2017-2018学年江西省南昌市高三(上)摸底数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年江西省南昌市高三（上）摸底数学试卷（文科）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足（1+i）z＝2，则复数z的虚部为（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i2．（5分）设集合A＝{x|﹣2≤x≤1}，，则A∩B＝（）A．[﹣2，1）B．（﹣1，1]C．[﹣2，﹣1）D．[﹣1，1）3．（5分）已知，，则tanθ＝（）A．﹣2B．C．D．4．（5分）设，是两个非零向量，则“•＜0”是“，夹角为钝角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最大值为（）A．﹣2B．2C．3D．46．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的n为（）A．1B．2C．3D．47．（5分）函数的图象可以由函数y＝cos2x的图象经过（）A．向右平移个单位长度得到B．向右平移个单位长度得到C．向左平移个单位长度得到D．向左平移个单位长度得到8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．C．2D．9．（5分）甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”，为庆祝兄弟相聚甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气王”（即丙领到的钱数不少于其他任何人）的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△P AB与△PBC是正三角形，平面P AB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是（）A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD11．（5分）已知A，B，C是圆O：x2+y2＝1上的动点，且AC⊥BC，若点M的坐标是（1，1），则的最大值为（）A．3B．4C ．D ．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，设函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意x＞0都有2f（x）+xf'（x）＞0成立，则（）A．4f（﹣2）＜9f（3）B．4f（﹣2）＞9f（3）C．2f（3）＞3f（﹣2）D．3f（﹣3）＜2f（﹣2）二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，…，8．现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为．14．（5分）已知函数的最小值为6，则正数m的值为．15．（5分）已知△ABC 的面积为，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c ，，则a的最小值为．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F作圆的切线，若该切线恰好与C的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为．三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n 项和，数列{b n}满足b n＝S n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞．现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则被系统评定为“懈怠型”．（1）利用样本估计总体的思想，试估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过10000步的概率；（2）根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：K2＝19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝2，AB＝1．设M，N分别为PD，AD的中点．（1）求证：平面CMN∥平面P AB；（2）求三棱锥P﹣ABM的体积．20．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y＝kx+m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若，求证：点（m，k）在定圆上．21．（12分）设函数f（x）＝2lnx﹣mx2+1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当f（x）有极值时，若存在x0，使得f（x0）＞m﹣1成立，求实数m的取值范围．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C2交于P，Q两点，求|OP|•|OQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）＝|2x﹣3|．（1）求不等式f（x）＞5﹣|x+2|的解集；（2）若g（x）＝f（x+m）+f（x﹣m）的最小值为4，求实数m的值．2017-2018学年江西省南昌市高三（上）摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：（1+i）z＝2，∴z＝＝＝1﹣i．则复数z的虚部为﹣1．故选：B．2．【解答】解：由B可得：x2﹣2x﹣3＞0，即（x﹣3）（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞3，即B＝（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），∵集合A＝{x|﹣2≤x≤1}＝[﹣2，1]∴A∩B＝[﹣2，﹣1）故选：C．3．【解答】解：∵已知，，∴cosθ＝﹣＝﹣，则tanθ＝＝﹣，故选：C．4．【解答】解：若，夹角为钝角，则，则cosθ＜0，则•＜0成立，当θ＝π时，•＝﹣||•||＜0成立，但“，夹角为钝角”不成立，故“•＜0”是“，夹角为钝角”的必要不充分条件，故选：B．5．【解答】解：作出约束条件，对应的平面区域如图：由z＝3x﹣2y得y＝x﹣，平移直线y＝x，经过点A时，直线y＝x﹣的截距最小，此时z最大．由，解得A（1，0），此时z max＝3×1﹣0＝3，故选：C．6．【解答】解：当n＝1时，f（x）＝1，满足f（x）＝f（﹣x），不满足f（x）＝0有解，故n＝2；当n＝2时，f（x）＝2x，不满足f（x）＝f（﹣x），故n＝3；当n＝3时，f（x）＝3x2，满足f（x）＝f（﹣x），满足f（x）＝0有解，故输出的n为3，故选：C．7．【解答】解：函数y＝cos2x的周期为π，向右平移四分之一个周期，即，可得函数y＝sin2x的图象，在向左平移个单位，可得函数的图象，综上可得：函数的图象可以由函数y＝cos2x的图象经过向右平移个单位长度得到，故选：A．8．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示：故其体积V＝＝，故选：A．9．【解答】解：设乙、丙、丁分别领到x元、y元、z元，记为（x，y，z），则基本事件有：（2，2，5），（2，5，2），（5，2，2），（2，3，4），（2，4，3），（4，2，3），（3，4，2），（3，2，4），（4，3，2），（3，3，3），共10个，其中符合丙获得“手气王”的有4个，∴丙获得“手气王”（即丙领到的钱数不少于其他任何人）的概率：P＝．故选：C．10．【解答】解：在A中，取PB中点O，连结AO、CO，∵四棱锥P﹣ABCD中，△P AB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，∴AO⊥PB，CO⊥PB，∵AO∩CO＝O，∴PB⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC，∴PB⊥AC，故A成立；在B中，∵△P AB与△PBC是正三角形，∴P A＝PC，AB＝AC，设AC∩BD＝M，连结PM，则PM⊥AC，∴PD与AC不垂直，∴PD与平面ABCD不垂直，故B不成立；在C中，∵PB⊥平面AOC，AC⊂平面AOC，∴AC⊥PB，∵AC⊥BD，PB∩BD＝B，∴AC⊥平面PBD，∵PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD，故C成立；在D中，∵AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故D成立．故选：B．11．【解答】解：∵A，B，C是圆O：x2+y2＝1上的动点，且AC⊥BC，∴设A（cosθ，sinθ），B（﹣cosθ，﹣sinθ），C（cosα，sinα），其中0≤θ＜2π，0≤α＜2π，∵M（1，1），∴＝（cosθ﹣1，sinθ﹣1）+（﹣cosθ﹣1，﹣sinθ﹣1）+（cosα﹣1，sinα﹣1）＝（cosα﹣3，sinα﹣3），∴||＝＝＝，当且仅当sin（）时，||取最大值＝3+1．故选：D．12．【解答】解：根据题意，令g（x）＝x2f（x），其导数g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x），又由对任意x＞0都有2f（x）+xf'（x）＞0成立，则当x＞0时，有g′（x）＝x[2f（x）+xf'（x）]＞0成立，即函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）＝f（x），则有g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝x2f（x）＝g（x），即函数g（x）为偶函数，则有g（﹣2）＝g（2），且g（2）＜g（3），则有g（﹣2）＜g（3），即有4f（﹣2）＜9f（3）；故选：A．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2， (63)依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3， (8)分组间隔为，∵在第一组中随机抽取的号码为5，∴在第6组中抽取的号码为：5+5×8＝45．故答案为：45．14．【解答】解：∵x＞2，∴y＝x﹣2++2≥+2＝2+2，又函数的最小值为6，∴2+2＝6，解得m＝4．故答案为：4．15．【解答】解：由三角形面积公式得：S＝bc sin A＝bc＝2，即bc＝8，根据余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc＝8，则a≥2，即a的最小值为2，故答案为：2．16．【解答】解：由双曲线的一条渐近线y＝x，由题意可知该切线方程为y＝﹣（x﹣c），即ax+by﹣ac＝0，由圆的圆心为C（a，0）到切线的距离d＝＝＝，由e＝，则e2﹣4e+4＝0，解得：e＝2，双曲线C的离心率e＝2，故答案为：2．三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．【解答】解：（1）∵，∴当n＝1时，；当n≥2时，，又∵，∴．…（6分）（2）由已知，，∴T n＝b1+b2+b3+…+b n＝（22+23+24+…+2n+1）﹣2n＝．…（12分）18．【解答】解：（1）根据表中数据可知，40位好友中走路步数超过10000步的有8人，∴利用样本估计总体的思想，估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过10000步的概率；…（6分）（2）根据题意完成下面的2×2列联表如下：计算观测值，∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．…（12分）19．【解答】证明：（1）∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥P A．又∵MN⊄平面P AB，P A⊂平面P AB，∴MN∥平面P AB．在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°．又∵∠BAC＝60°，∴CN∥AB．∵CN⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，∴CN∥平面P AB．又∵CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面P AB．…（6分）解：（2）由（1）知，平面CMN∥平面P AB，∴点M到平面P AB的距离等于点C到平面P AB的距离．由已知，AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴，∴三棱锥P﹣ABM的体积：．…（12分）20．【解答】（1）解：设焦距为2c，由已知，2b＝2，a2＝b2+c2．∴b＝1，a＝2，∴椭圆C的标准方程为．…（4分）（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），联立得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，依题意，△＝（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0，化简得m2＜4k2+1，①，，若，则，即4y1y2＝5x1x2，∴，∴，即（4k2﹣5）（m2﹣1）﹣8k2m2+m2（4k2+1）＝0，化简得，②由①②得．∴点（m，k）在定圆上．21．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，当m≤0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＞0时，解f'（x）＞0得，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减．…（6分）（2）由（1）知，当f（x）有极值时，m＞0，且f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴若存在x0，使得f（x0）＞m﹣1成立，则f（x）max＞m﹣1成立．即﹣lnm＞m﹣1成立，令g（x）＝x+lnx﹣1，∵g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（1）＝0，∴0＜m＜1．∴实数m的取值范围是（0，1）．…（12分）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为普通方程：，即，则C1的极坐标方程为，…（3分）∵直线C2的方程为，∴直线C2的极坐标方程．…（5分）（2）设P（ρ1，θ1），Q（ρ2，θ2），将代入，得：ρ2﹣5ρ+3＝0，∴ρ1•ρ2＝3，∴|OP|•|OQ|＝ρ1ρ2＝3．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【解答】解：（1）∵f（x）＞5﹣|x+2|可化为|2x﹣3|+|x+2|＞5，∴当时，原不等式化为（2x﹣3）+（x+2）＞5，解得x＞2，∴x＞2；当时，原不等式化为（3﹣2x）+（x+2）＞5，解得x＜0，∴﹣2＜x＜0；当x≤﹣2时，原不等式化为（3﹣2x）﹣（x+2）＞5，解得，∴x≤﹣2．综上，不等式f（x）＞5﹣|x+2|的解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．…（5分）（2）∵f（x）＝|2x﹣3|，∴g（x）＝f（x+m）+f（x﹣m）＝|2x+2m﹣3|+|2x﹣2m﹣3|≥|（2x+2m﹣3）﹣（2x﹣2m﹣3）|＝|4m|，∴依题设有4|m|＝4，解得m＝±1．…（10分）。