：2、对称性推导：结论3、顶点：结论 顶点：等轴双曲线：4、离心率定义：双曲线的 与 的比 ，叫做双曲线的离心率。
结论 双曲线的离心率1>e 且e 越大双曲线的开口就越开阔。
5、渐近线结论 双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的渐近线方程练习：求下列双曲线的渐近线方程（写成直线的一般式）。
（1）369422=-y x 的渐近线方程是： ； （2）369422-=-y x 的渐近线方程是： ； （3）10042522=-y x 的渐近线方程是： ； （4）10042522-=-y x 的渐近线方程是： 。
结论：把双曲线标准方程中等号右边的 改成 ，然后变形，即可得其渐近线方程。
例1、 求双曲线14416922=-x y 的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
解：把方程14416922=-x y 化为标准方程1342222=-x y由此可知，半实轴长4=a ，半虚轴长3=b ；5342222=+=+=b a c焦点坐标是)5,0(),5,0(-；离心率45==a c e ；渐近线方程为x y 34±=。
【变式练习】1、求双曲线14416922-=-x y 的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
例2、 求适合下列条件的双曲线标准方程（1） 顶点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为45； （2） 顶点间距离为6，渐近线方程为x y 23±=；解：（1）设双曲线的标准方程为12222=-b y a x 或)0,0(>>b a 。
双曲线的几何性质学案
双曲线的几何性质学案
知识目标：
一、双曲线性质的理解：
1、 填写下表：
3、由性质总结出由曲线的方程判断曲线是否关于x,y 轴及原点对称的方法：
4. 如何由离心率刻画双曲线的开口程度：
5、你是如何理解渐近线概念的，能否用一句话概括：
为什么在学椭圆时没提及渐近线，通过对比椭圆与双曲线，你认为什么样的曲线才有可能存在渐近线：
6、把双曲线的渐近线方程化为一般式，再与双曲线的标准方程对比，你能否得出一种由双曲线标准方程直接得到渐近线方程的方法：
根据上面的方法，逆向思考，可否得出一种已知渐近线方程设双曲线标准方程的方法： 7、等轴双曲线定义：
注意等轴双曲线标准方程 与圆心在原点的圆方程 的联系与区别：
二、例题的理解：
8、（1）求曲线方程有直接法，待定系数法，相关点法，参数法，例5使用了什么方法？
（2）例5与P47例6相比较可以得到结论：
9、例6解答中应用到了两点间距离公式（A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)）AB= 用两点间距离公式可以求出P60例6思考中的三角形周长为 ， 联系椭圆性质学案“练习与巩固”4，如何用弦长公式求出弦长AB ：
练习与巩固：
1、 求下列曲线坐标中x,y 的范围：
2、已知双曲线渐近线为
y =±23x ，且经过点A （4，3），求双曲线的标准方程。
3、（2）x 2-2x -3y 2
=0(1)(x -1)225-(y +2)29=1。
双曲线的简单几何性质(一)导学案
1标准方程 错误!－错误!＝1 （a 〉0,b>0) 错误!－错误!＝1(a 〉0，b 〉0） a ，b,c 关系 a 2+b 2=c 2 a 2+b 2=c 2
渐近
线
探究点二由性质求标准方程(定型→设方程→定量→作答)
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)双曲线的焦点为（2，0)，右顶点为(错误!，0)； (2)实半轴长为8，离心率为错误!；
变式:求满足下列条件的双曲线方程
(1）双曲线C的焦点为（0,5)，虚轴长为4; （2）实轴长为2,离心率为2；
四、巩固提高（链接高考）：
1、（2013陕西卷）双曲线x2
16
－错误!＝1的离心率为______，两条渐近线的方程为_____．
2、(2011年高考安徽卷）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是
3、（2011年高考江西卷）若双曲线错误!-错误!=1的离心率e=2，则m=__ __.
4、思考：若a=b，则渐近线的方程为_____，离心率e＝
五、小结(方法总结）：
（1）双曲线的简单性质（2）应用：①方程→性质②性质→方程
六、作业：1、P835 2、补充:求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点分别为F1（－3,0），F2（3,0)，离心率e＝ 3
（2)虚轴长为12,离心率为4
5
；。
2.3.2双曲线的简单几何性质(第1课时)学案
2.3.2双曲线的简单几何性质（第1课时）【学习目标】1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对a 、b 、c 、e 的关系及其几何意义的理解。
2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。
【学习重点】双曲线的简单几何性质及其应用。
【学习难点】渐近线方程的导出。
一、课前预习要求及内容回顾：1、双曲线的定义：2、双曲线的标准方程：3、回想我们是怎样利用椭圆的标准方程探究椭圆性质的？二、预习整理（一）试一试类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程)0,0(,12222>>=-b a b y a x ，研究它的几何性质。
①范围 ：由双曲线的标准方程可得：=22by 从而得x 的范围： ；即双曲线在不等式 和所表示的区域内。
22ax = 从而得y 的范围为 。
②对称性：以x -代x ，方程不变，这说明所以双曲线关于 对称。
同理，以y -代y ，方程不变得双曲线关于 对称，以x -代x ，且以y -代y ，方程也不变，得双曲线关于 对称。
③顶点：即双曲线与对称轴的交点。
在方程12222=-by a x 里，令y=0,得x= 得到双曲线的顶点坐标为1A （ ）2A （ ） ；我们把1B （ ）2B （ ）也画在y 轴上（如图）。
线段 分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为 。
④离心率：双曲线的离心率e= ，范围为 。
（二）想一想1、根据上述四个性质，画出椭圆 191622=+y x 与双曲线191622=-y x 的图象。
2、渐近线：双曲线22221x ya b-=的渐近线方程为,双曲线各支向外延伸时，与它的渐近线，。
叫做等轴双曲线，它的渐近线为，离心率为。
思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？三、合作探究四、小组展示例题1、求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标、离心率，渐近线方程。
高中数学《双曲线的简单几何性质》导学案
2．2.2双曲线的简单几何性质1．双曲线的简单几何性质2．等轴双曲线(1)□14实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．(2)等轴双曲线具有以下性质：①方程形式为□15x－y＝λ(λ≠0)；②渐近线方程为□16y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；③实轴长和虚轴长都等于□172a，离心率e＝□18 2.对双曲线的简单几何性质的四点认识(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程x2 a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，得x2a2＝1＋y2b2≥1，∴x2≥a2，∴|x|≥a，即x≤－a或x≥a；(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然；(4)对称性：由双曲线的方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，若P(x，y)是双曲线上任意一点，则P1(－x，y)，P2(x，－y)均在双曲线上，故P与P1，P2分别关于y轴、x轴对称，因此双曲线分别关于y轴、x轴对称，只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等轴双曲线的离心率为 2.()(2)方程y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±ba x.()(3)与双曲线渐近线平行的直线与此双曲线有且只有一个公共点．() 答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)双曲线x2－y23＝1的渐近线方程为________，离心率e＝________.(2)双曲线x2－16y2＝1的实半轴长为________，虚半轴长为________．(3)焦点在x轴上，且焦距为4的等轴双曲线方程为________．答案(1)y＝±3x2(2)114(3)x22－y22＝1探究1双曲线的简单几何性质例1求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．[解]将9y2－4x2＝－36变形为x29－y24＝1，即x232－y222＝1，∴a＝3，b＝2，c＝13，因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标F1(－13，0)，F2(13，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝ca ＝133，渐近线方程y＝±ba x＝±23x.作草图：拓展提升(1)由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤(2)双曲线共有两个焦点、两个顶点、两个虚轴端点六个特殊点，注意双曲线的焦点一定在双曲线的实轴所在的直线上．(3)直线x＝±a，y＝±b或x＝±b，y＝±a围成的矩形中，双曲线的渐近线即两条对角线所在的直线．依据(2)(3)两点，可画出双曲线的大致图形．【跟踪训练1】(1)已知0<θ<π4，则双曲线C1：x2cos2θ－y2sin2θ＝1与C2：y2sin2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等 答案 C解析 因为0<θ<π4，所以sin θ>0，cos θ>0，所以双曲线C 1的实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2，离心率e 1＝1cos θ，双曲线C 2的实轴长为2sin θ，虚轴长为2sin θtan θ＝2sin 2θcos θ，焦距2sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝2sin θcos θ，离心率e 2＝1cos θ，所以两个双曲线的离心率相等．(2)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 C解析 令x 2a 2－y 29＝0，得x a ＝±y 3，所以双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay＝0，与已知方程比较系数得a ＝2.探究2 双曲线的离心率问题例2 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若过右焦点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2) B.⎝⎛⎭⎪⎫1，233 C ．[2，＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞(2)我们把离心率e ＝5＋12的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)称为黄金双曲线．如图是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0，c ＝a 2＋b 2)的图象，给出以下几个说法：①若b 2＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线；②若F 1，F 2为左右焦点，A 1，A 2为左右顶点，B 1(0，b )，B 2(0，－b )且∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；③若MN 经过右焦点F 2且MN ⊥F 1F 2，∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为________．[解析] (1)由题意知，过右焦点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线右支有两个交点，需满足b a <tan30°，即b <33a .∴3b 2<a 2，∴3(c 2－a 2)<a 2，c 2<43a 2，∴e 2<43，∴－233<e <233.又e >1，∴1<e <233.(2)①正确．由⎩⎨⎧b 2＝ac ，c 2＝a 2＋b 2得c 2－ac －a 2＝0，所以e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝1－52(舍去)，该双曲线是黄金双曲线． ②正确.F 1B 1→＝(c ，b )，A 2B 1→＝(－a ，b )． 因为∠F 1B 1A 2＝90°，所以F 1B 1→·A 2B 1→＝0.所以－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac ，由①可知该双曲线是黄金双曲线． ③正确．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2－y 2b 2＝1解得M ，N 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，所以OM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ， ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a . 因为∠MON ＝90°，所以OM →·ON →＝c 2－b 4a 2＝0，即b 2＝ac ，由①知该双曲线是黄金双曲线．[答案] (1)B (2)①②③[条件探究] 若把例2(1)的条件“30°”改为“60°”，“有两个”改为“有且只有一个”，其他条件不变，应如何解答？解 由题可得直线的斜率为3，要使直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，只要b a ≥ 3，∴e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≥4.∴e ≥2，离心率取值范围为[2，＋∞)．拓展提升1.求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解，若已知a ，b ，可利用e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2求解． (2)方程法：若无法求出a ，b ，c 的具体值，但根据条件可确定a ，b ，c 之间的关系，可通过b 2＝c 2－a 2，将关系式转化为关于a ，c 的齐次方程，借助于e ＝ca ，转化为关于e 的n 次方程求解．2．求双曲线离心率范围的思路求双曲线离心率的范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．【跟踪训练2】 (1)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝－1(a ＞0，b ＞0)的离心率分别为e 1，e 2，则必有( )A．e1＝e2B．e1e2＝1C.1e1＋1e2＝1 D.1e21＋1e22＝1答案 D解析依题意，知e21＝a2＋b2a2，e22＝a2＋b2b2，所以1e21＋1e22＝a2＋b2a2＋b2＝1.故选D.(2)已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是() A．4＋2 3 B.3＋1C.3－1D.3＋1 2答案 B解析设边MF1的中点为P，由题意知，MF1⊥PF2，在Rt△PF1F2中，|PF1|＝|F1F2|cos60°＝2c×12＝c，|PF2|＝|F1F2|sin60°＝2c×32＝3c，根据双曲线的意义可知2a＝|PF2|－|PF1|＝3c－c，所以e＝ca ＝23－1＝3＋1.探究3由双曲线的几何性质求标准方程例3求与双曲线x216－y29＝1共渐近线且过点A(23，－3)的双曲线的方程及其离心率．[解]解法一：双曲线x216－y29＝1的渐近线方程为y＝±34x.(1)设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．因为ba＝34，所以b＝34a①.因为点A(23，－3)在所求的双曲线上，所以12a2－9b2＝1②.联立①②所得的方程组无解．(2)设所求的双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．因为ab＝34，所以a＝34b③.因为点A(23，－3)在所求的双曲线上，所以9a2－12b2＝1④，联立③④得a2＝94，b2＝4.所以所求双曲线方程为y294－x24＝1且离心率e＝53.解法二：设与双曲线x216－y29＝1共渐近线的双曲线的方程为x216－y29＝λ(λ≠0)．因为点A (23，－3)在所求的双曲线上，所以λ＝1216－99＝－14，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝－14，即y 294－x 24＝1.从而可求得离心率e ＝53.拓展提升巧设双曲线方程的六种常用方法(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． (2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． (5)渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (6)渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．【跟踪训练3】 根据以下条件，求双曲线的标准方程．(1)以圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和一个顶点；(2)焦点在x 轴上，渐近线方程为y ＝±33x ，且顶点到渐近线的距离为1. (3)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． 解 (1)对圆C 的方程，令y ＝0，得x 2－6x ＋8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4，即圆C 与x 轴的两个交点分别为(2,0)，(4,0)． 令x ＝0，得y 2－4y ＋8＝0，此方程无解，即圆C 与y 轴没有交点． 因此点(2,0)为双曲线的右顶点，点(4,0)为双曲线的右焦点． 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则a ＝2，c ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝12， 从而双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.(2)由焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，渐近线方程为y＝±ba x＝±33x，则a＝3b.由顶点(a,0)到渐近线y＝33x的距离为1，得|a|2＝1，得a＝2，b＝33a＝233.从而双曲线的标准方程为x24－y243＝1.(3)因为离心率e＝2，所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．由双曲线过点P(4，－10)，得16－10＝λ，即λ＝6，所以双曲线的标准方程为x26－y26＝1.探究4直线与双曲线的位置关系例4双曲线C与椭圆x28＋y24＝1有相同的焦点，直线y＝3x为C的一条渐近线．(1)求双曲线C的方程；(2)如右图，过点P(0,4)的直线l交双曲线C于A，B两点，交x轴于Q点(Q 点与C的顶点不重合)．当PQ→＝λ1QA→＝λ2QB→，且λ1＋λ2＝－83时，求Q点的坐标．[解](1)设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．由椭圆x28＋y24＝1求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，∴对于双曲线C：c＝2，焦点在x轴上．又y＝3x为双曲线C的一条渐近线，∴ba＝3，解得a2＝1，b2＝3，∴双曲线C的方程为x2－y23＝1.(2)解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零． 设l 的方程：y ＝kx ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ，0，∵PQ →＝λ1QA →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ，－4＝λ1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋4k ，y 1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k＝λ1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋4k ，－4＝λ1y 1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4kλ1－4k ，y 1＝－4λ1，∵A (x 1，y 1)在双曲线C 上， ∴16k 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋λ1λ12－163λ21－1＝0， ∴16＋32λ1＋16λ21－163k 2－k 2λ21＝0， ∴(16－k 2)λ21＋32λ1＋16－163k 2＝0. 同理有(16－k 2)λ22＋32λ2＋16－163k 2＝0. 若16－k 2＝0，则直线l 过顶点，不符合题意，∴16－k 2≠0，∴λ1，λ2是一元二次方程(16－k 2)x 2＋32x ＋16－163k 2＝0的两根，∴λ1＋λ2＝32k 2－16＝－83，∴k 2＝4，此时Δ>0，∴k ＝±2，所求Q 的坐标为(±2,0)． 解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零． 设l 的方程y ＝kx ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ，0，∵PQ →＝λ1QA →＝λ2QB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ，－4＝λ1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋4k ，y 1＝λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4k ，y 2， ∴－4＝λ1y 1＝λ2y 2，∴λ1＝－4y 1，λ2＝－4y 2.又λ1＋λ2＝－83，∴1y 1＋1y 2＝23，即3(y 1＋y 2)＝2y 1y 2.将y ＝kx ＋4代入x 2－y 23＝1得(3－k 2)y 2－24y ＋48－3k 2＝0.∵3－k 2≠0，否则l 与渐近线平行， ∴y 1＋y 2＝243－k 2，y 1y 2＝48－3k 23－k 2， ∴3×243－k 2＝2×48－3k 23－k 2， ∴k ＝±2，∴Q (±2,0)． 拓展提升(1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x 或y 中的一个后，得到的形如一元二次方程的式子中，要注意x 2项或y 2项系数是否为零的情况，否则容易漏解．(2)直线y ＝kx ＋b 与双曲线相交所得的弦长d ＝ 1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|.【跟踪训练4】 已知双曲线x 2－y 22＝1，问：过点A (1,1)能否作直线l ，使l与双曲线交于P ，Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．解 假设符合题意的直线l 存在，并设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1.两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．① 又A (1,1)为线段PQ 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，②y 1＋y 2＝2.③将②③代入①，得x 1－x 2＝12(y 1－y 2)， 由题意，知直线l 的斜率存在，则x 1≠x 2， 则直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，所以直线l 的方程为2x －y －1＝0.而由⎩⎨⎧2x －y －1＝0，x 2－y22＝1，得2x 2－4x ＋3＝0，根据Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，说明所求直线不存在．1.双曲线的几何性质主要包括“六点”——实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”——对称轴、渐近线；“两比率”——离心率、渐近线的斜率．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关．双曲线的顶点坐标、实轴端点坐标、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置有关.2.已知双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程，常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出方程的形式，再由题设条件确定参数的值；当双曲线焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，以防止遗漏.3.求双曲线离心率的常用方法 (1)依据条件求出a ，c ，计算e ＝c a ；(2)依据条件建立a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba 后利用e ＝1＋b 2a 2求解.4.渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程，反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程.5.直线与双曲线有一个公共点的两种情况 (1)直线与双曲线相切； (2)直线与双曲线的渐近线平行.1．双曲线x 216－y 29＝1的一个焦点到它的一条渐近线的距离等于( ) A ．4 B ．8 C ．3 D ．6 答案 C解析 双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，渐近线方程为x 4±y3＝0，即3x ±4y ＝0，根据双曲线的对称性，不妨求(5,0)到直线3x －4y ＝0的距离，d ＝|3×5－4×0|32＋(－4)2＝3.2．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52 D ．1 答案 D解析 因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.3．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 答案 D解析 由题意知双曲线焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，a 2＋b 2＝36，解得a 2＝b 2＝18，所以所求双曲线的标准方程为x 218－y 218＝1. 4．双曲线x 25－y 24＝1的实轴长等于________，虚轴长等于________，焦点坐标是________，离心率是________，渐近线方程是________．答案 25 4 (－3,0)和(3,0) 355 y ＝±255x解析 由题意知a ＝5，b ＝2，c ＝3，∴实轴长2a ＝25，虚轴长2b ＝4，焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，离心率e ＝c a ＝35＝355，渐近线方程y ＝±b a x ＝±255x . 5．已知双曲线两顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ，求双曲线的标准方程．解 设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，a 2＝4λ， ∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94. 当λ<0时，a 2＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1和y 29－x 24＝1.A 级：基础巩固练一、选择题1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值为( ) A ．－14 B ．－4 C ．4 D.14 答案 A解析 双曲线的标准方程为y 2－x 2－1m＝1，∴a 2＝1，b 2＝－1m .由题意，得b 2＝4a 2，∴－1m ＝4，∴m ＝－14.2．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433 B ．2 3 C ．6 D ．4 3 答案 D解析 由双曲线的标准方程x 2－y23＝1得，右焦点F (2,0)，两条渐近线方程为y ＝±3x ，直线AB ：x ＝2，所以不妨取A (2，23)，B (2，－23)，则|AB |＝43，选D.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1答案 A解析 由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.4．过原点作直线，与双曲线x 2－y 2＝1恰有一个交点的直线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．4条 答案 A解析 设l 的方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＝1.显然方程不可能只有一个解．故过原点与双曲线x 2－y 2＝1恰有一个交点的直线有0条．5．已知直线y ＝12x 与双曲线x 29－y 24＝1交于A ，B 两点，P 为双曲线上不同于A ，B 的点，当直线P A ，PB 的斜率k P A ，k PB 存在时，k P A ·k PB ＝( )A.49B.12C.23 D ．与P 点位置有关 答案 A解析 设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，P (x ，y )，∴k P A ·k PB ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 2x 2－x 2＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 29－1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 209－1x 2－x 20＝49(x 2－x 20)x 2－x 20＝49.故选A. 6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(m >b >0)的离心率之积等于1，则以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形 答案 D解析 双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a，椭圆的离心率e 2＝m 2－b 2m，由e 1e 2＝1得(a 2＋b 2)(m 2－b 2)＝a 2m 2，故a 2＋b 2＝m 2，因此三角形为直角三角形．二、填空题7．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．答案 x 24－y 2＝1解析 根据渐近线方程为x ±2y ＝0，可设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，3)，所以42－4×(3)2＝λ，即λ＝4.故双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.8．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则1e 21＋3e 22＝________.答案 4解析 如图，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，设|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)·cos π3，化简得a 21＋3a 22＝4c 2，该式可变形为a 21c 2＋3a 22c 2＝4，∴1e 21＋3e 22＝4.9．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为________．答案 x 24－y 25＝1解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得，y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 三、解答题10．已知双曲线E 与双曲线x 22－y 2＝1共渐近线，且过点(2，－2)，若双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M 的标准方程．解 由题意，设E 的方程为x 22－y 2＝t (t ≠0)． ∵点(2，－2)在E 上，∴222－(－2)21＝t ，∴t ＝－2， ∴双曲线E 的标准方程为y 22－x 24＝1，又双曲线M 与E 为共轭双曲线，则双曲线M 的标准方程为x 24－y 22＝1.B 级：能力提升练1．求两条渐近线为x ±2y ＝0且截直线x －y －3＝0所得弦长为833的双曲线方程．解 设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．联立方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4y 2＝λ，x －y －3＝0，消去y 得，3x 2－24x ＋(36＋λ)＝0.设直线被双曲线截得的弦为AB ， 且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝36＋λ3，Δ＝242－12(36＋λ)>0.那么|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫82－4×36＋λ3 ＝8(12－λ)3＝833. 解得λ＝4，所以，所求双曲线方程是x 24－y 2＝1.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，直线l 过A (a,0)，B (0，－b )两点，原点O 到l 的距离是32.(1)求双曲线的方程；(2)过点B 作直线m 交双曲线于M ，N 两点，若OM →·ON →＝－23，求直线m 的方程．解 (1)依题意，直线l 的方程为：x a ＋y －b ＝1，即bx －ay －ab ＝0.由原点O 到l 的距离是32，得aba 2＋b 2＝abc ＝32， 又e ＝c a ＝233，所以b ＝1，a ＝ 3. 故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)显然直线m 不与x 轴垂直，设m 方程为y ＝kx －1，设点M ，N 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立方程⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 23－y 2＝1消去y ，得(1－3k 2)x 2＋6kx －6＝0.(*)依题意知1－3k 2≠0，由根与系数的关系知x 1＋x 2＝6k 3k 2－1，x 1x 2＝63k 2－1.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－1)(kx 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－k (x 1＋x 2)＋1＝6(1＋k 2)3k 2－1－6k 23k 2－1＋1＝－23，解得k ＝±12，当k ＝±12时，判别式Δ＝15>0，方程(*)有两个不等的实数根，满足条件． 故直线m 方程为y ＝12x －1或y ＝－12x －1.。
双曲线的几何性质教案
双曲线的几何性质教案教案标题：双曲线的几何性质教案目标：1. 了解双曲线的定义和基本性质。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、渐近线等。
3. 能够应用所学知识解决与双曲线相关的几何问题。
教案步骤：引入活动：1. 引导学生回顾并复习椭圆和抛物线的几何性质，引出双曲线的概念。
2. 引导学生思考双曲线与椭圆、抛物线的异同之处。
知识讲解：3. 介绍双曲线的定义，以及与椭圆和抛物线的区别。
4. 解释双曲线的标准方程，并讲解如何根据方程确定双曲线的形状和位置。
性质探究：5. 讲解双曲线的焦点和准线的定义，以及它们与双曲线方程中的参数的关系。
6. 引导学生通过计算实例，理解焦点和准线对双曲线形状的影响。
应用实践：7. 引导学生通过实例，探究双曲线的渐近线的性质和方程。
8. 给学生一些实际问题，要求他们应用所学知识解决问题，如：给定双曲线的焦点和准线，求双曲线的方程。
巩固练习：9. 提供一些练习题，让学生巩固所学知识。
总结回顾：10. 总结双曲线的几何性质，强调重点和难点。
11. 鼓励学生提问和解答疑惑。
教学辅助：- 演示板或投影仪，用于展示双曲线的图形和方程。
- 教科书或教学PPT，用于讲解和示范。
- 计算器，用于计算实例。
教学评估：- 在课堂上观察学生的参与度和理解情况。
- 布置作业，检查学生对双曲线几何性质的掌握程度。
- 进行小组或个人演示，让学生展示他们对双曲线的理解和应用能力。
教案扩展：- 引导学生进一步探究双曲线的其他性质，如离心率、直线的切线等。
- 引导学生应用双曲线的性质解决更复杂的几何问题，如求解交点、证明性质等。
注意事项：- 确保讲解清晰，语言简明扼要，避免过于抽象或复杂的表达。
- 鼓励学生思考和提问，激发他们的兴趣和参与度。
- 根据学生的实际情况和学习进度，适当调整教学内容和步骤。
双曲线的简单几何性质学生版
(2)x2 y2 4
2.若双曲线的渐近线方程为y 4 x,则双曲线 3
的离心率为
1.双曲线的简单几何性质： 范围、对称性、顶点、渐近线、离心率
2.数学思想方法：“类比”和“数形结合”
体验高考
1.2011安徽高考双曲线2x2 y2 8的实轴长是（ ）
A.2
y2 - x2 1 (a 0, b 0) a2 b2
y a或y a, x R
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐近线
A1（- a，0），A2（a，0）
A1（0，-a），A2（0，a）
* ybx a
e c (e 1) a
* yax b
巩固练习
1.求以下双曲线的焦点坐标、顶点坐标、 实轴长、虚轴长、渐近线方程、离心率.
1、范围
y a或y a, x R
y
a
o
x
-a
【练习一】写出以下双曲线的范围
x2 y2 (1) 1
4 12 (2) x2 y2 1
20 16
3 y2 x2 1
9 16
探究双曲线
x2 y2 a2 b2 1(a 0, b 0)
的简单几何性质
2、对称性
(-x,y)
y (x,y)
4.双曲线的渐近线
▲规定：直线
ybx a
叫做双曲线
x2 a2
y2 b2
=1的渐近线。
▲思考：①双曲线
y2 a2
x2 b2
1的渐近线方程是什么？ y
a
x
②两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？b
x2 y2 a2 b2 =1
y2 a2
x2 b2
双曲线几何性质(2)学案
B、
C、
D、
7.【2015高考新课标1，理5】已知M（ ）是双曲线C： 上的一点， 是C上的两个焦点，若 ，则 的取值范围是( )
（A）（- ， ）
（B）（- ， ）
（C）（ ， ）
（D）（ ， ）
8.【2015高考新课标2，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）
A．对任意的 ，
B．当 时， ；当 时，
C．对任意的 ，
D．当 时， ；当 时，
6.【2015高考重庆，理10】设双曲线 （a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于 ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）
其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）
6.过点M(2，－2)与 有公共渐近线的双曲线方程为__________。
7.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系 中， 为双曲线 右支上的一个动点。若点 到直线 的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为.
11．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为:________________．
12【2015高考上海，理9】已知点 和 的横坐标相同， 的纵坐标是 的纵坐标的 倍， 和 的轨迹分别为双曲线 和 ．若 的渐近线方程为 ，则 的渐近线方程为．
13.过点M(2，－2)与 有公共渐近线的双曲线方程为__________。
A. B. 或
C. D.
3.（2014年全国卷）已知 是双曲线 ： 的一个焦点，则点 到 的一条渐近线的距离为（）
. .3
. .
4.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在 轴上且渐近线方程为 的是
高中数学专题双曲线的简单几何性质学案
2.1.5双曲线的简单几何性质（学案）一、知识梳理由椭圆的几何性质出发，类比探究双曲线22221x ya b-=的几何性质范围：x：y:对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．顶点：（），（）．实轴长为；虚轴长为．离心率：渐近线：双曲线22221x ya b-=的渐近线方程为：．双曲线22221y xa b-=的几何性质呢？小结：1、离心率可以刻画椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征?2、如何有方程得双曲线的渐近线？二、典例解析1．求双曲线221169x y -=的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程．2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1）焦点在x 轴上，焦距为8，离心率为34;（2）两条渐近线的方程是x y 3±=，且经过点)6,3(-;(3）与双曲线116922=-y x 有相同的渐近线，且经过点()32,3-A ；（4）离心率2=e ，且经过点)10,4(-P ．三、当堂检测1．双曲线221168x y -=实轴和虚轴长分别是( ）．A ．8、 B ．8、C ．4、D ．4、2．双曲线224x y -=-的顶点坐标是( ）．A ．(0,1)±B ．(0,2)±C ．(1,0)±D ．（2,0±）3． 双曲线22148x y -=的离心率为( )．A ．1 BC D ．24．双曲线2241x y -=的渐近线方程是．5．经过点(3,1)A -,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是．6．求与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程．。
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及几何性质，能够运用双曲线的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现双曲线的几何性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力，感受数学在实际生活中的应用。
二、教学重点1. 双曲线的定义及标准方程。
2. 双曲线的几何性质：焦点、实轴、虚轴、顶点、渐近线等。
三、教学难点1. 双曲线几何性质的理解和应用。
2. 双曲线方程的求解。
四、教学准备1. 教师准备：双曲线的教学课件、教案、例题及练习题。
2. 学生准备：预习双曲线相关知识，准备课堂讨论。
五、教学过程1. 导入新课：通过复习椭圆的知识，引出双曲线的学习，激发学生的兴趣。
2. 讲解双曲线的定义及标准方程：引导学生了解双曲线的定义，讲解双曲线的标准方程及求解方法。
3. 分析双曲线的几何性质：引导学生观察双曲线的图形，分析双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点、渐近线等几何性质。
4. 例题讲解：挑选具有代表性的例题，讲解解题思路和方法，引导学生运用双曲线的几何性质解决问题。
5. 课堂练习：为学生提供一些有关双曲线的练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线的几何性质及其在实际问题中的应用。
7. 布置作业：布置一些有关双曲线的练习题，让学生课后巩固所学知识。
8. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
六、教学评价1. 学生对双曲线的定义、标准方程及几何性质的掌握程度。
2. 学生运用双曲线性质解决问题的能力。
3. 学生对数学学习的兴趣和积极性。
七、教学建议1. 注重双曲线几何性质的讲解，让学生充分理解并掌握。
2. 多举例子，让学生在实际问题中感受双曲线的应用。
3. 鼓励学生提问、讨论，提高课堂互动性。
《2.2.2 双曲线的简单几何性质》教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.2.2双曲线的简单几何性质》教案●三维目标1.知识与技能(1)使学生理解和掌握双曲线的范围、对称性、顶点等性质．(2)理解渐近线的证明方法．(3)理解离心率和双曲线形状间的变化关系．2．过程与方法培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法．3．情感、态度与价值观培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物．●重点、难点重点：由方程导出性质及其应用．难点：渐近线的理解．从学生的认知水平来看，对渐近线分析方法的理解和掌握有一定的困难．同时渐进线概念如何顺应学生思维的自然呈现，是教法中的一个困惑．因此，将渐近线的呈现与分析设置为本课时的难点．为突破该难点，从“如何画双曲线草图”入手，分析作草图必须的条件，以“双曲线的走向”为切入口，通过复习反比例函数图象，以旧引新，使双曲线的概念自然呈现．并通过学生讨论与交流，充分暴露思维过程，完成分析和证明过程．●教学建议本节课宜采用的教学方法和手段：类比、启发、探索相结合的教学方法，体现学生的主体地位．●教学流程提出问题：类比椭圆的几何性质，你能得到双曲线的哪些几何性质？⇒引导观察双曲线图形，分析其几何性质，导出范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.⇒通过引导学生回答所提问题，引出渐近线的概念，理解渐近线的特征.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握已知双曲线方程求几何性质的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握由几何性质求双曲线标准方程的方法.【问题导思】类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的哪些几何性质？【提示】范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．续表【问题导思】椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？【提示】双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，离心率越大，双曲线的“开口”越大.1.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．2．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝ 2.例1 求双曲线25y2－4x2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程．【思路探究】【自主解答】 双曲线的方程25y2－4x2＋100＝0可化为x225－y24＝1.∴实半轴长a ＝5，虚半轴长b ＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)． 由c ＝a2＋b2＝29，焦点坐标为(29，0)，(－29，0)． 离心率e ＝c a ＝295，渐近线方程y ＝±25x.规律方法1．已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a 、b 的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．2．写渐近线方程时要特别注意焦点在x 轴上还是在y 轴上，以免写错． 变式训练求双曲线16x2－9y2＝－144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．【解】 把方程16x2－9y2＝－144化为标准方程得y242－x232＝1，由此可知，实轴长2a＝8，虚轴长2b ＝6，c ＝a2＋b2＝5. 焦点坐标为(0，－5)，(0,5)． 离心率e ＝c a ＝54.顶点坐标为(0，－4)，(0,4)． 渐近线方程为：y ＝±43x.双曲线的方程例2 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)． 【思路探究】(1)双曲线的焦点位置确定了吗？如果不确定该怎么办？(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线有什么特点？如何设出方程？【自主解答】(1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知2b ＝12，c a ＝54且c2＝a2＋b2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.(2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3得b ＝92.∴所求双曲线标准方程为x29－4y281＝1.当焦点在y 轴上时，由a b ＝32且a ＝3得b ＝2.∴所求双曲线标准方程为y29－x24＝1.(3)设与双曲线x22－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线标准方程为y22－x24＝1.规律方法1．利用待定系数法求双曲线方程应先“定形”(确定标准方程的形式)，再“定量”(求出a ，b 的值)．由于双曲线的标准方程有两种形式，因此，根据相关几何特征确定焦点的位置是很重要的，其次，在解题过程中应熟悉a ，b ，c ，e 等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．2．若已知双曲线的渐近线方程为Ax±By ＝0，为避免讨论，可设双曲线方程为A2x2－B2y2＝λ(λ≠0)或x2B2－y2A2＝λ(λ≠0)的形式，从而使运算更简捷． 3．与双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．变式训练已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且双曲线过点P(4,3)，求双曲线的标准方程． 【解】 法一 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，当x ＝4时，y ＝2＜yP ＝3. ∴双曲线的焦点在y 轴上．从而有a b ＝12，∴b ＝2a.设双曲线方程为y2a2－x24a2＝1，由于点P(4,3)在此双曲线上， ∴9a2－164a2＝1，解得a2＝5. ∴双曲线方程为y25－x220＝1.法二 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，即x 2－y ＝0，∴双曲线的渐近线方程为x24－y2＝0. 设双曲线方程为x24－y2＝λ(λ≠0)，∵双曲线过点P(4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.例3 分别求适合下列条件的双曲线的离心率． (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ；(2)双曲线x2a2－y2b2＝1(0＜a ＜b)的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l 的距离为34c. 【思路探究】 (1)由渐近线方程能得到a 、b 、c 的关系吗？利用这种关系能求出离心率吗？(2)由题意你能得到关于a 、b 、c 的什么关系式？ 【自主解答】 (1)若焦点在x 轴上，则b a ＝32，∴e ＝b2a2＋1＝132； 若焦点在y 轴上，则a b ＝32，即b a ＝23，∴e ＝b2a2＋1＝133. 综上可知，双曲线的离心率为132或133. (2)依题意，直线l ：bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得ab a2＋b2＝34c ， 即ab ＝34c2，∴16a2b2＝3(a2＋b2)2， 即3b4－10a2b2＋3a4＝0， ∴3(b2a2)2－10×b2a2＋3＝0.解得b2a2＝13或b2a2＝3.又∵0＜a ＜b ，∴b2a2＝3.∴e ＝1＋b2a2＝2.规律方法求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a ，b ，c 的关系式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a ，c 的值．而在解题时常把c a 或b a 视为整体，把关系式转化为关于c a 或ba 的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的(2)中，要注意条件0＜a ＜b 对离心率的限制，以保证题目结果的准确性．变式训练已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q ＝90°，求双曲线的离心率．【解】 设F1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c2a2－y2b2＝1，那么y ＝±b2a .∴|PF1|＝b2a. 由双曲线对称性，|PF2|＝|QF2|且∠PF2Q ＝90°. 知|F1F2|＝12|PQ|＝|PF1|，∴b2a＝2c ，则b2＝2ac. ∴c2－2ac －a2＝0，∴⎝⎛⎭⎫c a 2－2×ca－1＝0. 即e2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． ∴所求双曲线的离心率为1＋ 2. 忽略点在双曲线上的位置致误典例 已知双曲线方程为x2－y2＝1，双曲线的左支上一点P(a ，b)到直线y ＝x 的距离是2，求a ＋b 的值．【错解】 ∵P(a ，b)到直线y ＝x 的距离是 2. 故|a －b|2＝2，∴a －b ＝±2. 又∵a2－b2＝1，∴(a ＋b)(a －b)＝1，∴a ＋b ＝±12.【错因分析】 错解中忽略了点P 在双曲线的左支上，此时，a －b ＜0，∴a －b ＝－2. 【防范措施】 由于双曲线有两支，解题时要特别留意所给点是在哪一支上，以防因判断不准导致增根产生．【正解】 ∵点P(a ，b)到直线y ＝x 的距离为2， 故|a －b|2＝2，∴a －b ＝±2. 又∵P 在双曲线的左支上，故a －b ＜0，则有a －b ＝－2. 又∵a2－b2＝1，即(a －b)(a ＋b)＝1，∴a ＋b ＝－12.课堂小结1．通过双曲线的方程可以讨论双曲线的几何性质，由双曲线的几何性质也可以得到双曲线的方程．2．双曲线的渐近线和离心率都可以描述其“张口”的大小、渐近线是双曲线特有的性质，应注意以下三点：(1)当焦点在x 轴上时，渐近线为y ＝±b a x ；当焦点在y 轴上时，渐近线为y ＝±ab x.(2)当渐近线为y ＝b a x 时，可设双曲线标准方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线标准方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x225－y29＝1 B.x225－y29＝1或y225－x29＝1 C.x2100－y236＝1 D.x2100－y236＝1或y2100－x236＝1 【解析】 由题意：a ＝5，b ＝3，且焦点不确定，应选B. 【答案】 B2．双曲线x24－y29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94x【解析】 由题意，焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，故渐近线方程为y ＝±32x.【答案】 C3．下列曲线中离心率为62的是( ) A.x22－y24＝1 B.x24－y22＝1 C.x24－y26＝1 D.x24－y210＝1 【解析】 选项B 双曲线中a ＝2，b ＝2，∴c ＝6，e ＝62. 【答案】 B4．若双曲线的顶点在x 轴上，两顶点的距离为8，离心率是54，求双曲线的标准方程．【解】 由题设，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． ∵2a ＝8，∴a ＝4， 由e ＝54＝ca ，得c ＝5，∴b2＝c2－a2＝52－42＝9.因此所求双曲线标准方程为x216－y29＝1.一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则它的标准方程是( ) A.y218－x218＝1 B.x218－y218＝1 C.x28－y28＝1 D.y28－x28＝1 【解析】 设等轴双曲线方程为x2a2－y2a2＝1(a ＞0)．∴a2＋a2＝62，∴a2＝18. 故双曲线方程为x218－y218＝1.【答案】 B2．(2012·湖南高考)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝1 【解析】 由2c ＝10得c ＝5，∵点P(2,1)在直线y ＝b a x 上，∴2b a＝1，又∵a2＋b2＝25，∴a2＝20，b2＝5，故双曲线的方程为x220－y25＝1. 【答案】 A3．(2013·泰安高二检测)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( ) A. 6 B. 5 C.62 D.52【解析】 ∵双曲线的焦点在x 轴上， ∴设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 又其一条渐近线过点(4，－2)， ∴b a ＝24，∴a ＝2b. 因此c ＝a2＋b2＝5b.∴离心率e ＝c a ＝52. 【答案】 D4．(2013·天门高二检测)双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y2＝r2(r ＞0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2C ．3D ．6【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r ，且r ＝|32＋0|2＋4＝ 3. 【答案】 A 5．(2013·临沂高二检测)双曲线x2a2－y2b2＝1和椭圆x2m2＋y2b2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解析】 双曲线的离心率e1＝a2＋b2a ，椭圆的离心率e2＝m2－b2m，由e1e2＝1得(a2＋b2)(m2－b2)＝a2m2，故a2＋b2＝m2，因此三角形为直角三角形．【答案】 B二、填空题6．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.【解析】 ∵2a ＝2,2b ＝2－1m ，∴ －1m＝2， ∴m ＝－14. 【答案】 －14 7．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x225＋y29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________，渐近线方程为________．【解析】 双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，∴c ＝4， 离心率e ＝c a＝2，∴a ＝2，∴b ＝c2－a2＝2 3. ∴双曲线方程为x24－y212＝1.令x24－y212＝0，得渐近线方程为3x±y ＝0. 【答案】 (±4,0) 3x±y ＝0 8．(2013·北京高二检测)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e 的取值范围为________．【解析】 由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a ，又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝83a ，|PF2|＝23a. 容易知道|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即103a≥2c ，∴e≤53，又e ＞1，故e ∈(1，53]． 【答案】 (1，53] 三、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线x29－y216＝1有共同渐近线，且过点(－3,23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)． 【解】 (1)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)， 则由题意可知－329－23216＝λ，解得λ＝14. ∴所求双曲线的标准方程为x294－y24＝1. (2)设所求双曲线方程为x216－k －y24＋k ＝1(16－k ＞0,4＋k ＞0)， ∵双曲线过点(32，2)，∴32216－k －224＋k ＝1，解得k ＝4或k ＝－14(舍)． ∴所求双曲线的标准方程为x212－y28＝1. 10．双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s≥45c ，求双曲线离心率的取值范围． 【解】 ∵l 的方程为：bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线距离公式且a ＞1，得点(1,0)到直线l 的距离d1＝b a －1a2＋b2， 点(－1,0)到直线l 的距离d2＝b a ＋1a2＋b2. s ＝d1＋d2＝2ab c ≥45c. 即5a c2－a2≥2c2，即5e2－1≥2e2，∴4e4－25e2＋25≤0，解得54≤e2≤5， ∵e ＞1，∴52≤e≤ 5. 即e 的取值范围为[52，5]． 11．若原点O 和点F(－2,0)分别为双曲线x2a2－y2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，求OP →·FP →的取值范围．【解】 由双曲线方程x2a2－y2＝1(a ＞0)知b ＝1. 又F(－2,0)，∴c ＝2.∴a2＋1＝c2＝4，∴a2＝3，∴双曲线方程为x23－y2＝1. 设双曲线右支上点P(x ，y)，且x≥ 3.OP →·FP →＝(x ，y)·(x ＋2，y)＝x2＋2x ＋y2＝43x2＋2x －1＝43⎝⎛⎭⎫x ＋342－74. ∵x≥3，∴当x ＝3时，上式有最小值3＋2 3. 故OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞).。
2.2.2.2双曲线的简单的几何性质学案
2.2.2.双曲线的简单的几何性质学案2学习目标：1、掌握直线与双曲线的位置关系；2、掌握直线与双曲线有关的弦长，中点等问题，会求与双曲线有关的简单的轨迹方程 自主学习：一、直线与双曲线的位置关系一般地，设直线l ：)0(≠+=m m kx y -------------------------①双曲线C ：12222=-b y a x（a ＞0，b ＞0）---------------------②把①代入②得：02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b⑴当0222=-k a b ，即a b k ±=时，直线l 与双曲线的渐进线（ ），直线与双曲线C 相交于一点；⑵当0222≠-k a b ，即b k ±≠时，△=22)2(mk a --))((42222222b a m a k a b ---。
1、 思考：点与双曲线有几种位置关系，如何来判断它们？2、 直线与双曲线只有一个公共点，则直线与双曲线必定相切吗？为什么？3、 直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 相交于A 、B 点，当a 为何值时时，以AB 为直径的圆过原点。
二、弦长公式斜率为k （0≠k ）的直线l 与双曲线相交于点),(11y x A ，),(22y x B ， 则AB =2121x x k-+=2122124)(1x x x x k -++ =21211y y k -+=2122124)(11y y y y k -++1、 思考：若直线斜率k =0或不存在，如何求弦长公式？2、直线x y =与双曲线1422=-y x 有两个交点A 、B ，则A 、B 两坐标分别是（ ）A 、（332,332±±） B 、（332,332），（332,332） C 、（33,33），（33,33--） D 、（32,32），（32,32--）3、斜率为1的直线l 过双曲线1222=-y x 的左焦点1F 与双曲线交于PQ 两点，则PQ 的长为 。
双曲线的简单几何性质学案
双曲线的简单几何性质学习目标1.学会根据双曲线的标准方程得出简单的几何性质；2.学会根据几何性质得出双曲线的标准方程。
学习重点：学会根据双曲线的标准方程得出简单的几何性质。
学习难点：学会根据双曲线的渐近线求标准方程。
教学过程一、课前自主学习1.椭圆与双曲线的区别与联系探究一：由双曲线的标准方程求简单的几何性质例1.求双曲线2244x y -=的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程。
温馨提示：1.注意焦点在哪个坐标轴上；2.实轴长与实半轴长，虚轴长与虚半轴长的区别；3.将双曲线的标准方程等号右边的1改为0，化简即可得双曲线的渐近线方程。
步骤小结：1. 2.互动探究：本例双曲线方程改为2244x y -=-，结果如何？变式训练：求双曲线22916144y x -=-的焦点坐标、实半轴长和虚半轴长标、顶点坐标、离心率、渐近线方程。
探究二：由几何性质求双曲线的标准方程 例2.求适合下列条件的双曲线的标准方程()1焦点在x 轴上，实轴长是10，虚轴长是8；()2一个顶点是()0,6，且离心率是1.5.温馨提示：：先定位： 后定量：变式训练：求适合下列条件的双曲线的标准方程()1顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，54e =；()2焦点在y 轴上，焦距是16，43e =。
三、课堂自主演练1、求下列双曲线的焦点坐标、实半轴长和虚半轴长、顶点坐标、离心率、渐近线方程()122981x y -= ()2224x y -=-2、求适合下列条件的双曲线的标准方程()1焦点在y 轴上，焦距是10，虚轴长是8; ()2一个焦点为()13,0，离心率135e =。
四、课堂拓展提高探究三：根据双曲线的渐近线求标准方程例3求与双曲线221169x y -=有共同的渐近线，且过点A ()3-的双曲线方程。
温馨提示：1、 与双曲线()222210,0,x y a b a b-=>>共渐近线的双曲线方程可表示为()22220,0,0x y a b a b λλ-=>>≠； 2、 与双曲线()222210,0,y x a b a b-=>>共渐近线的双曲线方程可表示为()22220,0,0y x a b a b λλ-=>>≠；变式训练：求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点A (3,-的双曲线方程。
双曲线的简单几何性质导学案
2.3.2双曲线的简单几何性质（学案）一、学习目标：（1）通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等几何性质。
（2）了解双曲线中心、实轴、虚轴、渐近线等概念，以及它们的关系及其几何意义。
二、学习重点、难点：学习重点：双曲线的简单几何性质。
学习难点：双曲线的离心率和渐近线。
三、学习方法：自主探究 合作交流四、学习思路：通过类比椭圆的几何性质，然后利用双曲线的图象探究它的几何性质，再利用几何性质解决实际问题。
五、知识链接：复习1：双曲线的定义和标准方程是什么？复习2：椭圆有哪些简单几何性质？以焦点在x 轴上的椭圆 为例。
六、 自主学习：思考：如果我们也按照椭圆的几何性质的研究方法来研究双曲线，那么双曲线将会具有什么样的几何性质呢？探究一：双曲线简单的几何性质以方程12222=-by a x 为例研究双曲线的简单几何性质 （一）范围问题1：类比椭圆，从双曲线方程如何研究其范围？2222+=1(>>0)x y a b a b（二）对称性问题2：类比椭圆，能否证明其对称性？（三）顶点问题3：双曲线的顶点有几个？坐标是什么？新知：双曲线的实轴：线段12A A ，长为2a ，半实轴长a ；双曲线的虚轴：线段12B B ，长为2b ，半虚轴长b .实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，22-y =x m(m =0)反思：与椭圆比较，为什么),0(),,0(21b B b B -不叫双曲线的顶点？（四）渐近线 新知： 练习：（1） ___________________________ （2） ___________________________反思：等轴双曲线的渐近线是什么？（五）离心率：ac e = 问题4：双曲线的离心率范围？问题5： 椭圆的离心率刻画了椭圆的圆扁程度，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特性呢？反思：等轴双曲线的离心率等于多少？总结两种标准方程的双曲线的几何性质，并填表。
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2.2.2 双曲线的简单几何性质
（一）双曲线的几何性质：以焦点在x轴为例，标准方程：
1、范围
2、对称性
3、顶点叫做双曲线的顶点，顶点坐标是
4、轴叫做双曲线的实轴，实轴长是，
叫做虚轴，虚轴长是，叫做等轴双曲线。
5、渐近线直线叫做双曲线
22
22
1
x y
a b
-=的渐近线。
特别地，当a b
=时，双曲线的方程为，实轴长和虚轴长都等于，双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程为，它们互相。
6、离心率双曲线的叫做双曲线的离心率，即e=，因为c＞a＞0，所
以。
又222
c a b
=+，所以
c
e
a ==
（二）双曲线的几何性质的简单应用
1、已知方程求其几何性质
例1（1）求双曲线22
916144
y x
-=的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程，并作出草图。
（2）（2010北京卷）已知双曲线22221x y a b
-=的离心率为2，焦点与椭圆22
1259x y +
=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ，渐近线方程为 。
（3）（2010新课标全国卷）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()4,2-，则
它的离心率为（ ）
练习：求下列双曲线的实轴、虚轴的长，顶点、焦点的坐标，离心率和渐近线方程
（1）22194
x y -
= （2）22
249y x -= （3）224x y -= （4）222x y -=-
2、由几何性质求方程 例2 （1）求与双曲线22
12516
x y -
=共渐近线，且通过点()5,2P -的双曲线的标准方程。
归纳：与双曲线22
221x y a b -=渐近线的双曲线方程可设为
（2）已知双曲线的渐近线方程为1
2
y x =±，焦距为10.，求双曲线方程。
归纳：以直线00x y x y
m n m n
+=-=或为渐近线的双曲线的标准方程为
练习：
1、双曲线223x y -=-的（ ）
A.顶点坐标是()，虚轴端点坐标是(0,
B. 顶点坐标是(
0,，虚轴端点坐标是()
C. 顶点坐标是()，渐近线方程是y x =±
D. 虚轴端点坐标是(0,，渐近线方程是x y =±
2、已知双曲线的渐近线方程为3
4
y x =±，则此双曲线的（ ）
A.焦距为10
B.实轴和虚轴长分别是8和6
C.离心率是54或5
3
D.离心率不确定
3、双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为12,F F ,∠0
12120FMF =,则双曲线的离心率为（ ）
B.
2 C.
3 D.3
4、双曲线221
2516x y -=的离心率是（ ） A.35 B.53
5、已知双曲线22
221x y a b
-=（a 43y x =，则双曲线的离心率为（ ）
A.
53 B.43 C. 54 D.3
2
6、经过点(M -且与双曲线22
143
x y -
=有相同渐近线的双曲线方程是（ ） A.22168x y -
= B.22186y x -= C.22168y x -= D.22
186
x y -= 7、双曲线22914416x y +=的虚轴长为 ，焦点坐标为 ，渐近线方程为 。
8、双曲线中的a 、b 、c 成等差数列，则e =
9、求一条渐近线方程是340x y +=，一个焦点是（4,0）的双曲线标准方程。