2014最新北师大版课件1 认识一元二次方程 第2课时
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认识一元二次方程 北师大版九年级数学上册
符合要求的范围．
课堂练习
1. 下表是某同学求代数式x²－x的值的情况，根据表格可知方 程x²－x＝2的解是( D )
x x2－x
－2 －1 0 1 2 3 …
6
2 0026…
A. x＝－1 C. x＝2
B. x＝0 D. x1＝－1，x2＝2
课堂练习
2. 根据表格，选取一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一 个近似解取值范围（ C ）
解：设所求的宽度为 x m，根据 题意可列方程：
(8 - 2x) (5 - 2x) =18
新知讲解
x 满足方程（8-2x）（5-2x）=18．
（1）x 可能小于 0 吗？可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说 你的理由.
x 不可能小于 0，因为当x＜0时，不符合题意； 不可能大于4，因为当x＞4时，8-2x＜0，不符合题意； 不可能大于2.5，因为当x＞2.5时，5-2x＜0不符合题意.
2.1 认识一元二次方程
新知导入
1. 什么是一元二次方程？ 只含有一个未知数 x 的整式方程 1 ，并且都可以化成ax²+bx +c ＝0（a,b,c 为常数,a ≠ 0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2. 把一元二次方程3x²+2x=5化成一元二次方程的一般形式， 并说出它的二次项、一次项系数和常数项．
1 ＜ x＜1.5
x²+12x -15=0
新知讲解
你还能进一步
缩小范围吗？ （3）你能猜出滑动距离 x（m）的大致范围吗？
x
x²+12x-15=0
1.1 -0.59
1.2 0.84
1.3 2.29
1.4 3.75
课堂练习
1. 下表是某同学求代数式x²－x的值的情况，根据表格可知方 程x²－x＝2的解是( D )
x x2－x
－2 －1 0 1 2 3 …
6
2 0026…
A. x＝－1 C. x＝2
B. x＝0 D. x1＝－1，x2＝2
课堂练习
2. 根据表格，选取一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一 个近似解取值范围（ C ）
解：设所求的宽度为 x m，根据 题意可列方程：
(8 - 2x) (5 - 2x) =18
新知讲解
x 满足方程（8-2x）（5-2x）=18．
（1）x 可能小于 0 吗？可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说 你的理由.
x 不可能小于 0，因为当x＜0时，不符合题意； 不可能大于4，因为当x＞4时，8-2x＜0，不符合题意； 不可能大于2.5，因为当x＞2.5时，5-2x＜0不符合题意.
2.1 认识一元二次方程
新知导入
1. 什么是一元二次方程？ 只含有一个未知数 x 的整式方程 1 ，并且都可以化成ax²+bx +c ＝0（a,b,c 为常数,a ≠ 0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2. 把一元二次方程3x²+2x=5化成一元二次方程的一般形式， 并说出它的二次项、一次项系数和常数项．
1 ＜ x＜1.5
x²+12x -15=0
新知讲解
你还能进一步
缩小范围吗？ （3）你能猜出滑动距离 x（m）的大致范围吗？
x
x²+12x-15=0
1.1 -0.59
1.2 0.84
1.3 2.29
1.4 3.75
北师大版九年级数学上册认识一元二次方程第2课时课件
第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程（第2课时）
回顾复习
对于一元二次方程 （1）(8–2x) (5–2x)=18 ， 即 2x2 –13x+11=0； （2）(x+6)2 +72 =102 ，即 x2 +12x–15=0， 你能分别求出方程中的 x 吗？
导入新课
有一根外带有塑料皮长为100 m的电线，不知什么 原因中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是 否通）进行检查，你怎样快速地找到这一断裂处？与 同伴进行交流.
探究新知
对于方程(8–2x)(5–2x) =18，即 2x2–13x+11=0. （2）根据题目的已知条件，你能确定 x 的大致范围吗？说说你的理由．
通过上面的分析，可以得到0＜x＜2.5.
（3）完成下表：
x
0
0.5
1
1.5
2
( 8–2x )( 5–2x ) 40
28
18
10
4
探究新知
对于方程(8–2x)(5–2x) =18，即 2x2–13x+11=0. （4）你知道所求的宽度 x（m）是多少吗? 还有其他求解方法吗? 与同伴进行交流．
第2课时 一元二次方程解的估算
知识梳理 课时学业质量评价
1. 已知 x ＝2是一元二次方程 x2＋ mx ＋2＝0的一个解，则 m 的值是
(D)
A. 3
B. －1
C. 0
D. －3
1234
第2课时 一元二次方程解的估算
知识梳理 课时学业质量评价
2. 下表是用计算器探索代数式 x2－2 x －10的值时所给出的四组值，则 方程 x2－2 x －10＝0的一个近似解为( C )
2.1 认识一元二次方程（第2课时）
回顾复习
对于一元二次方程 （1）(8–2x) (5–2x)=18 ， 即 2x2 –13x+11=0； （2）(x+6)2 +72 =102 ，即 x2 +12x–15=0， 你能分别求出方程中的 x 吗？
导入新课
有一根外带有塑料皮长为100 m的电线，不知什么 原因中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是 否通）进行检查，你怎样快速地找到这一断裂处？与 同伴进行交流.
探究新知
对于方程(8–2x)(5–2x) =18，即 2x2–13x+11=0. （2）根据题目的已知条件，你能确定 x 的大致范围吗？说说你的理由．
通过上面的分析，可以得到0＜x＜2.5.
（3）完成下表：
x
0
0.5
1
1.5
2
( 8–2x )( 5–2x ) 40
28
18
10
4
探究新知
对于方程(8–2x)(5–2x) =18，即 2x2–13x+11=0. （4）你知道所求的宽度 x（m）是多少吗? 还有其他求解方法吗? 与同伴进行交流．
第2课时 一元二次方程解的估算
知识梳理 课时学业质量评价
1. 已知 x ＝2是一元二次方程 x2＋ mx ＋2＝0的一个解，则 m 的值是
(D)
A. 3
B. －1
C. 0
D. －3
1234
第2课时 一元二次方程解的估算
知识梳理 课时学业质量评价
2. 下表是用计算器探索代数式 x2－2 x －10的值时所给出的四组值，则 方程 x2－2 x －10＝0的一个近似解为( C )
北师大版九年级上册数学《应用一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件(第2课时)
B.168(1-x)2=128
C.168(1-2x)=128
D.168(1-x2)=128
强化训练
3.某企业2010年底缴税40万元，2012年底缴税48.4万元，设这两年该企业缴税
的年平均增长率为x,根据题意，可得方程 40(1+x)2=48.4 .
4.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、
下面我们就通过解题来说明这个问题.
知识讲解
解：甲种贺年卡：设每张贺年卡应降价x元，
100 x
(0.3 x)(500
) 120，解得x1=0.1；x2=-0.3（不符题意，舍去）.
0.1
乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y元，
3
y
(
y )(200 136 y ) 120，
(0.75 y )(200
走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲,乙各走了多远?
解:设甲,乙相遇时所用时间为x,根据题意,得
(7x -
10)2 =
2
(3x) +10
2.
2x2 - 7x = 0.
A
10
解方程,得 x1=3.5, x2=0 (不合题意,舍去).
B
整理得
∴3x=3×3.5 =10.5 ,
7x = 7×3.5 = 24.5.
九年级数学北师版·上册
第二章一元二次方程
应用一元二次方程
第2课时
新课引入
1.商品的进价、售价、利润之间有怎样的关系？
售价=进价+利润
2.什么是平均增长率？什么是平均降低率？
在某个数据的基础上连续增长（降低）得到新的数据，
增长（降低）的百分率就是平均增长（减低）率
北师大版九年级数学上册《用配方法求解一元二次方程》第2课时示范公开课教学课件
解: 设共有猴子 x 只．根据题意得方程
解得 x1＝16，x2＝48．所以，共有猴 16 只或 48 只．
整理，得
用配方法求解一元二次方程
通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法叫做配方法.
将方程转化为（x + m）2 = n (n≥0)的形式，再利用平方根的意义开平方，直接求根.
①化 ②配 ③移 ④开 ⑤解
移项，得
配方，得
两边开平方，得
即
所以
1.解下列方程
(3) 4x2 -8x -3 =0；
解：两边同时除以 4，得
配方，得
两边开平方，得
即
所以
移项，得
2.印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队， 高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽叽喳喳，伶俐活泼又调皮.告我总数有多少，两队猴子在一起？”你能解决这个问题吗？
分析：
3x2+8x-3=0
两边同除以3
移项
两边开平方
解一元一次方程
配方
例2 解方程 3x2 + 8x - 3 = 0 .
想一想，可以先配方再移项吗？
解：方程两边都除以 3，得
移项，得
配方，得
两边开平方，得
所以
即
分析：
3x2+8x-3=0
两边同除以3
配方
两边开平方
解一元一次方程
解：根据题意得 15t-5t2 = 10.方程两边都除以 -5，得 t2 -3t = -2.配方，得即 两边开平方，得
所以
请分别描述一下，当t = 1 和t = 2时，小球到达10m所处的运动状态.
t = 1 时，小球向上运动，t = 2 时，小球向下运动.
解得 x1＝16，x2＝48．所以，共有猴 16 只或 48 只．
整理，得
用配方法求解一元二次方程
通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法叫做配方法.
将方程转化为（x + m）2 = n (n≥0)的形式，再利用平方根的意义开平方，直接求根.
①化 ②配 ③移 ④开 ⑤解
移项，得
配方，得
两边开平方，得
即
所以
1.解下列方程
(3) 4x2 -8x -3 =0；
解：两边同时除以 4，得
配方，得
两边开平方，得
即
所以
移项，得
2.印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队， 高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽叽喳喳，伶俐活泼又调皮.告我总数有多少，两队猴子在一起？”你能解决这个问题吗？
分析：
3x2+8x-3=0
两边同除以3
移项
两边开平方
解一元一次方程
配方
例2 解方程 3x2 + 8x - 3 = 0 .
想一想，可以先配方再移项吗？
解：方程两边都除以 3，得
移项，得
配方，得
两边开平方，得
所以
即
分析：
3x2+8x-3=0
两边同除以3
配方
两边开平方
解一元一次方程
解：根据题意得 15t-5t2 = 10.方程两边都除以 -5，得 t2 -3t = -2.配方，得即 两边开平方，得
所以
请分别描述一下，当t = 1 和t = 2时，小球到达10m所处的运动状态.
t = 1 时，小球向上运动，t = 2 时，小球向下运动.
二次函数与一元二次方程第2课时利用二次函数求方程的近似根课件北师大版数学九年级下册
与x轴交点情况
方法总结
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性 计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的 准确性，故估计尽量要准确．
四 利用二次函数求一元二次不等式的近似解
思考1
函数 y = ax2+bx+c 的图象如图，那么 方程 ax2+bx+c=0 的根是 x_1_=_-_1_，___x_2=_3_; 不等式 ax2+bx+c>0 的解集是_x_<__-_1_或___x_>__3_; 不等式 ax2+bx+c<0 的解集是__-_1_<__x_<_3___.
5
x
做一做
y
你还能利用其他方法二次函数
y3
5
y x2 2x 10 的图象求一元二次方程
x2 2x 10 3 的近似根吗？ x2+2x-10=3即x2+2x=7
–5
O
画出y1=x2+2x,y2=3的图象，交点的横坐标为解
–5
x1≈2.7，x2≈-4.7
–10
y x2 2x 10
5
x
归纳 利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般方法：
y 2
–4 –2 O –2 –4 –6 –8 –10
2 4x
（1）先求－5和－4之间的根.
y值更接近0
x －4.1 －4.2 －4.3 －4.4
y －1.39 －0.76 －0.11 0.56
y对应的值由负变为正 因此，x=－4.3是方程的一个近似根.
y 2
–4 –2 O –2 –4 –6 –8 –10
y 1.21 0.44 －0.31
北师大版 数学九年级上册第二章《2.1 认识一元二次方程》课件
知识模块二 一元二次方程有关概念的应用
(一)自主探究
1．下列方程中，是一元二次方程的是( C )
A．x2＋2y－1＝0 C．2x2＝2x－1
B．x＋2y2＝5
D．x2＋ 1 －2＝0 x
2．将方程(x＋3)2＝8x化成一般形式为__x_2－__2_x_＋__9_＝__0___， 其二次项系数为__1____，一次项系数是_－__2___，常数项是 __9____ ．
练习
1．关于x的方程(a－1)x2＋3x＝0是一元二次方程，则a的取 值范围是_a_≠__1__ ．
2．已知方程(m＋2)x2＋(m＋1)x－m＝0，当m满足_m__＝__－__2 时，它是一元一次方程；当m满足_m_≠_－__2__ 时，它是一元二次 方程．
3．(易错题)已知关于x的方程(m－2)x|m|＋3x－4＝0是一元二
xm
3．你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？ (1)(100－2x)(50－2x)＝3600 (2)(x＋6)2＋72＝102
归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且 未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化 成如下形式： ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a 是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
(二)合作探究
1．问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个 角分别切去一个面积相同的正方形，然后将四周突出的部分 折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底 面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
答：由题意可列方程：(100－2x)(50－2x)＝3600
《一元二次方程》课件 北师大版
数学·新课标〔BS〕
上册第二章复习 ┃ 知识归类
(1)配方法的根本思想：转化思想，把方程转化成(x＋a)2＝ b(b≥0)的形式，这样原方程的一边就转化为一个完全平方式， 然后两边同时开平方．
(2)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①化二次项系数为1；
②含未知数的项放在一边，常数项放在另一边；
③配方，方程两边同时加上 一次项系数一半的平方 ，并写成 (x＋a)2＝b的形式，假设b≥0，直接开平方求出方程的根．
数学·新课标〔BS〕
数学·新课标〔BS〕
上册第二章复习 ┃ 知识归类
┃知识归纳┃
1．一元二次方程
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为
ax2＋bx＋c＝0
(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的
方程叫做一元二次方程．
[注意] 定义应注意四点：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高 次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程．
上册第二章复习 ┃ 试卷讲练 解：设仓库的宽为 x，则长为(32－2x＋1)，列方程得 (32－2x＋1)x＝130，解得 x1＝123，x2＝10，当 x＝123时，长
为 20，不合题意，则只能长为 13，宽为 10.
数学·新课标〔BS〕
上册第二章复习 ┃ 试卷讲练
【针对第24题训练 】
如图 S2－2，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝20 cm，BC＝15 cm. 现有动点 P 从点 A 出发，沿 AC 向点 C 方向运动，动点 Q 从点 C 出 发，沿线段 CB 向点 B 方向运动．如果
么矩形的周长为_4_______．
2．a，b为直角三角形两直角边，且(ab＋1)(ab－2)＝4，那 么三角形的面积为_______3_．
上册第二章复习 ┃ 知识归类
(1)配方法的根本思想：转化思想，把方程转化成(x＋a)2＝ b(b≥0)的形式，这样原方程的一边就转化为一个完全平方式， 然后两边同时开平方．
(2)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①化二次项系数为1；
②含未知数的项放在一边，常数项放在另一边；
③配方，方程两边同时加上 一次项系数一半的平方 ，并写成 (x＋a)2＝b的形式，假设b≥0，直接开平方求出方程的根．
数学·新课标〔BS〕
数学·新课标〔BS〕
上册第二章复习 ┃ 知识归类
┃知识归纳┃
1．一元二次方程
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为
ax2＋bx＋c＝0
(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的
方程叫做一元二次方程．
[注意] 定义应注意四点：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高 次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程．
上册第二章复习 ┃ 试卷讲练 解：设仓库的宽为 x，则长为(32－2x＋1)，列方程得 (32－2x＋1)x＝130，解得 x1＝123，x2＝10，当 x＝123时，长
为 20，不合题意，则只能长为 13，宽为 10.
数学·新课标〔BS〕
上册第二章复习 ┃ 试卷讲练
【针对第24题训练 】
如图 S2－2，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝20 cm，BC＝15 cm. 现有动点 P 从点 A 出发，沿 AC 向点 C 方向运动，动点 Q 从点 C 出 发，沿线段 CB 向点 B 方向运动．如果
么矩形的周长为_4_______．
2．a，b为直角三角形两直角边，且(ab＋1)(ab－2)＝4，那 么三角形的面积为_______3_．
北师大版九年级数学上第二章一元二次方程2
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整合运用
思维拓展
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九年级 数学 上册 北师版
典例导学 一名跳水运动员进行 10 m 跳台跳水训练，运动员必须在距水面 5 m
以上完成规定动作，否则容易出现失误，假设运动员起跳后的运动时间 t(s)和距离水面高度 h(m)满足：h＝10＋3t－5t2，那么他最多有多长时 间完成规定动作？(精确到 0.1 s) 【思路分析】先把函数关系转化成一元二次方程，并把方程化成一元二 次方程的一般形式．结合实际问题在 t 的取值范围内列表，采用“夹逼” 的方法求 t 的近似值．
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思维拓展
九年级 数学 上册 北师版
17．如图，现有篱笆长 11 m，一面靠墙，要建一个矩形养鸡场．
(1)设宽为 xm，则长为((1111－－22xx)) m，面积为((－－22xx22＋＋1111xx) )m2；
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九年级 数学 上册 北师版
(2)填写下列表格：
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九年级 数学 上册 北师版
14．一元二次方程(a＋1)x2＋ax＋1－a2＝0 的一个根为 0，求 a 的值． a＋1≠0，
解：由题意，得1－a2＝0， ∴a＝1.
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九年级 数学 上册 北师版
15．关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根为 1，且 a，b 满足等式 b＝ a－3＋ 3－a＋3，求 c 的值．
＝2 的根是
（D ）
x
用因式分解法解一元二次方程PPT课件(北师大版)
二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解
我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?
视察下列各式,也许你能发现些什么
开启 智慧
二次三项式 ax2+bx+c
的因式分解 一般地,要在实数范围 内分解二次三项式
ax2+bx+c(a≠o),只要用公式法求出相应的一元二次方程
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
动脑筋
争先赛
• 1.解下列方程:
1.x 2x - 4 0,2.4x2x 1 32x 1.
解 :1.x 2 0,或x - 4 0.
x1 2; x2 4.
2.4x2x1 32x1 0,
心动 不如行动
公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular).
老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般情势的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
• (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
• 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显 示了“二次”转化为“一次”的过程.
明确
1、用因式分解法解一元二次方程时，等
. 号的一边必须是0
2、另一边可分解成两个因式乘积的情
势.
北师大版初中九年级上册数学课件 《用因式分解法求解一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件
第二章一元二次方程
用因式分解法求解 一元二次方程
1 课堂讲解 因式分解法的依据
用因式分解法解方程
用适当的方法解一元二次方程
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？
你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2＝3x.但
7 97
7 97
x1 4 , x2 4
知3－讲
知3－讲
(3) (x－1)2－3(x－1)＝0，(x－1)(x－1－3)＝0， ∴x－1＝0或x－4＝0， ∴x1＝1，x2＝4.
（来自点拨）
总结
知3－讲
在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先 考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对于系 数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系 数是偶数，可选用配方法.
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
知2－讲
总结
知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
导引：方程(1)选择配方法；方程(2)选择公式法； 方程(3)选择因式分解法．
知3－讲
（来自点拨）
解： (1)x2－2x－3＝0，
移项，得x2－2x＝3，
配方，得(x－1)2＝4，x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1.
(2)2x2－7x－6＝0，
用因式分解法求解 一元二次方程
1 课堂讲解 因式分解法的依据
用因式分解法解方程
用适当的方法解一元二次方程
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？
你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2＝3x.但
7 97
7 97
x1 4 , x2 4
知3－讲
知3－讲
(3) (x－1)2－3(x－1)＝0，(x－1)(x－1－3)＝0， ∴x－1＝0或x－4＝0， ∴x1＝1，x2＝4.
（来自点拨）
总结
知3－讲
在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先 考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对于系 数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系 数是偶数，可选用配方法.
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
知2－讲
总结
知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
导引：方程(1)选择配方法；方程(2)选择公式法； 方程(3)选择因式分解法．
知3－讲
（来自点拨）
解： (1)x2－2x－3＝0，
移项，得x2－2x＝3，
配方，得(x－1)2＝4，x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1.
(2)2x2－7x－6＝0，
北师大版八年级数学上册课件：第2课时 一元二次方程的实际应用(二)
(1)设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，根据题意列 方程： 150(1＋x)2＝216，解得：x1＝－220%(不合题意，舍去)，x2＝ 20%，故该品牌电动自行车销售量的月均增长率20%；
(2)二月份的销售量是：150×(1＋20%)＝180(辆)，所以该经销 商1至3月共盈利：(2 800－2 300)×(150＋180＋216)＝500×546 ＝273 000(元)．
3．(3分)以正方形的边长为长，从一块正方形的木板上锯掉
一块2 cm宽的长方形木条，剩下部分的面积是48 cm2，那么原
正方形木板的面积是( C )
A．8 cm2
B．8 cm2或64 cm2
C．64 cm2
D．36 cm2
4．(3分)已知梯形的面积为240 cm2，高比上底长4 cm，而比
下底短20 cm，则这个梯形的高为___1_2____cm.
2．(4分)(2014·泰安)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有 一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增 加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元 ，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程 是( A )
A．(3＋x)(4－0.5x)＝15 B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15 C．(x＋4)(3－0.5x)＝15 D．(x＋1)(4－0.5x)＝15
5．(3分)已知一个直角三角形的两条直角边边长的差为3 cm
，斜边长与最短边长的比为5∶3，
这个直角三角形的面积是___5_4____cm2.
3．(4分)将进货单价为40元的商品按50元出售时，售出500个，
经市场调查发现：该商品每涨价1元，其销量减少10个，为了赚
8 000元，则售价应定为( ) C
应用一元二次方程课件北师大版数学九年级上册
月份的销售额为60(1-10%)(1+x)2万元.
解：设3，4月份销售额的月平均增长率为x.
根据题意，得60(1-10%)(1+x)2 = 121.5，
则 (1+ x)2=2.25.
解得 x1 = 0.5，x2 = - 2.5（不合题意，舍去）.
答：3，4月份销售额的月平均增长率为50%.
【例4】某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数
那么一年后的销售收入将到达 a(1+x) 万元（用代数式表示）.
（2）某公司今年的销售收入是a万元,如果每年的增长率都是x ，
2
那么两年后的销售收入将到达 a(1+x) 万元（用代数式表示）.
探究新知
一
利用一元二次方程解决营销问题
【例1】新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元.调查发
现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每
每月能售出600个，调查发现，售价在40元至60元范围内，
这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个.为了
实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定
为多少？这时应购进台灯多少个？
分析：设每个台灯涨价x元，则应进台灯为 (600-10x)个，单个台灯的
利润为(40+x-30)元，则每月总利润为(600-10x) (40+x-30).
到7.5万册.求这两年的年平均增长率.
解：设这两年的年平均增长率为x，
根据题意得：5
(1+x)2=7.5
，则
2
(1+x) = ，
所以1+x=± ，
即
解：设3，4月份销售额的月平均增长率为x.
根据题意，得60(1-10%)(1+x)2 = 121.5，
则 (1+ x)2=2.25.
解得 x1 = 0.5，x2 = - 2.5（不合题意，舍去）.
答：3，4月份销售额的月平均增长率为50%.
【例4】某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数
那么一年后的销售收入将到达 a(1+x) 万元（用代数式表示）.
（2）某公司今年的销售收入是a万元,如果每年的增长率都是x ，
2
那么两年后的销售收入将到达 a(1+x) 万元（用代数式表示）.
探究新知
一
利用一元二次方程解决营销问题
【例1】新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元.调查发
现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每
每月能售出600个，调查发现，售价在40元至60元范围内，
这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个.为了
实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定
为多少？这时应购进台灯多少个？
分析：设每个台灯涨价x元，则应进台灯为 (600-10x)个，单个台灯的
利润为(40+x-30)元，则每月总利润为(600-10x) (40+x-30).
到7.5万册.求这两年的年平均增长率.
解：设这两年的年平均增长率为x，
根据题意得：5
(1+x)2=7.5
，则
2
(1+x) = ，
所以1+x=± ，
即
新版北师大版-2.1认识一元二次方程
4-7x =0
2
4.已知关于x的一元二次方程 （m-3)x2+4x+m2-9=0有一个根是0， 求m的值。 m=-3 提示：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
5.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般 形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：将原方程化简为： 9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9) 9x2＋12x＋4＝ 4 x2 －24x ＋36 9x2 － 4 x2 ＋ 12x ＋ 24x ＋ 4 － 36＝0 5x 5 2＋ ＋ 36 36 x － 32＝0
程，叫做一元二次方程。 2.一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0) ，其中
ax2 是二次项， a 是二次项系数，bx 是
一次项， b 是一次项系数； c 是常数项。
点拨：1.一元二次方程是整式方程。
2.只含有一个未知数，且未知数的最高次数 是2次。3. 二次项系数a≠0
自学检测（10分钟）
1、下列方程哪些是一元二次方程? 解: (1)、 (4)
第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
初三数学组
学习目标(1分钟)
形式， 并会指出二次项系数、一次项系数及常 数项。
自学指导(7分钟)
自学课本31页至32页的内容, 先完成相关问题中 的填空；然后再完成下列问题： 1.定义：等号两边都是 整式 ，只含有 一个 未知数 （ 一 元），并且未知数的最高次数是 二 次的方
2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的 二次项系数、一次项系数和常数项：
方
2
程
一般形式
二次项 系 数
一次项 常数项 系 数
3x =5x-1
北师大版九年级上册数学《应用一元二次方程》一元二次方程PPT研讨课件
几何问题 行程问题
设
列
检
答
面积问题
动点问题
第二章 一元二次方程
应用一元二次方程
第2课时
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.会用一元二次方程的方法解决营销问题及平均变化率 问题.（重点、难点）
2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问 题解决问题的能力．
导入新课
问题引入
小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数 学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长 了10%，问他第三次数学成绩是多少？
作为等量关系列方程为：200+200(1+x) +200(1+x)2=950
例4 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月
、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长
率．
解：设这个增长率为x.根据题意，得 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 整理方程，得 4x2+12x-7=0，
x1 = x2 = 150. ∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750. 答：每台冰箱的定价应为2750元.
例2：某超市将进价为30元的商品按定价40元出售时，能卖600件已知该商品 每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得10000元的利润，且尽量减少库存 ，售价应为多少？
解析：销售利润=（每件售价-每件进价）×销售件数，若设每件涨价x元， 则售价为（40+x）元，销售量为（600-10x）件，根据等量关系列方程即可. 解：设每件商品涨价x元，根据题意，得
2.1《认识一元二次方程第2课时》北师大版九年级上册教学课件
① 只含有一个未知数； ②未知数的最高次数是2； ③整式方程.
问题2：一元二次方程的一般形式是什么？ ax2 + bx + c = 0(a，b，c为常数，a≠0)
二次项 一次项 常数项
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
填一填
1. 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的__解____. 2. 一元二次方程 (x+1)2 - x = 3(x2-2) 化成一般形式是
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x2 – 2x – 8 16 7 0 -5 -8 -9 -8 -5 0
像数-2，4使一元二次方程等号两边相等的未知数的 值叫作一元二次方程的解(又叫做根).
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合作探究
问题2：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满 足方程(8 -2x)(5-2x)= 18，你能求出这个宽度吗？
你知道了吗
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例 请估算出一元二次方程 x2 - 2x - 1=0的正数根(精确到0.1).
分析：
①先列表确定整数部分，当2＜x＜3时，-1＜ x2 -2x 1＜2，则正数根在2到3之间； ②再列表确定十分位部分，当2.4＜x＜2.5时，-0.04＜ x2 -2x -1＜0.25，则正数根在2.4到2.5之间； ③最后确定百分位部分，当x=2.45时， x2 -2x -1的 值是否大于0，若大于0，则正数根在2.4到2.45之间； 若小于0，则正数根在2.45到2.50之间.再根据精确到 0.1，四舍五入取值即可.
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问题2：一元二次方程的一般形式是什么？ ax2 + bx + c = 0(a，b，c为常数，a≠0)
二次项 一次项 常数项
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填一填
1. 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的__解____. 2. 一元二次方程 (x+1)2 - x = 3(x2-2) 化成一般形式是
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x2 – 2x – 8 16 7 0 -5 -8 -9 -8 -5 0
像数-2，4使一元二次方程等号两边相等的未知数的 值叫作一元二次方程的解(又叫做根).
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合作探究
问题2：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满 足方程(8 -2x)(5-2x)= 18，你能求出这个宽度吗？
你知道了吗
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典型例题
例 请估算出一元二次方程 x2 - 2x - 1=0的正数根(精确到0.1).
分析：
①先列表确定整数部分，当2＜x＜3时，-1＜ x2 -2x 1＜2，则正数根在2到3之间； ②再列表确定十分位部分，当2.4＜x＜2.5时，-0.04＜ x2 -2x -1＜0.25，则正数根在2.4到2.5之间； ③最后确定百分位部分，当x=2.45时， x2 -2x -1的 值是否大于0，若大于0，则正数根在2.4到2.45之间； 若小于0，则正数根在2.45到2.50之间.再根据精确到 0.1，四舍五入取值即可.
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下面是小亮的求解过程：
x 0 0.5 1 1.5 2
x2+12x-15
-15
-8.75
-2
5.25
13
由此，他猜测1＜x＜1.5．
进一步计算：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2+12x-15
-0.59
0.84
2.29
3.76
所以1.1＜x＜1.2，由此他猜测x整数部分是1，十分
位部分是1． 你的结果是怎样的呢？
——马克思
1 认识一元二次方程
第2课时
ax bx c 0( a 0)
2
1．经历对方程解的探索过程，理解方程解的意义；
2．会估算一元二次方程的解．
1．回答下列问题：一元二次方程的一般形式是什么？ 一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0) 2．指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项．
（1）2x2―x+1=0
所以x=-2或10.因此这五个连续整数依次为-2， -1，0，1，2；或10，11，12，13，14.
B同学的做法：
设五个连续整数中的中间一个数为x，那么其余四个数
依次可表示为x-2,x-1,x+1,x+2.根据题意，可得方程： (x-2)2+(x-1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2 即：x2-12x=0．
一个解，则2a-1的值为（
A.6 B.5 C.4
）
D.3
【解析】选D.把x= 2代入方程x2-2a=0得，4－2a＝0， ∴a＝2.∴2a-1＝3.
3.一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情
况下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的翻腾动
作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。假
设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距水面的高
（2）x可能大于4吗?可能大于2．5吗?说说你的理由，并与 同伴进行交流． 不可能 理由略
（3）完成下表：
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5
2x2-13x+11
11
5
0
-4
-7
-9
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?
还有其他求解
方法吗?与同伴进行交流．答案：1m
其他求解方法略
2.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端 距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么 梯子的底端滑动多少米？
数 学 化 1 8m 7m
【解析】由勾股定理可知，滑 动前梯子底端距墙 动后梯子底端距墙 6 m ； x＋6 m； 如果设梯子底端滑动x m，那么滑
根据题意，可得方程：
72＋(x＋6)2＝102
6m
x
在这个问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程 (x+6)2+72=102，把这个方程化为一般形式为x2+12x-15=0 ． （1）小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗?为什么? 不正确，因为x=1不满足方程． （2）底端滑动的距离可能是2m吗?可能是3m吗?为什么? 不正确，因为x=2，3不满足方程． （3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗? （4）x的整数部分是几?十分位部分是几? 请同学们自己算一算，注意组内同学交流哦！
（3）x2―x=0 答案： 二次项系数 （ 1） （ 2） （ 3） （4） 2 -1 1 -1
（2）―x2+1=0
（4）―x2=0 一次项系数 -1 0 -1 0 常数项 1 1 0 0
3.什么叫方程的解，什么叫解方程？ 方程的解就是符合方程的未知数的值．
求方程的解的过程叫做解方程．
这节课我们通过估算的方法探索方程的解的大致 范围．
平方和。你能求出这五个整数分别是多少吗？
A同学的做法： 设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依 次可表示为x+1,x+2,x+3,x+4.根据题意，可得方程： x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2 即：x2-8x-20=0．
x x2-8x-20 -3 13 -2 0 „ „ 10 0 11 13
【规律方法】上述求解是利用了“两边夹”的思想 用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：
①在未知数x的取值范围内排除一部分取值；
②根据题意所列的具体情况再次进行排除；
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再
次筛选；
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据．
【跟踪训练】
五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的
所以1.2＜t＜1.3,因此他完成动作的时间最多不超过
1.3s．
1.学习了估算ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0） 近似解的方法：“两边夹”； 2.知道了估算的步骤； （1）先确定大致范围
（2）再取值计算，逐步逼近
3.想一想：有没有更便捷的方法求一元二次方程的
解呢？
奋斗就是生活，人生只有前进．
度h(m)满足关系：h=10+2.5t-5t2，那么他最多有多 长时间完成规定动作?
【解析】根据题意，得10+2.5t-5t2=5,即 2t2-t-2=0列表：
t 0 1 2 3
2t2-t-2
-2
-1
4
13
所以1＜t＜2,进一步列表计算：
t 2t2-t-2 1.1 -0.68 1.2 -0.32 1.3 0.08 1.4 0.52
x -1 0 „ 11 12
x2-12x
13
0
„
-11
0
所以x=0或12.因此这五个连续整数依次为-2，-1，0，
1，2；或10，11，12，13，14.
1.（天水·中考）若关于x的一元二次方程(m1)x2+5x+
m23m+2=0有一个根是0，则m的值等于（ B ） A.1 B.2 C.1或2 D.0 2.（鞍山•中考）已知x=2是关于x的方程x2-2a=0的
1.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的 长为8 m，宽为5 m．如果地毯中央长方形图案的面积为 18m2，则花边多宽? 【解析】设花边的宽为x m，
根据题意，可得方程
(8－2x)(5－2x)=18
即：2x2-13x+11=0．
对于方程(8－2x)(5－2x)=18，即2x2-13x+11=0 （1）x可能小于0吗?说说你的理由．不可能 理由略