椭圆知识点及经典例题

椭圆知识点

知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常)2(2121

F F a PF PF >=+ ,这个动

点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121

F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121

F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.

知识点二：椭圆的标准方程

1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b

y a x )0(>>b a ，其中2

22b a c -=

2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b

x a y )0(>>b a ，其中2

22b a c -=；

3.椭圆的参数方程)(sin cos 为参数ϕϕ

ϕ

⎩⎨

⎧==b y a x

注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2

2

2

b a

c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.

当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c -

知识点三：椭圆的简单几何性质

椭圆：122

22=+b

y a x )0(>>b a 的简单几何性质

（1）对称性：对于椭圆标准方程122

22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、

或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122

22=+b

y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴

的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：

椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，

b y ≤。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆122

22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为

)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B

③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。a 和b 分

别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a

c

a c e ==

22。 ②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<

22c a b -=越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这

时椭圆就越接近于圆。 当且仅当b a =时，0=c ，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为

a y x =+22。

注意： 椭圆122

22=+b

y a x 的图像中线段的几何特征（如下图）：

（1）)2(2

1a PF PF =+；

e PM PF PM PF ==

2

21

1；

)2(2

2

1c

a PM PM =+；

)(21a BF BF ==；)(21c OF OF ==；2221b a B A B A +==；

（3）c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；

知识点四：椭圆第二定义

一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率

左准线c

a x l 2

1:-= 右准线c a x l 22:=

知识点五：椭圆的焦半径公式：

（左焦半径）01ex a r += （右焦半径）02ex a r -= 其中e 是离心率

焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：

⎩

⎨

⎧-=+=020

1ey a MF ey a MF （ 其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点）

知识点六：直线与椭圆问题（韦达定理的运用）

弦长公式：若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长221221)()(y y x x AB -+-=

221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+=

2122124)(1x x x x k -++=

知识点七：椭圆12222=+b y a x 与 122

22=+b

x a y )0(>>b a 的区别和联系

标准方程

122

22=+b

y a x )0(>>b a 122

22=+b

x a y )0(>>b a 图形

性质

焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F

焦距 c F F 221= c F F 221=

范围 a x ≤，b y ≤

b x ≤，a y ≤

对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称

顶点

)0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±

轴长

长轴长=a 2，短轴长=b 2

离心率

)10(<<=

e a

c

e 准线方程

c

a x 2

±=

c

a y 2

±=

焦半径

01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -=

注意：椭圆12222=+b y a x ，122

22=+b

x a y )0(>>b a 的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系

都有)0(>>b a 和)10(<<=e a

c

e ，222c b a +=；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。