运用Stolz定理求解数列极限
stolz定理求极限
stolz定理求极限
Stolz-Cesàro定理是一个在极限计算中非常有用的定理。
它可
以用来解决一些特殊情况下的不定型极限。
定理陈述如下：设a_n和b_n都是正数数列，且满足以下两个
条件：
1. 当n趋向于无穷大时，a_n和b_n都趋向于无穷大；
2. 当n趋向于无穷大时，a_n+1 / a_n和b_n+1 / b_n都收敛到
相同的极限L。
则有：
lim(n→∞) a_n / b_n = L.
提示：如果在满足条件1和条件2的情况下，我们无法直接计算出a_n和b_n的极限值，那么我们可以尝试计算它们的比值，即a_n+1 / a_n和b_n+1 / b_n，看它们是否收敛到相同的值L。
如果满足这个条件，那么通过Stolz-Cesàro定理，我们可以得
到a_n / b_n 的极限等于L。
需要注意的是，Stolz-Cesàro定理仅在满足特定条件的情况下
成立，且只能用于计算比值的极限，不能用于计算原数列的极限。
在应用该定理时，需要仔细检查条件是否满足，以及是否可以使用其他方法计算极限。
数分第一章第十二节Stolz定理
第一章 实数和数列极限第十二节 上极限和下极限理论的应用 —Stolz 定理作为上极限和下极限理论的 应用，我们来证明计算某种类型 极限时很有用的Stolz 定理。
一 Stolz 定理 定理1.18（Stolz定理，∞∞型）设数列{}n a ，}{n b 满足条件： （1）}{n b 是严格递增趋于∞+的数列,（2）A b b a a n n n n n =----∞→11lim , (1) 那么 Ab a n nn =∞→lim , (2)（其中A 为有限数，或+∞=A ，或-∞=A 。
）证明 (i)先设A 为有限数, 由(1)知道,对任意0>ε, 存在0n ,当0n n ≥时,有εε+<--<---A b b a a A n n n n 11。
由此得εε+<--<---A b b a a A n n n n 110000， εε+<--<-++A b b a a A n n n n 000011……………εε+<--<---A b b a a A n n n n 11, 因而有(将以上各不等式乘以各自的分母后,相加)εε+<--<---A b b a a A n n n n 1100即εε+<--<---A b b b a b a A nn nn n n 11001 于是得n nn n n n b a b a b b A <+---00)1)((1εn n nn b a b b A 00)1)((1+-+<-ε,由此即得n nn b a A inflim )(∞→≤-ε)(sup lim ε+≤≤∞→A b a nnn , 再让0→ε即得,n nn b a A inflim ∞→≤A b a nnn ≤≤∞→sup lim , 由此即知(2)成立。
（ii ）设+∞=A ，由（1）知， 存在0n ,当0n n ≥时,有 011>->---n n n n b b a a ， 因而}{n a 也是严格递增的， 又由1100--->-n n nn b b a a ，知道有+∞=∞→nn alim ；现在把（1）写成0lim 11=----∞→n n n n n a a b b ， 由刚证明的（i ）知道0lim =∞→nn n a b ，因而+∞=∞→nn n b a lim 。
Stolz定理的若干应用
Stolz定理的假设干应用XXXX(XXXXXX大学 XXXXXX专业XXX级XX班)摘要极限思想是许多科学领域的重要思想之一．为了解决求极限的问题，本文介绍了计算极限的一种方法——Stolz定理，并对Stolz定理的结论进行了推广．本文先表达有关Stolz定理的一些结论，然后通过实例说明Stolz定理及其推广的有关结论在极限求解中的应用．Stolz定理可以说是数列的L’Hospital法那么，它对求数列的极限很有用．Stolz定理可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz定理可变得十分容易．Stolz定理是证明数列和函数极限存在性的重要定理，文中给出了Stolz定理的数列情形、函数情形．关键词Stolz定理；数列；函数；极限Some applications of Stolz theoremsZHANG Ran(Grade 2004 Class (2)Information and Computing ScienceCollege of Mathematics and PhysicsUniversity of Science and Technology of Suzhou)AbstractThe limit thought is one of many scientific field important thoughts．In order to solve asks the limit the question，this article introduced the computation limit's one metho d——Stolz theorem，and has popularized the conclusion of Stolz theorem．This article first narrates related Stolz theorem some known conclusions，then in the limit solution through the example explained the application of the Stolz theorem and its popularized related conclusion．The Stolz theorem can be said to be sequence L'Hospital principle，it is very useful to asks the sequence the limit．The Stolz theorem can be popularized to the situation with the limit of function，some questions use the Stolz theorem to become very easy．The Stolz theorem is important theorem to prove the limit existence of the sequence and function．This article has given the Stolz theorem the situation of sequence and the situation of function．Keywords Stolz theorem; sequence; function; limit目 录摘要 关键词..........................................................................................Ⅰ Abstract Keywords ....................................................................................Ⅱ 1 引言 ................................................................................................ 1 2 序列形式的Stolz 定理 (1)2.1∞∞型Stolz 公式……………………………………………………………………… 1 2.2 0型Stolz 公式 (3)2.3 序列形式的Stolz 定理应用.................................................................. 4 3 函数形式的Stolz 定理 (10)3.1∞∞型Stolz 公式 ……………………………………………………………………10 3.2 0型Stolz 公式 (13)3.3 函数形式的Stolz 定理应用..................................................................14 结论 ................................................................................................... 18 致谢 ................................................................................................... 19 参考文献 (20)1 引言极限论是数学分析的根底，极限问题是数学分析中困难问题之一．中心问题有两个：一是证明极限存在，二是求极限的值．两问题有密切关系：假设求出了极限的值，自然极限的存在也被证明．反之，证明了存在性，常常也就为计算极限铺平了道路．讲述极限论，通常先讲序列极限，然后讲函数极限．两类极限，有平行的理论，类似的方法，彼此有着深刻的内在联系．极限思想是许多科学领域的重要思想之一．因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要．对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常局限，不仅计算量大，而且不一定能求出结果．为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法．本文介绍了计算极限的一种方法——Stolz 定理，并对Stolz 定理的结论进行了推广，讨论如何利用Stolz 定理计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想．本文先表达有关Stolz 定理的一些结论，然后通过实例说明Stolz 定理及其推广的有关结论在极限求解中的应用．Stolz 定理可以说是数列的L’Hospital 法那么，它对求数列的极限很有用．Stolz 定理可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz 定理可变得十分容易．Stolz 定理是证明数列和函数极限存在性的重要定理，文中给出了Stolz 定理的数列情形、函数情形．2 序列形式的Stolz 定理2.1 ∞∞型Stolz 公式定理2.1 (∞∞型Stolz 公式) 设{}n x 严格递增(即N ∈∀n 有1+<n n x x )，且 +∞=∞→n n x lim ．假设a x x y y n n n n n =----∞→11lim，那么a x ynn n =∞→lim (其中a 为有限数，∞+或∞-)．证 1°(a 为有限数的情况)因为{}n x 严格递增，所以N ∈∀n ，01>--n n x x ．记 a x x y y n n n n n ---=--11α．(1)按条件有0lim =∞→n n α，即0>∀ε，0>∃N ，当N n ≥时，有2εα<n ．由(1)得.)()()( ))(())(( ))(())(( ))((1111111211211N n n n n N N N N n n n N N N N n n n n n n n n n n n n x x a x x x x y x x a x x a y x x a x x a y x x a y y -+-++-+=-+++-++==-++-++=-++=-++-++-------ααααααα两边同时除以n x ，再同时减去a ，得.22 111εεαα+-<-+-<-++-+-≤--++n N N n Nn n N N nn n n N N N n NN n n x ax y x x x x ax y x x x x x x ax y a x y因为+∞=∞→n n x lim ，故N N >∃1，使得1N n >时有2ε<-n N N x ax y ． 于是εεε=+<-22a x y n n ．所以a x y n n n =∞→lim ．2°(+∞=a 的情况) 因为+∞=----∞→11limn n n n n x x y y ，所以对1=M ，0>∃N ，当N n >时，111>----n n n n x x y y ，即N n >时，011>->---n n n n x x y y ． (2) 且有 0lim11=----∞→n n n n n y y x x ．所以当N n >时，{}n y 严格递增．(2)式中令k N N n ,,2,1 ++= ，然后相加，可得0>->-N k N k x x y y ．令∞→k ，知+∞→k y ，即+∞=∞→n n y lim ．于是 {}n y 严格递增，+∞=∞→n n y lim ，且0lim11=----∞→n n n n n y y x x ．由1°的结论得0lim lim 11=--=--∞→∞→n n n n n n n n y y x x y x ，故+∞=∞→nn n x ylim ．3°(-∞=a 的情况)只要令n n z y -=即可转化为2°中的情况． 注 ∞=----∞→11limn n n n n x x y y ，一般推不出∞=∞→nn n x ylim ．例如{}{} , , ,3 ,2 ,1n x n =，{}{} ,6 ,0 ,4 ,0 ,2 ,0222=n y ．这时虽然∞=----∞→11limn n n n n x x y y ，但{} ,6 ,0 ,4 ,0 ,2 ,0=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n x y 不趋向∞．注 假设a a n n =∞→lim ，在Stolz 定理中设n x n =，n n a a a y +++= 21．因为a a x x y y n n nn nn n ==--+∞→+++∞→111lim lim，所以a n a a a n n =+++∞→ 21lim ．因而Stolz 定理是它的推广形式．2.2 0型Stolz 公式定理2.2 (0型Stolz 公式) 设∞→n 时0→n y ，n x 严格↘0(严格单调下降趋向零)．假设a x x y y n n n n n =----∞→11lim，那么a x ynn n =∞→lim (其中a 为有限数，∞+或∞-)．证 1°(a 为有限数的情况)因为∞→n 时0→n y ，n x 严格↘0(严格单调下降趋向零)．所以01>-+n n y y ，01>-+n n x x ．按条件a x x y y n n n n n =----∞→11lim，可知0>∀ε，0>∃N ,当N n >时，有εε+<--<-++a x x y y a n n n n 11．即 ))(())((111+++-+<-<--n n n n n n x x a y y x x a εε． 可得 ))(())((p n n p n n p n n x x a y y x x a +++-+<-<--εε．令∞→p ，得 n n n x a y x a )()(εε+<<-，即ε<-a x y nn． 所以a x y nnn =∞→lim． 2°(+∞=a 的情况) 因+∞=----∞→11limn n n n n x x y y ，所以对0>∀M ，0>∃N ，当N n >时，有M x x y y n n n n >--++11．推得)(p n n p n n x x M y y ++->-．令∞→p ，得n n Mx y ≥，即M x y nn≥ )(N n >．故+∞=∞→nnn x y lim． 3°(-∞=a 的情况)只要令n n z y -=即可转化为2°中+∞=a 的情况．注 Stolz 定理只是给出了极限存在的充分条件，并非必要．例如n x n n 1)1(4321--++-+-= ，2n y n =),3,2,1( =n ． 虽然11lim--+∞→--n n n n n y y x x 不存在，但是却有0lim =∞→nn n y x ．另外，定理2.1其名为∞∞型，其实只要求分母n x ↗∞+(严格单调上升趋向无穷大)，至于分子n y 是否趋向无穷大，无关紧要．定理2.2是名副其实的型．因为定理要求分子、分母都以0为极限．因此，Stolz 定理为求某些待定型极限提供了一个有用的工具．2.3 序列形式的Stolz 定理应用Stolz 定理，对于求序列的极限十分有用． 例1 应用Stolz 定理求极限：(1) 32222)12(531lim n n n +++++→∞ ；(2) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+++++∞→34)12(531lim 32222n n n n ． 解 (1) 由Stolz 定理，得34)1()12(lim )12(531lim 33232222=--+=+++++∞→∞→n n n n n n n ． (2) 因为232223222234])12(31[334)12(531n n n n n n -++++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+++++ ， 所以，由Stolz 定理，得.n n n n n n n n n n 4)1(33])1([4)12(3lim 34])12(31[3lim 2233223222=-----+=-++++=∞→∞→ 原式 例2 设101<<x ，)1(1n n n x x x -=+),3,2,1( =n ．证明：1lim =∞→n n nx ．证 设{}α== ,2,1|inf n x n ，那么0≥α．0>∀ε，+N ∈∃m ，使得εαα+<≤m x ．由于021<-=-+n n n x x x ，故{}n x 单调减．因此，当m n >时，有εαα+<<≤m n x x ，可知α=∞→n n x lim ．令∞→n ，对递推公式取极限，得0=α．即{}n x 是单调减的无穷小量，利用Stolz 定理1111lim 1limlim 1=-==+∞→∞→∞→nn n n n n n x x x n nx ． 例3 设数列{}n a 收敛于a ，那么当)1,0(∈q 时，有qaa q a q qa a n n n n n -=++++--∞→1)(lim 0221 ． 证 由Stolz 定理，有.1111lim 1111)(lim 122100221 qa qq a q q a q a q a q a a q a q qa a n n n nn n n n n n n n n -=-=++++=++++-∞→--∞→ Stolz 定理，必要时可以重复使用．例4 设kn nk n C x ∑==0ln ，其中!)1()1(k k n n n C k n+--= ，求2lim nx n n ∞→． 解 由于{}2n 单调增且发散于∞+，由Stolz 定理{}.21)111ln(21lim 2)1ln()1ln()2ln()1(lim Stolz 12ln )1ln(lim1211lnlim12ln ln lim )1(lim lim1111012212 n n n n n n n kn n n k n n n CCn n x x n x n n n nk n nk n nk k nn k kn n nn n n n =++=+-+-++=+-+=++-+=+-=-+-=+∞→∞→=∞→=∞→=+=+∞→+∞→∞→∑∑∑∑定理再用有时问题经过处理之后，方能应用Stolz 定理． 例5 设0)(lim 1=--∞→n n n A A n ．试证：极限nA A A nn +++∞→ 21lim存在时，nA A A A nn n n +++=∞→∞→ 21limlim ．证 因n A A A n A A A A A n n n n ++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-= 2121，只须证明第一项趋于零． 为了利用0)(lim 1=--∞→n n n A A n ，特令11A a =，122A A a -=，…，1--=n n n A A a ，…，那么知0lim =∞→n n na ，且11112211)()()(a a a A A A A A A A A n n n n n n n +++=+-++-+-=---- ． 于是.01lim )1()1(lim )Stolz ( )1(2lim )()()(lim lim 32212112121 a n nn n a n na n a a n a a a a a a a a a n A A A A n n n n nn n n n n n n =⋅⋅-=---=-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-∞→∞→∞→∞→∞→定理应用所以nA A A A nn n n +++=∞→∞→ 21limlim ．例6 设∑==nk k n a A 1，当∞→n 时有极限；{}n p 为单调增的正数数列，且+∞→n p )(∞→n ．证明：0lim2211=+++∞→nnn n p a p a p a p ．证 设a A n →)(∞→n ．由于1--=k k k A A a ，所以.112321211122112211)()()()()( A p A p p A p p A p p A A p A A p A p a p a p a p n n n n n n n n nn +-++-+-=-++-+=+++---由Stolz 定理，得.0)(lim )()()(lim lim111112321212211 a p p A p p A p A p p A p p A p p p a p a p a p n n n n n n n n n n n n nnn n =+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++-+-=+++---∞→--∞→∞→ 例7 求2112132212122122122lim 21⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→--n n n n n ． 解 先取对数，再求极限．.122ln 2122ln 2122ln 21122ln 21122ln 21122ln 21ln 123221132221 x n n n n nn n n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-=-++-+-=------ 应用Stolz 定理，得21ln 2121ln lim 22122ln 2lim ln lim 12112=-=--=-∞→----∞→∞→n n n n nn n n n n x ． 故21lim ==∞→n n x 原式．例8 设数列{}n a ，{}n b 满足：n n n b a a +=+λ1，+N ∈n ，其中1<λ．证明：0lim 0lim =⇔=∞→∞→n n n n a b ．证 ""⇐显然成立．""⇒设0lim =∞→n n b ．假设0=λ，显然有0lim =∞→n n a ．假设0≠λ，那么10<<λ．+N ∈∀n ．, )( )(112211122111122231222112111⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=++++==+++=+++=++=++=+=---------------+n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n b b b b a b b b b a b b b a b b b a b b a b b a b a a λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++≤+ 1 1 1 22111n n n n b b b a a λλλλ ． 令nn n b b b a z λλλ1112211++++= ，nn y λ1=．由10<<λ知，{}n y 是严格增加的正无穷大的数列，应用Stolz 定理得.b b y y z z y z b b b a n n n n n n n nn n n n n n n n n n n 01lim 111lim lim lim 1 1 1 lim 1111112211=-=-=--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++∞→+++∞→++∞→∞→∞→λλλλλλλλ 所以0lim 1=+∞→n n a ，即0lim =∞→n n a ．例9 设p 为自然数，求以下各极限：(1) 1321lim ++∞→++++p pp p n n n ；(2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++∞→121lim p n n n p p p n ；(3) 1)12(31lim ++∞→-+++p pp n nn ； (4) lim 2n n an ∞→)1(>a ．解 (1) 设∑==nk p n k x 1，1+=p n n y ．因为+Z ∈p ，所以{}n y 单调增，且+∞→n y )(∞→n ．又.)( 1111!2)1()1(1111!2)1()1(1)1()1(111111 n p nn p p p n n p n p p n p pn pn n nn n y y x x ppp p p p p p pn n n n ∞→+→++⋅++++++=+++++++++=-++=----++++ 于是，由Stolz 定理得11lim 21lim lim 111+=--=+++=+++∞→+∞→∞→p y y x x n n y x n n n n n p p p n nn n ． (2) 因为pp p p p p p n p n n p p n n n )1(]21)[1(1211+-++++=+-++++ ， 现设1]21)[1(+-++++=p p p n n n p x ，p n n p y )1(+=． 因为+Z ∈p ，所以{}n y 单调增，且+∞→n y )(∞→n ．又.)( 2111!2)1()1(1)1()1(!31!212)1(1!2)1()1()1()1(!31!212)1(]1!2)1()[1(]1!2)1()1[(]1!2)1()[1(]1!2)1()[1(])1)[(1(])1[()1)(1(11212121121211111 n n n p p p p n pn p p p p p n p p pn p p n p p p n p p n p p pn p n p p n p n p p pn p n p p pn n p n n p n n n p y y x x p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p n n n n ∞→→++⋅-++++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++⋅-++++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++-+++++++-++-++++-+++=-++-+-++=---------------++++ 故由Stolz 定理得：当p 为自然数时21lim 121lim 11=--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+++++∞→∞→n n n n n p p p n y y x x p n n n ． (3) 设p p n n x )12(31-+++= ，1+=p n n y ．那么{}n y 单调增，且+∞→n y )(∞→n ． 又因为.)( 1211!2)1()1(11221)1(!2)1()1(1)2()2()2()1()12(1111111 n p nn p p p n n p n p n pp n p n p n p n n n n y y x x p ppp p p p p p p p pn n n n ∞→+→+++++++=++++++++++=-++=-----++++ 所以，由Stolz 定理12lim )12(31lim 111+=--=-+++++∞→+∞→p y y x x nn pn n n n n p p p n ． (4) 设2n x n =，n n a y =．那么由1>a 知，{}n y 单调增，且+∞→n y )(∞→n ． 又因为n n n n n n a n a a a n y y x x 1211)1(1211+⋅-=-+=--++，所以n n nn n n n a n a y y x x 12lim 11lim 11+-=--∞→++∞→．注意n a n 12+仍为∞∞型)(∞→n ，且满足Stolz 定理条件 0)1(2lim )12(1)1(2lim 12lim1=-=-+-++=+∞→+∞→∞→a a a a n n a n n n nn n n n ．可知0lim 11=--++∞→n n n n n y y x x ．故0lim lim 112=--=++∞→∞→n n n n n n n y y x x a n ．3 函数形式的Stolz 定理为了求非导函数的待定式的极限，在Stloz 定理的根底上，给出了Stloz 定理的推广定理，并对定理进行了证明．3.1 ∞∞型Stolz 公式定理3.1 (∞∞型) 假设0>T 为常数， (ⅰ) )()(x g T x g >+)(a x ≥∀；(ⅱ) +∞→)(x g (当+∞→x 时)，且f ，g 在),[+∞a 内闭有界(即指：a b >∀，f ，g 在],[b a 上有界)；(ⅲ) l x g T x g x f T x f x =-+-++∞→)()()()(lim．那么l x g x f x =+∞→)()(lim(其中l 为有限数，∞+或∞-)． 证 1°(l 为有限数的情况)按条件+∞→)(x g (当+∞→x 时)，及l x g T x g x f T x f x =-+-++∞→)()()()(lim知0>∀ε，0>∃A ，当A n ≥时有0)(>x g ，2)()()()(ε<--+-+l x g T x g x f T x f ． (1)记 l T n x g nT x g T n x f nT x f n --+-+-+-+=))1(()())1(()(α． (2)那么.)]()([)])1(()([ )]()2([)())]()1(()([ ))](2()3([ ))](()2([)())]()1(()([ ))]()2(())1(([))2(())]()1(()([))1(()(2321 T x g nT x g l T n x g nT x g T x g T x g T x f l T n x g nT x g l T x g T x g l T x g T x g T x f l T n x g nT x g l T n x g T n x g T n x f l T n x g nT x g T n x f nT x f n n n n n +-++-+-++++-+++=+-+-+++++-++++-+++==+-+-+++-+--++-+=+-+-++-+=+-αααααααα在除以)(nT x g +，减去l ，得{}.))1(()( )()2( )(1)()()()()(2T n x g nT x g T x g T x g nT x g nT x g nT x g l T x f l nT x g nT x f n -+-++++-+⨯++++⋅-+≤-++αα由(1)式知 2εα<k ),,2,1(n k =，因为)()(x g T x g >+)(a x ≥∀，.2)()()( )()()(2)()()( nT x g T x g l T x f nT x g T x g nT x g nT x g T x g l T x f εε+++⋅-+≤++-++++⋅-+≤上式右端按条件，)()(T x g l T x f +⋅-+在],[T A A +上有界，即0>∃M ，使得M T x g l T x f ≤+⋅-+)()(．于是2)(ε++≤nT x g M 上式右端．但+∞→)(x g (当+∞→x 时)，故0>∃N ，当N n >时有2)(ε<+nT x g M ．所以εεε=+≤-++22)()(l nT x g nT x f ．(3) 故NT A y +>∀，总N n >∃及],[T A A x +∈，使得nT x y +=．从而由(3)式知ε<-l y g y f )()(． 即l y g y f x =+∞→)()(lim． 2°(l 为∞+的情况) 因+∞=+∞→)(lim x g n 及+∞=-+-++∞→)()()()(limx g T x g x f T x f x ，故0>∀M ，a A >∃，当A x >时，0)(>x g ，M x g T x g x f T x f 2)()()()(>-+-+．从而N ∈∀n ，有M T n x g nT x g T n x f nT x f 2))1(()())1(()(>---+---+．由此.)]()([2)()])1(()([2 )]()([2)()])1(()([2 )])2(())1(([2))2(()])1(()([2))1(()( x g nT x g M x f T n x g nT x g M x g T x g M x f T n x g nT x g M T n x g T n x g M T n x f T n x g nT x g M T n x f nT x f -++=-+-+++-++>>-+-++-+--++-+>-+-++-+>+两边同时除以)(nT x g +，得)()(2)(2)()(nT x g x Mg x f M nT x g nT x f +-+>++．注意到)(2)(x Mg x f -在],[T A A +上有界，而∞→+)(nT x g ，所以0>∃N ，N n >时，M nT x g x Mg x f ->+-)()(2)(．于是M M M nT x g nT x f =->++2)()(．因NT A y +>∀，N n >∃及],[T A A x +∈，使得nT x y +=．故M nT x g nT x f y g y f >++=)()()()(．即+∞=+∞→)()(limy g y f x ． 3°(l 为∞-的情况)可考虑)(x f -即可转化为2°中的情况．3.2 00型Stolz 公式定理3.2 (0型) 设T>0，且(ⅰ) )()(0x g T x g <+<)(a x ≥∀； (ⅱ) 0)(lim )(lim ==+∞→+∞→x g x f x x ；(ⅲ) l x g T x g x f T x f x =-+-++∞→)()()()(lim．那么l x g x f x =+∞→)()(lim(其中l 为有限数，∞+或∞-)． 证 1°(l 为有限数的情况)因为)()(0x g T x g <+<)(a x ≥∀．所以0)()(>+-T x g x g ．按条件l x g T x g x f T x f x =-+-++∞→)()()()(lim，可知0>∀ε，a X ≥∃，当X x >时，有)]()()[()()()]()()[(T x g x g l T x f x f T x g x g l +-+<+-<+--εε．对N ∈∀n ，由此可得)]()()[()()()]()()[(nT x g x g l nT x f x f nT x g x g l +-+<+-<+--εε．因为0)(lim )(lim ==+∞→+∞→x g x f x x ，令∞→n ，得)()()()()(x g l x f x g l εε+<<-．即ε<-l x g x f )()(．故l x g x f n =+∞→)()(lim． 2°(l 为∞+的情况)因+∞=-+-++∞→)()()()(limx g T x g x f T x f x ，所以0>∀M ，a X ≥∃，当X x >时，M x g T x g x f T x f >-+-+)()()()(．推得)]()([)()(nT x g x g M nT x f x f +->+-．令∞→n ，得)()(x Mg x f ≥，即M x g x f ≥)()(．故+∞=∞→)()(lim x g x f n ．3°(l 为∞-的情况)可考虑)(x f -即可转化为2°中的情况．3.3 函数形式的Stolz 定理应用有些问题应用上述定理可变得十分容易．如例1 (Cauchy 定理) 假设f 在),(+∞a 内有定义，且内闭有界(即),(],[+∞⊂∀a βα，f 在],[βα上有界)，那么(1) )]()1([lim )(limx f x f xx f x x -+=+∞→+∞→； (2) )()1(lim)]([lim 1x f x f x f x xx +=+∞→+∞→ )0)((>≥c x f ， 当右边极限存在时成立．证 (1) 令x x g =)(，那么)()1(x g x g >+，),(+∞∈a x (取1=T )，且+∞=+∞→)(lim x g x ．又)(x f 和)(x g 在),(+∞a 上内闭有界，故当)()1()()1(lim )1()()1(lim)]()1([lim x g x g x f x f x x x f x f x f x f x x x -+-+=-+-+=-++∞→+∞→+∞→存在时，可知 )()(lim )(limx g x f xx f x x +∞→+∞→=存在，且有 )]()1([lim )(limx f x f xx f x x -+=+∞→+∞→． (2) 0)(>≥c x f ，令)(ln )(x f x F =，x x g =)(，那么)()1(x g x g >+，),(+∞∈a x (取1=T )，且+∞=+∞→)(lim x g x ．由于)(x f 在),(+∞a 上内闭有界，那么)(x F 在),(+∞a 上也内闭有界．又)(x g 在),(+∞a 上内闭有界，故当存在)()1(limx f x f x ++∞→，从而也存在)()1()()1(lim)1()(ln )1(ln lim )()1(lnlim x g x g x F x F x x x f x f x f x f x x x -+-+=-+-+=++∞→+∞→+∞→时，可知 )()1(lim)(ln lim)]([lim 1x g x F x x f x f x x xx +==+∞→+∞→+∞→存在，且有 )()1(lim)]([lim 1x f x f x f x xx +=+∞→+∞→． 例2 设f 在),[+∞a 上有定义，内闭有界，l xx f x f nx =-++∞→)()1(lim (l =有限数，∞+或∞-)．那么1)(lim1+=++∞→n lx x f n x ． 证.11121)1()1()()1(lim 121)1()1()()1(lim )1()()1(lim )(lim1111 n l xx n n n x x f x f x n n x n x f x f xx x f x f x x f nn x n n x n n x n x +=++⋅+++-+=++⋅+++-+=-+-+=+∞→-+∞→+++∞→++∞→(l 为∞+，∞-也成立)．例3 设函数)(x f 和)(x g 在区间),(+∞a 上满足 (1) +∞=+∞→)(lim x g n ；(2) )(x f 、)(x g 可导，且0)('≠x g ； (3) l x g x f n =+∞→)(')('lim． 那么l x g x f x g x f n n ==+∞→+∞→)(')('lim )()(lim． 证 由条件(2)可知，0)('>x g ，),(+∞∈a x ．以下验证)(x f 和)(x g 在),(+∞a 上满足定理3.1(∞∞型)的条件(取1=T )． 1) 由条件(2)，利用Lagrange 中值定理知，),(+∞∈∀a x ，有0)(')()1(>=-+εg x g x g ，),()1,(+∞⊂+∈a x x ε，即)()1(x g x g >+，),(+∞∈a x 成立． 而由条件(1)，已成立+∞=+∞→)(lim x g n ．2) 由条件(2)知，)(x f 和)(x g 在),(+∞a 上连续，从而内闭有界． 3) 由条件(2)和(3)，利用Cauchy 中值定理知，),(+∞∈∀a x ，有)(')(')()1()()1(ξξg f x g x g x f x f =-+-+，),()1,(+∞⊂+∈a x x ξ成立．从而有l g f x g x g x f x f n n ==-+-++∞→+∞→)(')('lim )()1()()1(limξξ．由定理3.1(∞∞型)，得证在上述条件下成立 l x g x f x g x g x f x f x g x f n n n ==-+-+=+∞→+∞→+∞→)(')('lim )()1()()1(lim )()(lim．结 论Stolz 定理与L’Hospital 法那么是数学分析中处理“∞∞〞型和“00〞型极限的两个重要工具，它们分别适用于变量为“离散的〞和“连续的〞情形．Stolz 定理实质上是数列{}n y 与正无穷大数列{}n x 的各自相邻两项增长率之比的极限，来求得nn x y 的极限．这与求函数极限时，)(')('x g x f 的极限来求)()(x g x f 的极限(∞∞型)的情形(L’Hospita l 法那么)有相似之处．Stolz 定理常用于分子或分母是某一和式的极限求法，应用该定理时，要注意验证定理各条件．在同一题目中，只要定理条件满足，Stolz 定理可连续使用．对于可导函数来说“∞∞〞型和“00〞型可以互相转化，L’Hospita l 法那么是求待定式极限的一个有力工具，但是对非导函数而言，求待定式极限的值比拟复杂．Stolz 定理可以说是数列的L’Hospital 法那么，它对求数列的极限很有用．Stolz 定理还可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz 定理可变得十分容易，此定理为推广求非导函数的待定式的极限提供一种非常有效的方法．因此，Stolz 定理是求解证明数列和函数极限存在性的重要定理．讨论Stolz 定理在求解数列和函数极限问题中的应用是一件很有意义的工作，我们应掌握并灵活运用Stolz 定理．致谢在本次毕业论文的撰写过程中xxx老师给予了我极大的帮助和支持．在此，我谨对xxx老师的细心指导和帮助表示由衷的感谢!参考文献1 江泽坚，吴智泉，周光亚．数学分析．北京：人民教育出版社，19782 常庚哲，史济怀．数学分析教程．南京：江苏教育出版社，19983 华东师范大学数学系．数学分析．北京：高等教育出版社，19864 孙本旺，汪浩．数学分析中的典型例题和解题方法．长沙：湖南科学技术出版社，19815 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法．北京：高等教育出版社，20026 刘泽庆．数学分析的典型方法与例题选讲．大连：大连海事大学出版社，19977 李惜雯．数学分析例题分析及难点注释(上册)．西安：西安交通大学出版社，20048 赵显曾，黄安才．数学分析中的方法与题解．西安：陕西师范大学出版社，20059 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏．数学分析学习指导书(上册)．北京：高等教育出版社，200410 李成章，黄玉民．数学分析上册(第二版)．北京：科学出版社，200411 李克典，马云苓．数学分析选讲．夏门：夏门大学出版社，2006附录A 外文参考文献〔译文〕函数的极限4.1 定义 令X 和Y 是度量空间，假设X E ⊂，f 将E 映入Y 内．且p 是E 的极限点．但凡我们写当p x →是q x f →)(，或q x f px =→)(lim (1) 的时候，就是存在一个点Y q ∈具有以下的性质：对于每个0>ε，存在着0>δ，使得 ε<)),((q x f d Y (2) 对于满足δ<<),(0p x d X (3) 的一切E x ∈成立．记号X d 和Y d 分别表示X 和Y 中的距离．如果X 和(或)Y 换成实直线，复平面或某一欧氏空间k R ，那么，距离X d 和Y d 自然该换成绝对值或相应的范数．应当注意X p ∈，但是上面的定义中，并不一定要求p 是E 的点．此外，即使E p ∈，也完全可能)(lim )(x f p f px →≠． 我们还可以将这个定义用序列的极限改述为：4.2 定理 令X ，Y ，E ，f 和p 是定义4.1说的那些，那么q x f px =→)(lim (4) 当且仅当q p f n x =∞→)(lim (5) 对于E 中合于p p n ≠，p p n x =∞→lim (6)的每个序列{}n p 成立．证 假定(4)成立，取E 中满足(6)的{}n p ．给定了0>ε，那么就有0>δ，使得当E x ∈且δ<<),(0p x d X 时，ε<)),((q x f d Y ．同样又有N 使得当N n >时，δ<<),(0p p d n X ．这样，对于N n >，我们有ε<)),((q p f d n Y ．这就证明了(5)成立．反过来，假定(4)不成立．这时便有某个0>ε，使得对于每个0>δ，都有点E x ∈(依赖于δ)，对这个x 来说，ε≥)),((q p f d n Y 但δ<<),(0p x d X ．取n n 1=δ，) ,3 ,2 ,1( =n 我们就在E 中找到一个满足(6)，但使(5)式不成立的序列．推论 如果f 在p 有极限，那么这极限是唯一的．这可以由定理3.2(b)及定理4.2推出来．4.3 定义 设有定义在E 上的两个复数f 和g ，我们用g f +表示一个函数，它给E 的每个点x 配置的数是)()(x g x f +．我们用类似的方法定义两个函数的差g f -，积fg 及商g f ，约定商只定义在E 的那些使0)(≠x g 的点x 上．如果f 给E 的每点x 配置同一个数c ，那么f 就叫做一个常数函数，或简单地叫做一个常数，并记作c f =．设f 和g 都是实函数，如果对于每一个E x ∈来说)()(x g x f ≥，那么有时为了简便，就记作g f ≥．类似地，如果f 和g 把E 映入k R 内，便用)(g )(f ))(g f (x x x +=+，)(g )(f ))(g f (x x x ⋅=⋅来定义g f +及fg ；再假设λ是实数，便定义)(f ))(f (x x λλ=．4.4 定理 假设X E ⊂，X 是度量空间，p 是E 的极限点，f 与g 是E 上的复函数，而且A x f p x =→)(lim ，B x g px =→)(lim ． 那么(a) B A x g f px +=+→))((lim ，(b) AB x fg px =→))((lim ， (c) B A x g f px =→))((lim ，假定0≠B ． 证 依照定义4.3，这些论断可以从序列的类似性质(定理3.3)直接推出来． 评注 如果如果f 与g 将E 映入k R 内，那么(a)仍然成立，而(b)就要变为(b')B A ))(g f (lim ⋅=⋅→x px ． (参看定理3.4．)为了使我们能在广义实数系中作运算，我们用领域的说法把定义4.1重述一遍，借以扩大它的范围．对于任一实数x ，我们已经定义了x 的领域就是任一开区间),(δδ+-x x ．4.5 定义 对于任一实数c ，合于c x >的实数x 的集叫做∞+的一个领域，记作),(+∞c ．类似地，集),(c -∞是∞-的一个领域．4.6 定义 设f 是定义在E 上的实函数，A 与x 在广义实数系中．如果对于A 的每个领域U 存在着x 的一个领域V ，使得E V 不空，并且对一切E V t ∈，x t ≠，有U t f ∈)(．我们说当x t →时 A x f →)(稍一考虑即可看出，当A 和x 是实数时，这与定义4.1是一致的．同定理4.4类似的定理仍然成立．它的证明并没有什么新的东西．为了完备起见，我们把它表达出来．4.7 定理 设f 与g 定义在E 上，假定当x t →时A t f →)(，B t g →)(；那么(a) ')(A t f →那么有A A ='，(b) B A t g f +→+))((，(c) AB x fg →))((，(d) B A t g f →))((只要(b)，(c)，(d)的右端有定义．注意∞-∞，∞⋅0，∞∞，0A 是没有定义的．附录B 外文参考文献〔原文〕Limits oF Functions4.1 Definition Let X and Y be metric spaces ；suppose X E ⊂，f maps E into Y ，and p is limit point of E ．We write q x f →)( as p x →，orq x f px =→)(lim (1) if there is a point Y q ∈ with the following property ：For every 0>ε there exists a 0>δ such thatε<)),((q x f d Y (2) for all points E x ∈ for whichδ<<),(0p x d X ． (3) The symbols X d and Y d refer to the distances in X and Y ，respectively ．If X and/or Y are replaced by the real line ，the complex plane ，or by some euclidean space k R ，the distances X d ，Y d are of course replaced by absolute values ，or by norms of differences ．It should be noted that X p ∈，but that p need not be a point of E in the above definition ．Moreover ，even if E p ∈，we may very well have )(lim )(x f p f px →≠． We can recast this definition in terms of limits of sequences ：4.2 Theorem Let X ，Y ，E ，f ，and p be as in Definition 4.1．Thenq x f px =→)(lim (4) if and only ifq p f n x =∞→)(lim (5) for every sequence {}n p in E such thatp p n ≠，p p n x =∞→lim ． (6) Proof Suppose (4) holds ．Choose {}n p in E satisfying (6)．Let 0>ε be given ． Then there exists 0>δ such that ε<)),((q x f d Y if E x ∈ and δ<<),(0p x d X ．Also ，there exists N such that N n > implies δ<<),(0p p d n X ．Thus ，for N n >，we have ε<)),((q p f d n Y ，whice show that (5) holds ．Conversely ，suppose (4) is false ．Then there exists some 0>ε such that for every 0>δ there exists a point E x ∈(depending on δ)，for which ε≥)),((q p f d n Y but δ<<),(0p x d X ．Taking n n 1=δ，) ,3 ,2 ,1( =n ，we thus find a sequence in E satisfying (6) for which (5) is false ．Corollary if f has a limit at p ，this limit is unique ．This follows from Theorems 3.2(b) and 4.2．4.3 Definition Suppose we have two complex functions ，f and g ，both defined on E ．By g f + we mean the the function which assigns to each point x of E the number )()(x g x f +．Similary we define the difference g f -，the product fg ，and the quotient g f of the two functions ，with the understanding that the quotient is defined only at those points x of E at which 0)(≠x g ．If f assigns to each point x of E the same number c ，then f is said to be a constant function ，or simply a constant ，and we write c f =．If f and g are real function ，and if )()(x g x f ≥ for every E x ∈，we shall sometimes write g f ≥，for brevity ．Similarly ，if f and g map E into k R ，we define g f + and fg by)(g )(f ))(g f (x x x +=+，)(g )(f ))(g f (x x x ⋅=⋅；And if λ is a real number ，)(f ))(f (x x λλ=．4.4 Theorem Suppose X E ⊂，a metric space ，p is a limit point of E ，f andg are complex functions on E ，andA x f p x =→)(lim ，B x g px =→)(lim ． Then(a) B A x g f px +=+→))((lim ， (b) AB x fg px =→))((lim ， (c) B A x g f px =→))((lim ，if 0≠B ． Proof In view of Theorem 4.3，these assertions follow immediately from the analogous properties of sequences (Theorem 3.3)．Remark If f and g map E into k R ，then (a) remains true ，and (b) becomes (b')B A ))(g f (lim ⋅=⋅→x px ． (Compare Theorem 3.4．)To enable us operate in the extended real number system ，we shall now enlarge the scope of Definition 4.1，by reformulating it in terms of neighborhoods ．For any real number x ，we have already defined a neighborhood of x to be any segment ),(δδ+-x x ．4.5 Definition For any real c ，the set of real numbers x such that c x > is called a neighborhood of ∞+ and is written ),(+∞c ．Similarly ，the set ),(c -∞ is a neighborhood of ∞-．4.6 Definition Let f be a real function defined on R E ⊂．We say thatA x f →)( as x t →，where A and x are in the extended real number system ，if for every neighborhood U of A there is neighborhood V of x such that E V is not empty ，and such that U t f ∈)( for all E V t ∈，x t ≠．A moment’s consideration will show that this coincides with Definition 4.1 when A and x are real ．苏州科技学院毕业论文4 The analogue of Theorem 4.4 is still true ，and the proof offers nothing new ．We state it ，for the sake of completeness ．4.7 Theorem Let f and g be defined on R E ⊂．SupposeA t f →)(，B t g →)( as x t →．Then(a) ')(A t f → implies A A ='，(b) B A t g f +→+))((，(c) AB x fg →))((， (d) B A t g f →))((，provided the right members of (b)，(c)，and (d) are defined ．Note that ∞-∞，∞⋅0，∞∞，0A are not defined ．。
数列的极限知识点归纳总结
数列的极限知识点归纳总结数列的极限是高中数学中重要的概念之一，它在解析几何、微积分等数学领域中起着重要的作用。
本文将对数列的极限进行知识点归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、定义和概念1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组数的集合。
数列可以用公式表示，常用的表示方式为{an}或{an}∞n=1。
2. 数列的极限定义：对于数列{an}，如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|an - a| < ε，那么称数列{an}的极限为a。
3. 数列的收敛和发散：如果数列{an}存在极限，称该数列收敛；否则，称该数列发散。
二、极限的性质1. 极限唯一性：如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
2. 有界性：对于收敛数列{an}，存在一个正数M，使得对于任意的n，有|an| ≤ M。
3. 夹逼定理：如果{an} ≤ {bn} ≤ {cn}，并且lim an = lim cn = a，那么lim bn = a。
4. 四则运算法则：若数列{an}和{bn}收敛，并且lim an = a，lim bn = b，则有以下运算结果：- lim(an ± bn) = a ± b- lim(an · bn) = a · b- lim(an / bn) = a / b (b ≠ 0)三、重要的数列极限1. 常数数列：对于常数c，数列{an} = c（n为正整数）的极限为c。
2. 等差数列：对于等差数列{an} = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，极限为lim an = a1。
3. 等比数列：对于等比数列{an} = a1 · q^(n - 1)，其中a1为首项，q为公比，当|q| < 1时，极限为lim an = 0；当|q| > 1时，极限不存在。
4. 幂函数数列：对于幂函数数列{an} = n^p，其中p为实数，当p >0时，极限为正无穷大；当p < 0时，极限为0。
数列与级数的收敛与发散判定方法
数列与级数的收敛与发散是数学中的重要概念，对于不同的数列和级数，可以通过一些判定方法来判断其是否收敛或发散。
首先，对于数列的收敛与发散，我们可以通过数列的极限来判断。
如果数列的极限存在且唯一，那么我们说这个数列是收敛的，否则就是发散的。
可以使用夹逼定理、单调有界数列定理、Stolz定理等方法来判断数列的收敛与发散。
夹逼定理是一个重要的判定方法，它可以用来判定数列的收敛与发散。
夹逼定理的核心思想是通过找到两个已知数列，一个发散到正无穷，一个发散到负无穷，并夹在待判定数列的两侧，判断待判定数列的极限是否存在。
如果找不到这样的两个数列，那么就无法判断待判定数列是否收敛。
单调有界数列定理是另一个常用的判定方法，它适用于单调递增或单调递减数列。
根据单调有界数列定理，如果一个数列单调递增且有上界，或单调递减且有下界，那么它一定是收敛的。
Stolz定理是求解极限的常用方法，它可以用来判断数列的收敛与发散。
Stolz定理的思想是将数列的极限表示为两个数列的极限之商，然后使用其他方法对这个极限之商进行判断。
如果这个极限之商不存在或为无穷大或为0，那么我们可以判断数列为发散的。
除了数列的判定方法，级数的收敛与发散也是数学中的一个重要问题。
对于级数的收敛与发散，我们可以使用数列收敛的判定方法进行判断。
例如，对于正项级数，我们可以使用Cauchy判别法、比值判别法、根值判别法等方法来判断其是否收敛。
Cauchy判别法是一个常用的判定方法，它是基于Lagrange中值定理的思想。
根据Cauchy判别法，如果对于级数的通项an，存在正整数N，使得对于任意大于N的正整数n，都有|an+1/an| < 1，那么该级数收敛；如果对于任意大于N的正整数n，都有|an+1/an| > 1，那么该级数发散。
比值判别法是另一个常用的判定方法，它主要用于判断正项级数的收敛与发散。
比值判别法的核心思想是通过计算级数通项的绝对值的比值，判断是否小于或大于1来判断级数的收敛与发散。
Stolz定理在求极限中的应用
０ 引言 随着我们对极限知识进一步理解 ，在解题 中选取 的方
解： 由Ｓ ｔ ｏ ｌ ｚ 定理推论 ２ １ ｉ ｍ弋 ／ ＝ １ 得：
ｌ ｉ ｍ
— ｎ ＿ ＋ ∞
法不 同， 会收到不 同的效果。在求解极 限问题 时， 有很多 方
巫 业
ｎ
＝ ｌ ｉ ｍ
ｎ ＿ ＋ ∞ ｎ—Ｉ ｎ— ｌ Ｊ
一
Ｉ
Ｉ
ｉ ｉ ） 著 ａ为
证明
＝
推论２设Ｘ ｎ ＞ Ｏ ， ￣ ｇ ： ｌ ｉ ｍ ＝ ａ ， ￥ １ Ｊ ｌ ｉ ｍ Ｖ — ａ ．
ｎ — ∞ Ｘ ｎ — ∞ ’ 一
证明 ： 令 ｂ ｎ ＝ ｘ １ ＋ ２ ＋ …＋ ｎ ｘ ｎ ， ｙ ＝ ｎ （ ｎ ＋ １ ） ．
关键词 ： 极 限； Ｓ ｔ ｏ ｌ ｚ 定理 ； 应用
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｌ ｉ ｍｉ ｔ ｓ ； Ｓ ｔ ｏ ｌ ｚ Ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ； ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｉ ｔ ｏ ｎ
中图分类号 ： ０ ７ １ ７
文献标 识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ０ ０ ６ — ４ ３ １ １ （ ２ ０ １ ３ ） ２ ６ — ０ ２ ７ ９ — ０ ２
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｉ ｎ ｔ ｅ ｎ ｄ ｓ ｔ ｏ ｐ ｒ ｏ ｂ ｅ ｉ ｎ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ Ｓ ｔ ｏ ｌ ｚ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ． Ｂａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ， ｈ ｏ ｗ ｔ ｏ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｅ ｌ ｉ ｍｉ ｔ ｓ ｏ ｆ Ｓ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ Ｆ ｕ ｎ ｃ ｉ ｔ ｏ ｎ ｓ ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍｓ ｉ ｓ ｆ ｕ ｒ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｘ ｐ ｌ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ．
数列求极限的方法
数列求极限的方法数列求极限是数学中一个重要的概念和技巧，被广泛应用于解析几何、微积分、数学分析等领域。
数列的极限是指当数列的项无限接近某一个常数时，这个常数就是数列的极限。
数列的极限可以通过多种方法来求解，以下将介绍一些常用的方法。
1. 代入法代入法是数列求极限中最简单的方法之一。
它要求我们将自变量n代入数列的通项公式，然后计算出相应的函数值。
当n趋于无穷大时，如果函数值趋于一个有限的常数，那么这个常数就是数列的极限。
例如，考虑数列an = (2n + 1) / (3n - 1)，我们可以将n代入到an中，得到an = (2n + 1) / (3n - 1) = 2/3 + 3/(3n - 1)。
当n趋于无穷大时，3/(3n - 1)趋于0，所以数列的极限为2/3。
2. 变形法对于一些复杂的数列，可以通过变形来简化计算。
变形法通过对数列的通项公式进行一系列的代数操作，得到一个更简单的数列，从而求出极限。
例如，考虑数列an = (n^2 - 5n + 6) / (2n^2 - 3n + 1)，我们可以将分子和分母同时除以n^2得到an = (1 - 5/n + 6/n^2) / (2 - 3/n + 1/n^2)。
当n趋于无穷大时，5/n和3/n趋于0，1/n^2趋于0^2=0，所以数列的极限为1/2。
3. 夹逼法夹逼法是数列求极限中一个重要的理论工具。
它基于这样一个事实：如果数列bn ≤an ≤cn，且极限lim(bn) = lim(cn) = L，那么极限lim(an)也等于L。
夹逼法常用于求解一些难以直接计算的极限，特别适用于处理无限次方根等问题。
例如，考虑数列an = (n^2 + 2)^(1/n)，可以发现an > 1对任意n成立。
另一方面，通过放缩可以得到an < (n^4 + 2n^2)^(1/n) = (n^2(1 + 2/n^2))^(1/n) = sqrt(n^2) = n。
数列极限中的典型例题
0<
+1
=1
− < 1, = 1,2, ⋯
所以数列 单调减且有下界，因此 lim = 存在。在递推公式 + = ( − )
→∞
两边令 → ∞取极限得， = (1 − ),所以
lim = =0
→∞
取 =
1
,
= 1,2, ⋯ , 则
1,2, ⋯ , ln( − )均有意义，由于对 > 0, 不等式ln ≤ − 1恒成立，因此有
+1 − = ln − ≤ − − 1, = 2,3, ⋯ .
由此得，
S+1 ≤ − 1, = 2,3, ⋯
.
从而得，
ln( − S+1 ) ≥ ln − + 1 = 0, = 2,3, ⋯
→∞
=0
证明令 = + + ⋯ + ， = 1,2, ⋯ ，及 lim = .则
→∞
1 = 1， = − −1, = 1,2, ⋯ ，
于是
11 + 22 + ⋯ + 11 + 2(2−1) + ⋯ + ( −−1)
也存在或为+∞，且
→∞
+∞时, lim
− +1
lim
= lim
→∞
→∞ − +1
∞
+1 −
存在或为+∞时，
→∞ +1 −
斯铎兹定理2(∞型） 设数列{ }单调增加且 lim = +∞.如果 lim
运用Stolz定理求解数列极限
运用Stolz定理求解数列极限
stolz公式是lim(An+1-An)/(Bn+1-Bn)=L。
Stolz定理是一种求数列极限的方法。
设有数列An,Bn 若Bn>0递增且有n→+∞时Bn→+∞（以下lim均表示lim(n→+∞））则有：若lim(A(n+1）-An)/(B(n+1）-Bn)=L(L可以是0,有限数，或+∞（-∞））==>lim(An)/(Bn)=L。
1、在数学中，Stolz定理是以数学家奥托Stolz和埃内斯托CESàRO命名，是检验一个数列是否收敛的准则。
设有数列An,Bn 若Bn>0递增且有n-->+∞时Bn-->+∞。
2、洛必达法则是对分子分母分别求导，而施笃兹定理是对分子分母分别取了逆向的差分。
求差分在一定意义上可以理解成“离散地求导”，所以洛必达法则和施笃兹定理是非常相像的。
3、O'Stolz定理是处理数列不定式极限的有力工具，一般用于*/∞型的极限即分母趋于正无穷大的分式极限，分子趋不趋于无穷大无所谓。
0/0型极限，此时要求分子分母都以0为极限。
斯托尔茨(O.Stolz)定理
通过对《微积分学教程》的研读，我对stolz定理的相关知识点进行了整理，并在一定程度上，对教材内容进行了延伸。
1、定理内容作为数列的L'Hospital定理，stolz定理并没有被高数教材所记录，这似乎是有些遗憾。
（1）、定理一（\frac{*}{∞}型）: 设数列 a_{n} 、b_{n} 满足：①、 b_{n} 严格单调递增\\②\lim_{n \rightarrow ∞}{ b_n}=+∞那么：\lim_{n \rightarrow∞}{\frac{a_n}{b_n}}=\lim_{n \rightarrow ∞}{\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}}=L（其中L可为有限数，+∞，-∞）这里要注意一下，虽然 L 可以为+∞ or -∞，但它不可以为∞！例如：现在我们设 y_n = (-1)^nn ， x_n = n 。
虽然 \lim_{n \rightarrow ∞}{\frac{y_{n+1}-y_n}{x_{n+1}-x_n}}=∞ ，但是\lim_{n \rightarrow ∞}{\frac{y_n}{x_n}}\ne∞ 。
（2）、定理二（\frac{0}{0}型）：设数列 a_n 、b_n 满足：① ,\ b_n严格单调递减且趋于零 \\② ,\lim_{n \rightarrow ∞}{a_n}=0那么：\lim_{n \rightarrow∞}{\frac{a_n}{b_n}}=\lim_{n \rightarrow ∞}{\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}}=L（其中L可为有限数，+∞，-∞）这里也要注意一下，定理一与定理二不同，定理一并不要求 a_n 的性质，只要求 b_n趋于∞即可。
而定理二则要求 a_n 也趋于0，这种差异使得定理一拥有比定理二更广的适用范围，这也是为什么我们更常用定理一来解题的原因。
接下来，在开始实战前，我们还要注意的一点是，stolz定理的逆定理并不成立，为了节省篇幅，这里便不再多言，有兴趣的读者可以自行试验一下。
利用Stolz定理的推广定理求极限
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高等数学研究!!!!!!!!!!!!!!!!!+%%0年 H月
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相似文献(2条)
1.期刊论文 刘绛玉.LIU Jiang-yu 几个Stolz定理的推广定理 -石家庄职业技术学院学报2009,21(6)
通过Stolz定理得出有关*/∞不定型数列极限的几个推论,给出了几种求*/∞型数列极限的方法.
2.期刊论文 卫春燕.刘丹丹.WEI Chun-yan.LIU Dan-dan Stolz定理的推广定理证明 -哈尔滨理工大学学
’
(参考资料)Stolz(施笃兹)定理 及其推论
Stolz 定理设{}n y 是严格单调增加的正无穷大量,且11lim n n n n n x x a y y -→∞--=-(a 可以为有限量,+∞与-∞)则lim n n nx a y →∞=重要结论:如lim n n a a →∞=,则1lim n n a a a n→∞++= 例1:设lim n n a a →∞=,求122lim ()2n n a a a na n →∞+++ 例2:设k 为正整数,求极限11112lim ()k k k k n n n k +→∞++++ 例3:证明：22223135(21)4lim 3n n n →∞+++++= 求极限22223135(21)4lim 3n n n n →∞⎛⎫+++++- ⎪⎝⎭ 性质设()f x 在[,]a b 内具有一阶连续导数,则1()lim ()()[()()}2n b a n k b a k b a b a n f x dx f a f a f b n n →∞=---⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑⎰Stolz 定理应用:设11(0,1),(1),(1,2,),n n n x x x x n +Î=-= 证明：lim 1n n nx =证明：易知n x 单调降且趋于零，下用Stolz 定理证lim 1n nnx =.11111111lim lim lim lim (1)n n n n n n n n n n x x x nx n n n x x ---÷ç÷===-ç÷ç÷--因1111111111(1)(1)(1)111(1)n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x +++--=-Þ=Þ=+--Þ-+-因此11111lim lim 1lim 11n nn n n n n nx x x x --÷ç÷-==Þ=ç÷ç÷-证明如下结论:(i)结定数列{}n a ,证明lim n n a 存在的充要条件是()11n n n a a ¥-=-å收敛(ii)设111ln 2n a n n=+++- ,证明lim n n a 存在证明:(i)级数收敛充要条件是该级数的部分和序列{}n S 收敛()101nn k k n k S a a a a -==-=-å{}n S 收敛,即{}0n a a -收敛的充要条件是lim n n a 存在.(ii)()1111111ln ln(1)ln(1)n n n n n a a n n n n n-===-=-+-=+-(但此级数不是正项级数,除有限项外都是负的),而211ln(1)1lim 12n nn n ---=与111ln(1)n n n ¥=÷ç-+-÷ç÷çå与211n n ¥=å有相同敛散性,故111ln(1)n n n ¥=÷ç-+-÷ç÷çå收敛.故111ln(1)n n n ¥=÷ç+-÷ç÷çå收敛,因此由(i)知:lim n n a存在设012(1)0,2n n n x x x x ++>=+，求lim n n x →∞解：易知02n x <≤，如n x 有极限a ，则lim 2n n x →∞=（可从02(1)0,2a x a a +>=+得）关键在：证n x 有极限。
stolz定理二项式定理
stolz定理二项式定理
德国数学家斯托尔茨（Stolz）提出了斯托尔茨定理，也称为斯托尔茨二项式定理。
该定理是针对两个无穷序列之商的极限情况，具体表述如下：
设{an}和{bn}是两个具有以下特性的实数序列：
1. 对于n≥N，其中N是一个正整数，对于所有的n，总有bn>0；
2. 当n>N时，总有an+1 ≥ an；
3. 若对于所有的n>N，有lim an+1 - an = 0，则有
lim an/bn = L，其中L可以为实数或无穷大。
这个定理通常被用于证明数列之间的极限关系，其中一个数列为常数数列或几个特定数列，从而可以推导出另一个数列的极限值。
斯托尔茨定理可以用来推导斯特林公式（Stirling's formula）等数学应用。
利用确界的极限描述序列的上下极限
Stolz公式讲解介绍其中的Stolz公式（也被称为Stolz定理或施笃兹定理）的相关内容：1.基本概念：•Stolz公式是一种求数列极限的方法。
•具体而言，设有数列An和Bn，若Bn>0且递增，当n→+∞时Bn→+∞，则有：若lim(n→+∞)（(A(n+1）-An)/(B(n+1）-Bn)）=L（L可以是0，有限数，+∞或-∞），则lim(n→+∞)（An/Bn）=L。
2.应用场景：•Stolz公式常用于在数列极限中处理一些用常规方法难以解答的问题。
例如，当需要求解形如lim(An/Bn)的极限，且An和Bn满足Stolz公式的条件时，就可以使用该方法。
•Stolz公式与Cauchy命题（平均值定理）有紧密的联系，有时可以互相转化应用。
3.使用方法：•首先，确认数列An和Bn满足Stolz公式的条件，即Bn>0且递增，当n→+∞时Bn→+∞。
•然后，计算lim(n→+∞)（(A(n+1）-An)/(B(n+1）-Bn)）的值，记为L。
•根据Stolz公式，lim(n→+∞)（An/Bn）=L。
4.注意事项：•在使用Stolz公式前，务必确认数列An和Bn满足其条件。
如果不满足，则不能使用该方法求极限。
•Stolz公式是一种充分条件，而非必要条件。
即使不满足Stolz公式的条件，lim(An/Bn)的极限也可能存在，但此时不能用Stolz公式求解。
•在实际应用中，有时需要对An或Bn进行适当的变形或处理，以满足Stolz 公式的条件。
总之，Stolz公式是求解数列极限的一种有效方法，但使用时需要注意其适用条件和限制。
通过掌握其基本概念、应用场景、使用方法和注意事项，可以更好地理解和应用该公式。
施笃兹定理
施笃兹定理
施笃兹定理检验数列是否收敛的准则
在数学中，Stolz（–CESàRO）定理，以数学家奥托Stolz和埃内斯托CESàRO命名，是检验一个数列是否收敛的准则。
施笃兹定理的证明（O'Stolz定理）是处理数列不定式极限的有力工具，一般用于*/∞型的极限(即分母趋于正无穷大的分式极限，分子趋不趋于无穷大无所谓)、0/0型极限(此时要求分子分母都以0为极限)。
O'Stolz定理用于数列，它有函数形式的推广，这两个都可以认为是洛必达法则的离散版本。
施笃兹定理关注平衡状态，可以认为是“不动”的情况。
为了达到“动”的效果，会给平衡态加上一个微扰，使物体振动。
在这种情况下，势场往往是复杂的，因此振动的具体形式很难求解。
理论力学中的小振动理论告诉我们，在平衡态附近将势能做Taylor展开为x的幂级数形式，零次项可取为0，一次项由于平衡态对应的极大/极小值也为0，从二次项开始不为零。
如果精确到二级近似，则势能的形式与简谐运动完全相同，因此很容易求解。
这种处理方法在量子力学、固体物理中有着广泛应用。
{an}和{b n}是给定的数列，记A n=∑ai(i=1→n),B=∑bi(i=1→nStolz定理是这样的：lim a（n）=a 则lim [a(1)++a(n)]/n=。
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：ａ
数列 的极 限ｌ 旦 ， 直接使用 洛必塔法则 ，ｌｆｌ — ： ｉ ｍ 若 ￣； ｉ ］ １ ｍ ＿ ｎ
ｌ ｎ ｉ ＿ ｍ ：ｉ ＝ 。可 是 ， 列 是 没 有 导 数 的 ， ｌ ｍ ０ 数 因此 ， 述 的 上
证 ： Ｘ ａ ２ Ｉ＋ ａ …＋ ａ，＝ Ｐ Ｎ 令 ｎ ｌ ｐａ ３ ３ ｎ ｎ ｎｎ 。 ＝ ＋ －２ ＋ Ｙ ，Ｅ
定 （ 型 ｔ 定 ） 果 列ｙ 调 加 ＋ 理１詈 Ｓｌ 理 ： 数 Ｉ单 增 ， ｏ ｚ 如 ｝ 且ｙ ∞
（一 ∞） ｎ ， 它与数列Ｉ ｌ ｘ 一起满足ｌ 筮 ｎ ｉ ａ ｒ
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存在（ 或无穷大）￣ ｌ ，ｌｉ ｔｍ Ｊ
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ｙ ｙ ｌ
ａ ｅａ ｎ ｒ ｔｎ
的仪器。 仪器预先选取的 目的是训练学生开放性 思维 ， 因为器材 的选定与实验方法有 内在一致性。 ３ 物理学习策略能 够帮助形成正确的 自我评价观 ． 掌握 了合理 的学习策略的学生 ， 在学习过程 中能随时监控 自
（） ２ 物理实验 中的策略 。 在老 师的指导下学生完成 了器材的 己的行为 ， 不让 自己偏离目标 ， 能正确判断 出困难和障碍 ， 时 并适 选择 ， 步骤 的安排 ， 学生开始实验 。 实验 中如何 和同伴 配合 ， 协同 地调整 ， 能够对 自己的行为进行正确评价。如何提高学生 的学习 完成实验 ， 如何 精确测量 ， 如何条理 地记录数据 ， 这都是 学生需 能力是当今世界各 国教育界普遍关心的问题 ， 国也不例外 。改 我
总之物理学习策略是学生在学习物理的过程中的调节和监控系统能够掌握和运用物理学习策略的学生能够根据自己的能力及知识水平以及学习材料学习环境等条件来选择适合自己的学习方式和方法做到自主学习从而提高学习物理的能力
【 数理化研 究 】 ・关 注 ・
运 用 ９ｌｌ 理 求 解 数 列 极 限 ＇ ｚ定 ＇ ｏ
能力及知识水平以及学 习材料 、 学习环境等条件来选择适合 自己 的学 习方式和方法 ， 做到 自主学习， 从而提高学习物理的能力 。
（） １实验前 的准备策略 。 这阶段 ， 要求学生根据实验 目的 ， 自
己列 出实验 器材 ， 安排实验 步骤 ， 计误差来 源 ， 估 考虑数 据处理 平以及学 习材料 、学习环境等条件来选择适合 自己的学习方式 方法等。 在实验器材的选择方面 ， 学生可能写不 出实验室所具备 和方法 ， 做到 自主学 习。
由理得— 儿 定 ｌ： 鱼 ｎ 憎 ‘
例 ３ 求 １ （ 一ｒｔ ） ： ． ｎ ａ ａ ｎ ｍ ｃｎ
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做法是错误 的。 但是 ， 计算这样一类的题 ， 我们有类似于洛必塔法
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例 １求Ｉ 旦— ： ｉ ｍ 解： 由定理 １有ｌ ， ｉ ｍ ＝ｉ Ｊ ｌ Ｉ ｍｎ
（ 常州工程职业技术学院）
ｎ ｎ 一∞
ｎ ｎ 一【 —ｌＪ
ｒ ∞ ｒ ｎ－１
误差 分析和得出结 论这一系列步骤 。 理实 验的学 习策略 ， 物 要从 茫 ， 题的方 向性增加 ， 解 解题灵活性有所提高。能够 掌握 和运用 以下几个方面来探讨 。 物理学 习策略 的学生 ，在学习物理的过程 中能够充分意识 到 自 己“ 该学什么” 为什 么学 ”怎样学” “ “ 。根据 自己的能力及知识 水
要思考的 ， 教师 给予适时指导 。
革的趋势要求我们改变传统的教育观念 ， 把学生如何“ 学会学习”
我逐步认识到 （） ３ 实验后 的策略 。 实验结束后 ， 训练学 生 ， 使其知道又该完 作为重要的教学 目标 。通过这一阶段的实践研究 ， 成哪些工作。这里主要有 ， 一是实验数据的处理和误差评估 ， 另 要使学生 “ 学会 学习”提高教育教学质量， ， 就应该下大力气培养
江苏 常州 ●陈莉敏 。 晓芙 唐 本文介绍 了用 于求解数列极限的 Ｓ ｌ定理 ，并举例将定理 ＝ｎ ＝ ｔｚ ｏ Ｉ１０ 进行 了应用 。 在数列极限求解的时候， 有人会直接使用洛必塔法则。 例如求
（ Ｐ∈Ｎ） ．
例 ２ 设１ ： 油 ： （ ≠０ ， ａａ ）求证ｌ ｉ ｍ
一
个是实验还有什么需要改进的地方。这一步就是训练学生实 物理 实验策略是对物理实验过程 的统筹考虑 ，在高 中阶段
学生掌握“ 学习策略”应该加大学 习策略的教学实践研究 。如果 ， 学 习就是获取信息 ， 那么 ， 学习策 略的 目的就是帮助学习者如何 控制学习的信息加工系统 ， 以便更好地存储和提取信息。
解 ：ｍｎ Ｉ ａｅ ｎ ）ｌ — 一 １ （Ｉ ｒｔ ｎ＝ｉ ｉ ， Ｔ— ， ＿ ａ ｍ
ｌ ｉ ａ ｒ 。
１
符合定理 ２ 的条件 ，
ｙ ・ ｎ 一 ｙ ｙ
定理 ２（０ 型 Ｓｏ 定理 ） 如果 数列 ｛“ｙ 满足 ｙ 百一 ｔｚ ｌ ： ｘ ｎ ｊ （＝ ，， ） ｉ ．ｌ ｎ ｌ … ， ｒｘ ｉ ２ 且ｌ ＝ ｍ ａ
＝ｉ ｌ ａ ｒ
－ ｙ －ｙ ． ￣ｔ
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＞Ｙ ＞０ ｎ
ｌ ＝ 存 在（ ｉ ａ ｒ 或无穷 大 ）￣ ｌ ， １ｉ ］ｍ
ｙ — ．ｉ ｎ ｙ－
则 ＝ Ｌ ——～ｌｒｎａｍ 式 — —竺 ： ａ －ｒ — 辜—ｒ＝ ｃ－ｒ 下ｔ ｅ ＝ ｉ ｔ ｔ ｒ ａ１ ａ ２ａ ｎ） 一
总之 ， 物理学习策略是学生在学 习物理的过程中的调节和监 控系统 ， 能够掌握 和运用物理学习策略的学生 ， 能够根据 自己的
验后养成反思的习惯。 掌握 了物理实验策略 ，学生处理实际问题 的能力 才能得到真正 提高 ， 才会 明白如何 去做一件事 ， 怎样做好一件 事。 二、 高中物 理学 习策略的作用 １物理 学习策略有助 于提 高学生 学习物理的兴趣 ． 我曾与一些厌学物理的学生交谈 ， 从交谈 中获知 ， 学生开始