2010年数学中考压轴题100题精选(11-20题)

合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网2010年中考数学压轴题100题精选（11-20题）【11】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）D 第24题图①D E第24题图②第24题图③合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【12】如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长． （3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【13】如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【14】在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）. （1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形 OABC 旋转的度数；（3）设M B N ∆的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.(第26题)x合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【15】如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【16】如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点EO ABD 的面积S 满足：123S S ？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【17】如图，已知抛物线2y x bx c =++经过(10)A ，，(02)B ，两点，顶点为D ． （1）求抛物线的解析式；（2）将OAB △绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为1B ，顶点为1D ，若点N 在平移后的抛物线上，且满足1NBB △的面积是1NDD △面积的2倍，求点N 的坐标．（第26题）合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【18】如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°，求点P 的坐标．合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【19】如图所示，将矩形OABC 沿AE 折叠，使点O 恰好落在BC 上F 处，以CF 为边作正方形CFGH ，延长BC 至M ，使CM ＝｜CF —EO ｜，再以CM 、CO 为边作矩形CMNO (1)试比较EO 、EC 的大小，并说明理由 (2)令；四边形四边形CNMN CFGHS S m，请问m 是否为定值？若是，请求出m 的值；若不是，请说明理由(3)在(2)的条件下，若CO ＝1，CE ＝31，Q 为AE 上一点且QF ＝32，抛物线y ＝mx 2+bx+c 经过C 、Q 两点，请求出此抛物线的解析式.(4)在(3)的条件下，若抛物线y ＝mx 2+bx+c 与线段AB 交于点P ，试问在直线BC 上是否存在点K ，使得以P 、B 、K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在，请求直线KP 与y 轴的交点T 的坐标?若不存在，请说明理由。

合并自：(奥数)、(中考)、(高考)、(作文)、(英语)、(幼教)、、等站【20】如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。

解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为。

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。

（画图不写作法）（3）若AC=42，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值。

E度教育网合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网2010年中考数学压轴题100题精选（11-20题）答案 【011】解：（1）证明：在Rt △FCD 中，∵G 为DF 的中点，∴ CG= FD ．………1分 同理，在Rt △DEF 中，EG= FD ．…………2分∴ CG=EG ．…………………3分 （2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG ．…………………………4分证法一：连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点． 在△DAG 与△DCG 中，∵ AD=CD ，∠ADG=∠CDG ，DG=DG ， ∴ △DAG ≌△DCG ．∴ AG=CG ．………………………5分在△DMG 与△FNG 中，∵ ∠DGM=∠FGN ，FG=DG ，∠MDG=∠NFG ，∴ △DMG ≌△FNG ．∴ MG=NG 在矩形AENM 中，AM=EN ． ……………6分 在Rt △AMG 与Rt △ENG 中，∵ AM=EN ， MG=NG ，∴ △AMG ≌△ENG ．∴ AG=EG ．∴ EG=CG ． ……………………………8分 证法二：延长CG 至M,使MG=CG ，连接MF ，ME ，EC ， ……………………4分在△DCG 与△FMG 中，∵FG=DG ，∠MGF=∠CGD ，MG=CG ， ∴△DCG ≌△FMG ．∴MF=CD ，∠FMG ＝∠DCG ．∴MF ∥CD ∥AB ．………………………5分∴ 在Rt △MFE 与Rt △CBE 中，∵ MF=CB ，EF=BE ，∴△MFE ≌△CBE ．∴∠MEC ＝∠MEF ＋∠FEC ＝∠CEB ＋∠CEF ＝90°．∴ △MEC 为直角三角形．∵ MG = CG ，∴ EG= MC ．………8分 （3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG ．其他的结论还有:EG ⊥CG ．……10分 【012】解：（1） 圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为1，∴点A B C D 、、、的坐标分别为(10)(01)(10)(01)A B C D --，、，、，、， 抛物线与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ，∴(11)(11)M N --，、，． 点D M N 、、在抛物线上，将(01)(11)(11)D M N --，、，、，的坐标代入2y ax bx c =++，得：111c a b c a b c =⎧⎪-=-+⎨⎪=++⎩解之，得：111a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：21y x x =-++． 4分（2）2215124y x x x ⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭ ∴抛物线的对称轴为12x =，合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网12OE DE ∴===，． 6分连结90BF BFD ∠=，°，BFD EOD ∴△∽△，DE OD DB FD ∴=，又12DE OD DB ===，，FD ∴=，EF FD DE ∴=-==．8分（3）点P 在抛物线上．9分设过D C 、点的直线为：y kx b =+，将点(10)(01)C D ，、，的坐标代入y kx b =+，得：11k b =-=，， ∴直线DC 为：1y x =-+． 10分过点B 作圆O 的切线BP 与x 轴平行，P 点的纵坐标为1y =-， 将1y =-代入1y x =-+，得：2x =．∴P 点的坐标为(21)-，，当2x =时，2212211y x x =-++=-++=-， 所以，P 点在抛物线21y x x =-++上． 12分【013】解：（1） 该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-． 将(40)A ，，(10)B ，代入，合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-．（3分）（2）存在． （4分） 如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-，当14m <<时，4AM m =-，215222PM m m =-+-．又90COA PMA ∠=∠= °，∴①当21AM AO PM OC ==时， APM ACO △∽△，即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭． 解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，． （6分） ②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m m m -=-+-．解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）∴当14m <<时，(21)P ，． （7分） 类似地可求出当4m >时，(52)P -，． （8分）合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网当1m <时，(314)P --，． 综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，． （9分） （3）如图，设D 点的横坐标为(04)t t <<，则D 点的纵坐标为215222t t -+-．过D 作y 轴的平行线交AC 于E ．由题意可求得直线AC 的解析式为122y x =-． （10分）E ∴点的坐标为122t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．2215112222222DE t t t t t ⎛⎫∴=-+---=-+ ⎪⎝⎭． （11分） 22211244(2)422DAC S t t t t t ⎛⎫∴=⨯-+⨯=-+=--+ ⎪⎝⎭△． ∴当2t =时，DAC △面积最大．(21)D ∴，． （13分） 【014】（1）解：∵A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，∴OA 旋转了045.∴OA 在旋转过程中所扫过的面积为24523602ππ⨯=.……………4分 （2）解：∵MN ∥AC ，∴45BMN BAC ∠=∠=︒,45BNM BCA ∠=∠=︒. ∴BMN BNM ∠=∠.∴BM BN =.又∵BA BC =，∴AM CN =.又∵O AO C =,OAM OCN ∠=∠,∴OAM OCN ∆≅∆.∴AOM CON ∠=∠.∴1(90452AOM ∠=︒-︒)=22.5︒.∴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为45︒-22.5︒=22.5︒.……………………………………………8分 （3）答：p 值无变化. 证明：延长BA 交y 轴于E 点，则045AOE AOM ∠=-∠，000904545CON AOM AOM ∠=--∠=-∠，∴A O E C O ∠=∠.又∵O AO C =，0001809090OAE OCN ∠=-==∠.∴OAE OCN ∆≅∆.∴,OE ON AE CN ==.合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网又∵045MOE MON ∠=∠=,OM OM =, ∴OME∆≅∆∴MN ME AM AE ==+.∴MN AM CN =+，∴p MN BN BM AM CN BN BM AB BC =++=+++=+∴在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化. (12)【015】⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k ∵顶点C 的横坐标为4，且过点(0，397)∴y=a(x-4)2+k k a +=16397………………①又∵对称轴为直线x=4，图象在x 轴上截得的线段长为6 ∴A(1，0)，B(7，0)∴0=9a+k ………………②由①②解得a=93，k=3－∴二次函数的解析式为：y=93(x-4)2－3⑵∵点A 、B 关于直线x=4对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD ≥DB ∴当点P 在线段DB 上时PA+PD 取得最小值 ∴DB 与对称轴的交点即为所求点P设直线x=4与x 轴交于点M ∵PM ∥OD ，∴∠BPM=∠BDO ，又∠PBM=∠DBO ∴△BPM ∽△BDO ∴BO BM DO PM = ∴3373397=⨯=PM ∴点P 的坐标为(4，33) ⑶由⑴知点C(4，3-)，又∵AM=3，∴在Rt △AMC 中，cot ∠ACM=33，∴∠ACM=60o ，∵AC=BC ，∴∠ACB=120o①当点Q 在x 轴上方时，过Q 作QN ⊥x 轴于N 如果AB=BQ ，由△ABC ∽△ABQ 有 BQ=6，∠ABQ=120o ，则∠QBN=60o ∴QN=33，BN=3，ON=10，此时点Q(10，33)， 如果AB=AQ ，由对称性知Q(-2，33)②当点Q 在x 轴下方时，△QAB 就是△ACB ，此时点Q 的坐标是(4，3-)， 经检验，点(10，33)与(-2，33)都在抛物线上 综上所述，存在这样的点Q ，使△QAB ∽△ABC（第26x合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网点Q 的坐标为(10，33)或(-2，33)或(4，3-)．【016】解：（1）设正比例函数的解析式为11(0)y k x k =≠，因为1y k x =的图象过点(33)A ，，所以133k =，解得11k =．这个正比例函数的解析式为y x =． （1分）设反比例函数的解析式为22(0)k y k x =≠．因为2ky x =的图象过点(33)A ，，所以 233k =，解得29k =．这个反比例函数的解析式为9y x =．（2分）（2）因为点(6)B m ，在9y x =的图象上，所以9362m ==，则点362B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （3分） 设一次函数解析式为33(0)y k x b k =+≠．因为3y k x b =+的图象是由y x =平移得到的，所以31k =，即y x b =+．又因为y x b =+的图象过点362B ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以 362b =+，解得92b =-，∴一次函数的解析式为92y x =-． （4分） （3）因为92y x =-的图象交y 轴于点D ，所以D 的坐标为902⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠． 因为2y ax bx c =++的图象过点(33)A ，、362B ⎛⎫⎪⎝⎭，、和D902⎛⎫- ⎪⎝⎭，，合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网所以933336629.2a b c a b c c ⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪⎪=-⎪⎩，， （5分） 解得1249.2a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩，，这个二次函数的解析式为219422y x x =-+-． （6分） （4）92y x =- 交x 轴于点C ，∴点C 的坐标是902⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 如图所示，15113166633322222S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯99451842=---814=．假设存在点00()E x y ，，使12812273432S S ==⨯=．四边形CDOE 的顶点E 只能在x 轴上方，∴00y >， 1OCD OCE S S S ∴=+△△01991922222y =⨯⨯+⨯ 081984y =+．081927842y ∴+=，032y ∴=．00()E x y ，在二次函数的图象上，2001934222x x ∴-+-=．解得02x =或06x =．当06x =时，点362E ⎛⎫⎪⎝⎭，与点B 重合，这时CDOE 不是四边形，故06x =舍去， ∴点E 的坐标为322⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （8分）合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站E 度教育网 【017】解：（1）已知抛物线2y x bx c =++经过(10)(02)A B ，，，， 01200b c c =++⎧∴⎨=++⎩ 解得32b c =-⎧⎨=⎩∴所求抛物线的解析式为232y x x =-+． 2分（2）(10)A ，，(02)B ，，12OA OB ∴==， 可得旋转后C 点的坐标为(31)， 3分 当3x =时，由232y x x =-+得2y =， 可知抛物线232y x x =-+过点(32)， ∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C ．∴平移后的抛物线解析式为：231y x x =-+． 5分 （3） 点N 在231y x x =-+上，可设N 点坐标为2000(31)x x x -+， 将231y x x =-+配方得23524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴其对称轴为32x =． 6分 ①当0302x <<时，如图①， 112NBB NDD S S = △△00113121222x x ⎛⎫∴⨯⨯=⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭01x =此时200311x x -+=- N ∴点的坐标为(11)-，． 8分 ②当032x >时，如图②图①合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网同理可得0011312222x x ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯- ⎪⎝⎭ 03x ∴=此时200311x x -+= ∴点N 的坐标为(31)，． 综上，点N 的坐标为(11)-，或(31)，． 10分【018】解：（1） 抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，，(04)C ，两点， 404 4.a b a a --=⎧∴⎨-=⎩， 解得13.a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为234y x x =-++． （2） 点(1)D m m +，在抛物线上，2134m m m ∴+=-++，即2230m m --=，1m ∴=-或3m =．点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(34)，． 由（1）知45OA OB CBA =∴∠=，°． 设点D 关于直线BC 的对称点为点E ．(04)C ，，CD AB ∴∥，且3CD =， 45ECB DCB ∴∠=∠=°， E ∴点在y 轴上，且3CE CD ==．1OE ∴=，(01)E ∴，． 即点D 关于直线BC 对称的点的坐标为（0，1）． （3）方法一：作PF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．合并自：(奥数)、(中考)、(高考)、(作文)、 E度教育网2DE CE∴==．4OB OC==，BC∴=BE BC CE∴=-=，3tan tan5DEPBF CBDBE∴∠=∠==．设3PF t=，则5BF t=，54OF t∴=-，(543)P t t∴-+，．P点在抛物线上，∴23(54)3(54)4t t t=--++-++，t∴=（舍去）或2225t=，266525P⎛⎫∴-⎪⎝⎭，．方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH x⊥轴于H．过Q点作QG DH⊥于G．45PBD QD DB∠=∴=°，．QDG BDH∴∠+∠90=°，又90DQG QDG∠+∠=°，DQG BDH∴∠=∠．QDG DBH∴△≌△，4QG DH∴==，1DG BH==．合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站E 度教育网由（2）知(34)D ，，(13)Q ∴-，．(40)B ，，∴直线BP 的解析式为31255y x =-+． 解方程组23431255y x x y x ⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩，，得1140x y =⎧⎨=⎩，；222566.25x y⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点P 的坐标为266525⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【019】（1）EO ＞EC ，理由如下：由折叠知，EO=EF ，在Rt △EFC 中，EF 为斜边，∴EF ＞EC ， 故EO ＞EC …2分（2）m 为定值∵S 四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO ―EC)=CO ·(EO ―EC)S 四边形CMNO=CM ·CO=|CE ―EO|·CO=(EO ―EC) ·CO ∴1==CMNO CFGHS S m 四边形四边形 ……………………………………………………4分（3）∵CO=1，3231==QF CE ， ∴EF=EO=QF==-32311∴cos ∠FEC=21∴∠FEC=60°， ∴︒=∠∠=︒=︒-︒=∠3060260180EAO OEA FEA ，∴△EFQ 为等边三角形，32=EQ …………………………………………5分作QI ⊥EO 于I ，EI=3121=EQ ，IQ=3323=EQ∴IO=313132=- ∴Q 点坐标为)31,33( ……………………………………6分合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网∵抛物线y=mx2+bx+c 过点C(0，1)， Q )31,33(，m=1 ∴可求得3-=b ，c=1 ∴抛物线解析式为132+-=x x y ……………………………………7分 （4）由（3），3323==EO AO 当332=x 时，3113323)332(2=+⨯-=y ＜AB ∴P 点坐标为)31,332(…………………8分 ∴BP=32311=-AO方法1：若△PBK 与△AEF 相似，而△AEF ≌△AEO ，则分情况如下： ①3323232=BK 时，932=BK ∴K 点坐标为)1,934(或)1,938( ②3232332=BK 时，332=BK ∴K 点坐标为)1,334(或)1,0(…………10分故直线KP 与y 轴交点T 的坐标为)1,0()31,0()37,0()35,0(或或或-- …………………………………………12分方法2：若△BPK 与△AEF 相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P 作PR ⊥y 轴于R ，则∠RTP=60°或30°①当∠RTP=30°时，23332=⨯=RT②当∠RTP=60°时，323332=÷=RT合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网∴)1,0()31,0()35,0()37,0(4321T T T T ，，，-- ……………………………12分【020】解：（1）①CF ⊥BD ，CF=BD②成立，理由如下：∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF又 BA=CA ，AD=AF ∴△BAD ≌△CAF ∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45°∴∠BCF=90° ∴CF ⊥BD ……（1分）（2）当∠ACB=45°时可得CF ⊥BC ，理由如下：如图：过点A 作AC 的垂线与CB 所在直线交于G则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45°∵AG=AC AD=AF ………（1分）∴△GAD ≌△CAF （SAS ） ∴∠ACF=∠AGD=45°∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF ⊥BC …………（2分）（3）如图：作AQBC 于Q∵∠ACB=45° AC=42 ∴CQ=AQ=4∵∠PCD=∠ADP=90°∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°∴△ADQ ∽△DPC …（1分） ∴DQ PC =AQ CD设CD 为x （0＜x ＜3）则DQ=CQ －CD=4－x 则x PC -4=4x…………（1分）∴PC=41(－x2+4x)=－41(x －2)2+1≥1 当x=2时，PC 最长，此时PC=1 ………（1分）。